Môđun FP - xạ ảnh và Môđun FP - nội xạ: Luận văn Thạc sĩ Đại số

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH -----o0o-----

HUỲNH NGỌC DIỄM

MÔĐUN FP- XẠ ẢNH VÀ MÔĐUN FP- NỘI XẠ

LUẬN VĂN THẠC SĨ ĐẠI SỐ

Thành phố Hồ Chí Minh , 2012

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH -----o0o-----

HUỲNH NGỌC DIỄM

MÔĐUN FP- XẠ ẢNH VÀ MÔĐUN FP- NỘI XẠ

Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số Mã số: 60 46 05

LUẬN VĂN THẠC SĨ ĐẠI SỐ

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS. NGUYỄN VIẾT ĐÔNG

Thành phố Hồ Chí Minh , 2012

LỜI CẢM ƠN

Trước tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn đến tất cả thầy, cô bộ môn Toán khoa Sư

phạm trường Đại học Cần Thơ và các thầy, cô khoa Toán – tin trường Đại học Sư

phạm Thành phố Hồ Chí Minh, nhất là các thầy trong bộ môn Đại số, những người

đã tận tình giảng dạy cho tôi trong suốt thời gian học Đại học và Cao học. Chính

những kiến thức này là nền tảng quan trọng để tôi có thể thực hiện, hoàn thành luận

văn này.

Hơn hết, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến thầy TS. Nguyễn Viết

Đông, người thầy luôn tận tình hướng dẫn, động viên, khích lệ, giúp đỡ tôi trong

suốt quá trình thực hiện và hoàn chỉnh luận văn này. Tiếp theo, tôi cũng cảm ơn các

anh, chị, các bạn trong chuyên ngành Đại số đã động viên tôi trong quá trình học tập

cũng như sửa chữa những sai sót trong luận văn này.

Lời cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc nhất đến những người thân,

những người bạn đã luôn bên tôi, ủng hộ tinh thần cho tôi trong cuộc sống cũng như

Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 9 năm 2011

Huỳnh Ngọc Diễm

trong học tập, đặc biệt là ba mẹ và cô tôi.

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN ........................................................................................................................ 1

MỤC LỤC ............................................................................................................................. 4

BẢNG CÁC KÝ HIỆU VIẾT TẮT ....................................................................................... 3

MỞ ĐẦU ............................................................................................................................... 6

1. Lý do chọn đề tài ........................................................................................................... 6

2. Mục đích của đề tài ........................................................................................................ 6

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ................................................................................. 7

4. Nội dung luận văn .......................................................................................................... 7

5. Phương pháp nghiên cứu ............................................................................................... 7

Chương 1 KIẾN THỨC CƠ SỞ ........................................................................................... 8

1.1 Môđun, môđun tự do và đồng cấu môđun ................................................................... 8

1.2 Tổng trực tiếp trong ................................................................................................... 10

1.3 Dãy khớp .................................................................................................................... 10

1.4 Hàm tử Hom .............................................................................................................. 11

1.5 Môđun xạ ảnh, môđun nội xạ .................................................................................... 13

1.6 Môđun hữu hạn sinh, môđun biểu diễn hữu hạn ....................................................... 14

1.7 Hàm tử tenxơ ............................................................................................................. 15

1.8 Phức và đồng điều ...................................................................................................... 17

1.9 Phép giải và tích mở rộng .......................................................................................... 19

1.10 Bao, phủ và lý thuyết đối xoắn ................................................................................ 20

1.11 Cái kéo lại, cái đẩy đi ............................................................................................... 22

Chương 2 MÔĐUN FP- XẠ ẢNH VÀ MÔĐUN FP- NỘI XẠ ......................................... 24

2.1 Khái niệm và các tính chất của môđun FP- xạ ảnh và môđun FP- nội xạ ................. 24

2.2 Chiều FP- xạ ảnh và chiều FP- nội xạ ....................................................................... 29

2.3 Bao và phủ ................................................................................................................. 33

KẾT LUẬN ĐỀ TÀI ............................................................................................................ 42

TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................................... 43

BẢNG CÁC KÝ HIỆU VIẾT TẮT

Ý nghĩa Ký hiệu

M là R- môđun trái

M là R- môđun phải MR

SMR

M là S- R- song môđun

Phạm trù các môđun Mod

Phạm trù các nhóm cộng aben Ab

Môđun con 

Tổng trực tiếp trên R của hai môđun A và B A ⊕R B

Tích tenxơ trên R của hai môđun A và B A ⊗R B

Tập hợp các đồng cấu từ A đến B

R(B, A)

Hom(A, B) Extn Tích mở rộng n chiều trên R của hai môđun A và B

Môđun đồng điều thứ n của phức X

Môđun đồng điều thứ n của phức X theo chỉ số trên

Hn(X) Hn(X) ⊥ ⊥

Lớp trực giao của C Lớp các R- môđun FP- xạ ảnh

Lớp các R- môđun FP- nội xạ

C, C FPR FIR fpdR(M)

Chiều FP- xạ ảnh của R- môđun M

Chiều FP- xạ ảnh của S- môđun M fpdS(M)

rfpD(R) sup{fpdR(M), M là R- môđun phải hữu hạn sinh}

rfpD(S) sup{fpdS(M), M là S- môđun phải hữu hạn sinh}

FP- id(M) Chiều FP- nội xạ của R- môđun M

r. FP- dim(R) sup{FP- id(M), M là R- môđun phải}

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Như chúng ta đã biết, ngày nay môn Đại số đồng điều đã và đang tràn ngập

vào toán học. Vì vậy, việc học môn này đã trở nên thực sự cần thiết và trở thành

môn học bắt buộc trong chương trình. Khi học môn này, chúng ta được học về

môđun trên vành có đơn vị bất kỳ R, hàm tử Hom, hàm tử tenxơ, nhóm đồng điều, đối đồng điều của các phức, hàm tử xoắn Torn, hàm tử mở rộng Extn. Khi học về

môđun, chúng ta đã làm quen với khái niệm và tính chất môđun xạ ảnh, môđun nội

xạ. Tuy nhiên, vì thời gian có hạn nên trong chương trình học chỉ dừng lại ở việc

nghiên cứu các môđun này ở mức độ cơ bản chưa có tính chất chuyên sâu. Giả sử

khi cho R là vành có đơn vị bất kỳ, M là R- môđun phải xạ ảnh, biểu diễn hữu hạn

thì ta sẽ tính được số chiều của nó, vậy làm cách nào để tính được số chiều? Một

môđun như thế nào được gọi là môđun xạ ảnh, môđun nội xạ biểu diễn hữu hạn?

Cho C là lớp các R- môđun phải, C- tiền bao, C- bao,…được định nghĩa ra sao? Hoặc một vài mô tả của FP- môđun nội xạ là gì?,… Vì thế, để trả lời cho những câu

hỏi này, là một học viên cao học chuyên ngành Đại số và Lý thuyết số K20, tôi đã

chọn môn Đại số đồng điều để nghiên cứu trong luận văn tốt nghiệp của mình với

đề tài “MÔĐUN FP- XẠ ẢNH VÀ MÔĐUN FP- NỘI XẠ”, trong đó FP là chữ viết

tắt của Finitely Presented có nghĩa là “biểu diễn hữu hạn”.

2. Mục đích của đề tài

Tổng hợp các kết quả về môđun, môđun xạ ảnh, môđun nội xạ, ta tiến hành

nghiên cứu:

- Số chiều FP- xạ ảnh của các môđun dưới những thay đổi của các vành. Cho R

và S là những vành coherent phải và ϕ: R → S là toàn cấu vành thì với S là R-

môđun xạ ảnh phải và là R- môđun dẹt trái thì fpdR(M)= fpdS(M) với M là S-

môđun phải bất kỳ và do đó rfpD(S) ≤ rfpD(R).

- Cho R và S là những vành coherent phải và S là mở rộng tốt của R thì

fpdR(M)= fpdS(M) đối với bất kỳ S- môđun phải MS và rfpD(S) ≤ rfpD(R), dấu “ =

” xảy ra khi rfpD( R ) < ∞.

- Đối với một vành coherent phải R, rfpD(R) ≤ 2 và mọi R- môđun phải (FP- nội

xạ) có một bao FP- xạ ảnh khi và chỉ khi mọi R- môđun phải (FP- nội xạ) có một

bao FP- xạ ảnh với tính chất ánh xạ duy nhất.

- Cuối cùng, chúng ta sẽ xét những tiền phủ FP- xạ ảnh dưới mở rộng tốt của

những vành.

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Cho R là vành có đơn vị bất kỳ đồng thời là vành coherent phải, S là vành

coherent phải và là mở rộng tốt của R, M là R- môđun phải biểu diễn hữu hạn. Luận

văn sẽ trình bày một số lý thuyết về FP- nội xạ, C- tiền bao, C- bao,…, các kết quả về số chiều FP- xạ ảnh, một số mô tả về những bao FP- nội xạ, tiền phủ FP- xạ ảnh.

4. Nội dung luận văn

Luận văn gồm hai chương:

Chương 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ

Chương 2: MÔĐUN FP- XẠ ẢNH VÀ MÔĐUN FP- NỘI XẠ

5. Phương pháp nghiên cứu

Trên cơ sở các kiến thức đã biết về môđun, môđun xạ ảnh, môđun nội xạ

cùng với việc nghiên cứu các tài liệu đặc biệt là các bài báo khoa học liên quan đến

môđun FP- xạ ảnh và môđun FP- nội xạ.

Chương 1

KIẾN THỨC CƠ SỞ

Chương này chủ yếu trình bày các kiến thức cơ bản cần thiết cho chương sau. Chứng minh

các kết quả trong chương này hầu như bỏ qua và có thể tìm thấy trong tài liệu tham khảo.

Trong toàn bộ luận văn ta luôn xét R là vành bất kỳ có đơn vị 1.

1.1 Môđun, môđun tự do và đồng cấu môđun

Định nghĩa 1.1.1. Nhóm cộng aben (M, +) được gọi là môđun trái trên vành R (R-

môđun trái), ký hiệu là RM, nếu trên M ta đã xác định được một tác động trái từ R,

rm=

thỏa mãn: × → mà μ(r, m) tức có ánh xạ μ : R M M

 M1: 1m = m

 M2: (rs)m = r(sm)

 M3: r(m + n) = rm + rn

 M4: (r + s)m = rm + sm

với mọi r,s R∈ và với mọi m, n M∈ .

Định nghĩa 1.1.2. Nhóm cộng aben (M, +) được gọi là môđun phải trên vành R (R-

môđun phải), ký hiệu là MR, nếu trên M ta đã xác định được một tác động phải từ R,

thỏa mãn: × → mà φ(m, r) mr= tức có ánh xạ φ : M R M

 M1: m1 = m

 M2: m(rs) = (mr)s

 M3: (m + n)r = mr + nr  M4: m(r + s) =mr + ms

với mọi r,s R∈ và với mọi m, n M∈ .

Định nghĩa 1.1.3. Cho R và S là các vành, nhóm cộng aben M được gọi là S- R-

song môđun, ký hiệu là SMR, nếu M là một S- môđun trái và là một R- môđun phải

và các cấu trúc này là tương thích, tức là (sm)r = s(mr) với mọi s ∈ S, r ∈ R, m ∈

Từ đây, nếu không cần nhấn mạnh môđun trái hay môđun phải trên R ta chỉ cần nói

ngắn gọn là R- môđun.

Định nghĩa 1.1.4. Cho M là một R – môđun, tập A ≠ ∅ trong M được gọi là bộ

phận ổn định của M nếu: A + A ⊂ A và RA ⊂ A

trong đó A + A = {a + ba, b ∈ A}

RA= {ra r ∈ R, a ∈ A}

Nếu A là bộ phận ổn định của M thì các phép toán trên M khi giới hạn lại chỉ trên

các phần tử của A, cảm sinh nên các phép toán trên A.

Định lý 1.1.5 ([1], định lý 1, trang 11). Mỗi bộ phận ổn định A của môđun M, cùng

với phép toán cảm sinh lập thành một R- môđun.

Định nghĩa 1.1.6. A được gọi là môđun con của M, ký hiệu A  M khi và chỉ khi

với mọi x, y ∈ A thì x + y ∈ A và với mọi r ∈ R, với mọi x ∈ A thì rx ∈ A.

Định lý 1.1.7 ([1], định lý 3, trang 12). Cho M là R- môđun, giao của họ khác rỗng

các môđun con của M là một môđun con của M.

Định nghĩa 1.1.8.

 Cho M là R- môđun, S ⊂ M, môđun con sinh bởi tập S, ký hiệu 〈S〉 là giao của họ

tất cả các môđun con của M và chứa S.

 Một tổ hợp tuyến tính của S là một tổng hữu hạn dạng r1m1 + r2m2 +…+ rnmn

trong đó r1, r2, …, rn ∈ R; m1, m2,…, mn ∈ S.

 Cho M là R- môđun trái, A  M. Tập thương M/A = {m + A: m ∈ M} muốn trở

thành R- môđun thì ta xác định trên M/A phép nhân ngoài từ R như sau: với mọi r ∈

R, mọi m + A ∈ M/A thì r(m + A) = rm + A. Phép nhân ngoài này thỏa các tiên đề

từ M1 đến M4.

Do đó, tập thương M/A đã xác định được cấu trúc R- môđun trái. Ta gọi M/A là

môđun thương của môđun M theo môđun con A.

Định nghĩa 1.1.9.

 Cho môđun M trên vành R. Tập S ⊂ M được gọi là hệ sinh của M nếu 〈S〉 = M tức

là với bất kỳ phần tử m ∈ M thì m = r1s1 + r2s2 +…+ rnsn với r1, r2, …, rn ∈ R; s1,

s2,…, sn ∈ S.

 Tập S ⊂ M được gọi là độc lập tuyến tính nếu từ r1s1 + r2s2 +…+ rnsn = 0 thì r1 =

r2 = … = rn = 0.

 Tập S ⊂ M không độc lập tuyến tính thì được gọi là phụ thuộc tuyến tính.

 Tập S ⊂ M được gọi là cơ sở của M nếu S vừa là hệ sinh vừa độc lập tuyến tính.

 Môđun M khác môđun không có cơ sở được gọi là môđun tự do.

Định nghĩa 1.1.10.

 Cho M, N là các R- môđun. Ánh xạ f: M → N được gọi là R- đồng cấu nếu với

mọi m, m1, m2 ∈ M và với mọi r ∈ R thì:

f (m1 + m2) = f(m1) + f(m2)

f(rm) = rf(m)

 Đồng cấu f được gọi là đơn cấu (toàn cấu) nếu f đồng thời là đơn ánh (toàn ánh).

 Đồng cấu f được gọi là đẳng cấu nếu f vừa là đơn cấu vừa là toàn cấu.

1.2 Tổng trực tiếp trong

Định lý 1.2.1 ([1], định lý 2, trang 24). Cho A, B là các môđun con của môđun M

trên vành R thỏa các tính chất:

(i) A ∩ B = 0

(ii) A + B = M

Khi đó ta có đẳng cấu M ≅ A ⊕ B

Thay cho dấu “≅ ” ta có thể viết dấu “ = ”, tức M = A ⊕ B. Khi đó ta nói M là tổng

trực tiếp trong của hai môđun con A, B của M.

Định nghĩa 1.2.2. Môđun con A của M được gọi là hạng tử trực tiếp của M nếu có

môđun con B của M sao cho M = A ⊕ B. Khi đó, môđun B được gọi là hạng tử bù

trực tiếp của môđun con A.

1.3 Dãy khớp

Định nghĩa 1.3.1.

g ⋅⋅⋅ → → → → ⋅⋅⋅ được gọi

 Dãy các đồng cấu (hữu hạn hoặc vô hạn)

là khớp tại môđun B nếu Im(f)= Ker(g).

 Một môđun trong dãy các đồng cấu được gọi là môđun trung gian nếu tại đó vừa

có đồng cấu vào vừa có đồng cấu ra.

 Dãy các đồng cấu được gọi là dãy khớp nếu nó khớp tại mỗi môđun trung gian.

→ → → → 0

 Dãy khớp các đồng cấu được gọi là dãy khớp ngắn nếu dãy đó có dạng:

thì χ là đơn cấu, σ là toàn cấu, Im(χ) = Ker(σ).

⋅⋅⋅ → → → → ⋅⋅⋅ được gọi là chẻ ra tại

 Dãy khớp các đồng cấu

môđun B nếu Im(f) là một hạng tử trực tiếp của B, tức tồn tại môđun con B1 sao cho

B = Im(f) ⊕ B1.

 Một dãy khớp được gọi là chẻ, nếu nó chẻ tại mỗi môđun trung gian.

1.4 Hàm tử Hom

Định nghĩa 1.4.1.  Cho M, N là các R- môđun, tập hợp tất cả các đồng cấu từ môđun M đến môđun

N, ký hiệu là HomR(M, N) hay Hom(M, N). Trên Hom(M, N) ta định nghĩa phép

cộng như sau:

Với cặp đồng cấu bất kỳ f, g ∈ Hom(M, N), tổng (f + g) là ánh xạ từ M đến N xác

định bởi công thức: với mọi m ∈ M thì (f + g)(m) = f(m) + g(m).

Rõ ràng Hom(M, N) với phép cộng được xác định như trên lập thành một nhóm

cộng aben.

→ cho bởi

:Hom (R, M) M

(f )

f (1)

 Nếu M là một R- môđun thì ánh xạ là

một R- đẳng cấu môđun.

α → và M là môđun cố định. Các ánh xạ cảm sinh từ α là

:A B

∗α

 Cho đồng cấu

∗α được xác định theo các công thức sau:

→

∀ ∈

và

f Hom(M, A)

*α :Hom(M, A) Hom(M, B)

∀ ∈

→

. mà *α (f) = αf,

g Hom(B, M)

*α :Hom(B, M) Hom(A, M)

. mà *α (g) = gα,

Định nghĩa 1.4.2. Xét phạm trù các R- môđun trái, ký hiệu là Mod và môđun M ∈

Mod.

 Hàm tử Hom(M, _ ): Mod → Ab được cho như sau:

 Đặt mỗi vật A ∈ Mod tương ứng với nhóm Hom(M, A) ∈ Ab.

α → B

: A

→

∀ ∈

tương ứng với đồng cấu nhóm  Đặt mỗi R- đồng cấu

f Hom(M, A)

*α :Hom(M, A) Hom(M, B)

. theo quy tắc *α (f) = αf,

 Phản hàm tử Hom( _ ,M): Mod → Ab được cho như sau:

 Đặt mỗi vật A ∈ Mod tương ứng với nhóm Hom(A, M) ∈ Ab.

α → B

: A

∗

→

∀ ∈

tương ứng với đồng cấu nhóm  Đặt mỗi R- đồng cấu

α :Hom(B, M) Hom(A, M)

g Hom(B, M)

. theo quy tắc *α (g) = gα,

Như vậy, với mỗi môđun M, ta có thể xác định được một hàm tử Hom(M, _ ) và

một phản hàm tử Hom( _, M). Ta gọi chung các hàm tử và phản hàm tử đó là các

hàm tử Hom.

Định lý 1.4.3 ([1], định lý 1, trang 68). Với mỗi môđun M và với bất kỳ dãy khớp

→ → → → 0

ngắn

→

χ → *

σ → *

( Hom M A

)

( Hom M B

)

( Hom M C

)

→

* σ →

* χ →

( Hom C M

)

( Hom B M

)

( Hom A M

)

Các dãy sau đây là khớp:

Tức là các hàm tử Hom chỉ bảo toàn tính khớp trái của dãy khớp ngắn.

Định lý 1.4.4 ([1], định lý 2, trang 70). Với mỗi môđun M, nếu ta có dãy khớp

→ → → → 0

ngắn chẻ:

→

χ → ∗

σ → ∗

Hom M A ( )

Hom M B (

)

Hom M C (

)

∗ σ →

∗ χ →

→

Hom C M (

)

Hom B M (

)

Hom A M (

)

thì các dãy sau cũng là khớp và chẻ:

Tức là các hàm tử Hom bảo toàn tính khớp và chẻ của các dãy khớp ngắn và chẻ.

1.5 Môđun xạ ảnh, môđun nội xạ

σ : B

C→ , mỗi đồng cấu f : P

C→ , tồn tại đồng cấu φ : P

B→ sao cho f σϕ= .

Định nghĩa 1.5.1. Môđun P được gọi là môđun xạ ảnh nếu với mọi toàn cấu

Hay: Môđun P là môđun xạ ảnh nếu hàm tử Hom(P, _ ) là hàm tử khớp.

0 A

→ → → → C 0 B

Như vậy, môđun P là môđun xạ ảnh khi và chỉ khi với bất kỳ dãy khớp ngắn:

→

χ → *

σ → *

0 Hom(P, A)

Hom(P, B)

Hom(P,C)

→ 0

dãy các nhóm aben sau là khớp:

Định lý 1.5.2 ([1], định lý 1, trang 73). Mỗi môđun tự do M đều là môđun xạ ảnh.

Định lý 1.5.3 ([1], định lý 3, trang 75). Đối với mỗi môđun P, ba phát biểu sau là

tương đương:

→ → → → là chẻ ra.

(i) P là môđun xạ ảnh.

(ii) Mỗi dãy khớp 0

→ → → → với P

(iii) P đẳng cấu với hạng tử trực tiếp của một môđun tự do.

Nhận xét. Với M là môđun bất kỳ, ta luôn có dãy khớp 0 N P M 0

là môđun xạ ảnh.

:B J

Định nghĩa 1.5.4. Môđun J được gọi là môđun nội xạ khi và chỉ khi với mỗi đơn

φ → sao cho f = φχ .

cấu χ :A B→ , mỗi đồng cấu f :A J→ , tồn tại đồng cấu

Hay: môđun J được gọi là môđun nội xạ nếu hàm tử Hom( _ , J) là hàm tử khớp.

→ → → → thành dãy khớp các nhóm aben sau:

Như vậy, J là môđun nội xạ khi và chỉ khi hàm tử Hom( _ , J) chuyển mỗi dãy khớp

0 A

C 0

→

* σ →

∗ χ →

0 Hom C, J

→ 0

(

)

( Hom B, J

)

( Hom A, J

)

ngắn

Định lý 1.5.5 (Định lý Baer) ([1], định lý 5, trang 77). J là R- môđun nội xạ khi và

chỉ khi với bất kỳ iđêan trái I của R và bất kỳ đồng cấu f: I → J, luôn luôn tồn tại

phần tử q ∈ J sao cho với mọi λ ∈ I, ta có f(λ) = λq.

Định lý 1.5.6 ([1], định lý 9, trang 82). Mỗi môđun M đều có thể nhúng vào một

môđun nội xạ N(M) nào đó, xem như là môđun con của N(M).

Định lý 1.5.7 ([1], định lý 10, trang 82). Với bất kỳ môđun J, ba phát biểu sau là

tương đương:

→ → → → là chẻ ra.

(i) J là môđun nội xạ.

(ii) Mọi dãy khớp 0

→ → → → với J

(iii) J đẳng cấu với hạng tử trực tiếp của môđun nội xạ nào đó.

N 0

Nhận xét. Với M là môđun bất kỳ, ta luôn có dãy khớp 0 M J

là môđun nội xạ.

1.6 Môđun hữu hạn sinh, môđun biểu diễn hữu hạn

Định nghĩa 1.6.1. Cho M là R- môđun phải, M được gọi là môđun hữu hạn sinh

nếu nó có tập sinh hữu hạn, tức là: tồn tại a1, a2,…, an ∈ M sao cho với mọi m ∈ M

thì tồn tại r1, r2,…,rn ∈ R để m = a1r1 + a2r2 + … + anrn

Ta gọi {a1, a2,…, an} là tập sinh của M.

Định nghĩa 1.6.2. Một R- môđun M được gọi là biểu diễn hữu hạn nếu tồn tại dãy

M 0

→ → → với m, n ∈  nào đó.

khớp m

Từ dãy khớp ta có M ≅ Rn/ Im[Rm → Rn]. Do đó M đẳng cấu với môđun thương của

môđun hữu hạn sinh.

Nhận xét.

→ → → → với F là môđun hữu hạn sinh tự do, K là môđun hữu

0 K

M 0

M là môđun biểu diễn hữu hạn nếu và chỉ nếu tồn tại dãy khớp ngắn

hạn sinh.

→ → → → L M N

0 . Khi đó:

Bổ đề 1.6.3 ([3], Lemma 2.1, page 50). Cho R là vành và dãy khớp các R- môđun

(i) Nếu L và N là những môđun biểu diễn hữu hạn thì M cũng là môđun biểu

diễn hữu hạn.

(ii) Nếu L là môđun hữu hạn sinh và M biểu diễn hữu hạn thì N cũng biểu diễn

hữu hạn.

Định nghĩa 1.6.4. Một vành R được gọi là vành coherent phải (trái) nếu mọi iđêan

phải (trái) hữu hạn sinh của R đều biểu diễn hữu hạn.

1.7 Hàm tử tenxơ

Định nghĩa 1.7.1. Cho MR và RN lần lượt là các R- môđun phải và R- môđun trái,

× → được gọi là ánh xạ song tuyến tính nếu

: M N G

G là nhóm aben. Ánh xạ

thỏa:

= ϕ

+ ϕ

(m m , n)

(m , n) 1

(m , n) 2

= ϕ

+ ϕ

(m, n 1

n ) 2

(m, n ) 1

(m, n ) 2

(i) ϕ là song cộng tính, tức là:

với mọi m, m1, m2 ∈ M; n, n1, n2 ∈ N.

= ϕ

(mr, n)

(m, rn)

(ii) φ là kết hợp trong đối với phép nhân ngoài trên M và N, tức là:

với mọi r ∈ R và mọi m ∈ M, n ∈ N.

Định nghĩa 1.7.2. Cho MR và RN lần lượt là các R- môđun phải và R- môđun trái.

× → ⊗ có tính chất phổ dụng đối với bất kỳ ánh xạ

Tích tenxơ của các môđun M và N, ký hiệu là M ⊗ N là các nhóm aben sao cho ánh

: M N M N

xạ song tuyến tính

⊗ → thỏa mãn

fϕ = τ .

ϕ song tuyến tính × → , tức là với mỗi ánh xạ song tuyến tính ϕ đó, tồn tại : M N G

∃!f

và duy nhất đồng cấu f : M N G τ M × N M ⊗ N

Định lý 1.7.3 ([1], định lý 1, trang 86). Cho MR và RN lần lượt là các R- môđun

phải và R- môđun trái. Khi đó tích tenxơ M ⊗ N là tồn tại và duy nhất sai khác

nhau một đẳng cấu.

→ là đồng cấu R- môđun phải và

: M

' R

g : N R

' N→ R

Định nghĩa 1.7.4. Cho

là đồng cấu R- môđun trái. Xét biểu đồ sau:

ϕ M × N M′ × N′

τ τ′

h M ⊗ N M′ ⊗ N′

trong đó τ, τ′ là các ánh xạ tenxơ, ánh xạ ϕ: M × N → M′ × N′ được cho bởi công

thức ϕ(m, n) = (f(m), g(n)), với mọi (m, n) ∈ M × N.

Khi đó τ′ϕ là ánh xạ song tuyến tính. Từ đó sử dụng tính chất phổ dụng của ánh xạ

tenxơ τ, tồn tại và duy nhất đồng cấu h: M ⊗ N → M′ ⊗ N′ thỏa điều kiện hτ = τ′ϕ.

Đồng cấu h được gọi là tích tenxơ của hai đồng cấu f và g, ký hiệu là h = f ⊗ g.

Định lý 1.7.5 ([1], định lý 3, trang 96). Cho f: MR → M′R và g: RN → RN′ là các

toàn cấu R- môđun phải và R- môđun trái. Khi đó, tích tenxơ f ⊗ g: M ⊗ N → M’ ⊗

N’ là toàn cấu nhóm, đồng thời hạt nhân Ker(f ⊗ g) là nhóm con của M ⊗ N được

sinh bởi các phần tử m ⊗ n trong đó hoặc m ∈ Ker(f) hoặc n∈ Ker(g).

A _ : Mod

→ Ab

Định nghĩa 1.7.6.

 Với mỗi R- môđun phải A, ta xây dựng một hàm tử 1 τ = ⊗ A

như sau:

 Đặt mỗi vật M ∈ R Mod tương ứng với nhóm (A ⊗ M) ∈ Ab.

α → : M N

⊗ α ⊗ → ⊗ : A M A N

_ B : Mod

→ như Ab

 Đặt mỗi đồng cấu tương ứng với đồng cấu nhóm

 Với mỗi R- môđun trái B, ta xây dựng một hàm tử 2 τ = ⊗ B

RMod tương ứng với nhóm (M ⊗ B) ∈ Ab.

 Đặt mỗi vật M ∈

α → : M N

α ⊗

⊗ → ⊗

B1 : M B N B

 Đặt mỗi đồng cấu tương ứng với đồng cấu nhóm

Định lý 1.7.7 ([1], định lý 4, trang 100). Các hàm tử (A ⊗ _ ) và (_ ⊗ B) là các

hàm tử khớp về bên phải. Tức là:

→ → → → thì các dãy sau là khớp:

⊗

1 A

A M

' ⊗ → ⊗ → ⊗ → 0

A M

⊗ 1 B

M B

⊗ → ⊗ → ⊗ → 0

'' M B

' M B

Nếu ta có dãy khớp ngắn

Định lý 1.7.8 ([1], định lý 5, trang 101). Các hàm tử tenxơ (A ⊗ _ ) và (_ ⊗ B) bảo

toàn tính khớp và chẻ của các dãy khớp ngắn và chẻ.

Định nghĩa 1.7.9.

 Cho M là R- môđun phải, M được gọi là môđun dẹt phải nếu hàm tử (M ⊗ _ ) là

→ → → → thì dãy sau là khớp:

0 A

⊗σ

⊗χ

1 M

0 M A

→ ⊗ → ⊗ → ⊗ → 0 M B

M C

hàm tử khớp. Tức là: nếu có dãy khớp các R- môđun trái

 Cho M là R- môđun trái, M được gọi là môđun dẹt trái nếu hàm tử ( _ ⊗ M) là

→ → → → thì dãy sau là khớp:

0 A

σ⊗ 1 M

χ⊗ 1 M

0 A M

→ ⊗ → ⊗ → ⊗ → C M 0 B M

hàm tử khớp. Tức là: nếu có dãy khớp các R- môđun phải

Tính chất 1.7.10.

 Với mọi R- môđun phải M ta có MR ⊗ R ≅ M.

 Với mọi R- môđun trái N ta có R ⊗ RN ≅ N.

1.8 Phức và đồng điều

⋅⋅⋅ → → → → ⋅⋅⋅ được gọi là dãy Z

Định nghĩa 1.8.1. Dãy các đồng cấu

nửa khớp nếu tại mỗi môđun trung gian của dãy, ảnh của đồng cấu vào được chứa

trong hạt nhân của đồng cấu ra. Tức là, một dãy các đồng cấu là nửa khớp nếu tích

của hai đồng cấu liên tiếp của dãy luôn luôn là đồng cấu 0.

Định nghĩa 1.8.2. Một phức các đồng cấu là một dãy nửa khớp đánh số theo tập tất

cả các số nguyên. Có hai loại phức: phức tiến và phức lùi.

 Một phức được gọi là phức tiến nếu chiều tăng của các chỉ số trong phức cùng

∂

−∂ n 1

⋅⋅⋅ →

→ ⋅⋅⋅

K :

→ → K

+ n 1

− n 1

chiều với các mũi tên đồng cấu trong phức. Phức tiến có dạng:

 Một phức được gọi là phức lùi nếu chiều tăng của các chỉ số trong phức ngược

∂

n 1

⋅⋅⋅ ←

← ⋅⋅⋅

X :

X+

← ← X n

+ n 1

− n 1

chiều với các mũi tên đồng cấu trong phức. Phức lùi có dạng:

Tuy nhiên, ta chỉ cần thực hiện một phép biến đổi về chỉ số thay n bởi (-n) ta có thể

chuyển một phức lùi thành một phức tiến và ngược lại.

∂

n 1

⋅⋅⋅ ←

← ⋅⋅⋅

Định nghĩa 1.8.3.

X :

X+

← ← X n

+ n 1

− n 1

⊂

∂

∂ ∂

= nên ta có

Xét phức

Ker

(

)

(

)

+∂ n 1

∂

. Ta có môđun thương Với mọi n ∈  , vì n n 1 +

) H X Ker

(

)

( / Im + n 1

(

)

nH X được gọi là môđun đồng điều thứ n của phức X.

Môđun thương

Định nghĩa 1.8.4.

 Phức X = {Xn, ∂n} được gọi là phức dương nếu Xn = 0 khi n < 0.

 Phức X = {Xn, ∂n} được gọi là phức âm nếu Xn = 0 khi n > 0.

∂

−

− + n 1

⋅⋅⋅ ←

← ⋅⋅⋅

X :

− − n 1

← ← − n

− + n 1

Giả sử ta có phức âm với chỉ số thường dùng

được viết lại thành phức chỉ số trên theo phép đổi biến (-n) thay bởi n. Khi đó, X- n được viết Xn, ∂-n: X- n → X- n -1 được viết là δn: Xn → Xn+1. Lúc này phức âm được

− n 1

nδ

− n 1

+ n 1

→ → → ⋅⋅⋅ →

→ ⋅⋅⋅

X : 0 X

→ → X

1 X

chuyển thành phức dương theo chỉ số trên như sau:

Môđun đồng điều của phức theo chỉ số trên X = {Xn, δn} được xác định theo công

thức Hn (X) = Ker(δn) / Im(δn-1)

 Cho phức X = {Xn, ∂n} các R- môđun và G là một R- môđun. Tác động hàm tử

phản biến Hom( _ , G) lên phức X ta thu được phức chỉ số trên, gồm các nhóm

⋅⋅⋅ →

−δ n 1 →

n δ →

→ ⋅⋅⋅ trong đó

Hom(X ,G)

− n 1

+ n 1

→

aben:

δ : Hom(X ,G)

Hom(X ,G)

n+1

+ n 1

∂

∂ f

( ) f

( ) = − 1

( ) f

( ) = − 1

∗ + n 1

+ n 1

được xác định bởi công thức: đồng cấu

Phức thu được theo cách trên ký hiệu là Hom(X, G) và các nhóm Hom(Xn, G) có thể được viết là Homn(X, G).

 Đồng điều của phức Hom(X, G) được gọi là đối đồng điều của phức X với hệ số

trong G. Đó là các nhóm aben được đánh số theo chỉ số trên: Hn(X, G) = Hn(Hom(X,G)) = Ker(δn) / Im(δn-1)

1.9 Phép giải và tích mở rộng

Định nghĩa 1.9.1.

 Cho M là một R- môđun phải, ta gọi phép giải của M là một dãy khớp các R-

∂

o∂

∂ 1

X :

→ ⋅⋅⋅ → → → → M 0 X

⋅⋅⋅ → → n

n-1

X 1

môđun và các đồng cấu:

 Nếu Xn là môđun tự do (tương ứng môđun xạ ảnh) trên R với mọi n ≥ 0 thì phép

giải ở trên được gọi là phép giải tự do (tương ứng phép giải xạ ảnh) của môđun M.

Định lý 1.9.2 ([1], định lý 1, trang 147). Mọi môđun M trên R đều có một phép

giải tự do.

∂

+ n 1

⋅⋅⋅ →

∂ → → ⋅⋅⋅ → → → là phép giải xạ ảnh

X :

M 0

+ n 1

n-1

Định nghĩa 1.9.3. Cho M và N là các R- môđun trái và

∂

+∂ n 1

⋅⋅⋅ →

X :

→ → X

→ ⋅⋅⋅ → → 0 X

n+1

n-1

của M. Phức thu gọn tương ứng với X là

→ ⋅⋅⋅ →

0 δ →

n δ →

→ Hom(X, N) : 0 Hom(X , N)

Hom(X , N)

→

→ ⋅⋅⋅

Hom(X , N)

n+1

Xét dãy nửa khớp:

Trong đó các đồng cấu δn-1 = Hom(∂n, i), với i là tự đồng cấu đồng nhất của môđun

) nH Hom(X, N) được gọi là

(

N. Với mỗi số nguyên dương n, nhóm đối đồng điều

(

)

( nExt M, N .

)

RExt M, N hay

n-1

tích mở rộng n – chiều trên R của các môđun M và N đã cho. Ký hiệu là

)

(

)

(

)

(

Ta có

( Ext M, N H Hom(X, N) H X, N Ker δ

)

( / Im δ

)

≅

 Khi n = 1, ta dùng ký hiệu

( Hom M, N

)

(

)

( ( ( Ext M, N H Hom(X, N) Ker δ

Ext M, N và gọi là tích mở rộng của môđun M và N. )

→ → → → là chẻ khi và chỉ khi Ext(P, M) =

 Khi n = 0 thì

Nhận xét. Dãy khớp ngắn 0 M N

∀

Định lý 1.9.4 ([1], định lý 1, 2, trang 163).

nExt P,N = 0,

n > 0

)

(

và mọi R-  Nếu R- môđun trái (phải) P là xạ ảnh thì

∀

môđun trái (phải) N.

nExt M,J = 0,

n > 0

(

)

và với mọi R-  Nếu R- môđun trái (phải) J là nội xạ thì

môđun trái (phải) M.

1.10 Bao, phủ và lý thuyết đối xoắn

) F,C = 0,

(

C∀ ∈ C,

⊥C

(

)

C∀ ∈ C.

RExt C,G = 0, Khi đó ⊥C và ⊥C được gọi là những lớp trực giao của C.

⊥

⊂C

các R- môđun G sao là Định nghĩa 1.10.1.  Cho C là lớp các R- môđun nào đó. Ta gọi ⊥C là lớp các R- môđun F sao cho 1 cho lớp RExt

(

) C và

( ⊥⊂C

)⊥ C .

 Nhận xét. Đối với mọi lớp C, ta có

Định nghĩa 1.10.2.  Cặp (F, C) của những lớp các R- môđun được gọi là lý thuyết đối xoắn nếu ⊥ =F C và ⊥ =C F.  Ví dụ. Nếu F là lớp các R- môđun xạ ảnh và C là lớp chứa tất cả các R- môđun thì (F, C) tạo thành một lý thuyết đối xoắn. Chứng minh.

⊥ = C

⊥ thì Ext(M, F) = 0, ∀M ∈ F, suy ra F ∈ C, suy ra F

⊥ ⊂ C

⊥.

(i) Chứng minh F Với F ∈ F Với C ∈ C suy ra Ext(F, C) = 0, ∀F ∈ F (do F là lớp các R- môđun xạ ảnh), suy

⊥ = C. Do đó F (ii) Chứng minh ⊥

C = F

C, suy ra F ⊂ ⊥

ra C ⊂ F

C suy ra Ext(M, B) = 0, ∀B ∈ C, suy ra M là môđun xạ ảnh hay M ∈

F, suy ra ⊥ Do đó ⊥

C ⊂ F. C = F.

Với F ∈ F suy ra Ext(F, C) = 0, ∀C ∈ C hay F ∈ ⊥ Với M ∈ ⊥

→ → → → với C ∈ C và F ∈ F .

Vậy (F, C) tạo thành một lý thuyết đối xoắn.

F M 0

→ → → → với C ∈ C và F ∈ F .

Định nghĩa 1.10.3.  Một lý thuyết đối xoắn (F, C) được gọi là có đủ đơn cấu nếu với mọi môđun M có dãy khớp 0 M C  Một lý thuyết đối xoắn (F, C) được gọi là có đủ toàn cấu nếu với mọi môđun M có dãy khớp 0

C→ sao cho f = gϕ .

g : C

C→

f : C M→ với C′ ∈ F, tồn tại đồng cấu ϕ → của M gọi là F - phủ nếu mỗi tự đồng cấu g : C : C M

Định nghĩa 1.10.4.  Cho R là vành và F là lớp các R- môđun. Với một R- môđun M, một đồng cấu ϕ → với C ∈ F được gọi là một F- tiền phủ của M nếu đối với bất kỳ đồng : C M cấu

thì g là đẳng cấu.  Một F – tiền phủ ϕ sao cho g = φ

 Đồng cấu

g : C

C→ sao cho f = gϕ .

đối với bất kỳ đồng cấu ϕ → được gọi là F - tiền phủ có tính chất ánh xạ duy nhất nếu : C M f : C M→ với C′ ∈ F, tồn tại duy nhất đồng cấu

 Một toàn cấu ϕ → với F ∈ F được gọi là một F- tiền phủ đặc biệt của M : F M

F M 0

→ → → → với F ∈ F và C ∈ F⊥ .

nếu Ker( )ϕ ∈ F⊥ .

Hay M được gọi là có F- tiền phủ đặc biệt nếu có một dãy khớp 0  Nếu F là lớp của những môđun xạ ảnh thì một F- phủ (tiền phủ) được gọi là phủ (tiền phủ) xạ ảnh.

F→ sao cho f = gφ .

g : F

Định nghĩa 1.10.6.  Cho R là vành và C là lớp các R- môđun. Với một R- môđun M, một đồng cấu φ → với F ∈ C được gọi là một C- tiền bao của M nếu đối với bất kỳ đồng : M F cấu

f : M F→ với F′ ∈ C, tồn tại đồng cấu φ → của M gọi là C- bao nếu mỗi tự đồng cấu g : F : M F

F→

 Một C- tiền bao sao cho gφ = φ thì g là đẳng cấu.

 Đồng cấu

g : F

f : M F→ với F′ ∈ C, tồn tại duy nhất đồng cấu

với bất kỳ đồng cấu φ → được gọi là C- tiền bao có tính chất ánh xạ duy nhất nếu đối : M F ' F→ sao

cho f = gφ .

: M C

α → với C ∈ C được gọi là một C- tiền bao đặc biệt của M

 Một đơn cấu

→ → → → với C ∈ C và F ∈ C⊥ .

nếu CoKer(α) ∈ C⊥ .

Hay M được gọi là có C- tiền bao đặc biệt nếu có một dãy khớp 0 M C  Nếu C là lớp của những môđun nội xạ thì một C- bao (tiền bao) được gọi là bao (tiền bao) nội xạ.

1.11 Cái kéo lại, cái đẩy đi

Định nghĩa 1.11.1. Trong phạm trù các môđun, cho hai đồng cấu f: B → A, g: C →

A, cái kéo lại (pullback) là bộ ba (D, α, β) thỏa gα = fβ và nếu có bộ ba (X, α’, β’)

thỏa gα’ = fβ’ thì tồn tại duy nhất θ: X → D sao cho biểu đồ sau giao hoán.

C X α’ g θ

β’

f α B A D C

g β

B A f

Định nghĩa 1.11.2. Trong phạm trù các môđun, cho hai đồng cấu f: A → B, g: A →

C, cái đẩy đi (pushout) là bộ ba (D, α, β) thỏa βg = αf và nếu có bộ ba (Y, α’, β’)

thỏa β’g = α’f thì tồn tại duy nhất θ: D → Y sao cho biểu đồ sau giao hoán. g A C g

A f C β f β’

B B α D θ

α’ Y

Chương 2

MÔĐUN FP- XẠ ẢNH VÀ MÔĐUN FP- NỘI XẠ

2.1 Khái niệm và các tính chất của môđun FP- xạ ảnh và môđun FP- nội xạ

Định nghĩa 2.1.1. Cho M là R- môđun phải.

)

(

RExt N, M 0= với mọi R- môđun phải

 M được gọi là môđun FP- nội xạ nếu

biểu diễn hữu hạn N.

)

(

RExt M, N 0= với mọi R- môđun phải

 M được gọi là môđun FP- xạ ảnh nếu

FP- nội xạ N.

Ví dụ. (1) J là R- môđun nội xạ thì J là R- môđun FP- nội xạ.

(2) P là R- môđun xạ ảnh thì P là R- môđun FP- xạ ảnh.

Ta ký hiệu FPR (FIR) là lớp của những R- môđun FP- xạ ảnh (FP- nội xạ). Như vậy, những FPR- tiền phủ (phủ) đặc biệt sẽ được gọi là những tiền phủ (phủ) FP- xạ ảnh đặc biệt. Tương tự, FIR- tiền bao (bao) đặc biệt sẽ được gọi là những tiền bao (bao) FP- nội xạ đặc biệt.

Hơn nữa:

→ → → → trong đó F ∈ FIR và L ∈ FPR. 0 M F

 Mọi R- môđun phải M có một tiền bao FP- nội xạ đặc biệt nếu có dãy khớp

F M 0

→ → → → trong đó F ∈ FPR và K ∈ FIR. 0 K

 Mọi R- môđun phải M có một tiền phủ FP- xạ ảnh đặc biệt nếu có dãy khớp

 Nếu α: M → F là một bao FP- nội xạ của M thì CoKer(α) là FP- xạ ảnh.

 Nếu β: F → M là một phủ FP- xạ ảnh của M thì Ker(β) là FP- nội xạ.

Định nghĩa 2.1.2. Một vành S được gọi là một mở rộng tốt của vành R nếu các điều

kiện sau được thỏa mãn:

(i) S là mở rộng chuẩn hóa hữu hạn của vành R, có nghĩa là: R và S có cùng đơn

vị và có những phần tử s1, s2, …, sn ∈ S sao cho S = Rs1 + Rs2 + …+ Rsn và Rsi =

siR, với mọi i = 1, 2,…, n.

(ii) RS là dẹt, SR là xạ ảnh.

(iii) S là R- projective phải, tức là: nếu MS là môđun con của NS và MR là hạng

tử trực tiếp của NR thì MS là hạng tử trực tiếp của NS.

Định nghĩa 2.1.3. Một vành S được gọi là mở rộng rất tốt của R nếu S là mở rộng

tốt của R và S xem như một R- môđun phải và trái tự do với cơ sở s1, s2, …, sn

trong đó s1 = 1R.

Bổ đề 2.1.4 ([8], Lemma 2.1, page 792). Cho S là mở rộng tốt của R và MS là S-

môđun phải. Khi đó:

(i) MS đẳng cấu với hạng tử trực tiếp của S- môđun phải M ⊗R S.

(ii) MS đẳng cấu với hạng tử trực tiếp của S- môđun phải HomR(S, M).

Bổ đề 2.1.5 ([4], Lemma 3.18, page 1165). Cho R và S là các vành. Giả sử SLR là

S- R- song môđun, LR là dẹt và SL là xạ ảnh hữu hạn sinh. Khi đó:

(i) Nếu M là R- môđun trái biểu diễn hữu hạn thì SL ⊗R M là một S- môđun trái

biểu diễn hữu hạn.

(ii) Nếu M là R- môđun trái FP- xạ ảnh thì SL ⊗R M là một S- môđun trái FP- xạ

ảnh.

Bổ đề 2.1.6 ([6], Exercise 9.21, page 258). Cho R và S là các vành, cho bộ ba các

⊗

≅

(

)

( N, M Ext N, Hom P, M

)

( n Ext P S

n R

môđun (RN, SPR, SM) trong đó P là R- xạ ảnh. Khi đó ta có đẳng cấu:

Định lý 2.1.7 ([6], Theorem 11.65, page 364).

 Nếu ϕ: R → S là đồng cấu vành với S là R- môđun phải dẹt, N là R- môđun trái,

⊗

≅

Ext

(

) N M Ext N M

(

)

n S

n R

M là S- môđun trái. Khi đó, ta có đẳng cấu:

 Nếu ϕ: R → S là đồng cấu vành với S là R- môđun trái dẹt, N là R- môđun phải,

M là S- môđun phải. Khi đó, ta có đẳng cấu:

⊗

≅

(

)

( n Ext N S

) n S M Ext N M R

Định lý 2.1.8 ([6], Theorem 11.66, page 365).

 Nếu ϕ: R → S là đồng cấu vành với S là R- môđun trái xạ ảnh, N là R- môđun

≅

Ext M Hom S N

(

)

) ( Ext M N

(

)

n S

n R

trái, M là S- môđun trái. Khi đó, ta có đẳng cấu:

 Nếu ϕ: R → S là đồng cấu vành với S là R- môđun phải xạ ảnh, N là R- môđun

≅

Ext M Hom S N

(

)

) ( Ext M N

(

)

n S

n R

phải, M là S- môđun phải. Khi đó, ta có đẳng cấu:

Bổ đề 2.1.9. Cho ϕ: R → S là một toàn cấu vành với SR là xạ ảnh, RS là dẹt và MS

là S- môđun phải.

(i) Nếu MS biểu diễn hữu hạn thì MR biểu diễn hữu hạn.

(ii) Nếu MS là FP- nội xạ thì MR là FP- nội xạ.

(iii) Nếu MS là FP- xạ ảnh thì MR là FP- xạ ảnh.

→ → → → của các

M 0

Chứng minh.

(i) Vì MS biểu diễn hữu hạn nên có dãy khớp 0 K

S- môđun phải, trong đó K là hữu hạn sinh và P là xạ ảnh hữu hạn sinh.

Vì ϕ: R → S là toàn cấu vành nên K cũng là R- môđun phải hữu hạn sinh và P là R-

môđun phải xạ ảnh hữu hạn sinh. Do đó M là R- môđun phải biểu diễn hữu hạn.

→ → → → trong đó K là

(ii) Giả sử MS là FP- nội xạ. Nếu N là một R- môđun phải biểu diễn hữu hạn thì có

N 0

dãy khớp các R- môđun phải có dạng 0 K

môđun hữu hạn sinh và P là môđun xạ ảnh hữu hạn sinh. Vì RS là dẹt nên có dãy

0 K

→ ⊗ → ⊗ → ⊗ → 0 R

khớp các S- môđun phải sau:

Theo Bổ đề 2.1.5 ta có K ⊗R S là S- môđun phải hữu hạn sinh, P ⊗R S là một S-

⊗

= . Do đó

môđun phải xạ ảnh hữu hạn sinh, suy ra N ⊗R S là S- môđun phải biểu diễn hữu

) S, M 0

(

( 1 Ext N S

) RExt N, M 0= (theo

hạn. Vì MS là FP- nội xạ nên

Định lý 2.1.7). Vậy MR là FP- nội xạ.

(iii) Giả sử MS là FP- xạ ảnh. Gọi NR là FP- nội xạ, cho LS là môđun biểu diễn hữu

(

) RExt L, N 0= . Mặt

⊗

≅

= . Suy

hạn. Khi đó, theo (i) thì LR là môđun biểu diễn hữu hạn nên

)

(

)

( 1 Ext L S

1 S, N Ext L, N 0 R

⊗

= . Theo chứng minh ở (i) thì L ⊗R S biểu diễn hữu hạn nên NS

) S, N 0

( 1 Ext L S

ra khác theo Định lý 2.1.7 thì

≅

là FP- nội xạ.

Ext M, Hom S, N

(

)

( Ext M, N

)

(

1 R

1 S

Mà theo Định lý 2.1.8 ta có đẳng cấu . Vì ϕ

≅

= . Do đó

Ext M, Hom S, N

Ext M, N 0

(

)

(

)

(

)

(

RExt M, N 0= . Vậy MR là FP-

1 S

là toàn cấu nên N). Suy ra ≅ HomR(S, NS

xạ ảnh.

Bổ đề 2.1.10. Cho S là mở rộng tốt của vành R và MS là một S- môđun phải. Khi

đó:

(i) MS biểu diễn hữu hạn khi và chỉ khi MR biểu diễn hữu hạn.

(ii) MS là FP- nội xạ khi và chỉ khi MR là FP- nội xạ khi và chỉ khi HomR(S, M)

là một S- môđun phải FP- nội xạ.

(iii) MS là FP- xạ ảnh khi và chỉ khi MR là FP- xạ ảnh khi và chỉ khi M ⊗R S là

S- môđun phải FP- xạ ảnh.

Chứng minh.

→ → → → trong đó K là hữu hạn sinh và P là xạ ảnh hữu hạn

0 K

M 0

(i) (⇒) Vì MS biểu diễn hữu hạn nên tồn tại dãy khớp ngắn các S- môđun phải

sinh.

Giả sử KS = a1S + a2S +…+ amS, mà S = s1R + s2R +…+ snR. Suy ra {aisj: 1 ≤ i ≤

m, 1 ≤ j ≤ n} là tập sinh của KR. Do đó KR là hữu hạn sinh, tương tự PR hữu hạn

sinh.

Mặt khác, PR là xạ ảnh vì PS và SR là xạ ảnh. Vậy MR biểu diễn hữu hạn.

→ → → → trong đó K hữu hạn sinh và P là xạ ảnh hữu hạn sinh.

0 K

M 0

(⇐) Nếu MR biểu diễn hữu hạn thì tồn tại dãy khớp ngắn các R- môđun phải

Vì RS là dẹt nên ta có dãy khớp các S- môđun phải:

0 K

M S

→ ⊗ → ⊗ → ⊗ → 0 S R

S⊗ là hữu hạn sinh và

S⊗ là xạ ảnh hữu hạn sinh, suy

Theo Bổ đề 2.1.5 thì

RM S⊗ biểu diễn hữu hạn. Theo Bổ đề 2.1.4 ta được MS đẳng cấu với hạng tử

RM S⊗ nên MS biểu diễn hữu hạn.

trực tiếp của

RS là dẹt nên theo Định lý 2.1.7 ta có đẳng cấu

≅

⊗

S, M

) Ext L, M Ext L

(

)

1 R

1 S

(ii)  Giả sử MS là FP- nội xạ. Cho L là một R- môđun phải biểu diễn hữu hạn. Vì

S⊗ là S- môđun phải biểu diễn hữu hạn nên

Theo chứng minh ở (i) thì

S, M⊗

)

(

)

( 1 Ext L S

RExt L, M = 0. Do đó MR là FP- nội xạ.

= 0, suy ra

 Giả sử MR là FP- nội xạ. Cho NS là S- môđun phải biểu diễn hữu hạn thì theo (i)

(

) RExt N, M = 0. Vì

⊗

≅

là R- môđun phải biểu diễn hữu hạn nên NR

S, M Ext N, M

S, M⊗

(

)

( 1 Ext N S

1 R

( 1 Ext N S

(

)

SExt N, M 0= . Suy ra MS là FP- nội xạ.

nên = 0. Do đó

≅

(

)

( S, M Ext N, Hom S, M

)

( 1 Ext N R

⊗ S

1 S

 Mặt khác, theo Bổ đề 2.1.6 ta có đẳng cấu:

Mà MS đẳng cấu với hạng tử trực tiếp của HomR(S, M) (theo Bổ đề 2.1.4 (ii)).

Vậy MS là FP- nội xạ khi và chỉ khi MR là FP- nội xạ khi và chỉ khi HomR(S, M) là

S- môđun phải FP- nội xạ.

(iii)  Giả sử M là một S- môđun phải FP- xạ ảnh. Cho N là một R- môđun phải FP-

Ext M, Hom S, N

0= .

(

)

(

)

1 S

≅

nội xạ. Theo (ii) thì HomR(S, N) là một S- môđun phải FP- nội xạ, suy ra

(

)

(

)

(

)

1 Ext M, N Ext M, Hom S, N S

1 R

(

)

RExt M, N 0= . Vậy M là một R- môđun phải FP- xạ ảnh.

. Do đó Mà theo Định lý 2.1.8 thì

 Giả sử M là một R- môđun phải FP- xạ ảnh. Cho N là một S- môđun phải FP- nội

xạ. Theo (ii) thì N là một R- môđun phải FP- nội xạ. Mà theo Định lý 2.1.7 thì

⊗

≅

= . Do đó

) Ext M S, N Ext M, N

(

)

(

)

1 R

1 S

⊗ Ext M S, N 0 R

1 S

RM S⊗

=0, suy ra

là một S- môđun phải FP- xạ ảnh. Mà MS đẳng cấu với hạng tử trực tiếp của RM S⊗ nên MS là một S- môđun FP- xạ ảnh.

Vậy MS là FP- xạ ảnh khi và chỉ khi MR là FP- xạ ảnh khi và chỉ khi M ⊗R S là S-

môđun phải FP- xạ ảnh.

2.2 Chiều FP- xạ ảnh và chiều FP- nội xạ

Định nghĩa 2.2.1. Cho M là R- môđun phải.

n+1

 Chiều FP- xạ ảnh của M, ký hiệu là fpdR(M) hay fpd(M) là số nguyên nhỏ nhất

(

)

RExt M, N 0= với bất kỳ R- môđun phải FP- nội xạ N.

n ≥ 0 sao cho

Nếu n không tồn tại thì fpdR (M) = ∞.

n+1

F, M 0= với tất cả R- môđun phải biểu diễn hữu hạn F.

(

)

RExt

 Chiều FP- nội xạ của M, ký hiệu là FP- id(M) là số nguyên nhỏ nhất n ≥ 0 sao cho

Nếu n không tồn tại thì FP- id(M) = ∞.

Nhận xét. (1) Nếu M là môđun FP- xạ ảnh thì fpd(M) = 0

(2) Nếu M là môđun FP- nội xạ thì FP- id(M) = 0

Định nghĩa 2.2.2.

 Chiều FP- xạ ảnh phải của R, ký hiệu là rfpD(R) được định nghĩa là:

rfpD(R) = sup{fpdR(M): M là một R- môđun phải hữu hạn sinh}.

 Chiều FP- nội xạ phải của R, ký hiệu là r.FP-dim(R) được định nghĩa là:

r.FP-dim(R) = sup{FP-id(M): M là R- môđun phải}.

Tính chất 2.2.3 ([4], proposition 3.1, page 1157). Cho R là vành coherent phải, M

là R- môđun phải bất kỳ và số nguyên n ≥ 0. Các phát biểu sau là tương đương:

n+1

M N = với bất kỳ R- môđun phải FP- nội xạ N.

(i) fpd(M) ≤ n.

(

)

RExt

n+ j

M N = với bất kỳ R- môđun phải FP- nội xạ N và j ≥ 1.

(ii)

(

)

RExt

M 0 trong

(iii)

P 1

P 0

P n-1

P n

(iv) Tồn tại dãy khớp → → → ⋅⋅⋅ → → → →

đó các Pi , i = 0,1,…,n là các FP- xạ ảnh.

Tính chất 2.2.4 ([Đối ngẫu của Tính chất 2.2.3]). Cho R là vành coherent phải,

M là R- môđun phải bất kỳ và số nguyên n ≥ 0. Các phát biểu sau là tương đương:

n+1

N M = với bất kỳ R- môđun phải biểu diễn hữu hạn N.

(i) FP - id(M) ≤ n.

(

)

RExt

n+ j

N M = với bất kỳ R- môđun phải biểu diễn hữu hạn N và j ≥ 1.

(ii)

(

)

RExt

→ → → → ⋅⋅⋅ → → → trong

(iii)

-1

J 1

(iv) Tồn tại dãy khớp

đó các Ji, i = 0,1,…,n là các FP- nội xạ.

→ → → → . Nếu hai trong số ba môđun A,

Tính chất 2.2.5 ([4], Proposition 3.2, page 1158). Cho R là vành coherent phải, và

dãy khớp các R- môđun phải 0 A

B, C có chiều FP- xạ ảnh là hữu hạn thì chiều FP- xạ ảnh của môđun còn lại cũng

hữu hạn. Hơn nữa:

(i) fpd(B) ≤ sup{fpd(A), fpd(C)}.

(ii) fpd(A) ≤ sup{fpd(B), fpd(C) - 1}.

(iii) fpd(C) ≤ sup{fpd(B), fpd(A) + 1}.

Tính chất 2.2.6. Cho R và S là những vành coherent phải. Nếu ϕ: R → S là một

toàn cấu vành với S là một R- môđun dẹt trái và S là một R- môđun phải xạ ảnh.

Khi đó:

(i) fpdS(M) = fpdR(M) với bất kỳ S- môđun phải MS.

(ii) rfpD(S) ≤ rfpD(R).

Chứng minh.

(i)  Chứng minh fpdS(M) ≤ fpdR(M)

Giả sử fpdR(M) = n < ∞, cho FS là một S- môđun phải FP- nội xạ, theo Bổ đề 2.1.9

≅

ta có FR cũng là một R- môđun phải FP- nội xạ. Mặt khác theo Định lý 2.1.8 ta có

= . Vì ϕ là toàn cấu nên

Ext M, Hom S, F

(

)

(

( n+1 Ext M, F R

n+1 S

≅

đẳng cấu

0= , do đó fpdS(M) ≤ n hay fpdS(M) ≤

(

)

F Hom S, F S

( n+1 SExt M, F

, suy ra

fpdR(M) (1)

 Chứng minh fpdR(M) ≤ fpdS(M)

Giả sử fpdS(M) = n < ∞, theo Tính chất 2.2.3 thì tồn tại dãy khớp các S- môđun

M 0

→ → → ⋅⋅⋅ → → → → P 1

P n-1

P n

P 0

phải sau:

trong đó các Pi , i = 0,1,…,n là các S- môđun phải FP- xạ ảnh. Theo Bổ đề 2.1.9

(iii) thì các Pi , i = 0,1,…,n cũng là các R- môđun phải FP- xạ ảnh. Do đó theo Tính

chất 2.2.3 thì fpdR(M) ≤ n hay fpdR(M) ≤ fpdS(M) (2)

Từ (1) và (2) suy ra fpdR(M) = fpdS(M).

(ii) Theo chứng minh ở câu (i) ta có fpdS(M) ≤ fpdR(M) ≤ rfpD(R). Vậy rfpD(S) ≤

rfpD(R).

Định lý 2.2.7. Cho R và S là vành coherent phải và S là mở rộng tốt của R. Khi đó,

với bất kỳ S- môđun phải MS thì fpdR(M) = fpdS(M) = fpdS(M ⊗R S).

Chứng minh.

 Chứng minh fpdR(M) ≤ fpdS(M)

Không mất tính tổng quát ta giả sử fpdS(M) = n < ∞. Khi đó, theo Tính chất 2.2.3

→ → → ⋅⋅⋅ → → → → trong đó các

M 0

P 1

P 0

P n-1

P n

thì tồn tại dãy khớp

Pi , i = 0,1,…,n là các S- môđun phải FP- xạ ảnh. Theo Bổ đề 2.1.10 (iii) mỗi Pi, i =

0,1,…,n cũng là các R- môđun phải FP- xạ ảnh nên fpdR(M) ≤ n hay fpdR(M) ≤

fpdS(M) (1).

 Chứng minh fpdS(M ⊗R S) ≤ fpdR(M)

M 0

→ → → ⋅⋅⋅ → → → → P 1

P n-1

P n

P 0

Nếu fpdR(M) = n < ∞ thì tồn tại dãy khớp của những R- môđun phải

trong đó các Pi , i = 0,1,…,n là các R- môđun phải FP- xạ ảnh. Vì RS là dẹt nên ta

→ ⊗ → ⊗ → ⋅⋅⋅ → ⊗ → ⊗ → ⊗ → 0

M S

P n-1

P n

P 0

P 1

có dãy khớp của những S- môđun phải sau:

mà theo Bổ đề 2.1.10 (iii) thì các Pi ⊗R S, i = 0,1,…,n là các S- môđun phải FP- xạ

ảnh. Suy ra fpdS(M ⊗R S) ≤ n hay fpdS(M ⊗R S) ≤ fpdR(M) (2)

 Mặt khác, vì MS là đẳng cấu với hạng tử trực tiếp của M ⊗R S nên

fpdS(M) ≤ fpdS(M ⊗R S) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra fpdR(M) = fpdS(M) = fpdS(M ⊗R S).

Định lý 2.2.8. Cho R và S là vành coherent phải và S là mở rộng tốt của R. Khi đó,

với bất kỳ S- môđun phải MS thì FP- idR(M) = FP- idS(M) = FP- idS(HomR(S, M)).

Chứng minh.

 Chứng minh FP- idR(M) ≤ FP- idS(M).

0 M

→ → →⋅⋅⋅ → → trong đó các Ji, i = 0,1,…,n là các S- môđun

Giả sử FP- idS(M) = n < ∞. Khi đó, theo Tính chất 2.2.4 thì tồn tại dãy khớp

phải FP- nội xạ. Theo Bổ đề 2.1.10 (ii) mỗi Ji, i = 0,1,…,n cũng là các R- môđun

phải FP- nội xạ nên FP- idR(M) ≤ n hay FP- idR(M) ≤ FP- idS(M). (1)

 Chứng minh FP- idS(HomR(S, M)) ≤ FP- idR(M).

0 M

→ → →⋅⋅⋅ → → trong đó các Ji, i = 0,1,…,n là các R- môđun phải

Nếu FP- idR(M) = n < ∞ thì tồn tại dãy khớp của những R- môđun phải

→

→

→⋅⋅⋅ →

0 Hom S, M

→ 0

(

)

( Hom S, J R

FP- nội xạ. Vì SR là xạ ảnh nên ta có dãy khớp của những S- môđun phải sau:

mà theo Bổ đề 2.1.10 (ii) thì các HomR(S, Ji), i = 0,1,…,n là các S- môđun phải FP-

nội xạ. Suy ra FP- idS(HomR(S, M)) ≤ n hay FP- idS(HomR(S, M)) ≤ FP- idR(M)

(2)

 Mặt khác, MS đẳng cấu với hạng tử trực tiếp của HomR(S, M) nên FP- idS(M) ≤

FP- idS(HomR(S, M)). (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra FP- idR(M) = FP- idS(M) = FP- idS(HomR(S, M)).

Hệ quả 2.2.9. Cho R và S là những vành coherent phải. Khi đó:

(i) Nếu S là mở rộng tốt của R thì rfpD(S) ≤ rfpD(R).

(ii) Nếu S là mở rộng rất tốt của R thì rfpD(S) = rfpD(R).

Chứng minh.

(i) Theo chứng minh Định lý 2.2.7 ta có fpdS(M ⊗R S) ≤ fpdR(M) ≤ rfpD(R). Suy ra

rfpD(S) ≤ rfpD(R).

(ii) Ta chỉ cần chứng minh rfpD(R) ≤ rfpD(S)

Vì S là mở rộng rất tốt của R, R là hạng tử trực tiếp của R- song môđun S. Cho RSR

= R ⊕ T và MR là R- môđun phải bất kỳ, ta có M ⊗R S ≅ MR ⊕ (M ⊗R T). Do đó

theo Định lý 2.2.7, ta có fpdR(M) ≤ fpdR(M ⊗R S) = fpdS(M ⊗R S) ≤ rfpD(S) suy ra

rfpD(R) ≤ rfpD(S). Kết hợp với (i) ta được rfpD(S) = rfpD(R).

Định lý 2.2.10. Cho S là mở rộng tốt của R. Nếu R và S là những vành coherent

phải và rfpD(R) < ∞ thì rfpD(S) = rfpD(R).

Chứng minh.

 Theo Hệ quả 2.2.9 (i) ta đã có rfpD(S) ≤ rfpD(R).

 Ta cần chứng minh rfpD(R) ≤ rfpD(S)

Cho rfpD(R) = n < ∞, khi đó tồn tại một R- môđun phải M sao cho fpdR(M) = n.

Định nghĩa một R- đồng cấu phải α: M → M ⊗R S cho bởi α(m) = m ⊗ 1 với m ∈

Từ tính khớp của dãy 0 → Ker(α) → M và RS là dẹt nên cho ta tính khớp của dãy

0 → Ker(α) ⊗R S → M ⊗R S. Vì vậy Ker(α) ⊗R S = 0 suy ra Ker(α) = 0, do đó α

0 M

→ → ⊗ → → 0 M S R

là đơn cấu và khi đó ta có dãy khớp các R- môđun phải:

Theo Tính chất 2.2.5 (ii), ta có: n = fpdR(M) ≤ sup{fpdR(M ⊗R S), fpdR(L) -1} ≤

rfpD(R) = n do fpdR(L) - 1 ≤ n – 1, fpdR(M ⊗R S) = n

Mặt khác, theo Định lý 2.2.7 thì fpdR(M ⊗R S) = fpdS(M ⊗R S) ≤ rfpD(S). Suy ra

rfpD(R) ≤ rfpD(S). Vậy rfpD(R) = rfpD(S).

2.3 Bao và phủ

Định lý 2.3.1. Cho R là vành coherent phải, các phát biểu sau là tương đương:

(i) Mọi R- môđun phải (FP- nội xạ) có một bao FP- xạ ảnh với tính chất ánh xạ

duy nhất.

(ii) rfpD(R) ≤ 2 và mọi R- môđun phải (FP- nội xạ) có một bao FP- xạ ảnh.

Chứng minh.

(i) ⇒ (ii)  Cho M là R- môđun phải (FP- nội xạ). Khi đó, ta có các dãy khớp:

→ → → → M 0

F 0

→ → → → 0 F 1

F 2

M→ và

C→ là những tiền phủ FP- xạ ảnh đặc biệt, suy

α : F 0

1β : F

trong đó

φ=iβ

→ → → → → .

ra C và F2 là FP- nội xạ.

M 0

F 2

F 1

F 0

Do đó ta có dãy khớp

H→ là bao FP- xạ ảnh với tính chất ánh xạ duy nhất. Khi đó, tồn tại

θ : F 2

 Cho

δ : H

F→ sao cho ψ = δθ. Suy ra ϕδθ = ϕψ = 0 nên ϕδ = 0, suy ra

duy nhất

γ : H

F→ sao cho ψγ = δ, ta có biểu đồ

Im(δ) ⊆ Ker(ϕ) = Im(ψ). Vì vậy tồn tại

sau giao hoán:

δ γ θ

0 F2 F1 F0 M 0 ψ α ϕ

2F1 (vì ψ là đơn cấu), do đó F2 đẳng cấu với hạng

Ta có ψγθ = δθ = ψ, suy ra γθ =

tử trực tiếp của H, suy ra F2 là FP- xạ ảnh. Do đó, theo Tính chất 2.2.3 thì fpdR(M)

≤ 2. Vậy rfpD(R) ≤ 2.

(ii) ⇒ (i) Cho M là R- môđun phải (FP- nội xạ) bất kỳ. Theo (ii) thì M có một bao

FP- xạ ảnh f: M → F. Ta chỉ cần chứng minh với bất kỳ R- môđun phải FP- xạ ảnh

G và bất kỳ đồng cấu g: F → G sao cho gf = 0 thì suy ra được g = 0.

Thật vậy, tồn tại β: M → Ker (g) sao cho iβ = f vì Im(f) ⊆ Ker(g) với i: Ker(g) → F

là phép nhúng. Theo Tính chất 2.2.3 thì Ker(g) là FP- xạ ảnh vì fpdR(G/Im(g)) ≤ 2.

Do đó tồn tại α: F → Ker(g) sao cho β = αf. Khi đó ta có biểu đồ sau giao hoán và

khớp:

β f 0

0 Ker(g) F G G/Im(g) 0 π α i g Ta có (iα)f = i(αf) = iβ = f. Suy ra iα là đẳng cấu vì f là một bao, do đó i là toàn

cấu, hay i là đẳng cấu, suy ra g=0.

Tính chất 2.3.2 ([Đối ngẫu của Định lý 2.3.1]). Cho R là vành coherent phải, các

phát biểu sau là tương đương:

(i) Mọi R- môđun phải (FP- xạ ảnh) có một phủ FP- nội xạ với tính chất ánh xạ

duy nhất.

(ii) r.FP-dim(R) ≤ 2 và mọi R- môđun phải (FP- xạ ảnh) có một phủ FP- nội xạ.

Chứng minh.

0 M

→ → → → 0 F 0

→ → → → 0

F 2

F 1

(i) ⇒ (ii)  Cho M là R- môđun phải (FP- xạ ảnh). Khi đó, ta có các dãy khớp:

α : M

F→ và

β : C

F→ là những tiền bao FP- nội xạ đặc biệt, suy

trong đó

ra C và F2 là FP- xạ ảnh.

= φ βπ → → → → → 0

0 M

F 2

F 0

F 1

Do đó ta có dãy khớp

θ : H

F→ là phủ FP- nội xạ với tính chất ánh xạ duy nhất. Khi đó, tồn tại

 Cho

H→ sao cho ψ = θδ, suy ra θδϕ = ψϕ = 0 nên δϕ = 0, do đó

δ : F 1

duy nhất

H→ sao cho γψ = δ,

γ : F 2

Im(ϕ) ⊆ Ker(δ) hay Ker(ψ) ⊆ Ker(δ), vì vậy tồn tại

ta có biểu đồ sau giao hoán

δ θ γ

ψ α 0 M F0 F1 F2 0 ϕ=βπ

2F1 (do ψ là toàn cấu), do đó F2 đẳng cấu với hạng tử

Ta có θγψ = θδ = ψ nên θγ =

trực tiếp của H, suy ra F2 là FP- nội xạ. Theo Tính chất 2.2.4 thì FP-id(M) ≤ 2. Vậy

r.FP-dim(R) ≤ 2.

(ii) ⇒ (i) Cho M là R- môđun phải (FP- xạ ảnh) bất kỳ. Theo (ii) thì M có một phủ

M→ . Ta chỉ cần chứng minh với bất kỳ R- môđun phải FP- nội

FP- nội xạ f : F

F→ sao cho fg = 0 thì suy ra được g = 0.

→

xạ G và bất kỳ đồng cấu g : G

M→ sao cho βπ = f với π : F

F / Im(g)

là Thật vậy, tồn tại β : F / Im(g)

phép chiếu. Theo Tính chất 2.2.4 thì F/Im(g) là FP- nội xạ vì FP-id(Ker(g)) ≤ 2. Do

F→ sao cho β = fα. Khi đó ta có biểu đồ sau giao hoán và

đó tồn tại α : F / Im(g)

khớp:

i g 0 Ker(g) G F F/Im(g) 0 α π

f 0 β

Ta có f(απ) = (fα)π = βπ = f. Vì f là phủ nên απ là đẳng cấu, do đó π là đơn cấu,

hay π là đẳng cấu, suy ra g = 0.

Định lý 2.3.3. Cho R là vành coherent phải. Nếu M là R- môđun phải có một phủ

FP- xạ ảnh thì M có một tiền bao FP- nội xạ đặc biệt α: M → N sao cho N có phủ

FP- xạ ảnh.

Chứng minh.

→ → → → trong đó K là FP- nội xạ và Q là FP- xạ ảnh. Vì Q có

0 K

M 0

Cho θ: Q → M là phủ FP- xạ ảnh của M. Khi đó tồn tại dãy khớp

→ → → → ,

0 Q

tiền bao FP- nội xạ đặc biệt nên tồn tại dãy khớp:

trong đó D là FP- nội xạ và L là FP- xạ ảnh. Do đó ta có biểu đồ cái kéo lại sau:

` 0 0

θ 0 K Q M 0

f α

β 0 K D N 0

L L

0 0

Vì R là vành coherent phải nên N là FP- nội xạ vì K và D là FP- nội xạ, dòng là

khớp, suy ra α là tiền bao FP- nội xạ đặc biệt của M. Mặt khác, D là FP- xạ ảnh vì

Q và L là FP- xạ ảnh, do đó, β là tiền phủ FP- xạ ảnh đặc biệt của N.

Bây giờ, cho γ là tự đồng cấu của D với βγ = β. Khi đó β(γf) = (βγ)f = βf = αθ.

Theo tính chất cái kéo lại thì tồn tại h: Q → Q sao cho θh = θ và fh = γf. Do đó, h là

đẳng cấu vì θ là phủ FP- xạ ảnh. Cho γ(d) = 0 với d ∈ D thì β(d) = βγ(d) = 0, suy ra

d ∈ Kerβ = Imf nên tồn tại q ∈ Q để d = f(q), suy ra fh(q) = γf(q) = γ(d) = 0 hay q =

0 vì fh là đơn cấu nên d = 0, suy ra γ là đơn cấu. Mặt khác, với bất kỳ t ∈ D thì βγ(t)

= β(t) suy ra γ(t) – t ∈ Kerβ = Imf nên tồn tại s ∈ Q để γ(t) – t = f(s) suy ra t = γ(t) –

f(s) = γ(t – fh-1(s)) (vì f(s) = fhh-1(s) = γfh-1(s)), mà t – fh-1(s) ∈ D. Do đó γ là toàn

cấu, suy ra γ là đẳng cấu. Vậy β là phủ FP- xạ ảnh của N.

Định lý 2.3.4. Cho S là mở rộng tốt của vành R và θ: NS → MS là một S- toàn cấu.

Khi đó các phát biểu sau là tương đương:

(i) θ: NR → MR là tiền phủ FP- xạ ảnh đặc biệt của MR.

(ii) θ: NS → MS là tiền phủ FP- xạ ảnh đặc biệt của MS.

Hơn nữa, nếu S là mở rộng rất tốt của R thì những điều kiện trên tương đương với:

(iii) θ*: HomR(S, N) → HomR(S, M) là tiền phủ FP- xạ ảnh đặc biệt của

HomR(S,M).

(iv) θ ⊗ iS: N ⊗R S → M ⊗R S là tiền phủ FP- xạ ảnh đặc biệt của M ⊗R S.

Chứng minh.

(i) ⇒ (ii) Giả sử θ: NR → MR là tiền phủ FP- xạ ảnh đặc biệt của MR. Khi đó, tồn

→ → → → với K ∈ FIR và N ∈ 0 K M 0

∗

θ →

→

0 Hom S, K

→ 0

(

)

FPR. Vì SR là xạ ảnh nên có dãy khớp các S- môđun phải: ( → Hom S, M R

( Hom S, N R

tại dãy khớp các R- môđun phải

Ta có MS (NS) đẳng cấu với hạng tử trực tiếp của HomR(S, M) (HomR(S, N)). Do

đó, ta có biểu đồ sau giao hoán:

θ 0 LS NS MS 0

θ*

0 HomR(S, K) HomR(S, N) HomR(S, M) 0 trong đó LS = Ker(θ). Vì K ∈ FIR nên theo Bổ đề 2.1.10 (ii) ta có HomR(S, K) ∈ FIS. Mặt khác LS đẳng cấu với hạng tử trực tiếp của HomR(S, K), suy ra LS là FP- nội xạ. Hơn nữa, theo Bổ đề 2.1.10 (iii) thì NS là FP- xạ ảnh. Do đó θ: NS → MS là

tiền phủ FP- xạ ảnh đặc biệt của MS.

(ii) ⇒ (i) Giả sử θ:NS → MS là tiền phủ FP- xạ ảnh đặc biệt của MS. Khi đó, tồn tại

M 0

→ → → → với K ∈ FIS và N ∈ 0 K FPS. Theo Bổ đề 2.1.10 ta có K ∈ FIR và N ∈ FPR. Vậy θ: NR → MR là tiền phủ FP-xạ ảnh đặc biệt của MR.

dãy khớp các S- môđun phải

(i) ⇒ (iii) Theo cách chứng minh ở trên thì HomR(S, K) ∈ FIS. Vì NR là FP- xạ ảnh, SR và RS là hữu hạn sinh tự do nên HomR(S, N) ∈ FPR, theo Bổ đề 2.1.10 (iii) thì HomR(S, N) ∈ FPS suy ra θ*: HomR(S, N) → HomR(S, M) là tiền phủ FP- xạ ảnh đặc biệt của HomR(S,M).

(iii) ⇒ (ii) Giả sử θ*: HomR(S, N) → HomR(S, M) là tiền phủ FP- xạ ảnh đặc biệt

∗

θ →

0 Q

)

( Hom S, N R

( Hom S, M R

→ → S

→ với QS ∈ FIS và HomR(S, N) ∈ FPS. Vì NS đẳng cấu với hạng tử trực tiếp của HomR(S, N) ∈ FPS nên NS ∈ FPS, do đó ta được điều phải chứng minh. (i) ⇔ (iv) Giả sử θ: NR → MR là tiền phủ FP- xạ ảnh đặc biệt của MR. Khi đó, tồn

của HomR(S,M). Khi đó, tồn tại dãy khớp các S- môđun phải sau:

→ → → → với K ∈ FIR và N ∈ 0 K M 0

⊗ θ 1 S

FPR. Vì RS là dẹt nên ta có dãy khớp của các S- môđun phải: → ⊗ → ⊗ → ⊗ → 0 S

M S

0 K

⊗

tại dãy khớp các R- môđun phải

(

)

M S N R

, do đó, ta có Ta có MS (NS) đẳng cấu với hạng tử trực tiếp của

biểu đồ sau giao hoán:

θ 0 LS NS MS 0

θ ⊗ 1S 0 K ⊗R S N ⊗R S M ⊗R S 0

trong đó LS = Ker (θ). Vì θ: NR → MR là tiền phủ FP- xạ ảnh đặc biệt của MR nên

Ker(θ) là R- môđun FP- nội xạ. Theo Bổ đề 2.1.10 (ii) thì Ker(θ) là S- môđun FP-

nội xạ hay LS là FP- nội xạ. Mà LS đẳng cấu với hạng tử trực tiếp của K ⊗R S nên

K ⊗R S là FP- nội xạ. Hơn nữa, theo Bổ đề 2.1.10 (iii) thì N ⊗R S là FP- xạ ảnh. Do

đó θ ⊗ iS: N ⊗R S → M ⊗R S là tiền phủ FP- xạ ảnh đặc biệt của M ⊗R S.

Hệ quả 2.3.5. Cho S là mở rộng tốt của R và θ: NS → MS là S- toàn cấu. Khi đó, θ

là phủ FP- xạ ảnh của MS nếu θ là phủ FP- xạ ảnh của MR.

Chứng minh.

Nếu θ: MR → NR là phủ FP- xạ ảnh của MR. Giả sử θα = θ, trong đó α: N → N là

tự đồng cấu S- môđun của NS. Khi đó dấu “=” vẫn đúng khi α và θ được xem như

các R- đồng cấu. Do đó α là một R- đẳng cấu của NR vì θ là phủ FP- xạ ảnh của

MR. Do vậy α*: HomR(S, N) → HomR(S, N) là S- đẳng cấu vì SR là xạ ảnh. Mà ta

lại có NS đẳng cấu với hạng tử trực tiếp của HomR(S, N) nên ta được α là S- đẳng

cấu của NS. Vậy θ: MS → NS là phủ FP- xạ ảnh của MS.

Tính chất 2.3.6 (Đối ngẫu của Định lý 2.3.4 và Hệ quả 2.3.5). Cho S là mở rộng

tốt của R và θ: MS → NS là S- đơn cấu. Khi đó:

(i) θ: MR → NR là tiền bao FP- nội xạ đặc biệt của MR khi và chỉ khi θ: MS →

NS là tiền bao FP- nội xạ đặc biệt của MS.

(ii) θ: MS → NS là bao FP- nội xạ của MS nếu θ: MR → NR là bao FP- nội xạ

của MR.

Chứng minh.

(i) (⇒) Giả sử θ: MR → NR là tiền bao FP- nội xạ đặc biệt của MR. Khi đó, tồn tại

→ → → → trong đó N ∈ FIR và P 0 M 0

⊗ φ 1 S

⊗ θ 1 S

0 M S

dãy khớp các R- môđun phải

⊗

∈ FPR. Mặt khác, do RS là dẹt nên ta có dãy khớp các S- môđun phải: → ⊗ → ⊗ → ⊗ → 0 R

(

)

M S N R

, do đó, ta có Ta có MS (NS) đẳng cấu với hạng tử trực tiếp của

biểu đồ sau giao hoán:

0 MS NS LS 0 θ

θ ⊗ 1S

0 M ⊗R S N ⊗R S P ⊗R S 0 trong đó LS = CoKer (θ). Vì P ∈ FPR nên theo Bổ đề 2.1.10 (iii) ta có P ⊗R S ∈ FPS. Mặt khác, LS đẳng cấu với hạng tử trực tiếp của P ⊗R S, suy ra LS là FP- xạ

ảnh. Hơn nữa, theo Bổ đề 2.1.10 (ii) thì NS là FP- nội xạ. Do đó θ: MS → NS là tiền

bao FP- nội xạ đặc biệt của MS.

(⇐) Giả sử θ: MS → NS là tiền bao FP- nội xạ đặc biệt của MS. Khi đó, tồn tại dãy

→ → → → trong đó N ∈ FIS và P ∈ FPS 0 M

khớp các S- môđun phải sau:

Theo Bổ đề 2.1.10 thì N ∈ FIR và P ∈ FPR. Vậy θ: MR → NR là tiền bao FP- nội xạ đặc biệt của MR.

(ii) Nếu θ: MR → NR là bao FP- nội xạ của MR. Giả sử αθ = θ, trong đó α: N → N

là tự đồng cấu S- môđun của NS. Khi đó, dấu “=” vẫn đúng khi α và θ được xem là

→

α : Hom S, N

các R- đồng cấu. Do đó, α là một R- đẳng cấu của NR vì θ là bao FP- nội xạ của

(

)

∗

( Hom S, N R

MR. Do vậy là S- đẳng cấu vì SR là xạ ảnh.

Mà NS đẳng cấu với hạng tử trực tiếp của HomR(S, N) nên ta được α là S- đẳng cấu

của NS. Vậy θ: MS → NS là bao FP- nội xạ của MS.

KẾT LUẬN ĐỀ TÀI

Qua quá trình nghiên cứu, đề tài đã nhận được một số kết quả như sau:

- Số chiều FP- xạ ảnh của các môđun dưới những thay đổi của những vành. Cho R

và S là những vành coherent phải và ϕ: R → S là toàn cấu vành thì với S là R-

môđun xạ ảnh phải và là R- môđun dẹt trái thì fpdR(M)= fpdS(M) đối với M là S-

môđun phải bất kỳ và do đó rfpD(S) ≤ rfpD(R).

- Cho R và S là những vành coherent phải và S là mở rộng tốt của R thì fpdR(M)=

fpdS(M) đối với bất kỳ S- môđun phải MS và rfpD(S) ≤ rfpD(R), dấu “ = ” xảy ra

khi rfpD(R) < ∞.

- Đối với một vành coherent phải R, rfpD(R) ≤ 2 và mọi R- môđun phải (FP- nội

xạ) có một bao FP- xạ ảnh khi và chỉ khi mọi R- môđun phải (FP- nội xạ) có một

bao FP- xạ ảnh với tính chất ánh xạ duy nhất.

- Cuối cùng, chúng ta đã xét những tiền phủ FP- xạ ảnh dưới mở rộng tốt của những

vành.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tiếng Việt:

1. Nguyễn Viết Đông, Trần Huyên (2006), Đại số đồng điều, Nhà xuất bản Đại

học Quốc gia TP. Hồ Chí Minh.

Tiếng Anh:

E. E. Enochs and O. M. G. Jenda (2000), Relative Homological Algebra; 2.

Walter de Gruyter: Berlin – New York.

3. A. Madanshekaf (2008), Quasi – Exact Sequence and Finitely Presented

Modules, Iranian Journal of Mathematical Sciences and Informatics, Vol. 3, No. 2,

49 – 53.

(2005), FP- Projective Dimensions, 4. Lixin Mao, Nanqing Ding

Communications in Algebra, 33: 1153 – 1170.

5. Lixin Mao, Nanqing Ding (2005), Relative FP- Projective Modules,

Communications in Algebra, 33: 1587 – 1602.

6. J. J. Rotman (1979), An Introduction to Homological Algebra; Academic

Press; New York.

7. J. Trlifaj (2000), Covers, Envelopes, and Cotorsion Theories; Lecture notes

for the workshop, “Homological Methods in Modules Theory”, Cortona, September

10 – 16.

the FP- 8. Shang Wenliang (2010), Almost Excellent Extensions and

Homological Property, International Journal of Algebra, Vol. 4, no. 16, 791 – 798.

Luận văn Thạc sĩ Đại số: Môđun FP - xạ ảnh và Môđun FP - nội xạ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH -----o0o-----

HUỲNH NGỌC DIỄM

MÔĐUN FP- XẠ ẢNH VÀ MÔĐUN FP- NỘI XẠ

LUẬN VĂN THẠC SĨ ĐẠI SỐ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH -----o0o-----

HUỲNH NGỌC DIỄM

MÔĐUN FP- XẠ ẢNH VÀ MÔĐUN FP- NỘI XẠ

Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số Mã số: 60 46 05

LUẬN VĂN THẠC SĨ ĐẠI SỐ

LỜI CẢM ƠN

MỤC LỤC

BẢNG CÁC KÝ HIỆU VIẾT TẮT

MỞ ĐẦU

Chương 1

KIẾN THỨC CƠ SỞ

( Ext M, N H Hom(X, N) H X, N Ker δ

)

( / Im δ

)

(

) C và

( ⊥⊂C

)⊥ C .

Chương 2

MÔĐUN FP- XẠ ẢNH VÀ MÔĐUN FP- NỘI XẠ

KẾT LUẬN ĐỀ TÀI

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tài liệu liên quan

Tài liêu mới

AI tóm tắt

Giới thiệu tài liệu

Đối tượng sử dụng

Từ khoá chính

Nội dung tóm tắt

Hỗ trợ

Phương thức thanh toán

Theo dõi chúng tôi