Tóm tắt luận văn Thạc sĩ Đại số và Lý thuyết số: Về phức Koszul

Chia sẻ: Kethamoi2 Kethamoi2 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:19

Thêm vào BST

Báo xấu

34
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nội dung của luận văn trình bày đại số Tenxơ, đại số đối xứng, đại số ngoài; phức Koszul, cách xây dựng phức Koszul theo tích ngoài, cách xây dựng phức Koszul bằng cách lấy Tenxơ các phức; ứng dụng của phức Koszul, phức Koszul và dãy giải tự do của đại số đối xứng....

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tóm tắt luận văn Thạc sĩ Đại số và Lý thuyết số: Về phức Koszul

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN-CƠ-TIN HỌC NGUYỄN THỊ QUỲNH VỀ PHỨC KOSZUL TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số Giảng viên hướng dẫn: TS. Nguyễn Phụ Hoàng Lân HÀ NỘI- 2015
Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Các phức và đồng điều của phức 1.1.1 Các phức Định nghĩa 1.1. Một dãy các môđun và các đồng cấu ∂n+1 n ∂ M• : · · · → Mn+1 −−→ Mn −→ Mn−1 → . . . (1.1) được gọi là một phức nếu ∂n ∂n+1 = 0, ∀n ∈ Z. Tương tự, một dãy các môđun và các đồng cấu ∂ n−1 ∂n M • = · · · → M n−1 −−→ M n −→ M n+1 → . . . , (1.2) được gọi là một đối phức nếu ∂ n ∂ n−1 = 0, ∀n ∈ Z. Một phức được gọi là khớp ở vị trí thứ n nếu Ker ∂n = Im ∂n+1 . Một phức được gọi là khớp nếu nó khớp tại mọi vị trí. Lưu ý rằng, một phức (khớp) cũng có thể hữu hạn, đó là khi dãy (1.1) hữu hạn. Định nghĩa 1.2. Một dãy khớp với 5 môđun có dạng 0 00 0→M →M →M →0 được gọi là một dãy khớp ngắn. n ∂n+1 ∂ Nhận xét 1.3. Mọi dãy khớp dài · · · → Mn+1 −−→ Mn − → Mn−1 → . . . đều có thể phân tích thành các dãy khớp ngắn 0 −−→ ker ∂n −−→ Mn −−→ im ∂n −−→ 0 k 0 −−→ ker ∂n+1 −−→ Mn+1 −−→ im ∂n+1 −−→ 0 1
0 Định nghĩa 1.4. Một đồng cấu giữa hai phức M• và M• là một họ các 0 đồng cấu f• := {fn : Mn → Mn }n∈Z sao cho biểu đồ sau giao hoán ∂n+2 ∂n+1 ∂ ∂n−1 . . . −−→ Mn+1 −−→ Mn −−n→ Mn−1 −−→ . . .    f f f y n+1 yn y n−1 0 0 0 0 ∂n+2 0 ∂n+1 0 ∂n 0 ∂n−1 . . . −−→ Mn+1 −−→ Mn −−→ Mn−1 −−→ . . . 0 tức là fn−1 ◦ ∂n = ∂n ◦ fn , ∀n. 0 Ta kí hiệu f• : M• → M• . 1.1.2 Đồng điều của phức Định nghĩa 1.5. Môđun thương Hn (M• ) := ker ∂n /im ∂n+1 được gọi là môđun đồng điều thứ n của phức M• . Một cách tương tự, môđun thương H n (M • ) := ker ∂ n /im ∂ n−1 được gọi là môđun đối đồng điều thứ n của đối phức M • . 0 Mệnh đề 1.6. Cho một đồng cấu f• giữa hai phức M• và M• ∂n+1 ∂ . . . −−→ Mn+1 −−→ Mn −−n→ Mn−1 −−→ . . .    f f f y n+1 yn y n−1 0 0 0 ∂n+1 0 ∂n 0 . . . −−→ Mn+1 −−→ Mn −−→ Mn−1 −−→ . . . 0 Khi đó với mỗi n sẽ có một đồng cấu (f∗ )n : Hn (M• ) → Hn (M• ) được cảm sinh bởi fn như sau (f∗ )n ([m]) = [fn (m)] , ∀m ∈ ker ∂n . 0 00 0 Định nghĩa 1.7. Cho các phức M• , M• , M• và các đồng cấu f• : M• → M• , 00 g• : M• → M• . Nếu với mỗi n dãy 0 fn gn 00 0 → Mn − → Mn − → Mn → 0 là một dãy khớp ngắn, thì ta gọi dãy 0 f• g• 00 0 → M• − → M• − → M• → 0 0 00 là một dãy khớp ngắn của các phức M• , M• , M• . 2
Định lý 1.8. Cho một dãy khớp ngắn của các phức 0 f• g• 00 0 → M• −→ M• − → M• → 0 Dãy này sẽ cảm sinh ra một dãy khớp dài trên các đồng điều 0 (f∗ )n n (g∗ )n 00 δ 0 · · · → Hn (M• ) −−−→ Hn (M• ) −−→ Hn (M• ) − → Hn−1 (M• ) (f∗ )n−1 (g∗ )n−1 00 δn−1 0 −−−−→ Hn−1 (M• ) −−−−→ Hn−1 (M• ) −−→ Hn−2 (M• ) → . . . (1.3) 00 0 Các đồng cấu δn : Hn (M• ) → Hn−1 (M• ) được gọi là các đồng cấu nối. 1.1.3 Tích tenxơ của các phức Cho (C• , ∂• ) và (K• , λ• ) là hai phức. Ta có thể tạo ra tích tenxơ của hai phức (C• , ∂• ) và (K• , λ• ), kí hiệu C• ⊗R K• , theo cách sau: (C• ⊗R K• )n := P i Ci ⊗ Kn−i , và đồng cấu gn : (C• ⊗R K• )n → (C• ⊗R K• )n−1 được xác định trên từng thành phần Ci ⊗ Kn−i là ∂i ⊗ idKn−i + (−1)i idCi ⊗ λn−i . 1.2 Các dãy giải và các môđun mở rộng 1.2.1 Các dãy giải Định nghĩa 1.9. Một dãy giải của một môđun M là một phức ϕ2 ϕ1 M• : . . . → − M2 −→ M1 −→ M0 → − 0, (1.4) với Hi (M• ) = 0, ∀i > 0 và H0 (M• ) = M . Hơn nữa, nếu tồn tại n ≥ 0 sao cho Mn 6= 0 và Mk = 0, ∀k > n thì dãy giải được gọi là có độ dài bằng n. Nhận xét 1.10. Đôi khi, một dãy giải của M còn được viết dưới dạng ϕ2 ϕ1 ... → − M2 −→ M1 −→ M0 → − M → 0. Khi đó phức trên là một dãy khớp. Định nghĩa 1.11. Dãy giải (1.4) được gọi là một dãy giải xạ ảnh (tự do) của M nếu Mi là môđun xạ ảnh (tự do) với mọi i. Mệnh đề 1.12. Mọi môđun M đều có một dãy giải tự do. Định nghĩa 1.13. Một dãy giải nội xạ của môđun M là một phức các môđun nội xạ 0 → Q0 → Q1 → Q2 → . . . , 3
với H i (Q• ) = 0, ∀i > 0 và H 0 (Q• ) = M . Đôi khi, ta còn viết dãy giải nội xạ của M dưới dạng 0 → M → Q0 → Q1 → Q2 → . . . , khi đó phức trên là một dãy khớp. Mệnh đề 1.14. Mỗi môđun M đều có một dãy giải nội xạ. 1.2.2 Các môđun mở rộng Cho M, N là các môđun và P• là một dãy giải xạ ảnh của M · · · → P2 → P1 → P0 → 0. Tác động hàm tử HomR ( , N ) lên dãy giải trên, ta được phức đối đồng điều HomR (P• , N ) 0 → HomR (P0 , N ) → HomR (P1 , N ) → HomR (P2 , N ) → . . . (1.5) Định nghĩa 1.15. Ta định nghĩa ExtnR (M, N ) := H n (HomR (P• , N )). Mệnh đề 1.16. Ta có Ext0R (M, N ) ∼ = HomR (M, N ), ∀M, N . Nhận xét 1.17. Môđun ExtnR (M, N ) có thể được xây dựng theo cách khác như sau. Xuất phát từ một dãy giải nội xạ của N 0 → Q0 → Q1 → Q2 → . . . . Tác động hàm tử HomR (M, ) lên dãy giải đó ta được phức đối đồng điều HomR (M, Q• ) 0 → HomR (M, Q0 ) → HomR (M, Q1 ) → HomR (M, Q2 ) → . . . (1.6) Ta định nghĩa ExtnR (M, N ) := H n (HomR (M, Q• )). Người ta chứng minh được rằng, hai cách xây dựng môđun ExtnR (M, N ) như trên là tương đương. Định lý 1.18. Cho M là một môđun tùy ý, và một dãy khớp ngắn của các môđun: 0 → A → B → C → 0. Khi đó, ta có dãy khớp dài như sau δ 0 → HomR (M, A) → HomR (M, B) → HomR (M, C) − →0 Ext1R (M, A) δ → Ext1R (M, B) → Ext1R (M, C) − →1 Ext2R (M, A) → . . . 4
1.3 Đại số tenxơ, đại số đối xứng, đại số ngoài 1.3.1 Đại số tenxơ Cho M là một môđun. Với mỗi số nguyên dương k , ta đặt T k (M ) = M ⊗ M ⊗ · · · ⊗ M (k lần), và quy ước T 0 (M ) = R. Các phần tử của T k (M ) được gọi là các k -tenxơ trên M . ∞ M Đặt T (M ) := T k (M ) là tổng trực tiếp của các R-môđun. Mỗi phần k=0 tử của T (M ) là một tổ hợp tuyến tính hữu hạn của các k -tenxơ. Ta sẽ trang bị cho T (M ) một phép nhân để nó trở thành một R-đại số. Vì tích tenxơ có tính chất kết hợp, ta có các đẳng cấu tuyến tính tự nhiên sau µij : T i (M ) ⊗ T j (M ) → T i+j (M ). Các đẳng cấu trên cảm sinh một đẳng cấu chính tắc µ : T (M ) ⊗ T (M ) → T (M ). Đẳng cấu µ xác định một phép nhân trên T (M ) như sau T (M ) × T (M ) → T (M ) (α, β) 7→ µ(α ⊗ β). Ta có thể chứng minh được R-môđun T (M ) với phép nhân trên là một R-đại số. Định nghĩa 1.19. R-đại số T (M ) được gọi là đại số tenxơ của M . Đặc biệt, khi M là một môđun tự do thì ta có thể mô tả tường minh T (M ) như sau. Mệnh đề 1.20. Giả sử M là một môđun tự do với cơ sở β = (e1 , e2 , . . . , en ). Khi đó, T k (M ) như là một R-môđun có một cơ sở gồm các k -tenxơ dạng (ei1 ⊗ ei2 ⊗ · · · ⊗ eik : 1 ≤ i1 , i2 , . . . , ik ≤ n), 5
và T (M ) có một cơ sở dạng (ei1 ⊗ ei2 ⊗ · · · ⊗ eik : 0 ≤ k < ∞, 1 ≤ i1 , i2 , . . . , ik ≤ n). Do phép nhân trong T (M ) thỏa mãn T i (M )T j (M ) ⊆ T i+j (M ), nên T (M ) là một R-đại số phân bậc. Định lý 1.21. Cho M là một môđun và T (M ) là đại số tenxơ của nó. Nếu A là một R-đại số bất kỳ và ϕ : M → A là một đồng cấu R-môđun, thì
tồn tại duy nhất một đồng cấu R-đại số ψ : T (M ) → A sao cho ψ
M = ϕ. Giả sử f : M → N là một đồng cấu R-môđun. Khi đó, f cảm sinh một đồng cấu R-đại số T (f ) : T (M ) → T (N ). Đồng cấu này là tổng trực tiếp của các ánh xạ thành phần T 0 (f ) = idR và T k (f ) : T k (M ) → T k (N ), (0 < k < ∞), T k (f )(m1 ⊗ · · · ⊗ mk ) = f (m1 ) ⊗ · · · ⊗ f (mk ), ∀m1 , . . . , mk ∈ M. Mệnh đề 1.22. Cho hai dãy khớp các môđun 0 u v 00 E → −E → − E →0, 0 s t 00 F → −F → − F →0. 00 00 Khi đó đồng cấu v ⊗ t : E ⊗ F → E ⊗ F là một toàn cấu và hạt nhân của nó bằng Im(u ⊗ 1F ) + Im(1E ⊗ s) Mệnh đề 1.23. Cho M và N là các môđun. Nếu f : M → N là một toàn cấu thì đồng cấu T (f ) : T (M ) → T (N ) cũng là một toàn cấu và hạt nhân của nó là iđêan của T (M ) được sinh bởi P := ker f ⊂ M ⊂ T (M ). 1.3.2 Đại số đối xứng Ta gọi C(M ) là iđêan của T (M ) sinh bởi các phần tử có dạng m1 ⊗ m2 − m2 ⊗ m1 , ∀m1 , m2 ∈ M. 6
Định nghĩa 1.24. Đại số đối xứng của một môđun M , kí hiệu S(M ), là thương của đại số tenxơ T (M ) cho iđêan C(M ). Đại số tenxơ T (M ) được sinh bởi R = T 0 (M ) và M = T 1 (M ). Các phần tử của M giao hoán với nhau trong đại số thương S(M ). Do đó, đại số đối xứng S(M ) là một đại số giao hoán. Hơn nữa, do iđêan C(M ) sinh bởi các phần tử thuần nhất nên C(M ) là một iđêan phân bậc. Vậy S(M ) là một R-đại số giao hoán phân bậc với các thành phần thuần nhất bậc k của nó là S k (M ) = T k (M )/C(M )k . R-môđun S k (M ) được gọi là lũy thừa đối xứng cấp k của M . Để thuận tiện, ta kí hiệu M (k) := M × · · · × M (k lần). Định lý 1.25. Cho M là một môđun và S(M ) là đại số đối xứng của nó. (1) Lũy thừa đối xứng cấp k của M , S k (M ), bằng T k (M ) S k (M ) = , (m1 ⊗ m2 ⊗ · · · ⊗ mk − mσ(1) ⊗ mσ(2) ⊗ · · · ⊗ mσ(k) ) với ∀mi ∈ M và mọi phép hoán vị σ trong nhóm đối xứng Sk . (2) Nếu ϕ : M (k) → N là một ánh xạ đa tuyến tính đối xứng, thì tồn tại duy nhất một đồng cấu ψ : S k (M ) → N sao cho ϕ = ψ ◦ i, trong đó ánh xạ i : M (k) → S k (M ), (m1 , . . . , mk ) 7→ m1 ⊗· · ·⊗mk mod C(M ). (3) Nếu A là một R-đại số giao hoán và ϕ : M → A là một đồng cấu R-môđun, thì tồn tại duy nhất một đồng cấu R-đại số ψ : S(M ) → A
sao cho ψ
M = ϕ. Hệ quả 1.26. Cho M là một môđun tự do có hạng n. Khi đó S(M ) đẳng cấu (như một R-đại số phân bậc) với vành đa thức n biến trên R. Giả sử f : M → N là một đồng cấu R-môđun. Khi đó, f cảm sinh một đồng cấu R-đại số S(f ) : S(M ) → S(N ). Đồng cấu này là tổng trực tiếp của các ánh xạ thành phần S 0 (f ) = idR và S k (f ) : S k (M ) → S k (N ), (0 ≤ k < ∞), S k (f )(m1 . . . mk ) = f (m1 ) . . . f (mk ), ∀m1 , . . . , mk ∈ M. 7
Mệnh đề 1.27. Cho M, N là các môđun. Nếu f : M → N là một toàn cấu thì S(f ) : S(M ) → S(N ) cũng là một toàn cấu và hạt nhân của nó là một iđêan của S(M ) được sinh bởi P := ker f ⊂ M ⊂ S(M ). Hệ quả 1.28. Cho I = (x1 , . . . , xn ) là một iđêan của R và một toàn cấu f : Rn → I , ei 7→ xi . Khi đó, tồn tại một toàn cấu ψ : R[T1 , . . . , Tn ] → S(I) và hạt nhân của nó là iđêan thuần nhất N của R[T1 , . . . , Tn ] được Xn n X sinh bởi các đa thức bậc một ai Ti sao cho ai xi = 0. i=1 i=1 Hệ quả 1.29. Với giả thiết như trong Hệ quả 1.28. Khi đó ( n
n ) X
X N= fi Ti
f1 , . . . , fn ∈ R[T1 , . . . , Tn ] và fi xi = 0 . i=1 i=1 1.3.3 Đại số ngoài Gọi A(M ) là iđêan của T (M ) sinh bởi các phần tử có dạng m⊗ m, ∀m ∈ M . Định nghĩa 1.30. Đại số ngoài của một môđun M , kí hiệu ∧(M ), là thương của đại số tenxơ T (M ) cho iđêan A(M ). Ảnh của phần tử m1 ⊗· · ·⊗mk trong ∧(M ) được kí hiệu là m1 ∧· · ·∧mk . Tương tự như đại số đối xứng, do iđêan A(M ) sinh bởi các phần tử thuần nhất, nên ∧(M ) là một R-đại số phân bậc với các thành phần thuần nhất bậc k của nó là ∧k (M ) = T k (M )/A(M )k . R-môđun ∧k (M ) được gọi là lũy thừa ngoài bậc k của M . Định nghĩa 1.31. Phép nhân 0 0 0 0 (m1 ∧ · · · ∧ mk ) ∧ (m1 ∧ · · · ∧ mh ) = m1 ∧ · · · ∧ mk ∧ m1 ∧ · · · ∧ mh trong đại số ngoài được gọi là tích ngoài. Theo định nghĩa của ∧(M ), phép nhân trên có tính thay phiên, tức là tích m1 ∧ · · · ∧ mk = 0 trong ∧(M ) nếu tồn tại một cặp chỉ số (i, j), 0 1 ≤ i, j ≤ k nào đó mà mi = mj với i 6= j nào đó. Khi đó, ∀m, m ∈ M 8
ta có 0 0 0 = (m + m ) ∧ (m + m ) 0 0 0 0 = (m ∧ m) + (m ∧ m ) + (m ∧ m) + (m ∧ m ) 0 0 = (m ∧ m ) + (m ∧ m). Điều này chỉ ra rằng, phép nhân ∧ còn có tính phản đối xứng 0 0 0 m ∧ m = −m ∧ m, ∀ m, m ∈ M Áp dụng lặp lại đẳng thức trên nhiều lần ta có mσ(1) ∧ · · · ∧ mσ(k) = sgn(σ)m1 ∧ · · · ∧ mk , với mọi m1 , . . . , mk ∈ M, σ ∈ Sk . Định lý 1.32. Cho M là một môđun và ∧(M ) là đại số ngoài của nó. (1) Lũy thừa ngoài cấp k của M , ∧k (M ), bằng k T k (M ) ∧ (M ) = . (m1 ⊗ m2 ⊗ · · · ⊗ mk : mi = mj , với i 6= j) (2) Nếu ϕ : M (k) → N là một ánh xạ đa tuyến tính thay phiên, thì tồn tại duy nhất một đồng cấu ψ : ∧k (M ) → N sao cho ϕ = ψ ◦ i, trong đó ánh xạ i : M (k) → ∧k (M ), (m1 , . . . , mk ) 7→ m1 ∧ · · · ∧ mk . Hệ quả 1.33. Cho M là một môđun tự do với cơ sở β = (e1 , . . . , en ). Khi đó tập sau là cơ sở của ∧k (M ) (ei1 ∧ · · · ∧ eik , 1 ≤ i1 < · · · < ik ≤ n), n và ∧k (M ) = 0 khi k > n. Nói riêng, rankR ∧k (M ) = k . 9
Chương 2 Độ sâu Định nghĩa 2.1. Một dãy các phần tử α1 , α2 , . . . , αn ∈ R được gọi là một dãy chính quy trên môđun M (hoặc một M -dãy) nếu (i) (α1 , α2 , . . . , αn )M 6= M . (ii)Với i = 1, 2, . . . , n, thì αi không là ước của không trên M/(α1 , . . . , αi−1 )M (với i = 1, α1 không là ước của không trên M ). Khi đó n được gọi là độ dài của M -dãy α1 , α2 , . . . , αn . Nếu điều kiện (ii) được thỏa mãn, dãy α1 , α2 , . . . , αn được gọi là chính quy yếu (trên M ), hay M -dãy yếu. Mệnh đề 2.2. Những điều kiện sau là tương đương (i) x1 , . . . , xn là một M -dãy. (ii) x1 , . . . , xs là một M -dãy và xs+1 , . . . , xn là một M/(x1 , . . . , xs )M - dãy, ∀ 0 < s < n, s ∈ N∗ . Bổ đề 2.3. Nếu x1 , x2 là một M -dãy thì x2 , x1 là một M -dãy khi và chỉ khi x2 không là ước của không trên M . Điều này luôn đúng với vành Noether địa phương. Mệnh đề 2.4. Cho (R, m) là một vành Noether địa phương, M là một môđun hữu hạn sinh. Khi đó, mọi hoán vị của một M -dãy luôn là một M -dãy. Mệnh đề 2.5. Cho R là một vành Noether và M là một môđun bất kỳ. Khi đó mọi dãy chính quy trên M đều hữu hạn. 10
Định nghĩa 2.6. Một dãy chính quy cực đại trên môđun M là một M -dãy x1 , . . . , xn sao cho với mọi y ∈ R, dãy x1 , . . . , xn , y không là một M -dãy. Bổ đề 2.7. Cho một iđêan I của R, một môđun M và một M -dãy x1 , . . . , xk có độ dài k được chứa trong I . Đặt Ik = (x1 , . . . , xk ) và Mk = M/Ik M với k = 1, n (và M0 = M ). Khi đó Extk (R/I, M ) ∼ R = HomR (R/I, Mk ). Định lý 2.8. Cho R là một vành Noether, M là một môđun hữu hạn sinh, và một iđêan thực sự I ⊂ R sao cho IM 6= M , khi đó mọi dãy chính quy cực đại trên M mà được chứa trong I đều có độ dài bằng inf{i | ExtiR (R/I, M ) 6= 0}. Hệ quả 2.9. Cho R là một vành Noether và M là một môđun. Khi đó mọi M -dãy trong R đều có thể được bổ sung thành một M -dãy cực đại. Định nghĩa 2.10. Cho một môđun M và một iđêan thực sự I ⊂ R. Độ sâu của I trên M , kí hiệu depth(I, M ), được định nghĩa là độ dài cực đại của mọi M -dãy được chứa trong iđêan I . Nhận xét 2.11. Như vậy, theo Định lý 2.8, độ sâu của iđêan I trên môđun M trong vành Noether được tính như sau depth(I, M ) = inf{i | ExtiR (R/I, M ) 6= 0}. 11