Luận văn Thạc sĩ Khoa học vật chất: Một số tính chất của dao động tử điều hòa biến dạng

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:51

Thêm vào BST

Báo xấu

34
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong vật lí thống kê lượng tử tổng trạng thái (hay tích phân trạng thái trong thống kê cổ điển) đóng một vai trò đặc biệt quan trọng, bởi vì nhờ nó ta có thể tìm được một loạt các đại lượng đặc trưng cho một hệ vật lí bất kì. Mục đích nghiên cứu của đề tài là nghiên cứu một số tính chất của dao động tử điều hòa biến dạng.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Khoa học vật chất: Một số tính chất của dao động tử điều hòa biến dạng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 ====== TRẦN HỮU TUẤN BÌNH MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA DAO ĐỘNG TỪ ĐIỀU HÒA BIẾN DẠNG Chuyên ngành: Vật lí lí thuyết và vật lí Toán Mã số: 60 44 01 03 LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ LÝ THUYẾT VÀ VẬT LÝ TOÁN Ngƣời hƣớng dẫn khoa học : PGS. TS. Lƣu Thị Kim Thanh HÀ NỘI - 2017
LỜI CẢM ƠN Luận văn : “Một số tính chất của dao động tử điều hòa biến dạng” đã được hoàn thành với sự nỗ lực của bản thân và sự giúp đỡ tận tình của thầy cô, bạn bè. Qua đây em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới cô giáo hướng dẫn – PGS. TS. Lưu Thị Kim Thanh đã tận tình giúp đỡ, chỉ bảo em trong quá trình hoàn thành đề tài. Đồng thời em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Vật lý trường ĐHSP Hà Nội 2 đã tạo điều kiện cho em hoàn thành đề tài này. Xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ động viên của bạn bè trong suốt quá trình làm đề tài. Trong quá trình nghiên cứu vì thời gian có hạn và bước đầu làm quen với phương pháp nghiên cứu khoa học nên đề tài của em không tránh khỏi những thiếu sót và hạn chế. Vì vậy em rất mong nhận được ý kiến đóng góp của các thầy cô và bạn đọc. Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 05 năm 2017 Học viên Trần Hữu Tuấn Bình
LỜI CAM ĐOAN Đề tài “Một số tính chất của dao động tử điều hòa biến dạng” này được hoàn thành với sự nỗ lực của bản thân và sự hướng dẫn của PGS. TS.Lưu Thị Kim Thanh. Đề tài này là kết quả nghiên cứu của tôi, không trùng với bất kì đề tài nào khác. Tất cả các dữ liệu tôi đưa ra là hoàn toàn trung thực. Tôi xin chịu trách nhiệm về kết quả nghiên cứu của mình. Hà Nội, tháng 05 năm 2017 Học viên Trần Hữu Tuấn Bình
MỤC LỤC MỞ ĐẦU ........................................................................................................................ 1 CHƢƠNG 1: MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA ............. 4 1.1. Phổ năng lượng của dao động tử điều hòa ............................................................... 4 1.2. Tổng trạng thái của hệ dao động tử điều hòa ......................................................... 14 1.3. Trạng thái kết hợp của dao động tử điều hòa ......................................................... 17 CHƢƠNG 2: MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA BIẾN DẠNG ........................................................................................................................... 25 2.1.Phổ năng lượng dao động tử điều hòa biến dạng q ................................................. 25 2.2. Tổng trạng thái của hệ dao động tử điều hòa biến dạng ........................................ 28 2.3. Trạng thái kết hợp của dao động tử điều hòa biến dạng ........................................ 30 CHƢƠNG 3: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA HỆ DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA BIẾN DẠNG ................................................................................................................ 39 3.1 Nhiệt dung của hệ dao động tử điều hòa ................................................................. 39 3.2 Nhiệt dung của hệ dao động tử điều hòa biến dạng ................................................ 41 3.3 Ứng dụng của dao động tử biến dạng q vào hiện tượng ngưng tụ Bose-Einstein .. 42 KẾT LUẬN CHUNG .................................................................................................. 46 TÀI LIỆU THAM KHẢO .......................................................................................... 47
1 MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Vật lí thống kê là ngành vật lí nghiên cứu hệ nhiều hạt. Tùy thuộc vào loại mô hình vật chất mà người ta thường tách vật lí thống kê làm hai phần: Vật lí thống kê cổ điển và vật lí thống kê lượng tử. Vật lí thống kê lượng tử tổng quát và chặt chẽ hơn vật lí thống kê cổ điển vì các kết quả của vật lí thống kê lượng tử đã bao gồm các kết quả của vật lí thống kê cổ điển như là trường hợp riêng. Nhiệm vụ của vật lí thống kê lượng tử là nghiên cứu các tính chất của hệ nhiều hạt vi mô tuân theo các quy luật của cơ học lượng tử. Vật chất tồn tại dưới hai dạng là chất và trường; các chất bao gồm một số rất lớn các nguyên tử, phân tử. Lượng tử của các trường là các hạt cơ bản, chẳng hạn lượng tử của trường điện từ là các photon,…Từ đó có thể thấy đối tượng nghiên cứu của vật lí thống kê là rất rộng. Nhiệt động lực học cũng nghiên cứu các quy luật chuyển động nhiệt trong hệ nhiều hạt, nhiệt động lực học khảo sát các hiện tượng theo quan điểm về sự biến đổi năng lượng trong các hiện tượng đó. Cơ sở của nhiệt động học là những định luật tự nhiên tổng quát mà người ta gọi là các nguyên lí của nhiệt động lực học. Các nguyên lí này là sự tổng quát hóa kinh nghiệm lâu đời của nhân loại và đã được thực nghiệm xác nhận. Vật lí thống kê nghiên cứu mối liên hệ giữa các đặc tính vĩ mô của hệ với các tính chất và các định luật chuyển động của các hạt vi mô tạo nên hệ. Vật lí thống kê xuất phát từ các tính chất và cấu trúc vi mô của các hạt tạo nên hệ để rút ra những tính chất của hệ nhiều hạt bằng phương pháp xác suất thống kê. Tại sao lại phải dùng phương pháp xác suất thống kê mà không thể dùng phương pháp giải các phương trình Lagrange hoặc các phương trình chính tắc Hamilton trong bài toán cổ điển, phương trình Schrodinger đối với hệ nhiều hạt lượng tử. Câu trả lời là bởi vì trong các hệ nhiều hạt tồn tại một quy luật khách quan là hệ quả của tính chất số đông đó là quy luật tính thống
2 kê, cụ thể là tính chất của hệ nhiều hạt ở thời điểm đang xét thực tế là hoàn toàn không phụ thuộc vào trạng thái ban đầu tức là vào các điều kiện ban đầu. Mặc dù tính chất của một hạt riêng lẻ tuân theo định luật động lực học của cơ học. Rõ ràng là tính chất thống kê mất hết mọi nội dung khi ta xét một hạt riêng lẻ hay một số ít hạt và chỉ trong các hệ nhiều hạt mới có biểu hiện của quy luật tính thống kê [1,2,3]. Trong vật lí thống kê lượng tử tổng trạng thái ( hay tích phân trạng thái trong thống kê cổ điển) đóng một vai trò đặc biệt quan trọng, bởi vì nhờ nó ta có thể tìm được một loạt các đại lượng đặc trưng cho một hệ vật lí bất kì. Tổng trạng thái phản ánh trạng thái nội tại của hệ, bởi vì phép lấy tổng (phép tích phân trạng thái) được thực hiện theo tất cả các trạng thái vi mô của hệ. Nói một cách khác tổng trạng thái là hàm trạng thái phụ thuộc vào các thông số ngoại và nhiệt độ của hệ. Việc tính được tổng trạng thái của hệ cho phép ta đoán nhận được các thông số nhiệt động của hệ nhiều hạt như nhiệt độ, entrôpi, năng lượng tự do….[4,5,6]. Sau quá trình học tập tại lớp cao học chuyên ngành Vật lí Lí thuyết và Vật lí Toán, K37 Trường ĐHSP Hà nội 2, tôi đã thấy được vai trò quan trọng của tổng trạng thái trong vật lí. Với mong muốn có thể tiếp cận với vật lí học hiện đại, em đã chọn đề tài “Một số tính chất của dao động tử điều hòa biến dạng” để làm luận văn thạc sĩ dưới sự hướng dẫn khoa học của cô giáo, PGS. TS. Lưu Thị Kim Thanh. 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu của đề tài là nghiên cứu một số tính chất của dao động tử điều hòa biến dạng. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu - Trình bày một số tính chất của dao động tử điều hòa tuyến tính - Nghiên cứu một số tính chất của dao động tử điều hòa biến dạng
3 - Nêu ra một số ứng dụng của dao động tử điều hòa biến dạng 4. Đối tƣợng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu dao động tử điều hòa biến dạng 5. Phƣơng pháp nghiên cứu Đề tài sử dụng các phương pháp vật lí lý thuyết: - Phương pháp vật lí thống kê, - Phương pháp lý thuyết trường lượng tử, - Phương pháp nhóm lượng tử và các phương pháp giải tích khác. 6. Dự kiến đóng góp mới - Các tính chất của dao động tử điều hòa biến dạng và các ứng dụng của dao động tử điều hòa biến dạng.
4 CHƢƠNG 1 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA 1.1. Phổ năng lƣợng của dao động tử điều hòa Biểu diễn số hạt Phổ năng lượng của dao động tử điều hòa cũng có thể tìm bằng phương pháp đại số, sử dụng các hệ thức giao hoán chính tắc và biểu thức của Hamiltonian. Pˆ 2 m 2 Hˆ  x  xˆ (1.1) 2m 2 Chúng ta kí hiệu: xˆ  qˆ là toán tử tọa độ d pˆ x  pˆ  i là toán tử xung lượng dx Hệ thức giao hoán pˆ và qˆ là: d d d d  pˆ , qˆ   pq ˆ ˆ  qp ˆˆ  i x  x( i )  i xi x dx dx dx dx d d  pˆ , qˆ   i ( x )  i x   i  dx dx  pˆ , qˆ   i Có thể biểu diễn Hamiltonian theo pˆ và qˆ là pˆ 2 m 2 2 H  qˆ (1.2) 2m 2 m   Đặt : pˆ  i 2  aˆ  aˆ  qˆ  2m  aˆ   aˆ 
5 khi đó ta có thể biểu diễn Hˆ theo aˆ  , aˆ như sau: pˆ 2 m 2 2 1 2 m  m 2 H 2m  2 qˆ  2m i 2  aˆ  aˆ    2 2m  aˆ  aˆ   1   aˆ  aˆ     aˆ  aˆ    2  . 2 2     aˆ  aˆ   aˆ  aˆ     aˆ  aˆ   aˆ  aˆ    1  . 2 2   2aa  2aˆ  aˆ  1  . ˆˆ  (1.3) 2 2   2  aa ˆ ˆ   aˆ  aˆ  Và các toán tử được biểu diền ngược lại theo pˆ và qˆ là m   pˆ  aˆ  aˆ   aˆ   aˆ  2 pˆ  i  ipˆ 2 m  m  i 2 qˆ 2m qˆ  2m  aˆ   aˆ   aˆ   aˆ   qˆ 2m m  pˆ  Từ đó ta thu được : aˆ    qˆ  i  (1.4) 2  m m  pˆ  aˆ     qˆ  i  (1.5) 2m  m Dễ dàng chứng minh được các toán tử aˆ  aˆ thỏa mãn hệ thức giao hoán  aˆ , aˆ    1 (1.6) m  pˆ  Thật vậy:  aˆ , aˆ   aa ˆ ˆ   aˆ  aˆ   qˆ  i   2  m m  pˆ  m  pˆ  1 i   qˆ  i   qˆ  i   2i pq ˆˆ    pq ˆ ˆ  2iqp ˆˆ   1 ˆ ˆ  qp 2  m  2  m  2
6 Sử dụng hệ thức (1.6) ta thu được hàm Hamiltonian có dạng  1 H   aˆ  aˆ    (1.7)  2 Việc nghiên cứu của phổ năng lượng của dao động tử điều hòa quy về bài toán tìm các vectơ giá trị riêng và trị riêng Hamiltonian (1.7), trong đó các toán tử thỏa mãn hệ thức giao hoán (1.6) Để làm điều đó ta định nghĩa toán tử giao hoán như sau: Nˆ  aˆ  aˆ (1.8) Và có hệ thức giao hoán giữa toán tử Nˆ với các toán tử aˆ  và aˆ   Nˆ , aˆ   Na ˆ ˆ  aN ˆ ˆ  aˆ  aa ˆ ˆ  aˆ   aˆ aˆ  aa ˆ ˆ  aa ˆ ˆ   aˆ  1.aˆ  aˆ Suy ra  ˆ ˆ  aˆ Nˆ  1 Na  (1.9)   Nˆ , aˆ    Na ˆ ˆ   aˆ aˆ aˆ  aˆ  aa ˆ ˆ   aˆ  Nˆ  aˆ  aa ˆ ˆ   aˆ aˆ   aˆ  Hay  ˆ ˆ   aˆ  Nˆ  1 Na  (1.0) Ký hiệu n là vecto riêng của toán tử Nˆ ứng với trị riêng n, khi đó ta có phương trình trị riêng của toán tử Nˆ Nˆ n  n n (1.11) Từ phương trình (1.11) n Nˆ n n aˆ  aˆ n n  0 (1.12) nn nn Vì n n   n  r  dr  0 2 Và
7 n aˆ  aˆ n   aˆn  r  dr  0 2 Vậy ta có kết luận sau : - Các trị riêng của tóan tử Nˆ là các số không âm Bây giờ ta xét vectơ trạng thái â n ta thu được bằng cách tác dụng các toán tử â lên trạng thái n . Tác dụng lên vectơ trạng thái này toán tử Nˆ và sử dụng công thức (1.9) Ta có  ˆ ˆ n  aˆ Nˆ  1 n  aN Na  ˆ ˆ n  aˆ n  aˆ  n  1 n   n  1 aˆ n (1.13) Hệ thức trên có nghĩa là: vectơ trạng thái aˆ n cũng là vectơ trạng thái riêng của toán tử Nˆ ứng với trị riêng (n-1) . Thật dễ dàng chứng minh được rằng aˆ 2 n , aˆ 3 n … cũng là vectơ trạng thái của toán tử Nˆ ứng với trị riêng (n-2), (n-3),…. Tiếp theo ta xét vectơ trạng thái aˆ  n , tác dụng lên vectơ trạng thái này toán tử Nˆ , sử dụng công thức (1.10) ta có:   ˆ ˆ  n  aˆ  Nˆ  1 n  aˆ  Nˆ n  aˆ  n Na  aˆ   n  1 n   n  1 aˆ  n (1.14) Hệ thức trên có nghĩa là vectơ trạng thái aˆ  n cũng là một vectơ trạng thái riêng của toán tử Nˆ ứng với trị riêng (n +1). Tương tự như vậy:  aˆ  n ,  aˆ   n ,…cũng là vectơ trạng thái riêng của  2 3 toán tử Nˆ ứng với các trị riêng (n +2), (n+ 3),...ta đi tới kết luận:
8 - Nếu n là vectơ trạng thái riêng của Nˆ ứng với trị riêng n thì aˆ p n cũng là một vectơ trạng thái riêng của toán tử Nˆ ứng với trị riêng (n-p) và  aˆ   n cũng là một vectơ trạng thái trị riêng của toán tử Nˆ ứng với trị p riêng (n+p) với p = 1, 2, 3 và (n- p) ≠ 0. Kết hợp kết luận 1 và kết luận 2 ta thấy nếu n là trị riêng của toán tử Nˆ thì chuỗi các số không âm n-1, n-2 , n-3,…cũng là trị riêng của toán tử Nˆ vì chuỗi này giảm dần nên phải tồn tại một số không âm nhỏ nhất nmin thỏa mãn hệ thức aˆ nmin  0 (1.15) Vì nếu aˆ nmin ≠ 0 thì đó là vectơ trị riêng ứng với (nmin – 1), trái với giả thiết là nmin là trị riêng nhỏ nhất. Từ (1.15) ta có: aˆ   aˆ nmin  nmin (1.16) Mặt khác theo định nghĩa nmin Nˆ nmin  nmin nmin (1.17) So sánh 2 phương trình (1.16) và (1.17) ta đi tới kết luận như sau : - Trị riêng nhỏ nhất của toán tử Nˆ là nmin có giá trị bằng 0. Vectơ trạng thái ứng với trị riêng nhỏ nhất Nˆ được ký hiệu là 0 gọi là trạng thái chân không, vectơ trạng thái này thỏa mãn điều kiện : aˆ 0  0 Khi đó: + aˆ  0  0 tỉ lệ với vectơ trị riêng 1 của Nˆ ứng với trị riêng bằng 1.
9 Thật vậy ta có: Nˆ 1  1 1 (*) Mà : aˆ  0 là một vectơ trị riêng của toán tử Nˆ ứng với trị riêng 0 ˆ ˆ  0  1aˆ  0 + 1= 1, tức là Na (**) Từ (*) và (**) ta thấy : 1 là vectơ trị riêng của toán tử Nˆ ứng với trị riêng là 1 aˆ 1 0 là vectơ trị riêng của toán tử Nˆ ứng với trị riêng là 1. Vì vậy, aˆ  0 phải tỉ lệ với vectơ riêng 1 của toán tử Nˆ ứng với trị riêng n =1. Tương tự  aˆ   0 tỉ lệ với vectơ riêng 2 của toán tử Nˆ ứng với trị n riêng n= 2… +  aˆ   0 tỉ lệ với vectơ trị riêng n của toán tử Nˆ ứng với trị riêng n. n Từ biểu thức :  1  1  Hˆ   aˆ  aˆ      Nˆ      Nˆ   2  2 2   Hˆ 0   Nˆ 0  0 2 Vì Nˆ 0  0 0  0  Hˆ 0  0  E0 0 2 1 Nên: 0 là vectơ trị riêng của Hˆ ứng với trị riêng E0   2  1 1 là vectơ trị riêng của Hˆ ứng với trị riêng E1  1     2  1 2 là vetơ trị riêng của Hˆ ứng với trị riêng En   n     2
10 Vậy ta có kết luận sau: - Phổ năng lượng của dao động tử điều hòa tuyến tính được biểu diễn bằng công thức :  1 En   n    (1.18)  2 Từ biểu thức (1.18) , ta nhận thấy rằng phổ năng lượng của dao động tử điều hòa tuyến tính có đặc điểm như đã khảo sát ở phần trên, các trạng thái dừng của dao động tử điều hòa có năng lượng gián đoạn với các giá trị cách đều nhau, hiệu số năng lượng giữa hai trạng thái liền kề nhau luôn luôn bằng một lượng tử năng lượng    . 1 Trạng thái 0 có năng lượng thấp nhất là E0   ≠ 0, trạng thái tiếp 2 theo 1 với năng lượng E0 +  có thể xem như kết quả của việc thêm một lượng tử năng lượng  vào trạng thái 0 . Trạng thái tiếp theo 1 ứng với năng lượng E0 +  có thể xem là kết quả của việc thêm một lượng tử năng lượng vào trạng thái 0 . Tiếp theo n ứng với năng lượng E1 +  = E0 +2  cũng có thể xem như là kết quả của việc thêm một lượng tử năng lượng vào trạng thái 1 cũng có nghĩa là thêm hai lượng tử năng lượng vào trạng thái 0 .Nếu ta lấy gốc tính năng lượng là E0, thì có thể coi trạng thái 0 là trạng thái không chứa lượng tử nào . Vì vậy 0 được gọi là trạng thái chân không, 1 là trạng thái chưá 1 lượng tử, 2 là trạng thái chứa hai lượng tử,.. n là trạng thái chứa n lượng tử. Toán tử Nˆ có các giá trị nguyên không âm , cách nhau 1 đơn vị được đoán nhận là toán tử số năng lượng. Toán tử â khi tác dụng lên n cho 1 trạng thái tỉ lệ với (n-1) dó đó được đoán nhận là toán tử hủy lượng tử năng lượng. Toán tử â+ khi tác dụng lên n cho 1 trạng thái tỉ lệ
11 với (n+1) dó đó được đoán nhận là toán tử sinh lượng tử năng lượng. Nếu ta tưởng tượng rằng lượng tử năng lượng là một hạt thì toán tử Nˆ sẽ là toán tử số hạt, â sẽ là toán tử hủy hạt, â+ sẽ là toán tử sinh hạt. Khi đó toán tử n ứng với năng lượng En  n  sẽ là toán tử chứa n hạt. Đó là biểu diễn số hạt của dao động tử điều hòa. Trong cơ học lượng tử, trạng thái dừng của một dao động tử điều hòa có thể coi là tập hợp của nhiều hạt, mỗi hạt có năng lượng bằng  . Khái niệm hạt ở đây thực chất chỉ là các giả hạt còn gọi là các “chuẩn hạt” . Như đã lập luận ở trên khi trạng thái â tác dụng lên n cho một trạng thái tỉ lệ với n  1 và trạng thái â+ khi tác dụng lên n cho một trạng thái tỉ lệ với n  1 . Do đó chúng ta sẽ tính các hệ số tỉ lệ 𝛼n , 𝛽n , 𝛾n trong các hệ thức: aˆ n  an n  1 aˆ  n  n n  1 n   n aˆ  n 0 Để cho các vectơ là trực giao và chuẩn hóa thì : m n   m ,n = Tìm 𝛼n : Chúng ta có: n Nˆ n n Nˆ n n  nn  n ,n Vì m= n nên 𝛿m,n = 1 => n  n Nˆ n = n aˆ  aˆ n .
12 Mặt khác: n aˆ    n* n  1 Do đó : n   n* n  1  n n  1   n2 n  1 n  1   n2 Coi 𝛼n là số thực nên 𝛼n = n Tìm 𝛽n : Ta có: n  n Nˆ n  n aˆ aˆ n  n aa ˆ ˆ 1 n  Mặt khác: n aˆ  n*  n  1 Do đó: n  n Nˆ n  n aa ˆ ˆ 1 n  n2 n  1 n n  1  1  n2  1 Coi 𝛽n là số thực nên  n2 = n+1 => 𝛽n = n  1 - Tìm 𝛾n : Ta có : n   n aˆ  n 0   n  aˆ   aˆ  0 n 1  n   n  aˆ   0 1   n 0  aˆ   n 1 n2 aˆ  1   n 0 1  aˆ   n2 1 2  n   n 0 1  aˆ   n2 2  n   n 0 13 ...n1 n  n   n 1.2.3...n n 1 n  n! Vậy ta thiết lập được các công thức sau:
13 Nˆ n  n n aˆ n  n n  1 aˆ  n  n  1 n  1 1 n n  aˆ 0 (1.19) n! Dạng tường minh của hàm sóng diễn tả trạng thái lượng tử của dao động điều hòa là:   2 x2  n  x   Nn H n   x  e 2 1  m  4 1  m   m   n  x    exp   Hn  x (1.20)    2n  2    Trong đó Hn(x) là đa thức Hermite . Thí dụ như: H 0 ( x)  1 H1 ( x)  2 x H 2 ( x)  2(2 x 2  1) H 3 ( x)  4 x  2 x 2  3... Các hàm sóng chuẩn hóa tương ứng :   2 x 2 2  0  x  e  2 2   2 x2 1  x  xe 2    x 2 2  2  x   2 2 x 2  1 e 2 2 2  x 2 2  3  x   2  2 x 2  3 e 2 3
14 Xác suất mà mà dao động tử lượng tử với năng lượng En có thể được tìm được trong khoảng x tới x+ dx bằng dw nLT  x  dx   n  x  dx 2 Từ các hệ thức (1.18) và (1.20) chúng ta thấy năng lượng và các hàm sóng diễn tả trạng thái của dao động tử điều hòa tuyến tính cùng phụ thuộc và số lượng tử chính n. Ta có một số dạng của hàm sóng dao động điều hòa: 1.2. Tổng trạng thái của hệ dao động tử điều hòa Đối với một dao động tử Ta hãy tìm tổng thống kê ( tổng trạng thái ) đối với một dao động tử , với đặc tính bậc suy biến g=1. Tổng trạng thái của một dao động tử   E          Z   exp   n   exp      exp  n (1.21) n 0  kT   2 kT  n 0  kT 
15 Chú ý rằng, vế phải của đẳng thức (1.21) có chứa một cấp số nhân lùi vô    hạn với công bội q  exp   và số hạng đầu tiên là a=1, Áp dụng công  kT  a thức tính tổng các số hạng của cấp số nhân lùi vô hạn S  , ta được : 1 q    exp     2kT  Z    1  exp   )  kT     exp    2kT  Z (1.22)    exp   1  kT  Đối với hệ N dao động tử Nếu ta có một hệ gồm N dao động tử tuyến tính độc lập dao động với cùng một tần số  thì năng lượng trung bình và nhiệt dung cuả hệ đó sẽ lớn hơn N lần năng lượng trung bình và nhiệt dung ứng với một dao động tử. Biết tổng trạng thái đối với một hệ dao động tử, ta có thể tìm được các hàm nhiệt động trung bình của một hệ N dao động tử không tương tác, Năng lượng trung bình của hệ gồm N dao động tử là nội năng U  NE của hệ đó Z he  Z  N (1.23) Trong đó:    exp    2kT  Z    exp   1  kT 
16 Dựa vào phân bố Bose – Einstein ta cũng có thể tìm được tổng trạng thái của dao động điều hòa cụ thể như sau: Số hạt trong hệ là thay đổi nên chúng ta phải xuất phát từ phân bố chính tắc lớn lượng tử : W n0 , n1 ,...  1 exp   N  Ek .g Ek  (1.24) N! Với Ω là nhiệt thế động lớn, µ là thế hóa học. Ký hiệu : g E k  Gk n0 , n1 ,...  (1.25) N! Vậy :        n1    1   Wn0 , n1 ,...  exp  l 0 .Gk n0 , n1 ,... (1.26)      Công thức (1.26) cho ta biết xác suất để cho hệ có n0 hạt nằm trên mức  0 , n1 hạt nằm trên mức  1 …Như vậy đó là công thức về xác suất các số chứa đầy. Nhờ công thức (1.26) ta có thể tìm được số hạt trung bình nằm trên một mức năng lượng : nk   ...nk Wn 0 , n1 ,... (1.27) n0 n1 Điều kiện chuẩn hóa là :    ...Wn , n ,...  exp   .Z  1 n0 n1 0 1 (1.28) Trong đó Z là tổng trạng thái của hệ :   n 1 1   1    Z   ... exp  l0 Gk n0 , n1 ,... (1.29) n0 n1      Nghĩa là :    ln Z (1.30)