Tóm tắt Luận án Tiến sĩ Toán học: Tính hầu tuần hoàn, hầu tự đồng hình và dáng điệu tiệm cận của một số luồng thủy khí trên toàn trục thời gian

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:25

Thêm vào BST

Báo xấu

12
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ Toán học "Tính hầu tuần hoàn, hầu tự đồng hình và dáng điệu tiệm cận của một số luồng thủy khí trên toàn trục thời gian" nghiên cứu sự tồn tại, duy nhất và tính ổn định của nghiệm đủ tốt hầu tuần hoàn, hầu tự đồng hình và một số lớp nghiệm có trong các phương trình (1), (2), (3) trong các không gian nội suy.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tóm tắt Luận án Tiến sĩ Toán học: Tính hầu tuần hoàn, hầu tự đồng hình và dáng điệu tiệm cận của một số luồng thủy khí trên toàn trục thời gian

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI ——————————- LÊ THẾ SẮC TÍNH HẦU TUẦN HOÀN, HẦU TỰ ĐỒNG HÌNH VÀ DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA MỘT SỐ LUỒNG THỦY KHÍ TRÊN TOÀN TRỤC THỜI GIAN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2022
MỞ ĐẦU 1. Tổng quan về hướng nghiên cứu và lý do chọn đề tài Nghiên cứu nghiệm tuần hoàn, hầu tuần hoàn là một hướng nghiên cứu quan trọng liên quan đến tính chất nghiệm của phương trình tiến hóa theo thời gian. Đối với trường hợp nghiệm tuần hoàn, một số phương pháp như nguyên lý Massera, nguyên lý điểm bất động của Tikhonov hay hàm Lya- punov được áp dụng cho một số lớp phương trình vi phân cụ thể. Các phương pháp phổ biến nhất cho việc chứng minh sự tồn tại nghiệm tuần hoàn là tính bị chặn của nghiệm và tính compact của ánh xạ Poincaré thông qua các phép nhúng compact. Tuy nhiên, với trường hợp phương trình đạo hàm riêng trong các miền không bị chặn hay các phương trình có nghiệm không bị chặn thì các phép nhúng compact này không còn đúng nữa và do đó sự tồn tại nghiệm bị chặn sẽ khó đạt được. Bằng cách sử dụng tính chất nội suy của không gian Lp yếu, Yamazaki và nhiều tác giả khác đã chỉ ra sự tồn tại và tính ổn định nghiệm tuần hoàn trên các miền ngoại vi. Nguyễn Thiệu Huy & các cộng sự đã kết hợp giữa nguyên lý dạng Massera và không gian nội suy, các hàm tử nội suy kết hợp với phương pháp Ergodic để chứng minh sự tồn tại nghiệm tuần hoàn của các phương trình cơ học chất lỏng và các phương trình truyền nhiệt với hệ số thô, phương trình Ornstein - Uhlenbeck. Gần đây, Nguyễn Thiệu Huy & các cộng sự đã chỉ ra được sự tồn tại, duy nhất và tính ổn định cấp đa thức của nghiệm hầu tuần hoàn cho một lớp phương trình tiến hóa parabolic tổng quát trên các không gian nội suy. Khái niệm về hàm hầu tuần hoàn có trọng được giới thiệu đầu tiên bởi Zhang vào năm 1994. Sau đó, Diagana đã đưa ra khái niệm hàm tựa hầu tuần hoàn có trọng vào năm 2008. Trong những năm gần đây, loại hàm này nhận được nhiều sự quan tâm của các nhà toán học. Khái niệm về hàm hầu tự đồng hình lần đầu được giới thiệu bởi Bochner như một sự tổng quát hóa của hàm hầu tuần hoàn trong các công trình nghiên cứu hình học vi phân có liên quan tới các nhóm rời rạc. Sau đó, các nhóm nghiên cứu của N’Guérékata và của Xiao đã tổng quát hóa khái niệm hàm hầu tự đồng hình bằng hàm hầu tự đồng hình có trọng. Khái niệm về hàm hầu tự đồng hình theo nghĩa Stepanov được đưa ra bởi Casarino như là một sự khái quát hóa hàm hầu tự 1
đồng hình theo ý tưởng của Stepanov. Tiếp nối sự phát triển đó là sự ra đời của hàm tựa hầu tự đồng hình theo nghĩa Stepanov có trọng được giới thiệu bởi Xia & Fan. Trong luận án này, chúng tôi tiếp tục nghiên cứu các bài toán về sự tồn tại, duy nhất và tính ổn định cấp đa thức của một số lớp nghiệm đủ tốt định nghĩa trên toàn trục thời gian cho 3 dạng phương trình sau: • Dạng 1. Xét phương trình tiến hóa tổng quát dạng: u (t) + Au(t) = BG(u)(t), t ∈ R. (1) • Dạng 2. Xét phương trình Navier-Stokes trên nửa không gian Rn : +   ut + (u · )u − ∆u + π = divF   trong R × Rn , + ·u = 0 trong R × Rn ,   + u(t, x) = 0 trên R × ∂Rn , (2)   +    lim u(t, x) = 0 với t ∈ R. |x|→∞ • Dạng 3. Xét hệ phương trình Boussinesq dạng   ut + (u · )u − ∆u + p = θg + divF  trong R × Ω,  ·u = 0 trong R × Ω,  (3)   θt − ∆θ + (u · )θ = divf trong R × Ω, trên R × ∂Ω.   u(t, x) = θ(t, x) = 0 Đối với phương trình (1), các tác giả như Geissert, Hieber và Nguyễn Thiệu Huy đã chỉ ra sự tồn tại, duy nhất và tính ổn định của nghiệm bị chặn, nghiệm hầu tuần hoàn với nửa nhóm ổn định cấp đa thức. Kobayashi & Kubo đã chỉ ra được sự tồn tại, duy nhất và dáng điệu tiệm cận của nghiệm đủ tốt của phương trình (2). Trong khi Fife, Cannon, Hishida và Ferreira đã chỉ ra sự tồn tại của nghiệm yếu và nghiệm đủ tốt thì Roa và Nakao đã chỉ ra sự tồn tại của nghiệm tuần hoàn của phương trình (3). Tuy nhiên, sự tồn tại của nghiệm đủ tốt hầu tuần hoàn, tựa hầu tuần hoàn có trọng, hầu tự đồng hình, hầu tự đồng hình theo nghĩa Stepanov và tựa hầu tự đồng hình có trọng định nghĩa trên toàn trục thời gian và tính ổn định của các phương trình trên cho đến nay vẫn là các vấn đề mở. Từ lịch sử quá trình nghiên cứu và các lý do trên đây dẫn chúng tôi đến việc lựa chọn đề tài: Tính hầu tuần hoàn, hầu tự đồng hình và dáng điệu tiệm cận của một số luồng thủy khí trên toàn trục thời gian. 2
2. Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu • Mục đích nghiên cứu của luận án: Nghiên cứu sự tồn tại, duy nhất và tính ổn định của nghiệm đủ tốt hầu tuần hoàn, hầu tự đồng hình và một số lớp nghiệm có trọng của các phương trình (1), (2) và (3) trong các không gian nội suy. • Đối tượng nghiên cứu của luận án: Một số lớp nghiệm đủ tốt của các phương trình (1), (2) và (3) trong miền không bị chặn và trên toàn trục thời gian R trong các không gian nội suy như không gian Lorentz, không gian Lorentz có trọng Muckenhoupt và không gian tích Đề-Các của các không gian Lorentz. • Phạm vi nghiên cứu của luận án: Luận án nghiên cứu sự tồn tại, duy nhất và tính ổn định của nghiệm đủ tốt hầu tuần hoàn, hầu tự đồng hình, hầu tự đồng hình theo nghĩa Stepanov, tựa hầu tuần hoàn có trọng, tựa hầu tự đồng hình có trọng và tựa hầu tự đồng hình theo nghĩa Stepanov có trọng tương ứng với ba lớp phương trình: - Phương trình tiến hóa parabolic tổng quát có dạng (1) với điều kiện nửa nhóm liên kết ổn định cấp đa thức trong các không gian nội suy tổng quát. Sau đó áp dụng vào các phương trình động lực học thủy khí dạng Navier-Stokes trong miền không bị chặn. - Phương trình Navier-Stokes (2) trên nửa không gian và trong các không gian Lorentz có trọng Muckenhoupt. - Phương trình Boussinesq (3) trên miền không bị chặn trong không gian tích Đề-Các của các không gian Lorentz. 3. Phương pháp nghiên cứu • Sử dụng phép chiếu Helmholtz và dạng ma trận của hệ phương trình để chuyển các phương trình cụ thể về dạng tổng quát. • Sử dụng lý thuyết về hàm hầu tuần hoàn, hầu tự đồng hình, các loại hàm có trọng, lý thuyết nội suy, đánh giá Lp − Lq , bất đẳng thức đối ngẫu để chứng minh nguyên lý dạng Massera trong việc chỉ ra sự tồn tại một số lớp nghiệm của phương trình tuyến tính. • Sử dụng các đánh giá Lp − Lq , đánh giá Lp − Lq có trọng và nguyên lý ánh xạ co để nghiên cứu sự tồn tại và tính ổn định một số lớp nghiệm của phương trình nửa tuyến tính. 3
4. Kết quả của luận án Luận án đã chứng minh được sự tồn tại, duy nhất và tính ổn định cấp đa thức của nghiệm đủ tốt hầu tuần hoàn, hầu tự đồng hình, hầu tự đồng hình theo nghĩa Stepanov, tựa hầu tuần hoàn có trọng, tựa hầu tự đồng hình có trọng và tựa hầu tự đồng hình theo nghĩa Stepanov có trọng cho ba lớp phương trình sau đây: • Phương trình tiến hóa parabolic (1) trong các không gian nội suy tổng quát. Sau đó áp dụng vào các phương trình động lực học thủy khí. Các kết quả này nằm trong Chương 2 và đã mở rộng các kết quả trước đây bằng việc nghiên cứu các lớp nghiệm đủ tốt trên toàn trục thời gian. • Phương trình Navier-Stokes trên nửa không gian (2) trong các không gian Lorentz có trọng Muckenhoupt. Các kết quả nằm trong Chương 3 và đã mở rộng một phần kết quả của Chương 2 về phương trình Navier-Stokes. Đặc biệt, khi các trọng Muckenhoupt bằng nhau thì ta thu được kết quả về tính ổn định cấp đa thức như ở Chương 2. • Phương trình Boussinesq trên miền ngoại vi (3) trong không gian tích Đề-Các của các không gian Lorentz. Các kết quả này nằm ở Chương 4 và đã mở rộng các kết quả ở Chương 2 về phương trình Navier-Stokes trên miền ngoài. Đặc biệt, khi hàm nhiệt độ bằng 0 ta thu được các kết quả như ở Chương 2. Các kết quả nghiên cứu trong luận án được viết thành 04 bài báo và 01 bản thảo đang gửi đăng được liệt kê ở “Danh mục các công trình đã công bố của luận án". 5. Cấu trúc của luận án Ngoài các phần: Lời cam đoan, Lời cảm ơn, Một số kí hiệu dùng trong luận án, Mở đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo, Danh mục các công trình đã công bố của luận án, luận án được chia thành 4 chương sau: Chương 1. Kiến thức chuẩn bị. Chương 2. Sự tồn tại và tính ổn định của một số lớp nghiệm của phương trình tiến hóa trên không gian nội suy. Chương 3. Một số lớp nghiệm của phương trình Navier-Stokes trên không gian Lorentz có trọng Muckenhoupt. Chương 4. Một số lớp nghiệm của phương trình Boussinesq trong miền không bị chặn. 4
Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Nửa nhóm Nhắc lại một số định nghĩa và các tính chất cơ bản của nửa nhóm, nửa nhóm liên tục mạnh và nửa nhóm giải tích. 1.2 Không gian nội suy và một số lớp hàm Định nghĩa 1.2.1. Cho X0 , X1 là các không gian Banach. Cặp (X0 , X1 ) được gọi là cặp nội suy nếu X0 và X1 được nhúng liên tục vào một không gian véc tơ tôpô Hausdorff V . Khi đó X0 ∩ X1 là không gian con của V và nó là một không gian Banach với chuẩn: x X0 ∩X1 := x X0 + x X1 . Tổng X0 + X1 := {x = x0 + x1 : x0 ∈ X0 , x1 ∈ X1 } cũng là một không gian con của V và nó là một không gian Banach với chuẩn: x X0 +X1 := inf{ x0 X0 + x1 X1 : x = x0 + x1 , x0 ∈ X0 , x1 ∈ X1 }. Với cặp nội suy (X0 , X1 ), ta gọi không gian Banach X bất kỳ thỏa mãn X0 ∩ X1 ⊆ X ⊆ X0 + X1 , với các phép nhúng liên tục là một không gian nội suy giữa X0 và X1 . 1.2.1 Không gian nội suy thực Cho cặp nội suy (X0 , X1 ). Với x ∈ X0 + X1 và t ≥ 0, ta đặt K(t, x) := inf { x0 X0 + t x1 X1 , x = x0 + x1 , x0 ∈ X0 , x1 ∈ X1 } . Định nghĩa 1.2.2. Cho θ ∈ (0, 1) và q ∈ [1, ∞]. Ta định nghĩa một số không gian nội suy thực như sau: 5
i) (X0 , X1 )θ,q := x ∈ X0 + X1 : x (X0 ,X1 )θ,q < ∞ , trong đó  ∞ 1 q dt  x (X0 ,X1 )θ,q :=  [t−θ K(t, x)]q với q < ∞ t 0 và x (X0 ,X1 )θ,∞ := sup t−θ K(t, x). t∈(0,∞) ii) (X0 , X1 )θ := x ∈ (X0 , X1 )θ,∞ : lim t−θ K(t, x) = lim t−θ K(t, x) = 0 . + t→0 t→∞ 1.2.2 Không gian Lorentz Cho Ω là miền thuộc Rn với biên trơn. Ta kí hiệu: ∞ ∞ · Lp C0,σ (Ω) := {v ∈ C0 (Ω) : divv = 0 trong Ω}, Lp (Ω) := C0,σ (Ω) σ ∞ . Định nghĩa 1.2.3. Với 1 < p < ∞ và 1 ≤ q ≤ ∞, không gian Lorentz được định nghĩa như sau: Lp,q (Ω) = u ∈ L1 (Ω) : u p,q < ∞ , loc  ∞ 1/q q ds  với u p,q = sµ({x ∈ Ω : |u(x)| > s})1/p , 1≤q s})1/p . s>0 p,∞ p Ta gọi L (Ω) := Lw (Ω) là không gian Lp yếu. Mệnh đề 1.2.4. Nếu 1 < p0 < p < p1 < ∞, q ∈ [1, ∞] và θ ∈ (0, 1) thỏa mãn 1 1−θ θ = + p p0 p1 thì Lp,q (Ω) = (Lp0 (Ω), Lp1 (Ω))θ,q . Với mỗi 1 < r < ∞, cho P = Pr là phép chiếu Helmholtz trên Lr (Ω), nghĩa là phép chiếu trên Lr (Ω) tương đương với phân rã Helmholtz: σ σ loc ¯ Lr (Ω) = Lr (Ω) ⊕ { p ∈ Lr (Ω) : p ∈ Lr (Ω)}. 6
Đặt Lr,q (Ω) := (Lr0 (Ω), Lr1 (Ω))θ,q , với 1 < r0 ≤ r ≤ r1 < ∞, 1 ≤ q ≤ ∞ và σ σ σ 1 1−θ θ = + . r r0 r1 Kí hiệu Lr (Ω) := Lr,∞ (Ω). σ,w σ 1.2.3 Không gian Lorentz với trọng Muckenhoupt Định nghĩa 1.2.5. Với 1 < q < ∞, một hàm trọng 0 ≤ ω ∈ L1 (Rn ) được loc n gọi là thuộc lớp Muckenhoupt Aq (R ) nếu nó thỏa mãn   q−1  1  1 sup  ωdx  ω −1/(q−1) dx < ∞,  Q |Q| |Q| Q Q trong đó Q ⊂ Rn và |Q| là độ đo Lebesgues của Q. Định nghĩa 1.2.6. Với 1 < q < ∞, không gian Lq (Rn ) với trọng Mucken- + houpt ω ∈ Aq (Rn ) được định nghĩa như sau:   1/q        q n 1 n ) : u q n = uω 1/q q n = q Lω (R+ ) = u ∈ Lloc (R+  |u| ωdx < ∞ .   Lω (R+ ) L (R+ )      Rn +  Tương tự, ta có định nghĩa các không gian Sobolev có trọng sau đây Wω (Rn ) = {u ∈ Lq (Rn ) : k,q + ω + α u ∈ Lq (Rn ), |α| ≤ k} , ω + ˆ k,q + Wω (Rn ) = u ∈ L1 (Rn ) : loc + α u ∈ Lq (Rn ), |α| = k , ω + với 1 < q < ∞, k ∈ N và ω ∈ Aq (Rn ). Không gian Wω (Rn ) là không gian k,q + Banach với chuẩn  1/q α q u k,q Wω (Rn ) + :=  u Lq (Rn ) ω  . + |α|≤k Áp dụng phân rã Helmholtz trên Lq (Rn ) ta được ω + Lq (Rn ) = Lq (Rn ) ⊕ ω + ω,σ + ˆ 1,q + Wω (Rn ), 7
trong đó Lq (Rn ) Lq (Rn ) ∞ ω + ω,σ + = {u ∈ C0 (Rn ) + : · u = 0} , ˆ 1,q + Wω (Rn ) = ˆ 1,q + π : π ∈ Wω (Rn ) . Đặt Lq,r (Rn ) := (Lq0 , Lq1 )θ,r , với 1 < q0 ≤ q ≤ q1 < ∞, 1 ≤ r ≤ ∞ và ω,σ + ω,σ ω,σ 1 1−θ θ = + . q q0 q1 1.2.4 Không gian Besov Cho χ ∈ C ∞ (Rn , R) sao cho suppχ ⊆ B(0, 4/3), 0 ≤ χ ≤ 1 và χ ≡ 1 trong B(0, 4/3). Đặt φ(ξ) := χ(ξ/2) − χ(ξ) và h := F −1 φ với F là biến đổi Fourier. ˙ Phép phân hoạch Littlewood-Paley (∆j )j∈Z được xác định bởi ˙ ∆j u(x) = 2jn h(2j y)u(x − y)dy = F−1 φ(2−j )F)(x). Rn ˙ ˙ Hơn nữa, chúng tôi xét toán tử Sj u = j ≤j−1 ∆j u. Với s ∈ R và p, q ∈ [1, ∞], không gian thuần nhất Besov xác định bởi ˙s Bp,q (Rn ) = {u ∈ Sh : u ˙s < ∞} Bp,q với Sh là tập tất cả các hàm suy rộng ôn hòa u sao cho lim Sj u = 0 trong j→−∞ tôpô của hàm suy rộng ôn hòa và  1/q ˙ q  u ˙s Bp,q = 2sqj ∆j u Lp , q 0 tồn tại một số thực Lε > 0 sao cho với mọi a ∈ R có thể tìm được T ∈ [a, a + Lε ] thỏa mãn f (t + T ) − f (t) X < ε, ∀t ∈ R. 8
Kí hiệu tập các hàm hầu tuần hoàn từ R → X bởi AP (R, X) và nó là một không gian Banach với chuẩn sup. √ Ví dụ 1.2.8. Hàm f (t) = sin t + sin 2t là hầu tuần hoàn nhưng không tuần hoàn. Định nghĩa 1.2.9. Hàm liên tục f : R → X được gọi là hầu tự đồng hình nếu với mọi dãy số thực (σn ), tồn tại một dãy con (σn ) và hàm g(t) sao cho g(t) = lim f (t + σn ) và f (t) = lim g(t − σn ) (1.1) n→∞ n→∞ xác định với mỗi t ∈ R. Kí hiệu tập các hàm hầu tự đồng hình với giá trị trong không gian Banach X bởi AA(R, X) và nó là một không gian Banach với chuẩn sup. 1 Ví dụ 1.2.10. Hàm f (t) = cos √ là hầu tự đồng hình 2 + sin t + sin 2t nhưng không hầu tuần hoàn. Định nghĩa 1.2.11. Hàm f ∈ Lp (R, X) được gọi là bị chặn p-Stepanov nếu loc  t+1 1/p p f Sp := sup  f (s) ds < ∞. t∈R t Kí hiệu tập các hàm bị chặn p−Stepanov bởi Lp (R, X). s Định nghĩa 1.2.12. Hàm f ∈ Lp (R, X) được gọi là hầu tự đồng hình theo s nghĩa Stepanov nếu với mọi dãy số thực (σn ), tồn tại một dãy con (σn ) và hàm g ∈ Lp (R, X) sao cho loc  1 1/p p  f (t + s + σn ) − g(t + s) X ds −→ 0, 0 và  1/p 1 p  g(t + s − σn ) − f (t + s) X ds −→ 0 0 khi n → ∞ với mọi t ∈ R. 9
Kí hiệu tập các hàm hầu tự đồng hình theo nghĩa Stepanov bởi S p AA(R, X) và nó là không gian Banach với chuẩn:  t+1 1/p p f Sp = sup  f (s) ds . t∈R t 1.2.6 Hàm tựa hầu tuần hoàn, tựa hầu tự đồng hình có trọng Kí hiệu U := {ρ : R → R+ |ρ khả tích địa phương}. Với r > 0 và với mỗi ρ ∈ U, ta đặt r m(r, ρ) := ρ(x)dx và U∞ := ρ ∈ U : lim m(r, ρ) = ∞ . r→∞ −r Với mỗi ρ ∈ U∞ , không gian P AA0 (R, ρ) các hàm có trọng ρ xác định bởi:  r   1  P AA0 (R, ρ) := φ ∈ BC(R, X) : lim φ(s) X ρ(s)ds = 0 .  r→∞ m(r, ρ)  −r Định nghĩa 1.2.13. Hàm liên tục f : R → X được gọi là tựa hầu tuần hoàn có trọng ρ nếu f = g + φ với g ∈ AP (R, X) và φ ∈ P AA0 (R, ρ). Kí hiệu W P AP (R, X) là tập các hàm tựa hầu tuần hoàn có trọng ρ. Định nghĩa 1.2.14. Hàm liên tục f : R → X được gọi là tựa hầu tự đồng hình có trọng ρ (tương ứng tựa hầu tự đồng hình theo nghĩa Stepanov có trọng ρ) nếu f = g + φ với g ∈ AA(R, X) (tương ứng g ∈ S p AA(R, X)) và φ ∈ P AA0 (R, ρ). Kí hiệu W P AA(R, X) và W S p AA(R, X) lần lượt là tập các hàm tựa hầu tự đồng hình và tựa hầu tự đồng hình theo nghĩa Stepanov có trọng ρ. 10
Chương 2 SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT SỐ LỚP NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HÓA TRÊN KHÔNG GIAN NỘI SUY 2.1 Tính chất nghiệm của phương trình tuyến tính 2.1.1 Nghiệm hầu tuần hoàn, hầu tự đồng hình Cho các không gian Banach X, Y1 và Y2 . Xét phương trình tuyến tính u (t) + Au(t) = Bf (t), t ∈ R, (2.1) với u ∈ Y := (Y1 , Y2 )θ,∞ , (0 < θ < 1), f (t) ∈ X và B là toán tử tuyến tính từ X đến Y sao cho e−tA B ∈ L(X, Yi ) với i = 1, 2. Giả thiết 2.1.1. Giả sử Yi có tiền đối ngẫu Banach Zi (hay Yi = Zi ) sao cho Z1 ∩ Z2 trù mật trong Zi với i = 1, 2. Cho −A là toán tử sinh của C0 -nửa nhóm bị chặn (e−tA )t≥0 trên Y1 và Y2 . Hơn nữa, giả sử tồn tại các hằng số α1 , α2 ∈ R với 0 < α2 < 1 < α1 và L > 0 sao cho e−tA Bv Y1 ≤Lt−α1 v X, t > 0, (2.2) e−tA Bv Y2 ≤Lt−α2 v X, t > 0. Hàm u ∈ C(R, Y ) là nghiệm đủ tốt của (2.1) nếu t u(t) = e−(t−τ )A Bf (τ )dτ, ∀t ∈ R. −∞ Định lý 2.1.2. Giả sử Giả thiết 2.1.1 được thỏa mãn. Nếu f ∈ AP (R, X) hoặc f ∈ AA(R, X) hoặc f ∈ S p AA(R, X) thì (2.1) có nghiệm đủ tốt tương ứng u ∈ AP (R, Y ) hoặc u ∈ AA(R, Y ) hoặc u ∈ S p AA(R, Y ) thỏa mãn u(t) Y ˜ ≤L f ∞,X , ˜ L ≥ 1. 11
2.1.2 Nghiệm tựa hầu tuần hoàn, tựa hầu tự đồng hình có trọng Bổ đề 2.1.3. Giả sử Giả thiết 2.1.1 được thỏa mãn. Với hàm φ ∈ P AA0 (R, ρ) và ρ ∈ U∞ ta có s e−(s−τ )A Bφ(τ )dτ ∈ P AA0 (R, ρ). −∞ Định lý 2.1.4. Giả sử Giả thiết 2.1.1 được thỏa mãn và hàm f = g + φ với φ ∈ P AA0 (R, ρ) và ρ ∈ U∞ . Khi đó các khẳng định sau là đúng: i) Nếu g ∈ AP (R, X) thì phương trình (2.1) có nghiệm u ∈ W P AP (R, Y ). ii) Nếu g ∈ AA(R, X) thì phương trình (2.1) có nghiệm u ∈ W P AA(R, Y ). iii) Nếu g ∈ S p AA(R, X) thì phương trình (2.1) có nghiệm u ∈ W P S p AA(R, Y ). 2.2 Tính chất nghiệm của phương trình tiến hóa nửa tuyến tính 2.2.1 Sự tồn tại của một số lớp nghiệm Xét phương trình tiến hóa nửa tuyến tính dạng u (t) + Au(t) = BG(u)(t), t ∈ R, (2.3) với A và B thỏa mãn Giả thiết 2.1.1 và G : BC(R, Y ) → BC(R, X). Hàm u ∈ C(R, Y ) gọi là nghiệm đủ tốt của (2.3) nếu nó thỏa mãn t u(t) = e−(t−τ )A BG(u)(τ )dτ. (2.4) −∞ Ký hiệu M(R, Y ) thay thế cho một trong số các không gian sau: AP (R, Y ), AA(R, Y ), S p AA(R, Y ), W P AP (R, Y ), W P AA(R, Y ) và W S p AA(R, Y ). Đặt BM (0, R) := ω ∈ M(R, Y ) : ω BC(R,Y ) ≤ R . 12
Giả thiết 2.2.1. Giả sử toán tử G : BC(R, Y ) −→ BC(R, X) trong (2.3) biến một hàm thuộc M(R, Y ) thành một hàm thuộc M(R, X) và thỏa mãn G(u) − G(v) BC(R,X) ≤L u−v BC(R,Y ) , ∀u, v ∈ BM (0, R), ˜ R(1 − LL) ˜ với L, R > 0 sao cho LL < 1 và G(0) L∞ (R,X) ≤ . ˜ L Định lý 2.2.2. Giả sử Giả thiết 2.1.1 và Giả thiết 2.2.1 được thỏa mãn. Khi đó phương trình (2.3) có nghiệm đủ tốt duy nhất u ∈ BM (0, R). ˆ 2.2.2 Tính ổn định nghiệm Giả thiết 2.2.3. Giả sử các điều kiện sau đây được thỏa mãn: i) Tồn tại không gian Banach T với đối ngẫu T , không gian nội suy (Q1 , Q2 )θ,1 với đối ngẫu (Q1 , Q2 )(θ,1) := Q và tồn tại các hằng số β1 , β2 ˜ ˜ ˜ ˜ sao cho 0 < β2 < 1 < β1 và 1 = (1 − θ)β1 + θβ2 . Hơn nữa, tồn tại các hằng số M1 , M2 > 0 sao cho với mọi t > 0 ta có B e−tA ψ ≤ M1 t−β1 ψ Q1 , T B e−tA ψ ≤ M2 t−β2 ψ Q2 , T e−tA ψ Q ≤ Ct−γ ψ Y , 0 < γ < 1. ii) Toán tử phi tuyến G : BC(R, Y ) −→ BC(R, T ) thỏa mãn G(v1 )−G(v2 ) L∞ (R,T ) ≤ κ + v1 BC(R,Y ) + v2 BC(R,Y ) v1 −v2 BC(R,Q) , với hằng số κ > 0 và với mọi v1 , v2 ∈ BC(R, Q) ∩ BC(R, Y ). Định lý 2.2.4. Giả sử Giả thiết 2.1.1, Giả thiết 2.2.1 và Giả thiết 2.2.3 được thỏa mãn. Khi đó nghiệm đủ tốt đủ nhỏ u của (2.3) là ổn định cấp đa thức, ˆ nghĩa là với nghiệm bất kỳ u ∈ BC(R, Y ) của (2.3) thỏa mãn u(0) − u(0) Y ˆ và κ > 0 đủ nhỏ, ta có u(t) − u(t) ˆ Q ≤ Dt−γ , ∀t > 0, (2.5) với hằng số D > 0 độc lâp với u và u. ˆ 13
2.3 Một số ứng dụng 2.3.1 Phương trình Navier-Stokes trên miền ngoại vi Xét phương trình Navier-Stokes trên miền ngoại vi Ω ⊂ R3 với biên ∂Ω thuộc lớp C 3 : ut + (u · )u − ∆u + p = divF trong R × Ω, (2.6) ·u =0 trong R × Ω. Áp dụng phép chiếu Helmholtz P ta thu được phương trình u (t) + Au(t) = PdivG(u)(t), t ∈ R (2.7) với G(u)(t) = −u(t) ⊗ u(t) + F (t) và A := −P∆. 3/2 Giả thiết 2.1.1, 2.2.1 và 2.2.3 được thỏa mãn với B = Pdiv, X = Lw (Ω)3×3 , (r+3)/3r 1 3 Y = L3 (Ω), Q = Lr (Ω), T = Lσ,w σ,w σ,w (Ω) và γ = − (r > 3). 2 2r Định lý 2.3.1. Với ten-xơ bậc hai F ∈ BC(R, X), ta có các khẳng định sau: R ˜ i) Nếu F ∈ M(R, X) sao cho F L∞ (R,X) − 2R2 , với 2RL < 1 thì ≤ ˜ L (2.7) có nghiệm đủ tốt duy nhất u ∈ BM (0, R). ˆ ii) Nghiệm đủ tốt u với chuẩn đủ nhỏ của phương trình (2.7) là ổn định ˆ cấp đa thức, nghĩa là với nghiệm bất kỳ u ∈ BC(R; Y ) của (2.7) sao cho u(0) − u(0) Y đủ nhỏ thì với r > 3 và t > 0 ta có ˆ ≤ Ct−( 2 − 2r ) . 1 3 u(t) − u(t) ˆ r,w 2.3.2 Dòng Navier-Stokes dọc theo vật cản vừa xoay vừa tịnh tiến Xét dòng Navier-Stokes dọc theo vật cản vừa xoay vừa tịnh tiến D ⊂ R3 với biên trơn, vận tốc tịnh tiến u∞ = (0, 0, k) và vận tốc góc ω = (0, 0, a):   ut + (u · )u − ∆u + k∂3 u + p = (ω × x) · u   −ω × u + divF trong R × Ω,    ·u =0 trong R × Ω, u = ω × x − ke3 trên R × ∂Ω,   (2.8) 14
với Ω = R3 \D(0), D(0) là vị trí của D tại t = 0 và e3 = (0, 0, 1). ∞ Cho ϕ ∈ C0 (R3 ) là một hàm “ngắt gọn” thỏa mãn ϕ ≥ 0, ϕ ≡ 1 trong một lân cận của Ωc và supp ϕ ⊆ B(0, r) với r > 0. Đặt 1 1 bω,k := − × ϕ(x)|x|2 ω + × × ϕ(x)k|x|2 e3 . 2 4 ∞ Khi đó bω,k ∈ C0 (Ω), divbω,k = 0 và bω,k = ω × x − ke3 trên ∂Ω. Bằng các phép tính toán sơ cấp, ta thu được bω,k = divFω + divFk  a  0 ϕ (x) |x|2 0  a 2  với Fω =  − ϕ (x) |x|2 0 0  và 2   0 0 0 |x|2 ∂3 ϕ(x) + 2x3 ϕ(x) −|x|2 ∂1 ϕ(x) − 2x1 ϕ(x)   0 k Fk =  0 |x|2 ∂3 ϕ(x) + 2x3 ϕ(x) −|x|2 ∂2 ϕ(x) − 2x2 ϕ(x)  4 0 0 0 Với 1 < p < ∞, ta định nghĩa toán tử L như sau: Lu := −P [∆u − k∂3 u + (ω × x) · u − ω × u] , (2.9) D(L) := u ∈ Lp (Ω) ∩ W 2,p (Ω) : u|∂u = 0 và (ω × x) · σ u ∈ Lp (Ω) . Đặt v := u − bω,k , ta thấy rằng u là nghiệm của phương trình (2.8) khi và chỉ khi v là nghiệm của phương trình v (t) + Lv(t) = PdivG(v)(t), t ∈ R (2.10) với G(v) = F +Fω +Fk +(ω×x)⊗bω,k + bω,k +bω,k ⊗v+v⊗v+bω,k ⊗v+bω,k ⊗bω,k . 3/2 (r+3)/3r Đặt B = Pdiv, X = Lw (Ω)3×3 ), Y = L3 (Ω), Q = Lr (Ω), T = Lσ,w σ,w σ,w (Ω) 1 3 và γ = − (r > 3), ta thu được các kết quả sau: 2 2r Định lý 2.3.2. Với ten-xơ bậc hai F ∈ BC(R, X), ta có các khẳng định sau: i) Nếu F ∈ M(R, X) và F ∞, 3 ,w đủ nhỏ thì tồn tại duy nhất nghiệm đủ 2 tốt v ∈ BM (0, R) của (2.10). ˆ 15
ii) Nghiệm đủ tốt v với chuẩn đủ nhỏ của (2.10) là ổn định cấp đa thức, ˆ nghĩa là với nghiệm bất kỳ v ∈ BC(R, Y ) của (2.10) thỏa mãn v(0) − v (0) ˆ Y đủ nhỏ thì với mọi t > 0 ta có v(t) − v (t) ˆ Q ≤ Dt−γ . 2.3.3 Phương trình Navier-Stokes trong miền có lỗ thủng Cho Ω ⊂ Rn (n ≥ 3) là một miền có lỗ thủng với biên ∂Ω trơn, nghĩa là tồn tại R > k > 0 sao cho Ω \ B(0, R) = (Rn ∪ Rn ) \ B(0, R), +k −k trong đó B(0, R) là quả cầu mở trong Rn và Rn := {x ∈ Rn : ± xn > k} . ±k Do Ω là miền liên thông nên ta có thể lấy hai miền con rời nhau Ω± của Ω và một đa tạp trơn (n − 1)-chiều M (được gọi là lỗ thủng của Ω) thỏa mãn Ω± \B(0, R) = Rn \B(0, R), M ∪∂M = ∂Ω+ ∩∂Ω− ⊂ B(0, R) và Ω = Ω+ ∪Ω− ∪M. ±k Ta xét phương trình Navier-Stokes trong miền Ω ⊂ Rn với thông lượng xuyên qua lỗ thủng M bằng không như sau   ut + (u · )u − ∆u + p = divF  trong R × Ω,    ·u = 0 trong R × Ω, u(t, x) = 0 trên R × ∂Ω, (2.11)  u (t, x) · ndσ = 0.     M Sử dụng toán tử Stokes trên Lp (Ω) với 1 < p < ∞ xác định bởi σ 1,p A = −P∆ với D(A) = W 2,p (Ω) ∩ W0 (Ω) ∩ Lp (Ω). σ (2.12) Áp dụng phép chiếu Helmholtz, (2.11) được viết lại trên Lr,q bởi σ u (t) + Au(t) = PdivG(u)(t), t ∈ R, (2.13) với G(u)(t) = −u(t) ⊗ u(t) + F (t). n/2 (r+n)/nr Đặt X = Lw (Ω)n×n ), Y = Ln (Ω), Q = Lr (Ω), T = Lσ,w σ,w σ,w (Ω) và 1 n γ= − (r > n), ta thu được các kết quả sau: 2 2r Định lý 2.3.3. Với ten-xơ bậc hai F ∈ BC(R, X), ta có các khẳng định sau: 16
i) Nếu F ∈ M(R, X) và F M(R,X) đủ nhỏ thì tồn tại duy nhất nghiệm đủ tốt u ∈ BM (0, R) của (2.13). ˆ ii) Nghiệm đủ tốt u với chuẩn đủ nhỏ của phương trình (2.13) là ổn định ˆ cấp đa thức, nghĩa là với nghiệm bất kỳ u ∈ BC(R, Y ) của (2.13) sao cho u(0) − u(0) Y đủ nhỏ thì với mọi t > 0 ta có ˆ u(t) − u(t) ˆ Q ≤ Dt−γ . 2.3.4 Phương trình Navier-Stokes trong không gian Besov Xét phương trình Navier-Stokes trên Rn ut + (u · )u − ∆u + p = divF trong R × Rn , (2.14) ·u =0 trong R × Rn , với u(t) thuộc không gian Besov phù hợp. Sử dụng phép chiếu Helmholtz P, phương trình (2.14) được viết lại thành u (t) + Au(t) = PdivG(u)(t), t ∈ R, (2.15) với G(u)(t) = F (t) − u(t) ⊗ u(t) và A := −P∆. ˙ s−2 ˙s ˙ r−2 ˙r Đặt X = Bp,∞ (Rn )n×n , Y = Bp,∞ (Rn ), T = Bp,∞ (Rn ), Q = Bp,∞(Rn ) , n A = −P∆ và B = Pdiv, với s = − 1, ta thu được kết quả sau: p n Định lý 2.3.4. Cho s > 0, p ∈ [2, n) và 3 ≤ n ∈ N sao cho s = − 1. Giả p sử ten-xơ bậc hai F ∈ BC(R, X). R ˜ i) Nếu F ∈ M(R, X) sao cho F M(R,X) −C(n, p)R2 , LRC(n, p) < 1 < ˜ L thì (2.15) tồn tại duy nhất nghiệm đủ tốt u ∈ BM (0, R). ˆ ii) Nghiệm đủ nhỏ u của (2.15) là ổn định cấp đa thức, nghĩa là với nghiệm ˆ bất kỳ u ∈ M(R; Y ) của (2.15) sao cho u(0) − u(0) Y đủ nhỏ thì với ˆ r > s và t > 0 ta có ≤ Ct−( 2 − 2r ) . 1 s u(t) − u(t) ˆ Q 17
Chương 3 MỘT SỐ LỚP NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH NAVIER-STOKES TRÊN KHÔNG GIAN LORENTZ CÓ TRỌNG MUCKENHOUPT Xét phương trình Navier-Stokes trên nửa không gian Rn dạng +   ut + (u · )u − ∆u + π = divF   trong R × Rn , + n ·u = 0 trong R × R+ ,  (3.1)   u(t, x) = 0 trên R × ∂Rn , + với t ∈ R.   lim|x|→∞ u(t, x) = 0 Áp dụng phép chiếu Helmholtz P, phương trình (3.1) trở thành u (t) + Au(t) = Pdiv(−u(t) ⊗ u(t) + F (t)), t ∈ R, (3.2) với A = −P∆ và X là không gian Lorentz với trọng Muckenhoupt phù hợp. 3.1 Các đánh giá Lp − Lq giữa các không gian Lorentz có trọng Muckenhoupt Không gian Lp (Rn ) với lớp trọng Muckenhopt cho bởi ω + s1 sn ω s (x) = x xn = (1 + |x |2 )s1 /2 (1 + |xn |2 )sn /2 , với s = (s1 , sn ), s = (s1 , sn ), x = (x1 , x2 , ..., xn ), x = (x1 , x2 , ..., xn−1 ) và n−1 1 1 1 − < s1 ≤ s1 < (n − 1) 1 − và − < sn ≤ sn < 1 − . q p q p Bổ đề 3.1.1. Giả sử n ≥ 2 và 1 ≤ r ≤ ∞. Với a ∈ Lp,r,σ (Rn ) và t > 0, các ωs + khẳng định sau là đúng: i) Nếu 1 < p ≤ q < ∞ thì (s1 +sn )−(s1 +sn ) e−tA a Lq,r ≤ Ct−n(1/p−1/q)/2 (1 + t)− 2 a Lp,r,σ , ωs ω s ,σ 18
(s1 +sn )−(s1 +sn ) e−tA a Lq,r ≤ Ct−n(1/p−1/q)/2−1/2 (1 + t)− 2 a Lp,r,σ . ωs ω s ,σ ii) Nếu 1 < p < q < ∞ thì (s1 +sn )−(s1 +sn ) e−tA a Lq,1 ≤ Ct−n(1/p−1/q)/2 (1 + t)− 2 a Lp,∞ , s ω s ,σ ω ,σ (s1 +sn )−(s1 +sn ) e−tA a Lq,1 ≤ Ct−n(1/p−1/q)/2−1/2 (1 + t)− 2 a Lp,∞ . ω s ,σ ω s ,σ Ký hiệu M(R, Y ) thay thế cho một trong số các không gian: AP (R, Y ), AA(R, Y ), W P AP (R, Y ), W P AA(R, Y ), S p AA(R, Y ) và W S p AA(R, Y ). 3.2 Phương trình tuyến tính trên không gian Lorentz có trọng Muckenhoupt Xét phương trình Stokes trên BC(R, Ln,∞ (Rn )) dạng ω s ,σ + u (t) + Au(t) = PdivF (t), t ∈ R. (3.3) Nghiệm đủ tốt u của phương trình (3.3) thỏa mãn t u(t) = e−(t−τ )A PdivF (τ )dτ. (3.4) −∞ Từ Bổ đề 3.1.1, khi s = s ta thấy nửa nhóm (e−tA )t≥0 thỏa mãn Giả thiết 2.1.1 và Giả thiết 2.2.3 trong Chương 2 với n ,∞ B = Pdiv, X = Lωs ,σ (Rn )n×n và Y = Ln,∞ (Rn ). 2 + ω s ,σ + (3.5) Định lý 3.2.1. Ta có các khẳng định sau: i) Nếu F ∈ BC(R, X) thì phương trình (3.3) có duy nhất nghiệm đủ tốt u ∈ BC(R, Y ) thỏa mãn u(t) Ln,∞ ≤M F 2 n ,∞ . ω s ,σ ∞,Lωs ,σ ii) Nếu F ∈ M(R, X) thì phương trình (3.3) có duy nhất nghiệm đủ tốt trên không gian M(R, Y ). 19