Luận án Tiến sĩ Toán học: Một số kiểu hàm lồi và bất đẳng thức tích phân liên quan

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:119

Thêm vào BST

Báo xấu

30
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đề tài đã đặt được một số kết quả sau: Xem xét một kiểu đối xứng tổng quát tương ứng với lớp hàm lồi suy rộng theo cặp tựa trung bình số học và thiết lập các bất đẳng thức kiểu Fejér và các tổng quát hóa của nó; cung cấp một phương pháp hiệu quả để thiết lập các bất đẳng thức kiểu Fejér cho tích phân bậc không nguyên; giới thiệu một số áp dụng vào hàm Gamma cũng đã được chỉ ra.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận án Tiến sĩ Toán học: Một số kiểu hàm lồi và bất đẳng thức tích phân liên quan

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN NGỌC HUỀ MỘT SỐ KIỂU HÀM LỒI VÀ BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN LIÊN QUAN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC BÌNH ĐỊNH - NĂM 2020
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN NGỌC HUỀ MỘT SỐ KIỂU HÀM LỒI VÀ BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN LIÊN QUAN Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 9 46 01 02 Phản biện 1: GS. TS. Đặng Đức Trọng Phản biện 2: PGS. TS. Nguyễn Thanh Diệu Phản biện 3: TS. Đào Văn Dương Tập thể Hướng dẫn khoa học: PGS. TS. Đinh Thanh Đức TS. Lê Quang Thuận BÌNH ĐỊNH - NĂM 2020
Lời cam đoan Luận án được hoàn thành tại Trường Đại học Quy Nhơn, dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Đinh Thanh Đức và TS. Lê Quang Thuận. Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi. Các kết quả trong Luận án là trung thực, được các đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được ai công bố trước đó. TM. Tập thể hướng dẫn Tác giả PGS. TS. Đinh Thanh Đức Nguyễn Ngọc Huề
Lời cảm ơn Luận án được hoàn thành tại Trường Đại học Quy Nhơn, dưới sự hướng dẫn đầy nhiệt tâm và nghiêm khắc của PGS. TS. Đinh Thanh Đức và TS. Lê Quang Thuận. Lời đầu tiên, cho tôi được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến quý Thầy, đã tạo điều kiện thuận lợi về mọi mặt, hướng dẫn và chỉ bảo tôi trong suốt quá trình làm việc, nghiên cứu hoàn thành Luận án của mình. Tôi cũng xin gửi lời cám ơn đến thầy GS. TSKH. Vũ Kim Tuấn, các em Dương Quốc Huy và Nguyễn Dư Vi Nhân, đã có những giúp đỡ, đóng góp quan trọng cho tôi trong việc nghiên cứu khoa học và hoàn thành luận án. Tôi xin trân trọng gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban Giám hiệu Trường Đại học Quy Nhơn, Phòng Đào tạo sau đại học, Khoa Toán và Thống kê cùng tất cả quý thầy, cô giáo đã động viên, giúp đỡ và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Cuối cùng, tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Trường Đại học Tây Nguyên, gia đình, anh em bạn bè, những người luôn chia sẻ, động viên và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình nghiên cứu hoàn thành Luận án. i
Mục lục Lời cam đoan Lời cảm ơn i Danh mục các kí hiệu iv Mở đầu 1 Chương 1. Các bất đẳng thức kiểu Fejér cho hàm lồi theo cặp tựa trung bình số học và áp dụng 9 1.1 Đặt vấn đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2 Các bất đẳng thức kiểu Fejér cho các hàm (Mφ , Mψ )-lồi . . . . . 13 1.3 Áp dụng vào các bất đẳng thức liên quan đến hàm Gamma và các trung bình đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Chương 2. Bất đẳng thức kiểu Jensen và áp dụng 38 2.1 Bất đẳng thức kiểu Jensen dạng tích phân . . . . . . . . . . . . . 38 2.2 Bất đẳng thức kiểu Jensen dạng dãy . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.3 Áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.3.1 Áp dụng của bất đẳng thức kiểu Jensen dạng tích phân . . 50 2.3.2 Áp dụng của bất đẳng thức kiểu Jensen dạng dãy . . . . 53 ii
Chương 3. Một số bất đẳng thức tích phân cho hàm lồi trên không gian đo được và áp dụng 55 3.1 Đặt vấn đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.2 Bất đẳng thức đối với tích phân cho hàm lồi trên không gian đo . 57 3.3 Áp dụng vào tích phân bậc không nguyên . . . . . . . . . . . . . 60 3.3.1 Bất đẳng thức tích phân kiểu Jensen đối với tích phân bậc không nguyên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.3.2 Bất đẳng thức kiểu Hermite-Hadamard đối với tích phân bậc không nguyên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 Chương 4. Hàm lồi suy rộng kiểu H¨ older và áp dụng 69 4.1 Trung bình có trọng kiểu H¨older . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 4.2 Hàm lồi suy rộng kiểu H¨older . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 4.3 Các đặc trưng của hàm lồi suy rộng kiểu H¨older dương . . . . . . 79 4.4 Các bất đẳng thức cho hàm lồi suy rộng kiểu H¨older . . . . . . . 86 4.4.1 Các bất đẳng thức kiểu Jensen . . . . . . . . . . . . . . . 87 4.4.2 Các bất đẳng thức kiểu Popoviciu và Rado . . . . . . . . . 88 4.5 Một số áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 4.5.1 Tính lồi H¨older của hàm Gamma và áp dụng . . . . . . . . 92 4.5.2 Áp dụng vào chuỗi lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 4.5.3 Áp dụng vào trung bình lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . 96 Kết luận 98 Danh mục công trình liên quan 100 Tài liệu tham khảo 100 Chỉ mục 110 iii
Danh mục các kí hiệu Rn : không gian Euclide n-chiều Rn+ : tập hợp {(x1 , . . . , xn ) : x1 ≥ 0, . . . , xn ≥ 0} R2+ : tập tất cả các (w1 , w2 ) ∈ R2+ sao cho w1 + w2 = 1 x : (x1 , . . . , xn ) xα : (xα1 , . . . , xαn ) 1 An (x) : n (x1 + · · · + xn ) A(a, b) : Trung bình số học của a và b Bnf : Đa thức Bernstein bậc n của hàm f epi(f ) : {(x, α) ∈ C × R | f (x) 6 α} √ Gn (x) : n x1 . . . xn Mφ (a, b; α) : Tựa trung bình φ−1 (αφ(a) + (1 − α)φ(b)) Mφ (a, b) : Mφ (a, b; 12 ) L(t) : Mφ (a, Mφ (a, b; α); t) R(t) : Mφ (b, Mφ (a, b; α); t) F(t) : Mψ (f ◦ L(t), f ◦ R(t); α) G(t) : Mψ (F(1), F(0); t) M[r] (x1 , x2 ; w1 , w2 ) : Trung bình H¨older có trọng bậc r M(r, x, w) : Trung bình có trọng kiểu H¨older bậc r  ( w1 xr + · · · + wn xr )1/r  x1 > 0, . . . , xn > 0, Wn 1 Wn n Mn (r, x, w) : −( w1 (−x1 )r + · · · + wn (−xn )r )1/r x1 > 0, . . . , xn > 0  Wn Wn Mn (0, x, w) : lim+ Mn (r, x, w) = lim− Mn (r, x, w) r→0  r→0  w1 f s (x1 ) + · · · + wn f s (xn ) 1/s nếu s 6= 0,  Wn Wn Mn (s, f x, w) : [f (x1 )]w1 /Wn . . . [f (xn )]wn /Wn  nếu s = 0. Pn Wn : i=1 wi > 0 iv
∆k f (0) : Sai phân cấp k của hàm f tại x = 0 Xcp (a, b) : Không gian các hàm giá trị phức f thỏa mãn R 1/p b c p dt  a |t f (t)| t  < ∞ nếu 1 ≤ p < ∞, kf kXcp = ess sup |tc f (t)| < ∞  nếu p = ∞. a≤t≤b r s Λ : {(x , α ) | (x, α) ∈ epi(f )} x∗ : (x∗1 , . . . , x∗n ) f (k) (x) : đạo hàm bậc k của f tại x f k (x) : lũy thừa bậc k của giá trị f (x) f 0 (x) : đạo hàm cấp một của f tại x f 00 (x) : đạo hàm cấp hai của f tại x t.ư : tương ứng v
Mở đầu Bất đẳng thức Hermite-Hadamard (HH), được Hermite [41] nêu ra lần đầu tiên vào năm 1883 và được phát hiện lại mười năm sau đó bởi Hadamard [37], cho ta các ước lượng chặn trên và chặn dưới đối với giá trị trung bình tích phân của một hàm lồi trên một khoảng đóng, liên quan đến trung điểm và các điểm cuối của miền xác định. Chính xác hơn, nếu f : [a, b] → R là hàm lồi liên tục thì ta có Z b a+b 1 f (a) + f (b) f ≤ f (x)dx ≤ . (HH) 2 b−a a 2 Phiên bản có trọng của bất đẳng thức (HH) được phát triển bởi Fejér [32] vào năm 1906. Cụ thể, nếu f : [a, b] → R là hàm lồi và w : [a, b] → R là hàm mật độ a+b đối xứng qua 2 thì a + b Z b 1 f (a) + f (b) f ≤ f (x)w(x)dx ≤ . (FI) 2 b−a a 2 Các bất đẳng thức (HH), (FI) là các công cụ mạnh để ta ước lượng giá trị trung bình tích phân của một hàm lồi trên một đoạn. Một điểm khá thú vị là khái niệm hàm lồi lại được đề xuất một cách chính thức muộn hơn bởi Jensen [53] vào cuối năm 1906. Ông đã sử dụng hạng tử đầu và hạng tử cuối trong (HH) để định nghĩa hàm lồi thông qua bất đẳng thức hàm. Cụ thể hơn, nếu I ⊂ R là một khoảng và f : I → R là một hàm thì f được gọi là hàm lồi theo nghĩa Jensen hay J-lồi trên I khi x+y f (x) + f (y) f ≤ (JC) 2 2 với mọi x, y ∈ I. Nếu bất đẳng thức (JC) đổi chiều thì f được gọi là hàm lõm theo nghĩa Jensen hay J-lõm trên I. Ý tưởng cơ bản của bất đẳng thức hàm (JC) là dựa trên đánh giá các giá trị của hàm thông qua các trung bình số học. Đây là một đóng góp to lớn của Jensen cho sự phát triển của toán học mà ngày nay dường như nó bao phủ rộng khắp các lĩnh vực khác nhau của toán học [30]. 1
Ngày nay, người ta thường định nghĩa hàm lồi thông qua trung bình số học có trọng. Cụ thể hơn, nếu I ⊂ R là một khoảng và f : I → R là một hàm thì ta nói f là hàm lồi trên I nếu f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) (CF) với mọi λ ∈ [0, 1] và mọi x, y ∈ I. Nếu bất đẳng thức (CF) đổi chiều thì f được gọi là hàm lõm trên I (xem [75, Chương 1]). Từ các định nghĩa hàm lồi và J-lồi ở trên, dễ thấy rằng nếu f là hàm lồi trên khoảng I thì nó cũng là hàm J-lồi trên I. Tuy nhiên, để một hàm J-lồi trên I trở thành hàm lồi trên I thì nó phải có thêm tính chất liên tục trên đó. Bất đẳng thức kép (HH) không chỉ là một hệ quả của tính lồi mà còn đặc trưng cho tính lồi. Tức là, mọi hàm liên tục thỏa mãn bất đẳng thức bên trái hoặc bên phải trên mọi khoảng con của miền xác định thì hàm đó là hàm lồi [85, Định lý 1]. Bất đẳng thức Hermite-Hadamard thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học và trở thành viên đá nền móng quan trọng trong giải tích toán học và tối ưu. Nhiều kết quả cổ điển liên quan đến bất đẳng thức này có thể được tìm thấy trong chuyên khảo của Peˇcari´c, Proschan và Tong [75]. Đặc biệt, trong hai thập kỷ gần đây, nó đã nhận được rất nhiều sự chú ý. Thực tế, có sự tăng lên đáng kể về các tài liệu cung cấp các chứng minh mới, các làm mịn, tổng quát hóa, các nội suy khác nhau và các áp dụng trong lý thuyết các trung bình. Chuyên khảo của Dragomir và Pearce [25] cho chúng ta một cái nhìn toàn diện về lĩnh vực này. Sự hiện diện của nó trong các áp dụng là động lực chính thúc đẩy việc mở rộng nó đến các trường hợp tổng quát hơn. Để tổng quát hóa khái niệm tính lồi, một vấn đề tự nhiên là thay thế các trung bình số học có trọng trong bất đẳng thức (CF) bởi các cặp trung bình tổng quát hơn. Dựa vào ý tưởng này, trước hết, chúng tôi xây dựng một khái niệm suy rộng mới về trung bình được định nghĩa trên một khoảng thực. Sau đó, dựa vào trung bình suy rộng như vậy, một khái niệm mới về hàm lồi suy rộng sẽ được giới thiệu và nghiên cứu. Điều này có nghĩa là một hàm lồi suy rộng là một hàm 2
số phải thỏa mãn bất đẳng thức f (GM1 (x, y)) 6 GM2 f (x), f (y) (GC) với mọi x, y lấy các giá trị thuộc miền xác định của f , trong đó GM1 , GM2 là các trung bình suy rộng nào đó, chẳng hạn trung bình số học có trọng, trung bình hình học có trọng, trung bình logarit, trung bình logarit suy rộng, trung bình có trọng Gini lần lượt được cho bởi các công thức sau Aα (a, b) = αa + (1 − α)b, Gα (a, b) = aα b1−α , b−a L(a, b) = ln b−ln a ,  1/p  ( bp+1 −ap+1 )     (p+1)(b−a) , p 6= −1, 0, +∞, −∞,    b−a   lnb−lna ,    p = −1, Lp (a, b) = 1 bb 1/(b−a) , p = 0,   e aa       max{a, b}, p = +∞,    min{a, b}, p = −∞,  1 r−s αar +(1−α)br Bs,r,α = αar +(1−α)br , r 6= s. Mỗi cách chọn một cặp trung bình sẽ dẫn đến một kiểu hàm lồi suy rộng. Về các kiểu hàm lồi đặc biệt, các công trình [14,84] có thể cho chúng ta một cái nhìn tổng quan. Tựa trung bình số học được định nghĩa dưới đây là một kiểu trung bình rất tổng quát, được nghiên cứu trong liên hệ với bất đẳng thức hàm (GC). Cho I ⊂ R là một khoảng mở và φ : I → R là một hàm đơn điệu nghiêm ngặt và liên tục. Tựa trung bình số học của a ∈ I và b ∈ I có trọng α ∈ [0, 1] được ký hiệu là Mφ (a, b; α) và xác định bởi Mφ (a, b; α) = φ−1 (αφ(a) + (1 − α)φ(b)) . Do tính đơn điệu của hàm φ, ta nhận được min{a, b} ≤ Mφ (a, b; α) ≤ max{a, b}. 3
Khi α = 1/2 ta viết Mφ (a, b) = Mφ (a, b; 1/2). Chú ý rằng, nếu I ⊂ (0, ∞) thì các tựa trung bình số học Mφ (a, b) trở thành trung bình lũy thừa bậc p ∈ R  (αap + (1 − α)bp )1/p  nếu p 6= 0, (HM) aα b(1−α)  nếu p = 0, khi ta chọn  xp  nếu p 6= 0, φ(x) = ln x nếu p = 0.  Hơn nữa, khi p lần lượt bằng 1, 0 và −1, thì ta nhận được các trung bình quan trọng và có nhiều áp dụng là trung bình số học, trung bình hình học và trung bình điều hòa. Lớp hàm (Mφ , Mψ )-lồi được xây dựng dựa trên các tựa trung bình số học bao phủ rất nhiều kiểu hàm lồi đã biết và do đó bất đẳng thức kiểu Hermite-Hadamard và Fejér của lớp hàm này cũng bao phủ một lớp rộng các bất đẳng thức kiểu này đối với nhiều kiểu hàm lồi khác nhau. Bên cạnh đó, chúng tôi đưa ra một cách thiết lập độc đáo các bất đẳng thức đối với tích phân bậc không nguyên cũng như việc thiết lập một số bất đẳng thức liên quan đến hàm Gamma và công thức tiệm cận Stirling cho hàm Gamma. Ngoài bất đẳng thức Hermite-Hadamard và bất đẳng thức Fejér, gắn liền với khái niệm hàm lồi là bất đẳng thức nổi tiếng Jensen dưới dạng rời rạc và dạng tích phân. Các bất đẳng thức này là những đóng góp đầu tiên của Jensen trong lĩnh vực hàm lồi và bất đẳng thức. Cụ thể hơn, nếu f : I ⊂ R → R là hàm lồi, trong đó I là một khoảng thì với mọi xi ∈ I và mọi số thực không âm wi sao cho Pn i=1 wi = 1, ta có bất đẳng thức n ! n X X f wi xi ≤ wi f (xi ). (JI-1) i=1 i=1 Dạng tích phân của bất đẳng thức Jensen (JI-1) được phát biểu như sau. Cho f : I ⊂ R → R là hàm lồi và liên tục, trong đó I là một khoảng và (Ω, A, µ) là 4
một không gian đo bao gồm tập Ω, σ-đại số A các tập con của Ω và độ đo µ xác định trên A. Giả sử g : Ω → I là hàm µ-khả tích và w : Ω → R là hàm trọng R không âm thỏa mãn Ω wdµ = 1. Khi đó, ta có bất đẳng thức tích phân Jensen Z Z f wgdµ ≤ wf ◦ gdµ. (JI-2) Ω Ω Các bất đẳng thức (JI-1)-(JI-2) được xem là các bất đẳng thức cơ bản nhất trong lý thuyết bất đẳng thức vì rất nhiều bất đẳng thức cổ điển khác được suy ra từ nó, chẳng hạn như bất đẳng thức H¨older, bất đẳng thức Minkowski, bất đẳng thức giữa các trung bình, bất đẳng thức Ky Fan, . . . (xem [75]). Thậm chí, vế trái của bất đẳng thức (FI) cũng là một trường hợp riêng của bất đẳng thức Jensen (JI-2). Dựa trên ý tưởng của Jensen về hàm lồi, người ta đã mở rộng khái niệm này đến những trường hợp rất tổng quát. Song song với nó là việc phát triển và mở rộng các bất đẳng thức kiểu Jensen cho các lớp hàm lồi mới này. Tuy nhiên, một điểm đáng chú ý là nếu f không phải hàm affine thì (JI-1)-(JI-2) là các bất đẳng thức nghiêm ngặt. Vì vậy, một câu hỏi tự nhiên đặt ra là có thể tìm được hằng số c tốt nhất để bất đẳng thức Z Z f wgdµ ≤ c wf ◦ gdµ (JI-3) Ω Ω đúng hay không? Trả lời cho câu hỏi này, chúng tôi khẳng định rằng luôn tồn tại hằng số c như trên nếu hàm lồi f thỏa mãn một số điều kiện cho trước liên quan đến các hệ số trong đa thức Bernstein của nó. Một phương pháp hữu ích khác cho phép ta ước lượng giá trị trung bình của một hàm trên một đoạn là dựa vào tính đơn điệu của tổng tích phân Riemann của nó. Trong trường hợp này, tính lồi tỏ ra là một công cụ hiệu quả cho phép ta khảo sát bài toán này. Việc xét tính đơn điệu của tổng tích phân Riemann cũng chính là nguồn gốc của nhiều bất đẳng thức quan trọng liên quan đến hàm lồi và hàm lồi suy rộng. Một kết quả đáng chú ý được thiết lập bởi Jichang [54] vào năm 1999 khẳng định rằng nếu f là hàm lồi tăng nghiêm ngặt trên (0, 1] thì n n+1 Z 1 1X k 1 X k f > f > f (x)dx. (JiI) n n n+1 n+1 0 k=1 k=1 5
Kết quả này cùng các mở rộng của nó đã được chúng tôi phát triển cho lớp hàm lồi suy rộng có dạng M N -lồi, trong đó M, N thuộc tập các trung bình số học, trung bình hình học và trung bình điều hòa. Một bài toán rất cơ bản trong nghiên cứu bất đẳng thức là đánh giá hiệu số của ước lượng. Các hiệu số trong các ước lượng vế trái và vế phải của (HH)-(FI) có liên quan đến các bất đẳng thức kiểu Ostrowski và bất đẳng thức kiểu hình thang. Các kết quả này cung cấp cho ta các công cụ hữu hiệu trong việc nội suy giá trị trung bình tích phân của hàm lồi xác định trên một đoạn. Kết hợp các đánh giá này với tính lồi dẫn đến các tổng quát phiếm hàm của chúng. Dựa trên ý tưởng này, chúng tôi thiết lập các bất đẳng thức trong không gian có độ đo hữu hạn và áp dụng chúng vào việc thiết lập các bất đẳng thức tích phân bậc không nguyên. Trong những năm gần đây, nhiều mở rộng của hàm lồi theo các hướng khác nhau đã được đề xuất và nghiên cứu bao gồm tính lồi vô hướng (xem [4, 20, 65, 89, 97, 98]) và tính lồi toán tử (xem [10, 42, 43]). Ta có thể liệt kê hàng loạt kiểu hàm lồi như hàm lồi theo nghĩa thông thường, hàm tựa lồi, hàm logarit lồi, hàm p-lồi, . . . Thật vậy, tính h-lồi tổng quát các tính lồi thông thường đã được giới thiệu ở [89] trong đó h là một hàm không âm; tính s-lồi của hàm giá trị thực, xác định trên các khoảng dương, đã được nghiên cứu trong [47]; tính r-lồi của các hàm giá trị dương đã được nghiên cứu trong [97]; hàm Godunova-Levin đã được nghiên cứu trong [35] và các P -hàm đã được nghiên cứu trong [26], . . . Năm 2007, Anderson và cộng sự [8] đã nghiên cứu tính lồi suy rộng có dạng tính M N - lồi, trong đó M , N là các trung bình số học, hình học, hoặc điều hòa, lần lượt được ký hiệu là A, G, H. Tuy nhiên, các tác giả chỉ quan tâm đến các trung bình M, N ∈ {A, G, H} mà chúng chỉ đơn thuần xác định trên các khoảng các số thực dương. Đặc biệt hơn, việc nghiên cứu trên lớp các hàm r-lồi trong [34] không chỉ cho ta thông tin về nó mà còn về các lớp hàm AA-lồi, AG-lồi và AH-lồi khi ta lần lượt lấy r = 1, r = 0 và r = −1. Nhưng thật không may, vì sự hạn chế về miền xác định của nó, lớp các hàm r-lồi [34] không hoàn toàn phủ lớp hàm lồi thông thường khi r = 1. 6
Như đã thấy, khái niệm hàm lồi đã được quan tâm nghiên cứu và mở rộng theo các hướng khác nhau. Một trong các nguồn gốc dẫn đến điều này bắt đầu từ các công trình về bất đẳng thức Hermite-Hadamard, người ta thường xét riêng lẻ từng kiểu tính lồi đặc biệt [12, 16, 24, 38, 49, 51, 64, 72, 87, 88, 90, 91, 95] hoặc xét các tích phân bậc không nguyên [3, 13, 50, 52, 55, 56, 76, 82] để nhận được các bất đẳng thức khác nhau. Tuy nhiên, sự hạn chế nhất định của nó vẫn là tính riêng lẻ, rời rạc chưa bao quát được nhiều hàm lồi đã biết. Những lý do đó là động lực thúc đẩy chúng tôi xem xét các lớp hàm lồi mới sao cho chúng không chỉ bao phủ nhiều lớp hàm lồi đã biết trước đó mà nó còn tổng quát cho một lớp rộng các bất đẳng thức đã biết đối với nhiều kiểu hàm lồi khác nhau. Một ý tưởng mới mà chúng tôi đề xuất nghiên cứu lớp hàm lồi thỏa mãn bất đẳng thức (GC) là xét các trung bình H¨older suy rộng, trong đó các trung bình được đề cập tới là trung bình có trọng kiểu H¨older bậc thực của các số thực chứ không chỉ của số thực dương [14]. Thật thú vị, hàm lồi suy rộng kiểu H¨older được đưa ra đã bao phủ một lớp rộng các hàm lồi đã biết trước đó. Việc nghiên cứu một số tính chất của nó cùng với các đặc trưng khác nhau của hàm lồi suy rộng kiểu H¨older dương cùng với các bất đẳng thức kiểu Jensen, Popoviciu và Rado cũng được thiết lập, đồng thời chúng tôi cung cấp một số áp dụng của các kết quả chính vào trung bình lũy thừa, chuỗi lũy thừa và hàm Gamma Luận án, ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Danh mục các công trình của tác giả và Tài liệu tham khảo, gồm có 4 chương: Chương 1 dành cho việc trình bày các nghiên cứu về bất đẳng thức kiểu Fejér cho lớp hàm lồi theo cặp tựa trung bình số học và cung cấp một phương pháp hiệu quả trong việc thiết lập các bất đẳng thức cho tích phân bậc không nguyên và một số áp dụng của chúng vào hàm Gamma. Ở đây chúng tôi đưa ra các bất đẳng thức nội suy kiểu Fejér mà chúng đặc trưng cho bản chất tự nhiên của các hàm (Mφ , Mψ )-lồi liên tục. Chương 2 là các khảo sát về một bất đẳng thức kiểu Jensen mới (dạng tích phân, dạng đơn điệu và dạng dãy lồi) cùng các áp dụng của nó vào việc làm 7
mạnh định lí trội nổi tiếng của Hardy, Littlewood và Pólya và dạng mở rộng của bất đẳng thức của Andersson. Chương 3 trình bày một số bất đẳng thức tích phân trong không gian đo cho hàm lồi và áp dụng chúng vào việc thiết lập các bất đẳng thức cho các tích phân bậc không nguyên, cụ thể là các bất đẳng thức tích phân kiểu Jensen đối với tích phân và các bất đẳng thức kiểu Hermite-Hadamard đối với tích phân bậc không nguyên. Chương 4 tập trung xây dựng hàm lồi suy rộng kiểu H¨older và nghiên cứu một số tính chất của nó cùng với các đặc trưng khác nhau của hàm lồi suy rộng kiểu H¨older dương; thiết lập các bất đẳng thức kiểu Jensen, Popoviciu và Rado; đồng thời cung cấp một số áp dụng của các kết quả chính vào trung bình lũy thừa, chuỗi lũy thừa và hàm Gamma. Luận án được viết dựa trên các công trình [27–29, 44, 45]. Một số kết quả của Luận án đã được báo cáo tại: • Seminar Khoa Toán, Trường Đại học Quy Nhơn, Bình Định; • Đại hội “Toán học Việt Nam lần thứ IX”, Nha Trang, Khánh Hòa, 14- 18/08/2018; • Hội nghị “Toán học Miền Trung-Tây Nguyên lần III”, Trường Đại học Tây Nguyên, Đăk Lăk, 2- 4/08/2019; • Hội nghị quốc tế “New Trends in Optimization and Variational Analysis for Applications”, Trường Đại học Quy Nhơn, Bình Định, 7-10/12/2016. 8
Chương 1 Các bất đẳng thức kiểu Fejér cho hàm lồi theo cặp trung bình tựa số học và áp dụng Trong chương này, chúng tôi trình bày các bất đẳng thức kiểu Fejér cho lớp hàm lồi theo cặp tựa trung bình số học, cụ thể là đưa ra các bất đẳng thức nội suy kiểu Fejér mà chúng đặc trưng cho bản chất tự nhiên của các hàm (Mφ , Mψ )-lồi liên tục. Hơn nữa, kiểu hàm lồi này phủ một lớp rộng các lớp hàm lồi khác và do đó bất đẳng thức kiểu Fejér cho lớp hàm này phủ một lớp rộng các bất đẳng thức đã biết kiểu Hermite-Hadamard và Fejér của các kiểu hàm lồi khác. Nghiên cứu này cung cấp một phương pháp hiệu quả trong việc thiết lập các bất đẳng thức cho tích phân bậc không nguyên và một số áp dụng vào hàm Gamma. Các khái niệm và kỹ thuật được xây dựng trong chương này có thể thúc đẩy những nghiên cứu sâu hơn trong lĩnh vực đáng quan tâm này. Nội dung của chương này được viết chủ yếu dựa vào [28]. 1.1 Đặt vấn đề Năm 1881, Hermite đã gửi một bức thư đến tạp chí Mathesis để công bố bất đẳng thức (1.1) và sau đó nó chính thức được xuất bản vào năm 1883 trên tạp chí này. Bất đẳng thức (1.1) được Hadamard [37] phát hiện lại vào năm 1893. 9
Ngày nay, chúng ta thường gọi Z b a+b 1 f (a) + f (b) f ≤ f (x)dx ≤ . (1.1) 2 b−a a 2 là bất đẳng thức Hermite-Hadamard. Chú ý rằng các hạng tử đầu và cuối trong (1.1) có thể được viết là a+b f (a) + f (b) f = f (A(a, b)) và = A(f (a), f (b)), 2 2 trong đó A là ký hiệu trung bình số học. Khi đó (1.1) là một bất đẳng thức nội suy có dạng f (A(a, b)) ≤ A(f (a), f (b)), mà nó được dùng để định nghĩa hàm lồi trung điểm hay hàm lồi Jensen (JC). Do đó, để tổng quát hóa khái niệm tính lồi, một vấn đề tự nhiên là thay thế các trung bình số học A, trong bất đẳng thức trên bởi các cặp trung bình tổng quát hơn như đã giới thiệu ở phần đầu cho lớp hàm (Mφ , Mψ )-lồi. Trong chương này, ta ký hiệu I và J là các khoảng mở trong đường thẳng thực R, φ : I → R và ψ : J → R là các hàm đơn điệu nghiêm ngặt và liên tục. Với các tựa trung bình số học Mφ và Mψ , Aumann [11] đã tổng quát khái niệm tính lồi được định nghĩa như sau: Định nghĩa 1.1.1 ([11]). Một hàm f : I → J được gọi là (Mφ , Mψ )-lồi nếu nó thỏa mãn dạng sau đây của bất đẳng thức Jensen: f (Mφ (a, b; α)) ≤ Mψ (f (a), f (b); α) (1.2) với mọi a, b ∈ I và α ∈ [0, 1]. Đặc biệt, ta nói rằng hàm f là Mψ -lồi nếu f thỏa mãn (1.2) tương ứng với hàm φ(x) = x. Nếu bất đẳng thức (1.2) đổi chiều thì f được gọi là (Mφ , Mψ )- lõm. Lớp hàm (Mφ , Mψ )-lồi phủ khá nhiều lớp hàm lồi khác mà chúng đóng một vai trò quan trọng trong toán học như là: 10
• Hàm lồi thông thường f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) (CF) nếu ta lấy φ(x) = x và ψ(x) = x. • Hàm log-lồi f (λx + (1 − λ)y) ≤ f (x)λ f (y)(1−λ) (log-C) nếu ta lấy φ(x) = x và ψ(x) = ln x. • Hàm r-lồi  ln[λerf (x) + (1 − λ)erf (y) ]1/r  nếu r 6= 0, f (λx + (1 − λ)y) ≤ (r-C) f λ (x)f 1−λ (y)  nếu r = 0, nếu ta lấy φ(x) = x và hàm ψ xác định trên (0, ∞) cho bởi  erx nếu r 6= 0,  ψ(x) = ln x nếu r = 0.  • Hàm lồi điều hòa xy f ≤ (1 − λ)f (x) + λf (y). (h-C) λx + (1 − λ)y nếu ta chọn φ(x) = 1/x và ψ(x) = x. • Hàm log-lồi điều hòa xy f ≤ f (x)(1−λ) f (y)λ . (hl-C) λx + (1 − λ)y nếu ta lấy φ(x) = 1/x và ψ(x) = ln x. • Hàm r-lồi điều hòa  xy [(1 − λ)f (x)r + λf (y)r ]1/r  nếu r 6= 0, f ≤ (hr-C) λx + (1 − λ)y f (x)(1−λ) f (y)λ  nếu r = 0, 11
nếu ta lấy φ(x) = 1/x và  xr  nếu r 6= 0, ψ(x) = ln x nếu r = 0.  • Hàm p-lồi f ([λxp + (1 − λ)y p ]1/p ) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y). (p-C) nếu ta lấy φ(x) = xp và ψ(x) = x. • Hàm lồi nhân f (xλ y (1−λ) ) ≤ f (x)λ f (y)(1−λ) . (m-C) nếu ta lấy φ(x) = ln x và ψ(x) = ln x. Dạng có trọng của (1.1) được đưa ra bởi Fejér [32] (gọi là bất đẳng thức Fejér ). Cụ thể hơn, Fejér đã chứng minh rằng nếu f : [a, b] → R là hàm lồi, Rb g : [a, b] → [0, ∞) là hàm khả tích với a g(x)dx > 0 và đối xứng qua a+b 2 , tức là g(x) = g(a + b − x) với mọi x ∈ [a, b], thì Rb a+b a f (x)g(x)dx f (a) + f (b) f ≤ Rb ≤ . (1.3) 2 g(x)dx 2 a Trong (1.3), nếu chọn g(x) = [(b − x)ν−1 + (x − a)ν−1 ]/Γ(ν) với ν > 0 thì ta nhận được các bất đẳng thức kiểu Hermite-Hadamard đối với tích phân bậc không nguyên Riemann-Liouville a+b Γ(ν + 1) ν f (a) + f (b) f ≤ ν [Ia+ [f ](b) + Ibν− [f ](a)] ≤ . 2 2(b − a) 2 Điều đáng nói là kết quả này đã được Sarikaya và cộng sự chứng minh khá phức tạp trong [82]. Do đó, theo cách này, ta có thể thiết lập các bất đẳng thức khác nhau cho các tích phân bậc không nguyên một cách dễ dàng. 12