Luận án tiến sĩ Toán học: Một số dạng của định lý Ritt và ứng dụng vào vấn đề duy nhất

Chia sẻ: Phong Tỉ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:104

Thêm vào BST

Báo xấu

14
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận án được nghiên cứu với mục tiêu nhằm thiết lập một số định lý tương tự định lí của Ritt đối với hàm phân hình và đa thức vi phân, đa thức sai phân, đa thức q-sai phân trong trường hợp phức và p-adic.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận án tiến sĩ Toán học: Một số dạng của định lý Ritt và ứng dụng vào vấn đề duy nhất

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM PHẠM NGỌC HOA MỘT SỐ DẠNG CỦA ĐỊNH LÝ RITT VÀ ỨNG DỤNG VÀO VẤN ĐỀ DUY NHẤT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - NĂM 2018
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM PHẠM NGỌC HOA MỘT SỐ DẠNG CỦA ĐỊNH LÝ RITT VÀ ỨNG DỤNG VÀO VẤN ĐỀ DUY NHẤT Ngành: Toán Giải tích Mã số: 9 46 01 02 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: 1. TS. Vũ Hoài An 2. GS.TSKH Hà Huy Khoái THÁI NGUYÊN - NĂM 2018
i Líi cam oan Tæi xin cam oan ¥y l cæng tr¼nh nghi¶n cùu cõa tæi d÷îi sü h÷îng d¨n cõa GS.TSKH H Huy Kho¡i v TS Vô Ho i An. C¡c k¸t qu£ vi¸t chung vîi t¡c gi£ kh¡c ¢ ÷ñc sü nh§t tr½ cõa çng t¡c gi£ khi ÷a v o luªn ¡n. C¡c k¸t qu£ cõa luªn ¡n l mîi v ch÷a tøng ÷ñc cæng bè trong b§t ký cæng tr¼nh khoa håc cõa ai kh¡c. T¡c gi£ Ph¤m Ngåc Hoa
ii Líi c£m ìn Luªn ¡n ÷ñc thüc hi»n v ho n th nh t¤i khoa To¡n thuëc tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m - ¤i håc Th¡i Nguy¶n, d÷îi sü h÷îng d¨n tªn t¼nh v nghi¶m khc cõa GS. TSKH. H Huy Kho¡i v TS. Vô Ho i An. C¡c th¦y ¢ truy·n cho t¡c gi£ ki¸n thùc, kinh nghi»m håc tªp v sü say m¶ nghi¶n cùu khoa håc. Vîi t§m láng tri ¥n s¥u sc, t¡c gi£ xin b y tä láng bi¸t ìn ch¥n th nh v s¥u sc nh§t èi vîi hai th¦y. T¡c gi£ xin c£m ìn Ban Gi¡m èc ¤i håc Th¡i Nguy¶n, Ban o t¤o ¤i håc Th¡i Nguy¶n, Ban Gi¡m hi»u tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m- ¤i håc Th¡i Nguy¶n, c¡c Pháng Ban chùc n«ng, Pháng o t¤o, Ban chõ nhi»m khoa To¡n còng to n thº gi¡o vi¶n trong khoa, °c bi»t l tê Gi£i t½ch ¢ t¤o måi i·u ki»n thuªn lñi gióp ï t¡c gi£ trong qu¡ tr¼nh håc tªp nghi¶n cùu v ho n th nh luªn ¡n. T¡c gi£ xin ch¥n th nh c£m ìn Ban Gi¡m hi»u tr÷íng Cao ¯ng H£i D÷ìng, Pháng Ban chùc n«ng, Pháng o t¤o, c¡c gi£ng vi¶n trong Khoa Tü Nhi¶n ¢ t¤o måi i·u ki»n thuªn lñi gióp ï t¡c gi£ trong qu¡ tr¼nh håc tªp nghi¶n cùu v ho n th nh luªn ¡n. T¡c gi£ xin ch¥n th nh c£m ìn c¡c th¦y, cæ, b¤n b± trong c¡c Seminar t¤i Bë mæn To¡n Gi£i t½ch v To¡n ùng döng Tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m- ¤i håc Th¡i Nguy¶n, Tr÷íng ¤i håc Th«ng Long v Tr÷íng Cao ¯ng H£i D÷ìng ¢ luæn gióp ï, ëng vi¶n t¡c gi£ trong nghi¶n cùu khoa håc. T¡c gi£ xin b y tä láng bi¸t ìn tîi nhúng ng÷íi th¥n trong gia ¼nh, °c bi»t l chçng còng hai con trai, nhúng ng÷íi ¢ chàu nhi·u khâ kh«n, v§t v£ v d nh h¸t t¼nh c£m y¶u th÷ìng, ëng vi¶n, chia s´, kh½ch l» º t¡c gi£ ho n th nh ÷ñc luªn ¡n. T¡c gi£ Ph¤m Ngåc Hoa
iii Möc löc Líi cam oan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i Líi c£m ìn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii Möc löc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii Mð ¦u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Ch÷ìng 1. Hai ành lþ cõa Ritt v v§n · duy nh§t èi vîi a thùc vi ph¥n cõa h m ph¥n h¼nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1. Mët sè kh¡i ni»m v k¸t qu£ bê trñ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2. Hai ành lþ cõa Ritt èi vîi c¡c a thùc kiºu Fermat-Waring cõa c¡c h m ph¥n h¼nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3. ành lþ thù hai cõa Ritt v v§n · duy nh§t èi vîi a thùc vi ph¥n cõa h m ph¥n h¼nh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Ch÷ìng 2. ành lþ thù hai cõa Ritt v v§n · duy nh§t cõa a thùc vi ph¥n tr¶n mët tr÷íng khæng-Acsimet . . . . . . . . . . . . . 38 2.1. Mët sè kh¡i ni»m v k¸t qu£ bê trñ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.2. ành lþ thù hai cõa Ritt v v§n · duy nh§t cõa a thùc vi ph¥n tr¶n mët tr÷íng khæng-Acsimet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.3. ành lþ thù hai cõa Ritt v v§n · duy nh§t cõa a thùc vi ph¥n nhi·u bi¸n tr¶n mët tr÷íng khæng-Acsimet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Ch÷ìng 3. ành lþ thù hai cõa Ritt v v§n · duy nh§t èi vîi t½ch q-sai ph¥n, a thùc vi ph¥n cõa h m ph¥n h¼nh tr¶n mët tr÷íng khæng-Acsimet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3.1. Mët sè kh¡i ni»m v k¸t qu£ bê trñ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3.2. ành lþ thù hai cõa Ritt v v§n · duy nh§t èi vîi t½ch q-sai ph¥n cõa h m ph¥n h¼nh tr¶n mët tr÷íng khæng-Acsimet . . . . . . . . . . . . . 79 3.3. ành lþ thù hai cõa Ritt v v§n · duy nh§t cõa a thùc vi ph¥n v a thùc sai ph¥n tr¶n mët tr÷íng khæng-Acsimet . . . . . . . . . . . . . 85 K¸t luªn v ki¸n nghà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 Danh möc cæng tr¼nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 T i li»u tham kh£o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
1 Mð ¦u 1. Lþ do chån · t i ành lþ cì b£n cõa lþ thuy¸t sè ph¡t biºu r¬ng måi sè nguy¶n n ≥ 2 ·u biºu di¹n duy nh§t d÷îi d¤ng t½ch c¡c sè nguy¶n tè câ d¤ng n = pm mk 1 ...pk , vîi k ≥ 1, 1 ð â c¡c thøa sè nguy¶n tè p1 , ..., pk æi mët ph¥n bi»t v c¡c sè mô t÷ìng ùng m1 ≥ 1, ..., mk ≥ 1 ÷ñc x¡c ành mët c¡ch duy nh§t theo n. Ritt l ng÷íi ¦u ti¶n t÷ìng tü ành lþ n y èi vîi c¡c a thùc. º mæ t£ k¸t qu£ cõa Ritt, ta k½ hi»u M(C) (t÷ìng ùng, A(C)) l tªp c¡c h m ph¥n h¼nh (t÷ìng ùng, nguy¶n) tr¶n C v k½ hi»u L(C) l tªp c¡c a thùc bªc 1. °t E, F l c¡c tªp con kh¡c réng cõa M(C), khi â mët h m ph¥n h¼nh F (z) ÷ñc gåi l khæng ph¥n t½ch ÷ñc tr¶n E× F n¸u b§t ký c¡ch vi¸t th nh nh¥n tû F (z) = f ◦ g(z) vîi f (z) ∈ E v g(z) ∈ F ·u k²o theo ho°c f l tuy¸n t½nh ho°c g l tuy¸n t½nh. N«m 1922, Ritt [46] ¢ chùng minh ành lþ sau. ành lþ A (ành lþ thù nh§t cõa Ritt). Cho F l tªp con kh¡c réng cõa C[z] \ L(C). N¸u mët a thùc F (z) câ hai c¡ch ph¥n t½ch kh¡c nhau th nh c¡c a thùc khæng ph¥n t½ch ÷ñc tr¶n F× F : F = ϕ1 ◦ ϕ2 ◦ · · · ϕr = ψ1 ◦ ψ2 ◦ · · · ψs , th¼ r = s, v bªc cõa c¡c a thùc ψ l b¬ng vîi bªc cõa c¡c a thùc ϕ n¸u khæng t½nh ¸n thù tü xu§t hi»n cõa chóng. Công trong [46], Ritt ¢ chùng minh ành lþ sau. ành lþ B (ành lþ thù hai cõa Ritt). Gi£ sû r¬ng a, b, c, d ∈ C[x]\ C thäa m¢n a◦b = c◦d v gcd(deg(a); deg(c)) = gcd(deg(b); deg(d)) = 1. Khi â tçn t¤i c¡c h m tuy¸n t½nh lj ∈ C[x] sao cho (l1 ◦ a ◦ l2 , l2−1 ◦ b ◦ l3 , l1 ◦ c ◦ l2 , l4−1 ◦ d ◦ l3 ) câ mët trong c¡c d¤ng (Fn , Fm , Fm , Fn ) ho°c
2 (xn , xs h(xn ), xs h(x)n , xn ), ð â m, n > 0 l nguy¶n tè còng nhau, s > 0 nguy¶n tè còng nhau vîi n, v h ∈ C[x]\xC[x], lj−1 l h m ng÷ñc cõa lj , Fn , Fm l c¡c a thùc Chebychev. Ð ¥y, ph²p ph¥n t½ch F (z) = f ◦ g(z) ch½nh l ph²p hñp th nh F (z) = f (g(z)). Do â, ta th§y r¬ng ành lþ thù hai cõa Ritt mæ t£ c¡c nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh a(b) = c(d), ð â a, b, c, d l c¡c a thùc v bªc cõa c¡c a thùc l nguy¶n tè còng nhau. Rã r ng ph÷ìng tr¼nh a thùc ÷ñc Ritt nghi¶n cùu l tr÷íng hñp ri¶ng cõa ph÷ìng tr¼nh h m P (f ) = Q(g), ð â P, Q l c¡c a thùc v f, g l c¡c h m ph¥n h¼nh. Ph÷ìng tr¼nh h m P (f ) = Q(g) ¢ ÷ñc nghi¶n cùu bði nhi·u t¡c gi£ nh÷ T¤ Thà Ho i An-Nguy¹n Thà Ngåc Di»p [3], H.Fujimoto [19], H Huy Kho¡i-C.C.Yang [35], F.Pakovich [44], C.C.Yang-X.H.Hua [51], ... º þ r¬ng, ph÷ìng tr¼nh h m li¶n quan mªt thi¸t ¸n v§n · x¡c ành duy nh§t èi vîi h m ph¥n h¼nh-mët ùng döng cõa lþ thuy¸t ph¥n bè gi¡ trà. V§n · x¡c ành duy nh§t ¢ ÷ñc nghi¶n cùu l¦n ¦u ti¶n bði R.Nevanlinna. N«m 1926, R.Nevanlinna ¢ chùng minh ÷ñc r¬ng: Vîi hai h m ph¥n h¼nh f v g tr¶n m°t ph¯ng phùc C, n¸u chóng câ chung nhau £nh ng÷ñc (khæng t½nh bëi) cõa 5 iºm ph¥n bi»t th¼ f = g (ành lþ 5 iºm) v n¸u chóng câ chung nhau £nh ng÷ñc (câ t½nh bëi) cõa 4 af + b iºm ph¥n bi»t th¼ g = (a, b, c, d l c¡c sè phùc n o â sao cho cf + d ad − bc 6= 0)(ành lþ 4 iºm). Khði nguçn tø ành lþ 5 iºm v ành lþ 4 iºm, v§n · duy nh§t ¢ ÷ñc nghi¶n cùu li¶n töc vîi hai h÷îng nghi¶n cùu chõ y¸u v ¢ câ r§t nhi·u k¸t qu£ s¥u sc cõa G.Dethloff, é ùc Th¡i, M. Shirosaki, H.X.Yi, P.C.Hu-C.C.Yang, H Huy Kho¡i, H Huy Kho¡i-Vô Ho i An, H Huy Kho¡i-Vô Ho i An-L¶ Quang Ninh, T¤ Thà Ho i An, T¤ Thà Ho i An-H Tr¦n Ph÷ìng, L.Lahiri, Tr¦n V«n T§n, S¾ ùc Quang, A.Escassut, H.Fujimoto,... Ti¸p theo, sü nghi¶n cùu ÷ñc mð rëng sang mët nh¡nh cõa lþ thuy¸t x¡c ành duy nh§t â l xem x²t tªp x¡c ành duy nh§t cõa c¡c a thùc vi ph¥n. V ng÷íi ¦u ti¶n khði x÷îng cho h÷îng nghi¶n cùu n y l Hayman. N«m 1967, Hayman ¢ chùng minh mët k¸t qu£ nêi ti¸ng r¬ng mët h m ph¥n h¼nh f tr¶n tr÷íng sè phùc C khæng nhªn gi¡ trà 0 v ¤o h m bªc k cõa f , vîi k l sè nguy¶n d÷ìng, khæng nhªn gi¡ trà 1 th¼ f l h m h¬ng. Hayman công ÷a ra gi£ thuy¸t sau. Gi£n thuy¸t Hayman. [21] N¸u mët h m nguy¶n f thäa m¢n i·u ki»n f (z)f (z) = 0 6 1 vîi n l sè nguy¶n d÷ìng v vîi måi z ∈ C th¼ f l
3 h m h¬ng. Gi£ thuy¸t n y ¢ ÷ñc ch½nh Hayman kiºm tra vîi n > 1 v ÷ñc Clunie kiºm tra vîi n ≥ 1. C¡c k¸t qu£ n y v c¡c v§n · li¶n quan ¢ h¼nh th nh mët h÷îng nghi¶n cùu ÷ñc gåi l sü lüa chån cõa Hayman. Cæng tr¼nh quan trång thóc ©y h÷îng nghi¶n cùu n y thuëc v· Yang-Hua [51], hai æng ¢ nghi¶n cùu v§n · duy nh§t èi vîi h m ph¥n h¼nh v ìn thùc vi ph¥n cõa nâ câ d¤ng f n f 0 . Hai æng ¢ chùng minh ÷ñc r¬ng, vîi f v g l hai h m ph¥n h¼nh kh¡c h¬ng, n l sè nguy¶n, n ≥ 11 n¸u f n f 0 v g n g 0 còng nhªn gi¡ trà phùc a t½nh c£ bëi th¼ ho°c f, g sai kh¡c nhau mët c«n bªc n + 1 cõa ìn và, ho°c f, g ÷ñc t½nh theo c¡c cæng thùc cõa h m mô vîi c¡c h» sè thäa m¢n mët i·u ki»n n o â. Tø â, c¡c k¸t qu£ ti¸p theo ¢ nhªn ÷ñc düa tr¶n xem x²t c¡c a thùc vi ph¥n d¤ng (f n )(k) , [f n (f − 1)](k) (Bhoosnurmath - Dyavanal [10], Fang [18]) v câ d¤ng [f n (af m + b)](k) , [f n (f − 1)m ](k) (xem Zhang v Lin, [54]), v câ 0 0 d¤ng (f )( ) P (f ),( xem K. Boussaf- A. Escassut- J. Ojeda[11]). N«m 1997, thay v¼ nghi¶n cùu c¡c ¤o h m bªc n, I. Lahiri [36] ¢ nghi¶n cùu c¡c tr÷íng hñp têng qu¡t hìn cõa c¡c a thùc vi ph¥n khæng tuy¸n t½nh cõa c¡c h m ph¥n h¼nh nhªn gi¡ trà 1 t½nh c£ bëi. Theo h÷îng nghi¶n cùu n y, n«m 2002 C. Y. Fang v M. L. Fang [17] ¢ chùng minh r¬ng, n¸u n ≥ 13, v èi vîi hai h m ph¥n h¼nh kh¡c h¬ng f v g, m f (n) (f − 1)2 f 0 v g (n) (g − 1)2 g 0 nhªn gi¡ trà 1 t½nh c£ bëi, th¼ f = g. V o cuèi nhúng n«m cõa thªp k n y, v§n · nhªn gi¡ trà công ÷ñc xem x²t èi vîi a thùc sai ph¥n cõa c¡c h m nguy¶n v c¡c h m ph¥n h¼nh. Laine v Yang [37] ¢ nghi¶n cùu v§n · ph¥n bè gi¡ trà cõa t½ch sai ph¥n èi vîi c¡c h m nguy¶n. X. C.-Qi, L.-Z. Yang v K. Liu [45] xem x²t c¡c t½ch sai ph¥n v vi ph¥n câ d¤ng f (z)(n) f (z + c), v ¢ ch¿ ra i·u ki»n º f = tg , vîi f v g l hai h m nguy¶n si¶u vi»t câ bªc húu h¤n. N«m 2007, xu§t ph¡t tø ành lþ thù hai cõa Ritt, F.Packovich [43] câ þ t÷ðng x²t £nh ng÷ñc cõa hai tªp compact èi vîi hai a thùc. Æng ¢ t¼m ÷ñc i·u ki»n cho hai a thùc f1 , f2 v hai tªp compact K1 , K2 thäa m¢n f1−1 (K1 ) = f2−1 (K2 ). K¸t qu£ cõa F.Packovich ÷ñc inh Ti¸n C÷íng mð rëng trong [13], [14]. Tø ành lþ Ritt thù hai v k¸t qu£ cõa F.Pakovich nâi tr¶n chóng tæi câ nhªn x²t. Nhªn x²t. ành lþ Ritt thù hai câ thº ÷ñc xem l k¸t qu£ ¦u ti¶n v· v§n · x¡c ành h m tø ph÷ìng tr¼nh h m P (f ) = Q(g), tø â sinh ra c¡c k¸t qu£ cho V§n · x¡c ành a thùc thæng qua i·u ki»n £nh ng÷ñc cõa tªp hñp iºm. Tø nhªn x²t n y v c¡c k¸t qu£ v· ph÷ìng tr¼nh h m (xem [3], [35],
4 [44]) n¶u tr¶n, v§n · nghi¶n cùu ÷ñc °t ra tü nhi¶n nh÷ sau. V§n · 1. Xem x²t sü t÷ìng tü hai ành lþ Ritt èi vîi h m ph¥n h¼nh v a thùc vi ph¥n, a thùc sai ph¥n, a thùc q -sai ph¥n. V§n · 2. Xem x²t V§n · x¡c ành h m, V§n · duy nh§t èi vîi h m ph¥n h¼nh v a thùc vi ph¥n, a thùc sai ph¥n, a thùc q -sai ph¥n d÷îi gâc ë cõa c¡c ành lþ Ritt. Tø â, chóng tæi chån · t i: "Mët sè d¤ng cõa ành lþ Ritt v ùng döng v o v§n · duy nh§t" º gi£i quy¸t c¡c v§n · nghi¶n cùu tr¶n ¥y, çng thíi gâp ph¦n l m phong phó th¶m c¡c k¸t qu£ v ùng döng cõa Lþ thuy¸t Nevanlinna. 2. Möc ti¶u cõa luªn ¡n 2.1. Thi¸t lªp mët sè ành lþ t÷ìng tü hai ành lþ cõa Ritt èi vîi h m ph¥n h¼nh v a thùc vi ph¥n, a thùc sai ph¥n, a thùc q -sai ph¥n trong tr÷íng hñp phùc v p-adic. 2.2. Ti¸p cªn V§n · x¡c ành h m, V§n · duy nh§t èi vîi h m ph¥n h¼nh, a thùc vi ph¥n, a thùc sai ph¥n, a thùc q -sai ph¥n trong tr÷íng hñp phùc v p-adic d÷îi gâc ë cõa hai ành lþ Ritt. 3. èi t÷ñng v ph¤m vi nghi¶n cùu V§n · x¡c ành h m ph¥n h¼nh v a thùc vi ph¥n, a thùc sai ph¥n, a thùc q -sai ph¥n trong tr÷íng hñp phùc v p-adic d÷îi gâc ë cõa hai ành lþ Ritt. V§n · duy nh§t cõa h m ph¥n h¼nh v a thùc vi ph¥n, a thùc sai ph¥n, a thùc q -sai ph¥n trong tr÷íng hñp phùc v p-adic d÷îi gâc ë cõa hai ành lþ Ritt. 4. Ph÷ìng ph¡p v cæng cö nghi¶n cùu Sû döng hai ành lþ ch½nh v c¡c t÷ìng tü cõa chóng còng vîi c¡c kiºu Bê · Borel cõa Lþ thuy¸t ph¥n bè gi¡ trà º gi£i c¡c ph÷ìng tr¼nh h m. C¡c ph÷ìng tr¼nh h m n y t÷ìng tü nh÷ ph÷ìng tr¼nh h m trong ành lþ Ritt thù hai. Sû döng hai ành lþ ch½nh º chuyºn b i to¡n x¡c ành h m, b i to¡n duy nh§t v· ph÷ìng tr¼nh h m. Nhí â v c¡c k¸t qu£ v· ph÷ìng tr¼nh h m nâi tr¶n º ÷a ra c¡c k¸t qu£ v· V§n · x¡c ành h m v V§n · duy nh§t. 5. Þ ngh¾a khoa håc cõa luªn ¡n Luªn ¡n ¢ ÷a ra mët c¡ch ti¸p cªn mîi èi vîi V§n · x¡c ành, V§n
5 · duy nh§t cõa h m, a thùc vi ph¥n v a thùc sai ph¥n. â l , xem x²t c¡c v§n · n y d÷îi gâc ë cõa hai ành lþ Ritt. Nhí â thi¸t lªp ÷ñc c¡c k¸t qu£ mîi gâp ph¦n mð rëng th¶m c¡c ùng döng cõa Lþ thuy¸t Nevanlinna. 6. C§u tróc v k¸t qu£ cõa luªn ¡n Luªn ¡n gçm câ ba ch÷ìng còng vîi ph¦n mð ¦u, ph¦n k¸t luªn v t i li»u tham kh£o. Ch÷ìng 1 vîi tüa ·: "Hai ành lþ cõa Ritt v v§n · duy nh§t èi vîi a thùc vi ph¥n cõa h m ph¥n h¼nh". Trong ch÷ìng n y, chóng tæi nghi¶n cùu v§n · duy nh§t èi vîi a thùc vi ph¥n cõa h m ph¥n h¼nh. Nëi dung cõa Ch÷ìng 1 ÷ñc vi¸t düa tr¶n c¡c b i b¡o [5], [7], [29]. Vi»c nghi¶n cùu b i to¡n n y gçm c¡c b÷îc sau. B÷îc 1. Thi¸t lªp c¡c k¸t qu£ t÷ìng tü hai ành lþ Ritt èi vîi h m ph¥n h¼nh. B÷îc 2. Chuyºn b i to¡n duy nh§t v· ph÷ìng tr¼nh h m v dòng k¸t qu£ ð B÷îc 1. Nh÷ ta ¢ th§y ð tr¶n, ành lþ thù nh§t cõa Ritt ¢ chùng tä r¬ng: b§t ký hai sü ph¥n t½ch cõa mët a thùc cho tr÷îc th nh c¡c a thùc khæng ph¥n t½ch ÷ñc s³ chùa còng mët sè a thùc nh÷ nhau v bªc cõa c¡c a thùc trong méi c¡ch ph¥n t½ch l nh÷ nhau n¸u khæng t½nh ¸n thù tü cõa chóng trong c¡ch ph¥n t½ch. Tø â, möc ti¶u thù nh§t cõa Ch÷ìng 1 l : Thi¸t lªp k¸t qu£ t÷ìng tü ành lþ thù nh§t cõa Ritt cho h m ph¥n h¼nh. Tuy nhi¶n, ta th§y r¬ng, chùng minh cõa hai ành lþ cõa Ritt trong [46] d÷íng nh÷ khæng t÷ìng tü ÷ñc cho h m ph¥n h¼nh. Lþ do l ð ché, Ritt ¢ dòng ¸n i·u ki»n "húu h¤n" khæng iºm cõa a thùc trong chùng minh cõa æng. Khc phöc khâ kh«n n y, tr÷îc ti¶n chóng tæi thi¸t lªp ành lþ 1.2.2. ành lþ 1.2.2 ch½nh l mët kiºu ành lþ Ritt thù hai èi vîi ph÷ìng tr¼nh h m P (f1 , f2 ) = Q(g1 , g2 ), ð â P, Q l c¡c a thùc hai bi¸n kiºu Yi v f1 , f2 , g1 , g2 l c¡c h m nguy¶n. Chó þ r¬ng, k¸t qu£ n y ¢ ÷ñc ph¡t biºu v chùng minh trong [2] v [32], tuy nhi¶n ð ¥y chóng tæi nh¼n k¸t qu£ n y d÷îi gâc ë cõa ành lþ Ritt thù hai v ÷a ra mët c¡ch chùng minh kh¡c. Nhí ¡p döng ành lþ 1.2.2 v c¡c h» qu£ chóng tæi chùng minh ÷ñc ành lþ 1.2.5, ch½nh l mët k¸t qu£ t÷ìng tü ành lþ Ritt thù nh§t èi vîi h m ph¥n h¼nh. Trong Ch÷ìng 1 cán tr¼nh b y c¡c ùng döng cõa ành lþ 1.2.2 â l ành lþ 1.3.1 v ành lþ 1.3.2, c¡c ành lþ n y cho ta c¡c k¸t qu£ mîi v· Bi − U RSM cho c¡c h m ph¥n h¼nh. º þ r¬ng, v§n · duy nh§t èi vîi a thùc vi ph¥n d¤ng (P (f ))(k) , ð â P l a thùc v f l h m ph¥n h¼nh, l mët b i to¡n khâ. Khâ kh«n ð ¥y l trong tr÷íng hñp têng qu¡t hi»n ch÷a câ mët mèi li¶n h» tèt giúa h m
6 ¸m, h m °c tr÷ng cõa f vîi h m ¸m v h m °c tr÷ng cõa (P (f ))(k) . V¼ vªy, c¡c k¸t qu£ nhªn ÷ñc ¢ x²t mët sè tr÷íng hñp ri¶ng cõa b i to¡n n y. â l c¡c d¤ng: [f n (f −1)m ](k) vîi f l h m nguy¶n (xem [54]), (f n )(k) vîi f l h m ph¥n h¼nh (xem [10]). Chóng tæi ¢ gi£m bît khâ kh«n n y èi vîi a thùc vi ph¥n d¤ng (P d (f ))(k) . Tø â v dòng c¡c kiºu t÷ìng tü cõa ành lþ ch½nh thù hai (Bê · 1.1.5) chóng tæi nhªn ÷ñc ành lþ 1.3.10, â l mët k¸t qu£ v· tªp x¡c ành duy nh§t èi vîi a thùc vi ph¥n. Ch÷ìng 2 vîi tüa ·: "ành lþ thù hai cõa Ritt v v§n · duy nh§t cõa a thùc vi ph¥n nhi·u bi¸n tr¶n mët tr÷íng khæng-Acsimet". Trong Ch÷ìng 2, chóng tæi nghi¶n cùu V§n · 2: V§n · x¡c ành, V§n · duy nh§t cõa h m ph¥n h¼nh v a thùc vi ph¥n, a thùc sai ph¥n, a thùc q -sai ph¥n trong tr÷íng hñp p-adic d÷îi gâc ë cõa ành lþ Ritt thù hai. Nëi dung ch½nh cõa Ch÷ìng 2 ÷ñc vi¸t düa tr¶n c¡c b i b¡o [4], [5], [7]. Nh÷ ¢ · cªp ¸n ð tr¶n, v§n · x¡c ành h m ph¥n h¼nh v v§n · duy nh§t cõa c¡c a thùc vi ph¥n công ¢ ÷ñc nghi¶n cùu v câ c¡c k¸t qu£ thó và trong tr÷íng hñp p-adic. Trong [31], Kho¡i, An v Lai ¢ nghi¶n cùu a thùc vi ph¥n d¤ng (f n )(k) v nhªn ÷ñc k¸t qu£: n¸u (f n )(k) v (g n )(k) nhªn chung gi¡ trà 1 câ t½nh bëi vîi f, g l hai h m ph¥n h¼nh kh¡c h¬ng tr¶n mët tr÷íng khæng-Acsimet v n, k l c¡c sè nguy¶n d÷ìng thäa m¢n n ≥ 3k + 8 th¼ f v g sai kh¡c nhau mët c«n bªc n cõa ìn và. Tø â, b i to¡n thù nh§t °t ra trong Ch÷ìng 2 l : thay v¼ x²t c¡c h m f, g , chóng tæi xem x²t c¡c to¡n tû vi ph¥n d¤ng (P n (f ))(k) v (Qn (g))(k) nhªn còng mët gi¡ trà, ð â P, Q l c¡c a thùc kiºu Fermat-Waring. Tø â, chóng tæi thi¸t lªp ÷ñc ành lþ 2.2.7, ành lþ n y l mët k¸t qu£ v· v§n · x¡c ành duy nh§t h m ph¥n h¼nh tr¶n mët tr÷íng khæng-Acsimet v a thùc vi ph¥n cõa nâ. Chó þ r¬ng i·u ki»n n ≥ 3k + 5 trong ành lþ 2.2.7 l tèt hìn i·u ki»n t÷ìng ùng n ≥ 3k + 8 trong k¸t qu£ cõa Kho¡i-An-Lai (xem [31]). Trong [49] Yang ¢ °t ra v§n · sau: li»u ¯ng thùc f −1 (S) = g −1 (S) vîi S = {−1, 1} èi vîi c¡c a thùc còng bªc f, g s³ k²o theo f = g hay l f = −g ? C¥u häi n y công ¢ ÷ñc gi£i ¡p trong [42], [43]. Tø â, c¥u häi thù hai °t ra trong Ch÷ìng 2 l : cho S, T l c¡c tªp khæng iºm cõa c¡c a thùc P (z), Q(z) t÷ìng ùng th¼ ta câ thº k¸t luªn g¼ v· f, g n¸u Ef (S) = Eg (T )?. ành lþ 2.2.8 còng c¡c h» qu£ 2.2.9 v 2.2.10 ¢ gi£i ¡p cho c¥u häi °t ra v gâp ph¦n tr£ líi C¥u häi cõa C.C.Yang trong [38], C¥u häi cõa F.Pakovich trong [44] trong tr÷íng hñp p-adic. Trong Ch÷ìng 2 chóng tæi công thi¸t lªp ÷ñc c¡c k¸t qu£ l ành lþ 2.3.2, mët kiºu ành lþ Ritt thù hai cho mët vec-tì c¡c h m nguy¶n p-adic. ành lþ 2.3.7 l k¸t qu£ cho V§n · duy nh§t cõa a thùc vi ph¥n nhi·u bi¸n p-adic.
7 Ch÷ìng 3 câ t¶n gåi: "ành lþ thù hai cõa Ritt v v§n · duy nh§t èi vîi t½ch q-sai ph¥n, a thùc vi ph¥n cõa h m ph¥n h¼nh tr¶n mët tr÷íng khæng-Acsimet". Trong Ch÷ìng 3 chóng tæi nghi¶n cùu V§n · 3 d÷îi gâc ë ành lþ thù hai cõa Ritt. Nëi dung cõa Ch÷ìng 3 ÷ñc vi¸t düa tr¶n c¡c b i b¡o [6], [22]. Trong tr÷íng hñp phùc, chõ · n y ÷ñc nghi¶n cùu g¦n ¥y v ang ÷ñc ti¸p töc bði C.Y.Fang-M.L.Fang ([17]), I.Lahiri ([36]), Laine-Yang ([37]), Liu-Cao ([39]), X.C.Qi, L.Z.Yang-K.Liu ([45]), C.C.Yang ([50]), H.X.Yi ([52]),... Tuy nhi¶n, c¡c k¸t qu£ mîi ch¿ · cªp ¸n lîp h m ph¥n h¼nh câ bªc húu h¤n èi vîi t½ch sai ph¥n ho°c bªc khæng èi vîi t½ch q -sai ph¥n. R§t nhi·u k¸t qu£ thó và công ¢ nhªn ÷ñc èi vîi c¡c h m ph¥n h¼nh tr¶n mët tr÷íng khæng-Acsimet (xem [9], [16], [27], [28], [30], [41]). K.Boussaf, A. Escassut, J. Ojeda ([11]) ¢ nghi¶n cùu v§n · duy nh§t 0 0 0 0 èi vîi c¡c h m ph¥n h¼nh p-adic m f P (f ), g P (g) còng nhªn mët h m nhä. Trong [9], J.-P. Bezivin, K. Boussaf v A. Escassut, ¢ nghi¶n cùu c¡c khæng iºm cõa ¤o h m mët h m ph¥n h¼nh p-adic. Möc ½ch cõa Ch÷ìng 3 l thi¸t lªp c¡c k¸t qu£ èi vîi V§n · duy nh§t cõa t½ch q -sai ph¥n d¤ng f n f m (qz + c), cõa a thùc vi ph¥n v q -sai ph¥n d¤ng (f nm (z)f nd (qz + c))(k) . Vô Ho i An-Ph¤m Ngåc Hoa [4], Vô Ho i An-Ph¤m Ngåc Hoa-H Huy Kho¡i [6], Vô Ho i An-H Huy Kho¡i [28] ¢ câ c¡c k¸t qu£ theo h÷îng nghi¶n cùu n y. Chó þ r¬ng, t½ch q -sai ph¥n v a thùc vi ph¥n n¶u tr¶n ch÷a ÷ñc · cªp trong tr÷íng hñp phùc. Lþ do l ð ché, mèi li¶n h» giúa h m °c tr÷ng cõa h m ph¥n h¼nh f v h m °c tr÷ng cõa h m ph¥n h¼nh f (qz + c) câ thº khæng thi¸t lªp ÷ñc trong tr÷íng hñp phùc. Nâ ch¿ thi¸t lªp ÷ñc trong tr÷íng hñp p-adic do t½nh ch§t °c bi»t cõa chu©n p-adic. Dòng Bê · 3.1.2, 3.1.6 (c¡c kiºu cõa ành lþ ch½nh thù hai cho h m ph¥n h¼nh p-adic) v c¡c Bê · kÿ thuªt kh¡c chóng tæi thu ÷ñc ành lþ 3.2.7, ành lþ 3.3.4 cho V§n · 3. ành lþ 3.2.7 l mët k¸t qu£ cho V§n · duy nh§t cõa t½ch q -sai ph¥n cõa h m ph¥n h¼nh p-adic. ành lþ 3.3.4 l mët k¸t qu£ cho V§n · duy nh§t cõa t½ch q -sai ph¥n, a thùc vi ph¥n trong tr÷íng hñp p-adic. C¡c k¸t qu£ trong luªn ¡n ÷ñc b¡o c¡o t¤i Hëi th£o quèc t¸ v· gi£i t½ch phùc v ùng döng l¦n thù 20 t¤i H Nëi ng y 29/07-3/08/2012; Hëi nghà To¡n håc phèi hñp Vi»t-Ph¡p, Hu¸ 20-24/08/2012; ¤i hëi To¡n håc Vi»t Nam l¦n thù 8, Nha Trang 10-14/08/2013; Hëi nghà ¤i sè- H¼nh håc- Topo, Buæn Ma Thuët ng y 26-30/10/2016; C¡c Seminar cõa Bë mæn Gi£i t½ch, khoa To¡n - tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m - ¤i håc Th¡i Nguy¶n; C¡c
8 Seminar cõa nhâm nghi¶n cùu t¤i tr÷íng ¤i håc Th«ng Long v tr÷íng Cao ¯ng H£i D÷ìng.
9 Ch÷ìng 1 Hai ành lþ cõa Ritt v v§n · duy nh§t èi vîi a thùc vi ph¥n cõa h m ph¥n h¼nh Trong ch÷ìng 1 chóng tæi nghi¶n cùu v§n · duy nh§t cõa h m ph¥n h¼nh b¬ng c¡ch c£i ti¸n hai ành lþ cõa Ritt cho phò hñp vîi ho n c£nh n y. Muèn vªy, tr÷îc h¸t chóng tæi thi¸t lªp ành lþ 1.2.2 nh÷ l mët kiºu ành lþ thù hai cõa Ritt. Tø â, chóng tæi nhªn ÷ñc ành lþ 1.2.5 v ành lþ 1.3.2. ành lþ 1.2.5 l mët kiºu ành lþ thù nh§t cõa Ritt. ành lþ 1.3.2 l mët k¸t qu£ èi vîi v§n · Bi − U RSM . Ti¸p theo, chóng tæi thi¸t lªp ành lþ 1.3.3. ¥y l mët k¸t qu£ v· tªp x¡c ành duy nh§t èi vîi h m ph¥n h¼nh. Tø â, dòng Bê · 1.1.5 (mët t÷ìng tü cõa ành lþ ch½nh thù hai) v dòng c¡c ph÷ìng tr¼nh h m (t÷ìng tü ph÷ìng tr¼nh m Ritt xem x²t) chóng tæi nhªn ÷ñc ành lþ 1.3.10- mët k¸t qu£ v· V§n · duy nh§t cho a thùc vi ph¥n. 1.1. Mët sè kh¡i ni»m v k¸t qu£ bê trñ Tr÷îc h¸t, chóng tæi nhc l¤i c¡c kþ hi»u v kh¡i ni»m cì b£n còng vîi c¡c k¸t qu£ bê trñ dòng trong Ch÷ìng 1 (xem [1]). Gi£ sû f l h m ph¥n h¼nh kh¡c h¬ng tr¶n C. Vîi méi a ∈ C, ta ành ngh¾a h m νfa : C → N x¡c ành bði n¸u f (z) 6= a 0 νfa (z) = , d n¸u f (z) = a vîi bëi d v °t νf∞ = ν 01 . Ta ành ngh¾a h m ν af : C → N x¡c ành bði ν af (z) = f
10 n o min νf (z), 1 , v °t ν ∞ a f = ν 1 . °t 0 f Zr X 1 dx N (r, )= ( νfa (z) − νfa (0)) − νfa (0) log r; f −a x 0 |z|≤t 1 N (r, f ) = N (r, ). f r 1 dx Z X N (r, )= ( ν af (z) − ν af (0)) − ν af (0) log r; f −a x 0 |z|≤t 1 N (r, f ) = N (r, ). f Gi£ sû m l sè nguy¶n d÷ìng. Vîi méi a ∈ C ∪ {∞} , ta x¡c ành h m a νf,m) tø C ∪ {∞} ¸n N cho bði n¸u νfa (z) > m a 0 νf,m) (z) = . νfa (z) n¸u νfa (z) ≤ m °t νf,m) ∞ = ν 01 m) . X¡c ành h m ν af,m) : C ∪ {∞} → N x¡c ành bði f, n o ν f,m) (z) = min νf,m) (z), 1 , v °t ν ∞ a a 0 f,m) = ν 1 ,m) . f Ta công câ c¡c h m ¸m Nm) (r, 1 1 f −a ), Nm) (r, f ), N m) (r, f ), N m) (r, f −a ) x¡c ành bði Zr X 1 a a dx a Nm) (r, )= ( νf,m) (z) − νf,m) (0)) − νf,m) (0) log r; f −a x 0 |z|≤t 1 Nm) (r, f ) = Nm) (r, ). f r 1 dx Z X N m) (r, )= ( ν af,m) (z) − ν af,m) (0)) − ν af,m) (0) log r; f −a x 0 |z|≤t 1 N m) (r, f ) = N m) (r, ). f T÷ìng tü ta ành ngh¾a νf,(m a x¡c ành bði n¸u νfa (z) < m a 0 νf,(m (z) = , νfa (z) n¸u νfa (z) ≥ m
11 v °t νf,(m ∞ = ν 01 ,(m . Ta ành ngh¾a h m ν af,(m : C ∪ {∞} → N x¡c ành f n o bði ν f,(m (z) = min ν f,(m (z), 1 , v °t ν ∞ a a 0 f,(m = ν 1 ,(m . f Ta công ành ngh¾a t÷ìng tü c¡c h m ¸m 1 1 N(m (r, ), N(m (r, f ), N (m (r, f ), N (m (r, ). f −a f −a Ta ành ngh¾a 1 R2π + m(r, f ) = log |f (reiθ )|dθ, 2π 0 T (r, f ) = N (r, f ) + m(r, f ). Ta câ c¡c Bê · sau (xem trong [20]). Bê · 1.1.1. (ành lþ cì b£n thù hai) Cho f l h m ph¥n h¼nh kh¡c h¬ng tr¶n C v a1 , a2 , . . . , aq l c¡c iºm ph¥n bi»t trong C ∪ {∞}. Khi â q P 1 (q − 2)T (r, f ) ≤ N1 (r, ) + S(r, f ) i=1 f − ai trong â S(r, f ) = 0(Tf (r)) vîi måi r trø ra mët tªp câ ë o Lebesgue húu h¤n. H» qu£ 1.1.2. Cho f l h m ph¥n h¼nh kh¡c h¬ng tr¶n C v a1, a2, . . . , aq l c¡c iºm ph¥n bi»t trong C ∪ {∞}. Gi£ sû f − ai khæng câ khæng iºm ho°c f − ai câ khæng iºm bëi ½t nh§t mi , i = 1, . . . , q . Khi â q X 1 1− ≤ 2. i=1 m i Ta nhc l¤i c¡c kh¡i ni»m sau. Mët a thùc kh¡c h¬ng P (z) ∈ C[z] ÷ñc gåi l a thùc duy nh§t cho c¡c h m ph¥n h¼nh tr¶n C n¸u vîi måi c°p h m ph¥n h¼nh f, g kh¡c h¬ng tr¶n C thäa m¢n P (f ) = P (g), ta câ f = g. T÷ìng tü, a thùc kh¡c h¬ng P (z) ∈ C[z] ÷ñc gåi l a thùc duy nh§t m¤nh cho c¡c h m ph¥n h¼nh, n¸u vîi b§t ký c°p f, g l c¡c h m ph¥n h¼nh kh¡c h¬ng tr¶n C v h¬ng sè c 6= 0 thäa m¢n P (f ) = cP (g), ta câ f = g. a thùc duy nh§t (t÷ìng ùng, duy nh§t m¤nh) èi vîi c¡c h m ph¥n h¼nh vi¸t tt l U P M (t÷ìng ùng, SU P M ).
12 Kþ hi»u M(C) l tr÷íng c¡c h m ph¥n h¼nh tr¶n C. Vîi f ∈ M(C) v S ⊂ C ∪ {∞}, ta ành ngh¾a [ (z, νfa (z)) : z ∈ C . Ef (S) = a∈S N¸u trong ành ngh¾a tr¶n, ta thay νfa (z) bði ν af (z) (khæng t½nh bëi) th¼ ta k½ hi»u tªp nhªn ÷ñc l E f (S)(£nh ng÷ñc cõa S ). Gi£ sû m l mët sè nguy¶n d÷ìng ho°c ∞, ta ành ngh¾a [n o a Ef,m) (S) = (z, νf,m) (z)) : z ∈ C . a∈S Chó þ r¬ng, n¸u m = ∞ th¼ Ef,∞) (S) = Ef (S) v n¸u m = 1, th¼ Ef,1) (S) ⊂ E f (S). Gi£ sû F l tªp con kh¡c réng cõa M(C). Hai h m f, g cõa F gåi l nhªn S t½nh bëi, (nhªn S CM ), n¸u Ef (S) = Eg (S) v nhªn S khæng t½nh bëi, (nhªn S IM), n¸u E f (S) = E g (S). Cho tªp S ⊂ C ∪ {∞}. N¸u Ef (S) = Eg (S) k²o theo f = g vîi hai h m ph¥n h¼nh (t÷ìng ùng, h m nguy¶n) kh¡c h¬ng f, g th¼ S gåi l tªp x¡c ành duy nh§t èi vîi h m ph¥n h¼nh (t÷ìng ùng, h m nguy¶n) vi¸t tt l U RSM (t÷ìng ùng, U RSE ). Mët tªp S ⊂ C ∪ {∞} gåi l tªp x¡c ành duy nh§t èi vîi h m ph¥n h¼nh (t÷ìng ùng, h m nguy¶n) khæng t½nh bëi, kþ hi»u U RSM − IM (t÷ìng ùng, U RSE − IM ), n¸u E f (S) = E g (S) k²o theo f = g . Mët tªp S ⊂ C ∪ {∞} gåi l U RSMm) ( t÷ìng ùng, U RSEm) ) n¸u vîi b§t k¼ hai h m ph¥n h¼nh (h m nguy¶n) f, g tho£ m¢n i·u ki»n Ef,m) (S) = Eg,m) (S) k²o theo f = g. Hai tªp S1 , S2 ⊂ C ∪ {∞} ÷ñc gåi l Bi − U RSM (t÷ìng ùng, Bi − U RSE ), n¸u vîi b§t k¼ hai h m ph¥n h¼nh (t÷ìng ùng, h m nguy¶n) f, g tho£ m¢n i·u ki»n Ef (Si ) = Eg (Si ), i = 1, 2 k²o theo f = g. Ta câ c¡c k¸t qu£ sau. Bê · 1.1.3. [24] (Bê · ¤o h m Logarit ) Cho f l h m ph¥n h¼nh kh¡c h¬ng tr¶n C . Khi â vîi méi sè nguy¶n k, v måi r < p ta câ (k) ν r, f f ≤ r1k , °c bi»t ! (k) f m r, ≤ S(r, f ). f
13 Bê · 1.1.4. [24] Cho f v g l c¡c h m ph¥n h¼nh kh¡c h¬ng tr¶n C. N¸u Ef (1) = Eg (1) th¼ mët trong ba h» thùc sau l óng: 1. T (r, f ) ≤ N2 (r, f ) + N2 (r, f1 ) + N2 (r, g) + N2 (r, g1 ) + S(r, f ) + S(r, g), B§t ¯ng thùc t÷ìng tü x£y ra èi vîi T (r, g); 2. f g ≡ 1; 3. f ≡ g. Bê · 1.1.5. [24] Cho f v g l c¡c h m ph¥n h¼nh kh¡c h¬ng tr¶n C. N¸u E f (1) = E g (1), th¼ mët trong ba tr÷íng hñp sau ¥y l óng: 1. 1 1 T (r, f ) ≤N2 (r, f ) + N2 r, + N2 (r, g) + N2 r, f g 1 + 2 N1 (r, f ) + N1 r, f 1 + N1 (r, g) + N2 r, + S(r, f ) + S(r, g), g B§t ¯ng thùc t÷ìng tü x£y ra èi vîi T (r, g); 2. f g ≡ 1; 3. f ≡ g. Bê · 1.1.6. [48] Cho xd−q i Di (x1 , x2 , . . . , xN +1 ) vîi 1 ≤ i ≤ N + 1 l c¡c i a thùc thu¦n nh§t bªc d x¡c ành c¡c si¶u m°t câ và tr½ têng qu¡t trong P N (C). Gi£ sû tçn t¤i ÷íng cong ch¿nh h¼nh f tø C v o PN (C) vîi biºu di¹n rót gån l f˜ = (f1 : · · · : fN +1 )sao cho £nh cõa nâ n¬m trong ÷íng cong ÷ñc x¡c ành bði N X +1 N X +1 xd−q i i Di (x1 , x2 , . . . , xN +1 ) = 0, d ≥ N + 2 qi . i=1 i=1 Khi â c¡c a thùc d−qN +1 xd−q 1 1 D1 (x1 , x2 , . . . , xN +1 ), . . . , xN DN +1 (x1 , x2 , . . . , xN +1 ) phö thuëc tuy¸n t½nh tr¶n £nh cõa f . Bê · 1.1.7. [40] Cho d, n ∈ N∗, d ≥ n2, ai, i = 1, ..., n + 1, l c¡c h¬ng sè kh¡c khæng thuëc C, v f1 , ..., fn+1 l c¡c h m nguy¶n tr¶n C, khæng çng nh§t khæng v thäa m¢n i·u ki»n a1 f1d + a2 f2d + ... + an+1 fn+1 d = 0. Khi â tçn t¤i mët ph¥n ho¤ch cõa c¡c ch¿ sè, {1, ..., n + 1} = ∪Iv , thäa m¢n i. Méi Iv ·u chùa ½t nh§t 2 ch¿ sè; ii. Vîi j, i ∈ Iv ; ta câ fi = cij fj , ð â cij l h¬ng sè kh¡c khæng.
14 1.2. Hai ành lþ cõa Ritt èi vîi c¡c a thùc kiºu Fermat-Waring cõa c¡c h m ph¥n h¼nh X²t c¡c a thùc thu¦n nh§t hai bi¸n kiºu Fermat-Waring ÷ñc x¡c ành bði P (z1 , z2 ) = cz1n + dz1n−m z2m + ez2n , Q(z1 , z2 ) = uz1n + vz1n−m z2m + tz2n . Cho f1 , f2 , g1 , g2 l c¡c h m nguy¶n. Trong möc n y, chóng tæi x²t ph÷ìng tr¼nh h m P (f1 , f2 ) = Q(g1 , g2 ) d÷îi gâc ë ành lþ thù hai cõa Ritt. Tr÷îc h¸t chóng tæi c¦n câ bê · sau. Bê · 1.2.1. [2] Cho n, n1, n2, . . . , nq ∈ N∗ , a1 , a2 , . . . , aq l c¡c iºm q n i ph¥n bi»t cõa C, c ∈ C, c 6= 0 v q > 2 + . Khi â c¡c ph÷ìng tr¼nh P i=1 n h m (f − a1 )n1 (f − a2 )n2 . . . (f − aq )nq = cg n , (1.1) (f − a1 )n1 (f − a2 )n2 . . . (f − aq )nq g n = c (1.2) khæng câ nghi»m ph¥n h¼nh kh¡c h¬ng (f, g). ành lþ sau l mët k¸t qu£ t÷ìng tü ành lþ thù hai cõa Ritt. Chó þ r¬ng, k¸t qu£ n y ¢ ÷ñc · cªp ¸n trong Kho¡i-An-Ninh [32] v trong [2]. Tuy nhi¶n, ð ¥y chóng tæi nh¼n k¸t qu£ n y d÷îi gâc ë ành lþ thù hai cõa Ritt v ÷a ra mët c¡ch chùng minh kh¡c. ành lþ 1.2.2. Cho n, m ∈ N∗, n ≥ 2m + 9, v c, d, e, u, v, t ∈ C l c¡c h¬ng sè kh¡c khæng. Gi£ sû ho°c m ≥ 2, (m, n) = 1 ho°c m ≥ 4; f1 , f2 , g1 , g2 l c¡c h m nguy¶n khæng çng nh§t khæng, ff21 v gg12 l c¡c h m ph¥n h¼nh kh¡c h¬ng thäa m¢n cf1n + df1n−m f2m + ef2n = ug1n + vg1n−m g2m + tg2n . (1.3) Khi â ta câ g1 = hf1 , g2 = lf2 , vîi h, l l c¡c h¬ng sè thäa m¢n c¡c i·u ki»n: c n−m m d n e hn = , h l = , l = . u v t
15 Chùng minh. Tø (1.3) ta câ cf1n + df1n−m f2m + ef2n − ug1n − vg1n−m g2m − tg2n = 0, (1.4) v do â ef2n + f1n−m (cf1m + df2m ) − tg2n − g1n−m (ug1m + vg2m ) = 0. (1.5) Chó þ r¬ng exn1 , xn−m 2 (cxm m n 2 + dx1 ), −tx3 , −x4 n−m (uxm 4 + vx3 ) l c¡c a m thùc thu¦n nh§t bªc n ð và tr½ têng qu¡t. V¼ n ≥ 2m + 9 v do Bê · 1.1.6 n¶n tçn t¤i c¡c h¬ng sè C1 , C2 , C3 , (C1 , C2 , C3 ) 6= (0, 0, 0), sao cho C1 ef2n + C2 tg2n + C3 f1n−m (cf1m + df2m ) = 0. (1.6) Ta s³ chùng tä r¬ng C1 , C2 6= 0, C3 = 0. Tr÷îc h¸t, ta gi£ sû r¬ng C1 , C2 , C3 6= 0. Khi â, ta th§y r¬ng c¡c a thùc thu¦n nh§t x1n−m (cxm1 + dx2 ), ex2 , tx3 l ð và tr½ têng qu¡t. Do câ m n n n ≥ 2m + 9 v Bê · 1.1.6 n¶n tçn t¤i c¡c h¬ng sè α, β, (α, β) 6= (0, 0), sao cho αf1n−m (cf1m + df2m ) + βef2n = 0. f1 Tø ¥y suy ra l mët h m h¬ng, i·u n y m¥u thu¨n vîi gi£ thi¸t. Vªy, f2 câ mët trong c¡c h¬ng sè C1 , C2 , C3 b¬ng khæng. Ta s³ chùng minh r¬ng C3 = 0. Thªt vªy, gi£ sû r¬ng C2 = 0. Th¸ th¼ tø (1.6) ta câ C1 ef2n + C3 f1n−m (cf1m + df2m ) = 0. f1 Suy ra l mët h m h¬ng, i·u n y tr¡i vîi gi£ thi¸t. f2 B¥y gií, gi£ sû C1 = 0. Tø (1.6) ta câ C2 tg2n + C3 f1n−m (cf1m + df2m ) = 0. Suy ra f1 n−m f1 m d g2 n cC3 + = −C2 . (1.7) f2 f2 c f2 Chó þ r¬ng ph÷ìng tr¼nh z m + dc = 0 câ m nghi»m ph¥n bi»t d1 , d2 , ..., dm . f1 g2 °t f = , ϕ = , ta nhªn ÷ñc f2 f2 f n−m (f − d1 )...(f − dm ) = γϕn , γ 6= 0. (1.8)