Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Sóng Rayleigh trong mô hình hai lớp thuần nhất

Chia sẻ: Na Na | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:51

Thêm vào BST

Báo xấu

35
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn khảo sát sóng mặt Rayleigh trong mô hình hai lớp có đáy bị ngàm. Mô hình này đủ đơn giản để có thể nhận được phương trình tán sắc và công thức tỷ số H/V dưới dạng hiển và nó là trường hợp tới hạn của mô hình hai lớp đặt trên bán không gian. Mô hình hai lớp đặt trên bán không gian này trong rất nhiều trường hợp là đủ để mô tả mô hình thực tế của vỏ trái đất. Với các phương trình dạng hiển này, một số tính chất của sóng Rayleigh sẽ được nghiên cứu một cách giải tích.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Sóng Rayleigh trong mô hình hai lớp thuần nhất

I HÅC QUÈC GIA H NËI TR×ÍNG I HÅC KHOA HÅC TÜ NHIN .......................... Nguy¹n Thanh Nh n SÂNG RAYLEIGH TRONG MÆ HNH HAI LÎP THUN NHT Chuy¶n ng nh: Cì håc vªt thº rn M¢ sè: 60440107 LUN VN THC S KHOA HÅC Ng÷íi h÷îng d¨n khoa håc: TS. Tr¦n Thanh Tu§n H Nëi - 2014
LÍI CM ÌN Tr÷îc khi tr¼nh b y nëi dung ch½nh cõa luªn v«n, t¡c gi£ xin b y tä láng bi¸t ìn s¥u sc tîi TS Tr¦n Thanh Tu§n ng÷íi ¢ tªn t¼nh h÷îng d¨n º t¡c gi£ câ thº ho n th nh luªn v«n n y. T¡c gi£ công xin b y tä láng bi¸t ìn ch¥n th nh tîi to n thº c¡c th¦y cæ gi¡o trong khoa To¡n - Cì - Tin håc, ¤i håc Khoa Håc Tü Nhi¶n, ¤i Håc Quèc Gia H Nëi v nhâm seminar do PGS -TS Ph¤m Ch½ V¾nh chõ tr¼ ¢ t¤o i·u ki»n tèt nh§t cho t¡c gi£ trong qu¡ tr¼nh håc tªp t¤i khoa. Nh¥n dàp n y t¡c gi£ công xin ÷ñc gûi líi c£m ìn ch¥n th nh tîi gia ¼nh, b¤n b± ¢ cê vô v ëng vi¶n gióp ï t¡c gi£ trong qu¡ tr¼nh håc tªp v thüc hi»n luªn v«n n y. H Nëi, ng y ... th¡ng ... n«m 2014 T¡c gi£ Nguy¹n Thanh Nh n
Möc löc Kþ hi»u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 MÐ U. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Ch÷ìng 1. Ph÷ìng ph¡p h m th¸ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.1. Ph÷ìng tr¼nh t¡n sc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2. Cæng thùc t sè H/V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.3. K¸t luªn ch÷ìng 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Ch÷ìng 2. Ph÷ìng ph¡p ma trªn chuyºn . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.1. Ph÷ìng ph¡p ma trªn chuyºn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2. Cæng thùc t sè H/V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.3. Ph÷ìng ph¡p ma trªn chuyºn trong mæ h¼nh mët lîp câ d¡y bà ng m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.3.1. Ph÷ìng tr¼nh t¡n sc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.3.2. Cæng thùc t sè H/V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.4. Ph÷ìng ph¡p ma trªn chuyºn trong mæ h¼nh hai lîp câ ¡y bà ng m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.4.1. Ph÷ìng tr¼nh t¡n sc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.4.2. Cæng thùc t sè H/V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.5. K¸t luªn ch÷ìng 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Ch÷ìng 3. Mët sè t½nh ch§t cõa ÷íng cong t¡n sc v t sè H/V. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.1. Ph÷ìng tr¼nh t¡n sc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.2. Kh£o s¡t iºm cüc ¤i v iºm khæng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.3. K¸t luªn ch÷ìng 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Ch÷ìng 4. Cæng thùc trung b¼nh vªn tèc sâng ngang . . . . . 41 4.1. T¦n sè cëng h÷ðng trong mæ h¼nh hai lîp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2
4.2. Cæng thùc trung b¼nh vªn tèc sâng ngang trong mæ h¼nh hai lîp . 43 4.3. ¡nh gi¡ cæng thùc vªn tèc trung b¼nh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 4.4. K¸t luªn ch÷ìng 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 KT LUN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Danh Möc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 T i li»u tham kh£o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3
Mët sè kþ hi»u sû döng • u, v , w c¡c th nh ph¦n chuyºn dàch theo c¡c ph÷ìng 0x, 0y , 0z • u˙ , v˙ , w˙ vªn tèc chuyºn dàch theo c¡c ph÷ìng 0x, 0y , 0z • c Vªn tèc sâng • αm vªn tèc sâng dåc cõa lîp m • βm vªn tèc sâng ngang cõa lîp m • ρm khèi l÷ñng ri¶ng cõa lîp m • dm ë d y cõa lîp m • νm h¬nng sè Poisson cõa lîp m • C = c/β1 β1 • rs = β2 • cv = rs2 • rd = ρ1 /ρ2 • rt = d1 /d2 • p t¦n sè gâc • k = p/c = 2π/λ • γ1 = β12 /α12 = (1 − 2ν1 )/2(1 − ν1 ) • γ2 = β22 /α22 = (1 − 2ν2 )/2(1 − ν2 ) √ • gα1 = γ1 C 2 − 1 √ • gβ1 = C 2 − 1 p • gα2 = rs2 γ2 C 2 − 1 p • gβ2 = rs2 C 2 − 1 p • gαm = (c/αm )2 − 1 p • gβm = (c/βm )2 − 1 4
• pm = kgαm • qm = kgβm 2 • Gm = C2 ,m = 1, 2 • σ ùng su§t ph¡p • τ ùng su§t ti¸p • f¯ t¦n sè tîi h¤n • β¯ vªn tèc sâng ngang trung b¼nh 5
MÐ U Sâng Rayleigh l mët d¤ng cõa sâng b· m°t, ÷ñc °t theo t¶n cõa Lord Rayleigh, ng÷íi ¢ dòng cæng thùc to¡n håc ti¶n o¡n sü tçn t¤i cõa sâng n y v o n«m 1885. Sâng Rayleigh khi truy·n i cuën trán dåc theo m°t §t. V¼ th¸, m°t §t bà di chuyºn l¶n xuèng, qua l¤i theo ph÷ìng truy·n cõa sâng n y. Ph¦n lîn sü rung lc c£m nhªn ÷ñc trong c¡c trªn ëng §t l tø sâng Rayleigh, vîi c÷íng ë lîn hìn t§t c£ c¡c d¤ng sâng àa ch§n kh¡c. C¡c ph÷ìng tr¼nh v· sâng Rayleigh ban ¦u l ÷ñc x²t cho mæ h¼nh b¡n khæng gian v câ d¤ng hi»n ìn gi£n. Tuy nhi¶n mæ h¼nh cõa b· m°t tr¡i §t trong thüc t¸ l mæ h¼nh câ mët sè lîp °t tr¶n b¡n khæng gian. Hi»n nay cæng thùc d¤ng hi»n cho sâng Rayleigh mîi ch¿ døng l¤i ð mæ h¼nh câ mët lîp °t tr¶n b¡n khæng gian, v½ dö xem Tran Thanh Tu§n (2009) [1], Malischewsky v Scherbaun (2004) [2], Haskell (1953) [3]. Vîi c¡c mæ h¼nh nhi·u lîp hìn th¼ c¡c cæng thùc ÷ñc tr¼nh b y ð d¤ng ©n do t½nh phùc t¤p cõa mæ h¼nh. Do â, º nhªn ÷ñc cæng thùc d¤ng hi»n thuªn ti»n cho vi»c nghi¶n cùu gi£i t½ch c¡c t½nh ch§t cõa sâng Rayleigh, luªn v«n s³ døng l¤i ð vi»c nghi¶n cùu mæ h¼nh gçm câ hai lîp thu¦n nh§t. Sâng Rayleigh ÷ñc gn li·n vîi ph÷ìng ph¡p t sè H/V l ph÷ìng ph¡p nghi¶n cùu t sè cõa dàch chuyºn theo ph÷ìng ngang (Horizontal) v dàch chuyºn theo ph÷ìng th¯ng ùng (Vertical) cõa ph¦n tû tr¶n b· m°t tr¡i §t. Ph÷ìng ph¡p n y ÷ñc · xu§t bði Nogoshi v Igarashi (1971) [4] v trð n¶n phê bi¸n hìn nhí Nakamura (1989 [5], 1996 [6], 2000 [7]), v nâ ÷ñc sû döng º x¡c ành t¦n sè cëng h÷ðng sü khu¸ch ¤i sâng àa ch§n cõa c¡c lîp b· m°t. Ngo i ra nâ cán ÷ñc sû döng nh÷ l mët cæng cö º x¡c ành c¡c t½nh ch§t cõa c¡c lîp b· m°t. Ùng döng cõa ph÷ìng ph¡p ¸n tø thüc t¸ l câ r§t nhi·u th nh phè lîn ÷ñc x¥y düng tr¶n mët n·n àa t¦ng m·m v mët sè lîn th nh phè n¬m trong vòng àa ch§n, trong khi â, n·n àa t¦ng m·m trong mët sè i·u ki»n n o â s³ khu¸ch ¤i c÷íng ë sâng àa ch§n l¶n nhi·u l¦n, g¥y thi»t h¤i lîn v· ng÷íi v cõa. i·u n y cho th§y sü c¦n thi¸t cõa vi»c kh£o s¡t kÿ l÷ïng v ÷a ra nhúng ¡nh gi¡ tin cªy v· hi»n t÷ñng khu¸ch ¤i àa t¦ng. V§n · n y ¢ ÷ñc nhi·u 6
nh khoa håc v kÿ s÷ nghi¶n cùu trong mët thíi gian d i nh¬m nhªn ra nhúng °c iºm ch½nh trong sü ph£n ùng cõa c¡c vòng §t èi vîi c¡c lîp àa ch§t m·m (nh÷ t¦n sè cëng h÷ðng v h» sè khu¸ch ¤i). Câ mët sè cæng cö cê iºn nh÷ àa vªt lþ, àa kÿ thuªt ( seismic refraction, seismic reflection, boreholes ...) th÷íng g°p ph£i nhúng h¤n ch¸ khi sû döng trong c¡c khu vüc th nh thà nh÷ chi ph½ cao, £nh h÷ðng ¸n mæi tr÷íng khi¸n nhúng cæng cö n y g°p ph£i sü ph£n èi cõa cëng çng (do ph£i sû döng thuèc nê v m¡y khoan), th¼ ph÷ìng ph¡p t sè H/V chõ y¸u düa tr¶n vi»c o ¤c c¡c nhi¹u ëng ang ng y c ng trð n¶n phê bi¸n hìn. Ph÷ìng ph¡p n y ¢ em l¤i mët cæng cö ti»n lñi, thüc t¸ v ½t tèn k²m º sû döng ÷ñc trong c¡c khu vüc th nh thà. Trong khuæn khê luªn v«n th¤c sÿ n y, c¡c t½nh ch§t cõa t sè H/V ÷ñc dòng trong ph÷ìng ph¡p t sè H/V s³ ÷ñc nghi¶n cùu èi vîi mæ h¼nh hai lîp thu¦n nh§t. Nhúng t½nh ch§t ¡ng chó þ cõa ÷íng cong t sè H/V ÷ñc sû döng trong ph÷ìng ph¡p t sè H/V l t¦n sè cõa iºm cüc ¤i v iºm cüc tiºu cõa ÷íng cong n y. Ph÷ìng ph¡p t sè H/V sû döng nhúng dú li»u v· t¦n sè cüc ¤i v cüc tiºu cõa ÷íng cong t sè H/V cõa nhi¹u dao ëng ÷ñc o ¤c t¤i b· m°t m°t §t º t½nh to¡n c¡c tham sè v h» sè khu¸ch ¤i cõa mët vòng §t. Trong thüc h nh t½nh to¡n th¼ kÿ thuªt thøa nhªn mët k¸t qu£ ìn gi£n, â l coi mæ h¼nh b· m°t tr¡i §t bao gçm mët lîp phõ tr¶n mët b¡n khæng gian væ h¤n v khi m t sè cõa vªn tèc sâng ngang cõa b¡n khæng gian èi vîi vªn tèc sâng ngang cõa lîp phõ tr¶n nâ l lîn th¼ câ thº coi b÷îc sâng cõa sâng cëng h÷ðng (sâng khu¸ch ¤i) s³ câ ë d i b¬ng bèn l¦n chi·u d y cõa lîp phõ. K¸t qu£ n y ¢ ÷ñc kiºm chùng qua c¡c o ¤c v ÷ñc sû döng mët c¡ch rëng r¢i, v½ dö nh÷ trong c¡c dü ¡n cõa SESAME (http://sesame-fp5.obs.ujf-grenoble.fr/index.htm) ho°c HADU v NER-IES (http://www.geotechnologien.de/forschung/forsch2.11k.html; http: // www. neries - eu.org/). K¸t qu£ n y ¢ ÷ñc chùng minh khi sû döng mæ h¼nh mët lîp câ ¡y bà ng m (l tr÷íng hñp tîi h¤n cõa mæ h¼nh mët lîp phõ tr¶n b¡n khæng gian khi t sè cõa vªn tèc sâng ngang cõa b¡n khæng gian v lîp ti¸n ra væ còng) trong Malischewsky v c¡c cëng sü (2008) [8]. Mët k¸t qu£ kinh nghi»m núa công ÷ñc sû döng trong ph÷ìng ph¡p t sè H/V, â l t sè cõa t¦n sè cõa iºm khæng (t sè H/V b¬ng 7
khæng) v t¦n sè iºm cüc ¤i l x§p x¿ b¬ng 2. K¸t qu£ n y ÷ñc ÷a ra bði Konno v Ohmachi (1998) [9] èi vîi mët tªp kh¡ h¤n ch¸ cõa gi¡ trà vªn tèc sâng ngang v nâ công ÷ñc kh¯ng ành bði Stephenson (2003) [10] trong tr÷íng hñp c£ lîp phõ v b¡n khæng gian câ h» sè Poisson l lîn. Nhúng k¸t qu£ têng qu¡t hìn v· hai k¸t qu£ kinh nghi»m n y công ¢ ÷ñc kh£o s¡t chi ti¸t trong Tran Thanh Tuan v c¡c cëng sü (2011) [11] khi kh£o s¡t mæ h¼nh mët lîp phõ tr¶n b¡n khæng gian. Nhúng t½nh ch§t t÷ìng tü v· iºm cüc ¤i v iºm cüc tiºu cõa ÷íng cong t sè H/V s³ ÷ñc nghi¶n cùu trong luªn v«n èi vîi mæ h¼nh hai lîp thu¦n nh§t. Do c§u t¤o thüc t¸ cõa vä tr¡i §t l gçm mët sè lîp tr¦m t½ch tr´ ÷ñc °t tr¶n mët lîp ¡ câ ë cùng lîn hìn nhi·u so vîi c¡c lîp tr¦m t½ch, n¶n nâi chung ë cùng cõa b¡n khæng gian trong mæ h¼nh l t÷ìng èi lîn so vîi c¡c lîp b· m°t. Do â, luªn v«n s³ tªp trung nghi¶n cùu mæ h¼nh hai lîp thu¦n nh§t câ ¡y bà ng m. ¥y l tr÷íng hñp tîi h¤n cõa mæ h¼nh hai lîp thu¦n nh§t °t tr¶n b¡n khæng gian. Lþ do cõa vi»c h¤n ch¸ mæ h¼nh câ ¡y bà ng m l trong Tran Thanh Tuan (2011) [11] ¢ ch¿ ra r¬ng t¦n sè cõa c¡c iºm cüc ¤i v cüc tiºu cõa mæ h¼nh câ ¡y bà ng m kh¡ g¦n vîi t¦n sè cõa c¡c iºm n y trong mæ h¼nh câ b¡n khæng gian vîi ë cùng t÷ìng èi lîn. Vîi c¡c lþ do tr¶n, luªn v«n s³ kh£o s¡t sâng m°t Rayleigh trong mæ h¼nh hai lîp câ ¡y bà ng m. Mæ h¼nh n y õ ìn gi£n º câ thº nhªn ÷ñc ph÷ìng tr¼nh t¡n sc v cæng thùc t sè H/V d÷îi d¤ng hiºn v nâ l tr÷íng hñp tîi h¤n cõa mæ h¼nh hai lîp °t tr¶n b¡n khæng gian. Mæ h¼nh hai lîp °t tr¶n b¡n khæng gian n y trong r§t nhi·u tr÷íng hñp l õ º mæ t£ mæ h¼nh thüc t¸ cõa vä tr¡i §t. Vîi c¡c ph÷ìng tr¼nh d¤ng hiºn n y, mët sè t½nh ch§t cõa sâng Rayleigh s³ ÷ñc nghi¶n cùu mët c¡ch gi£i t½ch. Luªn v«n ÷ñc chia l m 4 ch÷ìng v ph¦n mð ¦u v k¸t luªn nh÷ sau: Ch÷ìng 1. Ph÷ìng ph¡p h m th¸: Ch÷ìng n y tr¼nh b y vi»c thi¸t lªp ph÷ìng tr¼nh t¡n sc v cæng thùc t sè H/V b¬ng ph÷ìng ph¡p h m th¸ trong mæ h¼nh hai lîp thu¦n nh§t câ ¡y bà ng m. Ch÷ìng 2. Ph÷ìng ph¡p ma trªn chuyºn: Ph÷ìng ph¡p ma trªn chuyºn ÷ñc sû döng trong ch÷ìng n y º nhªn l¤i ÷ñc ph÷ìng tr¼nh t¡n 8
sc v cæng thùc t sè H/V trong mæ h¼nh hai lîp thu¦n nh§t câ ¡y bà ng m. Ch÷ìng 3. Mët sè t½nh ch§t cõa ÷íng cong t¡n sc v t sè H/V: Vîi ph÷ìng tr¼nh t¡n sc v cæng thùc t sè H/V d¤ng hiºn, ch÷ìng n y s³ kh£o s¡t mët sè t½nh ch§t gi£i t½ch cõa ÷íng cong t¡n sc v ÷íng cong t sè H/V. Ch÷ìng 4. Cæng thùc trung b¼nh vªn tèc sâng ngang: Ch÷ìng n y s³ i t¼m mët cæng thùc mîi cho vªn tèc sâng ngang cõa lîp t÷ìng ÷ìng khi thu¦n nh§t hâa hai lîp v· mët lîp phò hñp vîi ph÷ìng ph¡p t sè H/V. 9
Ch÷ìng 1 Ph÷ìng ph¡p h m th¸ Nëi dung ch½nh trong ch÷ìng n y s³ tr¼nh b y vi»c thi¸t lªp ph÷ìng tr¼nh t¡n sc v cæng thùc t sè H/V cõa mæ h¼nh hai lîp thu¦n nh§t câ ¡y bà ng m theo ph÷ìng ph¡p h m th¸. Ph÷ìng ph¡p h m th¸ câ ÷u iºm l d¹ h¼nh dung v thº hi»n ÷ñc b£n ch§t vªt lþ cõa c¡c ph÷ìng tr¼nh. Ph÷ìng ph¡p n y ÷ñc sû döng º nhªn ÷ñc ph÷ìng tr¼nh t¡n sc cõa sâng Rayleigh trong c¡c mæ h¼nh ìn gi£n, v½ dö xem Malischewsky v Scherbaum (2004) [2], Tran Thanh Tuan (2009) [1]. Tuy nhi¶n, vîi c¡c mæ h¼nh phùc t¤p câ nhi·u lîp hìn, ph÷ìng ph¡p n y s³ r§t cçng k·nh do sè l÷ñng tham sè xu§t hi»n trong c¡c ph÷ìng tr¼nh s³ r§t lîn. Khi â, ph÷ìng ph¡p ma trªn chuyºn s³ ÷ñc sû döng v ÷ñc tr¼nh b y trong Ch÷ìng 2. 1.1. Ph÷ìng tr¼nh t¡n sc X²t mæ h¼nh hai lîp thu¦n nh§t n hçi ¯ng h÷îng vîi ¡y cõa lîp thù hai bà ng m, lîp thù nh§t câ m°t tü do nh÷ H¼nh 1.1. Chån h» tröc tåa ë nh÷ h¼nh v³ v gi£ sû sâng truy·n dåc theo tröc x1 vîi vªn tèc sâng c. Lîp thù nh§t câ ë d y, h¬ng sè Posson, vªn tèc sâng ngang, khèi l÷ñng ri¶ng l¦n l÷ñt l d1 , ν1 , β1 , ρ1 , lîp thù hai câ c¡c tham sè t÷ìng ùng l d2 , ν2 , β2 , ρ2 . X²t sâng ph¯ng ch¿ câ hai th nh ph¦n chuyºn dàch u1 v u3 , cán chuyºn u2 = 0. Trong mët lîp b§t ký tr÷íng vector chuyºn dàch ÷ñc biºu di¹n bði cæng thùc (ành lþ Helmholtz) u = ∇ϕ + ∇ ∧ ψ (1.1) . 10
H¼nh 1.1: Mæ h¼nh hai lîp thu¦n nh§t câ ¡y bà ng m Trong biºu thùc (1.1) h m ϕ l mët tr÷íng væ h÷îng v ψ l tr÷íng vector v hai tr÷íng n y ÷ñc chån d÷îi d¤ng sâng ph¯ng v câ ϕ = Φ(x3 ) exp[i(kx1 − ωt)], (1.2) ψ = Ψ(x3 ) exp[i(kx1 − ωt)]. √ Ð ¥y i = −1 l ìn và £o, k = 2π/λ l sè sâng v ω = 2π/T l vªn tèc gâc, T l chu ký cõa sâng v λ l b÷îc sâng. Ta câ mèi li¶n h» giúa sè sâng v vªn tèc gâc ω = k.c . Chån biºu di¹n cõa c¡c h m Φ(x3 ) v Ψ(x3 ) Φ(x3 ) = A sinh(px3 ) + B cosh(px3 ), (1.3) Ψ(x3 ) = C sinh(qx3 ) + D cosh(qx3 ), vîi ω2 c2 2 p = − 2 + k = k − 2 + 1 = k 2 −γC 2 + 1 , 2 2 α α 2 2 (1.4) ω c q 2 = − 2 + k 2 = k 2 − 2 + 1 = k 2 −C 2 + 1 . β β Trong â C = c/β , γ = β 2 /α2 . Thay ph÷ìng tr¼nh (1.2) v o ph÷ìng tr¼nh (1.1) v chó þ r¬ng ¤o h m cõa h m mô vîi cì sè e s³ cho ta nh¥n tû l exp[i(kx1 − ωt)], nâ luæn d÷ìng n¶n ta câ thº gi£n ÷îc nh¥n tû n y, khi â bi¶n ë chuyºn dàch theo c¡c ph÷ìng s³ câ d¤ng dΨ U1 (x3 ) = ikΦ − , dx3 (1.5) dΦ U3 (x3 ) = + ikΨ. dx3 Th nh ph¦n ùng su§t ph¡p v ùng su§t ti¸p nhªn ÷ñc tø ph÷ìng tr¼nh 11
tr¤ng th¡i câ d¤ng dU1 σ31 = ρβ 2 + ikU3 , dx3 (1.6) 2 dU3 σ33 = ρα + ik(1 − 2γ)U1 . dx3 Do â èi vîi lîp thù nh§t c¡c ¤i l÷ìng chuyºn và v ùng su§t theo c¡c biºu thùc (1.3) s³ ÷îc biºu di¹n nh÷ sau Φ1 (x3 ) = A1 sinh(p1 x3 ) + B1 cosh(p1 x3 ), (1.7) Ψ1 (x3 ) = C1 sinh(q1 x3 ) + D1 cosh(q1 x3 ), √ √ vîi γ1 = β12 /α12 = (1 − 2ν1 )/2(1 − ν1 ), p1 = k −C 2 γ1 + 1, q1 = k −C 2 + 1. C¡c th nh ph¦n chuyºn dàch theo c¡c ph÷ìng x1 v x3 cõa lîp thù nh§t l (1) dΨ1 U1 (x3 ) = ikΦ1 − , dx3 (1.8) (1) dΦ1 U3 (x3 ) = + ikΨ1 . dx3 T÷ìng tü èi vîi c¡c th nh ph¦n ùng su§t ph¡p v ùng su§t ti¸p (1) ! (1) dU1 (1) σ13 = ρ1 β12 + ikU3 , dx3 (1) ! (1.9) (1) dU3 (1) σ33 = ρ1 α12 + ik(1 − 2γ1 )U1 . dx3 èi vîi lîp thù hai c¡c biºu thùc (1.3) ÷ñc biºu di¹n Φ2 (x3 ) = A2 sinh(p2 x3 ) + B2 cosh(p2 x3 ), (1.10) Ψ2 (x3 ) = C2 sinh(q2 x3 ) + D2 cosh(q2 x3 ). C¡c th nh ph¦n chuyºn dàch trong lîp thù hai theo hai ph÷ìng x1 v x3 l (2) dΨ2 U1 (x3 ) = ikΦ2 − , dx3 (1.11) (2) dΦ2 U3 (x3 ) = + ikΨ2 . dx3 12
C¡c th nh ph¦n ùng su§t ph¡p v ùng su§t ti¸p cõa lîp hai l (2) ! (2) dU1 (2) σ13 = ρ2 β22 + ikU3 , dx3 (2) ! (1.12) (2) dU2 (2) σ33 = ρ2 α22 + ik(1 − 2γ2 )U1 . dx3 vîi β1 γ2 = β22 /α22 = (1 − 2ν2 )/2(1 − ν2 ), rs = , β2 p p p2 = k −C 2 γ2 rs2 + 1, q2 = k −C 2 rs2 + 1. i·u ki»n bi¶n cõa b i to¡n bao gçm ba i·u ki»n bi¶n. Thù nh§t l i·u ki»n cõa ùng su§t tr¶n m°t tü do, thù hai l i·u ki»n li¶n töc cõa m°t ti¸p xóc cõa hai lîp v thù ba l i·u ki»n chuyºn dàch cõa m°t ¡y bà ng m. i·u ki»n bi¶n tr¶n m°t tü do: Tr¶n m°t tü do cõa lîp thù nh§t, t¤i ¥y to n bë b· m°t khæng chàu t¡c döng cõa lüc n o do â ùng su§t ph¡p v ùng su§t ti¸p tr¶n m°t n y b¬ng khæng, v¼ vªy ta câ c¡c biºu thùc sau (1) σ13 (−d1 ) = 0, (1) (1.13) σ33 (−d1 ) = 0. i·u ki»n bi¶n li¶n töc: T¤i m°t ti¸p xóc giúa hai lîp c¡c h m chuyºn dàch v c¡c th nh ph¦n ùng su§t cõa hai lîp l nh÷ nhau, do â chuyºn dàch v ùng su§t tr¶n m°t ti¸p xóc n y l b¬ng nhau n¶n ta câ i·u ki»n li¶n töc theo chuyºn dàch v i·u ki»n li¶n töc theo ùng su§t nh÷ sau: - i·u ki»n li¶n töc cõa chuyºn dàch (1) (2) U1 (0) = U1 (0), (1) (2) (1.14) U3 (0) = U3 (0). - i·u ki»n li¶n töc ùng su§t (1) (2) σ13 (0) = σ13 (0), (1) (2) (1.15) σ33 (0) = σ33 (0). 13
i·u ki»n ng m: T¤i m°t ¡y cõa lîp thù hai bà ng m, do t¤i ¥y khæng câ chuyºn dàch theo c¡c h÷îng do bà ng m n¶n ta câ (2) U1 (d2 ) = 0, (2) (1.16) U3 (d2 ) = 0. B¬ng vi»c sû döng ph÷ìng tr¼nh c¥n b¬ng v c¡c i·u ki»n bi¶n tr¶n m°t tü do, i·u ki»n li¶n töc t¤i m°t ti¸p xóc cõa hai lîp vªt ch§t v i·u ki»n bi¶n t¤i m°t ng m ta câ h» 8 ph÷ìng tr¼nh tø (1.13) ¸n (1.16), h» n y câ 8 ©n l A1 , B1 , C1 , D1 , A2 , B2 , C2 , D2 . º h» n y câ nghi»m khæng t¦m th÷íng th¼ ành thùc cõa ma trªn cõa h» ph÷ìng tr¼nh n y ph£i b¬ng khæng. Vi¸t h» n y v· d¤ng ma trªn khèi F.[A1 , B1 , C1 , D1 , A2 , B2 , C2 , D2 ]T = 0 vîi   M1 M2 0 0 M3 M4 M5 M6  F =  M7 M8 M9 M10  0 0 M11 M12 ¥y ch½nh l ph÷ìng tr¼nh t¡n sc cõa sâng Rayleigh trong mæ h¼nh hai lîp câ ¡y bà ng m. Vîi c¡c ma trªn th nh ph¦n cõama trªn F l 2πigα1 cosh(kd1 gα1 ) −2πigα1 sinh(kd1 gα1 ) M1 = −(1 + gβ1 ) sinh(kd1 gα1 ) (1 + gβ21 ) cosh(kd1 gα1 ) 2 (1 + gβ21 ) sinh(kd1 gβ1 ) −(1 + gβ21 ) cosh(kd1 gβ1 ) M2 = 2πigβ1 cosh(kd1 gβ1 ) −2πigβ1sinh(kd1 gβ1 ) 0 i −gβ1 0 0 −i gβ2 0 M3 = ; M4 = ; M5 = ; M6 = gα1 0 0 i −gα2 0 0 −i −cr cv (1 + gβ21 ) 2icr cv gα1 0 0 M7 = 0 c 2 ; M8 = r cv (1 + gβ1 ) 2icr cv gβ1 2 0 −2igα2 0 0 1 + gβ2 M9 = −(1 + gβ2 )2 ; M10 = 0 −2igβ2 0 ik sinh(kd2 gα2 ) ik cosh(kd2 gα2 ) M11 = ; gα2 k cosh(kd2 gα2 ) gα2 k sinh(kd2 gα2 ) −gβ2 k cosh(kd2 gβ2 ) −gβ2 k sinh(kd2 gβ2 ) M12 = ik sinh(kd2 gβ2 ) ik cosh(kd2 gβ2 ) º h» câ nghi»m khæng t¦m th÷íng th¼ det(F ) = 0. Thüc hi»n khai triºn 14
ành thùc ta câ ÷ñc biºu thùc F0 + F1 cosh(kd1 gα1 ) cosh(kd1 gβ1 ) + F2 cosh(kd2 gα2 ) cosh(kd2 gβ2 ) + F3 sinh(kd1 gα1 ) sinh(kd1 gβ1 ) + F4 sinh(kd2 gα2 ) sinh(kd2 gβ2 ) + F5 cosh(kd1 gβ1 ) cosh(kd2 gβ2 ) sinh(kd1 gα1 ) sinh(kd2 gα2 ) + F6 cosh(kd2 gα2 ) cosh(kd2 gβ2 ) sinh(kd1 gα1 ) sinh(kd2 gβ2 ) (1.17) + F7 cosh(kd2 gα2 ) cosh(kd1 gβ1 ) sinh(kd1 gα1 ) sinh(kd2 gβ2 ) + F8 cosh(kd1 gα1 ) cosh(kd2 gβ2 ) sinh(kd2 gα2 ) sinh(kd1 gβ1 ) + F9 cosh(kd1 gα1 ) cosh(kd2 gα2 ) sinh(kd1 gβ1 ) sinh(kd2 gβ2 ) + F10 cosh(kd1 gα1 ) cosh(kd2 gα2 ) sinh(kd2 gα2 ) sinh(kd2 gβ2 ) + F11 cosh(kd1 gα1 ) cosh(kd2 gα2 ) cosh(kd1 gβ1 ) cosh(kd2 gβ2 ) + F12 sinh(kd1 gα1 ) sinh(kd2 gα2 ) sinh(kd1 gβ1 ) sinh(kd2 gβ2 ) = 0 trong â c¡c biºu thùc Fi , (i = 0, 12) trong ph÷ìng tr¼nh t¡n sc (1.17) ÷ñc x¡c ành nh÷ sau F0 = 4gα1 gα2 gβ1 gβ2 (1 + gβ21 )(4rd2 c2v (1 + gβ21 ) + 4(1 + gβ22 ) − rd cv (3 + gβ21 )(3 + gβ22 )) F1 = −4gα1 gα2 gβ1 gβ2 (4rd2 c2v (1 + gβ21 )2 + (5 + 2gβ21 + gβ41 )(1 + gβ22 ) − rd cv (3 + 4gβ21 + gβ41 )(3 + gβ22 )) F2 = −4gα1 gα2 gβ1 (1 + gβ21 )gβ2 (5 + 4rd2 c2v (1 + gβ21 ) + 2gβ22 + gβ42 − rd cv (3 + gβ21 )(3 + gβ22 )) F3 = −2gα2 gβ2 (−rd2 c2v (1 + 4(1 + 4gα 2 1 )gβ21 + 6gβ41 + 4gβ61 + gβ81 2 − 2(1 + (2 + 4gα 1 )gβ21 + gβ41 )(1 + gβ22 ) + rd cv (1 + (3 + 8gα 2 1 )gβ21 + 3gβ41 + gβ61 )(3 + gβ22 )) F4 = 4gα1 gβ1 (1 + gβ21 )(1 + (2 + 4gα2 )gβ22 + gβ42 + 2rd2 c2v (1 + gβ21 )(1 + gα 2 g2 ) 2 β2 − rd cv (3 + gβ21 )(1 + (1 + 2gα 2 2 )gβ22 )) F5 = rd cv gβ1 (−1 + gβ21 )(4gα 2 1 2 + gα 2 (1 + gβ21 )2 )gβ2 (−1 + gβ22 ) F6 = −gα2 gβ2 (2rd2 c2v (1 + 4(1 + 4gα 2 1 )gβ21 + 6gβ41 + 4gβ61 + gβ81 ) 2 − 2rd cv (1 + (3 + 8gα 1 )gβ21 + 3gβ41 + gβ61 )(3 + gβ22 ) + (1 + (2 + 4gα 2 1 )gβ21 + gβ41 )(5 + 2gβ22 + gβ42 ))) F7 = −rd cv gα2 gβ2 (−1 + gβ21 )(−1 + gβ22 )(1 + 2gβ21 + gβ41 + 4gα 2 g2 ) 1 β2 F8 = −rd cv gα1 (−1 + gβ21 )(1 + (2 + 4gα 2 2 )gβ21 + gβ41 )gβ2 (−1 + gβ22 ) F9 = rd cv gα1 gα2 (−1 + gβ21 )(−1 + gβ22 )(gβ22 + gβ41 gβ22 + 2gβ21 (2 + gβ22 )) F10 = −gα1 gβ1 (8rd2 c2v (1 + gβ21 )2 (1 + gα 2 g 2 ) − 4rd cv (3 + 4gβ21 + gβ41 )(1 + (1 + 2gα 2 β2 2 2 )gβ22 ) + (5 + 2gβ21 + gβ41 )(1 + (2 + 4gα 2 2 )gβ22 + gβ42 )) F11 = gα1 gα2 gβ1 gβ2 (16rd2 c2v (1 + gβ21 )2 − 4rd cv (3 + 4gα 2 1 + gβ41 )(3 + gβ22 ) + (5 + 2 + gβ21 + gβ41 )(5 + 2 + gβ22 + gβ42 )) F12 = rd2 c2v (1 + 4(1 + 4gα 2 1 )gβ21 + 6gβ41 + gβ81 )(1 + gα 2 g2 ) 2 β2 2 − 2rd cv (1 + (3 + 8gα 1 )gβ21 + 3gβ41 + gβ61 )(1 + (1 + 2gα 2 2 )gβ22 ) 2 + (1 + (2 + 4gα 1 )gβ21 + gβ41 )(1 + (2 + 4gα 2 2 )gβ22 + gβ42 ) 15
1.2. Cæng thùc t sè H/V T sè H/V l chuyºn dàch theo ph÷ìng ngang v ph÷ìng th¯ng ùng t¤i m°t tü do cõa lîp m°t. Nh÷ h¼nh 1.1 ta chån tröc Ox1 tròng vîi m°t ti¸p xóc giúa hai lîp do â m°t ph¯ng tü do cõa lîp tr¶n theo tröc Ox3 s³ câ ph÷ìng tr¼nh x3 = −d1 . Theo (1.8) dàch chuyºn theo ph÷ìng cõa x1 t¤i m°t n y l U1(1) (−d1 ), theo ph÷ìng x3 l U3(1) (−d1 ). Do â cæng thùc t sè H/V l (1) U1 (−d1 ) χ= (1) (1.18) U3 (−d1 ) −B1 cosh(d1 gα1 k) − iC1 gβ1 cosh(d1 gβ1 k) + A1 sinh(d1 gα1 k) + iD1 gβ1 sinh(d1 gβ1 k) = . A1 cosh(d1 gα1 k) + iD1 gβ1 cosh(d1 gβ1 k) − B1 sinh(d1 gα1 k) − iC1 gβ1 sinh(d1 gβ1 k) Trong cæng thùc n y, χ phö thuëc c¡c h» sè A1 , B1 , C1 , D1 . M°t kh¡c h» ph÷ìng tr¼nh tø (1.13) ¸n (1.16) l h» ph÷ìng tr¼nh phö thuëc tuy¸n t½nh biºu di¹n qua 8 ©n A1 , B1 , C1 , D1 , A2 , B2 , C2 , D2 . Do â câ thüc hi»n biºu di¹n c¡c h» sè theo A1 rçi sau â thay v o (1.18). C¡c h» sè s³ bà khû v cæng thùc t sè H/V trð th nh (1) U1 (−d1 ) −gβ1 T χ= (1) = (1.19) U3 (−d1 ) gα1 M C¡c biºu thùc T, M trong cæng thùc (1.19) câ d¤ng T = T1 cosh(kd2 gα2 ) cosh(kd1 gβ1 ) + T2 cosh(kd1 gβ1 ) cosh(kd2 gβ2 ) + T3 cosh(kd1 gα1 ) cosh(kd2 gα2 ) + T4 cosh(kd1 gα1 ) cosh(kd2 gβ2 ) (1.20) + T5 sinh(kd1 gα1 ) sinh(kd2 gα2 ) + T6 sinh(kd2 gα2 ) sinh(kd1 gβ1 ) + T7 sinh(kd1 gα1 ) sinh(kd2 gα2 ) + T8 sinh(kd1 gβ1 ) sinh(kd2 gβ2 ) v M = M1 cosh(kd2 gβ2 ) sinh(kd1 gα1 ) + M2 cosh(kd2 gβ2 ) sinh(kd1 gβ1 ) + M3 cosh(kd2 gα2 ) sinh(kd1 gα1 ) + M4 cosh(kd2 gα2 ) sinh(kd1 gβ1 ) (1.21) + M5 cosh(kd1 gβ1 ) sinh(kd2 gα2 ) + M6 cosh(kd1 gβ1 ) sinh(kd2 gβ2 ) + M7 cosh(kd1 gα1 ) sinh(kd2 gα2 ) + M8 cosh(kd1 gα1 ) sinh(kd2 gβ2 ) 16
vîi c¡c biºu thùc Ti , Mi , (i = 1, 8): T1 = −2gα1 gβ2 (1 − rd cv (1 + gβ21 ) + gβ22 ) T2 = 2gα2 (2 + rd cv (1 + gβ21 ) + gβ2 T3 = gα1 (1 + gβ21 )gβ2 (1 − 2rd cv + gβ22 ) T4 = 2gα1 gβ2 (−1 + rd cv ) T5 = gα2 gβ2 (−2 + rd cv (1 + gβ21 ))(1 + gβ21 ) T6 = −4(−1 + rd cv )gα1 gβ1 gα2 gβ2 T7 = −(1 + gβ21 )(−1 + rd cv (1 + gβ21 ) − gβ22 ) T8 = 2gα1 gβ1 (−1 + 2rd cv − gβ22 ) v M1 = 4(−1 + rd cv )gα1 gβ1 gβ2 M2 = −(1 + gβ21 )(−2 + rd cv (1 + gβ21 ))gβ2 M3 = (1 + gβ21 )gβ2 (−1 + rd cv (1 + gβ21 ) − gβ22 ) M4 = (1 + gβ21 )gβ2 (−1 + rd cv (1 + gβ21 ) − gβ22 ) M5 = −2(−1 + rd cv )(1 + gβ21 )gα2 gβ1 gβ2 M6 = gβ1 (1 + gβ21 )(−1 + 2rd cv − gβ22 ) M7 = 2gα2 gβ1 (−2 + rd cv (1 + gβ21 ))gβ2 M8 = 2gβ1 (1 − rd cv (1 + gβ21 ) + gβ22 ) 1.3. K¸t luªn ch÷ìng 1 Ph÷ìng ph¡p h m th¸ ¢ ÷ñc sû döng trong ch÷ìng n y º nhªn ÷ñc c¡c cæng thùc d¤ng hiºn cõa ph÷ìng tr¼nh t¡n sc v t sè H/V cõa sâng Rayleigh trong mæ h¼nh hai lîp thu¦n nh§t câ ¡y bà ng m. C¡c cæng thùc d¤ng hi»n n y s³ ÷ñc sû döng º kh£o s¡t c¡c t½nh ch§t cõa ÷íng cong t¡n sc v ÷íng cong t sè H/V. 17
Ch÷ìng 2 Ph÷ìng ph¡p ma trªn chuyºn Ch÷ìng 1 ¢ tr¼nh b y ph÷ìng ph¡p h m th¸ º nhªn ÷ñc ph÷ìng tr¼nh t¡n sc cõa sâng Rayleigh trong mæ h¼nh hai lîp. Nâi chung, trong ph÷ìng ph¡p h m th¸ s³ câ bèn tham sè xu§t hi»n trong méi lîp °c tr÷ng cho h» thèng bèn sâng (hai sâng P v hai sâng SV) i l¶n v i xuèng trong méi lîp. Do vªy, vîi c¡c mæ h¼nh câ nhi·u lîp, gi£ sû l n lîp, th¼ sè tham sè xu§t hi»n trong h» ph÷ìng tr¼nh s³ l 4n v i·u n y s³ l m cho h» ph÷ìng tr¼nh r§t cçng k·nh v khâ kh£o s¡t. Do â, vîi c¡c mæ h¼nh câ nhi·u lîp th¼ ph÷ìng ph¡p ma trªn chuyºn hay ÷ñc sû döng hìn. Ph÷ìng ph¡p n y câ ÷u iºm l d¹ d ng nhªn ÷ñc ph÷ìng tr¼nh t¡n sc cõa sâng Rayleigh, tuy nhi¶n c¡c ph÷ìng tr¼nh nhªn ÷ñc s³ ch¿ døng l¤i ð d¤ng ©n d÷îi d¤ng t½ch cõa c¡c ma trªn. Ch÷ìng 2 n y s³ i t¼m hiºu v· ph÷ìng ph¡p ma trªn chuyºn v ¡p döng nâ v o mæ h¼nh hai lîp thu¦n nh§t câ ¡y ng m. Do mæ h¼nh ang x²t l t÷ìng èi ìn gi£n n¶n c¡c cæng thùc d¤ng hi»n câ thº nhªn ÷ñc b¬ng c¡ch khai triºn t½ch cõa hai ma trªn. Ph÷ìng ph¡p ma trªn chuyºn s³ ÷ñc sû döng º t¼m cæng thùc trung b¼nh cõa vªn tèc sâng ngang mîi sû döng trong ph÷ìng ph¡p t sè H/V. 2.1. Ph÷ìng ph¡p ma trªn chuyºn Ph÷ìng ph¡p ma trªn chuyºn ÷ñc · xu§t bði Thomson (1950) [13] trong vi»c t½nh to¡n vªn tèc sâng Rayleigh v sâng Love. V sau â Haskell [3] ¢ ph¡t triºn ph÷ìng ph¡p n y cho mæi tr÷íng n hçi ¯ng h÷îng gçm nhi·u lîp tr¶n b¡n khæng gian. Ph÷ìng ph¡p n y ÷ñc x¥y düng b¬ng vi»c biºu di¹n chuyºn dàch v ùng su§t cõa tøng lîp thæng qua sü thay êi thº t½ch v sü quay cõa ph¦n tû vªt ch§t v k¸t hñp t½nh li¶n töc cõa mæi 18
tr÷íng vªt ch§t giúa c¡c m°t ti¸p xóc giúa c¡c lîp. Tr¶n c¡c m°t ti¸p xóc h m ùng su§t v chuyºn dàch l nh÷ nhau èi vîi hai lîp, tø â x¡c ành ÷ñc ph÷ìng tr¼nh t¡n sc têng qu¡t cho to n bë mæi tr÷íng ph¥n lîp v câ thº t½nh to¡n ÷ñc t sè H/V. Gi£ sû mæi tr÷íng n hçi gçm nhi·u lîp vîi c¡c h¬ng sè vªt li»u v ë d y kh¡c nhau H¼nh 2.1. H¼nh 2.1: Mæ h¼nh mæi tr÷íng gçm nhi·u lîp n hçi ¯ng h÷îng tr¶n b¡n khæng gian Þ t÷ðng cì b£n cõa ph÷ìng ph¡p ma trªn chuyºn l dòng c¡c i·u ki»n tt d¦n t¤i væ còng cõa b¡n khæng gian b¶n d÷îi, i·u ki»n bi¶n tü do t¤i m°t tr¶n còng v c¡c i·u ki»n bi¶n li¶n töc èi vîi chuyºn và v ùng su§t t¤i c¡c m°t ph¥n c¡ch giúa hai lîp º biºu di¹n vector câ c¡c th nh ph¦n l tèc ë cõa chuyºn dàch v ùng su§t d¦n d¦n theo c¡c lîp v cuèi còng biºu di¹n chóng thæng qua vector â ð m°t tr¶n còng. V½ dö x²t m°t ph¥n c¡ch thù (n − 1), th¼ ph÷ìng tr¼nh mæ t£ mèi li¶n h» ùng su§t v tèc ë chuyºn dàch cõa m°t ph¥n c¡ch â vîi m°t tr¶n còng. Ð ¥y sü thay êi v· thº t½ch cõa lîp thù m ÷ñc bºu di¹n b¬ng h m ∆m , v sü quay t÷ìng ùng cõa lîp thù m ÷ñc biºu di¹n b¬ng h m ωm . Theo Haskell [3], hai h m n y câ d¤ng nh÷ sau ∂u ∂w ∆m = + = exp[i(pt − kx)].[∆0m exp(−ikgαm z) + ∆00m exp(ikgαm z)] ∂x ∂z 1 ∂u ∂w 0 00 ωm = ( − ) = exp[i(pt − kx)].[ωm exp(−ikgβm z) + ωm exp(ikgβm z)] 2 ∂z ∂x (2.1) trong â gβm = (c/βm )2 − 1, gαm = (c/αm )2 − 1, ∆0m , ∆00m , ωm , ωm l p p 0 00 c¡c h¬ng sè. C¡c th nh ph¦n cõa chuyºn dàch v ùng su§t ph¡p, ùng su§t ti¸p s³ ÷ñc nhªn tø biºu di¹n Helmholzt v ph÷ìng tr¼nh tr¤ng th¡i câ 19