Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Phương pháp ma trận chuyển cho môi trường phân lớp trực hướng

Chia sẻ: Na Na | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:42

Thêm vào BST

Báo xấu

57
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn bao gồm ba chương cùng với phần mở đầu và kết luận. Chương 1 sẽ đi tìm dạng hiển của matrizant của lớp và bán không gian. Chương 2 sẽ sử dụng dạng hiển của matrizant tìm được ở chương 1 để thiết lập phương trình tán sắc và tỷ số H/V của sóng mặt Rayleigh truyền trong môi trường phân lớp. Một số kết quả minh họa số sẽ được trình bày trong chương 3.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Phương pháp ma trận chuyển cho môi trường phân lớp trực hướng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ———————— Trần Ngọc Trung PHƯƠNG PHÁP MA TRẬN CHUYỂN CHO MÔI TRƯỜNG PHÂN LỚP TRỰC HƯỚNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2015
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ———————— Trần Ngọc Trung PHƯƠNG PHÁP MA TRẬN CHUYỂN CHO MÔI TRƯỜNG PHÂN LỚP TRỰC HƯỚNG Chuyên ngành: Cơ học vật rắn Mã số: 60440107 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. Trần Thanh Tuấn Hà Nội - 2015
LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên của luận văn này em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn TS. Trần Thanh Tuấn. Thầy đã tận tình quan tâm hướng dẫn em trong quá trình hoàn thành luận văn này. Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới nhóm Seminar tại bộ môn Cơ học do GS. TS. Phạm Chí Vĩnh chủ trì, cùng toàn thể các thầy cô giáo trong khoa Toán - Cơ - Tin học, Đại học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc Gia Hà Nội đã dạy bảo em tận tình trong suốt quá trình học tập tại khoa. Em cũng xin được gửi lời tới cơ quan em đang công tác là Nhà xuất bản Khoa học tự nhiên và Công nghệ và Tổng biên tập Tạp chí Vietnam Journal of Mechanics đã tạo điều kiện thuận lợi để em hoàn thành chương trình cao học. Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn này. Hà Nội, tháng 12 năm 2015 Học viên Trần Ngọc Trung
Mục lục LỜI MỞ ĐẦU 3 1 PHƯƠNG PHÁP MA TRẬN 6 1.1 Các hệ thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Phương pháp tìm ma trận matrizant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2 PHƯƠNG TRÌNH TÁN SẮC VÀ TỶ SỐ H/V 21 2.1 Phương trình tán sắc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2 Tỷ số H/V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3 KẾT QUẢ MINH HỌA SỐ 31 3.1 Phương trình tán sắc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.2 Ảnh hướng của tính chất bất đẳng hướng của vật liệu lên tỷ số H/V . . 33 KẾT LUẬN 36 TÀI LIỆU THAM KHẢO 36 2
LỜI MỞ ĐẦU Năm 1885, Rayleigh đã phát hiện ra một loại sóng mặt lan truyền tương tự sóng mặt nước, sóng này sau đó được đặt theo tên ông. Từ đó đến nay, những nghiên cứu sự lan truyền sóng mặt Rayleigh trong bán không gian phân lớp nhận được rất nhiều sự quan tâm trong lĩnh vực địa chấn học, bằng cách xét mô hình bề mặt trái đất là một mô hình có một số lớp đặt trên bán không gian. Các lớp chính là các lớp địa tầng mềm và bán không gian là lớp đá bên dưới được hình thành từ rất lâu. Sóng Rayleigh là một trong những sóng được sinh ra bởi những trận động đất và do tính chất bề mặt của nó mà sóng Rayleigh được coi là sóng gây thiệt hại nhiều nhất. Do đó việc nghiên cứu sự truyền sóng mặt Rayleigh trong mô hình phân lớp được coi là rất quan trọng trong lĩnh vực địa chấn. Phương pháp đầu tiên có hệ thống và hiệu quả để tìm phương trình tán sắc của sóng mặt Rayleigh là phương pháp ma trận chuyển được đề xuất bởi Thomson (1950) [19] và Haskell (1953) [7]. Phương pháp này biểu diễn mối liên hệ giữa chuyển vị và ứng suất tại hai mặt của một lớp bởi một ma trận được gọi là ma trận chuyển của lớp. Tích của các ma trận này được sử dụng để tìm mối liên hệ giữa chuyển vị và ứng suất tại mặt tự do của lớp trên cùng và mặt trên của bán không gian và sau đó các điều kiện biên được sử dụng để tìm phương trình tán sắc. Phương pháp này được cải tiến cho hiệu quả và ổn định trong một số công trình, ví dụ như trong Knopoff (1964) [9], Dunkin (1965) [5], Kennett (1983) [8] và Chen (1993) [2] và nó vẫn đang được sử dụng rộng rãi tới ngày nay. Đối với mô hình bán không gian được phủ bởi các lớp thuần nhất đẳng hướng, ma trận chuyển của các lớp có dạng hiển bởi vì số sóng theo phương thẳng đứng trong các lớp có dạng đơn giản và có giá trị luôn là số thực hoặc số thuần ảo. Bài toán sẽ
MỤC LỤC MỤC LỤC trở nên khó khăn hơn khi vật liệu cấu thành các lớp và bán không gian không còn là đẳng hướng mà là vật liệu dị hướng. Khi đó số sóng theo phương thẳng đứng của sóng phẳng truyền trong môi trường bất đẳng hướng này sẽ trở nên phức tạp và có giá trị phức. Điều này dẫn tới ma trận chuyển của các lớp có thể sẽ nhận giá trị phức và dẫn đến khó khăn trong việc tính toán số. Hơn nữa, dạng hiện của các ma trận chuyển này sẽ không còn dễ dàng nhận được như trong trường hợp đẳng hướng (xem Crampin, 1970 [3]; Crampin và Taylor, 1971 [4]). Điều này sẽ dẫn đến những khó khăn trong việc xử lý điều kiện tắt dần của sóng mặt trong bán không gian. Trong trường hợp vật liệu của mô hình là vật liệu trực hướng, một biểu diễn dạng hiển của ma trận chuyển của lớp đã được đưa ra trong Solyanik (1977) [16] và dạng cải tiến của nó được đưa ra trong Rokhlin và Wang (1992) [17] để cho việc tính toán số thuận tiện hơn. Tuy nhiên, các phần tử của các ma trận dạng hiển này không phải lúc nào cũng nhận các giá trị thực, và do đó có thể gây khó khăn trong việc tính toán số. Trong luận văn này, một cách tiếp cận mới tốt hơn cách tiếp cận của phương pháp Thomson-Haskell sẽ được sử dụng để nhận được ma trận "matrizant" của một lớp. Về mặt toán học, ma trận matrizant chính là ma trận nghiệm cơ bản của hệ phương trình vi phân chuyển động của hệ thống sóng P-SV truyền trong môi trường của lớp, và nó có ý nghĩa tương tự như ma trận chuyển của lớp. Ma trận matrizant của lớp sẽ được biểu diễn dưới dạng hiển bằng cách sử dụng định lý Sylvester. Đối với bài toán tìm phương trình tán sắc của sóng mặt Rayleigh, ma trận matrizant này được biểu diễn lại dưới một dạng tương đương và nó là một ma trận thực không thứ nguyên, không phụ thuộc vào đơn vị của của các tham số của lớp. Với cách tiếp cận mới này, điều kiện biên tắt dần trong bán không gian cũng sẽ được xử lý bằng cách sử dụng định lý Vieta. Khi đó, phương trình tán sắc nhận được bởi cách tiếp cận mới sẽ được biểu diễn thông qua các tham số không thứ nguyên, luôn nhận giá trị thực và do đó thuận tiện hơn trong việc tính toán số. Bằng cách tiếp cận ở trên, luận văn cũng đưa ra công thức tính toán tỷ số H/V của sóng mặt Rayleigh trong mô hình phân lớp trực hướng. Công thức tỷ số này được sử dụng trong phương pháp tỷ số H/V để đo đạc tần số cộng hưởng của các lớp bề mặt, là tần số mà chuyển động của sóng động đất bị khuếch đại nhiều nhất. Các công thức tỷ số này sẽ được sử dụng để khảo sát ảnh hưởng của tính chất bất đẳng hướng của vật liệu lên tần số của điểm cực đại và điểm cực tiểu của đường cong tỷ số H/V. Đây là hai thông tin quan trọng được sử dụng trong phương pháp tỷ số H/V. 4
MỤC LỤC Luận văn bao gồm ba chương cùng với phần mở đầu và kết luận. Chương 1 sẽ đi tìm dạng hiển của matrizant của lớp và bán không gian. Chương 2 sẽ sử dụng dạng hiển của matrizant tìm được ở Chương 1 để thiết lập phương trình tán sắc và tỷ số H/V của sóng mặt Rayleigh truyền trong môi trường phân lớp. Một số kết quả minh họa số sẽ được trình bày trong Chương 3. Do thời gian thực hiện luận văn không nhiều, kiến thức còn hạn chế nên khi làm luận văn không tránh khỏi những hạn chế và sai sót. Em mong nhận được sự góp ý và những ý kiến phản biện của quý thầy cô và bạn đọc. Xin chân thành cảm ơn! 5
Chương 1 PHƯƠNG PHÁP MA TRẬN Bề mặt trái đất được mô hình hóa tương ứng với một số lớp song song đặt trên một bán không gian (Hình 1.1). Trục chính của bán không gian và các lớp được giả thiết là cùng phương. Sóng phẳng lan truyền theo phương ngang trong mô hình với vận tốc c, tần số góc ω và số sóng k. Chọn hệ trục tọa độ với trục 0x1 song song với các lớp và có chiều hướng theo phương truyền sóng. Trục 0x2 có chiều dương hướng lên trên và có gốc tọa độ nằm tại mặt ngoài cùng của bán không gian, ta coi bán không gian là lớp thứ (0). Nội dung chính của chương này là trình bày các hệ thức cơ bản của phương pháp tìm ma trận matrizant trong mô hình phân lớp trực hướng, từ đó tìm ra được phương trình tán sắc của sóng Rayleigh đối với môi trường phân lớp trực hướng. Chú ý rằng, nói chung mô hình bề mặt trái đất thông thường được giả thiết là vật liệu đẳng hướng. Một số vùng thì được giả thiết là đẳng hướng ngang, chỉ có một số ít vùng cần được giả thiết là được cấu tạo từ vật liệu trực hướng. Trong trường hợp này, để đơn giản, luận văn giả thiết các lớp trực hướng có các hướng chính trùng nhau. 1.1 Các hệ thức cơ bản Xét n lớp thuần nhất trực hướng đặt trên một bán không gian cũng thuần nhất (k) trực hướng. Với h(k) , ρ (k) , ci j (i, j = 1, 6) ta ký hiệu là độ dày, mật độ, và các hằng số vật liệu của lớp thứ k (k = 0, n). Mô hình bài toán ta xét như Hình 1.1, trong đó các sóng phẳng được giả thiết là truyền trong mặt phẳng (x1 , x2 ). Do đó, các thành 6
CHƯƠNG 1. PHƯƠNG PHÁP MA TRẬN phần chuyển dịch của sóng phẳng trong môi trường đang xét là các hàm phụ thuộc vào (x1 , x2 ,t) có dạng ui = ui (x1 , x2 ,t), i = 1, 2, 3 (1.1) trong đó ui là các thành phần của vector chuyển dịch. x2 x(n) 2 (n-1) (n) x2 (n-1) x(n-2) 2 x(2) 2 x2(1) (2) (1) x2(0) 0 (0) x1 Hình 1.1: Mô hình n lớp vật liệu trực hướng đặt trên bán không gian (bán không gian là lớp 0). Các trục chính của các lớp và bán không gian được giả thiết là cùng hướng. Phương trình trạng thái biểu diễn mối liên hệ giữa các thành phần của ứng suất và các thành phần gradient của chuyển dịch trong vật liệu đàn hồi trực hướng (xem Ting, 1996 [20]) có dạng σ11 = c11 u1,1 + c12 u2,2 , σ22 = c12 u1,1 + c22 u2,2 , (1.2) σ12 = c66 (u1,2 + u2,1 ) , trong đó, σi j là ứng suất của lớp, dấu "," tương ứng với đạo hàm theo biến không gian xk . Phương trình chuyển động khi bỏ qua lực khối có dạng σ11,1 + σ12,2 = ρ u¨1 , (1.3) σ12,1 + σ22,2 = ρ u¨2 , 7
CHƯƠNG 1. PHƯƠNG PHÁP MA TRẬN trong đó, dấu "." biểu thị đạo hàm theo biến thời gian t. Xét sóng mặt truyền trong một lớp với hệ số vật liệu là (ρ, ci j ), thì các thành phần chuyển dịch được biểu diễn dưới dạng hàm mũ (xem Takeuchi và Saito, 1972 [18]) có dạng u1 = −iy2 (x2 ; ω, k) ei(ωt−kx1 ) , u2 = y1 (x2 ; ω, k) ei(ωt−kx1 ) , (1.4) u3 = 0, trong đó, ω, k,t là tần số góc, số sóng và thời gian tương ứng. Các thành phần ứng suất cũng được biểu diễn tương tự có dạng σ22 = y3 (x2 ; ω, k)ei(ωt−kx1 ) , (1.5) i(ωt−kx1 ) σ12 = −iy4 (x2 ; ω, k)e . Đạo hàm (1.4) theo x1 và x2 , ta nhận được u1,1 = −ky2 ei(ωt−kx1 ) , dy2 i(ωt−kx1 ) u1,2 = −i e , dx2 (1.6) dy1 i(ωt−kx1 ) u2,2 = e , dx2 u2,1 = −iky1 ei(ωt−kx1 ) . Thay (1.6) vào (1.2), ta được dy1 i(ωt−kx1 ) σ11 = −kc11 y2 + c12 e , dx2 dy1 i(ωt−kx1 ) σ22 = −kc12 y2 + c22 e , (1.7) dx 2 dy2 σ12 = −c66 + ky1 iei(ωt−kx1 ) . dx2 Kết hợp (1.5), (1.7)2 và (1.7)3 , thu được dy1 y3 = c22 − kc12 y2 , dx2 (1.8) dy2 y4 = c66 + ky1 . dx2 8
CHƯƠNG 1. PHƯƠNG PHÁP MA TRẬN dy1 dy2 Rút , từ hai phương trình này ta được dx2 dx2 dy1 c12 1 = k y2 + y3 , dx2 c22 c22 (1.9) dy2 1 = −ky1 + y4 . dx2 c66 Sau đó lấy đạo hàm theo x1 phương trình (1.7)1 , ta có 2 dy1 i(ωt−kx1 ) σ11,1 = ik c11 y2 − ikc12 e . (1.10) dx2 Đạo hàm (1.5) theo x1 và x2 , nhận được σ22,1 = −iky3 ei(ωt−kx1 ) , dy3 i(ωt−kx1 ) σ22,2 = e , dx2 (1.11) σ12,1 = −y4 ei(ωt−kx1 ) , dy4 i(ωt−kx1 ) σ12,2 = −i e . dx2 Lấy đạo hàm bậc hai (1.4) theo biến thời gian t, thu được u¨1 = iω 2 y2 ei(ωt−kx1 ) , (1.12) u¨2 = −ω 2 y1 ei(ωt−kx1 ) . Thay (1.10), (1.11) và (1.12) vào (1.3), ta có dy1 dy4 k c12 − kc11 y2 + = −ρω 2 y2 , dx2 dx2 (1.13) dy3 − ky4 + = −ρω 2 y1 . dx2 dy1 dy3 dy4 Thay từ phương trình (1.9) vào (1.13)1 , sau đó rút ra , , ta được dx2 dx2 dx2 dy3 = −ρω 2 y1 + ky4 , dx2 2 (1.14) dy4 c c12 = k2 c11 − 12 − ρω 2 y2 − k y3 . dx2 c22 c22 Phương trình (1.9) và (1.14) có thể viết dưới dạng ma trận như dưới đây dy = Uy, (1.15) dx2 9
CHƯƠNG 1. PHƯƠNG PHÁP MA TRẬN trong đó y = [y1 , y2 , y3 , y4 ]T (ký hiệu “T ” là chuyển vị) và   c12 1 0 k 0  c22 c22  1    −k   0 0  U=  c66 .  (1.16)  −ρω 2 0 0 k      c2  c12  0 k2 c11 − 12 − ρω 2 −k 0 c22 c22 Phương trình (1.15) là hệ phương trình vi phân tuyến tính đối với biến trạng thái y. Để tìm nghiệm tổng quát của hệ phương trình vi phân tuyến tính này chúng ta cần phải biết điều kiện đầu của bài toán và ma trận nghiệm tổng quát của nó. Phần tiếp theo của mục này sẽ đi tìm ma trận "matrizant", về mặt toán học là ma trận nghiệm tổng quát của hệ trên. Ma trận matrizant của lớp sẽ được biểu diễn bởi định lý Sylvester và do đó yêu cầu các giá trị riêng của ma trận hệ số U. Điều kiện đầu của bài toán truyền sóng mặt Rayleigh sẽ được nhận từ điều kiện tắt dần tại vô cùng trong bán không gian và có thể nhận được thông qua các vector nghiệm riêng của hệ phương trình (1.15) đối với bán không gian. Tiếp theo, ta tìm bốn giá trị riêng của ma trận U trong phương trình (1.15) và bốn vector riêng tương ứng. Các giá trị riêng của ma trận U là nghiệm của phương trình det(U − λ I) = 0, với λ = kb là giá trị riêng của ma trận. Ta có 10
CHƯƠNG 1. PHƯƠNG PHÁP MA TRẬN
c12 1
−λ k 0
c 22 c22