intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Luận văn: Một số dạng phương trình tích phân tuyến tính

Chia sẻ: Bfvhgfff Bfvhgfff | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:85

Thêm vào BST
Báo xấu
200
lượt xem 40
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn: Một số dạng phương trình tích phân tuyến tính nhằm mục tiêu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học, tìm hiểu sâu hơn về giải tích hàm đặc biệt và phương trình tích phân tuyến tuyến tính trên không gian Hillnert,...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn: Một số dạng phương trình tích phân tuyến tính

  1. Trư ng ĐH Hùng Vương Khoa Toán – Công ngh MôC LôC Trang Më ®Çu……………………………………………….…………………………..3 Ch−¬ng 1: KIÕN THøC chuÈn bÞ.……………………………………………...5 1.1. Bæ xung vÒ kh«ng gian Banach……………………………………………..5 1.1.1. Kh«ng gian ®Þnh chuÈn…………………………………………………...5 1.1.2. Kh«ng gian Banach………………………………………………………10 1.1.3. Kh«ng gian Banach kh¶ li………………………………………………..10 1.1.4. To¸n tö tuyÕn tÝnh liªn tôc………………………………………………. 9 1.2. Kh«ng gian Hilbert………………………………………………………...12 1.2.1. Kh¸i niÖm kh«ng gian tiÒn Hilbert……………………………………...12 1.2.2. BÊt ®¼ng thøc schwarz, chuÈn trªn kh«ng gian tiÒn Hilbert……………..12 1.2.3. Kh¸i niÖm kh«ng gian Hilbert…………………………………………...14 1.2.4. HÖ thèng trùc giao v trùc chuÈn………………………………………...15 1.2.4.1. Vect¬ trùc giao……………………………………………..………… 15 1.2.4.2. Mét sè tÝnh chÊt ®¬n gi¶n…………………………………..………….16 1.2.4.3. HÖ thèng trùc giao……………………………………………..………17 1.2.4.4. HÖ thèng trùc chuÈn…………………………………………...……….17 1.2.4.5. BÊt ®¼ng thøc Bessel…………………………………………..……….19 1.2.4.6. HÖ trùc chuÈn ®Çy ®ñ……………………………………………..……20 1.2.4.7. C¸c ®Þnh lý………………………………………………………..……20 1.2.4.8. C¬ së trùc chuÈn…………………………………………………….....23 1.2.5. PhÐp chiÕu…………………………………………………………….….24 1.2.6. Gi¸ trÞ riªng, vect¬ riªng…………………………………………………26 1.2.7. Kh«ng gian Hilbert t¸ch ®−îc……………………………………………28 1.2.8. §Þnh lý biÓu diÔn Riesz, phiÕm h m tuyÕn tÝnh v song tuyÕn tÝnh trªn kh«ng gian Hilbert……………………………………………………………...31 1.2.9. To¸n tö tuyÕn tÝnh trªn kh«ng gian Hilbert……………………………...36 1.2.9.1. To¸n tö tù liªn hîp……………………………………………..........…36 1.2.9.2. To¸n tö ®èi xøng……………………………………………….............36 1
  2. Trư ng ĐH Hùng Vương Khoa Toán – Công ngh 1.2.9.3. To¸n tö ho n to n liªn tôc……………………………………………..40 1.2.10. To¸n tö tÝch ph©n………………………………………………………43 1.2.11. Ph−¬ng tr×nh tÝch ph©n………………………………………………….46 1.2.12. B i to¸n dÉn tíi ph−¬ng tr×nh tÝch ph©n………………………………...47 Ch−¬ng 2: MéT Sè D¹NG PH¦¥NG TR×NH TÝCH PH¢N TUYÕN TÝNH………49 2.1.Ph−¬ng tr×nh tÝch ph©n víi h¹ch ®èi xøng………………………………….49 2.1.1. §Þnh nghÜa 2.1…………………………………………………………...49 2.1.2. XÐt sù tån t¹i nghiÖm…………………………………………………….49 2.2. Ph−¬ng tr×nh tÝch ph©n víi h¹ch tho¸i ho¸………………………………...51 2.2.1. §Þnh nghÜa 2.2…………………..……………………………………….51 2.2.2. XÐt sù tån t¹i nghiÖm…………………………………………………….51 2.2.3. §inh lý Fredholm ( tr−êng hîp h¹ch tho¸i ho¸ )………………………...56 2.3.Ph−¬ng tr×nh tÝch ph©n víi h¹ch kh«ng ®èi xøng…………………………..56 2.3.1. §Þnh nghÜa 2.3……..…………………………………………………….56 2.3.2. XÐt sù tån t¹i nghiÖm…………………………………………………….57 2.3.3. §Þnh lý Fredholm ( trong tr−êng hîp tæng qu¸t )………………………..61 2.4. Ph−¬ng tr×nh Volterra……………………………………………………...61 2.5. Mét sè c¸ch gi¶i ph−¬ng tr×nh tÝch ph©n tuyÕn tÝnh……………………….62 2.5.1. P−¬ng ph¸p ®¹i sè………………………………………………………..61 2.5.2. Ph−¬ng ph¸p xÊp xØ……...………………………………………………62 2.5.3. Ph−¬ng ph¸p lÆp liªn tiÕp……….....……………………………………..64 2.5.4. B i tËp ¸p dông…………………………………………………………..67 KÕt luËn……………………………………………………………………..….84 T i liÖu tham kh¶o……………………………………………………..........….85 2
  3. Trư ng ĐH Hùng Vương Khoa Toán – Công ngh Më ®Çu 1) Lý do chän ®Ò t i Gi¶i tÝch h m l mét ng nh To¸n häc ®−îc x©y dùng v o kho¶ng ®Çu thÕ kû XX v ®Õn nay hÇu nh− ® ®−îc xem nh− mét ng nh to¸n häc cæ ®iÓn. Trong qu¸ tr×nh ph¸t triÓn, Gi¶i tÝch h m ® tÝch lòy ®−îc mét néi dung hÕt søc phong phó. Nh÷ng ph−¬ng ph¸p v kÕt qu¶ mÉu mùc, tæng qu¸t cña Gi¶i tÝch h m ® x©m nhËp v o tÊt c¶ c¸c ng nh to¸n häc cã liªn quan v sö dông ®Õn c«ng cô Gi¶i tÝch v kh«ng gian vect¬. ChÝnh ®iÒu ®ã ® më ra ph¹m vi nghiªn cøu lín cho ng nh To¸n häc. Ph−¬ng tr×nh tÝch ph©n trªn kh«ng gian Hilbert l mét m¶ng trong gi¶i tÝch h m ®−îc x©y dùng tõ c¸c b i to¸n thùc tÕ trong vËt lý, ho¸ häc v nhiÒu khoa häc øng dông kh¸c. Cô thÓ nh− trong nghiªn cøu tÝnh ® n håi, tÝnh dÎo, nhiÖt v sù thay ®æi khèi l−îng cña vËt, lý thuyÕt dao ®éng, lý thuyÕt xÕp b¶ng, kü thuËt ®iÖn, kinh tÕ, y häc,... Víi mong muèn ®−îc nghiªn cøu v t×m hiÓu s©u s¾c h¬n vÒ bé m«n n y v b−íc ®Çu tiÕp cËn víi c«ng viÖc nghiªn cøu khoa häc, em ® chän ®Ò t i “Mét sè d¹ng ph−¬ng tr×nh tÝch ph©n tuyÕn tÝnh”. 2) Môc ®Ých và nhi m v nghiªn cøu B−íc ®Çu gióp em l m quen víi c«ng viÖc nghiªn cøu khoa häc v t×m hiÓu s©u h¬n vÒ Gi¶i tÝch h m ®Æc biÖt vÒ ph−¬ng tr×nh tÝch ph©n tuyÕn tÝnh trªn kh«ng gian Hilbert. HÖ thèng l¹i nh÷ng c¬ së lý thuyÕt cÇn thiÕt vÒ to¸n tö trªn kh«ng gian Hilbert tõ ®ã ®−a ra mét sè d¹ng ph−¬ng tr×nh tÝch ph©n tuyÕn tÝnh trªn kh«ng gian Hilbert v sù tån t¹i nghiÖm cña nh÷ng ph−¬ng tr×nh d¹ng n y. §Æc biÖt hÖ thèng ph−¬ng ph¸p gi¶i ph−¬ng tr×nh tÝch ph©n bao gåm ph−¬ng ph¸p ®¹i sè ho¸, ph−¬ng ph¸p lÆp liªn tiÕp, ph−¬ng ph¸p xÊp xØ v cã b i tËp ¸p dông. 3) §èi t−îng nghiªn cøu §èi t−îng chÝnh m kho¸ luËn nghiªn cøu l nh÷ng ph−¬ng tr×nh tÝch ph©n tuyÕn tÝnh trªn kh«ng gian Hilbert, bªn c¹nh ®ã kho¸ luËn cßn nghiªn cøu vÒ kh«ng 3
  4. Trư ng ĐH Hùng Vương Khoa Toán – Công ngh gian Hilbert l m c¬ së cho viÖc nghiªn cøu ®èi t−îng chÝnh. 4) Ph−¬ng ph¸p nghiªn cøu - Nghiªn cøu lÝ luËn: Tr−íc tiªn l ®äc c¸c t i liÖu liªn quan tíi néi dung cña ®Ò t i. Cô thÓ nh− t i liÖu viÕt vÒ nguån gèc thùc tiÔn v c¬ së lý thuyÕt dÉn tíi ph−¬ng tr×nh tÝch ph©n tuyÕn tÝnh trªn kh«ng gian Hilbert. Tõ ®ã l m tiÒn ®Ò cho viÖc t×m hiÓu vÒ ph−¬ng tr×nh tÝch ph©n tuyÕn tÝnh trªn kh«ng gian Hilbert v vËn dông c¸c kiÕn thøc c¬ së trªn ®Ó ®äc hiÓu vÒ ®èi t−îng chÝnh ta cÇn nghiªn cøu, ph©n tÝch, tæng hîp råi rót ra kÕt luËn - Hái ý kiÕn chuyªn gia: Chñ yÕu l gi¸o viªn h−íng dÉn 5) Ý nghĩa khoa h c và th c ti n Khoá lu n là tài li u tham kh o cho th y cô giáo, các b n sinh viên khoa toán. V b n thân bên c nh vi c ñư c tìm hi u sâu hơn v phương trình tích phân tuy n tính trên không gian Hilbert còn ñư c nâng cao ki n th c cơ s v Gi i tích hàm. 6) CÊu tróc cña khãa luËn Ngoài l i nói ñ u, m c l c, k t lu n, tài li u tham kh o, n i dung khoá lu n là tài li u dày 85 trang g m hai chương: Ch−¬ng 1 - KiÕn thøc chuÈn bÞ Ch−¬ng 2 - Mét sè ph−¬ng tr×nh tÝch ph©n tuyÕn tÝnh 4
  5. Trư ng ĐH Hùng Vương Khoa Toán – Công ngh CHƯƠNG 1 KI N TH C chuÈn bÞ 1.1. B SUNG V KHÔNG GIAN BANACH 1.1.1 Không gian ñ nh chu n ∗ Đ nh nghĩa 1.1.1. Cho X là m t không gian vectơ trên trư ng K (th c ho c ph c), hàm th c ⋅ : X → ℝ tho mãn ba tính ch t: (i ) x ≥ 0 ∀x ∈ Χ, x = 0 ⇔ x = 0, ∀x ∈ Χ ( ii ) λ x = λ . x , ∀x ∈ Χ, ∀λ ∈ Κ ( iii ) x + y ≤ x + y , ∀x, y ∈ Χ Đư c g i là m t chu n trên Χ , c p ( Χ , ⋅ ) ñư c g i là không gian tuy n tính ñ nh chu n, hay không gian ñ nh chu n. ∗ Ví d 1.1.1. Không gian vect¬ t t c các hàm s x = x ( t ) xác ñ nh và ño ñư c trên ño n [ a; b ] v i bình phương moñun kh tích trên [ a; b ] , ( −∞ < a < b < +∞ ) ta kí hi u là L2a ,b] . [   b   L2a ,b] =  x = x(t ) ∫ x(t ) dt < +∞  2 [   a   Khi ñó ( L2a ,b] , ⋅ ) là không gian ñ nh chu n, v i chu n ⋅ xác ñ nh b i [ 1  b  2 x =  ∫ x ( t ) dt  , x ∈ L2a ,b] 2 [ a  Th t v y: 1 b b 2 ∀ x ∈ L2a ,b] : x ( t ) ≥ 0 , ∀t ∈ [ a, b ] suy ra ∫ x (t ) 2 2 dt ≥ 0 hay  ∫ x ( t ) dt  = x ≥ 0 2 [ a a  1 b 2 ⇒ x = 0 ⇔  ∫ x ( t ) dt  = 0 2 a  5
  6. Trư ng ĐH Hùng Vương Khoa Toán – Công ngh b ⇔ ∫ x ( t ) dt = 0 ⇔ x ( t ) = 0 h u kh p nơi trên [ a, b ] 2 2 a ⇔ x ( t ) = 0 h u kh p nơi trên [ a, b ] ⇔ x ( t ) = 0, ∀t ∈ [ a, b ] ⇔ x = θ 1 1  b    2 b 2 ∀λ ∈ Κ , x ∈ L2a ,b] : λ x =  ∫ λ x ( t ) dx  =  ∫ λ x(t ) dt  2 2 2 [ a  a  1 1  2 b   2  b 2 =  λ ∫ x ( t ) dt  = λ  ∫ x ( t ) dt  = λ ⋅ x . 2 2  a  a  ∀y, x ∈ L2a ,b] : ( x + y )( t ) = x ( t ) + y ( t ) , ∀t ∈ [ a, b ] nên: [ 1 1 b 2  b 2 x + y =  ∫ ( x + y )( t ) dt  =  ∫ ( x ( t ) + y ( t ) ) dt  . 2 2 a  a  t b t ñ ng th c Holder: 1 1 b  b   2 b  2 ∫ x ( t ) ⋅ y ( t ) dt ≤  ∫ x ( t ) dt  ⋅  ∫ y ( t ) dt  2 2 a  a  a  Ta có: b b x + y = ∫ x ( t ) + y ( t ) dt ≤ ∫ x ( t ) + y ( t ) ( ) 2 2 2 dt a a 1 1 b b 2  b 2 b ≤ ∫ x ( t ) dt + 2 ⋅  ∫ y ( t ) dt   ∫ x ( t ) dt  + ∫ y ( t ) dt 2 2 2 2 a a  a  a 2  b 1 1   2 b 2  (x ) 2  x (t )  +  ∫ y ( t ) dt   = 2 2 = ∫ + y   a   a    Cho nên x + y ≤ ( x + y ) 2 2 hay: x+ y ≤ x + y . 6
  7. Trư ng ĐH Hùng Vương Khoa Toán – Công ngh ∗ Tính Ch t +) d ( x, y ) = x − y , ∀x, y ∈ ( Χ, ⋅ ) là m t mêtric trên X +) Trong m t không gian tuy n tính ñ nh chu n X ( i ) Phép c ng và phép nhân vô hư ng là m t ánh x liên t c ( ii ) Chu n ⋅ là m t hàm s liên t c trên X Ch ng minh. ( i ) : Gi s hai dãy { xn } , { yn } trong không gian ñ nh chu n X, l n lư t h i t t i x0 , y0 thu c X, t c lim xn = x0 , lim yn = y0 và {λn } là dãy s trong trư ng K v i lim λn = λ0 ∈ Κ . Khi ñó: +) xn + yn − ( x0 + y0 ) = xn − x0 + yn − y0 ≤ xn − x0 + yn − y0 → 0 ⇒ lim ( xn + yn ) = x0 + y0 . +) λn xn − λ0 x0 = λn ( xn − x0 ) + ( λn − λ0 ) x0 ≤ λn ( xn − x0 ) + ( λn − λ0 ) x0 ≤ ≤ λn xn − x0 + λn − λ0 x0 → 0 (khi n → ∞ ) Tõ ®ã cã: lim ( λn xn ) = λ0 x0 . ( ii ) : V i m i x, y ∈ Χ ta có: x = x− y+ y ≤ x− y + y ⇒ x − y ≤ x− y (1) y = y−x+x ≤ y−x + x = x− y + x ⇒ y − x ≤ x− y (2) T (1) và (2) suy ra: x − y ≤ x− y . Do ñó, v i { xn } là m t dãy ph n t trong X mà h i t t i x0 ∈ Χ thì: 7
  8. Trư ng ĐH Hùng Vương Khoa Toán – Công ngh xn − x0 ≤ xn − x0 → 0 (khi n → ∞ ) Suy ra lim xn = x0 , hay ta có chu n ⋅ là m t hàm s liên t c trên X. 1.1.2. Không gian Banach ∗ Đ nh nghĩa 1.1.2. M t không gian ñ nh chu n X g i là không gian Banach n u m i dãy cơ b n c a X ñ u h i t trong X. ∗ Dãy { xn } trong không gian ñ nh chu n X ñư c g i là dãy cơ b n n u ∀ε >0 cho trư c, ∃n0 ∈ Ν ∗ ñ ∀m, n ≥ n0 ta ñ u có xn − xm < ε . n ∗ Ví d 1.1.2. Không gian ℝ v i chu n x = n ∑x 2 i , trong ñó x = ( xi )i =1, n i =1 Đ nh lý 1.1.2. Không gian ñ nh chu n X là không gian Banach khi và ch khi m i chu i h i t tuy t ñ i ñ u h i t . ∞ Ch ng minh. Gi s X là không gian Banach, chu i ∑x n =1 n h i t tuy t ñ i trong ∞ ∞ X, t c chu i ∑ xn h i t , g i {Sn } là dãy t ng riêng c a chu i ∑x n v i n =1 n =1 n Sn = ∑ xk , khi ñó v i m i s t nhiên n, p ta có: k =1 n+ p n+ p S n + p − Sn = ∑x k = n +1 k ≤ ∑ k = n +1 xk → 0 khi n, p → ∞ Suy ra {Sn } là m t dãy cơ b n trong không gian X, vì X là không gian Banach ∞ nên dãy này h i t , do ñó chu i ∑x n =1 n h it . Ngư c l i, X là không gian ñ nh chu n th a mãn m i chu i h i t tuy t ñ i ñ u h i t , ta ch ra X là không gian Banach. Th t v y, gi s { xn } là m t dãy cơ b n b t kì c a không gian tuy n tính ñ nh chu n X, khi ñó v i m i s t nhiên n t n t i s t nhiên kn sao cho m ≥ kn , l ≥ kn thì khi ñó 1 xl − xm ≤ (3) 2n 8
  9. Trư ng ĐH Hùng Vương Khoa Toán – Công ngh Ta ch n các kn sao cho: k1 < k2 < k3 < ... < kn < ... thì ta s có dãy con xkn{ }c a dãy { xn } h i t trong X, vì t (3) suy ra 1 xkn+1 − xkn < n , ∀n ∈ ℕ∗ 2 Suy ra chu i ( ) ( ) ( ) xk1 + xk2 − xk1 + xk3 − xk2 + ... + xkn+1 − xkn + ... (4) có xkn+1 − xkn → 0 khi n → ∞ Do v y (4) h i t tuy t ñ i, theo gi thi t thì chu i (4) h i t . M t khác, Sn = xkn , v i m i n ∈ ℕ . Do v y xkn { } h it trong X, vì { xn } là dãy cơ b n suy ra chu i { xn } h i trong X. Suy ra ( Χ, ⋅ ) là không gian Banach. 1.1.3. Không gian Banach kh li ∗ Đ nh nghĩa 1.1.3. Không gian Banach X ñư c g i là kh li (hay tách ñư c) n u t n t i m t dãy { xn }n các ph n t c a X trù m t kh p nơi trong X. ∗ Ví d 1.1.3. Không gian các hàm s liên t c trên [0,1] kí hi u là C[0,1] , là không gian kh li v i dãy { xn } ⊂ C[0,1] xác ñ nh b i: x0 = 1 , xn ( t ) = t n , n ∈ ℕ trù m t kh p nơi trong C[0,1] . 1.1.4.Toán t tuy n tính liên t c ∗ Đ nh nghĩa 1.1.4. Cho ( X , . X ) và (Y , . Y ) là hai không gian tuy n tính ñ nh chu n trên cùng m t trư ng K. Ánh x A : X → Y g i là toán t tuy n tính liên t c n u nó v a tuy n tính v a liên t c. ∗ Chú ý. A liên t c t i ñi m x0 ∈ Χ ⇔ v i m i dãy { xn } các ph n t c a Χ th a mãn lim xn − x0 X = 0 thì lim Axn − Ax0 y =0 + ) A liên t c trên X khi A liên t c t i m i ñi n thu c X + ) A ñư c g i là tuy n tính n u ∀x, y ∈ Χ : A ( x + y ) = Ax + Ay 9
  10. Trư ng ĐH Hùng Vương Khoa Toán – Công ngh A ( λ x ) = λ Ax, ∀λ ∈ Κ Đ nh lý 1.1.4. Gi s cho A : X → Y là m t toán t tuy n tính t không gian ñ nh chu n X vào không gian ñ nh chu n Y, khi ñó 3 m nh ñ sau là tương ñương: i A liên t c ii A liên t c t i θ ∈ Χ iii A b ch n ( ∃M > 0 : Ax ≤ M x , ∀x ∈ Χ ) Ch ng minh. i ⇒ ii : A liên t c, t c A liên t c t i m i ñi m thu c X do v y A hi n nhiên liên t c t i θ ∈ Χ . ii ⇒ i : Gi s A liên t c t i θ ∈ Χ , v i m i x b t kỳ thu c Χ và dãy { xn }n h i t t i ñi m x ∈ Χ , ta ch ra lim Axn = Ax . Th t v y, vì xn , x ∈ Χ , ∀n ∈ ℕ∗ nên ( xn − x ) ∈ Χ và lim ( xn − x ) = 0 (do tính liên t c c a phép c ng trên không gian n →∞ ñ nh chu n ). Theo gi thi t A liên t c t i θ ∈ Χ suy ra: lim A ( xn − x ) = Aθ = 0 ⇒ lim Axn = Ax . Nên A liên t c t i x , v i m i x ∈ Χ nên A liên t c. i ⇒ iii : Gi s A liên t c, ta ch ng minh A b ch n. Th t v y, vì A liên t c trên X nên A liên t c t i ph n t θ ∈ Χ , do ñó ∃∂ > 0 sao cho m i x ∈ Χ mà ∂x x ≤ ∂ thì ta có Ax ≤ 1 . Bây gi v i m i x ∈ Χ , x ≠ 0 ñ t u = thì u = ∂ nªn: x Au ≤ 1 ∂x Thay u = ñư c: x ∂x ∂ 1 A = ⋅ Ax ≤ 1 ⇔ Ax ≤ ⋅ x (5) x x ∂ B t ñ ng th c (5) ñúng cho c trư ng h p x = θ , do ñó A b ch n. iii ⇒ i : Gi s A b ch n, ta ch ng minh A liên t c. Th t v y, v i x là ph n 10
  11. Trư ng ĐH Hùng Vương Khoa Toán – Công ngh t b t kỳ c a Χ , { xn } là dãy ph n t trong X h i t t i x, t c xn − x → 0 khi n → ∞ . Do Α b ch n nên t n t i M sao cho Ax ≤ M x , ∀x ∈ Χ V× ( xn − x ) ∈ Χ, ∀n = 1, 2,... nên: A ( xn − x ) ≤ M xn − x  0 n→∞ → Kéo theo A ( xn − x ) → 0 khi n → ∞ . Do tính tuy n tính c a A suy ra lim Axn = Ax . V y A liên t c t i x , v i x là b t kỳ suy ra A liên t c. ∗ Không gian các toán t tuy n tính b ch n Cho X,Y là các không gian tuy n tính ñ nh chu n trên cùng trư ng K. Ta ký hi u L ( X ,Y ) là t p h p t t c các toán t tuy n tính b ch n t X vào Y. Khi ñó v i phép c ng các toán t và phép nhân vô hư ng thông thư ng: +) ( A + B ) x = Ax + Bx, ∀A, B ∈ L ( X , Y ) , x∈Χ +) ( λ A) x = λ ( Ax ) , ∀A ∈ L ( X , Y ) , x ∈ Χ, λ ∈ Κ T p L ( X ,Y ) là m t không gian vectơ trên trư ng Κ và v i chu n ñư c xác ñ nh như sau: A = Inf {M : ∀x ∈ X , Ax ≤ M x } , ∀A ∈ L ( X , Y ) Thì L ( X ,Y ) là m t không gian ñ nh chu n, hay còn còn g i là không gian các toán t tuy n tính b ch n t X vào Y. Đ c bi t khi Y = Κ ta vi t Χ∗ thay cho L ( X ,Y ) và g i Χ ∗ là không gian liên h p c a không gian ñ nh chu n X. M i ph n t c a Χ ∗ ñư c g i là m t phi m hàm tuy n tính liên t c. 11
  12. Trư ng ĐH Hùng Vương Khoa Toán – Công ngh 1.2. KHÔNG GIAN HILBERT 1.2.1. Khái ni m không gian ti n Hilbert ∗ Đ nh nghĩa 1.2.1. Cho E là m t không gian vectơ trên trư ng K, hàm g : E × E → ℝ th a mãn: i g ( x, y ) = g ( y, x ), ∀x, y ∈ E. ii g ( x + y, z ) = g ( x, z ) + g ( y, z ) , ∀x, y, z ∈ E . iii g ( λ x, y ) = λ g ( x, y ) , ∀x, y ∈ E , λ ∈ Κ . iiii g ( x, x ) ≥ 0, ∀x ∈ E , g ( x, x ) = 0 ⇒ x = θ ∈ E . Khi ñó g ñư c g i là m t tích vô hư ng trên E, thư ng kí hi u là ⋅, ⋅ ( Ε, .,. ) ñư c g i là không gian tích vô hư ng hay không gian ti n Hilbert. ∗ Nh n xét: i θ , x = x,θ = 0 ( θ là vectơ không trên E ). Th t v y: θ , x = 0 ⋅ x, x = 0 x, x = 0 x , θ = x , x ⋅ 0 = 0 x, x = 0 . ii x, λ y + µ z = λ x, y + µ x, z , ∀x, y, z ∈ E . Th t v y: x, λ y + µ z = λ y + µ z , x = λ y , x + µ z , x = λ y , x + µ z , x = λ x, y + µ x, z 1.2.2. B t ñ ng th c schwarz, chu n trên không gian ti n Hilbert Kí hi u x = x, x , v i m i x ∈ Ε thì ta có: x, y ≤ x y , ∀x, y ∈ Ε B t ñ ng th c trên ñư c g i là b t ñ ng th c Schwarz. 12
  13. Trư ng ĐH Hùng Vương Khoa Toán – Công ngh Ch ng minh. N u y = θ thì x, y = x,θ = 0, ∀x ∈ Ε và y = 0 nên hi n nhiên b t ñ ng th c ñúng. N u y ≠ θ , khi ñó 0 ≤ x + α y, x + α y , ∀α ∈ Κ : x + α y , x + α y = x, x + α x, y + α y , x + α 2 y, y = x + α y , x + α x, y + α ⋅ y . 2 2 2 − x, y Vì ñ ng th c ñúng v i m i α ∈ Κ nên ta có th ch n α = 2 , khi ñó: y 2 2 2 x, y x, y x, y 0≤ x − − + ⋅ y 2 2 2 2 4 y y y 2 2 Kéo theo 0 ≤ x ⋅ y − x, y ≤ x ⋅ y 2 2 2 2 hay x, y suy ra: x, y ≤ x ⋅ y Bây gi ta xét xem d u " = " x y ra khi nào?. Chúng ta s ch ng minh d u " = " x y ra khi và ch khi x, y ph thu c tuy n tính. Th t v y, gi s x và y ph thu c tuy n tính, t c x = λ y, λ ∈ Κ thì: x, y = λ y , y = λ y , y = λ y = ( λ y )( y ) = λ y y = x ⋅ y 2 Ngư c l i, gi s d u " = " x y ra, t c có: x, y = x ⋅ y Suy ra 2 x, y = x, x y , y T ñó x, x y , x = x, x y , y Hay x, y y , x − y , y x, x = 0 ñúng v i m i x ∈ Ε . Suy ra: x, y y − y , y x = 0 Hay x, y ph thu c tuy n tính. 13
  14. Trư ng ĐH Hùng Vương Khoa Toán – Công ngh ∗ Công th c x = x, x là m t chu n trên không gian tích vô hư ng E. Th t v y: ∀x ∈ Ε , x, x ≥ 0 ⇒ x = x, x ≥ 0, ∀x ∈ Ε . Và x =0⇔ x , x = 0 ⇔ x, x = 0 ⇒ x = θ ∈ Ε ∀x, y ∈ Ε , ta có: x + y = x + y , x + y = x, x + x, y + y , x + y , y 2 = x + 2 Re x, y + y 2 2 ( Re ) + ( Im ) 2 2 Vì r ng x, y = x, y x, y ≥ Re x, y nên: x + y ≤ x + 2 x, y + y 2 2 2 M t khác theo b t ñ ng th c Schwarz x, y ≤ x ⋅ y ta có: x + y2 ≤ x + 2 x y + y = ( x + y ) 2 2 2 Kéo theo x+ y ≤ x + y V i m i λ ∈ Κ , ∀x ∈ Ε ta có: λx = λ x, λ x = λ ⋅ x, x = λ x, x = λ ⋅ x 2 Do v y ⋅ xác ñ nh như trên là m t chu n trên E và ( Ε, ⋅ ) là m t không gian ñ nh chu n. ∗ Nh n xét. M i không gian tích vô hư ng ñ u là không gian ñ nh chu n và chu n xác ñ nh như trên ñư c g i là chu n sinh b i tích vô hư ng ⋅, ⋅ . ∗ Đ ng th c hình bình hành ( ∀x, y ∈ Ε : 2 x + y 2 2 )= x+ y 2 + x− y 2 1.2.3. Khái ni m không gian Hilbert ∗ Đ nh nghĩa 1.2.3. Ta g i không gian Hilbert là không gian tích vô hư ng ñ y ñ (t c m i dãy cơ b n ñ u h i t trong nó). 14
  15. Trư ng ĐH Hùng Vương Khoa Toán – Công ngh 1.2.3.2. M t s không gian Hilbert + ) Không gian tích vô hư ng các s ph c ℂ , v i tích vô hư ng z , z ' = zz ' là không gian Hilbert. + ) Không gian ℂ , ℝ là nh ng không gian Hilbert v i tích vô hư ng ñư c xác k k ñ nh l n lư t là: ( ) k z , z ' = ∑ z j z j ' , z = z1,..., Zk , z ' = ( z1 ',..., zk ' ) . j =1 k x, y = ∑ xi yi , x = ( xi )i =1, k , y = ( yi )i =1, k i =1 + ) Không gian L[ a ,b] các hàm s 2 xác ñ nh và ño ñư c trên [ a, b ] và có bình phương moñun kh tích trên [ a, b ] là không gian Hilbert v i tích vô hư ng ñư c xác ñ nh: b x, y = ∫ x ( t ) y ( t )dt , x, y ∈ L2a ,b] . [ a ∞ + ) Không gian l (các dãy s th c ho c ph c ( xn )n th a mãn ∑x < ∞ ) là 2 2 n n =1 không gian Hilbert v i tích vô hư ng ñư c xác ñ nh như sau: ∞ ( x, y ) = ∑ xn yn , x = ( xn )n , y = ( yn )n ∈ l 2 . n =1 1.2.4. H th ng tr c giao và tr c chu n 1.2.4.1.Vect¬ tr c giao. Trong không gian Hilbert, nh tích vô hư ng, ta có th ñ nh nghĩa khái ni m tr c giao gi ng như trong không gian ℝ 3 thông thư ng. Ta nói hai véctơ x, y c a m t không gian Hilbert Η tr c giao v i nhau, và kí hi u x ⊥ y n u x, y = 0 . 1.2.4.2. M t s tính ch t ñơn gi n + ) N u x ⊥ y thì y ⊥ x . Ta nói x ⊥ x khi và ch khi x = θ ,vectơ θ tr c giao v i m i vectơ. + ) N u x ⊥ y1 , y2 ,..., yn thì x ⊥ (α1 y1 + α 2 y2 + ... + α n yn ) . 15
  16. Trư ng ĐH Hùng Vương Khoa Toán – Công ngh + ) N u x ⊥ yn , yn → y ( n → ∞ ) thì x ⊥ y . + ) N u t p h p Μ trù m t trong H thì M g m m t ph n t duy nh t là θ , nghĩa là ⊥ x ⊥ Μ ⇒ x = θ , trong ñó M ⊥ là ph n bù tr c giao c a Μ , t c: Μ ⊥ = { x ∈ H : x ⊥ Μ} . Th t v y, vì M trù m t trong H nên m i x ∈ Η ñ u là gi i h n c a m t dãy { xn } thu c M và x = lim xn v y x ⊥ Μ kéo theo x ⊥ xn v i m i n , và do ñó x ⊥ x suy ra x = θ . + ) N u x ⊥ y thì x + y = x + y (ñinh lý Pythago). M r ng { yi }i =1, k là m t 2 2 2 k 2 k ∑ yi = ∑ yi . 2 dãy các ph n t c a H ñôi m t tr c giao nhau thì khi ñó i −1 i =1 Ch ng minh. Ta ch ng minh theo qui n p, v i k = 2, y1 ⊥ y2 : y1 + y2 = y1 + y2 , y1 + y2 = y1 , y2 + y1 , y2 + y2 , y1 + y2 , y1 Vì y1 ⊥ y2 nên y1 , y2 = y2 , y1 = 0 suy ra: y1 + y2 = y1 + y2 2 2 2 k 2 k Gi s ñ ng th c ñúng v i n = k ( k ≥ 2 ) , t c có ∑y = ∑ yi 2 i i =1 i =1 Khi ñó: k +1 k ∑ = ∑ yi + yk +1 2 2 2 yi k =1 i =1 k +1 2 k 2 k k 2 ∑y i =1 i = ∑y i =1 i + yk +1 = ∑y i =1 i + yk +1 , ∑ yi + yk +1 i =1 k 2 k k k 2 = ∑y + ∑y,y + yk +1 , ∑ yi + yk +1 = ∑y + yk +1 2 2 i i k +1 i i =1 i =1 i =1 i =1 k +1 2 k k +1 ∑ yi = ∑ yi + yk +1 = ∑ yi 2 2 2 i =1 i =1 i =1 V y ta có ñ ng th c c n ch ng minh. 16
  17. Trư ng ĐH Hùng Vương Khoa Toán – Công ngh k 2 k ∑y = ∑ yi 2 i i =1 i =1 1.2.4.3. H th ng tr c giao. M t h S các vect¬ khác θ trong không gian tích vô hư ng E ñư c g i là m t h th ng tr c giao n u x ⊥ y v i m i x, y ∈ S , x ≠ y . 1.2.4.4. H th ng tr c chu n. H th ng tr c giao S th a mãn ñi u ki n x = 1 v i m i x ∈ S thì S ñư c g i là m t h tr c chu n c a Ε . ∗ Ví d : + ) Trong không gian tích vô hư ng l dãy các véctơ xn = (δ mn )n 2 ( m, n ∈ Ν ) ∗ x1 = (1, 0, 0,..., 0,...) x2 = ( 0,1, 0,..., 0,...) xn = ( 0,..., 0,1, 0,...) là m t dãy tr c chu n. + ) Trong không gian tích vô hư ng L[−π ,π ] dãy các ph n t ( yn )n c a L2−π ,π ] xác ñ nh 2 [ einx b i ϕn = , n ∈ Z là m t dãy tr c chu n trong không gian L2−π ,π ] , vì v i [ 2π m ≠ n ta có: π π 1 = ∫ ϕ n ( x )ϕ m ( x )dx = i( n − m ) x ϕ n ,ϕ m ∫π e dx −π 2π − − π i( n − m ) π i( n − m) e −e = 2π i ( n − m ) =0 Khi n = m thì: π 1 ϕn ,ϕm = ∫π dx = 1 2π − ∗ Nh n xét. M i h tr c giao ñ u ñ c l p tuy n tính. Th t v y, gi s S là m t h tr c giao c a không gian tích vô hư ng E, ta ph i 17
  18. Trư ng ĐH Hùng Vương Khoa Toán – Công ngh n ch ra v i m i n ∈ ℕ∗ : ∑α x i =1 i i = θ kéo theo α i = 0, i = 1, n . Trong ñó xi là các ph n t tùy ý c a S. Khi ñó: n n x j , ∑ α i xi = ∑ α i x j , x j = α j x j , x j = α j , j = 1, n i =1 i =1 Suy ra θ , x j = α j hay 0 = α j , j = 1, n . Ngư c l i: M t h các vect¬ ñ c l p tuy n tính { yn } trong không gian tích vô hư ng E, bao gi cũng t n t i m t h tr c chu n { xn } sao cho v i m i n ∈ ℕ∗ : span { y1 , y2 ,..., yn } = span { x1 ,..., xn } . ω1 Th t v y, ñ t ω1 = y1 và x1 = ω1 k −1 ωk ωk = yk − ∑ yk , xi xi và xk = , k = 2,3,... i =1 ωk Khi ñó các ωk ≠ θ , n u không ωk = θ thì { y1 ,..., yk } ph thu c tuy n tính ñi u này mâu thu n v i dãy { yn } ñ c l p tuy n tính. H {ωk }k tr c giao ta s ch ng minh b ng qui n p. V i k = 1 vì ω1 ≠ θ hi n nhiên. V i k = 2 , ta có: ω2 , ω1 = y2 − y2 , x1 x1 , ω1 = y2 − y2 , x1 x1 , y1 y2 , y1 y1 , y1 = y2 , y1 − y2 , x1 x1 , y1 = y1 , y2 − 2 y1 = y2 , y1 − y2 , y1 = 0 ⇒ ω2 ⊥ ω1 . Gi s ω2 , ω1 ,..., ωk −1 ñôi m t tr c giao v i nhau, ta có: k −1 k −1 yk , ωi ωi , ωm ωk , ωm = yk − ∑ yk , xi xi , ωm = yk , ωm − ∑ ωi 2 i =1 i =1 v i m i i ≠ m thì ωi ⊥ ωm , i = 1, k − 1 (theo qui n p) nên: 18
  19. Trư ng ĐH Hùng Vương Khoa Toán – Công ngh k −1 yk , ωi ωi , ωm yk , ωm ωm , ωm ∑i =1 ωi 2 = ωm 2 = yk , ωm ⇒ ωk , ωm = yk , ωm − yk , ωm = 0 . Suy ra h {ω1 ,..., ωk } tr c giao. V yh {ωn }n là m t h tr c giao, do ñó { xn }n là m t h tr c chu n c a không gian tích vô hư ng Ε . V i m i n ∈ ℕ∗ ta có: M i t h p tuy n tính c a các vect¬ y1 ,..., yn ñ u bi u di n ñư c qua các vect¬ x1 ,..., xn và ngư c l i, do ñó: span { y1 ,..., yn } = span { x1 ,..., xn } . 1.2.4.5. B t ñ ng th c Bessel Gi s { xn }n là m t dãy tr c chu n trong không gian tích vô hư ng E. Khi ñó v i m i s t nhiên n ≠ 0 , ∀x ∈ Ε ta có:. n 2 n x − ∑ x, xk = x − ∑ x, xk 2 2 (6) k =1 k =1 t ñó kéo theo: n ∑ 2 ≤ x 2 x, xk K =1 ñ c bi t ∞ ∑ x, xk ≤ x 2 (b t ñ ng th c Bessel). k =1 Ch ng minh.V i m i n ∈ ℕ∗ , áp d ng ñ nh lý Pythago ta có: n 2 n n ∑ α k xk = ∑ α k xk = ∑ αk 2 2 k =1 k =1 k =1 v i m i α1 ,..., α n ∈ Κ suy ra: n 2 n n 0 ≤ x − ∑ α k xk = x − ∑ α k xk , x − ∑ α k xk k =1 k =1 k =1 n n n x, x − ∑ x,α k xk − ∑ α k xk , x + ∑ α k 2 k =1 k =1 k =1 19
  20. Trư ng ĐH Hùng Vương Khoa Toán – Công ngh n n n = x − ∑α k x, xk − ∑α k xk , x + ∑ α k 2 2 k =1 k =1 k =1 n n = x − ∑ x, xk + ∑ xk , x − α k . 2 2 2 k =1 k =1 Ch n α k = x, xk ta có: n 2 n x − ∑ x, xk xk = x − ∑ x, xk 2 2 k =1 k =1 n 2 vì r ng x − ∑k =1 x , xk xk ≥ 0 nên: n x ≥ ∑ x, xk 2 2 (7). k =1 M t khác vì b t ñ ng th c (7) ñúng v i m i n ∈ ℕ∗ và chu n là hàm s liên t c cho nên khi n → ∞ ta có: ∞ ∑ 2 ≤ x . 2 x, xk k =1 B t ñ ng th c trên ñư c g i là b t ñ ng th c Bessel. n ∗ Chú ý. T ñó suy ra r ng chu i ∑ k =1 x, xk xn bao gi cũng h i t . 1.2.4.6. H tr c chu n ñ y ñ . M t h tr c chu n {en }n trong không gian tích vô hư ng E g i là ñ y ñ khi ch duy nh t vect¬ θ tr c giao v i t t c các ph n t c a h nghĩa là: x ⊥ en ( n = 1, 2,.. ) kÐo theo x = θ . 1.2.4.7. Các ñ nh lý Đ nh lý 1.2.4.8.1. Gi s { xn }n là m t dãy tr c chu n trong không gian Hilbert H ∞ và gi s {α n }n là m t dãy các ph n t trong trư ng Κ khi ñó chu i ∑α n nx h i n =1 ∞ ∞ ∞ ∑α ∑α xn = ∑ α n . 2 < +∞ và trong trư ng này: 2 t khi và ch khi chu i n n n =1 n =1 n =1 20
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

LV.15: Bộ Đồ Án Tốt Nghiệp Chuyên Ngành Cơ Khí
65 tài liệu
2431 lượt tải
THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2