Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học: Nghĩa của hệ số góc của đường thẳng trong dạy học Toán ở trường phổ thông

Chia sẻ: Lavie Lavie | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:106

Thêm vào BST

Báo xấu

142
lượt xem 22
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học: Nghĩa của hệ số góc của đường thẳng trong dạy học Toán ở trường phổ thông giới thiệu tới các bạn về các nghĩa của hệ số góc của đường thẳng trong các phân môn của Toán học và trong mối liên hệ với một số đối tượng tri thức khác; mối quan hệ thể chế với đối tượng hệ số góc của đường thẳng trong dạy – học Toán ở trường phổ thông và một số nội dung khác.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học: Nghĩa của hệ số góc của đường thẳng trong dạy học Toán ở trường phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Trần Lê Vương Quốc NGHĨA CỦA HỆ SỐ GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG TRONG DẠY HỌC TOÁN Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2013
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Trần Lê Vương Quốc NGHĨA CỦA HỆ SỐ GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG TRONG DẠY HỌC TOÁN Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG Chuyên ngành : LL&PP dạy học bộ môn Toán Mã số : 60 14 01 11 LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. LÊ THÁI BẢO THIÊN TRUNG Thành phố Hồ Chí Minh – 2013
LỜI CẢM ƠN Tôi xin trân trọng cảm ơn: Tiến sĩ Lê Thái Bảo Thiên Trung, người đã tận tình hướng dẫn tôi về mặt nghiên cứu khoa học, luôn động viên để tôi có đủ niềm tin và nghị lực trong suốt quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn này; Tất cả quý thầy cô đã tận tình giảng dạy, giải đáp những thắc mắc, dẫn dắt chúng tôi lĩnh hội những kiến thức nền tảng, truyền cho chúng tôi sự hứng thú đối với chuyên ngành Didactic Toán. Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến PGS.TS Claude Comiti, PGS.TSKH Hamid Chaachoua đã chỉ dẫn, gợi mở và định hướng đề tài luận văn cho chúng tôi. Tôi xin chân thành cảm ơn: Ban giám hiệu, quý thầy cô Trường THCS Lương Quới, Giồng Trôm, Bến Tre đã luôn động viên, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi học tập và nghiên cứu tại trường ĐHSP Tp. Hồ Chí Minh. Quý thầy cô và các em học sinh lớp 11 (năm học 2013 – 2014) Trường THPT Phan Văn Trị, các em học sinh lớp 9 (năm học 2012 – 2013) Trường THCS Lương Quới, Giồng Trôm, Bến Tre đã nhiệt tình hỗ trợ và giúp đỡ tôi tiến hành thực nghiệm tại trường; Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn: Các bạn học cùng lớp Didactic Toán K22 (2011 – 2013) đã đồng hành cùng tôi, chia sẻ những khó khăn và kinh nghiệm giảng dạy trong suốt khóa học. Tôi xin dành những dòng cuối cùng để cảm ơn sự động viên, chia sẻ và tạo những điều kiện tốt nhất từ phía gia đình, đặc biệt là cha mẹ tôi, đã giúp tôi tự tin trong công việc, học tập và nghiên cứu trong suốt 2 năm học cao học. Trần Lê Vương Quốc
MỤC LỤC Trang LỜI CẢM ƠN ........................................................................................................... MỤC LỤC ................................................................................................................. DANH MỤC CÁC THUẬT NGỮ VIẾT TẮT ...................................................... MỞ ĐẦU ................................................................................................................ 1 T 2 2T 1. T 2 T 2 Lí do chọn đề tài và câu hỏi xuất phát ............................................................. 1 T 2 T 2 2. T 2 T 2 Phạm vi lý thuyết tham chiếu và mục đích nghiên cứu ................................... 4 T 2 T 2 3. T 2 T 2 Trình bày lại câu hỏi nghiên cứu - phương pháp nghiên cứu .......................... 6 T 2 T 2 4. T 2 T 2 Tổ chức của luận văn ....................................................................................... 7 T 2 2T Chương 1. CÁC NGHĨA CỦA HỆ SỐ GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG T 2 TRONG CÁC PHÂN MÔN CỦA TOÁN HỌC VÀ TRONG MỐI LIÊN HỆ VỚI MỘT SỐ ĐỐI TƯỢNG TRI THỨC KHÁC ...................................... 9 T 2 1.1. Mục tiêu của chương........................................................................................ 9 T 2 T 2 T 2 2T 1.2. Nghĩa của hệ số góc của đường thẳng trong các phân môn của toán học ..... 11 T 2 T 2 T 2 T 2 1.2.1. Trong Hình học tổng hợp.......................................................................11 T 2 2T 2T T 2 1.2.2. Trong Đại số - Giải tích .........................................................................12 T 2 2T 2T T 2 1.2.3. Trong Hình học giải tích ........................................................................19 T 2 2T 2T T 2 1.3. Nghĩa của hệ số góc của đường thẳng trong môn Kinh tế lượng .................. 25 T 2 T 2 T 2 T 2 1.4. Kết luận chương 1 .......................................................................................... 27 T 2 T 2 T 2 2T Chương 2. MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI ĐỐI TƯỢNG HỆ SỐ GÓC T 2 CỦA ĐƯỜNG THẲNG TRONG DẠY – HỌC TOÁN Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG ...................................................................................................... 29 2T 2.1. Mục tiêu của chương...................................................................................... 29 T 2 T 2 T 2 2T 2.2. Mối quan hệ thể chế với đối tượng hệ số góc của đường thẳng trong dạy T 2 T 2 T 2 – học toán ở bậc phổ thông............................................................................ 30 T 2
2.2.1. Hệ số góc của đường thẳng trong dạy – học toán ở bậc THCS .............30 T 2 2T 2T T 2 2.2.2. Hệ số góc của đường thẳng trong dạy – học toán ở bậc THPT .............45 T 2 2T 2T T 2 2.3. Kết luận chương 2 .......................................................................................... 64 T 2 T 2 T 2 2T Chương 3. NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM .................................................. 66 T 2 T 2 3.1. Mục tiêu của chương...................................................................................... 66 T 2 T 2 T 2 2T 3.2. Thực nghiệm trên học sinh THCS ................................................................. 66 T 2 T 2 T 2 T 2 3.2.1. Đối tượng thực nghiệm ..........................................................................66 T 2 2T 2T T 2 3.2.2. Mục tiêu thực nghiệm ............................................................................66 T 2 2T 2T T 2 3.2.3. Nội dung câu hỏi thực nghiệm...............................................................66 T 2 2T 2T T 2 3.2.4. Phân tích thực nghiệm ...........................................................................67 T 2 2T 2T T 2 3.2.5. Kết luận ..................................................................................................80 T 2 2T 2T 2T 3.3. Thực nghiệm trên học sinh THPT ................................................................. 80 T 2 T 2 T 2 T 2 3.3.1. Đối tượng thực nghiệm ..........................................................................80 T 2 2T 2T T 2 3.3.2. Mục tiêu thực nghiệm ............................................................................81 T 2 2T 2T T 2 3.3.3. Nội dung bài toán thực nghiệm .............................................................81 T 2 2T 2T T 2 3.3.4. Phân tích thực nghiệm ...........................................................................81 T 2 2T 2T T 2 3.3.5. Kết luận ..................................................................................................92 T 2 2T 3.4. Kết luận chương 3 .......................................................................................... 93 T 2 T 2 T 2 2T KẾT LUẬN .......................................................................................................... 94 T 2 2T TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................. 97 T 2 2T PHỤ LỤC............................................................................................................. 99 T 2 2T
DANH MỤC CÁC THUẬT NGỮ VIẾT TẮT Chữ viết tắt Chữ viết đầy đủ CL Chiến lược ĐS-GT Đại số - Giải tích GT Giả thuyết HH Hình học HHTH Hình học tổng hợp HHGT Hình học giải tích KNV Kiểu nhiệm vụ SGK Sách giáo khoa SGK9.T1 Sách giáo khoa toán lớp 9 tập 1 SGV9.T1 Sách giáo viên toán lớp 9 tập 1 SBT9.T1 Sách bài tập toán lớp 9 tập 1 ĐS10.NC Sách giáo khoa Đại số lớp 10 nâng cao GVĐS10.NC Sách giáo viên Đại số lớp 10 nâng cao BTĐS10.NC Sách Bài tập Đại số lớp 10 nâng cao ĐS10.CB Sách giáo khoa Đại số lớp 10 cơ bản HH10.NC Sách giáo khoa Hình học lớp 10 nâng cao GVHH10.NC Sách giáo viên Hình học lớp 10 nâng cao BTHH10.NC Sách Bài tập Hình học lớp 10 nâng cao HH10.CB Sách giáo khoa Hình học lớp 10 cơ bản tr.00 Trang 00 THCS Trung học cơ sở THPT Trung học phổ thông
1 MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài và câu hỏi xuất phát Hàm số là một trong những khái niệm có ý nghĩa hết sức quan trọng trong toán học cũng như trong thực tiễn. Trong toán học, chủ đề về hàm số có mặt hầu như xuyên suốt từ THCS đến THPT, từ Trung học cho đến Đại học. Trong đó, hàm số bậc nhất là một dạng hàm số cơ bản nhất trong tất cả các dạng hàm số ở trường phổ thông. Nó giữ vai trò là nền tảng để học sinh nghiên cứu các dạng hàm số khác phức tạp hơn. Khái niệm hàm số nói chung và hàm số bậc nhất nói riêng được học sinh bắt đầu tiếp cận từ lớp 7 với dạng đặc biệt y = ax (a ≠ 0) và đến lớp 9 thì học sinh được học hàm số bậc nhất dạng tổng quát y = ax + b (a ≠ 0). Ở lớp 7, bước đầu học sinh có những hiểu biết sơ lược về hàm số bậc nhất và đồ thị của nó trong trường hợp đặc biệt y = ax (a ≠ 0). Việc cung cấp kiến thức về hình dạng của đồ thị hàm số y = ax là một đường thẳng làm nền tảng để xây dựng đồ thị của hàm số bậc nhất tổng quát y = ax + b (a ≠ 0), trong đó hệ số a của x chưa có một tên gọi chính thức mà sau này đến lớp 9 thì hệ số a của x được gọi là hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0). Đến lớp 9, học sinh được cung cấp khá đầy đủ những đặc trưng của hàm số bậc nhất (tập xác định, tính biến thiên) và đồ thị của hàm số bậc nhất, trong đó đáng chú ý nhất là khái niệm “hệ số góc” của đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0). Đến lớp 10, khái niệm “hệ số góc” được học sinh tiếp cận qua cả hai phân môn Đại số lẫn Hình học. Ở phân môn Đại số, ngoài việc củng cố, nhắc lại các kiến thức cơ bản về hàm số bậc nhất mà học sinh đã được học ở lớp 9 như tập xác định, đồ thị của hàm số bậc nhất, sách giáo khoa đại số 10 (cả sách cơ bản và nâng cao) còn bổ sung thêm bảng biến thiên của hàm số bậc nhất. Chính hình ảnh trực quan này đã làm nổi bật tính biến thiên của hàm số bậc nhất. Ngoài ra, sách giáo khoa đại số 10 còn mở rộng một trường hợp đặc biệt của hàm số bậc nhất trong trường hợp a = 0. Hàm số đó có
2 dạng y = b, gọi là hàm số hằng và đồ thị của nó cũng là một đường thẳng. Ở phân môn Hình học, bằng phương pháp tọa độ thông qua công cụ vectơ, đối tượng đường thẳng được xây dựng một cách bài bản hơn, tổng quát hơn thông qua việc xây dựng “phương trình đường thẳng”. Ở đây, khái niệm “hệ số góc” của đường thẳng một lần nữa được củng cố và đặt trong mối liên hệ với góc tạo bởi đường thẳng với trục Ox. Nhưng trong nó vẫn tồn tại một sự khác biệt so với cách tiếp cận ở bậc THCS, đó là hệ số góc của đường thẳng có mối liên hệ với tọa độ của vectơ chỉ phương của đường thẳng. Hơn nữa, đến lớp 11, một lần nữa học sinh được tiếp cận khái niệm “hệ số góc” của đường thẳng nhưng nó được đặt trong mối liên hệ với một phân môn mới của toán học đó là Giải tích. Theo đó, qua bài toán tiếp tuyến của đường cong, người ta đã chỉ ra rằng hệ số góc của đường thẳng có mối liên hệ với đạo hàm của hàm số, một trong những khái niệm cơ bản của Giải tích: Hệ số góc của tiếp tuyến bằng đạo hàm của hàm số tại tiếp điểm. Từ đây, hệ số góc của đường thẳng trở thành một công cụ đắc lực trong toán học. Nó giữ vai trò quan trọng trong việc giải quyết các bài toán về xác định tính biến thiên của hàm số, xác định tiếp tuyến với một đường cong, … Trên cơ sở đó, chúng tôi nhận thấy rằng: hệ số góc của đường thẳng tồn tại trong nhiều phân môn của toán học như Đại số, Hình học và Giải tích. Với sự xuất hiện đa dạng của nó trong những phạm vi khác nhau đó đã làm nổi lên mối liên hệ mật thiết giữa các phân môn của toán học qua Sơ đồ mối liên hệ sinh thái của hệ số góc của đường thẳng trong mối liên hệ giữa Hình học và Đại Số - Giải tích (h.1):
3 Hình 1. Sơ đồ mối liên hệ sinh thái của hệ số góc của đường thẳng trong mối liên hệ giữa Hình học và Đại số - Giải tích. Xuất phát từ những ghi nhận trên, chúng tôi tự hỏi rằng sự tồn tại phong phú và đa dạng của hệ số góc của đường thẳng trong mối liên hệ sinh thái giữa các phân môn của toán học có những nghĩa gì? với cách tiếp cận của chương trình giảng dạy toán ở THCS và THPT hiện hành (gọi chung là bậc phổ thông) thì học sinh hiểu gì về nghĩa của hệ số góc của đường thẳng? Vì vậy chúng tôi quyết định chọn đề tài cho luận văn của mình là “Nghĩa của hệ số góc của đường thẳng trong dạy học toán ở trường phổ thông”. Dưới góc độ toán học thì trong hai phạm vi Hình học và Đại số - Giải tích luôn mang trong nó nhiều kiến thức sâu và rộng. Vì vậy trong khuôn khổ của luận văn này, mục tiêu chính của chúng tôi là đi tìm nghĩa của hệ số góc của đường thẳng. Để làm được điều đó, chúng tôi sẽ không đi sâu phân tích mối liên hệ sinh thái giữa Hình học và Đại số - Giải tích. Thay vào đó, chúng tôi sẽ tập trung nghiên cứu khái niệm hệ số góc của đường thẳng, nghĩa của hệ số góc của đường thẳng với cách hiểu là sự xuất hiện và sự tồn tại của nó trong mối liên hệ với các phân môn của toán học, trong mối liên hệ với một số đối tượng tri thức khác trong toán học cũng như trong các liên môn 1 (chẳng hạn như môn Kinh tế lượng). Trong đó, chúng tôi sẽ 0F P P 1 Liên môn ở đây chúng ta có thể hiểu là những phân môn khác trong các lĩnh vực ngoài toán học nhưng có liên quan và sử dụng đến những kiến thức của toán học.
4 tập trung chỉ ra các nghĩa của hệ số góc của đường thẳng trong phạm vi của HH và ĐS-GT. Đặc biệt, qua phân tích chương trình và SGK bậc phổ thông hiện hành ở Việt Nam, chúng tôi sẽ chỉ ra sự xuất hiện và sự hình thành các nghĩa của hệ số góc của đường thẳng ở học sinh. Cụ thể, nghiên cứu của chúng tôi sẽ khởi đầu với các câu hỏi sau đây: - Trong các phân môn của toán học và các liên môn, hệ số góc của đường thẳng có những nghĩa gì? và những nghĩa đó có mối liên hệ với những đối tượng toán học nào? - Nghĩa của hệ số góc của đường thẳng được chương trình và sách giáo khoa phổ thông trình bày như thế nào? Chương trình và sách giáo khoa phổ thông có những mong muốn và ràng buộc gì trong việc dạy và học hệ số góc của đường thẳng? Học sinh phổ thông sẽ hiểu gì về nghĩa của hệ số góc của đường thẳng? 2. Phạm vi lý thuyết tham chiếu và mục đích nghiên cứu Để có sự giải thích thỏa đáng cho những vấn đề đã nêu thì điều quan trọng mà chúng tôi cần làm trước tiên là tìm kiếm công cụ lý thuyết làm cơ sở cho việc đưa ra các câu trả lời cho các câu hỏi đó. Và chúng tôi đã tìm những công cụ này trong phạm vi Didactic toán bởi vì “Didactic mang lại những công cụ hữu hiệu lí giải các hiện tượng trong giảng dạy và học tập” [1, tr.9]. Nếu chúng tôi gọi đối tượng O là hệ số góc của đường thẳng; I là thể chế dạy học hiện hành ở trường phổ thông của Việt Nam thì vấn đề về mối quan hệ giữa các cách tiếp cận O trong các phạm vi của toán học, trong việc dạy học hệ số góc của đường thẳng ở trường phổ thông liên quan đến khái niệm “quan hệ thể chế” của Thuyết nhân học do Chevallard (1998) đặt nền móng. Câu hỏi “Học sinh phổ thông sẽ hiểu gì về nghĩa của hệ số góc của đường thẳng?” liên quan đến khái niệm “quan hệ cá nhân” của lý thuyết này. Cá nhân được xét ở đây là đối tượng học sinh đã được học về hệ số góc của đường thẳng. Câu hỏi “Nghĩa của hệ số góc của đường thẳng được sách giáo khoa và chương trình phổ thông trình bày như thế nào? Chương trình và sách giáo khoa phổ thông có những mong muốn và ràng buộc gì trong việc dạy và học hệ số góc của đường thẳng?” liên quan đến khái niệm
5 “quan hệ thể chế” của lý thuyết này. Sau đây, chúng tôi sẽ trình bày tóm lược những khái niệm đó và cố gắng giải thích tính hợp lý của sự lựa chọn phạm vi lý thuyết tham chiếu của luận văn. Phần trình bày các khái niệm này được trích lọc từ quyển sách song ngữ Việt - Pháp “Những yếu yếu tố cơ bản của Didactic Toán” (2009). Chúng tôi sử dụng các khái niệm sau: “quan hệ thể chế”, “quan hệ cá nhân” và “tổ chức toán học”. Mối quan hệ thể chế R(I,O) và quan hệ cá nhân R(X,O) được xác định thông qua nghiên cứu các tổ chức toán học, các praxéologie là một khái niệm do Chevallard (1998) đưa ra mà qua việc phân tích chúng, cho phép chúng tôi xác định mối quan hệ thể chế đối với đối tượng tri thức O. 2.1. Quan hệ thể chế R(I, O) Quan hệ R(I, O) của thể chế I với tri thức O là tập hợp các tác động qua lại mà thể chế I có với tri thức O. Quan hệ này cho biết O xuất hiện như thế nào, ở đâu, có vai trò gì, tồn tại ra sao,… trong I. 2.2. Quan hệ cá nhân R(X,O) Quan hệ R(X, O) của cá nhân X với tri thức O là tập hợp các tác động qua lại mà cá nhân X có với tri thức O. Quan hệ này cho biết X nghĩ gì, hiểu như thế nào về O, có thể thao tác O ra sao,… Quan hệ cá nhân với một đối tượng O chỉ rõ cách thức mà X biết O. Với đối tượng O mà chúng tôi quan tâm (hệ số góc của đường thẳng), phân tích R(I, O) cho phép chúng tôi rút ra được nghĩa của O trong I từ đó chúng tôi sẽ làm rõ vai trò, phạm vi tác động cũng như mối liên hệ giữa các lựa chọn của thể chế I trên con đường tiếp cận nghĩa của O, đặc biệt là ở bậc trung học cơ sở và trung học phổ thông. Đồng thời, để tìm hiểu mối quan hệ cá nhân của học sinh đối với O thì lại cần phải nghiên cứu R(I, O) bởi vì sự lựa chọn của thể chế đối với O ảnh hưởng trực tiếp đến quan hệ cá nhân đối với O. Vì lẽ đó, chúng tôi nhận thấy sự cần thiết phải xem xét “quan hệ thể chế” và “quan hệ cá nhân” đối với đối tượng tri thức mà chúng tôi quan tâm. Mặt khác, theo Bosch và Chevallard để phân tích mối quan hệ R(I, O) thì cần phải dùng đến khái niệm “tổ chức toán học”.
6 2.3. Tổ chức toán học Theo Chevallard (1998), mỗi praxéologie là một bộ phận gồm bốn thành phần [T,τ,θ,Θ] trong đó T là KNV, τ là kỹ thuật cho phép giải quyết KNV T, θ là công nghệ giải thích cho kỹ thuật τ và Θ là lý thuyết giải thích cho công nghệ θ. Một praxéologie mà các thành phần đều mang bản chất toán học được gọi là một tổ chức toán học (organisation mathématique). Việc nghiên cứu các tổ chức toán học gắn liền với O còn cho phép ta hình dung được một số yếu tố của quan hệ cá nhân của một chủ thể X tồn tại trong O. Do đó, việc chúng tôi lựa chọn Thuyết nhân học làm tham chiếu cho nghiên cứu của mình là hoàn toàn thỏa đáng. 3. Trình bày lại câu hỏi nghiên cứu - phương pháp nghiên cứu Trong phạm vi lý thuyết tham chiếu đã chọn, chúng tôi cụ thể hóa các câu hỏi ban đầu và trình bày lại dưới đây những câu hỏi mà việc tìm kiếm một số yếu tố cho phép trả lời chúng chính là mục đích nghiên cứu của luận văn này. Gọi đối tượng O là hệ số góc của đường thẳng; I là thể chế dạy học hệ số góc của đường thẳng theo chương trình phổ thông hiện hành ở Việt Nam. CH1. Về mặt tri thức luận, đối tượng O được nghiên cứu trong những phân môn nào, những phạm vi nào của toán học? Trong mỗi phạm vi đó, đối tượng O được hiểu như thế nào? Nó có những nghĩa gì? Nó liên hệ với những đối tượng toán học nào? CH2. Trong I, cách tiếp cận đối tượng O được trình bày như thế nào? Trong các cách tiếp cận đó, nghĩa của O được thể hiện ra sao? Những mong muốn và ràng buộc nào của thể chế đối với O trong các cách tiếp cận này? Có những tổ chức toán học nào trong thể chế nhằm làm rõ nghĩa của O? Chúng tôi đi tìm lời giải đáp cho hai câu hỏi CH1 và CH2 thông qua việc nghiên cứu các giáo trình đào tạo và bồi dưỡng giáo viên, phân tích các kết quả từ các công trình nghiên cứu đã có, phân tích các bộ sách giáo khoa môn toán được giảng dạy ở trường phổ thông theo chương trình hiện hành ở Việt Nam (bao gồm các bộ sách giáo khoa Đại số 9, Đại số 10 nâng cao và Hình học 10 nâng cao). Trước khi phân tích R(I, O), chúng tôi sẽ thực hiện một phân tích về O ở góc
7 độ tri thức bác học. Bởi vì để tồn tại trong một thể chế nào đó thì mỗi tri thức phải được biến đổi cho phù hợp. Chính sự biến đổi đó đã tạo nên một khoảng cách giữa tri thức được trình bày trong SGK và tri thức bác học. Vì vậy để có sự hiểu biết đầy đủ về O thì một phân tích O ở góc độ tri thức bác học là thật sự cần thiết. Phạm vi hoạt động của mỗi tri thức toán học thường rất lớn và đối tượng hệ số góc của đường thẳng cũng không ngoại lệ. Do đó, chúng tôi không thể thực hiện một nghiên cứu khoa học về hệ số góc một cách đầy đủ. Thay vào đó, chúng tôi sẽ chỉ tiến hành nghiên cứu O thông qua việc tổng hợp các kết quả đã có về đường thẳng và hệ số góc của đường thẳng. Kết quả thu được từ việc nghiên cứu tri thức bác học về hệ số góc của đường thẳng và phân tích các bộ sách giáo khoa môn toán được giảng dạy ở trường phổ thông theo chương trình hiện hành ở Việt Nam sẽ làm cơ sở cho phép chúng tôi đưa ra các giả thuyết nghiên cứu về hiểu biết của học sinh đối với nghĩa của hệ số góc của đường thẳng. Từ đó, chúng tôi xây dựng hai thực nghiệm (một ở THCS và một ở THPT) nhằm kiểm chứng lại giả thuyết nghiên cứu đã nêu ở trên. 4. Tổ chức của luận văn Chương 1. Các nghĩa của hệ số góc của đường thẳng trong các phân môn của toán học và trong mối liên hệ với một số đối tượng tri thức khác Chúng tôi sẽ phân tích các tính chất toán học của đường thẳng và hệ số góc của đường thẳng dưới góc độ toán học. Qua việc phân tích những tính chất này, chúng ta sẽ có cái nhìn rõ hơn khái niệm hệ số góc của đường thẳng và nghĩa của nó trong mặt phẳng. Từ đó chúng tôi trả lời được câu hỏi CH1. Chương 2. Mối quan hệ thể chế với đối tượng hệ số góc của đường thẳng trong dạy – học toán ở trường phổ thông Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu mối quan hệ thể chế với khái niệm hệ số góc của đường thẳng trong chương trình và SGK môn Toán THCS và THPT hiện hành. Qua đó, chúng tôi làm rõ: cách tiếp cận khái niệm hệ số góc của đường thẳng, nghĩa của hệ số góc của đường thẳng. Kết quả nghiên cứu mối quan hệ thể chế sẽ cho phép chúng tôi trả lời câu hỏi CH2 và nêu lên các giả thuyết nghiên cứu.
8 Chương 3: Nghiên cứu thực nghiệm Chúng tôi tiến hành nghiên cứu thực nghiệm bằng việc xây dựng một hệ thống các câu hỏi và bài toán. Đối tượng thực nghiệm là học sinh lớp 9 và lớp 11 đã học về hệ số góc của đường thẳng. Mục đích của việc xây dựng thực nghiệm là nhằm kiểm chứng tính thích đáng của các giả thuyết nghiên cứu đã nêu lên ở cuối chương 2.
9 Chương 1. CÁC NGHĨA CỦA HỆ SỐ GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG TRONG CÁC PHÂN MÔN CỦA TOÁN HỌC VÀ TRONG MỐI LIÊN HỆ VỚI MỘT SỐ ĐỐI TƯỢNG TRI THỨC KHÁC 1.1. Mục tiêu của chương Như chúng tôi đã đề cập ở phần mở đầu, đường thẳng được nghiên cứu trong nhiều phân môn của toán học như Hình học (HH), Đại số (ĐS) và Giải tích (GT). Sự xuất hiện đa dạng của nó trong những phạm vi khác nhau được tìm thấy trong mối liên hệ mật thiết giữa các phân môn của toán học (h.1). Ta đã biết, “đường thẳng” là một trong những đối tượng nghiên cứu của toán học. Trong cả HH lẫn ĐS-GT, “đường thẳng” đều là một tập hợp của vô số các điểm thẳng hàng. Nhưng trong HH, “đường thẳng” là một tập hợp vô số các điểm thẳng hàng thỏa mãn những tiên đề hình học của Hilbert. Còn trong ĐS-GT, “đường thẳng” cũng là một tập hợp vô số các điểm thẳng hàng nhưng các điểm của nó phải thỏa mãn một “phương trình đại số”. - Trong HH, “Góc” tạo bởi hai đường thẳng là một đối tượng quan trọng – vì đối tượng này huy động các kiến thức lượng giác. Còn trong ĐS-GT thì một trong những đặc trưng của đường thẳng chính là “Hệ số góc” của nó. Dù xét trong phạm vi nào của toán học, trong HH hay trong ĐS-GT, thì cả hai khái niệm “Góc” và “Hệ số góc” của đường thẳng có mối liên hệ với nhau thông qua “Lượng giác”. - Trong ĐS-GT, “Hệ số góc của đường thẳng” giữ vai trò là một công cụ hữu hiệu trong việc xác định phương trình đường thẳng, cũng như xác định phương trình tiếp tuyến với đường cong (liên quan đến công cụ “Đạo hàm của hàm số”). Tuy nhiên, trong ĐS-GT, mọi quan hệ hình học giữa các đối tượng trong toán học đều được đại số hóa. Điều này làm cho một số tính chất hình học bị che khuất, đặc biệt là nghĩa của nó. Như vậy ẩn chứa sau mối liên hệ giữa HH và ĐS-GT thì các đối tượng toán học, cụ thể là “Đường thẳng” và “Hệ số góc” của nó trong mặt phẳng, có những tính chất nào? Về mặt toán học, hệ số góc của đường thẳng trong mặt phẳng được hiểu như thế nào? Nghĩa của nó trong toán học là gì?
10 Chính vì vậy, mục tiêu của chương này là nhằm phân tích các tính chất toán học của đường thẳng và hệ số góc của đường thẳng dưới góc độ toán học. Qua việc phân tích những tính chất này, chúng ta sẽ có cái nhìn rõ hơn khái niệm hệ số góc của đường thẳng và nghĩa của nó trong mặt phẳng. Để đạt được mục tiêu đó, chúng tôi tham khảo các giáo trình toán cao cấp và công trình nghiên cứu đã có liên quan đến đồ thị hàm số, đường thẳng và hệ số góc của đường thẳng. Với tư cách là một đối tượng toán học, hệ số góc của đường thẳng được đề cập trong nhiều phân môn của toán học như đã trình bày trong sơ đồ trên (h.1). Câu hỏi đặt ra là: Trong những phân môn khác nhau của toán học, hệ số góc của đường thẳng mang những ý nghĩa gì? Trong chương này, chúng tôi sử dụng các giáo trình, các tài liệu tham khảo và các kết quả nghiên cứu trước đây có liên quan như sau: - Bùi Thị Thu Hiền (2007), Mối liên hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm – Một nghiên cứu khoa học luận và sư phạm, Luận văn thạc sĩ giáo dục học, ĐHSP Tp.Hồ Chí Minh. - Phạm Trí Cao – Vũ Minh Châu (2009), Kinh tế lượng ứng dụng (Dành cho khối tài chính ngân hàng), Nxb Thống kê Tp.Hồ Chí Minh. - Phan Huy Điển – Phan Huy Khải – Tạ Duy Phượng (2002), Cơ sở giải tích phổ thông, lý thuyết và thực hành tính toán, Nxb Khoa học và Kỹ thuật Hà Nội. - Nguyễn Thúc Hào (1992), Hình học vectơ, Nxb Khoa học và Kỹ thuật Hà Nội. - Trương Đức Hinh – Đào Tam (2004), Giáo trình cơ sở hình học và hình học sơ cấp, Nxb Đà Nẵng. - Ngô Thúc Lanh – Đoàn Huỳnh – Nguyễn Đình Trí (2003), Từ điển toán học thông dụng, Nxb Giáo dục. - Nguyễn Minh Phong (2012), Mối liên hệ giữa hình học tổng hợp và giải tích trong dạy học hình học lớp 12 ở Việt Nam, Luận Văn Thạc sĩ giáo dục học, ĐHSP Tp.Hồ Chí Minh. - S.M.Nikolski – Nhóm dịch giả, Từ điển bách khoa phổ thông toán học Tập
11 1, 2, Nxb Giáo dục. - Bùi Anh Tuấn (2007), Biểu diễn đồ thị hàm số và nghiên cứu đường cong qua phương trình của nó, Luận văn thạc sĩ giáo dục học, ĐHSP Tp.Hồ Chí Minh. 1.2. Nghĩa của hệ số góc của đường thẳng trong các phân môn của toán học 1.2.1. Trong Hình học tổng hợp Trong HH, các khái niệm cơ bản như mặt phẳng, điểm, đường thẳng, ba điểm thẳng hàng, tia, góc; các mối quan hệ: liên thuộc, song song, vuông góc, …; các khái niệm tỉ số lượng giác của góc nhọn, … được xây dựng dựa trên hệ tiên đề Hilbert. Xét trong khuôn khổ luận văn này, chúng tôi chỉ trình bày các vấn đề có liên quan đến đường thẳng mà thôi. Theo hệ tiên đề Hibert, mỗi đường thẳng được đồng nhất với tập hợp tất cả các điểm thẳng hàng với nhau. Vì thế, với hai đường thẳng cắt nhau thì chúng sẽ cắt nhau tại một điểm duy nhất. Khi ấy ta có khái niệm “góc giữa hai đường thẳng”. Từ điển toán học thông dụng đã định nghĩa góc giữa hai đường thẳng và phép cộng các góc như sau: […] Góc định hướng giữa hai đường thẳng trong mặt phẳng Cặp đường thẳng có thứ tự đi qua O trong mặt phẳng (d,δ), d là đường thẳng đầu, δ là đường thẳng cuối; O gọi là đỉnh của góc. Phép cộng các góc định hướng giữa hai đường thẳng và có hệ thức Chasles: (d,δ) + (δ,∆) = (d,∆); (d,δ) = -(δ,d) (d, δ, ∆ là ba đường thẳng trong mặt phẳng cùng đi qua O) Sau khi mặt phẳng đã được định hướng: số đo bằng độ là số thực xác định sai khác cộng k.1800 (k ∈  ), số đo radian được xác định sai khác cộng kπ (k ∈  ). P P Do đó: (d,δ) + (δ,∆) = (d,∆) + kπ; (d,δ) = -(δ,d) + kπ (k ∈  ). Sau khi định hướng mặt phẳng, có hàm số tang xác định trên tập các góc định hướng giữa các cặp đường thẳng không vuông góc là: sin(Ou , Ov ) tan( d , δ ) = cos(Ou , Ov ) Trong đó, O là đỉnh của góc (d,δ), Ou là một tia của d, Ov là một tia của δ; tập giá trị của hàm số tang là  . [12,tr.270-273]
12 • Nhận xét Trong HH, đường thẳng là một trong những khái niệm cơ bản. Nó là một tập hợp các điểm thẳng hàng với nhau. Trong mặt phẳng có định hướng, góc định hướng ( d , δ ) giữa các đường thẳng không vuông góc d và δ là sin(Ou , Ov) tan( d , δ ) = , trong đó O là đỉnh của góc (d,δ), Ou là một tia của d, Ov cos(Ou , Ov) là một tia của δ. Như vậy khái niệm “Góc” trong HH được xây dựng dựa trên tỉ số lượng giác của góc tạo bởi hai đường thẳng. Đặc trưng của khái niệm “Góc” là luôn gắn với sự định hướng của hai đường thẳng không vuông góc trong mặt phẳng. Vậy vì sao lại có sự ràng buộc đó? Rõ ràng từ định nghĩa trên cho ta thấy có hai lí do. Lí do thứ nhất, sự ràng buộc “hai đường thẳng không vuông góc” tức cos (Ou, Ov) ≠ 0 làm cho tan (d,δ) xác định. Lí do thứ hai, sự ràng buộc “mặt phẳng định hướng” làm cho các góc tạo thành giữa hai đường thẳng không bị thu hẹp trong giới hạn của góc nhọn (lớn hơn 00 và nhỏ hơn 900) mà trái lại nó đạt được những giá trị rộng hơn (giá trị của góc sai P P P P khác k.1800 nếu tính theo độ và sai khác k.π nếu tính theo radian). P P 1.2.2. Trong Đại số - Giải tích Trong ĐS-GT, một trong những khái niệm cơ bản và quan trọng của toán học đó là “Hàm số” và “Đồ thị của hàm số”. Từ điển bách khoa phổ thông toán học, viết: […] Hàm số là một trong các khái niệm cơ bản của toán học, biểu diễn sự phụ thuộc của những đại lượng biến thiên này đối với những đại lượng biến thiên khác. Từ “đại lượng” trong định nghĩa ấy của hàm số được hiểu với ý nghĩa rất rộng, [...] nói chung là phần tử của một tập hợp bất kỳ”. [18, tr.324]. […] Đồ thị của một hàm là tập hợp các điểm của mặt phẳng có tọa độ vuông góc (x, y), trong đó y = f(x) là hàm của x trong miền xác định E của hàm. Ở đây y = f(x) là hàm của một biến x. Nhưng đồ thị có thể chỉ xác định một đường cắt mọi đường thẳng song song với trục Oy tại chỉ một điểm. Để thoát khỏi sự hạn chế đó, người ta cho một đường dưới dạng ẩn nhờ phương trình: F(x, y) = 0, trong đó F(x, y) là một hàm số nào đó của hai biến x và y. [18, tr. 356]
13 […] Đồ thị của hàm số y = f(x) cho trên đoạn [a, b] , hoặc trong khoảng (a, b), là một đường liên tục nếu hàm số f(x) liên tục; và trơn nếu hàm số f(x) có đạo hàm liên tục.[18,tr.134] Như vậy, trong ĐS-GT, đồ thị của hàm số y = f(x) là tập hợp các điểm có tọa độ (x 0 ;f(x 0 )) với mọi x 0 thuộc tập xác định của hàm số đó. Do đó, với hàm số bậc R R R R R R nhất y = ax + b, người ta chứng minh được rằng đồ thị của nó là một đường thẳng. Tuy vậy, điều này không có nghĩa là mọi đường thẳng đều là đồ thị của hàm số bậc nhất y = ax + b. Chẳng hạn, các đường thẳng song song với trục tung không là đồ thị của hàm số nào cả. Do vậy, một đường thẳng không thẳng đứng trong mặt phẳng tọa độ được biểu diễn bởi hàm số dạng y = ax + b và luôn có hệ số góc. Theo đó, hệ số góc của đường thẳng được định nghĩa như sau: Định nghĩa [về hệ số góc của đoạn thẳng] y Nếu P 1 = (x 1 , y 1 ) và P 2 = (x 2 , y 2 ), và P1P2 không R R R R R R R R R R R R P2 thẳng đứng, thì hệ số góc của P1P2 là y2 y2 − y1 y1 P1 a= . H x2 − x1 x O x1 x2 Định lý 13-1 Trên một đường thẳng không thẳng đứng, mọi Hình 1.1 đoạn thẳng đều có cùng hệ số góc. Chứng minh: Nếu đường thẳng nằm ngang thì rõ ràng ta có điều khẳng định trên, bởi vì mọi đoạn thẳng trên đường thẳng đều có hệ số góc bằng 0. Trong những trường hợp còn lại, ta quan sát hai hình dưới đây: Hình 1.2
14 Trong trường hợp 1, ta có ∆RP 1 P 2 ∽ ∆R’P 1 ’P 2 ’ (g-g). R R R R R RP P R RP P RP2 P1R RP2 R ' P '2 Vì vậy = hay = . R ' P '2 P '1 R ' P1R P '1 R ' Do đó P1P2 và P '1 P '2 có cùng hệ số góc. Trong trường hợp 2, ta cũng có ∆ RP 1 P 2 ∽ ∆ R’P 1 ’P 2 ’. R R R R R R R R RP2 R ' P '2 Điều đó cũng cho ta giống như trên = . P1R P '1 R ' Như vậy ta cũng có điều phải chứng minh bởi vì các hệ số góc của hai đoạn thẳng chính là những số đối của hai tỉ lệ ở trên. […] Định nghĩa [về hệ số góc của đường thẳng không thẳng đứng] Hệ số góc của một đường thẳng không thẳng đứng là hệ số góc của một đoạn thẳng bất kỳ của đường thẳng”. [Bùi anh Tuấn(2007), tr.20-22] Qua trích dẫn trên cho chúng ta thấy nghĩa của hệ số góc của đường thẳng được bộc lộ ngay trong chính định nghĩa nó. Theo định nghĩa hệ số góc của đoạn y −y f ( x2 ) − f ( x1 ) thẳng, với x 1 ≠ x 2 , ta có a = 2 1 hay a = , tỉ số này gọi là tỉ số biến x2 − x1 x2 − x1 R R R R thiên của hàm số y = f(x) = ax + b (a ≠ 0). Do đó, một cách tổng quát: hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) bằng tỉ số biến thiên của hàm số y = ax + b (a ≠ 0). Mặt khác, nếu ta gọi x 1 và x 2 là hai giá trị bất kì trên tập xác định của hàm số R R R R y = f(x) = ax + b (a ≠ 0). Do vai trò bình đẳng của x 1 và x 2 nên ta giả sử x 1 < x 2 . R R R R R R R R Khi đó, f(x 2 ) – f(x 1 ) = a.(x 2 – x 1 ). Vì x 2 – x 1 > 0 nên: R R R R R R R R R R R R + Nếu a > 0 thì f(x 2 ) – f(x 1 ) > 0 hay f(x 2 ) > f(x 1 ). Ta suy ra được hàm số R R R R R R R R y = f(x) = ax + b đồng biến trên  . + Nếu a < 0 thì f(x 2 ) – f(x 1 ) < 0 hay f(x 2 ) < f(x 1 ). Ta suy ra được hàm số R R R R R R R R y = f(x) = ax + b nghịch biến trên  . Như vậy, ta có thể nói rằng hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) là công cụ để xác định sự biến thiên của hàm số y = ax + b (a ≠ 0). Cụ thể hơn, dấu của hệ số góc của đường thẳng cho biết sự biến thiên của hàm số y = ax + b (a ≠ 0) trên  2. 1F P P 2 Vì chúng ta biết rằng tập xác định của hàm số y = f(x) = ax + b (a ≠ 0) là  nên để đơn giản, từ đây trở đi khi nói đến sự biến thiên của hàm số y = ax + b (a ≠ 0) chúng tôi không nhắc lại tập xác định của nó.