Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Lý thuyết độ từ hóa của các hệ spin giả hai chiều

Chia sẻ: Na Na | Ngày: | Loại File: DOCX | Số trang:68

Thêm vào BST

Báo xấu

53
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn này sẽ đi sâu nghiên cứu về độ từ hóa và sóng spin màng từ siêu mỏng với vài lớp spin nguyên tử bằng phương pháp hàm Green nhiệt độ hai thời điểm và phương pháp gần đúng ngắt chuỗi của Bogolyubov và Tiablikov. Với tên luận án là: “Lý thuyết độ từ hóa của các hệ spin giả hai chiều”.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Lý thuyết độ từ hóa của các hệ spin giả hai chiều

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Lê Thị Ngân LÝ THUYẾT ĐỘ TỪ HÓA CỦA CÁC HỆ SPIN GIẢ HAI CHIỀU LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Hà Nội – Năm 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Lê Thị Ngân LÝ THUYẾT ĐỘ TỪ HÓA CỦA CÁC HỆ SPIN GIẢ HAI CHIỀU Chuyên ngành: Vật Lý Lý Thuyết và Vật Lý Toán Mã số: 60440103 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NG ƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA H ỌC: GS.TS Bạch Thành Công 2
Hà Nội – Năm 2015 LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, em xin gửi lời cảm ơn chân thành, sâu sắc nhất tới GS. TS Bạch Thành Công. Cảm ơn thầy đã nhiệt tình giúp đỡ để em hoàn thành đề tài luận văn đạt kết quả tốt nhất. Em chân thành cảm ơn thầy! Em cũng xin gửi lời cảm ơn đến GS. TS Nguyễn Quang Báu cũng các thầy cô trong bộ môn Vật lý lý thuyết và Vật lý toán đã ủng hộ và tạo điều kiện để em thuận lợi hoàn thành luận văn. Xin chân thành cám ơn đề tài NAFOSTED 103.02.2012.37 đã hỗ trợ nghiên cứu. Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè đã luôn bên cạnh, động viên và là hậu phương vững chắc cho con trong giai đoạn này. Xin chân thành cảm ơn! 3
DANH MỤC HÌNH VẼ Nội dung Trang Hình 1a Tích phân γ khép kín trong mặt phẳng phức E ở bên dưới bao 14 quanh cực E = iε Hình 1b Tích phân γ khép kín trong mặt phẳng phức E ở nửa mặt phẳng 14 phía trên Hình 2 Mô hình màng mỏng gồm nhiều lớp spin nguyên tử trong hệ tọa 28 độ Hình 3.1 Sự phụ thuộc của độ từ hóa m của màng mỏng từ đơn lớp vào 38 nhiệt độ Hình 3.2 Sự phụ thuộc của phổ năng lượng sóng spin vào vectơ sóng ở các 39 nhiệt độ khác nhau, trường hợp S=1, ρ=1.7 Hình 3.3 Sự phụ thuộc của phổ năng lượng sóng spin vào vectơ sóng trong 39 không gian ba chiều, trường hợp S=1, ρ=1.7 Hình 3.4 Sự phụ thuộc của phổ năng lượng sóng spin vào vectơ sóng ở cùng 40 nhiệt độ τ=0.01 Hình 3.5 Sự phụ thuộc của độ từ hóa m của màng mỏng từ hai lớp vào nhiệt 44 độ Hình 3.6 Sự phụ thuộc của phổ năng lượng của sóng spin vào vectơ sóng ở 45 cùng nhiệt độ trong trường hợp màng mỏng từ hai lớp, S=1 Hình 3.7 Sự phụ thuộc của phổ năng lượng của sóng spin vào vectơ sóng ở 45 cùng nhiệt độ (lát cắt trong không gian ba chiều), trường hợp màng mỏng từ hai lớp, η=1.2 Hình 3.8 Sự phụ thuộc của phổ năng lượng của sóng spin vào vectơ sóng ở 46 cùng nhiệt độ (trong không gian ba chiều), trường hợp màng mỏng từ hai lớp, η=1.2 Hình 3.9 Sự phụ thuộc của phổ năng lượng của sóng spin vào vectơ sóng ở 46 cùng nhiệt độ trong trường hợp màng mỏng từ hai lớp, η=1.2 Hình 3.10 Sự phụ thuộc của độ từ hóa m của màng mỏng từ hai lớp vào nhiệt 49 độ Hình 3.11 Sự phụ thuộc của phổ năng lượng sóng spin vào vectơ sóng ở cùng 50 4
nhiệt độ, trường hợp màng mỏng 2 lớp có dị hướng, η=1.2, S=1 Hình 3.12 Sự phụ thuộc của phổ năng lượng sóng spin vào vectơ sóng ở các 50 nhiệt độ khác nhau, trường hợp màng mỏng 2 lớp có dị hướng ρ=1.7, , S=1 Hình 3.13 Sự phụ thuộc của phổ năng lượng sóng spin vào vectơ sóng ở các 51 nhiệt độ khác nhau (lát cắt trong không gian ba chiều), trường hợp màng mỏng 2 lớp có dị hướng ρ=1.7, , S=1 Hình 3.14 Sự phụ thuộc của phổ năng lượng sóng spin vào vectơ sóng ở các 51 nhiệt độ khác nhau (trong không gian ba chiều), trường hợp màng mỏng 2 lớp có dị hướng 5
MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài: Vật liệu nano (nano materials) là một trong những lĩnh vực nghiên cứu đỉnh cao sôi động nhất trong thời gian gần đây. Điều đó được thể hiện bằng số các công trình khoa học, số các bằng phát minh sáng chế, số các công ty có liên quan đến khoa học, công nghệ nano gia tăng theo cấp số mũ. Con số ước tính về số tiền đầu tư vào lĩnh vực này lên đến 8,6 tỷ đô la vào năm 2004. Khi ta nói đến nano là nói đến một phần tỷ của cái gì đó, ví dụ, một nano giây là một khoảng thời gian bằng một phần tỷ của một giây. Còn nano mà chúng ta dùng ở đây có nghĩa là nano mét, một phần tỷ của một mét. Nói một cách rõ hơn là vật liệu chất rắn có kích thước nm vì yếu tố quan trọng nhất mà chúng ta sẽ làm việc là vật liệu ở trạng thái rắn. Vật liệu nano là vật liệu trong đó ít nhất có một chiều có kích thước nano mét (nm). Về trạng thái của vật liệu, người ta phân chia thành ba trạng thái rắn, lỏng và khí. Vật liệu nano được tập trung nghiên cứu hiện nay, chủ yếu là vật liệu rắn, sau đó mới đến chất lỏng và chất khí. Về hình dáng vật liệu, người ta phân ra thành các loại sau: Vật liệu nano không chiều (cả ba chiều đều có kích thước nano), ví dụ: đám nano, hạt nano, … Vật liệu nano một chiều là vật liệu trong đó một chiều có kích thước nano, ví dụ: dây nano, ống nano, … Vật liệu nano hai chiều là vật liệu trong đó hai chiều có kích thước nano, ví dụ: màng mỏng, …
Ngoài ra còn có vật liệu có cấu trúc nano hay nanocomposite trong đó chỉ có một phần của vật liệu có kích thước nano, hoặc cấu trúc của nó có nano không chiều, một chiều, hai chiều đan xen lẫn nhau. Hiện nay màng mỏng đang là một lĩnh vực nghiên cứu mạnh mẽ của khoa học và công nghệ vật liệu, vật lý chất rắn... với nhiều khả năng ứng dụng to lớn trong đời sống hàng ngày, trong sản xuất. Màng mỏng (tiếng Anh: Thin film) là một hay nhiều lớp vật liệu được chế tạo sao cho chiều dày nhỏ hơn rất nhiều so với các chiều còn lại (chiều rộng và chiều dài). Khái niệm "mỏng" trong màng mỏng rất đa dạng, có thể chỉ từ vài lớp nguyên tử, đến vài nanomet, hay hàng micromet. Khi chiều dày của màng mỏng đủ nhỏ so với quãng đường tự do trung bình của điện tử hoặc các chiều dài tương tác thì tính chất của màng mỏng hoàn toàn thay đổi so với tính chất của vật liệu khối. Hiệu ứng thay đổi tính chất rõ rệt nhất về tính chất của màng mỏng là hiệu ứng bề mặt. Khi vật liệu có kích thước nm, các số nguyên tử nằm trên bề mặt sẽ chiếm tỉ lệ đáng kể so với tổng số nguyên tử. Chính vì vậy, các hiệu ứng có liên quan đến bề mặt, gọi tắt là hiệu ứng bề mặt sẽ trở nên quan trọng làm cho tính chất của vật liệu có kích thước nm khác biệt so với vật liệu ở dạng khối. Ví dụ như trong các vật liệu sắt từ, ở vật liệu dạng khối, dị hướng từ tinh thể ảnh hưởng rất lớn đến tính chất từ, nhưng khi chế tạo ở các màng đủ mỏng, dị hướng từ tinh thể có thể biến mất mà thay vào đó là dị hướng từ bề mặt. Màng vật liệu từ tính có trạng thái vật lý ở thể rắn là với chiều dày khoảng vài μm (nhỏ hơn 5μm), còn được biết với tên gọi màng sắt từ hay màng từ. Màng từ có thể là đơn tinh thể, đa tinh thể, vô định hình hoặc là đa lớp. Ứng dụng bao gồm các lĩnh vực bộ lưu trữ quang từ, đầu ghi cảm ứng, cảm biến từ trở, các thành phần xử lý và lưu trữ của máy tính. Màng mỏng từ tính và tính chất của nó đã thu hút rất nhiều sự quan tâm chú ý của nhiều nhà khoa học trong suốt 30 năm qua. Đặc biệt là những hiệu ứng liên quan đến sự phụ thuộc vào độ dày màng mỏng [3], [8]. Ví dụ: hình 1 (xem [3]) cho thấy nhiệt độ Curie giảm khi độ dày màng mỏng giảm và tỷ số hằng số mạng tăng khi độ dày màng mỏng giảm
Một số tác giả đã nghiên cứu và chỉ ra được sự phụ thuộc độ từ hóa và nhiệt độ Curie vào độ dày màng mỏng bằng phương pháp phiếm hàm mật độ (DFT) và phương pháp tích phân phiếm hàm [6], [7]. Dựa trên những ý tưởng đó, luận văn này sẽ đi sâu nghiên cứu về độ từ hóa và sóng spin màng từ siêu mỏng với vài lớp spin nguyên tử bằng phương pháp hàm Green nhiệt độ hai thời điểm và phương pháp gần đúng ngắt chuỗi của Bogolyubov và Tiablikov. Với tên luận án là: “Lý thuyết độ từ hóa của các hệ spin giả hai chiều”. 2. Phương pháp nghiên cứu: Trong luận văn này, chúng ta sử dụng phương pháp hàm Green nhiệt độ hai thời điểm và phương pháp ngắt chuỗi của Bogolyubov và Tiablikov để nghiên cứu tính toán. Đồng thời, công cụ Matlab cũng được sử dụng để tính toán số và vẽ đồ thị. 3. Cấu trúc luận văn Luận văn gồm 3 chương chính Chương 1: Hàm Green nhiệt độ hai thời điểm. Chương này là lý thuyết về phương pháp hàm Green nhiệt độ hai thời điểm; về Hamiltonian sắt từ và các toán tử spin, về phương pháp gần đúng pha ngẫu nhiên. Đây là cơ sở lý thuyết để ta đi thiết lập phương tình tổng quát cho màng mỏng từ tính trong chương 2. Chương 2: Độ từ hóa và phổ sóng spin trong màng mỏng từ trong gần đúng Bogolyubov và Tiablikov. Dựa trên cơ sở lý thuyết ở chương 1, ta sẽ tính toán để nhận chuỗi móc xích cho hàm Green xây dựng trên các toán tử spin trong màng
mỏng và ngắt chuỗi hàm Green trong gần đúng BogolibovTiablikov. Đưa ra phương trình xác định phổ năng lương sóng spin và độ từ hóa phụ thuộc nhiệt độ. Chương 3: Độ từ hóa và phổ sóng spin trong màng mỏng đơn lớp và hai lớp spin nguyên tử. Áp dụng biểu thức được thiết lập cho màng mỏng từ gồm vài lớp spin nguyên tử ở chương 2 để tìm biểu thức độ từ hóa và biểu thức phổ năng lượng của sóng spin trong các trường hợp cụ thể: trường hợp màng mỏng đơn lớp với trao đổi dị hướng trong mặt màng; trường hợp màng mỏng gồm hai lớp nguyên tử với sự ảnh hưởng của tích phân dị hướng trong mặt lớp và giữa các lớp lên độ từ hóa và phổ sóng spin. CHƯƠ NG 1 HÀM GREEN NHI ỆT ĐỘ HAI THỜI ĐIỂM
Chương 1 đưa ra tổng quan về phương pháp hàm Green nhiệt độ hai thời điểm, Hamiltonian từ và phương pháp gần đúng pha ngẫu nhiên (RPA) làm cơ sở khoa học cho việc tính toán ở các chương sau. Phương pháp hàm Green nhiệt độ hai thời điểm có ứng dụng rất rộng rãi trong vật lý thống kê đó là một công cụ hữu hiệu để tính toán các đặc trưng vĩ mô và vi mô (ví dụ năng lượng kích thích cơ bản, thời gian sống của hạt …). Trong các bài toán động học như tính độ dẫn điện, độ cảm từ, hệ số động học … người ta cũng thường sử dụng phương pháp hàm Green. Phương pháp hàm Green hai thời điểm cho các hệ từ tính được mô tả trong [9]. 1.1 Hàm tương quan thời gian và hàm Green 1.1.1 Hàm tương quan thời gian Cho A(t) và B(t’) là các toán tử trong biểu diễn Heisenberg (1.1) Ở đây H là Hamiltonian của hệ (ta coi H chứa cả số hạng λ với λ là hoá , thế và là toán tử số hạt tổng cộng trong hệ). Trong trường hợp tổng quát A, B có thể là tích của các hàm sóng lượng tử hoá hay các toán tử sinh huỷ hạt. Phương trình chuyển động cho các toán tử có dạng: hay (1.2) Giao hoán tử ở phía bên phải của (1.2) có thể chứa nhiều số toán tử tuỳ thuộc vào dạng của Hamiltonian H . Ta định nghĩa hàm tương quan thời gian của hai toán tử A(t), B(t’) là FAB(t,t’)= (1.3)
Ngoặc nhọn biểu thị trung bình thống kê với Hamiltonian H. = Tr (ρ A) (1.4a) Ở đây ρ là toán tử thống kê ( Tr là ký hiệu lấy vết – Trace) , θ=kBT (1.4b) Q còn là tổng thống kê (1.4c) Mối quan hệ giữa tổng thống kê và thế nhiệt động Ω thể hiện qua đẳng thức (1.4d) ( Hoặc = Tr () = Q ). Toán tử thống kê còn được viết là (1.5) Do tính chất bất biến của vết – Tr với hoán vị tuần hoàn các toán tử dưới dấu vết Tr nên hàm tương quan (1.3) chỉ phụ thuộc vào hiệu thời gian (t – t’). Thật vậy = Hay FAB(t,t’) = FAB(tt’) (1.6) Khi thời gian trùng nhau t = t’ hàm tương quan thời gian trở thành trung bình thống kê thông thường (1.7) Lấy đạo hàm của hàm tương quan thời gian (1.3) theo một biến thời gian (t chẳng hạn) ta sẽ có phương trình mô tả sự biến đổi của nó theo thời gian (xem (1.2)). Hay
(1.8) Phía bên phải của (1.8) chứa giao hoán tử của A(t) với H nói chung chứa một số toán tử lớn hơn bên phải – đó là hàm tương quan bậc cao hơn. Hoàn toàn tương tự nếu lấy đạo hàm bên phải của (1.8) theo t ta được hệ các phương trình chuyển động kiểu móc xích (1.9) Hệ móc xích các phương trình chuyển động (1.8), (1.9) không giải chính xác được mà cần phải áp dụng một phép gần đúng nào đó ví dụ ngắt chuỗi phương trình đó ở một bước nào đó để nhận được một hệ phương trình hữu hạn sau đó giải hệ để tìm biểu thức cho hàm tương quan. 1.1.2 Hàm Green Chúng ta định nghĩa hàm Green chậm (ký hiệu r – retarded), nhanh (a – advanced) và nguyên nhân (c – causal) như sau: (1.10a) (1.10b) (1.10c) Ở đây ký hiệu giao hoán tử và trật tự thời gian cũng như hàm bậc thang θ(x) có ý nghĩa là (1.11a) (1.11b) (1.11c)
Tham số ξ = 1 hay 1 được chọn tuỳ theo sự tiện lợi không phụ thuộc vào định luật giao hoán cho A, B. Thông thường người ta chọn ξ = 1 nếu các toán tử A, B thể hiện qua các toán tử kiểu Bose và ξ = 1 nếu chúng được thể hiện qua các toán tử kiểu Fermi. Một trong các tính chất của hàm Green là do chúng được biểu thị qua các hàm tương quan (1.3) nên chúng cũng chỉ là hàm số của hiệu thời gian (t – t’). (j = r, a, c) (1.12) Theo định nghĩa hàm Green phụ thuộc tuyến tính vào các tham số trước toán tử A, B hay (1.13) Với α1, α2 là các số tuỳ ý. Bây giờ ta sẽ lập phương trình chuyển động cho hàm Green bằng cách đạo hàm (1.10a), (1.10b), (1.10c) theo t. Khi đó chúng ta phải biết cách đạo hàm hàm bậc thang θ(t). Để làm việc này ta dùng biểu diễn tích phân sau của hàm gián đoạn θ(t) () (1.14) Ở đây δ(t) là hàm delta – Dirac. Chú ý rằng theo (1.14) (1.15) Sử dụng (1.15), phương trình chuyển động cho toán tử (1.2), ta được phương trình chuyển động (viết chung cho cả ba loại hàm Green) (j=r,a,c) (1.16) Phương trình (1.16) khác với phương trình chuyển động (1.8) cho hàm tương quan ở chỗ bên phải có số hạng thứ nhất với hệ số là hàm delta. Phương trình (1.16) giống với phương trình toán lý cho hàm truyền (hàm Green) cho nên các biểu thức (1.10a), (1.10b), (1.10c) được gọi là định nghĩa cho hàm Green nhiệt độ hai thời điểm.
Tương tự như khi nhận được chuỗi phương trình móc xích cho hàm tương quan thời gian, ta có thể lấy đạo hàm theo t tiếp đối với hàm Green bậc cao ở vế bên phải của (1.16) (số hạng thứ hai). (1.17) (1.17) là phương trình chuyển động cho hàm Green . Nếu lấy đạo hàm theo t tiếp cho hàm Green bậc cao hơn nữa (số hạng thứ hai trong bên phải của (1.17)) và tiếp tục quá trình đó ta sẽ nhận được chuỗi phương trình móc xích cho các hàm Green Chuỗi phương trình móc xích cho ta loại hàm Green chậm, nhanh và nguyên nhân đều như nhau 1.2 Biểu diễn Fourier cho hàm Green Vì hàm Green là hàm của biến (t – t’) (cũng như các hàm tương quan) ta có thể phân tích các hàm đó theo tích phân Fourier (1.18a) gọi là ảnh Fourier của nguyên hàm . Biến đổi Fourier ngược cho ta mối liên hệ giữa ảnh Fourier và nguyên hàm (1.18b) Với j = r, a, c Sử dụng (1.18a) ta có thể viết phương trình chuyển động cho hàm Green (1.16):
Hay (1.19) Ở đây, ký hiệu biểu thị hàm Green ảnh , còn là hàm Green ảnh của hàm Green bậc cao tương ứng. Ngoài ra, ta đã sử dụng biểu diễn sau cho hàm delta – Dirac (1.20) Phương trình đạo hàm Green ảnh (1.19) được gọi là phương trình chuyển động cho hàm Green trong biểu diễn E (biểu diễn năng lượng). Để giải phương trình cho hàm Green (1.16) ta cũng cần biết điều kiện biên theo t của các hàm đó, điều kiện này khác nhau cho từng loại hàm Green nhanh, chậm, nguyên nhân. Dạng các điều kiện biên xuất phát ngay từ định nghĩa của chúng (1.10a), (1.10b), (1.10c). Một cách tiện lợi hơn là ta sử dụng ảnh Fourier của hàm Green , khi đó vai trò điều kiện biên sẽ là biểu diễn phổ cho hàm Green hoặc hệ thức tán sắc (hệ thức tán sắc xác định cách đi vòng cực của hàm Green ảnh, điều đó có nghĩa là điều kiện biên cho chính hàm Green). Chúng ta cần thấy rằng sự xuất hiện chuỗi phương trình móc xích (1.16), (1.17)… cho hàm Green là tất yếu cho hệ các hạt tương tác với nhau: ta không thể xét một hạt này tách rời khỏi các hạt khác. Nhiệm vụ chính là phải tìm một cách gần đúng để giải chuỗi phương trình móc xích vô hạn đó. Cách thông thường là ngắt chuỗi hàm Green ở một bước nào đó để nhận được hệ phương trình hữu hạn cho các hàm Green rồi giải. 1.3 Biểu diễn phổ cho hàm Green 1.3.1 Biểu diễn phổ cho hàm tương quan Ta biểu thị một cách hình thức Eν và Cν là các giá trị riêng và hàm riêng của Hamiltonian H của hệ
(H Eν)Cν = 0 (1.21) Hệ các hàm riêng là hệ đầy do đó ta có thể viết giá trị trung bình thống kê của tích hai toán tử Vì vết (Tr) là tổng các thành phần ma trận chéo nên (1.22) Q là tổng thống kê (1.4c). Chú ý rằng (1.23) Và theo định nghĩa (1.1) về các toán tử trong biểu diễn Heisenberg, (1.22) trở thành: (1.24) Tính toán hoàn toàn tương tự cho hàm tương quan Hay viết theo thứ tự giống (1.24) (1.25) Ta đưa vào khái niệm hàm cường độ phổ IAB(ω) (1.26) Thì hàm tương quan (1.24), (1.25) được biểu diễn trong dạng tích phân Fourier
(1.27a) (1.27b) (1.27a), (1.27b) còn được gọi là biểu diễn phổ cho hàm tương quan thời gian. Khi t = t’ ta có công thức cho trung bình các toán tử dưới dáng tích phân (1.28a) (1.28b) Nhân (1.27a) và (1.28a) với ξ và lấy (1.27b), (1.28b) trừ đi chúng, một cách tương ứng ta được biểu diễn phổ cho trung bình của các giao hoán tử. (1.29a) (1.29b) Đó là các biểu thức chính xác.Tóm lại (1.27a), (1.27b), (1.29a), (1.29b) là biểu diễn phổ cho các hàm tương quan và cho trung bình của các giao hoán tử. 1.3.2 Biểu diễn phổ cho hàm Green Hàm Green chậm trong biểu diễn năng lượng ((1.18b), (1.11a)) Theo (1.29a) thì (1.30) Bây giờ ta sử dụng biểu diễn sau cho hàm gián đoạn θ(t) (đặt (1.20) vào (1.14)): (ε> 0)
(1.31) Ngược lại ta có thể chứng minh theo biểu diễn tích phân (1.31) thì như sau: Sử dụng tính chất của hàm biến phức cho rằng E là đại lượng phức. Áp dụng định lý về thặng dư: (1.32) z0 là cực của hàm f(z). f(z) là hàm holomorphic trong mặt phẳng phức trừ ở các cực. γ là đường chu tuyến bao quanh cực z0, có chiều ngược chiều kim đồng hồ. Khi t > 0 ta có thể chọn đường lấy tích phân γ khép kín trong mặt phẳng phức E ở bên dưới bao quanh cực E = iε (hình vẽ 1.a) θ(t) = 1 Khi t
Bằng cách hoàn toàn tương tự ta có biểu diễn cho hàm Green nhanh (1.35) ((1.35) chỉ khác (1.34) khi thay +iε → iε) Trong (1.33) (1.35) E được coi là thực. Bây giờ nếu ta coi E là đại lượng phức thì (1.34), (1.35) có thể viết chung làm một công thức (1.36) (1.34) (1.36) được gọi là biểu diễn phổ cho hàm Green. Hàm Green chậm và nhanh là các hàm giải tích trong nửa mặt phẳng trên (ImE > 0) và dưới (ImE
Một ứng dụng quan trọng của biểu diễn phổ (1.36) là ta có thể xác định cường độ phổ IAB(ω) nếu biết ảnh Fourier GAB(E) (1.40) Thật vậy, theo (1.36) Áp dụng (1.38) cho biểu thức trong ngoặc móc, ta được Đó là điều phải chứng minh. Biết IAB(ω) (1.19) ta dễ dàng tính được trung bình thống kê tích các toán tử theo (1.8a) hoặc (1.8b). Thí dụ (1.8b) được viết là (1.41) Nếu A là toán tử sinh hạt A = a +, B là toán tử huỷ hạt B = a thì (1.20) cho ta cách tính giá trị trung bình số hạt ở một nhiệt độ xác định. 1.4 Hamiltonian sắt từ và các toán tử spin Hamiltonian Heisenberg:Trước hết chúng ta nghiên cứu hiện tượng sắt từ trong tinh thể từ trật tự gồm các nguyên tử từ có spin đứng tại nút j của mạng tinh thể hoàn hảo (j là chỉ số nút mạng, ta cũng kí hiệu là vectơ chỉ vị trí nút mạng trong hệ toạ độ tinh thể). Các spin tại nút i và j tương tác trao đổi với nhau và độ lớn của tương tác đó được đặc trưng bởi tích phân trao đổi Jij. Xét về mặt vi mô, nguyên nhân của tương tác trao đổi là sự phủ của các hàm sóng quỹ đạo của các điện tử thuộc các lớp vỏ điện tử không chiếm đầy hoàn toàn của các nguyên tử từ (ở đây nói về tương tác trao đổi trực tiếp, ngoài ra còn có thể có cơ chế trao đổi gián tiếp qua các ion hoặc điện tử trung gian).