Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học: Cuộc sống ngầm ẩn của tính toán đại số trong dạy học hàm số ở trường trung học phổ thông

Chia sẻ: Lavie Lavie | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:90

Thêm vào BST

Báo xấu

64
lượt xem 11
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học: Cuộc sống ngầm ẩn của tính toán đại số trong dạy học hàm số ở trường trung học phổ thông trình bày kết quả nghiên cứu cuộc sống ngầm ẩn của tính toán đại số trong dạy học hàm số ở trường trung học phổ và nghiên cứu thực nghiệm về tính toán đại số và hàm số.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học: Cuộc sống ngầm ẩn của tính toán đại số trong dạy học hàm số ở trường trung học phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Trịnh Duy Trọng Chuyên ngành : Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán Mã số : 60 14 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS. LÊ THỊ HOÀI CHÂU Thành phố Hồ Chí Minh - 2009
LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS. Lê Thị Hoài Châu, người đã nhiệt tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này. Tôi xin trân trọng cảm ơn PGS.TS. Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS. Lê Văn Tiến, TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS. Trần Lương Công Khanh, TS. Nguyễn Chí Thành đã nhiệt tình giảng dạy, truyền thụ cho chúng tôi những kiến thức cơ bản và rất thú vị về didactic toán, cung cấp cho chúng tôi những công cụ cần thiết và hiệu quả để thực hiện việc nghiên cứu. Tôi cũng xin chân thành cảm ơn: - Tất cả các bạn cùng khóa, những người đã cùng tôi làm quen, học tập và nghiên cứu về didactic toán trong suốt khóa học. - Ban giám hiệu và các thầy cô, đồng nghiệp ở Trường THPT Trường Chinh nơi tôi công tác, đã tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ và luôn động viên để tôi hoàn thành tốt khóa học của mình. - Ban lãnh đạo và chuyên viên Phòng KHCN – SĐH Trường ĐHSP TP.HCM đã tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tôi được học tập, nghiên cứu trong suốt khóa học. - Ban Giám hiệu cùng các thầy, cô trong tổ toán Trường THPT Nguyễn Hữu Cầu, Trường THPT Trường Chinh đã tạo điều kiện và giúp đỡ tôi tiến hành thực nghiệm. Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến những người thân yêu trong gia đình đã luôn động viên và nâng đỡ tôi về mọi mặt. TRỊNH DUY TRỌNG
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT SGK : Sách giáo khoa THCS : Trung học cơ sở THPT : Trung học phổ thông TXĐ : Tập xác định [ĐS10] : Đoàn Quỳnh (2008), “Đại số 10 Nâng cao”, NXB giáo dục [BT-ĐS10] : Nguyễn Huy Đoan (2008), “Bài tập Đại số 10 Nâng cao”, NXB giáo dục [SGV-ĐS10] : Đoàn Quỳnh (2008), “Đại số 10 Nâng cao – Sách giáo viên”, NXB giáo dục [GT12] : Đoàn Quỳnh (2008), “Giải tích 12 Nâng cao”, NXB giáo dục [BT-GT12] : Nguyễn Huy Đoan (2008), “Bài tập Giải tích 12 Nâng cao”, NXB giáo dục [SGV-GT12] : Đoàn Quỳnh (2008), “Giải tích 12 Nâng cao – Sách giáo viên”, NXB giáo dục
MỞ ĐẦU 1. Những vấn đề đặt ra 1.1. Tính toán đại số: hình thái hình thức và hình thái hoạt động Thuật ngữ tính toán đại số được dùng để chỉ những tính toán trên các biểu thức đại số. Trong bài viết Bước chuyển từ số học sang đại số trong giảng dạy toán học ở trường trung học cơ sở 1 , tác giả Yves CHEVALLARD đã cho thấy vai trò của các cách biểu diễn khác nhau của cùng một biểu thức đại số. Chẳng hạn, khi nghiên cứu x3  x 2  2 x hàm số xác định bởi biểu thức f(x) = : x2  5x  6  Việc phân tích mẫu số x2 – 5x + 6 = (x – 2)(x – 3) (có thể thông qua giải phương trình bậc hai tương ứng) là cần thiết để xác định TXĐ của hàm số. x3  x 2  2 x  Bằng cách viết biểu thức f(x) ở dạng f(x) = x3 ta xác định được x2 ngay giới hạn của hàm số khi x tiến đến 2 và 2 . 22 x  36  Trong khi đó, biểu thức f(x) viết ở dạng f(x) = x + 6 + sẽ phù x2  5x  6 hợp với việc xác định tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.  Nhưng để tìm nguyên hàm của hàm số thì dừng lại đó là chưa đủ mà phải 22 x  36 8 30 8 30 tiếp tục biến đổi =  để có f(x) = x + 6 +  . x  5x  6 x  2 x  3 2 x 2 x 3 Như vậy, mỗi dạng biểu diễn của biểu thức f(x) được sử dụng để nghiên cứu một vấn đề khác nhau của hàm số xác định bởi f(x). Sự lựa chọn dạng biểu diễn phù hợp sẽ tạo thuận lợi cho việc nghiên cứu các vấn đề của hàm số. Các tính toán đại số đã được sử dụng để đưa biểu thức f(x) về dạng được xem là phù hợp này. Lựa chọn các tính toán đại số cần thực hiện như thế nào là hoàn toàn do yêu cầu nội tại 1 Le passage de l’arithmétique à l’algèbre dans l’enseignement des mathématiques au collège, Petit X, no19
của nhiệm vụ đang giải quyết quy định chứ không phải do những yêu cầu, những chỉ dẫn cho trước. Tiếp tục đi sâu nghiên cứu vấn đề này, Chevallard đã đề cập đến hai mặt hình thức và hoạt động (hình thái hình thức và hình thái hoạt động) của tính toán đại số. Tác giả phân biệt sự khác nhau giữa hai hình thái này như sau: Tính toán hình thức là tính toán mà học sinh thực hiện một cách rất bình thường để đáp ứng một trong những chỉ dẫn, yêu cầu cổ điển của tính toán như thực hiện phép tính, rút gọn, phân tích thành nhân tử, khai triển, … Đó là những thao tác biến đổi các biểu thức đại số không nhằm mục đích gì ngoài việc tính toán đại số. Tác giả đã đưa ra một số ví dụ và phân tích như sau để làm rõ quan điểm của mình: “Tính biểu thức: (2a + 1) + (2a + 3)” Câu trả lời mong đợi là câu trả lời nảy sinh qua giảng dạy, được tạo thành từ kết quả sau: (2a + 1) + (2a + 3) = … = 4a + 4 Một trong những dấu hiệu hình thức ở đây là tiêu chí để kết thúc phép tính: tại sao coi tính toán là trọn vẹn khi nhận được biểu thức 4a + 4? Tại sao người ta không thực hiện tiếp để viết như sau: (2a + 1) + (2a + 3) = … = 4a + 4 = 4(a + 1) Trong trường hợp dạng của kết quả tính toán không đáp ứng bất cứ yêu cầu nào ngoài tính toán, với tư cách tính toán hình thức, việc kết thúc được xác định bởi cái mà người ta có thể gọi là “quy tắc hướng dẫn tính toán đại số” (quy tắc mà ở đây chúng ta không xem xét động lực và nguồn gốc của nó) thuyết phục rằng 4a + 4 là dạng “đẹp” trong số tất cả các dạng. Nhiều cái sẽ thay đổi nếu tính toán trên xuất hiện như “hoạt động” (fonctionnel), tức là xuất hiện ở một thời điểm trong lời giải của bài toán mà yêu cầu không chỉ đơn thuần là tính toán. Chẳng hạn, xét bài toán “Chứng minh rằng: tổng của 2 số nguyên lẻ liên tiếp là bội của 4” Thực hiện các thao tác biến đổi, các tính toán đại số trên biểu thức (2a + 1) + (2a + 3) có thể mang lại câu trả lời cho câu hỏi trên. Nhưng ở đây, việc kết thúc tính toán ở điểm nào được xác định bởi bài toán mà người ta cố gắng giải quyết, nó nằm ngoài việc tính toán. Dạng 4a + 4 không được xem như một dạng tối ưu nữa mà dạng 4(a + 1) mới là hợp thức.
Như vậy, chính mặt “hoạt động” của tính toán đại số và việc sử dụng nó như một công cụ để giải toán cho phép mang lại nghĩa của tính toán đại số. 1.2. Tính toán đại số ở trường phổ thông: khó khăn của học sinh Theo tài liệu “Commission de réflexion sur l’enseignement des mathématiques”, công bố ở Pháp, bước chuyển từ tính toán số sang tính toán đại số thực sự là một cuộc cách mạng. Việc xác định một đại lượng chưa biết, thay đổi, chưa xác định bởi một chữ và đưa các chữ này vào các tính toán tương tự như các đại lượng đã biết làm tăng khả năng của tính toán. Phương pháp đại số buộc học sinh phải xem lại một cách sâu sắc những chiến lược tính toán của chúng. Trong số học, nó phát triển từ cái đã biết đến cái chưa biết bằng cách tạo ra dần dần những kết quả trung gian. Trong đại số, phải thiết lập mối liên hệ giữa cái đã biết và cái chưa biết, sau đó tính toán trên những mối liên hệ này đến khi nhận được kết quả cần tìm. Chính sự đảo ngược về tư tưởng này khiến việc giảng dạy thường gặp phải khó khăn. Bên cạnh đó, cách thức điều khiển tính toán cũng thay đổi. Nếu như các tính toán số nhắm đến việc tìm ra giá trị số của một biểu thức số, thì tính toán đại số lại nhắm đến một kết quả tổng quát cho tất cả những biểu thức đạt được bằng cách gán giá trị cụ thể cho các chữ có mặt trong biểu thức. Trong trường hợp này, tính thỏa đáng của kết quả do nhiệm vụ cần giải quyết quy định, bởi ở đây tính toán không phải là mục đích mà là công cụ. Nói cách khác, tính toán đại số được điều khiển bởi ý nghĩa của tình huống. Sức mạnh của nó thể hiện ở khả năng thoát khỏi nghĩa “bên ngoài” và các biến đổi được thực hiện trên những quy tắc rõ ràng. Điều này tạo ra một sự điều khiển tính toán khác, làm tác động đến nghĩa bên trong của các biểu thức. Tuy nhiên, phần lớn các tính toán này, đặc biệt là tính toán gắn liền với vấn đề tìm nghiệm đúng của các phương trình, bất phương trình sẽ nhanh chóng được algorith hóa, thậm chí được tự động hóa. Việc thiếu sự kiểm soát nghĩa của các tính toán đại số khiến cho nghĩa đó bị che dấu. Ấy thế mà khả năng thực hiện tính toán đại số trên các mối liên hệ lại đòi hỏi một sự kiểm soát nghĩa của các tính toán được thao tác, sự nhận biết các dạng của chúng (phân tích thành nhân tử, khai triển, đưa
về dạng chính tắc hay hằng đẳng thức đáng nhớ, …) Mỗi dạng mang những thông tin đặc thù trên đối tượng mà nó xác định, và gần hay xa với lời giải cần tìm. Theo Chevallard, nhiều sai lầm tái diễn của học sinh đã chỉ ra khó khăn mà họ gặp phải khi chiếm lĩnh các tính toán này. 1.3. Tính toán đại số và hàm số: câu hỏi nghiên cứu Ta biết rằng có ít nhất là bốn cách để biểu thị một hàm số: lời, bảng, đồ thị và biểu thức giải tích. Hai cách biểu diễn đầu tiên đã có từ thuở ban đầu của lịch sử toán học, khi người ta quan tâm đến sự phụ thuộc lẫn nhau giữa các đại lượng biến thiên. Nhưng chính cách biểu diễn cuối cùng mới mang lại nhiều thuận lợi cho việc nghiên cứu hàm số. Trong lịch sử toán học, nó chỉ xuất hiện sau khi hệ thống ký hiệu của đại số ra đời. Sự hình thành nên hệ thống ký hiệu này giúp cho việc giải quyết các vấn đề của toán học trở nên dễ dàng hơn nhiều so với việc sử dụng các hệ thống biểu đạt đã tồn tại trước đó. Sức mạnh của hệ thống biểu đạt của đại số đã khiến Descartes và Fermat tìm cách “du nhập” nó vào hình học và từ đó xây dựng nên ngành Hình học giải tích. Cũng chính nhờ hệ thống biểu đạt này mà Giải tích – ngành toán học có hàm số là đối tượng nghiên cứu cơ bản – phát triển nhanh chóng. Như vậy, nghiên cứu hàm số qua biểu thức giải tích biểu diễn nó là một phương pháp mang lại nhiều hiệu quả. Có lẽ đó chính là nguyên nhân khiến cho ở Việt Nam sự lựa chọn truyền thống của các chương trình là ưu tiên xem xét hàm số được biểu diễn bằng biểu thức giải tích. Nghiên cứu hàm số biểu diễn ở dạng này bắt buộc người ta phải thao tác trên các biểu thức, phải thực hiện các tính toán đại số. Thế nhưng, như Chevallard đã nói, việc các tính toán này thường được algorit hóa dẫn đến chỗ nhiều khi học sinh không hiểu được nghĩa của các tính toán đại số, mà hậu quả là họ có thể không biết khai thác các tính toán này để giải quyết vấn đề theo một cách thức tối ưu hơn. Khi nghiên cứu vị trí, vai trò của tính toán đại số trong chương trình Toán THPT ở Pháp, tác giả Claude RIQUET (2004) trong khóa luận “Mặt hoạt động của tính toán đại số ở lớp 10” 2 cũng đã chỉ ra rằng: “Tính toán số và tính toán đại số không được hệ thống thành một chương mà được tìm thấy qua nhiều chương khác nhau. Đặc biệt, nó được trình bày trong mối 2 Un aspect fonctionnel du calcul algebrique en classe de 2nde
quan hệ hẹp với việc nghiên cứu hàm số. Giống như hình học, các hoạt động tính toán phải là cơ hội để phát triển suy luận và chứng minh”. Những phân tích trên đã hướng sự quan tâm của chúng tôi đến đề tài Cuộc sống của tính toán đại số trong dạy học hàm số ở Trung học phổ thông. Và, bởi vì nghĩa của các tính toán đại số thường bị che dấu, nên để rõ hơn, chúng tôi xác định đề tài nghiên cứu là Cuộc sống ngầm ẩn của tính toán đại số trong dạy học hàm số ở Trung học phổ thông. Những câu hỏi đầu tiên mà chúng tôi tự đặt ra cho mình là: – Tính toán đại số hiện diện ra sao trong thực tế dạy học ở trường phổ thông Việt Nam? – Các tính toán đại số được sử dụng như thế nào trong việc nghiên cứu hàm số? Nghĩa của tính toán đại số có được thể hiện thông qua việc nghiên cứu hàm số hay không? 2. Phạm vi lý thuyết tham chiếu Chúng tôi đặt nghiên cứu của mình trong phạm vi của Didactic toán, cụ thể là “Lý thuyết nhân chủng học” và khái niệm “Hợp đồng didactic”. Sau đây, chúng tôi sẽ trình bày sơ lược một số khái niệm cơ bản 3 của “Lý thuyết nhân chủng học” và khái niệm “Hợp đồng didactic”. Đồng thời, chúng tôi cố gắng làm rõ tính thỏa đáng của sự lựa chọn của mình. 2.1. Lý thuyết nhân chủng học  Quan hệ cá nhân Một đối tượng O là một cái gì đó tồn tại ít nhất đối với một cá nhân X. Quan hệ cá nhân của một cá nhân X với đối tượng O, R(X, O), là tập hợp những tác động qua lại mà X có thể có với O: thao tác nó, sử dụng nó, nói về nó, nghĩ về nó, … R(X, O) chỉ rõ cách thức mà X biết O. Một con người là một cá nhân, ở một thời điểm xác định của lịch sử của nó, và một tập hợp các mối quan hệ cá nhân với những đối tượng mà nó biết. Dưới quan điểm này, học tập là sự điều chỉnh mối quan hệ của một cá nhân X với O. Hoặc quan hệ này bắt đầu được thiết lập (nếu nó chưa từng tồn tại), hoặc quan hệ này bị biến đổi (nếu nó đã tồn tại). Sự học tập này làm thay đổi con người. 3 Những khái niệm này được trình bày trong cuốn sách song ngữ Việt – Pháp “Những yếu tố cơ bản của Didactic toán” của các tác giả Annie Bessot, Claude Comiti, Lê Thị Hoài Châu, Lê Văn Tiến
 Quan hệ thể chế Một cá nhân X không thể tồn tại lơ lửng ở đâu đó mà luôn luôn phải ở trong ít nhất một thể chế I. Từ đó suy ra việc thiết lập hay biến đổi quan hệ R(X, O) phải được đặt trong một thể chế I nào đó có sự tồn tại của X. Hơn thế, giữa I và O cũng phải có một quan hệ xác định. Đối tượng O cũng không thể tồn tại độc lập trong bất cứ thể chế nào. Nói cách khác, O sống trong mối quan hệ chằng chịt với những đối tượng khác. O sinh ra, tồn tại và phát triển trong mối quan hệ ấy. Theo cách tiếp cận sinh thái (écologie) thì O chỉ có thể phát triển nếu nó có một lý do tồn tại (raison d’être), nếu nó được nuôi dưỡng trong những quan hệ, những ràng buộc ấy. Chevallard đã dùng thuật ngữ quan hệ thể chế I với tri thức O, ký hiệu R(I,O), để chỉ tập hợp các mối ràng buộc mà thể chế I có với tri thức O. R(I, O) cho biết O xuất hiện ở đâu, bằng cách nào, tồn tại ra sao, đóng vai trò gì trong I, … Phân tích sinh thái là một phân tích nhằm làm rõ quan hệ R(I, O) ấy. Hiển nhiên, trong một thể chế I, quan hệ R(X, O) hình thành hay thay đổi dưới các ràng buộc của R (I, O). Một câu hỏi được đặt ra là làm thế nào để vạch rõ quan hệ thể chế R(I, O) và quan hệ cá nhân R(X, O)? Lý thuyết nhân chủng học sẽ cung cấp cho chúng ta công cụ để thực hiện công việc đó.  Tổ chức toán học Hoạt động toán học là một bộ phận của hoạt động xã hội. Do đó, cũng cần thiết xây dựng một mô hình cho phép mô tả và nghiên cứu thực tế đó. Xuất phát từ quan điểm này mà Chevallard (1998) đã đưa vào khái niệm praxeologie. Theo Chavallard, mỗi praxeologie là một bộ gồm 4 thành phần [T,  ,  ,  ], trong đó: T là một kiểu nhiệm vụ,  là kỹ thuật cho phép giải quyết T,  là công nghệ giải thích cho kỹ thuật  ,  là lí thuyết giải thích cho  , nghĩa là công nghệ của công nghệ  . Một praxeologie mà các thành phần đều mang bản chất toán học được gọi là một tổ chức toán học (organisation mathématique). Theo Bosch.M và Chevallard.Y, việc nghiên cứu mối quan hệ thể chế I với một đối tượng tri thức O có thể được tiến hành thông qua việc nghiên cứu các tổ chức toán học gắn liền với O:
“Mối quan hệ thể chế với một đối tượng […] được định hình và biến đổi bởi một tập hợp những nhiệm vụ mà cá nhân [chiếm một vị trí nào đó trong thể chế này] phải thực hiện, nhờ vào những kỹ thuật xác định” Hơn thế, cũng theo Bosch. M và Chevallard Y, việc nghiên cứu các tổ chức toán học gắn liền với O còn cho phép ta hình dung được một số yếu tố của quan hệ cá nhân của một chủ thể X (tồn tại trong I) với O, bởi vì: “Chính việc thực hiện những nhiệm vụ khác nhau mà cá nhân phải làm trong suốt cuộc đời mình trong những thể chế khác nhau, ở đó nó là một chủ thể (lần lượt hay đồng thời), dẫn tới làm nảy sinh mối quan hệ cá nhân của nó với đối tượng nói trên”. Như vậy, với những công cụ của Lý thuyết nhân chủng học chúng tôi có thể phân tích và làm rõ mối quan hệ thể chế dạy học Toán ở Việt Nam với đối tượng tính toán đại số, đối tượng hàm số và hai đối tượng này có những quan hệ, ràng buộc nào; đồng thời, tìm hiểu rõ mối quan hệ cá nhân của học sinh với các đối tượng nêu trên. Điều này sẽ cho phép trả lời những câu hỏi ban đầu mà chúng tôi đã đặt ra. 2.2. Hợp đồng didactic Hợp đồng didactic liên quan đến một đối tượng dạy – học là sự mô hình hóa các quyền lợi và nghĩa vụ ngầm ẩn của giáo viên cũng như của học sinh đối với đối tượng đó. Nó là một tập hợp những quy tắc (thường không được phát biểu tường minh) phân chia và hạn chế trách nhiệm của mỗi thành viên, học sinh và giáo viên, về một tri thức được giảng dạy” toán học được giảng dạy. Hợp đồng chi phối quan hệ giữa thầy và trò về các kế hoạch, các mục tiêu, các quyết định, các hoạt động và đánh giá sư phạm. Chính hợp đồng chỉ ra ở từng lúc vị trí tương hỗ của các đối tác đối với nhiệm vụ phải hoàn thành và chỉ rõ ý nghĩa sâu sắc của hoạt động đang được tiến hành, của các phát biểu hoặc những lời giải thích. Nó là quy tắc giải mã cho hoạt động sư phạm mà mọi sự học tập trong nhà trường phải trải qua. Để thấy được hiệu ứng của các hợp đồng didactic, người ta có thể tiến hành như sau:  Tạo ra một sự biến loạn trong hệ thống giảng dạy, sao cho có thể đặt những thành viên chủ chốt (giáo viên, học sinh) trong một tình huống khác lạ được gọi là tình huống phá vỡ hợp đồng bằng cách:
– Thay đổi các điều kiện sử dụng tri thức. – Lợi dụng việc học sinh chưa biết vận dụng một số tri thức nào đó. – Tự đặt mình ra ngoài lĩnh vực tri thức đang xét hoặc sử dụng những tình huống mà tri thức đang xét không thể giải quyết được. – Làm cho giáo viên đối mặt với những ứng xử không phù hợp với điều mà họ mong đơi ở học sinh.  Phân tích các thành phần của hệ thống giảng dạy đang tồn tại bằng cách: – Nghiên cứu câu trả lời của học sinh trong khi học. – Phân tích các đánh giá của học sinh trong việc sử dụng tri thức. – Phân tích các bài tập được giải hoặc được ưu tiên hơn trong SGK. Như vậy, việc nghiên cứu các quy tắc của hợp đồng diadactic liên quan đến việc sử dụng các tính toán đại số trong nghiên cứu các vấn đề về hàm số sẽ cho phép chúng tôi “giải mã” các ứng xử của học sinh và tìm ra ý nghĩa của các hoạt động mà họ tiến hành. Điều này cho phép trả lời phần nào câu hỏi 2 đã đặt ra ở trên. Tóm lại, vệc đặt nghiên cứu của mình trong phạm vi của Lý thuyết nhân chủng học và khài niệm hợp đồng didactic theo chúng tôi là thỏa đáng. 3. Trình bày lại câu hỏi nghiên cứu - mục đích nghiên cứu Trong khuôn khổ của phạm vi lý thuyết tham chiếu đã chọn, chúng tôi trình bày lại dưới đây những câu hỏi mà việc tìm kiếm một số yếu tố cho phép trả lời chúng chính là trọng tâm nghiên cứu của luận văn nà:  Q1: Trong chương trình THCS, vai trò của hình thái hoạt động của tính toán đại số được xác định ra sao?  Q2: Hình thái hoạt động của tính toán đại số tác động như thế nào lên việc nghiên cứu hàm số?  Q3: Những quy tắc nào của hợp đồng didactic được hình thành trong dạy học khái niệm hàm số? 4. Phương pháp nghiên cứu và cấu trúc của luận văn Để đạt được các mục đích nghiên cứu nêu trên và trả lời được các câu hỏi đặt ra, chúng tôi thấy cần thiết phải thực hiện hai phần sau: Phần 1 trình bày một nghiên cứu thể chế về hai đối tượng hàm số và tính toán đại số với hai chương 1 và 2.
Chương 1 trình bày các kết quả nghiên cứu về hai đối tượng này trong chương trình THCS, cấp học mà tính toán đại số và hàm số được đưa vào 1 cách tường minh. Thông qua việc phân tích chương trình chúng tôi sẽ làm rõ vai trò của hình thái hoạt động của tính toán đại số và tác động của nó đến việc nghiên cứu hàm số ở cấp độ này. Ở bậc THPT, hình thái hoạt động của tính toán đại số có tác động đến việc nghiên cứu hàm số giống như ở bậc THCS hay không? Nếu có sự khác biệt thì điều đó được thể hiện như thế nào? Các câu trả lời sẽ được chúng tôi đưa ra sau khi tiến hành phân tích chương trình và SGK THPT. Những nghiên cứu này cũng giúp chúng tôi xác định rõ mối quan hệ thể chế đối với đối tượng hàm số; đồng thời cho phép chúng tôi hình thành giả thuyết về sự tồn tại của các quy tắc hợp đồng didactic liên quan đến việc dạy học hàm số. Đó là những nội dung chúng tôi trình bày trong chương 2. Phần 2 trình bày một nghiên cứu thực nghiệm về tính toán đại số và hàm số. Thật vậy, để kiểm chứng tính thích đáng của giả thuyết đã đặt ra ở trên và phần nào giúp học sinh hiểu được nghĩa của các tính toán đại số, việc xây dựng các bài toán thực nghiệm và tổ chức thực nghiệm trên các chủ thể của hệ thống dạy học là một điều cần thiết.
Phần 1: HÀM SỐ VÀ TÍNH TOÁN ĐẠI SỐ: MỘT NGHIÊN CỨU THỂ CHẾ Chương 1: HÀM SỐ VÀ TÍNH TOÁN ĐẠI SỐ TRONG CHƯƠNG TRÌNH THCS 1.1. Tính toán đại số ở THCS Chương trình lớp 6 và đầu lớp 7 tiếp tục hoàn thiện quá trình xây dựng tập hợp số nguyên, số hữu tỷ, số thực và các phép toán số học trên chúng. Chương trình đại số lớp 7 gồm các chương: - Chương 1: Số hữu tỉ và số thực - Chương 2: Hàm số và đồ thị - Chương 3: Thống kê - Chương 4: Biểu thức đại số Khái niệm biểu thức đại số được đề cập một cách tường minh trong chương 4. Yêu cầu đặt ra cho việc dạy học chương 4 là: “Học sinh nhận biết được biểu thức đại số (trong biểu thức đại số, coi chữ là “đại diện” cho số), biết cách tính giá trị của biểu thức đại số. Nhận biết được đơn thức, đa thức đồng dạng, biết thu gọn đơn, đa thức; biết cộng, trừ đa thức, đặc biệt là đa thức một biến. …”.(SGV Toán 7, tập 1, tr. 5) Có lẽ ở thời điểm này, thời điểm các biểu thức đại số cùng những phép toán trên chúng mới được giới thiệu, thì mức độ yêu cầu như vậy là hợp lý. Vậy, ở những lớp sau, hình thái hoạt động của tính toán đại số có được đề cập? Học sinh có thể sử dụng tính toán đại số như một công cụ để giải quyết những bài toán ngoài tính toán hay không? Chương trình đại số lớp 8 đề cập đến những nội dung sau: - Chương 1: Phép nhân và phép chia đa thức - Chương 2: Phân thức đại số - Chương 3: Phương trình bậc nhất một ẩn - Chương 4: Bất phương trình bậc nhất một ẩn
Liên quan đến tính toán đại số, chương trình xác định mục đích dạy học là làm cho học sinh: – nắm vững và thực hành tốt các quy tắc nhân đơn thức với đa thức, nhân đa thức với đa thức. Nắm vững bảy hằng đẳng thức đáng nhớ và vận dụng được các hằng đẳng thức đó trong tính nhẩm, trong việc phân tích đa thức thành nhân tử, rút gọn biểu thức. (SGV Toán 8, tập 1, tr. 4) – nắm vững và vận dụng các phương pháp thông dụng để phân tích đa thức thành nhân tử : phương pháp đặt nhân tử chung, phương pháp dùng hẳng đẳng thức, phương pháp nhóm hạng tử và phối hợp nhiều phương pháp trên. Việc biến tổng thành tích chủ yếu là thành hai nhân tử, không nên đưa ra dạng quá ba nhân tử. (SGV Toán 8, tập 1, tr. 4) – nắm vững quy tắc chia đơn thức cho đơn thức, chia đa thức cho đơn thức, chia đa thức cho đa thức đã sắp xếp (chủ yếu là phép chia hết của các đa thức có cùng một biến) (SGV Toán 8, tập 1, tr. 4) Như vậy, yêu cầu chủ yếu của chương trình lớp 8 vẫn là thực hiện các tính toán đại số ở hình thái hình thức, còn việc nắm vững quy tắc, thực hiện thành thạo các phép tính, nắm các phương pháp phân tích thành nhân tử để làm gì thì không được nói rõ. Tóm lại, trích dẫn trên cho thấy, liên quan đến tính toán đại số, trong giai đoạn đầu, chương trình dành trọng tâm cho việc xây dựng các quy tắc tính toán trên các biểu thức đại số. Người ta chỉ đưa ra yêu cầu thực hiện các tính toán đại số ở hình thái hình thức: biết cộng, trừ đa thức, thực hành tốt các quy tắc nhân đơn thức với đa thức, nhân đa thức với đa thức, vận dụng được các phương pháp thông dụng để phân tích đa thức thành nhân tử,… Điều này là tự nhiên, vì không có kỹ năng thực hiện các thao tác tính toán hình thức thì không thể nói đến hình thái hoạt động của những tính toán ấy. Tuy nhiên, cũng rất hợp lý nếu đặt ra câu hỏi: người ta có tổ chức cho học sinh nghiên cứu các quy tắc tính toán (phương diện hình thức của tính toán đại số) trong mục đích xây dựng nghĩa của chúng thông qua việc xét chúng ở hình thái hoạt động hay không? Chẳng hạn, rút gọn biểu thức, hay phân tích biểu thức thành nhân tử, … có được gắn với một mục đích nào đó không? Để trả lời cho câu hỏi này, chúng tôi đã phân tích sâu hơn các chương tiếp theo của chương trình Đại số lớp 8 và lớp 9. Hai nội dung chủ yếu được nghiên cứu sau khi giới thiệu Biểu thức đại số là hàm số và phương trình bậc nhất, bậc hai. Những nội dung về hàm số sẽ được chúng tôi trình bày riêng ở phần II. Ở đây
chúng tôi chỉ bàn về vai trò của tính toán đại số trong nghiên cứu đối tượng phương trình ở THCS. Trong chương trình Đại số lớp 8, “Phương trình bậc nhất một ẩn” được trình bày ở chương 3. Đúng như tiêu đề của chương, các phương trình được nghiên cứu đều có dạng hoặc có thể đưa về dạng bậc nhất một ẩn. Liên quan đến phương trình ở đây, điều đầu tiên cần nói là không có một giải thích nào của nossphère đề cập một cách tường minh về vai trò của tính toán đại số. Tuy nhiên, khi giới thiệu các dạng phương trình tích, phương trình chứa ẩn ở mẫu số (khi giải đều đưa về dạng bậc nhất) dường như nossphère không muốn chỉ dừng lại ở việc thực hiện các tính toán đại số ở hình thái hình thức. Bởi để đưa phương trình tích, phương trình chứa ẩn ở mẫu số về dạng bậc nhất không thể không sử dụng tính toán đại số. Các tính toán đại số này được thực hiện như thế nào là tùy thuộc vào mỗi phương trình, nó trở thành công cụ để biến đổi phương trình về dạng bậc nhất. Chương trình Đại số lớp 9 gồm: - Chương 1: Căn bậc hai. Căn bậc ba - Chương 2: Hàm số bậc nhất - Chương 3: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn - Chương 4: Hàm số y = ax2 (a  0) – Phương trình bậc hai một ẩn Tương tự như khi giới thiệu phương trình bậc nhất một ẩn, chương 4 của Chương trình Đại số lớp 9 các phương trình quy về phương trình bậc hai một ẩn được giới thiệu ngay sau phương trình bậc hai một ẩn. Đương nhiên, để giải các phương trình này cũng bắt buộc phải sử dụng các tính toán đại số. Nhưng không giống như ở lớp 8, bây giờ nossphère chính thức đề cập đến vai trò của tính toán đại số: “Biết giải các phương trình quy về phương trình bậc hai (chỉ xét các trường hợp đơn giản: biến đổi vế trái về dạng tích của nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai (vế phải bằng 0)…)”.(SGV Toán 9, tập 1, tr5) Như vậy, có thể nói hình thái hoạt động của tính toán đại số đã được xem xét đến, trong một chừng mực nào đó, khi nghiên cứu chủ đề phương trình ở THCS hiện hành. Cùng với nội dung Phương trình, tính toán đại số tác động như thế nào vào việc nghiên cứu hàm số trong chương trình này. Dưới đây, chúng tôi sẽ tìm những yếu tố trả lời cho câu hỏi đó.
1.2. Tính toán đại số với việc nghiên cứu hàm số trong chương trình THCS Liếc qua tên các chương của chương trình lớp 7, ta có thể đặt ngay ra câu hỏi: khi chưa đưa vào khái niệm biểu thức đại số thì người ta trình bày khái niệm hàm số như thế nào? Tìm câu trả lời cho câu hỏi đó, chúng tôi thấy khái niệm hàm số được hình thành từ việc xem xét các đại lượng tỷ lệ thuận, tỷ lệ nghịch. Liên hệ giữa hai đại lượng x, y được cho qua các bảng, nhằm dẫn đến ghi nhận về sự phụ thuộc giữa hai đại lượng, từ đó hình thành nên khái niệm hàm số. Như thế là dù chưa nghiên cứu biểu thức đại số, các ký hiệu bằng chữ đã được sử dụng. Việc làm này thực ra đã từng có ở bậc tiểu học và lớp 6. Lúc đó, thao tác trên những biểu thức chứa chữ được thực hiện nhờ các quy tắc tính toán trên số (chẳng hạn như tìm số bị trừ khi biết hiệu và số trừ, tìm số bị chia khi biết thương và số chia, tìm một số hạng khi biết tổng và số hạng kia, …). Như thế thì việc biểu thị hàm số bằng một biểu thức đại số – đối tượng chưa được định nghĩa tường minh ở thời điểm này, có thể không gây nên sự gián đoạn khi hình thành khái niệm hàm số. Tuy nhiên, việc nghiên cứu hàm số bậc nhất ngay sau đó sẽ tiến hành ra sao? Ở đấy người ta khai thác như thế nào các tính toán đại số? Chúng tôi không tìm thấy trong chương trình một sự nói rõ nào về vấn đề này. Để trả lời câu hỏi đặt ra, chúng tôi xét những nội dung được đề cập ở đây: khái niệm hàm số, giá trị của hàm số, đồ thị hàm số. Các hàm số đều được cho rất cụ thể và đơn giản (bằng bảng, bằng công thức). Việc tính giá trị của hàm số tại một giá trị của biến số (hoặc kiểm tra một điểm có thuộc đồ thị hàm số hay không) chỉ cần các tính toán số. Hàm số còn được chương trình THCS đề cập ở lớp 9 với hai hàm số cụ thể là hàm số y = ax + b (a  0) và y = ax2 (a  0). Ở đây, ngoài các vấn đề như ở lớp 7 chương trình còn giới thiệu thêm các vấn đề khác của hai hàm số trên: sự biến thiên, sự tương giao giữa hai đồ thị hàm số, xác định các hệ số của hàm số. Tuy nhiên, tất cả các vấn đề trên đều có thể dễ dàng giải quyết bằng cách sử dụng các tính toán số (như lớp 7) hoặc hệ số a của hàm số. Như vậy, khi nghiên cứu các vấn đề của hàm số ở THCS hoàn toàn chưa sử dụng đến tính toán đại số.
1.3. Kết luận Phân tích chương trình THCS chúng tôi thấy rằng: – Ở cấp THCS, các tính toán đại số được giới thiệu tương đối đầy đủ. Nó cũng được đề cập đến ở cả hai hình thái như sự phân biệt của Chevallard: hình thái hình thức và hình thái hoạt động. – Nhưng, yêu cầu chủ yếu của chương trình là học sinh biết thực hiện các tính toán đại số hình thức. Tính toán và biến đổi chỉ thuần túy là những thao tác biến đổi hình thức và được thực hiện theo những yêu cầu nêu rõ, đã được chuẩn hóa, như “thực hiện phép tính”, “rút gọn biểu thức”, “phân tích biểu thức thành nhân tử”, … – Hình thái hoạt động của tính toán đại số không nằm trong “phạm vi yêu cầu” của chương trình, hay nói chính xác hơn là khi nghiên cứu hàm số. Trong thực tế, không chỉ phân tích chương trình, chúng tôi còn nghiên cứu cả các sách giáo khoa toán ở THCS. Trong khuôn khổ của luận văn, để tránh sự dàn trải, chúng tôi không trình bày kết quả đạt được qua nghiên cứu này. Tuy nhiên, một cách ngắn gọn, chúng tôi cũng muốn thông báo rằng trong các sách giáo khoa toán THCS, loại bài tập sử dụng tính toán đại số ở hình thái hình thức hoàn toàn áp đảo so với loại bài tập sử dụng tính toán đại số ở hình thái hoạt động. Tính toán đại số đơn thuần chỉ là những tính toán, các biến đổi chỉ mang tính hình thức, không vì mục đích gì cả. Mặt hoạt động của tính toán đại số chỉ tác động ở một số rất ít bài toán có nội dung thực tế, hay những bài toán toán học thuần túy như “chứng minh rằng (n + 2)2 – 4 chia hết cho 5” và “giải phương trình”. Tóm lại, người ta đặt trọng tâm trước hết vào những kỹ năng thực hiện các tính toán đại số. Hình thái hoạt động của tính toán đại số dường như chỉ có mặt khi nghiên cứu vấn đề giải phương trình và việc giải các bài toán có nội dung thực tế. Nhưng nghiên cứu loại toán này không được chương trình nêu ra khi giải thích mục đích dạy học. Có lẽ vì thế mà nó cũng hiện diện một cách yếu ớt trong các sách giáo khoa. Hầu như tính toán đại số không được khai thác trong nghiên cứu hàm số ở THCS. Phải chăng vì các hàm số hiện diện trong chương trình này là những hàm số đơn giản, và đây chỉ là giai đoạn khởi đầu của việc nghiên cứu hàm số? Nếu thế thì vai trò của tính toán đại số có thay đổi hay không trong dạy học chủ đề hàm số ở trường THPT, nơi mà hàm số đã trở thành một nội dung xuyên suốt chương trình và nhiều hàm số phức tạp hơn được xem xét? Tìm những yếu tố trả lời cho câu hỏi này là mục đích nghiên cứu được đặt ra cho chương tiếp theo của luận văn.
Chương 2: TÍNH TOÁN ĐẠI SỐ TRONG DẠY HỌC HÀM SỐ Ở TRUNG HỌC PHỔ THÔNG 2.1. Mở đầu Trong chương này, mục đích của chúng tôi là làm rõ mối quan hệ thể chế với hàm số, qua đó tìm hiểu những tác động của hình thái hoạt động của tính toán đại số trong việc nghiên cứu hàm số ở THPT. Ở đây, khái niệm hàm số được chúng tôi xem xét trên phương diện đối tượng: nó được định nghĩa như thế nào, các tính chất được khai thác ra sao, vấn đề nào được nghiên cứu, … Chúng tôi chia việc nghiên cứu hàm số ở chương trình THPT thành ba giai đoạn: Giai đoạn 1: Hàm số được nghiên cứu bằng phương pháp sơ cấp (ứng với chương trình năm lớp 10 và đầu lớp 11). Giai đoạn này, khái niệm hàm số, hàm số lượng giác, tập xác định, đồ thị của hàm số, hàm số đồng biến – nghịch biến được trình bày lại một cách chính xác hơn; đồng thời khái niệm hàm số chẵn – hàm số lẻ và phương pháp khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số cũng được bổ sung. Tuy nhiên, các vấn đề của hàm số đều được nghiên cứu bằng phương pháp sơ cấp. Giai đoạn 2: Các công cụ giới hạn, đạo hàm được xây dựng để chuẩn bị cho việc nghiên cứu hàm số bằng phương pháp cao cấp (ứng với chương trình cuối năm lớp 11). Giai đoạn 3: Hàm số được nghiên cứu bằng phương pháp cao cấp (ứng với chương trình năm lớp 12). Bằng phương pháp cao cấp, nhiều loại hàm số và vấn đề của nó được xét tới. Cần phải nói rõ rằng, trong khuôn khổ của luận văn chúng tôi chỉ có thể quan tâm, làm rõ vai trò của tính toán đại số khi nghiên cứu hàm số (chủ yếu là các hàm số cho bằng biểu thức giải tích), đặc biệt là vai trò đó thay đổi như thế nào khi phương pháp nghiên cứu chuyển từ sơ cấp sang cao cấp. Vì vậy, chúng tôi sẽ tiến hành phân tích hai bộ sách Đại số 10 nâng cao và Giải tích 12 nâng cao chương trình môn Toán THPT hiện hành. Trong đó, chúng tôi tập trung nghiên cứu chủ yếu các hàm số trong giai đoạn 1 và giai đoạn 3.
2.2. Hàm số và tính toán đại số trong chương trình THPT 2.2.1. Trong thể chế dạy học Toán ở Việt Nam Hàm số là một trong những đối tượng có vai trò quan trọng được đề cập trong mọi cấp học (ngầm ẩn hoặc tường minh). Tác giả Nguyễn Bá Kim đã viết: “Hàm số là một trường hợp đặc biệt của khái niệm hàm – một trong những khái niệm cơ bản của toán học; nó giữ vị trí trung tâm trong chương trình môn toán ở trường phổ thông. Toàn bộ việc dạy học toán ở trường phổ thông đều xuay quanh khái niệm hàm”. ([11], tr107) Thật vậy, ngay từ lớp 7 học sinh đã được biết về hàm số như một khái niệm toán học để mô tả tương quan phụ thuộc giữa hai đại lượng biến thiên và xét cụ thể a hai hàm số y = ax, y = . Đến lớp 9, học sinh được học đầy đủ về các hàm số bậc x nhất y = ax + b (a  0) và hàm số bậc hai dạng y = ax2 (a  0). Tiếp nối chương trình THCS, chương trình THPT hệ thống, ôn tập và bổ sung thêm về các vấn đề của hàm số (chúng tôi chia thành ba giai đoạn và đã trình bày ở trên). Khi bàn về vấn đề “Dạy học khảo sát hàm số” ở trường phổ thông, tác giả Nguyễn Bá Kim trình bày: “Cùng với việc hình thành cho học sinh những hiểu biết đúng đắn về khái niệm hàm số, giáo trình toán học ở trường phổ thông dành một phần quan trọng cho việc khảo sát một loạt những hàm số cụ thể, chủ yếu là những hàm số sơ cấp. Hiểu theo nghĩa ở trường phổ thông thì khảo sát hàm số bao gồm các nội dung sau: - Tìm miền xác định; - Xét đặc tính biến thiên; - Vẽ đồ thị và nhận xét đồ thị. Những nội dung này, nói một cách chính xác hơn, nội dung thứ hai và thứ ba, được nghiên cứu với mức độ nông sâu khác nhau tùy yêu cầu từng bậc học. Nói chung những nội dung này đòi hỏi nhiều kĩ năng, kĩ xảo phức tạp. Để học sinh có thể giải tốt những bài toán khảo sát hàm số, ta cần chăm lo rèn luyện cho họ hệ thống kĩ năng, kĩ xảo cần thiết bao gồm ba nhóm sau đây: tính toán, vẽ đồ thị và đọc đồ thị”. ([11], tr118)
Ngay sau đó, tác giả trình bày rõ hệ thống kĩ năng, kĩ xảo cần thiết bao gồm ba nhóm: tính toán, vẽ đồ thị và đọc đồ thị. Trong đó, nhóm tính toán phục vụ khảo sát hàm số tác giả viết: “Nhóm này bao gồm những kĩ năng, kĩ xảo thực hiện các phép toán số học và đại số, những phép biến đổi đồng nhất, giải phương trình, xét dấu nhị thức, tam thức, … Điều đó nói lên mối liên hệ mật thiết giữa chủ đề hàm số với các chủ đề khác: các hệ thống số, biến đổi đồng nhất, phương trình và bất phương trình. Những kĩ năng, kĩ xảo vừa nói trên đều không thể xem nhẹ được… Thầy giáo không được có thái độ khoan nhượng trước những sai lầm tính toán của học sinh, không được gây cho họ tâm lý coi nhẹ tính toán ... Ta cần chăm lo rèn luyện cho học sinh những kĩ năng, kĩ xảo này trong khi dạy học các hệ thống số, biến đổi đồng nhất, phương trình và bất phương trình, tạo điều kiện tốt cho việc khảo sát hàm số”. ([11], tr119) Qua những ý kiến, nhận định trên của tác giả Nguyễn Bá Kim, chúng ta có thể thấy rõ vai trò quan trọng của tính toán (trong đó có tính toán đại số) trong việc dạy học hàm số. Tuy nhiên, điều này hoàn toàn không được thể hiện trong chương trình. Những mục tiêu, yêu cầu của chương trình khi giới thiệu khái niệm hàm số (cũng như tính toán đại số) cũng không cho thấy bất kì mối liên hệ nào giữa tính toán đại số và hàm số. 2.2.2. Trong thể chế dạy học Toán ở Pháp Khi nghiên cứu vị trí, vai trò của tính toán đại số trong chương trình Toán THPT ở Pháp, tác giả Claude RIQUET (2004) trong khóa luận “Mặt hoạt động của tính toán đại số ở lớp 10” (Un aspect fonctionnel du calcul algebrique en classe de 2nde) đã chỉ ra rằng: “Tính toán số và tính toán đại số không hệ thống thành một chương mà nó được tìm thấy qua nhiều chương khác nhau. Đặc biệt, nó được trình bày trong mối quan hệ hẹp với việc nghiên cứu hàm số. Giống như hình học, các hoạt động tính toán phải là cơ hội để phát triển suy luận và chứng minh”. Cụ thể, tác giả đã nêu những mức độ cần đạt của chương trình thể hiện mối quan hệ giữa tính toán đại số và nghiên cứu hàm số “Tính toán và hàm số” (Calcul et fonction) như sau: