Luận án Tiến sĩ Toán học: Martingale hiệu yếu đa trị và ứng dụng trong kinh tế

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:96

Thêm vào BST

Báo xấu

11
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu nghiên cứu của Luận án nhằm đánh giá khả năng dự báo được của xu hướng thay đổi của cổ phiếu trong tài chính. Qua đó chỉ ra cách nhìn khác về thị trường hiệu quả. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận án Tiến sĩ Toán học: Martingale hiệu yếu đa trị và ứng dụng trong kinh tế

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ Lục Trí Tuyên MARTINGALE HIỆU YẾU ĐA TRỊ VÀ ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2021
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ Lục Trí Tuyên MARTINGALE HIỆU YẾU ĐA TRỊ VÀ ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 9.46.01.12 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: 1. Tiến sĩ, Nguyễn Hắc Hải 2. Tiến sĩ, Nguyễn Văn Hùng Hà Nội - 2021
1 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các kết quả được công bố với các tác giả khác đều được sự đồng ý của các đồng tác giả trước khi đưa vào luận án. Các kết quả nêu trong luận án là trung thực và chưa từng được công bố trong bất kỳ công trình nào khác. Hà Nội, ngày 16 tháng 03 năm 2021 NGHIÊN CỨU SINH Lục Trí Tuyên
2 LỜI CẢM ƠN Luận án được thực hiện tại Học viện Khoa học và Công nghệ - Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam, dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Hắc Hải và TS. Nguyễn Văn Hùng. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến hai Thầy về định hướng khoa học, người đã động viên, trao đổi nhiều kiến thức và chỉ bảo tôi vượt qua những khó khăn để hoàn thành luận án này. Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến PSG.TS. Ngô Hoàng Long, trường ĐHSP Hà Nội; PGS.TS. Trần Văn Long, trường ĐH Giao thông vận tải đã đóng góp những ý kiến quý báu về chuyên môn giúp cho chất lượng của luận án được tốt hơn. Đồng thời, tôi cũng xin chân thành cảm ơn tới các nhà khoa học, tác giả của các công trình công bố đã được trích dẫn trong luận án, đây là những tư liệu quý, kiến thức liên quan quan trọng giúp Nghiên cứu sinh hoàn thành luận án. Xin cảm ơn đến các nhà khoa học đã phản biện các công trình nghiên cứu của Nghiên cứu sinh. Tôi trân trọng cảm ơn Phòng Thống kê -tính tóan và Ứng dụng, Viện Công nghệ Thông tin - Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình nghiên cứu thực hiện luận án. Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới gia đình, bạn bè, những người đã luôn ủng hộ, giúp đỡ và hỗ trợ tôi về mọi mặt để tôi yên tâm học tập đạt kết quả tốt. Hà Nội, ngày 16 tháng 03 năm 2021 NGHIÊN CỨU SINH Lục Trí Tuyên
3 MỤC LỤC Lời cam đoan 1 Lời cảm ơn 2 MỤC LỤC 3 Danh mục từ viết tắt 6 Danh mục các ký hiệu toán học 7 Danh mục các bảng 10 Danh mục các hình vẽ, đồ thị 10 MỞ ĐẦU 11 1. Tính cấp thiết của luận án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2. Mục tiêu nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.1. Mục tiêu chung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2. Mục tiêu cụ thể . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.1. Đối tượng nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.2. Phạm vi nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 4. Phương pháp nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 5. Đóng góp của luận án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 6. Cấu trúc của luận án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC BỔ TRỢ 20 1.1. Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.2. Một số ký hiệu và định nghĩa trên không gian nền . . . . . . . . . . . . 21 1.2.1. Một số định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.2.2. Một số định lý giới hạn cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.3. Tổng quan về các định lý giới hạn cho các biến ngẫu nhiên đa trị . . . . 24
4 1.3.1. Tổng quan về biến ngẫu nhiên đa trị . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.3.1.1. Định nghĩa biến ngẫu nhiên đa trị và lát cắt của nó . . . . 24 1.3.1.2. Kỳ vọng và kỳ vọng điều kiện của biến ngẫu nhiên đa trị . 26 1.3.2. Siêu không gian của không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . 28 1.3.2.1. Khoảng cách Hausdorff trong siêu không gian . . . . . . 28 1.3.2.2. Các dạng hội tụ trong siêu không gian . . . . . . . . . . . 29 1.3.3. Các định lý giới hạn của các biến ngẫu nhiên đa trị . . . . . . . . 31 1.3.3.1. Phép toán trên các biến ngẫu nhiên đa trị . . . . . . . . . 31 1.3.3.2. Martingale đa trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1.3.3.3. Định lý giới hạn cho martingale đa trị . . . . . . . . . . . 34 1.3.3.4. Các luật mạnh số lớn của các biến ngẫu nhiên đa trị độc lập 34 1.4. Một số ứng dụng của biến ngẫu nhiên đa trị trong kinh tế . . . . . . . . 36 1.4.1. Xác định miền nhận dạng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 1.4.2. Ứng dụng trong phép suy luận thống kê . . . . . . . . . . . . . . 36 1.5. Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2. HIỆU MARTINGALE YẾU ĐA TRỊ VÀ TÍNH CHẤT 39 2.1. Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.2. Một số định lý hội tụ của hiệu martingale đơn trị . . . . . . . . . . . . . 40 2.3. Hiệu martingale yếu đa trị và tính chất liên quan . . . . . . . . . . . . . 42 2.3.1. Hiệu martingale yếu đa trị và tính chất đặc trưng . . . . . . . . . 42 2.3.2. Luật số lớn cho hiệu martingale yếu đa trị . . . . . . . . . . . . . 47 2.4. Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3. KIỂM ĐỊNH GIẢ THIẾT HIỆU MARTINGALE YẾU ĐA TRỊ VÀ ỨNG DỤNG 53 3.1. Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.2. Hiệu martingale yếu đa trị trong dữ liệu thực tế . . . . . . . . . . . . . . 55 3.2.1. Hiệu martingale yếu đa trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.2.2. Tầm quan trọng của hiệu martingale yếu đa trị cho một số lớp dữ liệu 56 3.3. Các tiêu chuẩn kiểm định hiệu martingale đơn trị đã biết . . . . . . . . . 58 3.3.1. Kiểm định MDH dựa trên độ đo tuyến tính . . . . . . . . . . . . . 60
5 3.3.2. Kiểm định MDH trên độ đo phi tuyến . . . . . . . . . . . . . . . 63 3.4. Kiểm định giả thuyết cho hiệu martingale yếu đa trị . . . . . . . . . . . 66 3.4.1. Xây dựng dãy biến ngẫu nhiên đa trị thông qua chuỗi thời gian mờ 67 3.4.2. Kiểm định giả thiết hiệu martingale yếu đa trị với lát cắt trung bình 68 3.4.3. Kiểm định hiệu martingale yếu đa trị với một tập các lát cắt ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 3.4.3.1. Kiểm định WSMDH lát cắt ngẫu nhiên cho dữ liệu mô phỏng 74 3.4.3.2. Kiểm định WSMDH lát cắt ngẫu nhiên cho dữ liệu thực . 76 3.5. Kết quả và ý nghĩa của kiểm định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 3.6. Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 82 1. Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 2. Hướng phát triển của đề tài luận án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 CÁC CÔNG TRÌNH CÔNG BỐ CỦA NGHIÊN CỨU SINH 85 TÀI LIỆU THAM KHẢO 94
6 DANH MỤC TỪ VIẾT TẮT LLN Luật số lớn SLLN Luật mạnh số lớn CLT Định lý giới hạn trung tâm RNP Tính chất Randon-Nykodym i.i.d Độc lập cùng phân phối h.c.c Hầu chắc chắn EMH Giả thuyết thị trường hiệu quả VR Tỉ lệ phương sai MDS Dãy Martingale hiệu MDH Giả thuyết Martingale hiệu DJIA Chỉ số Dow Jones Industrial Average Index S&P500 Chỉ số Standard & Poor’s 500 Stock Index FTSE chỉ số Financial Times Stock Exchange 100 Index HSI Chỉ số Hong Kong Hang Seng Index VNI Chỉ số Vietnam Stock Index CAN Tỉ giá đồng Canadian Dollar GBP Tỉ giá đồng British Pound Sterling EUR Tỉ giá đồng Euro YEN Tỉ giá đồng Japanese Yen VND Tỉ giá Vietnamese Dong FDR Kỳ vọng tỉ lệ bác bỏ sai WSMD Martingale hiệu đa trị yếu WSMDH Giả thuyết Martingale hiệu đa trị yếu
7 CÁC KÝ HIỆU TOÁN HỌC DÙNG NHIỀU TRONG LUẬN ÁN R Tập số thực N Tập số tự nhiên (Ω, F, P) Không gian xác suất đầy đủ (X, k·k) Không gian Banach với chuẩn k·k X∗ Không gian đối ngẫu của X Tập các biến ngẫu nhiên khả tích Bochner L1 [Ω; X] trên X Không gian các hàm đo được có chuẩn L p [Ω, F, P; X] = L p [Ω; X] k f k p hữu hạn. E[X] Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên X E[X|A] Kỳ vọng điều kiện của biến ngẫu nhiên X P0 (X) Họ các tập con khác rỗng của X K(X) Họ các tập con đóng khác rỗng của X Họ các tập con đóng khác rỗng bị chặn Kb (X) của X Kc (X) Họ các tập con lồi đóng khác rỗng của X Họ các tập con compact đóng khác rỗng Kk (X) của X Họ các tập con lồi đóng compact yếu Kwkc (X) khác rỗng của X Bao đóng của họ { fn (ω)} trong X với cl{ fn (ω)} ω ∈Ω Tập hợp tất cả các biến ngẫu nhiên đa trị U[Ω, F, P; K(X)] = U[Ω; K(X)] trong K(X) Tập các biến ngẫu nhiên đa trị khả tích bị L1 [Ω, F, P; K(X)] = L1 [Ω; K(X)] chặn trong K(X)
8 Tập các lát cắt khả tích bậc p của biến SFp ngẫu nhiên đa trị F Họ các lát cắt của F hạn chế trên sigma- SF (A) trường con A ⊂ F H(A, B) Khoảng cách Hausdorff trên P0 (X) {0} Tập hợp gồm chỉ một phần tử 0 kAkK khoảng cách Hausdorff từ {0} đến tập A Tích trong của cặp (X, X∗ ) s(x∗ , A) Hàm support của x∗ ∈ X∗ và A ∈ K(X) U Bao đóng của U coU Bao lồi đóng của U o(n p ) Vô cùng bé bậc cao hơn n p Hoàn tất chứng minh
9 DANH MỤC CÁC BẢNG Bảng 3.3.1. Khả năng dự báo được theo nghĩa tuyến tính của các tăng trưởng của tỉ giá ngoại tệ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Bảng 3.3.2. Khả năng dự báo được theo nghĩa tuyến tính của các tăng trưởng của chỉ số chứng khoán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Bảng 3.3.3. Kiểm định MDH theo nghĩa phi tuyến của tỉ giá ngoại tệ: p-value 65 Bảng 3.3.4. Kiểm định MDH theo nghĩa phi tuyến của chỉ số chứng khoán: p-value . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 Bảng 3.3.5. p-value của kiểm định phổ tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . 66 Bảng 3.4.1. Khả năng dự báo được theo nghĩa tuyến tính của tỉ giá ngoại tệ theo đa trị với lát cắt trung bình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Bảng 3.4.2. Khả năng dự báo được theo nghĩa tuyến tính cho chỉ số chứng khoán theo đa trị đối với lát cắt trung bình . . . . . . . . . . . . . . . 70 Bảng 3.4.3. Kiểm định WSMDH theo nghĩa phi tuyến của tỉ giá ngoại tệ với lát cắt trung bình: p-value . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 Bảng 3.4.4. Kiểm định WSMDH theo nghĩa phi tuyến của chỉ số chứng khoán với lát cắt trung bình: p-value . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 Bảng 3.4.5. p-value của kiểm định phổ tổng quát cho lát cắt trung bình của WSMDH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 Bảng 3.4.6. Kiểm định bội MDH cho B lát cắt ngẫu nhiên cho WMDS mô phỏng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 Bảng 3.4.7. Kiểm định bội MDH cho B lát cắt ngẫu nhiên cho dãy mô phỏng có xu hướng tăng và có 1 lát cắt không phải MDS . . . . . . . . . . . 76 Bảng 3.4.8. Kết quả kiểm định bội trường hợp độ đo tuyến tính với 500 lát cắt mẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 Bảng 3.4.9. Kết quả kiểm định bội trường hợp độ đo phi tuyến với 15 lát cắt mẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 Bảng 3.5.1. Giả thiết hiệu martingale và giả thiết hiệu martingale yếu đa trị . 79
10 DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ Hình 3.3.1. Tăng trưởng quan sát (observations) theo ngày của tỉ giá đồng Euro (Euro), Canadian Dollar (Can), Pound (Pound), Japanese Yen (Yen) và Vietnamdong (VND) so với đồng US dollar. . . . . . . . . . 61 Hình 3.3.2. Tăng trưởng quan sát (observations) theo ngày của các chỉ số chứng khoán S&P500 (S&P500), Dow Jones Industrial Average (DJIA), Financial Times Stock Exchange 100 Index (FTSE), Hong Kong Hang Seng Index (HSI) và Vietnam Stock Index (VND). . . . . . . . . . . . 61 Hình 3.4.1. Phân phối thực nghiệm của tăng trưởng của tỉ giá ngoại tệ và chỉ số chứng khoán. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 Hình 3.4.2. Định nghĩa các biến ngẫu nhiên đa trị. . . . . . . . . . . . . . . 68 Hình 3.4.3. Tăng trưởng và lát cắt trung bình của EUR/USD (bên trên) và VND/USD (bên dưới). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Hình 3.4.4. Mô phỏng dãy martingale cho giá cổ phiếu . . . . . . . . . . . . 74 Hình 3.4.5. Mô phỏng dãy giá cổ phiếu có xu hướng ổn định . . . . . . . . . 75
11 MỞ ĐẦU 1. Tính cấp thiết của luận án Một trong ba giải Nobel kinh tế năm 2013 thuộc về Eugene F. Fama với các nghiên cứu của ông về thị trường tài chính mà nội dung chính là về lý thuyết thị trường hiệu quả (EMH). Một cách khái quát theo Fama trong [1], một thị trường tài chính được gọi là hiệu quả nếu giá cổ phiếu luôn luôn phản ánh lại đầy đủ mọi thông liên quan đến cổ phiếu. Tính hiệu quả ở đây bao hàm các đặc điểm sau cho thị trường: • Mọi thông tin Ft ảnh hưởng đến một cổ phiếu đều ngay lập tức phản ánh vào giá cổ phiếu yt của nó. • Giá hiện tại yt của cổ phiếu là xấp xỉ tốt nhất cho giá trị nội tại (giá thực tế) của cổ phiếu đó tại thời điểm hiện tại. • Giá cổ phiếu yt thay đổi là do những sự kiện không biết trước dẫn đến giá cổ phiếu có thể phản ánh sai giá trị nội tại (mispricing) của cổ phiếu. Điều này có nghĩa là rất khó (gần như không thể) dự báo được giá cổ phiếu trong ngắn hạn (từ vài ngày đến vài tuần) đối với một thị trường hiệu quả. Để kiểm định một thị trường hiệu quả, Fama [1] chia ra 3 dạng kiểm định bao gồm • Kiểm định yếu: Là kiểm định dựa trên lịch sử về giá của cổ phiếu. • Kiểm định nửa mạnh (semi-strong): Là kiểm định dựa trên các thông tin liên quan đến cổ phiếu mà được công khai bao gồm lịch sử giá cổ phiếu cũng như các thông tin về công ty như tách, gộp cổ phiếu (giữ nguyên vốn điều lệ); các thông báo tài chính; các thay đổi chính sách của công ty, v.v... • Kiểm định mạnh: Là kiểm định dựa trên mọi thông tin. Một trong các kiểm định giả thiết thống kê phổ biến liên quan đến kiếm định yếu cho thị trường hiệu quả là kiểm định martingale, nghĩa là E[yt+1 |Ft ] = yt (ở đây E là ký hiệu kỳ vọng của biến ngẫu nhiên). Do rất khó xây dựng công thức toán học
12 cho kiểm định martingale, các mô hình thống kê thường được xây dựng để kiểm định hiệu martingale (MDH) cho dãy tăng trưởng (returns) dt của cổ phiếu, nghĩa là E[dt+1 |Ft ] = 0, trong đó dt+1 = ln yt+1 − ln yt ≈ (yt+1 − yt )/yt . Đây cũng là đối tượng chính trong các nghiên cứu về EMH trong các thị trường tài chính [2]. Luận án này chỉ tập trung vào nghiên cứu dạng kiểm định yếu của thị trường hiệu quả thông qua MDH. Kiểm định MDH trong kiểm định yếu của thị trường hiệu quả thể hiện giá cổ phiếu dự báo tốt nhất cho ngày mai chính là giá hôm nay, nghĩa là các thông tin quá khứ và hiện tại về giá cổ phiếu không có giá trị sử dụng cho dự báo giá tương lai trong một hiệu martingale [3]. Hay nói cách khác, không thể dự báo được giá tương lai của cổ phiếu dựa trên giá lịch sử của nó đối với một hiệu martingale. Cụ thể, trong một không gian xác suất đầy đủ (Ω, F, P), một dãy biến ngẫu nhiên tương thích { fn , Fn , n ≥ 1} khả tích, được gọi là một martingale nếu E[ fn |Fn−1 ] = fn−1 h.c.c., nghĩa là ước lượng trung bình của giá trị ngày mai với điều kiện đã biết thông tin hôm nay chính là giá trị đã xảy ra hôm nay. Như vậy, martingale thể hiện trò chơi công bằng, mở rộng ra trong thị trường tài chính là dấu hiệu một thị trường hiệu quả (thị trường mà trong đó không thể dự đoán trước giá trị của nó [1] dựa trên giá lịch sử). Trong thống kê, kiểm định martingale được dùng để đánh giá khả năng dự đoán được của giá cổ phiếu dựa trên giá lịch sử của nó [4, 5, 6, 7]. Các tiêu chuẩn kiểm định MDH khác nhau phụ thuộc vào mối quan hệ khác nhau của thông tin lịch sử Fn−1 , Fn−2 , · · · được tìm thấy trong [3, 8]. Tuy nhiên, thực tế cho thấy có những thị trường được kiểm định ủng hộ MDH (tức là khó dự báo được giá của cổ phiếu) [3] nhưng các mô hình dự báo giá cổ phiếu trong ngắn hạn vẫn luôn được các nhà nghiên cứu phát triển và cho thấy mô hình sau tốt hơn mô hình trước. Đặc biệt là các mô hình dự báo dựa trên mô hình Markov ẩn (HMM) và mô hình chuỗi thời gian mờ (FTS) đang là xu thế mới [9, 10, 11, 12, 13, 14, 15]. Câu hỏi đặt ra là lý do nào khiến các mô hình này tỏ ra hiệu quả trong dự báo giá cổ phiếu đối với cả thị trường có nhiều bằng chứng ủng hộ EMH (theo nghĩa của kiểm định yếu)? Để trả lời câu hỏi này, ta tìm hiểu thêm về mô hình dự báo HMM và FTS, về bản chất như sau. Chia tập nền U của dãy giá trị cần dự báo {dt ,t ≥ 1} dưới dạng
13 u1 ∪ u2 ∪... ∪ uk , trong đó Ai , i = 1, · · · , k là các tập mờ đại diện cho các trạng |{z} |{z} |{z} A1 A2 Ak thái của dãy {dt }. Khi đó, dãy trạng thái D1 , D2 , ...Dt , ... là một dãy biến ngẫu nhiên đa trị nhận giá trị trong {A1 , A2 , · · · , Ak } tương ứng với dãy {dt }. Dựa vào các quan sát lịch sử, ma trận xác suất chuyển [pi j ] hay các luật mờ dạng  p ij Ai −→ Aj  fuzzy rules Ai −−−−−−→ A j , Ak , · · · được tìm thấy. Kết quả dự báo có được dựa vào phương pháp giải mờ từ các luật này. Mặt khác, các luật này chính là thể hiện xu hướng thay đổi của {dt }, do đó các mô hình dự báo này còn gọi là mô hình dự báo dựa trên xu hướng [16, 17]. Rõ ràng các luật này quyết định đến chất lượng dự báo. Do các luật này được tìm ra từ các thống kê lịch sử của dữ liệu huấn luyện (training data) nên các luật này có ổn định (theo nghĩa bất biến theo thời gian) trên một khoảng thời gian đủ dài cho dự báo hay không sẽ quyết định mô hình dự báo tốt hay không. Hơn nữa, kết quả thực nghiệm trong của Hossein Javedani Sadaei 2014 [12] cho thấy độ chính xác dự báo phụ thuộc vào xu hướng thay đổi của chuỗi thời gian. Như vậy, có một cách lý giải cho sự phù hợp của các mô hình dự báo dựa trên xu hướng đó là kiểm định MDH cho khả năng dự báo được của giá cổ phiếu không tương đồng với khả năng dự báo được của xu hướng. Do đó các mô hình dự báo dựa vào xu hướng cho kết quả tốt hơn các mô hình cổ điển (so sánh có trong các nghiên cứu liên quan [18, 19, 20, 21, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15]). Vì vậy, một nhu cầu tự nhiên nảy sinh là cần có một tiêu chuẩn kiểm định khả năng dự báo được của xu hướng của cổ phiếu tương tự như kiểm định khả năng dự báo được của giá cổ phiếu thông qua MDH. Ngoài ra, kiểm định MDH không chỉ là một kiểm định thống kê quan trọng của thị trường hiệu quả mà còn thể hiện một thị trường cân bằng (fair game). Luật mạnh số lớn (SLLN) cho hiệu martingale đơn trị {dn , n ≥ 1} [22] khẳng định lim 1n ∑ni=1 di → 0 còn hàm ý rằng đối với mội thị trường hiệu quả n→∞ (theo nghĩa kiểm định yếu), lợi nhuận trung bình thu được sau một thời gian dài là bằng 0. Điều đó nói nên thị trường đó là cân bằng [1]. Tuy nhiên, trong các mô hình dự báo này, xu hướng thay đổi của chuỗi thời gian tạo thành một dãy biến ngẫu nhiên đa trị (nhận giá trị là khoảng thực). Việc kiểm định khả năng dự báo được của xu hướng hay khả năng dự báo được của dãy biến ngẫu nhiên đa trị rõ ràng liên quan đến
14 lý thuyết về biến ngẫu nhiên đa trị. Đối với các nghiên cứu về biến ngẫu nhiên đa trị (nghĩa là biến ngẫu nhiên nhận giá trị là một tập hợp), có hai vấn đề chính đã được xây dựng và phát triển. Một là, để xây dựng các khái niệm tương tự biến ngẫu nhiên đơn trị như kỳ vọng, phương sai, moment thì định nghĩa tích phân cho hàm nhận giá trị tập cần được đề xuất. Hai là, không gian của biến ngẫu nhiên đa trị cần có tính chất gì và có những loại hội tụ nào đảm bảo các định lý giới hạn của nó như đối với các biến ngẫu nhiên đơn trị. Để giải quyết vấn đề thứ nhất, khái niệm về lát cắt (selection) khả tích của biến ngẫu nhiên đa trị [23, 24] được định nghĩa. Khái niệm lát cắt của biến ngẫu nhiên đa trị X trong không gian Banach khả li X ở đây về cơ bản được hiểu là một họ các biến ngẫu nhiên đơn trị F-đo được mà bao đóng của chúng bằng X với mọi ω ∈ Ω. Aumann [25] đã xây dựng loại tích phân mới mang tên ông để từ đó định nghĩa được kỳ vọng của biến ngẫu nhiên đa trị. Đối với vấn đề thứ hai, biến ngẫu nhiên đa trị được định nghĩa bởi một hàm tập F : Ω → K(X) với K(X) là họ tất cả các tập con đóng khác rỗng của không gian Banach X. Khi đó, các loại hội tụ trên K(X) được sử dụng cho sự hội tụ của các biến ngẫu nhiên đa trị gồm: hội tụ theo khoảng cách Hausdorff; hội tụ yếu (theo không gian đối ngẫu); hội tụ Wijsman (hội tụ điểm theo khoảng cách) và hội tụ theo nghĩa Mosco [26]. Các kết quả về các định lý giới hạn của các biến ngẫu nhiên đa trị đã đạt được nhiều thành tựu trong các năm qua. Trong [26], cuốn sách này đã trình bày lại chi tiết chứng minh luật số lớn và định lý giới hạn trung tâm cho các biến ngẫu nhiên đa trị độc lập cùng phân phối và không cùng phân phối hội tụ theo các dạng hội tụ trong không gian các tập con đóng của không gian Banach. Cũng giống như trong trường hợp đơn trị, các hướng nghiên cứu các định lý giới hạn trong trường hợp các biến ngẫu nhiên đa trị phụ thuộc phát triển mạnh mẽ. Định lý hội tụ của martingale đa trị đã được trình bày chứng minh chi tiết trong [26]. Luật số lớn cho mảng biến ngẫu nhiên đa trị và mảng biến ngẫu nhiên giá trị mờ độc lập cũng đã được mở rộng từ đơn trị trong [27]. Cho đến nay, mặc dù hầu hết các kết quả về các định lý giới hạn cho dãy biến ngẫu nhiên đơn trị đã được mở rộng và chứng minh trong trường hợp đa trị. Tuy nhiên, các kết quả tương ứng đối với hiệu martingale trong trường hợp đa trị vẫn chưa được nghiên cứu đầy đủ. Hay nói cách khác, chưa có cơ sở để kiểm định khả năng dự báo
15 được của một dãy biến ngẫu nhiên đa trị như đối với dãy biến ngẫu nhiên đơn trị (nghĩa là chưa có khái niệm và tính chất về hiệu martingale đa trị). Có những khó khăn nhất định trong việc mở rộng khái niệm hiệu martingale từ đơn trị lên đa trị, cụ thể có hai vấn đề gặp phải: (1) Định nghĩa hiệu martingale đa trị từ một martingale đa trị {Xn , Fn , n ≥ 1} bằng cách định nghĩa hiệu của hai biến ngẫu nhiên đa trị Dn = Xn − Xn−1 , D1 = {0} thì trong đa trị, ∑ni=1 Di 6= Xn . Do vậy các tính chất tương tự hiệu martingale đơn trị không còn đảm bảo. (2) Định nghĩa hiệu martingale đa trị bởi E[Dn |Fn−1 ] = {0} như trong biến ngẫu nhiên đơn trị thì theo [23], Định lý 2.1.72 khẳng định đối với dãy biến ngẫu nhiên đa trị {Dn , Fn , n ≥ 1} thỏa mãn E[Dn |Fn−1 ] = {0}, ∀n ≥ 2 (kỳ vọng theo tích phân Aumann) thì {Dn } = {ξn } trong đó {ξn } là dãy biến ngẫu nhiên đơn trị. Chính vì các vấn đề nêu trên, luận án tiến hành nghiên cứu dãy biến ngẫu nhiên đa trị {Dn , Fn , n ≥ 1} thỏa mãn 0 ∈ E[Dn |Fn−1 ], ∀n ≥ 2. Nếu dãy biến ngẫu nhiên nhận giá trị tập {Dn , Fn , n ≥ 1} thỏa mãn điều kiện trên thì có thể dự đoán rằng n 1 0 ∈ lim ∑ Di . Điều này có nghĩa Dn là các biến ngẫu nhiên nhận giá trị tập thì tổng n→∞ n i=1 của chúng theo thời gian luôn chứa 0. Nếu Dn được xét như trong bài toán dự báo FTS như trên thì điều này hàm ý một thị trường có xu hướng thay đổi một cách cân bằng. Hơn nữa, trong Chương 3 luận án sẽ chỉ ra có nhiều lớp bài toán liên quan đến dãy biến ngẫu nhiên đa trị thỏa mãn điều kiện này trong thực tế. Một cách giải thích khác cho sự hiệu quả của các mô hình dự báo giá cổ phiếu dựa trên xu hướng so với các mô hình dự báo cổ điển như đã nói ở trên là các tiêu chuẩn kiểm định MDH hiện có đều là các điều kiện cần cho MDH. Vì vậy việc chấp nhận hay bác bỏ MDH dựa trên kết quả của các kiểm định này có thể không phản ánh đúng thực tế khả năng dự báo được của nó, nhất là khả năng dự báo được của xu hướng của cổ phiếu. Cho đến nay vẫn chưa có tiêu chuẩn nào kiểm tra khả năng dự báo được của xu hướng của cổ phiếu tương tự như đối với tiêu chuẩn MDH trong kiểm định khả năng dự báo được của giá cổ phiếu. Luận án này đề xuất một phương pháp kiểm định
16 khả năng dự báo được của xu hướng của một chuỗi thời gian thông qua dãy biến ngẫu nhiên đa trị. Sự đúng đắn của phương pháp được khẳng định dựa trên dữ liệu mô phỏng và so sánh sự khác biệt với các tiêu chuẩn MDH trên dữ liệu thực tế. 2. Mục tiêu nghiên cứu Trên cơ sở những hướng nghiên cứu có thể phát triển và mở rộng đã đề xuất trong mục 1, đề tài luận án có mục tiêu chung cũng như mục tiêu cụ thể như sau: 2.1. Mục tiêu chung Nghiên cứu các khái niệm liên quan đến hiệu martingale trong trường hợp đa trị và chứng minh các định lý giới hạn liên quan đến hiệu martingale cho đa trị. Nghiên cứu các tiêu chuẩn kiểm định MDH hiện có và thực hiện một ứng dụng trong thống kê cho một số chỉ số tài chính, kinh tế. 2.2. Mục tiêu cụ thể Thứ nhất, nghiên cứu khái niệm hiệu martingale yếu đa trị cho dãy biến ngẫu nhiên đa trị theo nghĩa 0 ∈ E[Dn |Fn−1 ], ∀n ≥ 2 với {Dn , n ≥ 1} là một dãy biến ngẫu nhiên đa trị khả tích bị chặn (do cách định nghĩa hiệu martingale đa trị tương tự như hiệu martingale đơn trị không có ý nghĩa như đã nói ở trên). Chỉ ra các ví dụ thực tế liên quan đến hiệu martingale yếu đa trị đồng thời tìm hiểu các tính chất toán học của hiệu martingale yếu đa trị. Thứ hai, trên cơ sở lý thuyết đã được chứng minh tính đúng đắn ở nội dung thứ nhất, luận án sẽ sử dụng khái niệm hiệu martingale yếu đa trị để đánh giá tính cân bằng cũng như khả năng dự báo được của xu hướng thay đổi của cổ phiếu hoặc chỉ số kinh tế. So sánh sự khác biệt giữa kết quả kiểm định MDH cho khả năng dự báo được của giá cổ phiếu trong đơn trị với kiểm định WSMDH (kiểm định giả thiết hiệu martingale yếu đa trị) cho khả năng dự báo xu hướng của cổ phiếu trong đa trị. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 3.1. Đối tượng nghiên cứu • Nghiên cứu định lý giới hạn của martingale, hiệu martingale đơn trị, luật số lớn cho hiệu martingale đơn trị. Nghiên cứu các kết quả đã có trong trường hợp đa trị về luật số lớn cho dãy biến ngẫu nhiên đa trị độc lập, định lý giới hạn của
17 martingale đa trị. Từ đó làm cơ sở để mở rộng đối với hiệu martingale yếu đa trị. • Các tiêu chuẩn kiểm định giả thiết thống kê đối với hiệu martingale đơn trị làm cơ sở để mở rộng cho trường hợp đa trị. 3.2. Phạm vi nghiên cứu Luận án nghiên cứu các vấn đề trong phạm vi hẹp của của xác suất thống kê gồm luật số lớn trong cả đơn trị và đa trị cho dãy biến ngẫu nhiên độc lập, martingale, hiệu martingale. Về mặt ứng dụng, luận án tập trung nghiên cứu các tiêu chuẩn kiểm định giả thiết thống kê cho hiệu martingale như là một tiêu chuẩn kiểm định yếu của thị trường hiệu quả. 4. Phương pháp nghiên cứu Từ các kết quả đã có về các định lý giới hạn của các biến ngẫu nhiên đơn trị cũng như các kết quả đã có về biến ngẫu nhiên đa trị (luật mạnh số lớn cho dãy biến ngẫu nhiên độc lập, martingale đa trị), luận án sử dụng các lát cắt hiệu martingale để xây dựng và chứng minh định lý giới hạn cho hiệu martingale yếu đa trị. Cũng từ việc kiểm định giả thiết thống kê cho hiệu martingale đơn trị, thực hiện kiểm định này với các lát cắt của hiệu martingale yếu đa trị cho ta căn cứ để kết luận về giả thiết hiệu martingale yếu đa trị. 5. Đóng góp của luận án Các đóng góp của luận án tương ứng với hai mục tiêu nghiên cứu đã đề ra như sau: Thứ nhất, nghiên cứu hiệu martingale yếu đa trị và chứng minh được đặc trưng của nó là tập các lát cắt hiệu martingale của nó khác rỗng. Trong định lý này luận án cải tiến cách chứng minh của Fatima Ezzaki [28] đồng thời giảm nhẹ điều kiện áp đặt lên giả thiết hơn rất nhiều so với phát biểu của Ezzaki. Luận án cũng chứng minh một luật số lớn dạng Marcinkiewicz-Zygmund cho hiệu martingale yếu đa trị. Dạng này đã được George Stoica [29] chỉ ra việc đánh giá tốc độ hội tụ thuận tiện hơn luật số lớn dạng Brunk, đồng thời điều kiện áp đặt của luật số lớn dạng Marcinkiewicz-Zygmund cũng dễ kiểm tra hơn trong thực tiễn. Thứ hai, đề xuất một phương án kiểm định giả thiết hiệu martingale yếu đa trị
18 và áp dụng cho một số chuỗi thời gian trong tài chính nhằm đưa nhận định về khả năng dự báo được của xu hướng tăng trưởng của nó. Do các tiêu chuẩn kiểm định MDH hiện tại chỉ là điều kiện cần cho một dãy biến ngẫu nhiên là hiệu martingale nên nếu có một tập đủ lớn các lát cắt trong hiệu martingale yếu đa trị ủng hộ MDH thì độ tin cậy cho thị trường là hiệu quả theo nghĩa kiểm định yếu được củng cố. Ngược lại, nếu tồn tại tập đủ lớn các lát cắt mà bác bỏ MDH thì xu hướng thay đổi của chỉ số kinh tế hay tài chính đó có khả năng dự báo được. Từ kết quả thực nghiệm trên tập các lát cắt của biến ngẫu nhiên đa trị, luận án đã chỉ ra rằng có những chỉ số chứng khoán ủng hộ MDH nhưng bác bỏ WSMDH và ngược lại. Sự khác biệt này nói lên rằng tiêu chuẩn MDH không đại diện cho khả năng dự báo được của xu hướng tăng trưởng của cổ phiếu. Cũng có những chỉ số ủng hộ cả MDH và WSMDH. Thị trường như vậy củng cổ niềm tin vào một thị trường hiệu quả ở cả khả năng dự báo giá cổ phiếu lẫn khả năng dự báo xu hướng tăng trưởng của nó. Ngược lại, thị trường bác bỏ cả MDH và WSMDH củng cố thêm niềm tin vào thị trường kém hiệu quả hơn. Hơn nữa, kết quả kiểm định WSMDH cho khả năng dự báo được của xu hướng tăng trưởng của cổ phiếu giúp đưa ra gợi ý cho việc có nên sử dụng mô hình dự báo dựa trên xu hướng cho chỉ số chứng khoán hoặc kinh tế đang xét hay không. Nội dung và kết quả về luận án đã được báo cáo tại Hội thảo quốc gia “Một số vấn đề chọn lọc trong công nghệ thông tin và truyền thông” lần thứ XXII tại Thái Bình, tháng 6 năm 2019. Các công trình đã công bố liên quan đến luận án bao gồm: 01 bài báo công bố trên Tạp chí Tin học và Điều kiển học [A1]; 01 bài báo công bố trên tạp chí quốc tế (thuộc danh mục ESCI-ISI) [A2]; 02 báo cáo công bố trong hội thảo quốc gia Các vấn đề chọn lọc trong công nghệ thông tin và truyền thông [A3, A4]. 6. Cấu trúc của luận án Phần mở đầu trình bày tổng quan về các nội dung nghiên cứu của luận án bao gồm chỉ ra tính cấp thiết của đề tài luận án, một số hướng phát triển về khái niệm hiệu martingale trong đa trị và ứng dụng trong kiểm định thống kê trong kinh tế. Các nội dung chính của luận án được trình bày trong 3 chương còn lại. Nội dung của mỗi chương có thể tóm tắt lại như sau: