Luận án Tiến sĩ Toán học: Phương pháp giải gần đúng một số lớp bài toán biên của phương trình elliptic

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:133

Thêm vào BST

Báo xấu

25
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu của đề tài nghiên cứu nhằm tiếp tục phát triển phương pháp và kết hợp với các kỹ thuật lặp để xây dựng các phương pháp mới, giải gần đúng các bài toán phức tạp hơn các bài toán trên và có tính ứng dụng trong thực tế. Mời các bạn tham khảo nội dung chi tiết đề tài!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận án Tiến sĩ Toán học: Phương pháp giải gần đúng một số lớp bài toán biên của phương trình elliptic

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN CÔNG NGHỆ THÔNG TIN TRƯƠNG HÀ HẢI PHƯƠNG PHÁP GIẢI GẦN ĐÚNG MỘT SỐ LỚP BÀI TOÁN BIÊN CỦA PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC Chuyên ngành: Toán học tính toán Mã số : 62.46.30.01 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC 1. GS.TS Đặng Quang Á 2. TS. Vũ Vinh Quang HÀ NỘI - 2013
LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan những kết quả trình bày trong luận án là mới, trung thực và chưa từng được công bố trong bất kỳ công trình của ai khác. Những kết quả viết chung với các cán bộ hướng dẫn đã được sự đồng ý khi đưa vào luận án. Nghiên cứu sinh i
LỜI CẢM ƠN Trước hết, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới các Thầy hướng dẫn, PGS. TS. Đặng Quang Á và TS. Vũ Vinh Quang. Tôi vô cùng biết ơn sự giúp đỡ tận tình, quí báu mà các Thầy đã dành cho tôi trong suốt quá trình thực hiện luận án. Nhờ những ý tưởng mà các Thầy đã gợi ý, những tài liệu bổ ích mà các Thầy đã cung cấp cùng với sự hướng dẫn, chỉ bảo nhiệt tình của các Thầy về công việc nghiên cứu, tôi đã hoàn thành đề tài của mình. Đặc biệt, từ tận đáy lòng, tôi xin cảm ơn PGS. TS Đặng Quang Á. Thầy đã dành cho tôi rất nhiều sự quan tâm, chỉ dẫn và kiên trì dìu dắt tôi từ một học viên còn rất non nớt trong công việc nghiên cứu khoa học cho đến khi hoàn thành được luận án. Chính nhờ sự quan tâm và động viên của Thầy đã giúp tôi cảm thấy tự tin hơn, vượt qua được những khó khăn, vất vả trong suốt quá trình nghiên cứu. Tôi xin chân thành cảm ơn các Thầy và các cán bộ nghiên cứu trong Viện Công nghệ thông tin. Trong thời gian qua, Viện CNTT đã tạo cho tôi môi trường làm việc hết sức thuận lợi và thường xuyên có những lời động viên, nhắc nhở giúp tôi thực hiện tốt công việc nghiên cứu đề tài. Tôi xin chân thành cảm ơn các Thầy trong Viện Toán đã góp ý và nhiệt tình chỉ bảo, cho tôi tham dự các buổi Seminar khoa học và các Hội thảo Toán học giúp tôi bổ sung những kiến thức Toán học cần thiết cho luận án trong quá trình nghiên cứu. ii
Tôi xin chân thành cảm ơn lãnh đạo Trường ĐH Công nghệ thông tin và Truyền thông - Đại học Thái nguyên đã động viên và tạo điều kiện về mặt thời gian cũng như công việc giúp tôi tập trung vào công việc nghiên cứu. Tôi cũng muốn gửi lời cảm ơn của tôi đến tất cả các đồng nghiệp và bạn bè của tôi đã chia sẻ buồn, vui và những kinh nghiệm hết sức quí báu trong cuộc sống lẫn công việc nghiên cứu khoa học. Cuối cùng, luận án sẽ không thể hoàn thành nếu như không có sự động viên và hỗ trợ về mọi mặt của gia đình. Luận án này và những công việc tôi đang cố gắng thực hiện, là để gửi tới cha mẹ, anh chị em và những người thân trong gia đình với tất cả lòng biết ơn sâu sắc nhất. Xin chân thành cảm ơn. iii
Danh mục các chữ viết tắt và các ký hiệu DDM Phương pháp chia miền BAM Phương pháp xấp xỉ biên SFBIM Phương pháp tích phân biên LPIS Giá đỡ thẳng bên trong Rn Không gian Euclide n chiều Ω Miền giới nội trong không gian Rn ∂Ω Biên của miền Ω ∆ Toán tử Laplace ∇ Toán tử Gradient C k (Ω) Không gian các hàm có đạo hàm cấp k liên tục L2 (Ω) Không gian các hàm đo được bình phương khả tích H s (Ω) Không gian Sobolev với chỉ số s k.kV Chuẩn xác định trên không gian V (., .)V Tích vô hướng xác định trên không gian V I Toán tử đơn vị Dα u Đạo hàm riêng của u cấp |α| HA Không gian năng lượng của toán tử A iv
Danh sách hình vẽ 1.1 Các véc tơ pháp tuyến và tiếp tuyến tại điểm P . . . . . . . . . 16 1.2 Miền Ω và các ký hiệu biên tương ứng. . . . . . . . . . . . . . . 22 2.1 Miền Ω và các miền con Ω1 , Ω2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.2 Đồ thị nghiệm xấp xỉ tương ứng với r = 0.5. . . . . . . . . . . 48 2.3 Đồ thị nghiệm xấp xỉ tương ứng với r = 0.3. . . . . . . . . . . 49 2.4 Miền hình học dạng L với các miền con Ω1 và Ω2 . . . . . . . . 49 2.5 Đồ thị nghiệm xấp xỉ trong miền dạng L . . . . . . . . . . . . 50 2.6 Miền Ω với lớp cách nhiệt Ωδ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.7 Đồ thị nghiệm xấp xỉ của bài toán trong môi trường 3 lớp không đồng nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.8 Miền Ω với các miền con và các phần biên tương ứng . . . . . . 55 2.9 Đồ thị nghiệm xấp xỉ ứng với các hàm: a) Hàm u1 ; b) Hàm u2 ; c) Hàm u3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 2.10 Hình miền và các điều kiện biên của bài toán Motz . . . . . . . 65 2.11 Nghiệm xấp xỉ của bài toán Motz . . . . . . . . . . . . . . . . 66 2.12 Dáng điệu đạo hàm tại điểm kỳ dị . . . . . . . . . . . . . . . . 66 3.1 Miền Ω và các phần biên của nó . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 3.2 Miền Ω với các điều kiện biên hỗn hợp . . . . . . . . . . . . . . 73 3.3 Miền Ω và các miền con của nó . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 3.4 Bài toán vết nứt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 v
3.5 Đồ thị nghiệm của bài toán vết nứt . . . . . . . . . . . . . . . 85 3.6 Dáng điệu đạo hàm bậc hai biểu diễn ứng suất dọc theo vết nứt: theo DDM (bên trái) và theo SFBIM (bên phải) . . . . . . 85 3.7 Bản với một giá đỡ bên trong. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 3.8 Bản với hai giá đỡ bên trong. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 3.9 Bài toán có một LPIS với các điều kiện biên tương ứng xét trong 1/4 bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 3.10 Bài toán có hai LPIS với các điều kiện biên tương ứng xét trong 1/4 bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 3.11 Miền Ω và các miền con Ω1 , Ω2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 3.12 Mặt võng của 1/4 bản với giá đỡ có độ dài khác nhau . . . . . 96 3.13 Độ dốc của bản theo hướng x và y dọc theo giá đỡ . . . . . . . 96 3.14 Mặt võng của toàn bản có một LPIS . . . . . . . . . . . . . . . 96 3.15 Đường đồng mức của độ võng trong trường hợp e/π = 0.1 . . . 97 3.16 Đường đồng mức của độ võng trong trường hợp e/π = 0.3 . . . 97 3.17 Miền Ω và các miền con Ω1 , Ω2 , Ω3 . . . . . . . . . . . . . . . 98 3.18 Độ dốc của bản theo hướng x dọc theo LPIS . . . . . . . . . . 101 3.19 Độ dốc của bản theo hướng y xét tại điểm giữa của LPIS . . . 101 3.20 Mặt võng của 1/4 bản với hai LPIS . . . . . . . . . . . . . . . 101 3.21 Mặt võng của toàn bản có hai LPIS . . . . . . . . . . . . . . . 101 3.22 Độ dốc của bản theo hướng x với LPIS đặt tại vị trí tùy ý . . 102 3.23 Độ dốc của bản theo hướng y xét tại điểm giữa của LPIS . . . 102 3.24 Mặt võng của 1/4 bản với giá đỡ đặt tại vị trí tùy ý . . . . . . 102 3.25 Đường đồng mức của độ võng trong trường hợp e1 /π = 0.1, e2 /π = 0.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 vi
3.26 Đường đồng mức của độ võng trong trường hợp e1 /π = 0.2, e2 /π = 0.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 vii
Danh sách bảng 2.1 Sự hội tụ của quá trình lặp với r = 0.5 . . . . . . . . . . . . . 48 2.2 Sự hội tụ của quá trình lặp với r = 0.3 . . . . . . . . . . . . . 48 2.3 Sự hội tụ của quá trình lặp giải bài toán trong miền dạng L . . 50 3.1 Sự hội tụ của quá trình lặp với 3 hàm u1 , u2 , u3 . . . . . . . . 82 3.2 Sự hội tụ của quá trình lặp trong Ví dụ 3.2.5 . . . . . . . . . . 83 3.3 Sự hội tụ của quá trình lặp giải bài toán vết nứt . . . . . . . . 84 3.4 Sự hội tụ của quá trình lặp với 3 hàm u1 , u2 , u3 . . . . . . . . . 93 3.5 Sự hội tụ của quá trình lặp trong trường hợp không biết trước nghiệm đúng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 3.6 Vị trí đặt giá đỡ, độ võng lớn nhất và tọa độ tương ứng của bản với 1 LPIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 3.7 Vị trí đặt giá đỡ, độ võng lớn nhất và tọa độ tương ứng của bản với 2 LPIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 viii
Mục lục Lời cam đoan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii Danh mục các chữ viết tắt và các ký hiệu . . . . . . . . . iv Danh sách hình vẽ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv Danh sách bảng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị và kết quả bổ trợ . . . . . . . 8 1.1. Không gian Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.1. Một số ký hiệu và định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.2. Không gian Sobolev. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.1.3. Công thức Green và bất đẳng thức Poincare . . . . . . . . . . . . 12 1.2. Bài toán biên của phương trình elliptic cấp hai và phương trình song điều hòa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.1. Bài toán biên của phương trình elliptic cấp hai với các điều kiện biên hỗn hợp, không thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.2. Bài toán biên của phương trình song điều hòa . . . . . . . . . . . 15 1.3. Các vấn đề cơ bản về phương pháp lặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.3.1. Lược đồ lặp hai lớp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.3.2. Định lý cơ bản về sự hội tụ của các sơ đồ lặp . . . . . . . . . . . 20 ix
1.4. Xây dựng thư viện chương trình giải bài toán biên hỗn hợp yếu 21 1.4.1. Bài toán biên Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.4.2. Bài toán với điều kiện biên Neumann trên ít nhất một cạnh . 25 Chương 2. Phương pháp gần đúng giải một số bài toán biên của phương trình elliptic cấp hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.1. Phương pháp gần đúng giải bài toán biên elliptic với hệ số gián đoạn 31 2.1.1. Mô hình bài toán mặt phân cách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.1.2. Một số hướng tiếp cận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.1.3. Phương pháp lặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.1.4. Một trường hợp riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.1.5. Các ví dụ thử nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.2. Phương pháp lặp song song giải bài toán biên của phương trình elliptic với điều kiện biên hỗn hợp mạnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2.2.1. Mô tả phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.2.2. Nghiên cứu sự hội tụ của phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.2.3. Một trường hợp riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 2.2.4. Kết quả thử nghiệm và so sánh với một số phương pháp 63 2.2.5. Áp dụng giải bài toán Motz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Chương 3. Phương pháp giải gần đúng bài toán biên của phương trình song điều hòa với điều kiện biên hỗn hợp mạnh . . 68 3.1. Một số hướng tiếp cận giải phương trình song điều hòa . . . . . . . . 68 x
3.2. Phương pháp kết hợp giải bài toán song điều hòa với điều kiện biên hỗn hợp mạnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 3.2.1. Phát biểu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 3.2.2. Mô tả phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.2.3. Nghiên cứu sự hội tụ của phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 3.2.4. Sơ đồ lặp kết hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 3.2.5. Các ví dụ thử nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 3.2.6. Giải gần đúng một bài toán vết nứt trong cơ học. . . . . . . . 83 3.3. Phương pháp kết hợp giải gần đúng bài toán về độ uốn của bản có giá đỡ bên trong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 3.3.1. Mô hình bài toán độ uốn của bản có giá đỡ bên trong . . . 86 3.3.2. Phương pháp kết hợp giải bài toán với bản có một LPIS 89 3.3.3. Phương pháp kết hợp giải bài toán có hai LPIS . . . . . . . . . 97 Kết luận chung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 Danh mục các công trình đã công bố . . . . . . . . . . . . 109 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 xi
MỞ ĐẦU Nhiều bài toán vật lý và cơ học được mô hình hóa bởi các phương trình đạo hàm riêng. Trong lý thuyết các bài toán biên đối với các phương trình này thì các bài toán biên hỗn hợp, trong đó dạng các điều kiện biên thay đổi trong phạm vi của một mặt hay một đường đủ trơn trên biên của miền được đặc biệt quan tâm, vì tại vị trí phân cách các dạng điều kiện biên thường xuất hiện kỳ dị của các đại lượng nào đó, ví dụ như luồng nhiệt, điện thế, ứng suất, môment lực hay lực cắt,...Theo G. I. Popov và N. A. Rostovtsev, các bài toán trên được gọi là các bài toán hỗn hợp thực sự "Sobstvenno smexannye" [57]. Trong luận án này, để thuận tiện chúng tôi gọi các bài toán này là các bài toán hỗn hợp mạnh (theo nghĩa trên một phần biên trơn có sự thay đổi các loại điều kiện biên). Nói chung rất khó để có thể tìm được lời giải đúng của các bài toán này. Vì vậy, việc giải gần đúng các bài toán hỗn hợp bằng các phương pháp số trở thành công cụ phổ biến như phương pháp sai phân, phương pháp phần tử hữu hạn, phương pháp phần tử biên, phương pháp không lưới,... Bản chất của các phương pháp số là rời rạc hóa bài toán vi phân trong miền hoặc trên biên và kết quả dẫn đến việc giải hệ phương trình đại số tuyến tính nói chung là cỡ lớn. Chất lượng của các phương pháp cho mỗi bài toán được đặc trưng bởi độ chính xác của lời giải gần đúng của bài toán, độ phức tạp tính toán tức khối lượng tính toán và dung lượng bộ nhớ cần thiết để thu được lời giải 1
gần đúng đó. Trong khoảng ba thập kỷ nay để giải các bài toán trong miền hình học phức tạp, phương pháp chia miền đã được đề xuất và phát triển nhằm đưa các bài toán trong các miền hình học phức tạp về các bài toán trong các miền hình học đơn giản, mà đối với chúng đã sẵn có các thuật toán hữu hiệu và phần mềm tiện lợi. Điều cốt yếu trong phương pháp này như Herrera đã chỉ ra trong [32] là "thu thập thông tin trên biên phân chia các miền con, đủ để các bài toán trong mỗi miền con là đặt chỉnh". Thông thường, thông tin trên biên phân chia là giá trị của ẩn hàm. Giá trị này được cập nhật bởi một quá trình lặp. Phụ thuộc cách cập nhật giá trị của ẩn hàm người ta phân biệt hai cách tiếp cận chính (xem [59]): phương pháp Dirichlet-Neumann và phương pháp Neumann-Neumann. Trong ngữ cảnh miền Ω của bài toán biên Dirichlet được phân chia thành hai miền con Ω1 và Ω2 bởi biên nhân tạo Γ thì trong phương pháp Dirichlet-Neumann trên mỗi bước lặp đầu tiên bài toán Dirichlet với giá trị xấp xỉ đã biết của ẩn hàm được giải trong một miền, sau đó giải bài toán với điều kiện biên Neumann trên biên Γ trong miền khác và cập nhật giá trị của ẩn hàm trên Γ. Phương pháp này đã được đề xuất và nghiên cứu bởi Bjostard và Windlund (1986), Marini và Quadteroni (1989), Saito và Fujita (2001) [66]. Trong phương pháp Neumann-Neumann đầu tiên các bài toán Dirichlet được giải trong mỗi miền con, sau đó để cập nhật giá trị của ẩn hàm trên biên phân chia người ta phải giải hai bài toán chứa điều kiện biên Neumann trên phần biên đó. Phương pháp này đã được đề xuất và nghiên cứu bởi Bourgat, Glowinski [28], Le Tallec và Vidrascu [47]. Ngoài hai phương pháp nêu trên, với sự cập nhật điều kiện Dirichlet một số tác giả ∂ui còn sử dụng điều kiện hỗn hợp Robin dạng + λui trên biên chia miền ∂νi 2
như Lions [43], Hou và Lee [34], Lube [49]. Mới đây trong luận án Tiến sĩ của Vũ Vinh Quang (2007) [78], các tác giả đã đề xuất một phương pháp chia miền mới, trong đó khác với các tác giả trước, đạo hàm pháp tuyến của ẩn hàm được cập nhật thay cho giá trị của ẩn hàm. Các bài toán đã được xét đến trong luận án này là: Bài toán biên của phương trình Poisson với điều kiện biên Dirichlet, bài toán biên của phương trình Poisson với điều kiện biên hỗn hợp yếu (theo nghĩa trên một phần biên trơn chỉ có một loại điều kiện biên) và bài toán biên của phương trình Poisson với điều kiện biên hỗn hợp mạnh được giải bằng phương pháp lặp tuần tự. Các thực nghiệm tính toán cho các miền hình học đơn giản và phức tạp đã chứng tỏ phương pháp này hội tụ nhanh hơn các phương pháp cập nhật ẩn hàm mặc dù về mặt lý thuyết chưa chứng minh được tính vượt trội của nó. Nhận thức được tính hữu hiệu của phương pháp chia miền mới này, luận án đặt mục đích tiếp tục phát triển phương pháp và kết hợp với các kỹ thuật lặp để xây dựng các phương pháp mới, giải gần đúng các bài toán phức tạp hơn các bài toán trên và có tính ứng dụng trong thực tế. Đó là: (1) Bài toán biên cho phương trình elliptic cấp hai với các hệ số gián đoạn, ở đó có thể có các bước nhảy của hàm và đạo hàm qua một hoặc nhiều mặt phân cách (bài toán này được phát biểu cụ thể trong mục 2.1.3, chương 2). (2) Các bài toán biên cho phương trình elliptic cấp hai và phương trình song điều hòa với các điều kiện biên hỗn hợp mạnh (phát biểu trong các mục 2.2.1, chương 2 và mục 3.2.1, chương 3). (3) Một số bài toán trong cơ học, đó là các bài toán vết nứt (Crack Prob- lems), bài toán về độ uốn của bản hình chữ nhật có một hoặc hai giá đỡ 3
bên trong (The bending of rectangular plates with line partial internal supports). Để giải gần đúng các bài toán trên, luận án sử dụng các phương pháp trong giải tích số cho phương trình đạo hàm riêng như: Phương pháp chia miền, phương pháp đưa bài toán cấp cao về dãy các bài toán cấp hai, kỹ thuật lặp hiệu chỉnh đạo hàm, phương pháp sai phân. Các phương pháp trên sẽ được kết hợp một cách linh hoạt để xây dựng phương pháp mới phù hợp với từng bài toán cụ thể. Để nghiên cứu sự hội tụ của các phương pháp được đề xuất, luận án sử dụng kỹ thuật đưa vào toán tử biên thích hợp dẫn bài toán được xét về phương trình với toán tử đối xứng xác định dương hoặc dương và hoàn toàn liên tục trong không gian Hilbert và áp dụng lược đồ lặp hai lớp cho chúng. Việc hiện thực hóa các bước lặp này chính là việc giải các bài toán đối với phương trình cấp hai trong các miền hình học đơn giản. Phải nói rằng ý tưởng đưa các bài toán đối với phương trình cấp hai phức tạp về dãy các bài toán cấp hai đơn giản hơn và đưa các bài toán đối với phương trình cấp bốn về dãy các bài toán đối với phương trình cấp hai là các ý tưởng chung rất tự nhiên và đã được phát triển bởi nhiều tác giả như Palsev [58], Meller và Dorodnisyn [50], Glowinski và Pironneau [28], Abramov và Ulijanova [3], Đặng Quang Á [14], [16], [17]... Tuy nhiên việc vận dụng các ý tưởng chung này vào các bài toán cụ thể là không đơn giản, đặc biệt khi phải kết hợp cả hai ý tưởng hạ cấp phương trình và chia miền của bài toán. Vì vậy, việc nghiên cứu các phương pháp gần đúng theo ý tưởng này để giải một số các bài toán biên của phương trình elliptic là nhiệm vụ xuyên suốt trong toàn bộ luận án. Nội dung chính của luận án trình bày các kết quả nghiên cứu về lý 4
thuyết và thực nghiệm tính toán khi xây dựng các phương pháp mới, bao gồm: - Phát triển phương pháp chia miền kết hợp với kỹ thuật lặp hiệu chỉnh giá trị đạo hàm giải bài toán biên của phương trình elliptic với hệ số gián đoạn. - Phương pháp lặp song song giải bài toán biên của phương trình elliptic với các điều kiện biên hỗn hợp mạnh, áp dụng giải bài toán Motz. - Phương pháp kết hợp chia miền, hạ cấp phương trình và lặp hiệu chỉnh giá trị đạo hàm giải bài toán biên của phương trình song điều hòa với điều kiện biên hỗn hợp mạnh. - Giải gần đúng các bài toán vết nứt, bài toán về độ uốn của bản hình chữ nhật có một hoặc hai giá đỡ bên trong. Luận án được viết trên cơ sở của các công trình [18, 19, 20, 21, 22, 76, 77, 75] đã được công bố trong vòng 4 năm qua và được bố cục thành 3 chương: • Chương 1 : Trình bày hệ thống các kiến thức chuẩn bị và kết quả bổ trợ bao gồm một số kiến thức cơ bản về không gian Sobolev và phương trình elliptic, phương trình song điều hòa, lý thuyết về các sơ đồ lặp và các kết quả xây dựng thư viện chương trình giải số bài toán biên với điều kiện biên hỗn hợp yếu của phương trình elliptic với hệ số hằng trong miền chữ nhật ứng với các điều kiện biên khác nhau, dựa trên thuật toán thu gọn khối lượng tính toán Samarskii-Nikolaev. Các kiến thức cơ bản và các kết quả thu được trong chương 1 sẽ đóng vai trò rất quan trọng, làm nền tảng cho các kết quả sẽ được trình bày trong chương 2 và chương 3. • Chương 2 : Trình bày các kết quả nghiên cứu mới, giải gần đúng một 5
số bài toán biên của phương trình elliptic cấp hai. Bao gồm: Phát triển phương pháp chia miền kết hợp với kỹ thuật lặp hiệu chỉnh giá trị đạo hàm của ẩn hàm qua mặt phân cách giải bài toán biên của phương trình elliptic với hệ số gián đoạn, đưa bài toán mặt phân cách trong môi trường phân lớp không đồng nhất về một dãy các bài toán con trong các miền con trong đó tính chất của môi trường là liên tục, phương pháp này đã được chứng minh hội tụ ở cả mức liên tục và mức rời rạc, thiết lập được công thức cho tham số lặp tối ưu trong một trường hợp riêng và bằng nhiều ví dụ thử nghiệm chứng tỏ được tốc độ hội tụ nhanh của phương pháp. Đồng thời, trong chương này cũng trình bày một phương pháp lặp song song mới giải bài toán biên của phương trình elliptic với điều kiện biên hỗn hợp mạnh, cho phép giải bài toán hỗn hợp mạnh trên các hệ thống tính toán song song. • Chương 3 : Trình bày các kết quả nghiên cứu mới về phương pháp kết hợp chia miền, hạ cấp phương trình và lặp hiệu chỉnh đạo hàm giải bài toán biên của phương trình song điều hòa với điều kiện biên hỗn hợp mạnh (chênh nhau 3 cấp đạo hàm), trong đó các bài toán biên đối với phương trình song điều hòa được dẫn về các bài toán cấp hai bởi một quá trình lặp, tại mỗi bước lặp các bài toán cấp hai với điều kiện biên hỗn hợp mạnh sẽ được giải bằng phương pháp chia miền đưa về các bài toán biên hỗn hợp yếu để sử dụng các thuật toán hiệu quả có sẵn cho các bài toán cuối. Sự hội tụ của phương pháp được nghiên cứu bằng cách đưa vào một toán tử biên được định nghĩa một cách thích hợp, từ đó việc chứng minh sự hội tụ của các phương pháp được thực hiện bằng việc nghiên cứu các tính chất liên tục, tuyến tính, đối xứng và dương của toán tử. Trên cơ sở lý thuyết đã đạt được, luận 6
án đã đưa ra các sơ đồ lặp kết hợp giải bài toán vết nứt và bài toán về độ uốn của bản với một hoặc hai giá đỡ bên trong. Đặc biệt, với bài toán bản có hai giá đỡ bên trong có thể đây là các kết quả đầu tiên tìm được. Trong luận án, các kết quả lý thuyết đã được kiểm tra bằng các chương trình thử nghiệm dựa trên các hàm trong thư viện chương trình RC2009 trong môi trường MATLAB. Các kết quả của luận án đã được báo cáo tại: 1. The 5th International Conference on High Performance Scientific Com- puting, March 5-9, 2012-Hanoi, Vietnam. 2. The 9th Workshop on Optimization and Scientific Computing, April 20-23, 2011-BaVi, Vietnam. 3. Hội nghị khoa học quốc gia lần thứ V "Nghiên cứu cơ bản và ứng dụng CNTT", tháng 08, 2011-Biên Hòa, Việt Nam. 4. The 20th International Conference on Finite and Infinite Dimensional Complex Analysis and Applications, Hanoi, July 29-August 3, 2012 5. Hội thảo khoa học quốc gia lần thứ 12 (2009), 13 (2010), 14 (2011): "Một số vấn đề chọn lọc của Công nghệ thông tin và Truyền thông". 6. Đề tài khoa học và công nghệ cấp Bộ, mã số B2010-TN07-02 đã nghiệm thu đạt loại xuất sắc, 2012. 7. Các buổi Seminar khoa học của phòng Các phương pháp toán học trong CNTT, Viện CNTT- Viện Khoa học và Công nghệ Việt Nam. 7
Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị và kết quả bổ trợ Chương này trình bày một số kiến thức chuẩn bị, kết quả bổ trợ cần thiết cho các chương tiếp theo được tham khảo từ các tài liệu [1], [2], [7], [61], [62] và [64]. 1.1. Không gian Sobolev 1.1.1. Một số ký hiệu và định nghĩa Cho Ω là một tập mở của Rn và f : Ω 7−→ R là một hàm xác định trong Ω ⊂ Rn . Ta sử dụng các ký hiệu sau: • ∂ |α| f (x) Dα f (x) = ∂xα1 1 ∂xα2 2 ...∂xαnn là đạo hàm riêng cấp |α| của hàm f (x), trong đó α = (α1 , ..., αn ) là một đa chỉ số với mỗi thành phần αi là một số nguyên không âm và |α| = ni=1 αi . P • Z L2 (Ω) = f : Ω 7−→ R| (f (x))2 dΩ < +∞ . Ω 8