Luận văn:Một số tính chất của dãy sinh bởi hàm số và áp dụng

Chia sẻ: Paradise_12 Paradise_12 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:89

Thêm vào BST

Báo xấu

111
lượt xem 21
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo luận văn - đề án 'luận văn:một số tính chất của dãy sinh bởi hàm số và áp dụng', luận văn - báo cáo, khoa học tự nhiên phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn:Một số tính chất của dãy sinh bởi hàm số và áp dụng

B GIÁO D C VÀ ĐÀO T O TRƯ NG Đ I H C QUY NHƠN Võ Qu c Thành M T S TÍNH CH T C A DÃY SINH B I HÀM S VÀ ÁP D NG Lu n văn th c sĩ toán h c Chuyên ngành : Phương pháp Toán sơ c p Mã s : 60 46 40 Ngư i hư ng d n khoa h c: GS.TSKH. Nguy n Văn M u QUY NHƠN, NĂM 2008
2 M cl c M đ u...................................... 1 Chương 1 M t s tính ch t cơ b n c a dãy s 3 1.1 C ps .................................... 3 1.1.1 C p s c ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2 C p s nhân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.3 C p s đi u hoà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Dãy tu n hoàn và ph n tu n hoàn .................... 6 1.2.1 Dãy tu n hoàn và ph n tu n hoàn c ng tính . . . . . . . . . . . 6 1.2.2 Dãy tu n hoàn và ph n tu n hoàn nhân tính . . . . . . . . . . . 7 1.3 Dãy tuy n tính và phân tuy n tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3.1 Phương trình sai phân tuy n tính v i h s h ng s ....... 8 1.3.2 Dãy phân th c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4 M t s bài toán áp d ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Chương 2 Hàm chuy n đ i m t s dãy s đ c bi t 27 2.1 Hàm chuy n ti p các c p s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.1.1 Hàm b o toàn các c p s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.1.2 Hàm chuy n đ i các c p s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2 Dãy sinh b i m t s hàm s sơ c p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
0 2.2.1 Dãy sinh b i nh th c b c nh t . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.2.2 Dãy sinh b i tam th c b c hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.2.3 Dãy sinh b i hàm phân tuy n tính . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.2.4 Dãy sinh b i hàm s lư ng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.3 M t s bài toán áp d ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Chương 3 M t s tính toán trên các dãy s 73 3.1 Gi i h n c a dãy s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.2 M t s ư c lư ng t ng và tích vô h n ph n t . . . . . . . . . . . . . . 77 3.3 Tính ch t c a m t s dãy s phi tuy n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 K t lu n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 Tài li u tham kh o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
1 M đu Chuyên đ dãy s và các v n đ liên quan đ n dãy s là m t ph n quan tr ng c a đ i s và gi i tích toán h c. Có nhi u d ng toán lo i khó liên quan đ n chuyên đ này. Đ i v i h c sinh ph thông, nh ng khái ni m dãy s thư ng khó hình dung v c u trúc đ i s trên t p các dãy s , đ c bi t là các phép tính đ i v i các dãy có ch a tham s , các phép bi n đ i dãy và đ i s các dãy,... Dãy s có v trí đ c bi t trong toán h c không ch như là nh ng đ i tư ng đ nghiên c u mà còn đóng vai trò như là m t công c đ c l c c a gi i tích toán h c. Trong nhi u kỳ thi h c sinh gi i qu c gia, thi Olympíc toán qu c t , các bài toán liên quan đ n dãy s cũng hay đư c đ c p và thư ng thu c lo i r t khó. Các bài toán v ư c lư ng và tính giá tr các t ng, tích cũng như các bài toán c c tr và xác đ nh gi i h n c a m t bi u th c cho trư c thư ng có m i quan h ít nhi u đ n các đ c trưng c a dãy tương ng. Các bài toán v dãy s đã đư c đ c p các giáo trình cơ b n v gi i tích toán h c và m t s tài li u b i dư ng giáo viên và h c sinh chuyên toán b c trung h c ph thông. Luân văn M t s tính ch t c a dãy sinh b i hàm s và áp d ng nh m cung c p m t s ki n th c cơ b n v dãy s và m t s v n đ liên quan đ n dãy s . Đ ng th i cũng cho phân lo i m t s d ng toán v dãy s theo d ng cũng như phương pháp gi i. Trong quá trình hoàn thành lu n văn , tác gi đã không ng ng n l c đ h c h i, tìm tòi và kh o sát m t s bài toán v dãy s . Lu n văn g m ph n m đ u và ba chương. Chương 1: M t s tính ch t cơ b n c a dãy s . N i dung c a chương này nh m trình bày đ nh nghĩa các dãy s đ c bi t và các tính ch t liên quan. Đ ng th i trình bày m t s bài toán áp d ng liên quan đ n c p s c ng, c p s nhân và các tính ch t đ c bi t c a chúng. Nêu m t s tính ch t cơ b n
2 c a dãy s và các bài toán xác đ nh các dãy s liên quan đ n các hàm sơ c p ph thông. Chương 2: Hàm chuy n đ i m t s dãy s đ c bi t. Chương này nh m gi i thi u m t s l p hàm b o toàn các dãy s đ c bi t nêu chương 1 và nêu các m i liên h gi a các hàm đã cho. Đ ng th i nêu xét các dãy tu n hoàn và ph n tu n hoàn và kh o sát m t s tính ch t c a các hàm chuy n đ i các dãy s đ c bi t Chương 3 nh m kh o sát m t s tính ch t và tính toán trên dãy s . M c dù b n thân đã có nh ng c g ng vư t b c, nhưng s không tránh kh i nh ng khi m khuy t, r t mong s góp ý c a quý Th y Cô và nh ng b n đ c quan tâm đ n lu n văn.
3 Chương 1 M t s tính ch t cơ b n c a dãy s Ta nh c l i m t s đ nh nghĩa trong chương trình toán b c ph thông. 1.1 C ps 1.1.1 C p s c ng Đ nh nghĩa 1.1. Dãy s {un } th a mãn đi u ki n u1 − u0 = u2 − u1 = · · · = un+1 − un đư c g i là m t c p s c ng. Khi dãy s {un } l p thành m t c p s c ng thì hi u d = u1 − u0 đư c g i là công sai c a c p s c ng đã cho. Nh n xét 1.1. N u có m t dãy s có h u h n các ph n t u1, u2 , . . . , un th a mãn tính ch t u 1 − u 0 = u 2 − u 1 = · · · = u n − u n −1 (1.1) thì dãy s un đư c g i là m t c p s c ng v i d = u1 − u0 đư c g i là công sai. Dãy s {un } là m t c p s c ng v i công sai d = 0 thì un = un+1 v i m i n, khi đó ta g i {un } là dãy h ng (dãy không đ i). Kí hi u S n = u1 + u2 + · · · + un
4 Sn đư c g i là t ng c a n s h ng đ u tiên c a m t c p s c ng. un đư c g i là s h ng t ng quát c a c p s c ng {un }. Nh n xét 1.2. Cho {un } là m t c p s c ng công sai d, ta có un = un−1 + d = u1 + (n − 1)d, 2uk = uk−1 + uk+1 , k 2, và n(n − 1)d ( u1 + un ) n Sn = nu1 + = . 2 2 Bài toán 1.1. Cho {un } là m t c p s c ng mà các s h ng đ u là các s nguyên dương. Gi s trong dãy có m t s chính phương. Ch ng minh r ng dãy đã cho có vô h n s chính phương là bình phương c a các s nguyên dương. Gi i. Gi s dãy {un } có công sai d > 0 và x là m t s chính phương trong dãy, và x = m2 . Khi đó (m + kd)2 = m2 + 2mkd + k 2d2 = x + d(2mk + k 2 d), đi u này ch ng t dãy đã cho có vô h n s chính phương là bình phương c a các s nguyên dương. Bài toán 1.2. Cho các s dương u1, u2 , . . . , un t o thành m t c p s c ng, công sai d > 0. Ch ng minh r ng 1 1 1 n−1 tn = √ √ +√ √ + ··· + √ √ =√ √ u1 + u2 u2 + u3 u n −1 + u n u1 + un Gi i. Nh n xét r ng √ √ uk+1 − uk 1 = . √ √ uk + uk+1 d L n lư t cho k = 1, 2, . . . , n vào trong đ ng th c trên và th c hi n c ng theo v , ta thu đư c 1√ √ √ √ √ √ tn = [( u2 − u1 ) + ( u3 − u2 ) + · · · + ( un − un−1 )] d 1√ √ 1 un − u1 n−1 = ( un − u1 ) = √ √ =√ √ d d un + u1 u1 + un V y nên n−1 tn = √ √. u1 + un
5 Bài toán 1.3. Cho các s dương u1, u2 , . . . , un t o thành m t c p s c ng, công sai d > 0. Tính t ng 1 1 1 S= + + ··· + u1.u2 u2 .u3 un−1 .un Gi i. Nh n xét r ng 1 11 1 = − . uk .uk+1 d uk uk+1 L n lư t cho k = 1, 2, . . . , n vào trong đ ng th c trên và th c hi n c ng theo v ta thu đư c 1 1 1 1 1 1 1 S= − + − + ··· + − d u1 u2 u2 u3 u n −1 u n 11 1 n−1 = − = d u1 un u1 .un V y nên n−1 S= . u1.un 1.1.2 C p s nhân Đ nh nghĩa 1.2. Dãy s {un } th a mãn đi u ki n u1 u2 un+1 = = ··· = u0 u1 un đư c g i là m t c p s nhân. u1 Khi dãy s {un } l p thành m t c p s nhân thì thương q = đư c g i là m t u0 công b i c a c p s đã cho. Nh n xét 1.3. Theo đ nh nghĩa 1.2, n u m t dãy s h u h n các ph n t u1, u2 , . . . , un (v i m i ph n t trong dãy khác không) th a mãn tính ch t u1 u2 un+1 = = ··· = u0 u1 un u1 thì dãy s u1, u2 , . . . , un đư c g i là m t c p s nhân v i công b i q= đư c g i là u0 m t c p s nhân
6 Nh n xét 1.4. Cho {un } là m t c p s nhân công b i q = 1, ta có un = q.un−1 = u1.q n−1 , n = 1, 2, . . . u2 = uk−1 uk+1 , k 2. k 1 − qn S n = u1 . 1−q 1.1.3 C p s đi u hoà Đ nh nghĩa 1.3. Dãy s {un } ,(un = 0, ∀n ∈ N) th a mãn đi u ki n 2un−1 un+1 un = un−1 + un+1 đư c g i là c p s đi u hòa. Bài toán 1.4. Ch ng minh r ng dãy s {un } l p thành m t dãy s đi u hòa khi và ch khi dãy đã cho th a mãn đi u ki n. 1 un+1 = . 2 1 − u n u n −1 Gi i. Ta có 1 u n u n −1 un+1 = ⇔ un+1 = 2 1 2un−1 − un − u n u n −1 2un−1 un+1 ⇔ un (un−1 + un+1 ) = 2un−1 un+1 ⇔ un = . un−1 + un+1 V y dãy s (un ) l p thành m t c p s đi u hòa. 1.2 Dãy tu n hoàn và ph n tu n hoàn Trong ph n n y ta quan tâm đ n hai lo i dãy tu n hoàn cơ b n là tu n hoàn c ng tính và tu n hoàn nhân tính. 1.2.1 Dãy tu n hoàn và ph n tu n hoàn c ng tính Đ nh nghĩa 1.4. Dãy s {un } đư c g i là dãy tu n hoàn c ng tính n u t n t i s nguyên dương l sao cho un+l = un , ∀n ∈ N, (1.2)
7 S nguyên dương l bé nh t đ dãy {un } tho mãn đi u ki n (1.2) đư c g i là chu kì cơ s c a dãy. Đ nh nghĩa 1.5. Dãy s {un } đư c g i là dãy tu n ph n hoàn c ng tính n u t n t i s nguyên dương l sao cho un+l = −un , ∀n ∈ N, (1.3) Nh n xét 1.5. Dãy tu n hoàn chu kỳ 1 khi và ch khi dãy đã cho là m t dãy h ng. Nh n xét 1.6. Dãy tu n hoàn ( c ng tính) chu kỳ 2 khi và ch khi dãy có d ng 1 α + β + (α − β )(−1)n+1 , α, β ∈ R un = 2 1.2.2 Dãy tu n hoàn và ph n tu n hoàn nhân tính Đ nh nghĩa 1.6. Dãy s {un } đư c g i là dãy tu n hoàn nhân tính n u t n t i s nguyên dương s(s > 1)sao cho usn = un , ∀n ∈ N, (1.4) S nguyên dương s bé nh t đ dãy {un } tho mãn đi u ki n (1.4) đư c g i là chu kì cơ s c a dãy. Nh n xét 1.7. M t dãy ph n tu n hoàn c ng tính chu kì r thì s tu n hoàn c ng tính chu kì 2r Đ nh nghĩa 1.7. Dãy s {un } đư c g i là dãy ph n tu n hoàn nhân tính n u t n t i s nguyên dương s(s > 1) sao cho usn = −un , ∀n ∈ N. 1 Nh n xét 1.8. M i dãy {un } ph n tu n hoàn chu kỳ r đ u có d ng un = (vn − vn+r ), 2 v i vn+2r = vn . 1.3 Dãy tuy n tính và phân tuy n tính Trong ph n này ta trình bày m t s phương trình sai phân cơ b n có nghi m là các s th c và cách gi i chúng.
8 1.3.1 Phương trình sai phân tuy n tính v i h s h ng s Trư c h t, ta xét phương trình sai phân tuy n tính c p m t d ng x1 = α, axn+1 + bxn = f (n), n ∈ N∗ , trong đó a, b, α là các h ng s (a = 0) và f (n) là bi u th c c a n cho trư c. Nh n xét r ng các c p s cơ b n là nh ng d ng đ c bi t c a phương trình sai phân tuy n tính. Bài toán 1.5. Xác đ nh s h ng t ng quát c a m t c p s nhân bi t r ng s h ng đ u tiên b ng 9 và công b i b ng 3. Gi i. Ta có xn+1 = 3xn , x1 = 9. Phương trình đ c trưng có nghi m λ = 3. Do đó xn = c.3n . Do x1 = 9 suy ra c = 3. V y xn = 3n+1 . Bài toán 1.6. Cho a, b, α là các s th c cho trư c (a = 0) và dãy {xn } xác đ nh như sau x0 = α, axn+1 + bxn = 0, n = 0, 1, 2, . . . Tìm s h ng t ng quát c a dãy Gi i. N u b = 0 thì dãy xn = 0, n = 1, 2, . . . b b n N u b = 0, phương trình đ c trưng aλ+b = 0 có nghi m λ = − . Do đó xn = c − . a a Vì x0 = α nên c = α. V y bn xn = α. − . a Xét ti p phương trình sai phân tuy n tính c p hai d ng x1 = α, x2 = µ, axn+1 + bxn + cxn−1 = A(n), n ∈ N∗. trong đó a, b, c, α, µ là các h ng s , a 0 và A(n) là bi u th c theo n cho trư c. Bài toán 1.7. Tìm dãy s {xn } tho mãn đi u ki n x1 = α, x2 = β, axn+1 + bxn + cxn−1 = 0, n ∈ N∗ .
9 Gi i. Gi i phương trình đ c trưng aλ2 + bλ + c = 0, tìm λ. a. N u λ1 , λ2 là các nghi m th c khác nhau thì xn = Aλn + Bλn , trong đó A, B đư c 1 2 xác đ nh khi bi t x1 , x2. b. N u λ1 , λ2 là các nghi m th c và λ1 = λ2 = λ thì xn = (A + Bn)λn , trong đó A, B đư c xác đ nh khi bi t x1 , x2. Bài toán 1.8. Tìm dãy s {xn } tho mãn đi u ki n 2, n ∈ N∗. x1 = α, x2 = β, axn+1 + bxn + cxn−1 = A(n), n trong đó a = 0, A(n) là đa th c theo n cho trư c. Gi i. Gi i phương trình đ c trưng aλ2 + bλ + c = 0 xác đ nh các giá tr c a λ. Nghi m c a phương trình có d ng xn = xn + x∗ , trong đó xn là nghi m t ng quát c a phương n trình thu n nh t axn+1 + bxn + cxn−1 = 0 và x∗ là nghi m riêng c a phương trình n axn+1 + bxn + cxn−1 = A(n), trong đó A(n) = 0. Ta tìm nghi m xn c a phương trình thu n nh t axn+1 + bxn + cxn−1 = 0 theo bài toán 1.7 v i các h s A, B chưa đư c xác đ nh. Nghi m x∗ đ ơc xác đ nh : n a. N u λ = 1 thì x∗ là đa th c cùng b c v i A(n). n b. N u λ = 1 thì x∗ = n.f (n), trong đó f (n) là đa th c cùng b c v i A(n). n c. N u λ = 1 là nghi m b i thì x∗ = n2 .f (n), trong đó f (n) là đa th c cùng b c v i n A(n). Thay x∗ vào phương trình, đ ng nh t các h s ta tìm đư c x∗ . T h th c xn = xn +x∗ n n n và các giá tr x1, x2 ta tìm đư c các h s A, B. Bài toán 1.9. Tìm dãy s {xn } tho mãn đi u ki n x1 = α, x2 = β, axn+1 + bxn + cxn−1 = γ.η n , n 2, n ∈ N∗ . Gi i. Gi i phương trình đ c trưng aλ2 + bλ + c = 0, ta tìm đư c λ . Nghi m phương trình có d ng xn = xn + x∗ , v i xn đư c tìm như trong bài toán 1.7 , các h s A, B n chưa xác đ nh. x∗ đư c xác đ nh như sau n i. N u λ = η thì x∗ = k.η n . n ii. N u phương trình có nghi m đơn λ = η thì x∗ = kn.η n . n iii. N u phương trình có nghi m kép λ = η thì x∗ = kn2.η n . n Thay x∗ vào phương trình, s d ng phương pháp đ ng nh t các h s ta tìm đư c k . n T các giá tr x1, x2 và xn = xn + x∗ ta tìm đư c các h s A, B . n
10 Ti p theo, ta xét phương trình sai phân tuy n tính c p ba là phương trình sai phân có d ng x1 = α, x2 = β, x3 = γ, axn+1 + bxn + cxn−1 + dxn−2 = A(n), n 3. Bài toán 1.10. Tìm dãy s {xn } tho mãn x1 = α, x2 = β, x3 = γ, axn+1 + bxn + cxn−1 + dxn−2 = A(n), n 3. trong đó a, b, c, d, α, β, γ là các h ng s cho trư c, A(n) là bi u th c cho trư c. Gi i. Trong d ng n y ta ch xét phương trình đ c trưng có nghi m th c. Nghi m t ng quát phương trình sai phân tuy n tính c p ba có d ng xn = xn + x∗ , n trong đó xn là nghi m t ng quát c a phương trình tuy n tính thu n nh t, và x∗ là n nghi m riêng c a phương trình tuy n tính không thu n nh t. Phương trình đ c trưng aλ3 + bλ2 + cλ + d = 0 i. Phương trình có ba nghi m th c λ1 , λ2 , λ3 phân bi t. Khi đó xn = a1λn + a2 λn + a3λn 1 2 3 ii. Phương trình có m t nghi m th c b i 2 và m t nghi m đơn (λ1 = λ2 = λ3 ) thì xn = (a1 + a2n)λn + a3 λn 1 3 iii. N u phương trình có nghi m b i 3(λ1 = λ2 = λ3 ) thì xn = (a1 + a2 n + a3n2 )λn 1 G i x∗ là m t nghi m riêng c a phương trình tuy n tính không thu n nh t. n a) Xét A(n) là m t đa th c theo n. Ta có +) N u λ = 1 thì x∗ là đa th c cùng b c v i A(n). n +) N u λ = 1 là nghi m đơn thì x∗ = n.B (n) trong đó B (n) là đa th c cùng b c v i n đa th c A(n) +) N u λ = 1 là nghi m b i 2 thì x∗ = n2.B (n) trong đó B (n) là đa th c cùng b c n v i đa th c A(n) +) N u λ = 1 là nghi m b i 3 thì x∗ = n3.B (n) trong đó B (n) là đa th c cùng b c n v i đa th c A(n). b) Trư ng h p A(n) = χη n . Ta có
11 +) N u λ = η thì x∗ = k.n.η n n +) N u λ = η là nghi m đơn thì x∗ = k.η n , n +) N u λ = η là nghi m b i 2 thì x∗ = k.n2η n , n +) N u λ = η là nghi m b i 3 thì x∗ = kn3 .η n . n 1.3.2 Dãy phân th c Bài toán 1.11. Tìm dãy s {xn } tho mãn các đi u ki n x2 + d n x1 = a, xn+1 = ,d 0. (1.5) 2xn 1 1 n −1 Gi i. Khi d = 0 ta có xn+1 = xn , suy ra xn = a. 2 2 Xét trư ng h p d > 0. Nh n xét r ng n u un , vn là các nghi m c a h phương trình un+1 = u2 + dvn 2 n vn+1 = 2un vn , u1 = 1, v1 = 1 un thì xn = là nghi m c a phương trình (1.5). Th t v y, ta ch ng minh b ng quy vn n p như sau, khi n = 1 ta có u1 x1 = =a v1 un Gi s xn = là nghi m c a (1.5). Khi đó vn u2 +d n u2 + dvn2 x2 + d un+1 v2 =n = n un = n xn+1 = vn+1 2un vn 2 vn 2xn cũng là nghi m c a (1.5). Như v y đ tìm nghi m c a (1.5) ta gi i h un+1 = u2 + dvn 2 n 2vn+1 = 2dun vn , u1 = a, v1 = 1 Th c hi n c ng theo v các phương trình trong h ta thu đư c: √ dvn )2 un+1 + 2vn+1 = (un + Do đó √ √ √n n dvn )2 = · · · = (u1 + dv1 )2 = (a + d)2 un+1 + 2vn+1 = (un +
12 Tương t , tr v v i v các phương trình trong h ta cũng có: √ √ √n n dvn )2 = · · · = (u1 − dv1 )2 = (a − d)2 un+1 − 2vn+1 = (un − Do đó  √n √n 1 u  n+1 = (a + d)2 + (a − d)2 2 √ √ 1  vn+1 = √ (a + d)2n − (a − d)2n  2d un Do xn = suy ra vn √ √ n−1 √ n−1 d (a + d)2 + (a − d)2 √ √ xn = (a + d)2n−1 − (a − d)2n−1 B ng quy n p ta ch ng minh đư c k t qu xn tho mãn bài toán đã cho. Bài toán 1.12. Tìm dãy s {xn } tho mãn các đi u ki n 2xn , n ∈ N∗ . x1 = a, xn+1 = 1 + dx2 n Gi i. Trư ng h p d = 0. Khi đó xn+1 = 2xn và xn = 2n−1 a. Trư ng h p d > 0. Gi s un , vn là m t nghi m c a h phương trình un+1 = u2 + dvn 2 n vn+1 = 2un vn , u1 = 1, v1 = a. un thì xn = là m t nghi m c a phương trình (ch ng minh b ng quy n p). Ta có vn un+1 = u2 + dvn 2 n √ √ dvn+1 = 2 dun vn , u1 = 1, v1 = a. Th c hi n c ng v theo v c a các phương trình ta thu đư c √ √ dvn )2 un+1 + dvn+1 = (un + Như v y √ √ √ √n n dvn )2 = · · · = (u1 + dv1)2 = (1 + a d)2 un+1 + dvn+1 = (un + Th c hi n tr v theo v c a các phương trình ta thu đư c √ √ dvn )2 un+1 − dvn+1 = (un −
13 Như v y √ √ √ √n n dvn+1 = (un − dvn )2 = · · · = (u1 − dv1 )2 = (1 − a d)2 un+1 − Suy ra  √ 2n √ 2n 1    un+1 = 1+a d + 1−a d 2 √ 2n √ 2n 1   vn+1 = √  1+a d − 1−a d 2d un Vì xn = nên vn √ √ √ 2n−1 2n−1 d 1+a d + 1−a d xn = √ √ 2n−1 2n−1 1+a d − 1−a d Trư ng h p d < 0. Đ t d = −k, k > 0. Gi s un , vn là m t nghi m c a h phương trình un+1 = u2 − kvn 2 n vn+1 = 2un vn , u1 = 1, v1 = a. un thì xn = là nghi m c a phương trình đã cho. Tương t trư ng h p d > 0, ta có vn un+1 = u2 − kvn 2 n vn+1 = 2un vn , u1 = 1, v1 = a. un+1 = u2 − kvn2 n √ √ ⇔ i kvn+1 = 2i kun vn , u1 = 1, v1 = a. √ √ √ n un+1 + i kvn+1 = (un + i kvn )2 = (u1 + i kv1)2 ⇔ √ √ √ n un+1 − i kvn+1 = (un − i kvn )2 = (u1 − i kv1 )2  √ √  un+1 = 1 (1 + ai k )2n + (1 − ai k )2n 2 ⇔ √ √  vn+1 = 1 (1 + ai k )2n − (1 − ai k )2n √ 2i k Vy √ √ n−1 √ n−1 i k (1 + ai k )2 + (1 − ai k )2 √ √ xn = (1 + ai k )2n−1 − (1 − ai k )2n−1 Bài toán 1.13. Tìm dãy s {xn } tho mãn các đi u ki n x2 + 9 n x1 = 4, xn+1 = , (1.6) 2xn
14 Gi i. Nh n xét r ng n u un , vn là các nghi m c a h phương trình (1.6) un+1 = u2 + 9vn 2 n vn+1 = 2un vn , u1 = 4, v1 = 1 un thì xn = là nghi m c a phương trình (1.6). Th t v y, ta ch ng minh b ng quy vn n p như sau, khi n = 1 ta có u1 x1 = =4 v1 un Gi s xn = là nghi m c a phương trình. Khi đó vn u2 +9 n u2 + 9vn2 x2 + 9 un+1 v2 =n = n un = n xn+1 = vn+1 2un vn 2 vn 2xn cũng là nghi m c a (1.6). Như v y đ tìm nghi m c a (1.6), ta gi i h un+1 = u2 + 9vn 2 n 3vn+1 = 6un vn , u1 = 4, v1 = 1 L n lư t c ng và tr theo v các đ ng th c c a h trên ta thu đư c: n 72 +1 n n un+1 + 3vn+1 = (un + 3vn )2 = (u1 + 3v1)2 = 72 un+1 = 2 ⇔ n 72 − 1 n un+1 − 3vn+1 = (un − 3vn )2 = (u1 − 3v1 )2 = 1 vn+1 = 6 Vy n−1 3 72 +1 xn = 72n−1 − 1 1.4 M t s bài toán áp d ng Bài toán 1.14. Tìm xn bi t r ng x0 = 1, x1 = 4, xn+2 = 2(2n + 3)2 xn+1 − 4(n + 1)2 (2n + 1)(2n + 3)xn , n 0. xn Gi i. Đ t dãy s ph yn = . T công th c (2n)! xn+2 = 2(2n + 3)2 xn+1 − 4(n + 1)2 (2n + 1)(2n + 3)xn ,
15 suy ra (2n + 4)!yn+2 = 2(2n + 3)2 .(2n + 2)!yn+1 − 4(n + 1)2 (2n + 1)(2n + 3).(2n)!yn ⇔(n + 2)yn+2 = (2n + 3)yn+1 − (n + 1)yn ⇔(n + 2)(yn+2 − yn+1 = (n + 1)(yn+1 − yn ) = · · · = y1 − y0 Như v y y1 − y0 1 yn+2 = yn+1 + = yn+1 + (y1 − y0 ) n+2 n+2 1 1 = · · · = y0 + (y1 − y0) 1 + + · · · + . 2 n+2 1 1 Suy ra yn = y0 + (y1 − y0) 1 + + · · · + . V y nên 2 n x1 1 1 xn = (2n)! x0 + − x0 1 + + · · · + 2 2 n 1 1 = 2.(2n)! 1 + + · · · + 2 n Bài toán 1.15. Tìm xn bi t r ng x1 = 0, x2 = 1, x3 = 3, xn + 11xn−2 = 7xn−1 + 5xn−3 , n 4. Gi i. Phương trình đ c trưng λ3 − 7λ2 + 11λ + 5 = 0 hay (λ − 1)2 (λ − 5) = 0, có nghi m λ1 = λ2 = 1, λ3 = 5. Suy ra xn = (a1 + a2 n).1n + a3.5n = a1 + a2n + a3 .5n Theo gi thi t x1 = 0, x2 = 1, x3 = 3, ta có h    a1 + a2 + 5a3 = 0  a1 = − 1     16 3 ⇔ a + 2a2 + 25a3 = 1 a= 1 2 4    a + 3a + 125a = 3 a =1 1 2 3 3 16 Vy 5n−1 3n 13 xn = + −. 16 4 16 Bài toán 1.16. Tìm dãy s {xn } tho mãn x1 = 14, x2 = 28, xn+1 − 2xn + xn−1 = 4.3n , n 3.
16 Gi i. Phương trình đ c trưng λ2 − 2λ + 1 = 0 có nghi m kép λ = 1. Nghi m phương trình có d ng xn = xn + x∗ , trong đó xn = (A + nB ).1n = (A + nB ) và x∗ = k.3n . n n Th x∗ vào trong phương trình, ta đư c n k.3n+1 − 2k.3n + k.3n−1 = 4.3n ⇔ k = 3 Suy ra x∗ = 3.3n . n Ta có xn = A + Bn + 3.3n . T x1 = 10, x2 = 28 suy ra A + B + 9 = 14 và A + 2B + 27 = 28 ⇔ A = 9, B = −4. V y nên xn = 9 − 4n + 3.3n . Bài toán 1.17. Cho dãy s {xn } xác đ nh b i các đi u ki n sau i. x0 = 0, x1 = 1, x2 = 0 ii. V i m i n 1, (n2 + n + 1)(n + 1) n+1 xn+2 + (n2 + n + 1). xn+3 + xn = n n Ch ng minh r ng dãy {xn } g m toàn các s chính phương v i m i n. Gi i. Ta xét dãy yn như sau: y0 = 0, y1 = 1, yn+2 = nyn+1 + yn , n 0. Theo cách xác đ nh dãy suy ra dãy yn g m toàn các s nguyên và yn+3 = (n + 1)yn+2 + yn+1 , yn = yn+2 − nyn+1 . Suy ra nyn+3 = n(n + 1)2 yn+2 + 2n(n + 1)yn+2 yn+1 + nyn+1 2 2 2 (n + 1)yn = (n + 1)yn+2 − 2n(n + 1)yn+1 yn+2 + (n + 1)n2 yn+1 2 2 2 Th c hi n c ng theo v và chia hai v cho n, ta thu đư c n + 1 2 (n2 + n + 1)(n + 1) 2 2 yn+2 + (n2 + n + 1). yn+3 + y= nn n 2 Nh n xét r ng dãy {yn } tho mãn đi u ki n như dãy {xn } , do v y các ph n t c a hai dãy trùng nhau, t c là 2 xn = yn . V y dãy {xn } g m toàn các s chính phương.
17 Bài toán 1.18. Xác đ nh dãy s xn bi t r ng : x1 = 1, , x2 = 0, xn+1 − 2xn + xn−1 = n + 1, n 2. Gi i. Phương trình đ c trưng λ2 − 2λ + 1 = 0 có nghi m λ = 1. Nghi m c a phương trình có d ng xn = xn + x∗ , trong đó xn = (A + Bn).1n = A + Bn và x∗ = n2 (an + b). n n Th x∗ vào phương trình, ta thu đư c n (n + 1)2 [a(n + 1) + b] − 2n2 (an + b) + (n − 1)2 [a(n − 1) + b] = n + 1. L n lư t thay n = 1, n = 2, ta thu đư c h  1   a= 4(2a + b) − 2(a + b) = 2 3a + b = 1 6 ⇔ ⇔  b=1 9(3a + b) − 8(2a + b) + (a + b) = 3 12a + 2b = 3  2 Suy ra n1 x∗ = n 2 + . n 62 T đó n1 xn = xn + x∗ = A + Bn + n2 + . n 62 T x1 = 1, x2 = 0, ta suy ra h    A+B+ 1 + 1 =1   A=4 A+B =3 62 ⇔ ⇔  B = − 11  A + 2B + 4. 1 + 1 = 0 A + 2B = − 10  3 3 32 Vy n3 n2 11n xn = + − + 4. 6 2 3 Bài toán 1.19. Tìm xn bi t x1 = 1, xn+1 = 2xn + n2 + 2.2n , n ∈ N∗. Gi i. Phương trình đ c trưng λ − 2 = 0 có nghi m λ = 2. Ta có xn = xn + x∗ + x∗∗ , n n trong đó xn = c.2n , x∗ = an2 + bn + c, x∗∗ = An.2n . Thay x∗ vào trong phương trình n n n xn+1 = 2xn + n2, ta thu đư c a(n + 1)2 + b(n + 1) + c = 2an2 + 2bn + 2c + n2