Luận án Tiến sĩ Toán học: Sự tồn tại đa tạp quán tính chấp nhận được của một số lớp phương trình tiến hóa

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:83

Thêm vào BST

Báo xấu

49
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận án nghiên cứu tính chất nghiệm của những phương trình đạo hàm riêng phức tạp về những phương trình đơn giản hơn trên các đa tạp đó do tính hút của các đa tạp này đối với các nghiệm của phương trình đang xét. Mời các bạn tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận án Tiến sĩ Toán học: Sự tồn tại đa tạp quán tính chấp nhận được của một số lớp phương trình tiến hóa

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LÊ ANH MINH SỰ TỒN TẠI ĐA TẠP QUÁN TÍNH CHẤP NHẬN ĐƯỢC CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HÓA LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2020
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LÊ ANH MINH SỰ TỒN TẠI ĐA TẠP QUÁN TÍNH CHẤP NHẬN ĐƯỢC CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HÓA Chuyên ngành : Phương trình vi phân và tích phân Mã số : 9460101.03 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC TẬP THỂ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC 1. PGS.TSKH. Nguyễn Thiệu Huy 2. PGS.TS. Đặng Đình Châu Hà Nội - 2020
LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan các kết quả nghiên cứu trong luận án Sự tồn tại đa tạp quán tính chấp nhận được của một số lớp phương trình tiến hóa là công trình nghiên cứu của tôi, được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của PGS.TSKH. Nguyễn Thiệu Huy và PGS.TS. Đặng Đình Châu. Các kết quả trong luận án là hoàn toàn trung thực. Tất cả những tham khảo đều được trích dẫn và tham chiếu đầy đủ. Hà Nội, ngày 22 tháng 12 năm 2020 Nghiên cứu sinh Lê Anh Minh
MỤC LỤC Danh mục các ký hiệu 3 Mở đầu 5 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị 13 1.1 Các đánh giá nhị phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2 Không gian hàm Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Chương 2. Sự tồn tại đa tạp quán tính chấp nhận được của một lớp các phương trình tiến hóa có trễ hữu hạn 23 2.1 Về sự tồn tại đa tạp quán tính chấp nhận được của một lớp phương trình tiến hóa cấp hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2 Sự tồn tại đa tạp quán tính chấp nhận được của một số lớp phương trình tiến hóa có trễ hữu hạn . . . . . . . . . . . . . . 31 2.3 Đa tạp quán tính chấp nhận được của phương trình Fisher - Kolmogorov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Chương 3. Sự tồn tại đa tạp quán tính chấp nhận được của một lớp các phương trình tiến hóa có trễ vô hạn 51 3.1 Về không gian pha cho các phương trình tiến hóa có trễ vô hạn 51 3.2 Sự tồn tại đa tạp quán tính chấp nhận được của một lớp các phương trình tiến hóa có trễ vô hạn . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.3 Đa tạp quán tính chấp nhận được của phương trình kiểu Mackey-Glass có trễ vô hạn dạng phân phối . . . . . . . . . . 68 1
Kết luận và Kiến nghị 73 1 Những kết quả đã đạt được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 2 Đề xuất một số hướng nghiên cứu tiếp theo . . . . . . . . . . . 73 Danh mục các công trình khoa học liên quan đến luận án 74 Tài liệu tham khảo 75 2
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU D (A) miền xác định của toán tử A. Aβ lũy thừa bậc β của toán tử A. Xβ miền xác định của toán tử Aβ λN trị riêng thứ N của toán tử A. eN hàm (vector) tương ứng với trị riêng λN . λN +1 + λN γ được xác định bởi γ = . 2 λN +1 − λN α được xác định bởi α = . 2 P phép chiếu X lên span {ek : k = 1, 2, ...., N }. Id toán tử đồng nhất. G(t, τ ) hàm Green (xem (1.5)). χ[a,b] hàm đặc trưng. eα ký hiệu hàm số eα (t) = e−α|t| , ∀t ∈ R. Rt Λ1 Λ1 : E → E xác định bởi (Λ1 ϕ)(t) = ϕ(τ )dτ . t−1 E không gian hàm Banach (xem Định nghĩa 1.6). E không gian Banach tương ứng với không gian hàm Ba- nach E (xem Định nghĩa 1.7). Cβ không gian Bannach các hàm liên tục trên [−r, 0], nhận giá trị trên Xβ (xem (2.19)). Cgβ không gian Bannach các hàm liên tục trên (−∞, 0], kAβ φ(θ)k nhận giá trị trên Xβ sao cho sup < +∞. θ60 g(θ) R(λ, A) toán tử giải của toán tử A 3
ρ(A) tập giải của toán tử A σ(A) tập phổ của toán tử A I tập con của tập số thực R. k · kCβ xác định bởi kφkCβ = sup kAβ φ(θ)k, ∀φ ∈ Cβ . θ∈[−r,0] kAβ φ(θ)k k · kCgβ xác định bởi kφkCgβ = sup , ∀φ ∈ Cgβ . θ60 g(θ) ut hàm lịch sử xác định bởi: ut (θ) = u(t + θ), ∀θ ∈ [−r, 0] trong trường hợp trễ hữu hạn, hoặc ut (θ) = u(t + θ), ∀θ 6 0 trong trường hợp trễ vô hạn. r hằng số trễ. Pˆ toán tử chiếu trên Cβ xác định bởi (Pˆ φ)(θ) = e−θA P φ(0), ∀φ ∈ Cβ . E γ,t0 ,β không gian Banach gồm tất cả các hàm đo được mạnh h : (−∞, t0 ] → Xβ sao cho e−γ(t0 −·) kAβ h(·)k ∈ β E(−∞,t 0] cùng với chuẩn khkγ,β := ke−γ(t0 −·) kAβ h(·)kkβ . u∗ quỹ đạo rút gọn của u trên đa tạp. L+ γ,s . không gian tuyến tính bao gồm các hàm v(·) nhận giá trị trên Xβ , liên tục trên [s − r, +∞) sao cho sup eγ(t−s) kAβ v(t)k < +∞. t>s−r k · ks,+ chuẩn trên không gian L+ γ,s được xác định bởi kvks,+ = sup eγ(t−s) kAβ v(t)k, ∀v ∈ L+ γ,s . t>s−r 4
MỞ ĐẦU Việc nghiên cứu sự tồn tại của các đa tạp quán tính là một bài toán cơ bản trong lý thuyết định tính của các hệ động lực. Trong thời gian gần đây xuất phát từ yêu cầu của các mô hình ứng dụng, các bài toán này thường được xét trong phạm vi khái quát hơn và nhận được nhiều kết quả thú vị. Trong bản luận án này chúng tôi xét bài toán về sự tồn tại đa tạp quán tính chấp nhận được cho các phương trình tiến hóa, tương ứng với một số dạng của phương trình vi phân trong không gian Hilbert. Năm 1985, trong [60] (xem thêm [23]), Foias, Sell và Temam xét một lớp các phương trình tiến hóa phi tuyến dạng du + Au + R(u) = 0, (1) dt trong đó A là toán tử tuyến tính, không bị chặn, tự liên hợp trên một không gian Hilbert tách được X với miền xác định D (A) trù mật trong X. Hơn nữa, giả sử A là xác định dương, với A−1 là compact. Khi đó, tồn tại cơ sở trực chuẩn {en }n>1 của X chỉ bao gồm các hàm riêng của A, Aen = λn en với các giá trị riêng thỏa mãn 0 < λ1 6 λ2 6 · · · , và λn → ∞ khi n → ∞. Phần phi tuyến R : X → X là liên tục Lipschitz địa phương. Giả sử tồn tại các hằng số dương ρ0 , ρ1 , ρ2 sao cho lim sup ku(t)k2 6 ρ20 , lim sup kA1/2 u(t)k2 6 ρ21 , lim sup kAu(t)k2 6 ρ22 . t→∞ t→∞ t→∞ (2) Gọi S(t) : u(0) → u(t) là một nửa nhóm toán tử xác định bởi nghiệm của phương trình (1). Lưu ý rằng, từ (2) ta có thể chỉ ra nếu nghiệm tùy ý S(t)u0 5
của phương trình (1) thuộc vào quả cầu tâm 0, bán kính ρ0 thì sẽ luôn ở lại trong quả cầu đó. Tiếp theo, giả sử θ : R+ → [0, 1] là một hàm trơn cho trước xác định bởi     0 nếu 0 6 s 6 1  θ(s) = tùy ý nếu 1 < s < 2     0 nếu s > 2 sao cho |θ0 (s)| 6 2 với mọi s > 0. Foias, Sell và Temam cố định ρ = 2ρ2 và xét phương trình "modified" của phương trình (1) dạng du + Au + θρ (|Au|) R(u) = 0 (3) dt với θρ (s) := θ (s/ρ) , với s > 0. Khi đó, các tác giả chỉ ra nếu S(t)u0 là nghiệm của phương trình (3) ứng với điều kiện ban đầu u(0) = u0 ∈ X thỏa mãn |AS(t)u0 | 6 ρ với mọi t > 0 thì S(t)u0 cũng là nghiệm của phương trình (1). Hơn nữa, các tác giả đưa ra khái niệm đa tạp quán tính cho phương trình (3) như sau ([23, p.320]): Một tập con M ⊆ X được gọi là đa tạp quán tính của phương trình (3) nếu ba tính chất sau thỏa mãn (i) M là đa tạp Lipschitz hữu hạn chiều; (ii) M bất biến, nghĩa là S(t)M ⊆ M với mọi t > 0; (iii) M hút cấp mũ mọi nghiệm của phương trình (3) theo nghĩa dist (S(t)u0 , M ) → 0, khi t → ∞. Lưu ý, từ các điều kiện ở (2) thì khi t đủ lớn các quỹ đạo của các nghiệm thuộc đa tạp sẽ hoàn toàn nằm trong hình cầu tâm 0, bán kính ρ. Hay nói cách khác quỹ đạo của chúng là bị chặn. 6
Như vậy, đa tạp quán tính nếu tồn tại nó còn cho phép thu gọn việc nghiên cứu tính chất nghiệm của những phương trình đạo hàm riêng phức tạp về những phương trình đơn giản hơn trên các đa tạp đó do tính hút của các đa tạp này đối với các nghiệm của phương trình đang xét. Việc nghiên cứu này không những mang lại các kết quả quan trọng trong nội tại toán học, mà còn đem đến những ứng dụng thực tế đầy ý nghĩa. Sự tồn tại của đa tạp quán tính đã được chỉ ra và chứng minh chi tiết đối với một số lớp phương trình vi phân, chẳng hạn: một số dạng điều chỉnh của phương trình Navier - Stokes [24, 58], phương trình Boussinesq trung bình [4], phương trình hyperbolic [2, 7, 8, 25, 48], phương trình Moore-Greitzer [15], phương trình Cahn-Hilliard [36], phương trình Smoluchowski [53, 54], mô hình Leray-α [35, 38], mô hình thú mồi [32], mô hình FitzHugh-Nagumo [45], phương trình vi phân đạo hàm riêng tổng quát [6, 16, 30], phương trình phản ứng khuếch tán, tiêu hao [37, 50, 59], phương trình nửa tuyến tính dạng tổng quát [11, 28, 34], phương trình trung tính [31]. Khái niệm về đa tạp quán tính được thay đổi và mở rộng cho một số nhiều lớp phương trình vi phân tổng quát, chẳng hạn: phương trình vi phân không autonomous [33], phương trình vi phân đạo hàm riêng có trễ [1, 2, 44] hay phương trình vi phân ngẫu nhiên [3, 5, 10, 13, 14, 18, 51, 55], đa tạp quán tính cho hệ rời rạc [47, 57], đa tạp quán tính cho các phương trình parabolic có xung [56] và một số các kết quả khác. Trong đó, các tác giả sử dụng các phương pháp cơ bản sau Phương pháp Hadamard (hay còn gọi là phương pháp biến đổi đồ thị) (chẳng hạn [17, 40]). Phương pháp Lyapunov - Perron (dựa trên công thức biến thiên hằng số) (chẳng hạn [9, 23, 52]). Phương pháp chính quy elliptic (chẳng hạn [19, 22]). Ta nhận thấy điểm chung trong tất cả các kết quả trên là quỹ đạo của nghiệm nằm trên từng mặt Lipschitz trong đa tạp quán tính sau khi co giãn 7
đều bị chặn (lớp L∞ ). Trên thực tế, đối với các bài toán đòi hỏi quỹ đạo bị chặn là tương đối khắt khe (chẳng hạn đối với các mô hình kỹ thuật phức tạp quỹ đạo của nghiệm sau khi co giãn thuộc các không gian Lp , không gian Lorentz Lp,q ,...). Một câu hỏi đặt ra tự nhiên là có thể mở rộng khái niệm đa tạp quán tính sao cho các quỹ đạo của nghiệm sau khi co giãn trên mỗi mặt trong đa tạp thuộc lớp các không gian hàm chứa L∞ hay không?. Đi tìm câu trả lời cho câu hỏi đó, năm 2013 trong [29], N.T.Huy lần đầu tiên đề xuất xây dựng một khái niệm đa tạp quán tính mới, gọi là đa tạp quán tính chấp nhận được. Cụ thể, N.T.Huy xét các phương trình vi phân dạng   du + Au = f (t, u), t > s  dt (4) u(s) = us với s ∈ R  trong đó A là toán tử xác định dương, tự liên hợp và có phổ rời rạc trên một không gian Hilbert tách được X. Với 0 6 β < 1 đặt Xβ = D (Aβ ), phần phi tuyến f : R × Xβ → X là ϕ-Lipschitz, trong đó ϕ là một hàm dương thuộc không gian hàm Banach chấp nhận được nào đó. N.T. Huy đưa ra định nghĩa đa tạp quán tính chấp nhận được cho một lớp các phương trình vi phân dạng (4) ([29, Definition 3.1]), trong đó sự khác biệt so với đa tạp quán tính (truyền thống) được N.T. Huy chỉ ra ở [29, Remark 3.2] là: Nếu như trong định nghĩa của đa tạp quán tính chấp nhận được ta chọn E = L∞ thì ta được đa tạp quán tính (truyền thống). Sử dụng phương pháp Lyapunov - Perron, các đánh giá nhị phân, cùng với tính chất chấp nhận được của các không gian hàm, các đánh giá đối ngẫu, N.T. Huy chỉ ra sự tồn tại đa tạp quán tính lớp E cho một lớp các phương trình dạng (4) trong [29, Theorem 3.6]. 8
Với ý nghĩa của đa tạp quán tính chấp nhận được trong nghiên cứu tính chất định tính nghiệm của các phương trình vi phân, mục tiêu chính của luận án "Sự tồn tại đa tạp quán tính chấp nhận được của một số lớp phương trình tiến hóa" này là nghiên cứu mở rộng các kết quả trong [29] về sự tồn tại đa tạp quán tính chấp nhận được cho một số lớp phương trình tiến hóa có nhiều ứng dụng trong thực tiễn là: phương trình tiến hóa có trễ hữu hạn, phương trình tiến hóa có trễ vô hạn, phương trình tiến hóa cấp hai. Cụ thể, ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục các công trình liên quan đến luận án, tài liệu tham khảo, luận án gồm có 03 chương sau: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Trong chương này, chúng tôi trình bày các khái niệm, các kết quả bổ trợ cũng như các giả thiết sử dụng xuyên suốt trong các chương còn lại của luận án. Chương 2. Sự tồn tại đa tạp quán tính chấp nhận được của một lớp các phương trình tiến hóa có trễ hữu hạn. Trong chương này, trước hết chúng tôi xây dựng không gian pha và phép đổi biến phù hợp đưa một phương trình tiến hóa cấp hai về phương trình tiến hóa cấp một. Qua đó, nghiên cứu sự tồn tại đa tạp quán tính chấp nhận được của một số lớp phương trình tiến hóa cấp hai dạng     ˙ + Ax(t) = K(t, x(t)), t > s, s ∈ R, ε > 0, x¨(t) + 2εx(t)  x(s) = xs,0 , s ∈ R,     x(s) ˙ =x , s,1 trong đó A là toán tử thỏa mãn Giả thiết 1 (xem trang 14); K : R × Xβ → X là ϕ-Lipschitz. Kết quả đã chỉ ra sự tồn tại đa tạp quán tính chấp nhận được của lớp các phương trình tiến hóa có dạng trên và áp dụng phương trình truyền 9
sóng tắt dần  ∂ 2u ∂u ∂ 2u (t, x) + 2ε (t, x) = 2 (t, x) + a(t) ln (1 + |u(t, x)|) ,        ∂t2 ∂t ∂x với x ∈ (0, π), t > t0 ,   u(t, 0) = u(t, π) = 0, t > t0 ,        ∂u  u(t0 , x) = φ1 (x),  (t0 , x) = φ2 (x), 0 < x < π, ∂t trong đó φ1 , φ2 là các hàm cho trước, và a(t) xác định bởi  1 1  n  nếu t ∈ n − n+c , n + n+c với n = 1, 2, .... a(t) = 2 2 trường hợp còn lại.   0 (5) Sau đó, chúng tôi xây dựng khái niệm và chỉ ra sự tồn tại đa tạp quán tính chấp nhận được của một lớp các phương trình tiến hóa có trễ hữu hạn dạng du + Au = B(t, ut ), t > s, t, s ∈ R; us = φ ∈ Cβ , dt trong đó A là toán tử thỏa mãn Giả thiết 1 (xem trang 14); B : R×Cβ → X là ϕ-Lipschitz. Kết quả này được áp dụng cho phương trình Fisher - Kolmogorov có trễ dạng 2  ∂w(t, x) ∂ w(t, x) a = + aw(t, x) 1 − w(t − r, x) ,   2     ∂t ∂x K(t)   t > s, 0 < x < π      w(t, 0) = w(t, π) = 0, t ∈ R   w(x, t) = φ(x, t), 0 6 x 6 π, −r 6 t 6 0  với w(t, x) biểu thị cho mật độ dân số tại vị trí x và thời gian t; r là một hằng số dương, a > 0 là hệ số tái sinh tuyến tính và K(t) > 0 là sức chứa của môi trường tại thời điểm t. Kết quả của Chương 2 đã được công bố trong các công trình 1 (SCIE) 10
và công trình 2 (Scopus) trong Danh mục công trình khoa học liên quan đến luận án. Chương 3. Sự tồn tại đa tạp quán tính chấp nhận được của một lớp các phương trình tiến hóa có trễ vô hạn. Trong chương này, chúng tôi định nghĩa và xét sự tồn tại đa tạp quán tính chấp nhận được của một lớp các phương trình tiến hóa có trễ vô hạn dạng   du + Au = R(t, ut ), t > s,  dt us (θ) = φ(θ), θ ∈ (−∞, 0], s ∈ R,   trong đó A là toán tử thỏa mãn Giả thiết 1; R : R × Cgβ → X là ϕ-Lipschitz với kAβ φ(θ)k Cgβ := φ ∈ C((−∞, 0], Xβ ) : sup < +∞ θ60 g(θ) là không gian Banach được trang bị chuẩn kAβ φ(θ)k kφkCgβ = sup , ∀φ ∈ Cgβ . θ60 g(θ) Ở đây g : (−∞, 0] → [1, +∞) là một hàm liên tục cho trước. Kết quả chính của Chương 3 được áp dụng để chỉ ra sự tồn tại đa tạp quán tính chấp nhận được của phương trình kiểu Mackey-Glass có trễ phân phối dạng ∂ 2 w(t, x) R0 −θ2 +θ |w(t + θ, x)|  ∂w(t, x) = − rw(t, x) + a(t) e dθ     ∂t ∂x 2 1 + |w(t + θ, x)|   −∞   t > s, ∀0 < x < π   w(t, 0) = w(t, π) = 0, t ∈ R        w(s + θ, x) = φ(θ, x), 0 6 x 6 π, θ 6 0, s ∈ R, trong đó r > 0 là một hằng số, a(t) là hàm số được cho bởi (5). 11
Kết quả của Chương 3 đã được nhận đăng trên tạp chí Bulletin of the Korean Mathematical Society (SCIE), là công trình 3 trong Danh mục công trình khoa học liên quan đến luận án. Luận án này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của PGS. TSKH. Nguyễn Thiệu Huy và PGS. TS. Đặng Đình Châu. Trước tiên, tôi xin bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc tới hai thầy đã động viên, giúp đỡ và tận tình hướng dẫn tôi trong suốt quá trình nghiên cứu và khi viết luận án này. Những gợi ý, chỉ bảo ân cần, nhận xét và đánh giá của hai thầy trong quá trình nghiên cứu là những bài học quý giá không chỉ cho cá nhân tôi những ngày qua mà còn trên con đường nghiên cứu khoa học sau này. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội nói chung, Bộ môn Phương trình vi phân và Hệ động lực nói riêng đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận án này. Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Hồng Đức, tập thể giảng viên Khoa Khoa học tự nhiên, Bộ môn Giải tích, Trường Đại học Hồng Đức đã giúp đỡ, góp ý và tạo mọi điều kiện tốt nhất cho tôi trong quá trình học tập, nghiên cứu, tham gia các đại hội, hội thảo Toán học và đặc biệt là trong quá trình viết luận án của mình. Cuối cùng, tôi xin cảm ơn gia đình tôi đã luôn yêu thương, động viên và hỗ trợ tôi về mặt thời gian, hy sinh về vật chất lẫn tinh thần để giúp tôi hoàn thành quá trình học tập, nghiên cứu và viết luận án này. Nghiên cứu sinh Lê Anh Minh 12
Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Các đánh giá nhị phân Ký hiệu, k · k và h·, ·i lần lượt là chuẩn và tích vô hướng trong một không gian Hilbert tách được X nào đó. Cho A là một toán tử tuyến tính trên X. Trước hết, chúng ta nhắc lại khái niệm phổ và phân loại phổ của toán tử tuyến tính (xem thêm [20]). Giả sử A là một toán tử tuyến tính xác định trên D (A) ⊂ X với D (A) = X. Khi đó với y ∈ X cho trước, giả sử tồn tại y ∗ thuộc X sao cho hAx, yi = hx, y ∗ i , ∀x ∈ D (A). (1.1) Giả thiết D (A) = X đảm bảo rằng nếu tồn tại thì y ∗ là duy nhất. Do đó, ta có thể xác định toán tử liên hợp A∗ : D (A∗ ) ⊂ X → X bởi D (A∗ ) = {y ∈ X : ∃!z ∈ X, hAx, yi = hx, zi , ∀x ∈ D (A)} , với y ∈ D (A∗ ), thì ta xác định A∗ y = z trong đó z là phần tử duy nhất thỏa mãn hAx, y} = hx, zi với mọi x ∈ D (A). Định nghĩa 1.1. Một toán tử tuyến tính (không bị chặn) A được gọi là tự liên hợp nếu A∗ = A. Nghĩa là, D (A∗ ) = D (A) và A∗ x = Ax với mọi x ∈ D (A). Định nghĩa 1.2. Cho A : D (A) → X là một toán tử tuyến tính với D (A) = X. Ta nói số λ là giá trị chính quy của A nếu toán tử (A − λI)−1 tồn tại và bị 13
chặn. Số µ không là giá trị chính quy thì được gọi là giá trị phổ. Một tập hợp gồm tất cả các giá trị phổ của toán tử A được gọi là tập phổ của toán tử A và ký hiệu là σ(A). Tập hợp ρ(A) := C \ σ(A) được gọi là tập giải của toán tử A. Định nghĩa 1.3 (Phổ điểm). Phổ điểm của toán tử A ký hiệu là σp (A) là tập gồm tất cả các giá trị riêng của toán tử A. Điều này có nghĩa là, λ ∈ σp (A) khi và chỉ khi tồn tại x ∈ D (A) \ {0} sao cho Ax = λx. Nói cách khác, λ là một giá trị riêng và x là một véctơ riêng của A tương ứng với trị riêng λ. Dễ thấy, nếu λ ∈ σp (A) thì ker(A − λI) 6= 0 và lúc này, số chiều của ker(A − λI) gọi là bội số (multiplicity) của giá trị riêng λ. Định nghĩa 1.4 (Phổ liên tục). Phổ liên tục của toán tử A ký hiệu là σc (A) là tập gồm tất cả các giá trị λ ∈ σ(A) \ σp (A) sao cho Im(A − λI) là tập con thực sự trù mật trong X. Định nghĩa 1.5 (Phổ dư). Phổ dư của toán tử A ký hiệu là σr (A) được xác định bởi σr (A) = σ(A) \ (σp (A) ∪ σc (A)) . Như vậy, với λ ∈ σr (A), ta có Im(A − λI 6= X và ker(A − λI) = 0. Nhận thấy, nếu A là toán tử tuyến tính đóng thì σ(A) = σp (A) ∪ σc (A) ∪ σr (A). Trong luận án này, ta giả sử Giả thiết 1. Toán tử tuyến tính A là xác định dương, tự liên hợp và có giải compact. Ta chú ý rằng 14
Toán tử A được gọi là xác định dương, nếu tồn tại a > 0 sao cho akuk2 6 hAu, ui , ∀u ∈ D (A). (1.2) Toán tử A được gọi là có giải compact, nếu toán tử giải R(λ, A) = (λI − A)−1 là compact với mọi λ ∈ ρ(A). Khi đó, do A là toán tử tự liên hợp, nên phổ của A chỉ bao gồm các giá trị riêng thực. Từ bất đẳng thức (1.2) suy ra phổ của A được chứa trong [a, +∞), và do A có giải compact nên phổ của A chỉ bao gồm phổ điểm, tức là các giá trị riêng với bội hữu hạn. Hơn nữa, phổ của A không chứa các điểm giới hạn (xem thêm [49, 52]). Ta giả sử 0 < a = λ1 6 λ2 6 λ3 6 · · · là các giá trị riêng của A, lặp lại với bội tương ứng, và ta giả sử {e1 , e2 , e3 , · · · } là các vec tơ riêng ứng với các giá trị riêng như trên, lập thành một cơ sở trực chuẩn trong X. Ta có Aei = λi ei , i = 1, 2, · · · Nếu X có số chiều vô hạn thì λi → ∞ khi i → ∞. Mặt khác ∞ X ∞ 2 X 2 x= hxk , ek iek và kxk = |hxk , ek i| , ∀x ∈ X. k=1 k=1 Hơn nữa, ∞ x ∈ D (A) ⇔ X 2 λ2k |hx, ek i| < ∞, k=1 15
và ∞ λk hx, ek iek , ∀x ∈ D (A). X Ax = k=1 Với 0 6 β < 1, ta có ∞ ( ) Xβ = D (Aβ ) = X 2 x∈X: λ2β k |hx, ek i| < ∞ , k=1 và ∞ X β A x= λβk hx, ek i ek , ∀x ∈ Xβ . k=1 Áp dụng định lý ánh xạ phổ cho toán tử tuyến tính A: nếu f là một hàm liên tục, giá trị thực xác định trên σ(A) thì toán tử tuyến tính f (A) được xác định bởi ∞ X f (A)x = f (λi ) hx, ei i ei i=1 với miền xác định của f (A) là ∞ ( ) D (f (A)) = X x∈H: |f (λi )|2 | hx, ei i |2 < ∞ . i=1 Đặc biệt, C0 -nửa nhóm sinh bởi −A được xác định như sau ∞ X −tA e x := e−tλi hx, ei i ei . i=1 Với N ∈ N∗ , ta xây dựng phép chiếu trực giao PN lên span {ek : k = 1, 2, ..., N } , bởi công thức N X PN x = hx, ek iek . (1.3) k=1 Mệnh đề 1.1 ([12]). Cho PN là phép chiếu được định nghĩa trong (1.3). Đặt QN = I − PN (quy ước Q0 = I). Ta có " # β β kAβ QN e−tA xk 6 + λβN +1 e−tλN +1 kQN xk , ∀x ∈ X. t 16
Khi β = 0, ta quy ước 00 = 0. Tương tự, kAβ PN e−tA xk 6 λβN eλN |t| kPN xk , ∀x ∈ X. Để đơn giản, từ đây ta viết P thay cho PN . Lúc này, ta có các đánh giá nhị phân sau ke−tA P k 6 eλN |t| , ∀t ∈ R; kAβ e−tA P k 6 λβN eλN |t| , ∀t ∈ R; ke−tA (I − P ) k 6 e−λN +1 t , ∀t > 0; (1.4) " # β β kAβ e−tA (I − P ) k 6 + λβN +1 e−λN +1 t , ∀t > 0. t Hơn nữa, ta có thể định nghĩa hàm Green  e−(t−τ )A [I − P ] với t > τ,  G(t, τ ) := (1.5) −e−(t−τ )A P  với t 6 τ. Dễ thấy G(t, τ ) từ X vào Xβ . λN + λN +1 Mặt khác, theo các đánh giá nhị phân (1.4), với γ = ta có 2 keγ(t−τ ) Aβ G(t, τ )k 6 η(t, τ )e−α|t−τ | với mọi t 6= τ, (1.6) λN +1 − λN trong đó α = và 2  β β + λβN +1  nếu t > τ,   η(t, τ ) = t−τ λβ  nếu t 6 τ.  N 1.2 Không gian hàm Banach Trong phần này, với I = (−∞, t0 ] hoặc I = R, giả sử B và λ là σ - đại số Borel và độ đo Lebesgue trên I tương ứng, ta nhắc lại các khái niệm và 17