Luận văn: Một số định lý điểm bất động

Chia sẻ: Qsczaxewd Qsczaxewd | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:66

Thêm vào BST

Báo xấu

253
lượt xem 66
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Cho C là một tập con của không gian X,F là một ánh xạ từ C vào X. Phải đặt những điều kiện nào trên C,X và F để có thể khẳng định sự tồn tại của một điểm 0x trong C sao cho 00Fxx=? Điểm 0x như vậy gọi là điểm bất động của ánh xạ F. Lý thuyết điểm bất động là một nhánh của Toán học, có nhiều ứng dụng trong lí thuyết tối ưu, lí thuyết trò chơi, các bao hàm thức vi phân và trong nhiều nghiên cứu của Vật lí. Một số kết quả về...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn: Một số định lý điểm bất động

§¹i häc th¸I nguyªn Trêng ®¹i häc s ph¹m ---------------------------------- Tr¬ng thÞ h¶i yÕn Mét sè ®Þnh lý ®iÓm bÊt ®éng Chuyªn ngµnh : Gi¶i tÝch M· sè : 60.46.01 LuËn v¨n th¹c sü to¸n häc Ngêi híng dÉn khoa häc: PGS.TS TRƯƠNG XUÂN ĐỨC HÀ Th¸i Nguyªn - 2008 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
MỤC LỤC Lời nói đầu…………………………………………………………………...2 Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị……………………………………...4 1.1.Tính compact và tính đầy đủ……………………………………………...4 1.2. Tính bị chặn và tính liên tục của hàm số…………………………………5 1.3. Tập sắp thứ tự…………………………………………………………….5 1.4. Không gian điểm bất động……………………………………………….6 1.5. Tạo không gian điểm bất động mới từ không gian cũ……………………9 Chương 2: Một số định lí tồn tại điểm bất động trong không gian đầy đủ và ứng dụng của định lí Banach…………………………………………...12 2.1. Nguyên lý ánh x ạ co Banach……………………………………………12 2.2. Miền bất biến cơ sở……………………………………………………..15 2.3. Phương pháp liên tục cho ánh xạ co…………………………………….17 2.4. Luân phiên phi tuyến cho ánh xạ co…………………………………….20 2.5. Mở rộng nguyên lí ánh xạ co Banach…………………………………...23 2.6. Ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert…………………………...28 2.7. Ứng dụng nguyên lí Banach cho phương trình tích phân……………….36 Chương 3: M ột số định lí tồn tại điểm bất động trong không gian có thứ tự .39 . 3.1. Định lí Knaster - Tarski………………………………………………....39 3.2. Tính thứ tự và tính đầy đủ. Định lí Bishop - Phelps…………………….42 3.3. Điểm bất động của ánh xạ co đa trị……………………………………..45 3.4. Ứng dụng vào nghiên cứu hình học của không gian Banach…………...47 3.5. Ứng dụng vào nghiên cứu điểm tới hạn………………………………...48 Chương 4: Một số định lí tồn tại điểm bất động dựa trên tính lồi………51 4.1. Nguyên lí ánh xạ KKM ………………….……………………………..51 4.2. Định lí của von Newmann và hệ bất đẳng thức………………………....56 4.3. Điểm bất động của ánh xạ Affine. Định lí Markoff – Kakutani………...60 Kết luận……………………………………………………………………..63 Tài liệu tham khảo………………………………………………………….64 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
LỜI NÓI ĐẦU Cho C là một tập con của không gian X , F là một ánh xạ từ C vào X . Phải đặt những điều kiện nào trên C , X và F để có thể khẳng định sự tồn tại của một điểm x0 trong C sao cho Fx0 = x0 ? Điểm x0 như vậy gọi là điểm bất động của ánh xạ F . Lý thuyết điểm bất động là một nhánh của Toán học, có nhiều ứng dụng trong lí thuyết tối ưu, lí thuyết trò chơi, các bao hàm thức vi phân và trong nhiều nghiên cứu của Vật lí. Một số kết quả về tồn tại điểm bất động nổi tiếng đã xuất hiện từ đầu thế kỉ XX, trong đó phải kể đến nguyên lí điểm bất động Brouwer (1912) và nguyên lí ánh xạ co Banach (1922). Các kết quả kinh điển này đã được mở rộng ra các lớp ánh xạ và không gian khác nhau. Mục đích của luận văn này là trình bày một cách chi tiết hơn một số định lí điểm bất động trong tài liệu A.Granas, J.Dugundji. Fixed point Theory. Springer – Verlag. NewYork, 2003. Chúng tôi chỉ hạn chế ở việc giới thiệu những kết quả dựa trên tính đầy đủ, tính sắp thứ tự của không gian và tính lồi. Bố cục của luận văn gồm 4 chương với những nội dung chính sau đây: Chương 1. Nhắc lại một số kiến thức chuẩn bị làm cơ sở để theo dõi luận văn. Chương 2. Nghiên cứu sự tồn tại điểm bất động dựa trên tính đầy đủ của không gian như Nguyên lí ánh xạ co Banach, các mở rộng và ứng dụng của nó. Chương 3. Trình bày sự tồn tại điểm bất động trong không gian có thứ tự như Định lí Knaster - Tarski, Định lí Tarski - Kantorovitch. Xét mối liên hệ giữa khái niệm thứ tự và tính đầy đủ ta thu được Định lí Bishop – Phelps, Định lí điểm bất động Carsti, Định lí Ekeland. Trong chương này còn trình Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
bày điểm bất động của ánh xạ co đa trị, đồng thời xét một vài ứng dụng vào nghiên cứu hình học của không gian Banach, vào nghiên cứu điểm tới hạn. Chương 4. Nghiên cứu sự tồn tại điểm bất động dựa trên tính lồi cụ thể là dựa trên Nguyên lí ánh xạ KKM. Luận văn này được hoàn thành với sự hướng dẫn tận tình của PGS.TS Trương Xuân Đức Hà , tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và sự biết ơn sâu sắc đến cô. Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo phản biện đã đọc và đóng góp nhiều ý kiến quý báu cho luận văn của tác giả; các thầy cô giáo Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên; các thầy cô giáo ở Viện Toán học cùng toàn thể bạn bè đã đóng góp ý kiến, giúp đỡ, động viên tác giả trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Cuối cùng, tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, những người đã tạo điều kiện thuận lợi và động viên tác giả hoàn thành luận văn này. Do thời gian và kinh nghiệm còn nhiều hạn chế nên luận văn không tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được sự góp ý từ thầy cô và các bạn. Tác giả xin chân trọng cảm ơn! Thái Nguyên, ngày 22 tháng 9 năm 2008. Học viên Trương Thị Hải Yến Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương này ta nhắc lại một số khái niệm và một số định lí quan trọng được dùng trong luận văn ([1] , [ 2] , [ 4] , [5]) . 1.1. Tính compact và tính đầy đủ Định nghĩa 1.1.1. Cho X là một không gian mêtric với mêtric d. Một dãy { xn } trong X được gọi là dãy Cauchy nếu lim d ( xn , xm ) = 0 , tức là với mọi n , m→∞ ε > 0 , tồn tại n0 sao cho với mọi n, m > n0 ta có d ( xn , xm ) < ε . Định nghĩa 1.1.2. Không gian mêtric X gọi là đầy đủ (hay đầy) nếu mọi dãy Cauchy trong nó đều hội tụ. Ví dụ:  n là không gian mêtric đầy đủ với khoảng cách Euclid. Định nghĩa 1.1.3. Tập con A của không gian mêtric X được gọi là tập compact nếu với mọi dãy { xn } trong A , tồn tại dãy con {xnk } hội tụ đến một phần tử của A . Tập A gọi là compact tương đối nếu bao đóng A của A trong X là compact. Ví dụ: Mọi tập đóng và bị chặn trong  n là tập compact. Định nghĩa 1.1.4. Cho X và Y là hai không gian Banach. Toán t ử T : D(T ) ⊆ X → Y được gọi là toán tử compact nếu T là liên tục và T biến một tập bị chặn thành một tập compact tương đối. Định lí 1.1.5 (Nguyên lí Cantor). Trong không gian mêtric đầy đủ mọi dãy hình cầu đóng thắt dần đều có một điểm chung duy nhất. Ta nhắc lại, dãy hình {Bn } {rn } ) cầu (với dãy bán kính tương ứng đư gọi là thắt dần nếu ợc Bn+1 ⊆ Bn , với mọi n ≥ 1 và lim rn = 0 . n→∞ Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Định lí 1.1.6 (Định lí điểm bất động Schauder). Cho M là m tập không ột rỗng, lồi, đóng, bị chặn của không gian Banach X , và giả sử T : M → M là toán tử compact. Khi đó, T có một điểm bất động. 1.2. Tính bị chặn và tính liên tục của hàm số Cho X là không gian mêtric. Giả sử ∅ ≠ A ⊂ X , f : A →  và x0 ∈ A . Định nghĩa 1.2.1. Hàm f bị chặn dưới trên A nếu tồn tại h ∈  : f ( x) ≥ h với mọi x ∈ A . Hàm f bị chặn trên trên A nếu tồn tại h ∈  : f ( x) ≤ h với mọi x ∈ A . Định nghĩa 1.2.2. Hàm f là nửa liên tục dưới tại x0 ∈ A nếu với mọi ε > 0 , tồn tại δ > 0 sao cho f ( x0 ) − f ( x) < ε với mọi x ∈ B ( x0 , δ ) , tức là lim inf f ( x) ≥ f ( x0 ) . Trong đó, lim inf f ( x= inf {u : ∃( xn ) → x0 , f ( xn ) → u} . ) x → x0 x → x0 Nếu f là nửa liên tục dưới tại mọi điểm x ∈ A thì f được gọi là nửa liên tục dưới trên A . Hàm f được gọi là nửa liên tục trên trên A nếu hàm − f là nửa liên tục dưới trên A . 1.3. Tập sắp thứ tự Định nghĩa 1.3.1. Tập X cùng với quan hệ ° thoả mãn i) x ° x với mọi x ∈ X (tính phản xạ). (tính phản đối xứng). ii) x ° y , y ° x kéo theo x = y (tính bắc cầu). iii) x ° y , y ° z kéo theo x ° z được gọi là tập sắp thứ tự bộ phận với quan hệ thứ tự “ ° ”. Định nghĩa 1.3.2. Tập con A ⊂ X được gọi là tập sắp thứ tự tuyến tính (hay xích) nếu với x, y ∈ A bất kì thì hoặc x ° y hoặc y ° x . Giả sử X là một tập sắp thứ tự với quan hệ thứ tự ° và A là một tập con khác rỗng của X . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Định nghĩa 1.3.3. Một phần tử a ∈ X gọi là phần tử cực đại của X nếu quan hệ a ° x kéo theo x = a , với mọi x ∈ X . Một phần tử a ∈ X gọi là phần tử cực tiểu của X nếu quan hệ x ° a kéo theo x = a , với mọi x ∈ X . Định nghĩa 1.3.4. Phần tử a ∈ X gọi là cận trên của tập A nếu x ° a với mọi x ∈ A .Nếu a ∈ A và a là một cận trên của A thì a gọi là phần tử lớn nhất của A và kí hiệu là max A . Phần tử a ∈ X gọi là cận dưới của tập A nếu a ° x với mọi x ∈ A . Nếu a ∈ A và a là một cận dưới của A thì a gọi là phần tử nhỏ nhất của A và kí hiệu là min A . Định nghĩa 1.3.5. Phần tử a ∈ X gọi là supremum của A (hay cận trên đúng của A ) nếu nó là phần tử nhỏ nhất (nếu có) của tập hợp các cận trên của A , và kí hiệu là supA . Phần tử a ∈ X gọi là infimum của A (hay cận dưới đúng của A ) nếu nó là phần tử lớn nhất (nếu có) của tập hợp các cận dưới của A , và kí hiệu là inf A . Định nghĩa 1.3.6. Tập hợp A được gọi là bị chặn trên nếu nó có một cận trên. Tập hợp A được gọi là bị chặn dưới nếu nó có một cận dưới. Tập hợp A được gọi là bị chặn nếu nó bị chặn trên và bị chặn dưới. Bổ đề 1.3.7 (Bổ đề Zorn). Giả sử X ≠ ∅ là tập sắp thứ tự bộ phận. Nếu mọi xích của X đều có cận trên thì X có phần tử cực đại. 1.4. Không gian điểm bất động Định nghĩa 1.4.1. Cho X là một không gian tôpô (Hausdorff ) và f là một ánh xạ liên tục của X, ho của một tập con của X , vào X . Một điểm ặc x ∈ X được gọi là một điểm bất động đối với f nếu x = f ( x) . Tập tất cả các điểm bất động của f ký hiệu là Fix( f ) . Người ta có thể thấy được trong định nghĩa này, dạng điển hình của các định lí về tồn tại trong giải tích. Ví dụ: tìm một nghiệm của phương trình P( z ) = 0 , trong đó P là một đa thức phức, tương đương với việc tìm một Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
điểm bất động của ánh xạ z  z − P( z ) . Tổng quát hơn, nếu D là toán tử bất kỳ trên một tập con của một không gian tuyến tính, việc chỉ ra phương trình Du = 0 (tương ứng u  λ Du = 0 ) có nghiệm tương đương với việc chỉ ra ánh xạ u  u − Du (tương ứng u  λ Du ) có một điểm bất động. Như vậy, những điều kiện lên một toán tử hay miền xác định ở định nghĩa để đảm bảo tồn tại một điểm bất động diễn giải như các định lí về tồn tại trong giải tích. Cho một không gian X và ánh xạ liên tục f : X → X . Sự tồn tại một điểm bất động đối với f có thể phụ thuộc hoàn toàn vào tính chất của không gian X , hơn là vào tính chất của ánh xạ f . Định nghĩa 1.4.2. Một không gian tôpô (Hausdorff ) X được gọi là không gian điểm bất động nếu mọi ánh xạ liên tục f : X → X đều có một điểm bất động. Ví dụ 1.4.3. (i) Một khoảng đóng bị chặn J  a, b  ⊂  bất kỳ là một không gian điểm =  bất động. Thật vậy, cho f : J → J ta có a − f (a) ≤ 0 và b − f (b) ≥ 0 , theo định lý giá trị trung bình phương trình x − f ( x) = một nghiệm trong J, 0 có do đó f có một điểm bất động. (ii) Tập số thực  không là không gian điểm bất động, vì ánh xạ x  x + 1 không có điểm bất động. Trong trường hợp tổng quát, rất khó để kiểm định là một không gian có là không gian điểm bất động hay không, những kết quả thuộc loại đó thường có rất nhiều hệ quả tôpô quan trọng. Một ví dụ là định lí điểm bất động Brouwer chỉ ra rằng: Mọi tập compact lồi trong  n đều là không gian điểm bất động. Tính chất là không gian điểm bất động là một bất biến tôpô: nếu X là không gian điểm bất động và h : X → Y là đồng phôi thì với bất kì ánh xạ liên Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
tục g : Y → Y , ánh ạ h−1  g  h : X → X có m điểm bất động x0 nên ột x g  h( x0 ) = h( x0 ) và h( x0 ) là một điểm bất động đối với g. Ví dụ 1.4.4. Đồ thị của hàm liên tục f :  a, b  →  , cho bởi    1 0 < x ≤1  x sin   khi f ( x) =   x  khi x =0 0  là đồng phôi vào [ a, b ] , vì thế nó là một không gian điểm bất động. Nếu X không là một không gian điểm bất động, vẫn có thể đúng rằng một số ánh xạ với các tính chất tốt sẽ có điểm bất động. Để hợp thức hoá khái niệm này, chúng ta mở rộng phát biểu của Định nghĩa 1.4.2: Định nghĩa 1.4.5. Cho X là một không gian tôpô (Hausdorff ) và M là một lớp các ánh xạ liên tục f : X → X . Nếu mọi f ∈ M có điể m bất động thì X được gọi là không gian điểm bất động tương ứng với M . Chẳng hạn, nguyên lý ánh x co Banach khẳng định rằng: Mọi không ạ gian mêtric đầy đủ đều là không gian điểm bất động đối với các ánh xạ co. Khái niệm trên là đặc biệt quan trọng khi M là lớp các ánh xạ compact, nghĩa là những ánh xạ liên tục f : X → X với bao đóng f ( X ) của f ( X ) là compact, các ánh xạ thuộc loại này xuất hiện một cách tự nhiên trong các vấn đề của giải tích phi tuyến. Ví dụ 1.4.6. (i) Ta đã biết  không là không gian điểm bất động. Trong thực tế,  là một không gian điểm bất động tương ứng với lớp ánh xạ compact. Nếu ánh xạ f :  →  là compact thì f ( ) chứa trong đoạn hữu hạn  a, b  nào đó;   khi đó tự ánh xạ f :  a, b  →  a, b  có một điểm bất động.     Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
(ii) Định lí điểm bất động Schauder có nhiều ứng dụng trong giải tích đã khẳng định rằng: Mọi tập lồi trong không gian tuyến tính định chuẩn là không gian điểm bất động đối với các ánh xạ compact. Do ảnh liên tục của một tập compact là một tập compact, có thể sử dụng các kỹ thuật tương tự để chỉ ra rằng tính chất là không gian điểm bất động là một bất biến tôpô. Chẳng hạn, một tập mở bất kì ( a, b ) ⊂  , cũng như đồ thị của sin   , 0 < x < 1 , là m không gian điểm bất động đối với các 1 ột  x  ánh xạ compact. 1.5. Tạo không gian điểm bất động mới từ không gian cũ Nói chung, m không gian con của một không gian điểm bất động ột không nhất thiết là một không gian điểm bất động: chẳng hạn {a, b} ⊂  a, b    không có tính chất điểm bất động. Tuy nhiên, một số không gian con có thể thừa kế tính chất điểm bất động. Định nghĩa 1.5.1. Một tập con A ⊂ X được gọi là tập co rút của X nếu có một ánh xạ liên tục r : X → A sao cho r (a ) = a với mỗi a ∈ A ; ánh xạ r được gọi là ánh xạ co rút của X đến A. Ta lưu ý rằng một tập co rút của một không gian Hausdorff nhất thiết là {= id ( x)} , trong đó id (.) là ánh xạ đồng nhất. một tập đóng, vì A = x : r ( x) Chẳng hạn, nếu ột không gian định chuẩn và là m E Kñ = E : x ≤ ñ} là một hình cầu đóng trong E có tâm O và bán kính ñ , {x ∈ thì r : E → Kñ được cho bởi y ≤ñ y khi r ( y) =  y  (1.1) y >ñ ñ y khi  là ánh xạ co rút chuẩn tắc từ E đến Kñ . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Tầm quan trọng của khái niệm này trong lý thuyết điểm bất động bắt nguồn từ kết quả sau: Định lí 1.5.2. Nếu X là một không gian điểm bất động (tương ứng , một không gian điểm bất động đối với các ánh xạ compact) thì X cũng là không gian điểm bất động với mọi tập co rút của X . Chứng minh. Giả sử r : X → A là ánh xạ co rút và i : A → X là ánh xạ nhúng, ta có r  i = id A . Xét ánhạ x liên tục bất kì f : A → A khi đó i  f  r : X → X có một điểm bất động, giả sử đó là x0 . Từ i  f  r ( x0 ) = x0 suy ra = r = id A  f  r ( x0 ) f  r ( x0 )  , r ( x0 )  i  f  r ( x0 ) =   do đó r ( x0 ) là một điểm bất động của f . Tương tự ta c ũng chứng minh được không gian điểm bất động đối với các ánh x ạ compact cũng là không gian điểm bất động với mọi tập co rút của X . □ Mặt khác, nếu X có một tập co rút là một không gian điểm bất động thì chắc chắn rằng X là không gian điểm bất động. Thật vậy, mọi tập con {a} là không gian điểm bất động và là tập co rút của không gian bất kì. Ta minh hoạ thêm kỹ thuật co rút bằng cách suy ra từ định lí điểm bất động Schauder k ết quả cơ bản dưới đây: Định lí 1.5.3 (Thay phiên phi tuyến ). Cho E là m không gian tuyến tính ột định chuẩn và Kñ là hình cầu đóng trong E có tâm O và bán kính ñ . Khi đó mỗi ánh xạ compact F : Kñ → E có ít nhất một trong các tính chất sau thoả mãn: (a) F có điểm bất động, (b) Tồn tại x ∈ ∂Kñ và λ ∈ ( 0,1) sao cho x = λ F ( x) . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Chứng minh. Cho r : E → Kñ là ánh xạ co rút chuẩn tắc. Theo đ ịnh lí Schauder, ánh xạ hợp compact r  F : Kñ → Kñ có một điểm bất động x = rF ( x) . Theo công thức (1.1), nếu F ( x) ∈ Kñ thì F ( x) ≤ ñ , ta có = rF ( x) F ( x) , x= vì thế F có điểm bất động. Nếu F ( x) ∉ Kñ thì F ( x) > ñ , ta tìm thấy F ( x) = rF ( x) ñ x= F ( x) ñ F ( x) lấy λ = ñ , do đó x ∈ ∂Kñ và ta có thể = s= ñ < 1. uy ra x F ( x) F ( x) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Chương 2 MỘT SỐ ĐỊNH LÍ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN ĐẦY ĐỦ VÀ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÍ BANACH Chương này nghiên cứu sự tồn tại điểm bất động dựa trên tính chất đầy đủ. Chúng ta trình bày Nguyên lí ánh xạ co Banach, và các mở rộng của nó, một số định lí điểm bất động cho ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert và một số ứng dụng của Định lí Banach ([ 4]) 2.1. Nguyên lí ánh xạ co Banach Định lí điểm bất động đơn giản nhất và được sử dụng rộng rãi nhất là nguyên lí ánh xạ co Banach. Dựa trên quá trình lặp, nó có thể được thực hiện trên máy tính để tìm điểm bất động của một ánh xạ co với mức độ chính xác tuỳ ý. Cho ( X , d ) , (Y , ñ) là hai không gian mêtric và ánh xạ F : X → Y của những không gian mêtric. Nếu F thoả mãn ñ( Fx, Fz ) ≤ Md ( x, z ) với M là hằng số cố định và mọi x, z ∈ X thì F được gọi là ánh xạ Lipschitz. Giá trị M nhỏ nhất được gọi là hằng số Lipschitz L( F ) của F. Nếu L( F ) < 1, ánh xạ F được gọi là ánh xạ co với hằng số co L( F ) . Nếu L( F ) ≤ 1, ánh xạ F được gọi là ánh xạ không giãn. Lưu ý rằng ánh xạ Lipschitz là ánh xạ liên tục. Thật vậy, lấy x0 ∈ X bất kì, cho ε > 0 , với mọi x ∈ X , theo định nghĩa ánh xạ Lipschitz ta có ñ( Fx, Fx0 ) ≤ Md ( x, x0 ) ε δ. =Như vậy, F liên tục tại x0 . nên d ( x, x0 ) < M Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Ánh xạ co là trường hợp riêng của ánh xạ Lipschitz khi L( F ) < 1 nên ánh xạ co cũng là ánh xạ liên tục. Cho Y là một tập bất kì và cho ánh xạ F : Y → Y . Lấy y ∈ Y bất kì, ta định nghĩa F n ( y ) bằng quy nạp như sau: đặt y = F 0 ( y ) ta có Fy = F ( F 0 y ) , F 2 y = F ( Fy ) ,…. Cứ tiếp tục quá trình đó ta được F n+1 y = F ( F n y ) . Ta gọi F n y là bước lặp thứ n của Fy , và tập { F n y : n = 0,1,...} là quỹ đạo của y bởi F. Định lí 2.1.1 (Nguyên lí ánh xạ co Banach). Cho (Y , d ) là một không gian mêtric đầy đủ và F : Y → Y là ánh xạ co. Khi đó F có duy nhất một đ iểm bất động u và F n y → u với mỗi y ∈ Y . Chứng minh. Cho α < 1 là hằng số co của F . Trước tiên ta chứng minh F có nhiều nhất một điểm bất động: giả sử x0 ≠ y0 và Fx0 x= y0 , ta có = 0 , Fy0 d ( x0 , y0 ) = d ( Fx0 , Fy0 ) ≤ α d ( x0 , y0 ) < d ( x0 , y0 ) , điều này vô lí. Để chứng minh tính tồn tại, ta phải chỉ ra rằng cho y ∈ Y bất kì, dãy {F y} hội tụ đến điểm bất động u . Đầu tiên ta có d ( Fy, F y ) ≤ α d ( y, Fy ) và n 2 do quy nạp d ( F n y, F n+1 y ) ≤ α d ( F n−1 y, F n y ) ≤  ≤ α n d ( y, Fy ) Như vậy, cho n bất kì và p > 0 , ta thu được n + p −1 ∑ n+ p n +1 n + p −1 n+ p y ) = d ( F i y, F i +1 y ) y ) ≤ d ( F y, F y) +  + d ( F n n d ( F y, F y, F i =n ≤ (α n + α n+1 +  + α n+ p −1 )d ( y, Fy ) ≤ α n (1 + α +  + α p −1 )d ( y, Fy ) αn ≤ α (1 + α +  + α p −1 + )d ( y, Fy ) = n d ( y, Fy ) . 1−α Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Vì α < 1 nên α n → 0 , điều này chỉ ra rằng { F n y} là dãy Cauchy. Do d là đầy F n+1 y đủ vì thế F n y → u với u ∈ Y . Vì F liên tục , ta có= F ( F n y ) → Fu ; nhưng { F n+1 y} là một dãy con của dãy { F n y} nên Fu = u , tức là F có điểm bất động u . Ta thấy rằng với mỗi y ∈ Y , giới hạn của dãy { F n y} tồn tại và có một điểm bất động mà F có nhiều nhất một điểm bất động nên mọi dãy {F y} đều hội tụ đến cùng một điểm. □ n Ta thấy rằng từ αn n+ p d ( y, Fy ) với mọi p > 0 y) ≤ n d ( F y, F 1−α tìm được αn n+ p = lim d ( F y, F y) ≤ n n d ( y, Fy ) , d ( F y, u ) 1−α p →∞ sai số của bước lặp thứ n khi xuất phát từ y ∈ Y được hoàn toàn xác định bởi hằng số co α và khoảng cách ban đầu d ( y, Fy ) . Nguyên lí Banach có một dạng địa phương hữu ích liên quan tới hình cầu mở B trong một không gian mêtric đầy đủ Y và một ánh xạ co từ B đến Y sao cho nó không dịch chuyển tâm của hình cầu quá xa. Hệ quả 2.1.2. Cho (Y , d ) là không gian mêtric đầy đủ và { y : d ( y, y0 ) < r} . = B ( y0 , r ) B= Cho F : B → Y là một ánh xạ co với hằng số α < 1 . Nếu d ( Fy0 , y0 ) < (1 − α )r thì F có một điểm bất động. Chứng minh. Nếu d ( Fy0 , y0 ) < (1 − α )r , chọn ε < r ta có d ( Fy0 , y0 ) ≤ (1 − α )ε < (1 − α )r . { y : d ( y, y0 ) ≤ ε } là hình cầu đóng. Xét ánh xạ Giả sử K F : K → K . Nếu = Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
y ∈ K thì d ( Fy, y0 ) ≤ d ( Fy, Fy0 ) + d ( Fy0 , y0 ) ≤ α d ( y, y0 ) + (1 − α )ε ≤ α .ε + (1 − α )ε =, ε vì thế F ( K ) ⊆ K . Khi đó F : K → K là ánh xạ co. Do K là hình cầu đóng nên K là đầy đủ. Theo nguyên l í ánh xạ co Banach , F : K → K có duy nhất một điểm bất động. Vậy F : B → Y có điểm bất động. □ 2.2. Miền bất biến cơ sở Trong hầu hết các ứng dụng, không gian mêtric đầy đủ Y là một không gian Banach. Định lí ánh xạ co Banach dẫn đến một kết quả đặc biệt có ích trong ứng dụng. Cho X là một tập con của không g ian Banach E . Cho m ánh xạ ột F : X → E , ánh xạ x  x − Fx của X vào E được gọi là trường gắn với F và kí hi là ệu f ( x)= x − Fx . Trường f : X → E xác định bởi ánh xạ co F : X → E được gọi là trường co. Định lí 2.2.1 (Miền bất biến của trường co). Cho E là m không gian ột Banach, U ⊂ E mở, và F : U → E là ánh xạ co với hằng số co α < 1 . Cho f : U → E là một trường gắn với F, f ( x)= x − Fx . Khi đó: (a) f : U → E là một ánh xạ mở; trong trường hợp riêng, f (U ) ⊂ E là mở, (b) f : U → f (U ) là một đồng phôi. Chứng minh. (a) Ta chứng minh f : U → E là một ánh xạ mở. Cho u ∈U bất kì, nếu B(u , r ) ⊂ U thì B [ f (u ),(1 − α )r ] ⊂ f [ B (u , r ) ] . Chọn y0 ∈ B [ f (u ),(1 − α )r ] bất kì. Giả sử G : B(u , r ) → E là ánh xạ xác định bởi Gy y0 + Fy . Ta có với = mọi y1 , y2 ∈ B(u , r ) Gy1 − Gy2 = ( y0 + Fy1 ) − ( y0 + Fy2 ) = Fy1 − Fy2 ≤ α y1 − y2 với α < 1 , Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
nên G cũng là ánh xạ co với hằng số co α < 1 và y0 − f (u ) ≤ (1 − α )r . Gu − u = y0 + Fu − u = Theo Hệ quả 2.1.2, tồn tại một điểm u0 ∈ B(u , r ) sao cho Gu0 = u0 và Gu= y0 + Fu0 , vì thế 0 y0 = 0 − Fu0 =0 − Fu0 = ( x0 ) , Gu u f ta được y0 ∈ f [ B(u , r ) ] và B [ f (u ),(1 − α )r ] ⊂ f [ B (u , r ) ] . (b) Ta thấy rằng nếu u , u ∈U thì f (u ) − f (u) = (u − Fu ) − (u − F u) = (u − u) − ( Fu − F u) ≥ u − u − Fu − F u ≥ u − u − α u − u = (1 − α ) u − u . Nếu f (u ) − f (u) = từ nhận xét trên ta có u − u =, vì thế u = u và f là 0 thì 0 một đơn ánh. Vì với mọi f ( x) ∈ f (U ) tồn tại x ∈U sao cho f ( x)= x − Fx do đó f là một toàn ánh. Như vậy, f : U → f (U ) là một song ánh, mở, liên tục nên nó là một đồng phôi. □ Hệ quả 2.2.2. Cho E là một không gian Banach và F : E → E là ánh xạ co. Khi đó trường tương ứng f = I − F là một phép đồng phôi từ E lên E . Chứng minh. Theo Định lí 2.2.1, ta chỉ cần chỉ ra f ( E ) = E . Lấy y0 ∈ E , giả sử G : E → E xác định bởi x  y0 + F ( x) . Ta có với mọi x1 , x2 ∈ E Gx1 − Gx2 = ( y0 + Fx1 ) − ( y0 + Fx2 ) = Fx1 − Fx2 ≤ α x1 − x2 với α < 1 , nên G là ánh x co với hằng số co α < 1 . Theo Định lí 2.1.1, tồn tại điểm ạ x0 ∈ E thoả mãn Gx0 = x0 và Gx= y0 + Fx0 nên 0 y0 = 0 − Fx0 = 0 − Fx0 =f ( x0 ) Gx x vì thế f ( E ) = E . Như vậy, f = I − F là một phép đồng phôi từ E lên E . □ Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
2.3. Phương pháp liên tục cho ánh xạ co Cho (Y , d ) là một không gian mêtric đầy đủ và X là một tập con đ óng trong Y với phần trong U khác rỗng và biên A = ∂X . Ký hiệu C ( X , Y ) là tập tất cả các ánh xạ co từ X lên Y. Cho ánh x co F : X → Y , ta quan tâm tới sự tồn tại nghiệm của ạ phương trnh x = F ( x) . M phương pháp để xác định phương trình có ột ì nghiệm hay không bắt đầu bằng việc nhúng F trong họ tham số hoá {H λ } của các ánh xạ nối F với một ánh xạ G đơn giản hơn, và cố gắng biến đổi về bài toán tìm nghiệm của phương trình x = G ( x) . Về mặt hình học, ta biến đổi đồ thị của F về đồ thị của G và rút ra kết luận từ phép biến đổi rằng: nếu đồ thị của G cắt đường chéo ∆ ⊂ X × Y ⊂ Y × Y thì đồ thị của F cũng cắt đường chéo ∆ . Kết quả chính của chúng ta trong phần này là đưa ra điều kiện sao cho điều kiện kết luận trên là hợp lý. Cho (Λ, ñ) là một không gian tham số với {H λ : λ ∈ Λ} nào đó của các ánh xạ trong C ( X , Y ) khoảng cách ñ , một họ phụ thuộc vào tham số λ ∈ Λ . Định nghĩa 2.3.1. Một họ {H λ : λ ∈ Λ} của các ánh xạ trong C ( X , Y ) được gọi là α -co, trong đó 0 ≤ α < 1 , M > 0 , 0 < ù ≤ 1, nếu ta có: d [ H λ ( x1 ), H λ ( x2 ) ] ≤ α d ( x1 , x2 ) với mọi λ ∈ Λ và x1 , x2 ∈ X , (2.1) d  H λ ( x), H µ ( x)  ≤ M [ñ(λ , µ ) ] với mọi x ∈ X và λ , µ ∈ Λ . ù (2.2)   Ta thấy rằng: (i) Nếu {H λ } là α -co thì ánh x ạ H : Λ × X → Y xác định bởi (λ , x )  H (λ , x ) = H λ ( x ) là liên tục; (ii) Ánh xạ H xác định họ {H λ } và ngược lại; Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
(iii) Cho tham số λ ∈ Λ , tập điểm bất động Fix( H λ ) hoặc là rỗng hoặc chỉ có một điểm bất động là xλ ; (iv) Đặt xλ = H λ ( xλ ) và xµ = H µ ( xµ ) , theo (2.1) và (2.2) ta có d ( xλ , xµ ) = d  H λ ( xλ ), H µ ( xµ )  ≤ d  H λ ( xλ ), H µ ( xλ )  + d  H µ ( xλ ), H µ ( xµ )        ≤ M [ñ(λ , µ ) ] + α d ( xλ , xµ ) , ù vì thế (1 − α )d ( xλ , xµ ) ≤ M [ñ(λ , µ ) ] và do đó ù M [ñ(λ , µ )] . ù d ( xλ , xµ ) ≤ (2.3) 1−α Cho CA ( X , Y ) là tập tất cả các ánh xạ F trong C ( X , Y ) sao cho hạn chế F A : A → Y không có điểm bất động trên biên A của X. Bây giờ ta có thể trình bày kết quả chính: Định lí 2.3.2 (Định lí hàm ẩn cơ bản). Cho Λ là ập li ên thông và t {H λ : λ ∈ Λ} là một họ α -co trong CA ( X ,Y ) . Khi đó: (i) Nếu phương trình H λ ( x) = x có một nghiệm với λ ∈ Λ thì nó có duy nhất một nghiệm xλ với mỗi λ ∈ Λ , (ii) Nếu xλ = H λ ( xλ ) với λ ∈ Λ thì ánh xạ λ  xλ từ Λ vào U là Hölder liên tục. Chứng minh. (i) Xét tập {λ ∈ Λ : xλ H λ ( xλ ), xλ ∈U } , = = Q ta thấy rằng Q ⊂ Λ , và Q khác rỗng vì theo giả thiết phương trình H λ ( x) = x có một nghiệm với λ ∈ Λ . (a) Q là tập đóng trong Λ : Thật vậy, giả sử {λn } là một dãy trong Q sao cho λn → λ0 với xλ = H λ ( xλ ) và xλ = H λ ( xλ ) . Theo (2.3) ta có n n n m m m Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
M [ñ(λn , λm )] , ù d ( xλn , xλm ) ≤ 1−α {x } điều này chỉ ra rằng dãy là m dãy Cauchy. Ta có d đầy đủ nên ột λn xλn → x0 với x0 ∈ X và H liên tục, vì thế = H λn ( xλn ) →= H λ0 ( xλ0 ) , xλn xλ0 kết quả này dẫn đến x0 = H λ0 ( x0 ) . Như vậy, λ0 ∈ Q . (b) Q là tập mở trong Λ : Thật vậy, cho λ0 ∈ Q với xλ0 = H λ0 ( xλ0 ) , ta cố định { x ∈ X : d ( x, x } ) < r ⊆ U , và chọn ε > 0 sao một hình cầu mở B( xλ0 , r ) = λ0 r cho ε ù ≤ (1 − α ) , trong đó hằng số M và ù lấy ở công thức (2.2). Bây giờ, M nếu λ là một điểm bất kì của hình cầu mở {λ ∈ Λ : ñ(λ0 , λ ) < ε } , B(λ0 , ε = ) ta tìm được d  H λ ( xλ0 ), xλ0  = d  H λ ( xλ0 ), H λ0 ( xλ0 )  ≤ M [ñ(λ , λ0 ) ] ù     r < M ε ù ≤ M (1 − α ) =− α )r . (1 M Theo Hệ quả 2.1.2, H λ có một điểm bất động xλ ∈ B( xλ0 , r ) với mỗi λ ∈ Λ thoả mãn H λ ( xλ ) = xλ , do đó λ ∈ Q . Vì vậy B(λ0 , ε ) ⊂ Q và ta kết luận λ0 ∈ IntQ . Ta có Q là tập con thực sự khác rỗng vừa đóng, vừa mở trong Λ và do tính liên thông c Λ , như vậy Q = Λ . Vì H λ là ánh xạ co của không gian ủa mêtric đầy đủ nên H λ có duy nhất một điểm bất động, hơn nữa phương trình H λ ( x) = x có nghiệm xλ với mọi λ ∈ Λ , vì thế nó có duy nh một nghiệm ất xλ với mọi λ ∈ Λ . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn