Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học: Bước chuyển từ lượng giác trong tam giác sang lượng giác trong đường tròn trong dạy học Toán ở trường phổ thông

Chia sẻ: Lavie Lavie | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:78

Thêm vào BST

Báo xấu

107
lượt xem 12
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học: Bước chuyển từ lượng giác trong tam giác sang lượng giác trong đường tròn trong dạy học Toán ở trường phổ thông sơ lược quá trình hình thành và phát triển của kiến thức lượng giác qua các thời kỳ; mối quan hệ thể chế với lượng giác trong tam giác và lượng giác trong đường tròn trong dạy học Toán ở trường phổ thông.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học: Bước chuyển từ lượng giác trong tam giác sang lượng giác trong đường tròn trong dạy học Toán ở trường phổ thông

BOÄ GIAÙO DUÏC VAØ ÑAØO TAÏO TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC SÖ PHAÏM THAØNH PHOÁ HOÀ CHÍ MINH Buøi Thò Haïnh BÖÔÙC CHUYEÅN TÖØ LÖÔÏNG GIAÙC TRONG TAM GIAÙC SANG LÖÔÏNG GIAÙC TRONG ÑÖÔØNG TROØN TRONG DAÏY HOÏC TOAÙN ÔÛ TRÖÔØNG PHOÅ THOÂNG Chuyeân ngaønh : Lyù luaän vaø phöông phaùp daïy hoïc moân Toùan Maõ soá : 60 14 10 LUAÄN VAÊN THAÏC SÓ GIAÙO DUÏC HOÏC NGÖÔØI HÖÔÙNG DAÃN KHOA HOÏC TS. LEÂ VAÊN PHUÙC Thaønh phoá Hoà Chí Minh – 2007
MÔÛ ÑAÀU 1. Lyù do choïn ñeà taøi vaø caâu hoûi xuaát phaùt Caùch ñaây raát laâu, con ngöôøi ñaõ bieát söû duïng kieán thöùc löôïng giaùc trong thöïc teá cuoäc soáng, chaúng haïn nhö ño goùc quay cuûa kim ñoàng hoà, ño khoaûng caùch giöõa caùc ngoâi sao gaàn, hoaëc ñeå ño khoaûng caùch giöõa caùc con taøu treân ñaïi döông… Vì vaäy chuùng toâi töï hoûi kieán thöùc löôïng giaùc ñaõ coù töø khi naøo? Vaø kieán thöùc aáy xuaát hieän trong tình huoáng naøo? Khi aáy con ngöôøi ñaõ duøng löôïng giaùc ñeå giaûi quyeát thöù töï caùc daïng toaùn naøo? Ngaøy nay, trong chöông trình vaø SGK Toaùn ôû tröôøng phoå thoâng, kieán thöùc löôïng giaùc ñöôïc ñöa vaøo giaûng daïy chuû yeáu ôû 3 khoái lôùp (lôùp 9, lôùp 10, lôùp 11). Vì vaäy chuùng toâi töï hoûi kieán thöùc löôïng giaùc ñöôïc giaûng daïy hieän nay ôû baäc phoå thoâng coù ñi theo trình töï gioáng nhö kieán thöùc löôïng giaùc trong quaù khöù ñaõ ñi qua hay khoâng? Ñoàng thôøi giöõa töøng caëp khoái lôùp (Lôùp 9 sang lôùp 10); lôùp 10 sang lôùp 11 thì kieán thöùc löôïng giaùc coù söï giaùn ñoaïn hoaëc keá thöøa khoâng? Löôïng giaùc laø moät noäi dung hoïc phong phuù. Trong chöông trình moân Toaùn, löôïng giaùc ñöôïc giaûng daïy ôû caû 3 khoái lôùp cuûa caáp THPT, vaø caû ôû lôùp 9 cuûa caáp THCS, vôùi noäi dung cuï theå nhö sau:  ÔÛ lôùp 9: Löôïng giaùc coù maët ôû phaàn: Heä thöùc löôïng trong tam giaùc vuoâng qua baøi tæ soá löôïng giaùc cuûa goùc nhoïn.  ÔÛ lôùp 10: Löôïng giaùc ñöôïc ñeà caäp trong 2 phaàn. - Chöông II (Saùch Hình hoïc 10): Tích voâ höôùng cuûa 2 vectô vaø öùng duïng. - Chöông VI (Saùch Ñaïi soá 10): Goùc löôïng giaùc vaø coâng thöùc löôïng giaùc.  ÔÛ lôùp 11: Löôïng giaùc ñöôïc ñeà caäp ñeán trong phaàn Haøm soá löôïng giaùc vaø phöông trình löôïng giaùc.  ÔÛ lôùp 12: Löôïng giaùc coù ôû phaàn öùng duïng cuûa ñaïo haøm, nguyeân haøm, tích phaân… Trong khuoân khoå cuûa luaän vaên naøy, chuùng toâi quan taâm ñeán böôùc chuyeån töø löôïng giaùc Lôùp 9 sang löôïng giaùc ôû Lôùp 10 ñeå tìm caùc yeáu toá giaùn ñoaïn hoaëc söï keá thöøa cuûa caùc kieán thöùc aáy. ÔÛ Lôùp 9, löôïng giaùc luoân gaén lieàn vôùi tam giaùc vuoâng, ñi lieàn vôùi noù laø caùc tæ soá giöõa caïnh ñoái vôùi caïnh huyeàn, caïnh keà vôùi caïnh huyeàn … cuûa 1 tam giaùc vuoâng. Do vaäy löôïng giaùc ôû lôùp 9 coøn coù teân goïi khaùc laø löôïng giaùc trong tam giaùc. ÔÛ ñaây hoïc sinh ñaõ “giaûi ñöôïc tam giaùc vuoâng” khi bieát ít nhaát 2 yeáu toá cuûa noù trong ñoù phaûi coù ít nhaát 1 yeáu toá ñoä daøi, ñoàng thôøi soá ño cuûa 1 goùc nhoïn naèm trong phaïm vi töø 0o ñeán 90o. ÔÛ Lôùp 10, löôïng giaùc coù maët trong 2 cuoán SGK Hình hoïc 10 vaø Ñaïi soá 10. Trong cuoán Hình hoïc 10 thì löôïng giaùc coù maët trong chöông tích voâ höôùng 2 veùctô vaø öùng duïng, ñi lieàn sau ñoù laø giaûi tam giaùc thöôøng. Vaø töø ñaây soá ño cuûa goùc ñaõ ñöôïc môû roäng ra töø 0o ñeán 180o.
Trong cuoán Ñaïi soá 10 thì löôïng giaùc coù maët ôû phaàn goùc löôïng giaùc vaø coâng thöùc löôïng giaùc, maø goùc löôïng giaùc laïi coù soá ño laø 1 soá thöïc baát kyø. Do coù söï töông öùng giöõa soá thöïc  vaø ñieåm M treân ñöôøng troøn löôïng giaùc neân vôùi moïi soá thöïc  cho tröôùc seõ tìm ñöôïc duy nhaát 1 ñieåm M treân ñöôøng troøn löôïng giaùc sao cho soá ño AM = . Töø ñoù, ñieåm M coù theå naèm ôû baát kyø 1 vò trí naøo treân ñöôøng troøn löôïng giaùc maø chæ phuï thuoäc vaøo soá thöïc  cho tröôùc. Bôûi vaäy löôïng giaùc ôû lôùp 10 coøn coù teân goïi khaùc laø löôïng giaùc trong ñöôøng troøn. Töø nhöõng vaán ñeà vöøa trình baøy ôû treân, chuùng toâi maïnh daïn choïn ñeà taøi “böôùc chuyeån töø löôïng giaùc trong tam giaùc sang löôïng giaùc trong ñöôøng troøn trong daïy hoïc Toaùn ôû tröôøng phoå thoâng”. Söï löïa choïn naøy xuaát phaùt töø nhöõng lyù do sau: - Taïi sao löôïng giaùc trong tam giaùc laïi ñöôïc giaûng daïy tröôùc löôïng giaùc trong ñöôøng troøn? - Löôïng giaùc trong tam giaùc ñaõ trang bò nhöõng kieán thöùc gì cho ngöôøi hoïc – Ñaëc tröng cuûa löôïng giaùc trong tam giaùc. - Löôïng giaùc trong ñöôøng troøn ñaõ trang bò nhöõng kieán thöùc gì cho ngöôøi hoïc – Ñaëc tröng cuûa löôïng giaùc trong ñöôøng troøn. Qua ñoù cho thaáy coù moái quan heä naøo giöõa löôïng giaùc trong tam giaùc vaø löôïng giaùc trong ñöôøng troøn? Vieäc nghieân cöùu veà böôùc chuyeån töø löôïng giaùc trong tam giaùc sang löôïng giaùc trong ñöôøng troøn trong daïy hoïc Toaùn ôû tröôøng phoå thoâng laø thöïc söï caàn thieát; vì noù cho pheùp hieåu roõ hôn nhöõng ñieàu kieän vaø raøng buoäc cuûa quaù trình truyeàn thuï tri thöùc gaén lieàn vôùi löôïng giaùc trong tam giaùc vaø löôïng giaùc trong ñöôøng troøn. 2. Muïc ñích nghieân cöùu Qua nhöõng ghi nhaän ban ñaàu ñöôïc trình baøy ôû treân, daãn chuùng toâi ñeán caùc caâu hoûi döôùi ñaây, maø vieäc tìm kieám caâu traû lôøi laø muïc ñích cuûa luaän vaên naøy. Trong quaù khöù kieán thöùc löôïng giaùc ñöôïc hình thaønh trong tình huoáng naøo? Caùc kieán thöùc löôïng giaùc aáy ñaõ tuaàn töï giaûi quyeát caùc daïng baøi toaùn naøo? Trong 1 soá giaùo trình ñöôïc giaûng daïy ôû tröôøng Sö phaïm, caùc TCTH naøo ñöôïc xaây döïng xung quanh löôïng giaùc trong tam giaùc vaø löôïng giaùc trong ñöôøng troøn. Löôïng giaùc ñaõ ñöôïc ñöa vaøo trong chöông trình vaø SGK Toaùn ôû baäc phoå thoâng trong tình huoáng naøo? Ñaâu laø caùc TCTH ñöôïc xaây döïng xung quanh vaán ñeà löôïng giaùc trong tam giaùc, löôïng giaùc trong ñöôøng troøn. Coù söï cheânh leäch naøo giöõa caùc TCTH tham chieáu vôùi caùc TCTH ñöôïc daïy ôû phoå thoâng? Coù söï giaùn ñoaïn hoaëc keá thöøa töø löôïng giaùc trong tam giaùc sang löôïng giaùc trong ñöôøng troøn?
Caùc quy taéc cuûa hôïp ñoàng didactic ñöôïc hình thaønh giöõa giaùo vieân vaø hoïc sinh trong quaù trình laøm vieäc vôùi löôïng giaùc trong tam giaùc vaø löôïng giaùc trong ñöôøng troøn? Chuùng ñöôïc theå hieän cuï theå qua nhöõng kieåu nhieäm vuï, nhöõng kyõ thuaät naøo? Hoïc sinh coù gaëp khoù khaên gì trong vieäc hoïc löôïng giaùc noùi chung vaø trong böôùc chuyeån töø löôïng giaùc trong tam giaùc sang löôïng giaùc trong ñöôøng troøn khoâng? Ñoù laø nhöõng khoù khaên naøo? Ñaøo taïo ôû tröôøng cao ñaúng sö phaïm, ñaïi hoïc sö phaïm coù cung caáp ñuû cho sinh vieân nhöõng coâng cuï caàn thieát cho hoaït ñoäng ngheà nghieäp sau naøy cuûa hoï hay khoâng? Neáu khoâng, caàn ñieàu chænh quy trình ñaøo taïo naøy nhö theá naøo? 3. Phaïm vi lyù thuyeát tham chieáu Ñeå traû lôøi cho caùc caâu hoûi treân, nghieân cöùu cuûa chuùng toâi, döïa vaøo khung lyù thuyeát tham chieáu laø didactic Toaùn cuï theå laø moät soá khaùi nieäm cuûa lyù thuyeát nhaân chuûng hoïc (moái quan heä theå cheá, moái quan heä caù nhaân, toå chöùc toaùn hoïc – praxeùologie), toå chöùc didactic vaø khaùi nieäm hôïp ñoàng didactic. Söï choïn löïa naøy xuaát phaùt töø nhöõng lyù do sau: Khaùi nieäm hôïp ñoàng didactic cho pheùp ta “giaûi maõ” caùc öùng xöû cuûa giaùo vieân vaø hoïc sinh, tìm ra yù nghóa cuûa nhöõng hoaït ñoäng maø hoï tieán haønh, töø ñoù coù theå giaûi thích moät caùch roõ raøng vaø chính xaùc nhöõng söï kieän quan saùt ñöôïc trong lôùp hoïc. Vieäc nghieân cöùu caùc quy taéc cuûa hôïp ñoàng didactic laø caàn thieát, vì ñeå chuaån bò cho töông lai, giaùo vieân phaûi xem xeùt ñeán quaù khöù maø hôïp ñoàng hieän haønh laø daïng theå hieän thöïc teá cuûa noù. Phaù vôõ hôïp ñoàng laø nguyeân taéc chuû ñaïo ñeå coù söï tieán trieån mong ñôïi. Vieäc döïa vaøo lyù thuyeát nhaân chuûng hoïc cho chuùng toâi laøm roõ nhöõng moái quan heä theå cheá vôùi tri thöùc vaø giöõa tri thöùc vôùi caù nhaân naøo ñoù. Qua ñoù cho chuùng toâi bieát tri thöùc xuaát hieän ôû ñaâu, coù vai troø gì trong theå cheá vaø vieäc hoïc taäp cuûa caù nhaân veà tri thöùc bò aûnh höôûng bôûi nhöõng raøng buoäc naøo trong moái quan heä vôùi theå cheá. Vieäc moâ hình hoaù caùc hoaït ñoäng toaùn hoïc theo caùch tieáp caän cuûa toå chöùc toaùn hoïc (trong lyù thuyeát nhaân chuûng hoïc) seõ giaûi thích ñöôïc thöïc teá cuûa hoaït ñoäng toaùn hoïc theo nhöõng quan ñieåm khaùc nhau vaø baèng nhöõng caùch khaùc nhau thaønh 1 heä thoáng caùc nhieäm vuï xaùc ñònh. Ñaùnh giaù töøng thaønh phaàn cuûa toå chöùc toaùn hoïc cho bieát chuùng coù ñöôïc neâu leân moät caùch roõ raøng hay khoâng? Coù deã hieåu khoâng? Phaïm vò hôïp thöùc nhö theá naøo? Coù ñaùp öùng nhu caàu hieän taïi vaø trong töông lai? Nghieân cöùu caùc toå chöùc toaùn hoïc laø coâng cuï tieáp caän moái quan heä theå cheá vaø laø coâng cuï phaân tích thöïc teá daïy hoïc. Vieäc chæ roõ caùc moái quan heä vôùi tri thöùc cuõng giuùp ta xaùc ñònh moät soá quy taéc cuûa hôïp ñoàng didactic. Ñaëc bieät ta coù theå nhaän ra moät soá yeáu toá cuûa hôïp ñoàng didactic ñaëc thuø cho tri thöùc baèng caùch nghieân cöùu nhöõng tieâu chí hôïp thöùc hoaù vieäc söû duïng tri thöùc, bôûi vì vieäc söû duïng ñoù khoâng chæ ñöôïc quy ñònh bôûi caùc vaên baûn hay bôûi ñònh nghóa cuûa tri thöùc maø coøn phuï thuoäc vaøo tình huoáng vaän duïng tri thöùc, vaøo nhöõng öôùc ñònh ñöôïc hình thaønh trong quaù trình giaûng daïy.
4. Trình baøy laïi caâu hoûi nghieân cöùu Vôùi khung lyù thuyeát tham chieáu, chuùng toâi trình baøy laïi döôùi ñaây nhöõng caâu hoûi maø vieäc tìm hieåu caâu traû lôøi chính laø muïc ñích nghieân cöùu cuûa luaän vaên. Q1: Trong quaù khöù, kieán thöùc löôïng giaùc ñöôïc hình thaønh gaén lieàn vôùi tình huoáng naøo? Kieán thöùc löôïng giaùc aáy ñaõ tuaàn töï giaûi quyeát caùc daïng baøi toaùn naøo? Q2: Trong moät soá giaùo trình ôû Ñaïi hoïc; caùc TCTH naøo gaén lieàn vôùi löôïng giaùc trong tam giaùc, löôïng giaùc trong ñöôøng troøn. Q3: Löôïng giaùc ñaõ ñöôïc ñöa vaøo trong chöông trình vaø SGK Toaùn ôû baäc phoå thoâng trong tình huoáng naøo? Caùc TCTH ñöôïc xaây döïng xung quanh vaán ñeà löôïng giaùc trong tam giaùc, löôïng giaùc trong ñöôøng troøn. Coù söï cheânh leäch naøo giöõa caùc TCTH tham chieáu vôùi caùc TCTH ñöôïc giaûng daïy ôû baäc phoå thoâng. Q4: Caùc quy taéc cuûa hôïp ñoàng didactic ñöôïc hình thaønh giöõa giaùo vieân vaø hoïc sinh trong böôùc chuyeån töø löôïng giaùc trong tam giaùc sang löôïng giaùc trong ñöôøng troøn? Chuùng ñöôïc theå hieän cuï theå qua nhöõng kieåu nhieäm vuï, nhöõng kyõ thuaät naøo? Q5: Hoïc sinh coù gaëp khoù khaên gì trong vieäc hoïc löôïng giaùc noùi chung vaø trong böôùc chuyeån töø löôïng giaùc trong tam giaùc sang löôïng giaùc trong ñöôøng troøn hay khoâng? Ñoù laø nhöõng khoù khaên naøo? Q6: Ñaøo taïo ôû tröôøng cao ñaúng sö phaïm, ñaïi hoïc sö phaïm coù cung caáp ñuû cho sinh vieân nhöõng coâng cuï caàn thieát cho hoaït ñoäng ngheà nghieäp sau naøy cuûa hoï hay khoâng? Neáu khoâng, caàn ñieàu chænh quy trình ñaøo taïo naøy nhö theá naøo? 5. Phöông phaùp nghieân cöùu Ñeå ñaït ñöôïc muïc ñích treân, chuùng toâi seõ tieán haønh caùc nghieân cöùu sau:  Sô löôïc quaù trình hình thaønh vaø phaùt trieån cuûa kieán thöùc löôïng giaùc qua caùc thôøi kyø.  Phaân tích moät soá giaùo trình ñöôïc duøng trong ñaøo taïo giaùo vieân ôû tröôøng sö phaïm ñeå laøm roõ chieán löôïc ñaøo taïo noùi chung, cuõng nhö moái quan heä cuûa theå cheá naøy vôùi ñoái töôïng löôïng giaùc trong tam giaùc vaø löôïng giaùc trong ñöôøng troøn.  Phaân tích ñoàng thôøi chöông trình vaø SGK Toaùn caùc lôùp 9 vaø 10 ñeå laøm roõ moái quan heä theå cheá vôùi ñoái töôïng löôïng giaùc trong tam giaùc vaø löôïng giaùc trong ñöôøng troøn vaø ñöa ra caùc giaû thuyeát nghieân cöùu.  Xaây döïng caùc tình huoáng thöïc nghieäm döïa treân caùc giaû thuyeát nghieân cöùu 6. Caáu truùc cuûa luaän vaên Luaän vaên naøy goàm:  Môû ñaàu
 Chöông 1: Sô löôïc quaù trình hình thaønh vaø phaùt trieån cuûa kieán thöùc löôïng giaùc qua caùc thôøi kyø. Caùc toå chöùc toaùn hoïc tham chieáu lieân quan ñeán löôïng giaùc trong tam giaùc vaø löôïng giaùc trong ñöôøng troøn.  Chöông 2: Moái quan heä theå cheá vôùi löôïng giaùc trong tam giaùc vaø löôïng giaùc trong ñöôøng troøn trong chöông trình Toaùn ôû baäc phoå thoâng.  Chöông 3: Nghieân cöùu thöïc nghieäm.  Keát luaän.
Chöông 1 SÔ LÖÔÏC QUAÙ TRÌNH HÌNH THAØNH VAØ PHAÙT TRIEÅN CUÛA KIEÁN THÖÙC LÖÔÏNG GIAÙC QUA CAÙC THÔØI KYØ. CAÙC TOÅ CHÖÙC TOAÙN HOÏC THAM CHIEÁU LIEÂN QUAN ÑEÁN LÖÔÏNG GIAÙC TRONG TAM GIAÙC VAØ LÖÔÏNG GIAÙC TRONG ÑÖÔØNG TROØN 1.1. Sô löôïc quaù trình hình thaønh vaø phaùt trieån 1.1.1. Thôøi kyø thöù nhaát Ngay töø thôøi kyø coå Hy Laïp, khi xaây döïng caùc coâng trình ñoà soä nhö ñeàn ñaøi, Kim Töï Thaùp, ngöôøi ta ñaõ bieát söû duïng khaùi nieäm veà tæ soá caùc ñoaïn thaúng truøng vôùi khaùi nieäm coâsin ngaøy nay. Ñoä lôùn cuûa caùc tæ soá naøy raát quan troïng ñoái vôùi nhöõng ngöôøi xaây döïng Kim Töï Thaùp, bôûi vì hoï caàn tính toaùn chính xaùc ñeå gheùp nhöõng khoái ñaù lieân tieáp nhau. Veà phöông dieän naøy, nhöõng nhaø thieân vaên hoïc xöù Babylone theá kyû IV vaø V tröôùc coâng nguyeân ñaõ tích luõy moät löôïng lôùn döõ lieäu veà thieân vaên. Veà sau, nhöõng kieán thöùc löôïng giaùc ñaàu tieân ñaõ xuaát hieän ôû thôøi kyø coå Hy Laïp do nhu caàu cuûa thieân vaên. Luùc baáy giôø Hippaùc vaø Ploâteâme (theá kyû thöù 2 tröôùc coâng nguyeân) ñaõ laäp caùc baûng veà söï lieân heä giöõa goùc ôû taâm ñöôøng troøn vôùi chieàu daøi cung bò chaén. Toùm laïi: Trong thôøi kyø thöù nhaát, kieán thöùc löôïng giaùc môùi chæ laø moät lyù thuyeát veà nhöõng thuû thuaät tính toaùn caùc yeáu toá cuûa moät tam giaùc vaø caùc hình coù theå qui veà nhöõng tam giaùc. Vì leõ ñoù, ngöôøi Hy Laïp hoài xöa goïi boä moân naøy laø “tam giaùc löôïng” töùc laø ño ñaïc caùc tam giaùc. “Tam giaùc löôïng” phaùt sinh treân cô sôû cuûa hình hoïc, coù ngoân ngöõ hình hoïc vaø ñöôïc aùp duïng vaøo caùc baøi toaùn hình hoïc do caùc vaán ñeà cuï theå cuûa kyõ thuaät thôøi baáy giôø ñaët ra. 1.1.2. Thôøi kyø thöù hai Trong nhieàu theá kyû, löôïng giaùc ñaõ xuaát hieän nhö laø moät khoa hoïc veà “tam giaùc löôïng”. Ñeán theá kyû 17 vaø 18, cuøng vôùi vieäc ra ñôøi vaø phaùt trieån maïnh cuûa giaûi tích toaùn ñaõ taïo ñieàu kieän cho löôïng giaùc phaùt trieån hôn nhöng theo moät höôùng môùi. Tröôùc ñaây, caùc ñaïi löôïng cuûa löôïng giaùc chæ ñöôïc coi nhö laø phöông tieän ñeå giaûi quyeát caùc vaán ñeà cuûa hình hoïc thì nay ñaõ trôû thaønh ñoái töôïng ñeå nghieân cöùu. Caùc ñaïi löôïng ñoù ñöôïc xem nhö laø nhöõng haøm vaø moät höôùng môùi cuûa löôïng giaùc ñaõ phaùt trieån goïi laø “giaùc löôïng” – töùc laø ño ñaïc veà goùc ñöôïc xuaát hieän. Lyù thuyeát veà caùc haøm löôïng giaùc ñöôïc Ôle nghieân cöùu laàn ñaàu tieân (1748) trong taùc phaåm “Môû ñaàu veà giaûi tích cuûa caùc voâ cuøng beù”. Trong ñoù caùc haøm löôïng giaùc ñöôïc nghieân cöùu theo phöông phaùp giaûi tích nhôø caùc chuoãi. Höôùng môùi treân ñaây cuûa löôïng giaùc baét nguoàn töø caùc dao ñoäng trong cô hoïc, aâm hoïc, quang hoïc vaø soùng ñieän töø. Caùc haøm sin vaø coâsin baây giôø ñöôïc nghieân cöùu nhö laø caùc chuoãi luõy thöøa.
x3 x5 sin x  x    ... 3! 5! x2 x4 cos x  1    ... 2! 4! Nhö vaäy, ôû thôøi kyø thöù hai, ngöôøi ta ñaõ vaän duïng kieán thöùc cuûa giaûi tích vaøo löôïng giaùc ñeå nghieân cöùu caùc haøm löôïng giaùc moät caùch chính xaùc, giaûi thích roõ raøng caùc tính chaát cuûa chuùng, ñeå roài sau ñoù laïi aùp duïng caùc haøm löôïng giaùc naøy vaøo caùc baøi toaùn cuûa thöïc teá nhö: dao ñoäng cuûa loø xo, cuûa con laéc, vieäc ño ñaïc, caùc hieän töôïng thuûy trieàu, chu kì moät traêng moïc,… (Trích Leâ Ñình Phi – Nguyeãn Ñöùc Thuaàn – Nguyeãn Ñình Thoï – Quoác Trinh (1975), Höôùng daãn giaûng daïy löôïng giaùc caáp III, NXB Giaùo duïc). 1.2. Caùc toå chöùc toaùn hoïc lieân quan ñeán löôïng giaùc trong tam giaùc, löôïng giaùc trong ñöôøng troøn Chöông naøy coù muïc ñích traû lôøi cho nhoùm caâu hoûi Q2 cuï theå laø: Trong caùc giaùo trình Toaùn ôû baäc Cao ñaúng, Ñaïi hoïc  TCTH naøo gaén lieàn vôùi löôïng giaùc trong tam giaùc.  TCTH naøo gaén lieàn vôùi löôïng giaùc trong ñöôøng troøn. Ñeå xaây döïng caùc TCTH tham chieáu, chuùng toâi seõ tham khaûo moät soá giaùo trình sau: - Nguyeãn Maïnh Quyù; Nguyeãn Tieán Ñöùc (1980) Toaùn taäp 1 (Saùch ñaøo taïo vaø boài döôõng) NXB Giaùo duïc. - Nguyeãn Duy Thuaän (1998) Ñaïi soá vaø giaûi tích (Giaùo trình ñaøo taïo giaùo vieân tieåu hoïc heä Trung hoïc Sö phaïm) NXB Giaùo duïc. 1.2.1. Caùc toå chöùc toaùn hoïc lieân quan ñeán löôïng giaùc trong tam giaùc Trong giaùo trình Toaùn taäp 1 (Ñaõ noùi ôû treân) chuùng toâi tìm thaáy caùc kieåu nhieäm vuï lieân quan ñeán löôïng giaùc trong tam giaùc laø: T1 (Chuyeån ñoåi): Ñoåi haøm soá löôïng giaùc cuûa 1 goùc cho tröôùc thaønh haøm soá löôïng giaùc cuûa goùc nhoû hôn 45o. (Trong giaùo trình Toaùn taäp 1 cuûa taùc giaû Nguyeãn Maïnh Quyù, Nguyeãn Tieán Ñöùc thì sin, cos, tg, cotg ñöôïc goïi laø caùc haøm soá löôïng giaùc cuûa goùc ). T2 (Tính GT): Tính giaù trò caùc haøm soá löôïng giaùc cuûa goùc ñaëc bieät. T3 (Döïng goùc ): Döïng goùc nhoïn  khi bieát 1 trong caùc haøm soá löôïng giaùc cuûa noù. T4 (Tìm goùc ): Tìm goùc nhoïn  khi bieát 1 haøm soá löôïng giaùc cuûa noù. T5 (Giaûi tg vuoâng) Giaûi tam giaùc vuoâng (khi bieát 1 caïnh vaø 1 goùc nhoïn hoaëc bieát tröôùc 2 caïnh). T6 (Giaûi tg thöôøng) Giaûi tam giaùc thöôøng (Bieát 2 goùc vaø 1 caïnh). 1.2.1.1. Caùc toå chöùc toaùn hoïc gaén lieàn vôùi kieàu nhieäm T1(Chuyeån ñoåi)
“Ñoåi haøm soá löôïng giaùc cuûa 1 goùc cho tröôùc thaønh haøm soá löôïng giaùc cuûa goùc nhoû hôn 45o” Coù 2 kyõ thuaät ñeå giaûi quyeát kieåu nhieäm vuï naøy: 1 ñònh lyù:  Duøng ñònh lyù noùi veà haøm soá löôïng giaùc cuûa 2 goùc phuï nhau. Neáu 2 goùc phuï nhau thì:  sin cuûa goùc naøy baèng cosin cuûa goùc kia vaø cosin cuûa goùc naøy baèng sin cuûa goùc kia.  tang cuûa goùc naøy baèng cotang cuûa goùc kia vaø cotang cuûa goùc naøy baèng tang cuûa goùc kia. 1 ñònh lyù: Ñònh nghóa cuûa haøm soá löôïng giaùc Nhö vaäy: Trong ñònh nghóa naøy, taùc giaû ñaõ döïa vaøo 2 tam giaùc vuoâng ñoàng daïng coù cuøng 1 goùc nhoïn, ñeå töø ñoù xaùc laäp caùc tæ soá ñoàng daïng; ñoàng thôøi taùc giaû goïi sin, cos, tg, cotg laø caùc haøm soá löôïng giaùc cuûa 1 goùc  maø tröôùc ñoù khoâng heà ñöa vaøo khaùi nieäm haøm soá löôïng giaùc. Ñieåm ñaëc bieät nöõa cuûa ñònh nghóa naøy laø sau phaàn ñònh nghóa thì taùc giaû ñaõ suy ra ngay 2 coâng thöùc: sin  tg  vaø cot g  1 cos  tg 1 ñònh lyù:  Ñònh lyù noùi veà ñieàu kieän ñeå 2 tam giaùc vuoâng ñoàng daïng.  Ñònh lyù “Moät ñöôøng thaúng song song vôùi 1 caïnh cuûa 1 tam giaùc taïo thaønh vôùi 2 caïnh kia moät tam giaùc môùi coù 3 caïnh tæ leä vôùi 3 caïnh cuûa tam giaùc thöù nhaát. Kyõ thuaät thöù 2 giaûi quyeát kieåu nhieäm vuï naøy laø: 1 baûng soá: Duøng baûng soá vôùi 4 chöõ soá thaäp phaân 1 (baûng soá): Ñònh nghóa caùc haøm soá löôïng giaùc. Nhaän xeùt:  Hai kyõ thuaät ñeå giaûi quyeát kieåu nhieäm vuï T1, coù ñaëc ñieåm gioáng nhau laø cuoái cuøng ñeàu phaûi duøng ñeán Baûng soá vôùi 4 chöõ soá thaäp phaân; maëc duø luùc ñaàu nhìn thì thaáy khaùc.  Neáu soá ño caùc goùc coù soá phuùt laø 6’, 12’, 18’, 24’, 30’, 36’, 42’, 48’, 54’, 60’ thì ta chæ vieäc tra baûng laø coù keát quaû, nhöng neáu soá ño caùc goùc coù soá phuùt khaùc soá phuùt ôû treân thì hoïc sinh phaûi söû duïng theâm phaàn hieäu chính. 1.2.1.2. Toå chöùc toaùn hoïc gaén lieàn vôùi kieåu nhieäm vuï T2 (Tính GT) “Tính giaù trò caùc haøm soá löôïng giaùc cuûa goùc ñaëc bieät” (30o, 45o, 60o). Coù 2 kyõ thuaät ñeå giaûi quyeát kieåu nhieäm vuï naøy laø: 2 tam giaùc vuoâng: (Neáu goùc laø 30o hoaëc 60o) thì noäi dung kyõ thuaät naøy nhö sau: - Veõ 1 tam giaùc vuoâng coù 1 goùc nhoïn baèng 30o hoaëc 60o. (Ñaây laø nöûa tam giaùc ñeàu caïnh BC). * Neáu goùc nhoïn laø 45o thì veõ moät tam giaùc vuoâng caân laøm töông töï nhö treân.
Sau ñoù aùp duïng ñònh nghóa haøm soá löôïng giaùc ñeå tính. 2 (tam giaùc vuoâng): Ñònh nghóa caùc haøm soá löôïng giaùc. Nhaän xeùt: Ñaëc ñieåm cuûa kyõ thuaät 2 tam giaùc vuoâng laø phaûi döïng tam giaùc vuoâng, coù soá ño cuûa 1 goùc nhoïn baèng soá ño ñaõ cho. Töø ñoù vaän duïng ñònh nghóa caùc haøm soá löôïng giaùc cuûa goùc  ñeå thieát laäp caùc tæ soá caàn thieát. - Keát quaû cuûa pheùp tính laø caùc soá ñuùng. (Ví duï: 1 ; 2 ; 3; 1 ... ) 2 2 3 - Öu ñieåm cuûa kyõ thuaät naøy laø vaän duïng ñöôïc ngay lyù thuyeát vöøa hoïc vaøo phaàn baøi taäp, qua ñoù seõ khaéc saâu kieán thöùc. - Nhöôïc ñieåm cuûa kyõ thuaät naøy laø: Neáu yeâu caàu tính giaù trò caùc haøm soá löôïng giaùc cuûa goùc khoâng ñaëc bieät thì kyõ thuaät naøy khoâng phaùt huy ñöôïc. Kyõ thuaät thöù 2 giaûi quyeát kieåu nhieäm vuï naøy laø 2 baûng löôïng giaùc: Noäi dung kyõ thuaät naøy nhö sau: - Tra trong baûng sin hoaëc cos hoaëc tg hoaëc cotg ñeå tìm giaù trò caùc haøm soá löôïng giaùc ñaõ cho. 2 baûng löôïng giaùc: Ñònh nghóa caùc haøm soá löôïng giaùc cuûa goùc . 2 baûng löôïng giaùc: Caùc tæ soá cuûa 2 tam giaùc vuoâng ñoàng daïng. 1.2.1.3. Toå chöùc toaùn hoïc gaén lieàn vôùi kieåu nhieäm vuï T3 (Döïng goùc ) “Döïng goùc nhoïn  khi bieát moät haøm soá löôïng giaùc cuûa noù”. Trong kieåu nhieäm vuï naøy, chuùng toâi thaáy coù 4 nhieäm vuï con y nhö sau: M a T31: Döïng 1 goùc nhoïn  khi bieát sin   Vôùi a, b  N*; a < b b b9 a 31: Veõ goùc vuoâng xOy. Laáy 1 ñoaïn thaúng laøm ñôn vò.  O N x - Treân Oy laáy 1 ñieåm M sao cho OM = a. - Laáy M laøm taâm, veõ moät cung troøn coù baùn kính R = b caét Ox taïi N; - Goùc MNO = y 31: Ñònh nghóa haøm soá löôïng giaùc cuûa goùc nhoïn Q c T32: Döïng goùc nhoïn khi bieát cos = ; c,d  N*; c < d ≤ 9 d d 32: Veõ goùc vuoâng xOy  O P x c
- Treân Ox laáy ñieåm P sao cho OP = c. - Laáy P laøm taâm veõ 1 cung troøn coù baùn kính R = d caét Oy taïi Q. = - Goùc OPQ 32: Ñònh nghóa haøm soá löôïng giaùc cuûa goùc nhoïn m T33: Döïng goùc nhoïn khi bieát tg = ; m,n  N*, m; n ≤ 9 n y 33: S - Veõ goùc vuoâng Oxy sao cho OS = m. - Treân Ox laáy ñieåm R sao cho OR = n. = m - Goùc ORS 33: Ñònh nghóa haøm soá löôïng giaùc cuûa goùc nhoïn  p O R x T34: Döïng goùc nhoïn khi bieát cotg = ; p, n q y q  N*, p; q ≤ 9 S 34: - Döïng goùc vuoâng Oxy. q - Treân Ox laáy ñieåm R sao cho OR = p  - Treân Oy laáy ñieåm S sao cho OS = q x O R p - Goùc ORS = 34: Ñònh nghóa caùc haøm soá löôïng giaùc cuûa goùc nhoïn Coâng ngheä giaûi thích cho caùc coâng ngheä treân laø tæ soá ñoàng daïng cuûa 2 tam giaùc vuoâng ñoàng daïng coù chung 1 goùc nhoïn. Nhaän xeùt: - Chuùng toâi taïm goïi caùc kyõ thuaät 31; 32; 33; 34 thuoäc nhoùm kyõ thuaät 3 (döïng goùc). - Ngoaøi kyõ thuaät döïng goùc nhoïn ñaõ trình baøy ôû treân, vaãn coøn caùch khaùc ñeå döïng goùc nhoïn khi bieát 1 giaù trò haøm soá löôïng giaùc cuûa noù ñoù laø: - Neáu sin = A thì tra baûng vôùi 4 chöõ soá thaäp phaân xem A = sin cuûa goùc bao nhieâu ñoä. - Duøng thöôùc ño goùc, ta seõ döïng ñöôïc goùc nhoïn ôû treân. - Töông töï cho cos, tg, cotg. 1.2.1.4. Toå chöùc toaùn hoïc gaén lieàn vôùi kieåu nhieäm vuï T4 (Tìm goùc ) “Tìm goùc nhoïn  khi bieát 1 haøm soá löôïng giaùc cuûa noù” Kyõ thuaät 4 ñeå giaûi quyeát kieåu nhieäm vuï naøy laø:  4: - Tra baûng 4 chöõ soá thaäp phaân vaø tính ñöôïc soá ño goùc . - Duøng thöôùc ño goùc ñeå döïng goùc nhoïn coù soá ño laø .
4: Ñònh nghóa haøm soá löôïng giaùc cuûa goùc nhoïn. 1.2.1.5. Toå chöùc toaùn hoïc lieân quan ñeán kieåu nhieäm vuï “T5(Giaûi tg vuoâng): “Giaûi tam giaùc vuoâng” Trong kieåu nhieäm vuï naøy, chuùng toâi thaáy coù 2 daïng ñoù laø: Giaûi tam giaùc vuoâng khi bieát 1 caïnh goùc vuoâng vaø 1 goùc nhoïn vaø giaûi tam giaùc vuoâng khi bieát 2 caïnh. T51:“Giaûi tam giaùc vuoâng khi bieát 1 caïnh goùc vuoâng vaø 1 goùc nhoïn” 51: - Tính goùc nhoïn coøn laïi (döïa vaøo ñònh lyù toång 3 goùc trong 1 tam giaùc laø 180o). - Tính 2 caïnh coøn laïi (döïa vaøo ñònh nghóa caùc haøm soá löôïng giaùc cuûa goùc nhoïn. Thöïc chaát laø döïa vaøo ñònh lyù. “Trong 1 tam giaùc vuoâng:  Moät caïnh goùc vuoâng baèng caïnh huyeàn nhaân vôùi sin goùc ñoái hay nhaân vôùi cosin goùc keà.  Moät caïnh goùc vuoâng baèng caïnh goùc vuoâng kia nhaân vôùi tang goùc ñoái, hay nhaân vôùi cotang goùc keà”. 51: - Ñònh lyù toång 3 goùc trong tam giaùc. - Ñònh lyù veà moái quan heä giöõa caïnh vaø goùc trong tam giaùc vuoâng. 51: - Caùc yeáu toá ñeå chöùng minh ñònh lyù veà toång 3 goùc trong tam giaùc, caùc tæ soá cuûa 2 tam giaùc vuoâng ñoàng daïng coù chung 1 goùc nhoïn. T52: “Giaûi tam giaùc vuoâng khi bieát 1 caïnh goùc vuoâng vaø caïnh huyeàn”. 52: - Tính cos cuûa 1 goùc nhoïn  (khi bieát 1 caïnh keà vaø caïnh huyeàn) - Tra baûng 4 chöõ soá thaäp phaân ñeå tìm giaù trò cuûa . - Tính goùc nhoïn coøn laïi (döïa vaøo ñònh lyù toång 3 goùc trong 1 tam giaùc). - Tính caïnh goùc vuoâng coøn laïi (Döïa vaøo ñònh lyù Pitago hoaëc ñònh lyù noùi veà moái quan heä giöõa caïnh vaø goùc trong 1 tam giaùc vuoâng). 52: - Ñònh lyù Pitago. - Ñònh lyù veà moái quan heä giöõa caïnh vaø goùc trong tam giaùc vuoâng. 52: - Chöùng minh ñònh lyù Pitago vaø caùc yeáu toá ñeå chöùng minh noù. - Tæ soá ñoàng daïng cuûa 2 tam giaùc vuoâng. Nhö vaäy ñeán ñaây hoïc sinh ñaõ hoaøn toaøn giaûi ñöôïc tam giaùc vuoâng khi bieát 2 yeáu toá trong ñoù phaûi coù 1 yeáu toá ñoä daøi.
1.2.1.6. Toå chöùc toaùn hoïc lieân quan ñeán kieåu nhieäm vuï T6(Giaûi tg thöôøng) “Giaûi tam giaùc thöôøng” Kyõ thuaät ñeå giaûi quyeát kieåu nhieäm vuï naøy laø hình thaønh neân caùc tam giaùc vuoâng coù theå giaûi ñöôïc döïa vaøo caùc yeáu toá ñaõ cho. Ñoaïn trích sau ñaây theå hieän kieåu nhieäm vuï naøy. Baûng 1.1: Thoáng keâ soá löôïng baøi taäp vaø ví duï öùng vôùi moãi kieåu nhieäm vuï cuûa löôïng giaùc trong tam giaùc T3 T4 T5 T6 Kieåu T1 T2 (Döïng (Tìm goùc (Giaûi tam (Giaûi tam nhieäm vuï (Chuyeån ñoåi) (Tính GT) goùc ) ) giaùc vuoâng) giaùc thöôøng) Soá löôïng 0 0 0 0 2 0 ví duï Soá löôïng 2 1 1 1 2 1 baøi taäp Nhaän xeùt chung: Khi phaân tích caùc TCTH tham chieáu lieân quan ñeán löôïng giaùc trong tam giaùc, chuùng toâi coù 1 vaøi ghi nhaän sau:  Caùch duøng töø “haøm soá löôïng giaùc” ñeå chæ cho sin, cos, tg, cotg laø chöa chính xaùc.  Tính ñôn ñieäu cuûa sin; cos; tg; cotg trong lyù thuyeát noùi raát kyõ nhöng trong phaàn baøi taäp khoâng coù 1 baøi naøo.  Ñeå tìm sin, cos, tg, cotg hoaëc tìm  khi bieát 1 trong caùc “haøm soá löôïng giaùc” cuûa noù, taùc giaû chæ höôùng daãn caùch tra baûng vaø nhö vaäy vai troø cuûa maùy tính boû tuùi laø môø nhaït.  Qua baûng thoáng keâ soá löôïng baøi taäp vaø ví duï thì thaáy kieåu nhieäm vuï T5: Giaûi tam giaùc vuoâng ñöôïc öu tieân hôn. 1.2.2. Caùc toå chöùc toaùn hoïc tham chieáu lieân quan ñeán löôïng giaùc trong ñöôøng troøn Trong giaùo trình “Nguyeãn Duy Thuaän (1998) ñaïi soá vaø giaûi tích (Giaùo trình ñaøo taïo giaùo vieân tieåu hoïc heä Trung hoïc sö phaïm) NXB Giaùo duïc, chuùng toâi tìm thaáy caùc kieåu nhieäm vuï sau lieân quan ñeán löôïng giaùc trong ñöôøng troøn ñoù laø: T1 (Chuyeån ñoåi ñoä, radian) “Chuyeån ñoåi giöõa ñoä vaø radian” T2 (Xaùc ñònh ñieåm cuoái B) “Xaùc ñònh ñieåm cuoái B cuûa cung AB khi bieát soá ño cuûa noù”. T3 (Tính GTHSLG) “Tính caùc giaù trò sin, cos, tg, cotg khi bieát soá ño goùc ” T4 (Tính GT coøn laïi) “Tính caùc giaù trò sin, cos, tg, cotg. Khi bieát 1 trong caùc giaù trò aáy”. T5 (Chöùng minh ñaúng thöùc) “Chöùng minh ñaúng thöùc löôïng giaùc”. 1.2.2.1. Toå chöùc toaùn hoïc lieân quan ñeán kieåu nhieäm vuï T1 (chuyeån ñoåi ñoä, radian) Chuyeån ñoåi giöõa ñoä vaø radian  1:
Duøng coâng thöùc: - Cung o coù soá ño baèng . radian 180 - Cung x radian coù soá ño baèng 180o.x   1:  Moät nöûa ñöôøng troøn coù soá ño baèng  radian.  Do ñoù goùc beït cuõng coù soá ño baèng  radian. Vôùi lyù do, ñôn vò “ñoä” toû ra baát tieän trong khoa hoïc kyõ thuaät. Vì vaäy ngöôøi ta ñaõ duøng 1 ñôn vò khaùc laø radian, ñöôïc ñònh nghóa nhö sau: “Cung 1 radian laø cung coù ñoä daøi baèng baùn kính cuûa ñöôøng troøn hay baèng 1 ñoä daøi ñöôøng 2 troøn”. Vaø do ñoù töø ñaây coù moät töông öùng giöõa “ñoä” vaø “radian” (laø moät soá thöïc) hay noùi caùch khaùc laø giöõa ñoä vaø soá thöïc. 1.2.2.2. Toå chöùc toaùn hoïc lieân quan ñeán kieåu nhieäm vuï T2“Xaùc ñònh ñieåm cuoái cuûa cung löôïng giaùc , khi bieát soá ño cuûAB a noù”.  2: Treân ñöôøng troøn ñònh höôùng, laáy ñieåm A laøm ñieåm goác. Ñieåm cuoái B cuûa cung naøy ñöôïc xaùc ñònh bôûi heä thöùc sñ =. AB  2: +  Ñònh nghóa ñöôøng troøn ñònh höôùng  Ñònh nghóa cung löôïng giaùc laø:  A O Ñöôøng vaïch ra bôûi 1 ñieåm M chaïy treân ñöôøng troøn ñònh höôùng töø ñieåm goác A ñeán ñieåm B cuûa ñöôøng troøn ñöôïc goïi laø cung löôïng giaùc AB. Kyù hieäu AB Coâng ngheä cuûa coâng ngheä 2:  Coâng thöùc chuyeån ñoåi giöõa ñoä vaø radian.  Neáu baùn kính R = 1 thì ñoä daøi cung troøn baèng soá ño cuûa cung troøn aáy. Nhaän xeùt: Trong giaùo trình naøy, khaùi nieäm cung löôïng giaùc ñöôïc ñöa vaøo tröôùc, sau ñoù môùi ñònh nghóa goùc löôïng giaùc nhö sau: “Cho cung löôïng giaùc AB, hình taïo ra bôûi tia B OM khi ñieåm  + M chaïy treân ñöôøng troøn ñònh höôùng töø A ñeán B (vaïch ra cung löôïng M giaùc AB) ñöôïc goïi laø goùc löôïng giaùc.  A Kí hieäu (OA, OB) O
Do ñoù sñ(OA, OB) = sñ AB Trong ñònh nghóa naøy, khoâng ñeà caäp ñeán ñieåm M coù theå truøng B moät laàn hay nhieàu laàn. Khi aáy sñ(OA, OB) =  + k2 (k  Z). Cuõng töông töï nhö vaäy sñ AB =  + k2 (k  Z). 1.2.2.3. Toå chöùc toaùn hoïc lieân quan ñeán kieåu nhieäm vuï T3(Tính GTHSLG) “Tính caùc giaù trò sin, cos, tg, cotg” y Tröôùc khi vaøo phaân tích kieåu nhieäm vuï naøy, chuùng toâi löôùt qua ñònh nghóa “haøm soá löôïng giaùc” cuûa + giaùo trình naøy nhö sau: y M  “Trong maët phaúng toaï ñoä, goùc (OA, OM) O  x A x =  coù caïnh cuoái OM caét ñöôøng troøn ñôn vò taïi ñieåm M(x, y).  cos = x ; tg = sin  cos   sin = y ; cotg = cos  sin  Roõ raøng vôùi moãi goùc , caùc giaù trò cos, sin, tg, cotg ñeàu xaùc ñònh ñöôïc. Ngöôøi ta goïi cos, sin, tg, cotg laø nhöõng haøm soá löôïng giaùc”. Nhaän xeùt:  Taùc giaû ñònh nghóa caùc haøm soá löôïng giaùc nhöng laïi khoâng noùi roõ mieàn xaùc ñònh; mieàn giaù trò cuûa töøng haøm soá.  cos, sin, tg, cotg ñöôïc goïi laø caùc giaù trò maø khoâng noùi roõ caùc giaù trò cuûa haøm soá löôïng giaùc hay caùc giaù trò löôïng giaùc cuûa goùc  (!).  Goùc  ôû ñaây hieåu laø goùc löôïng giaùc neân coù soá ño baát kyø. Nhö vaäy: Trong phaàn TCTH tham chieáu cuûa löôïng giaùc trong tam giaùc thì noùi cho goùc nhoïn. Coøn trong TCTH tham chieáu cuûa löôïng giaùc trong ñöôøng troøn thì môû roäng ra laø goùc löôïng giaùc  coù soá ño baát kyø vaø khoâng thoâng qua giai ñoaïn trung gian laø goùc   [0o, 180o].  3:  Xaùc ñònh toaï ñoä cuûa ñieåm M treân ñöôøng troøn ñôn vò sao cho sñAM =  . Ta coù M (x, y) Söû duïng ñònh nghóa caùc “giaù trò sin, cos, tg, cotg”  3: Ñònh nghóa caùc giaù trò sin, cos, tg, cotg. 3: Ñònh nghóa goùc, cung löôïng giaùc. “Theo ñònh nghóa cuûa haøm soá löôïng giaùc, neáu bieát giaù trò cuûa goùc  coù theå xaùc ñònh ñöôïc daáu cuûa sin, cos, tg, cotg döïa vaøo vò trí cuûa ñieåm M treân ñöôøng troøn ñôn vò trong maët phaúng toaï ñoä”.
1.2.2.4. Toå chöùc toaùn hoïc lieân quan ñeán kieåu nhieäm vuï T4 (Tính GT coøn laïi) “Tính caùc giaù trò sin, cos, tg, cotg khi bieát 1 trong caùc giaù trò aáy”.  4: Ñoái vôùi kieåu nhieäm vuï naøy vaø trong giaùo trình tham khaûo chuùng toâi thaáy coù caùc kyõ thuaät sau ñeå giaûi quyeát kieåu nhieäm vuï naøy laø:  Duøng caùc heä thöùc cô baûn.  Duøng boä coâng thöùc lieân heä cuûa caùc cung (goùc) coù lieân quan ñaëc bieät (ñoái, buø, phuï, hôn keùm ; hôn keùm /2).  Duøng phöông phaùp hình hoïc (Xaùc ñònh toaï ñoä cuûa ñieåm M (x, y) treân ñöôøng troøn ñôn vò trong maët phaúng toaï ñoä).  4:  Ñònh nghóa caùc giaù trò sin, cos, tg, cotg.  Ñònh nghóa goùc löôïng giaùc. Nhaän xeùt: Trong caùc kyõ thuaät giaûi quyeát kieåu nhieäm vuï naøy chuùng toâi thaáy kyõ thuaät “duøng caùc heä thöùc cô baûn” ñöôïc öu tieân söû duïng nhieàu hôn. 1.2.2.5. Toå chöùc toaùn hoïc lieân quan ñeán kieåu nhieäm vuï T5(Chöùng minh ñaúng thöùc) “Chöùng minh caùc ñaúng thöùc löôïng giaùc”.  5: Ñoái vôùi kieåu nhieäm vuï naøy, trong giaùo trình tham khaûo, chuùng toâi thaáy coù caùc kyõ thuaät sau ñeå giaûi quyeát kieåu nhieäm vuï naøy.  Duøng caùc heä thöùc cô baûn hoaëc cung lieân keát.  Duøng coâng thöùc coäng, nhaân ñoâi, haèng ñaúng thöùc.  Cuoái cuøng bieán ñoåi sao cho 2 veá baèng nhau.  5: Caùc heä thöùc cô baûn; caùc coâng thöùc coäng, nhaân ñoâi, cung lieân keát. Lyù thuyeát giaûi thích cho coâng ngheä 5 laø: 5: Caùc pheùp bieán ñoåi töông ñöông. Baûng 1.2: Thoáng keâ soá löôïng baøi taäp vaø ví duï öùng vôùi moãi kieåu nhieäm vuï cuûa löôïng giaùc trong ñöôøng troøn T5 T1 T2 T3 T4 (Chöùng Kieåu nhieäm vuï (Chuyeån ñoåi ñoä, (Xaùc ñònh ñieåm (Tính (Tính GT minh ñaúng radian) cuoái B) GTHSLG) coøn laïi) thöùc) Soá löôïng ví duï 3 1 1 1 1 Soá löôïng baøi taäp 2 2 2 1 5 Nhaän xeùt chung:
Khi phaân tích caùc TCTH tham chieáu lieân quan ñeán löôïng giaùc trong ñöôøng troøn, chuùng toâi coù 1 vaøi ghi nhaän sau: - Trong giaùo trình tham khaûo khoâng noùi ñeán tính bieán thieân cuûa sin, cos, tg, cotg. - Khoâng neâu baät ñöôïc ñaëc ñieåm cuûa goùc löôïng giaùc laø cuøng moät kyù hieäu goùc löôïng giaùc (OA, OB) nhöng coù voâ soá goùc löôïng giaùc, soá ño caùc goùc naøy hôn keùm nhau moät boäi nguyeân cuûa 2 (hay 360o). - Töông töï cuõng khoâng neâu baät ñöôïc ñaëc ñieåm cuûa cung löôïng giaùc ñoù laø nhöõng cung löôïng giaùc coù soá ño hôn keùm nhau 1 boäi nguyeân 2 (hay 360o) seõ coù ñieåm cuoái truøng nhau. - Töø baûng thoáng keâ treân, chuùng toâi thaáy kieåu nhieäm vuï T5 (chöùng minh ñaúng thöùc) ñöôïc öu tieân hôn. Treân ñaây laø caùc TCTH tham chieáu cho pheùp chuùng toâi phaân tích trôû laïi vaán ñeà coù theå xaây döïng ñöôïc nhöõng TCTH caàn giaûng daïy lieân quan ñeán löôïng giaùc trong tam giaùc vaø löôïng giaùc trong ñöôøng troøn trong chöông trình vaø SGK ôû baäc phoå thoâng trong chöông 2.
Chöông 2 MOÁI QUAN HEÄ THEÅ CHEÁ VÔÙI LÖÔÏNG GIAÙC TRONG TAM GIAÙC VAØ LÖÔÏNG GIAÙC TRONG ÑÖÔØNG TROØN TRONG CHÖÔNG TRÌNH TOAÙN ÔÛ BAÄC PHOÅ THOÂNG 2.1. Môû ñaàu Muïc ñích chuû yeáu cuûa chöông naøy laø laøm roõ moái quan heä cuûa theå cheá daïy hoïc Toaùn ôû baäc phoå thoâng vôùi löôïng giaùc trong tam giaùc vaø löôïng giaùc trong ñöôøng troøn. Cuï theå, chuùng toâi seõ laøm roõ vaø giaûi quyeát caùc vaán ñeà ñaët ra trong 4 nhoùm caâu hoûi Q3, Q4, Q5, Q6. Q3: Löôïng giaùc ñaõ ñöôïc ñöa vaøo trong chöông trình vaø SGK Toaùn ôû baäc phoå thoâng trong tình huoáng naøo? Caùc TCTH ñöôïc xaây döïng xung quanh vaán ñeà löôïng giaùc trong tam giaùc, löôïng giaùc trong ñöôøng troøn. Coù söï cheânh leäch naøo giöõa TCTH tham chieáu vôùi caùc TCTH ñöôïc daïy ôû phoå thoâng. Q4: Caùc quy taéc cuûa hôïp ñoàng didactic ñöôïc hình thaønh giöõa giaùo vieân vaø hoïc sinh trong böôùc chuyeån töø löôïng giaùc trong tam giaùc sang löôïng giaùc trong ñöôøng troøn? Chuùng ñöôïc theå hieän cuï theå qua nhöõng kieåu nhieäm vuï, nhöõng kyõ thuaät naøo? Q5: Hoïc sinh coù gaëp khoù khaên gì trong vieäc hoïc löôïng giaùc noùi chung vaø trong böôùc chuyeån töø löôïng giaùc trong tam giaùc sang löôïng giaùc trong ñöôøng troøn hay khoâng? Ñoù laø nhöõng khoù khaên naøo? Q6: Ñaøo taïo ôû tröôøng cao ñaúng sö phaïm, ñaïi hoïc sö phaïm coù cung caáp ñuû cho sinh vieân nhöõng coâng cuï caàn thieát cho hoaït ñoäng ngheà nghieäp sau naøy cuûa hoï hay khoâng? Neáu khoâng, caàn ñieàu chænh quy trình ñaøo taïo naøy nhö theá naøo? Trong caùc chöông trình CCGD naêm 1990 vaø chöông trình SGK chænh lyù naêm 2000 thì löôïng giaùc trong ñöôøng troøn khoâng ñöôïc giaûng daïy ôû lôùp 10. Nhöng sang chöông trình thí ñieåm phaân ban 2003 vaø phaân ban ñaïi traø naêm 2006, vôùi lyù do traùnh daïy doàn daäp kieán thöùc löôïng giaùc ôû lôùp 11, moät noäi dung maø hoïc sinh cho laø khoù nhôù, khoù hoïc, khoù vaän duïng… thì nhöõng ngöôøi laøm chöông trình ñaõ ñöa phaàn goùc löôïng giaùc vaø coâng thöùc löôïng giaùc töø lôùp 11 xuoáng Chöông VI cuûa SGK Ñaïi soá 10. Bôûi vaäy trong chöông trình thí ñieåm 2003 vaø phaân ban ñaïi traø 2006; löôïng giaùc trong ñöôøng troøn ñöôïc daïy vaø hoïc ôû lôùp 10. Giöõa 2 boä saùch thí ñieåm 2003 vaø phaân ban ñaïi traø hieän nay, veà noäi dung vaø phaân phoái chöông trình laø hoaøn toaøn gioáng nhau. Do vaäy ñeå thuaän lôïi trong vieäc nghieân cöùu tìm kieám söï keá thöøa hoaëc yeáu toá giaùn ñoaïn giöõa löôïng giaùc trong tam giaùc vaø löôïng giaùc trong ñöôøng troøn, chuùng toâi ñaõ choïn phaân tích caùc taøi lieäu sau. 1. Phan Ñöùc Chính (Toång chuû bieân) (2005). Saùch giaùo khoa Toaùn 9 taäp 1. NXB Giaùo duïc. 2. Toân Thaân (Chuû bieân) (2006). Saùch Baøi taäp Toaùn 9 taäp 1. NXB Giaùo duïc. 3. Phan Ñöùc Chính (Toång chuû bieân) (2005). Saùch giaùo vieân Toaùn 9 taäp 1. NXB Giaùo duïc
4. Ñoaøn Quyønh (Toång chuû bieân) (2006). Saùch giaùo khoa Hình hoïc 10. NXB Giaùo duïc. 5. Vaên Nhö Cöông (Chuû bieân) (2006). Saùch Baøi taäp Hình hoïc 10. NXB Giaùo duïc. 6. Ñoaøn Quyønh (Toång chuû bieân) (2006). Saùch Giaùo vieân hình hoïc 10. NXB Giaùo duïc. 7. Ñoaøn Quyønh (Toång chuû bieân) (2006). Saùch Giaùo khoa Ñaïi soá 10. NXB Giaùo duïc. 8. Nguyeãn Huy Ñoan (Chuû bieân) (2006). Saùch Baøi taäp Ñaïi soá 10. NXB Giaùo duïc. 9. Ñoaøn Quyønh (Toång chuû bieân) (2006). Saùch giaùo vieân Ñaïi soá 10. NXB Giaùo duïc. 10. Taøi lieäu boài döôõng giaùo vieân thöïc hieän chöông trình, saùch giaùo khoa lôùp 10 THPT (2006). NXB Giaùo duïc. 2.2. Löôïng giaùc trong tam giaùc (löôïng giaùc ôû lôùp 9)  Phaàn lyù thuyeát Nhö chuùng ta ñaõ bieát, chöông “Heä thöùc löôïng trong tam giaùc vuoâng” ñöôïc coi nhö moät öùng duïng cuûa chöông “Tam giaùc ñoàng daïng”. Tröôùc ñaây, trong chöông trình cuõ, chöông naøy ñöôïc saép xeáp ôû lôùp 8, ngay sau chöông “Tam giaùc ñoàng daïng”. Trong chöông trình môùi, vì phaûi chuyeån 1 phaàn hình hoïc khoâng gian xuoáng lôùp 8 neân chöông naøy ñöôïc chuyeån leân lôùp 9. Muïc ñích cuûa chöông naøy laø giaûi tam giaùc vuoâng khi bieát hai caïnh hoaëc 1 caïnh vaø 1 goùc nhoïn. Vôùi muïc ñích aáy, SGK Toaùn 9, taäp 1 ñaõ ñöa baøi “Moät soá heä thöùc veà caïnh vaø ñöôøng cao trong tam giaùc vuoâng” vaøo tröôùc, sau ñoù môùi ñeán baøi “Tæ soá löôïng giaùc cuûa goùc nhoïn”. Trong baøi “Moät soá heä thöùc veà caïnh vaø ñöôøng cao trong tam giaùc vuoâng” SGK ñaõ xaây döïng ñöôïc caùc coâng thöùc tính ñoä daøi ñöôøng cao, hình chieáu cuûa caïnh goùc vuoâng treân caïnh huyeàn, khi bieát 2 caïnh. Trong baøi “Tæ soá löôïng giaùc cuûa goùc nhoïn” vôùi tình huoáng ñöa ra laø: Trong moät tam giaùc vuoâng, neáu bieát tæ soá ñoä daøi cuûa 2 caïnh thì coù bieát ñöôïc ñoä lôùn cuûa caùc goùc nhoïn hay khoâng? Saùch giaùo khoa ñöa ra ñònh nghóa sau: “Cho goùc nhoïn . Veõ moät tam giaùc coù 1 goùc nhoïn . Khi ñoù: c¹nh ®èi c¹nh kÒ sin   ; cos= c¹nh huyÒn c¹nh huyÒn c¹nh ®èi c¹nh kÒ tg  ; cot g  c¹nh kÒ c¹nh ®èi Nhö vaäy:  Khi noùi ñeán caùc tæ soá löôïng giaùc (TSLG) cuûa goùc nhoïn thì luoân ñi keøm vôùi noù laø 1 tam giaùc vuoâng. Tæ soá cuûa caùc caïnh trong 1 tam giaùc vuoâng. Do vaäy caùc TSLG cuûa 1 goùc nhoïn luoân luoân döông vaø ta coù 0< sin < 1; 0 < cos < 1.
 sin, cos, tg, cotg ñöôïc goïi laø caùc TSLG cuûa goùc nhoïn, ñaây laø ñieåm khaùc bieät so vôùi caùch goïi trong 2 giaùo trình tìm TCTH tham chieáu tröôùc ñaây. Chuùng toâi cho raèng, coù theå coù caùc kieåu nhieäm vuï sau trong löôïng giaùc trong tam giaùc. T1 (vieát, tính) : Vieát (Tính) caùc TSLG cuûa 1 goùc nhoïn. T2 (Döïng goùc) : Döïng 1 goùc nhoïn khi bieát 1 TSLG cuûa goùc aáy. T3 (So saùnh) : So saùnh caùc TSLG cuûa cuøng goùc nhoïn (2 hay nhieàu goùc nhoïn) . T4 (Chöùng minh) : Chöùng minh caùc heä thöùc cô baûn. T5 (Tam giaùc vuoâng) : Giaûi tam giaùc vuoâng. T6 (Phuï nhau) : Tæ soá löôïng giaùc cuûa caùc goùc phuï nhau. T7 (Tam giaùc thöôøng) : Giaûi tam giaùc thöôøng. 2.2.1. Toå chöùc toaùn hoïc lieân quan ñeán kieåu nhieäm vuï T1 (vieát, tính): Vieát (Tính) caùc TSLG cuûa 1 goùc nhoïn.  1:  Ñaët goùc nhoïn aáy vaøo trong 1 tam giaùc vuoâng ñaõ bieát 2 yeáu toá (2 caïnh hoaëc 1 caïnh vôùi 1 goùc nhoïn).  Duøng ñònh nghóa TSLG cuûa goùc nhoïn ñeå tính (vieát) caùc TSLG.  1: Ñònh nghóa TSLG cuûa goùc nhoïn. 1 : Ñeå giaûi thích cho ñònh nghóa TSLG cuûa goùc nhoïn, chuùng toâi döïa vaøo ñònh lyù sau: Hai tam giaùc vuoâng ñoàng daïng vôùi nhau, neáu xaûy ra moät trong caùc tröôøng hôïp sau:  Khi coù 1 goùc nhoïn baèng nhau.  Khi coù 2 caïnh goùc vuoâng tæ leä vôùi nhau töøng ñoâi moät.  Coù caïnh huyeàn vaø moät caïnh goùc vuoâng tæ leä vôùi nhau töøng ñoâi moät. Nhaän xeùt: 1 laø kyõ thuaät thuaàn tuùy hình hoïc, aùp duïng ñònh nghóa TSLG cuûa goùc nhoïn  thì ta vieát ñöôïc sin, cos, tg, cotg baèng bao nhieâu.  Ñaëc bieät ôû ñaây theå cheá khoâng noùi ñeán caùch duøng MTBT hoaëc baûng soá ñeå tìm TSLG cuûa goùc  cho tröôùc maø chæ ñeà caäp moät caùch töôøng minh trong 2 ví duï treân.  Kyõ thuaät 1 naøy laø veát cuûa kyõ thuaät 2 (Tính GT) trong TCTH tham chieáu. 2.2.2. Toå chöùc toaùn hoïc lieân quan ñeán kieåu nhieäm vuï T2 (döïng goùc): Döïng goùc nhoïn khi bieát 1 TSLG cuûa goùc aáy. a T21: Döïng goùc nhoïn  khi bieát sin   ; a, b  N*, a< b  9 b Ñeå giaûi quyeát kieåu nhieäm vuï naøy, kyõ thuaät ñöa ra nhö sau: