Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Sử dụng phương pháp lyapunov để nghiên cứu tính chất nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính bị nhiễu

Chia sẻ: Na Na | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:56

Thêm vào BST

Báo xấu

128
lượt xem 18
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích của bản luận văn này là trình bày lại một số kết quả liên quan tới việc phát triển và cải tiến các phương pháp quen thuộc đã biết trong lý thuyết định tính của phương trình vi phân (chẳng hạn phương pháp số mũ Lyapunov hay phương pháp tập bất biến của hệ động lực) và sử dụng chúng cho việc nghiên cứu tính ổn định của chuyển động theo Lyapunov hoặc theo Lagrange.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Sử dụng phương pháp lyapunov để nghiên cứu tính chất nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính bị nhiễu

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - - - - - - - - - o0o - - - - - - - - - HÀ THỊ LY SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP LYAPUNOV ĐỂ NGHIÊN CỨU TÍNH CHẤT NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH BỊ NHIỄU LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2015
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - - - - - - - - - o0o - - - - - - - - - HÀ THỊ LY SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP LYAPUNOV ĐỂ NGHIÊN CỨU TÍNH CHẤT NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH BỊ NHIỄU Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. ĐẶNG ĐÌNH CHÂU Hà Nội - 2015
Mục lục Mở đầu 3 1 Sử dụng các phương pháp Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định nghiệm của các hệ phương trình vi phân. 5 1.1 Khái niệm về tính ổn định nghiệm của các hệ phương trình vi phân 6 1.1.1 Sự tồn tại duy nhất nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.2 Hệ rút gọn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.3 Các khái niệm về ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2 Định nghĩa và các tính chất chính của số mũ đặc trưng Lyapunov 11 1.3 Số mũ đặc trưng của hàm ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.4 Phổ Lyapunov và phép biến đổi Lyapunov đối với hệ phương trình vi phân tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.4.1 Phổ của hệ tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.4.2 Bất đẳng thức Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.4.3 Phép biến đổi Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.4.4 Một số ví dụ về phương pháp số mũ . . . . . . . . . . . . . 23 1.5 Phương pháp hàm Lyapunov trong Rn . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.5.1 Các hàm xác định dấu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.5.2 Định lý thứ nhất của Lyapunov về sự ổn định . . . . . . . 26 1.5.3 Định lý thứ hai của Lyapunov về sự ổn định tiệm cận . . . 28 1.5.4 Định lý thứ ba của Lyapunov về sự không ổn định . . . . . 30 1.6 Các ví dụ về phương pháp hàm Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . 32 2 Sử dụng phương pháp số đặc trưng Lyapunov-Bagdanov để nghiên cứu tính ổn định của các hệ động lực 34 2.1 Định nghĩa hệ động lực trên thang thời gian đều và một vài khái niệm mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.1.1 Định nghĩa hệ động lực trên thang thời gian đều . . . . . . 35 2.1.2 Định nghĩa tập bất biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.1.3 Tập ω - giới hạn của hệ động lực . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.1.4 Chuyển động ổn định theo Lagrange . . . . . . . . . . . . . 38 2.1.5 Điểm đứng yên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 1
2.2 Khái niệm số đặc trưng tổng quát Lyapunov - Bagdanov . . . . . 39 2.2.1 Một số khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.2.2 Tính ổn định của tập V của hệ động lực f (p, t) . . . . . . . 42 2.2.3 Các ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Kết luận 52 2
Mở đầu Trong các mô hình ứng dụng của lý thuyết phương trình vi phân, chúng ta thường gặp các bài toán liên quan đến các hệ phương trình vi phân phi tuyến hoặc một tập nghiệm nào đó của các phương trình vi phân. Trong các trường hợp này nếu sử dụng các phương pháp thông thường để nghiên cứu hệ động lực tuyến tính hoặc hệ phương trình vi phân tuyến tính có thể sẽ gặp nhiều khó khăn, phức tạp. Từ lâu, người ta đã xây dựng được nhiều phương pháp khác nhau để vượt qua các khó khăn trên (xem [4], [8], [1]). Mục đích của bản luận văn này là trình bày lại một số kết quả liên quan tới việc phát triển và cải tiến các phương pháp quen thuộc đã biết trong lý thuyết định tính của phương trình vi phân (chẳng hạn phương pháp số mũ Lyapunov hay phương pháp tập bất biến của hệ động lực) và sử dụng chúng cho việc nghiên cứu tính ổn định của chuyển động theo Lyapunov hoặc theo Lagrange. Nội dung của luận văn có thể chia làm hai phần chính - Phần thứ nhất trình bày lại các kết quả cơ bản về phương pháp số mũ Lyapunov và phương pháp hàm Lyapunov. - Phần thứ hai của bản luận văn dành cho việc trình bày lý thuyết số mũ đặc trưng tổng quát Lyapunov - Bagdanov và tính ổn định của hệ động lực tổng quát trong không gian mêtric. Bố cục luận văn gồm hai chương: Chương 1: Sử dụng các phương pháp Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định nghiệm của các hệ phương trình vi phân. Chương 2: Sử dụng phương pháp số đặc trưng Lyapunov - Bagdanov để nghiên cứu tính ổn định của các hệ động lực. Bản luận văn này được thực hiện dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS. TS. Đặng Đình Châu. Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy - người đã dành nhiều thời gian và công sức để hướng dẫn, kiểm tra, giúp đỡ tôi trong việc hoàn thành bản luận văn. Tôi xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô giáo trong Khoa Toán - Cơ - Tin học, 3
trường Đại học Khoa học Tự nhiên - ĐHQG Hà Nội về kiến thức và những điều tốt đẹp mang lại cho tôi trong thời gian tôi học tập tại trường. Tôi xin cảm ơn phòng Sau đại học về những điều kiện thuận lợi trong việc hoàn thành thủ tục học tập và bảo vệ luận văn. Cuối cùng tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn gia đình, người thân đã là chỗ dựa vững chắc cho tôi trong cuộc sống và học tập. Mặc dù đã có nhiều sự cố gắng nhưng bản luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót. Tôi rất mong nhận được sự góp ý của quý thầy cô và các bạn để bản luận văn được hoàn thiện hơn. Hà Nội, tháng 10 năm 2015 Hà Thị Ly 4
Chương 1 Sử dụng các phương pháp Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định nghiệm của các hệ phương trình vi phân. Bài toán nghiên cứu tính ổn định của các hệ phương trình vi phân là một trong những bài toán cơ bản của lý thuyết định tính phương trình vi phân. Để xác lập các điều kiện đủ cho tính ổn định của các nghiệm hoặc tập nghiệm của hệ phương trình vi phân ta có thể sử dụng các phương pháp của nhà toán học Nga A.M. Lyapunov. Phương pháp này được Lyapunov xây dựng từ năm 1918 (xem [2]) và ngày nay đã được phát triển thành một lý thuyết khá hoàn thiện và có khả năng áp dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học tự nhiên. Trong chương 1 của bản luận văn này, chúng tôi sẽ dành cho việc trình bày lại một số kết quả cơ bản nhất của các phương pháp nghiên cứu tính ổn định chuyển động của Lyapunov. Đó là phương pháp số mũ Lyapunov (xem [4]) và phương pháp hàm Lyapunov (xem [4], [8]). Dựa vào các phương pháp cơ bản này người ta có thể mở rộng và phát triển thành các phương pháp mới để áp dụng cho một số dạng của hệ động lực quen thuộc (xem [10]). Một trong các mở rộng thú vị của các phương pháp Lyapunov mà chúng tôi sẽ đề cập tới trong bản luận văn này là phương pháp số đặc trưng tổng quát Lyapunov - Bagdanov (xem [6], [11]). Phương pháp này sẽ được giới thiệu trong chương 2. Một trong những vấn đề thường được thảo luận sâu sắc trong các công trình nghiên cứu gần đây là "bình luận" về tính ưu việt hoặc các hạn chế còn để lại trong các phương pháp nghiên cứu tính ổn định. Trong khuôn khổ của một bản luận văn thạc sĩ chúng tôi xin phép không trình bày một cách chi tiết vấn đề này. Chúng tôi sẽ dành sự quan tâm nhiều hơn cho việc xây dựng các ví dụ với mục tiêu là ứng dụng các phương pháp đã được trình bày trong chương này cho bài toán nhiễu. 5
Trước khi đi vào các phương pháp, chúng tôi xin đưa ra một số khái niệm về tính ổn định nghiệm của các hệ phương trình vi phân. 1.1 Khái niệm về tính ổn định nghiệm của các hệ phương trình vi phân 1.1.1 Sự tồn tại duy nhất nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính Giả sử B là không gian Banach. Trong không gian B ta xét phương trình vi phân dx(t) = f (t, x(t)), (1.1) dt trong đó t ∈ R+ , x(.) ∈ B và hàm f : R+ × D → B với D là miền đơn liên trong không gian Banach B. Từ nay về sau nếu không nói gì thêm ta sẽ hiểu nghiệm của (1.1) là nghiệm theo nghĩa cổ điển như sau: Định nghĩa 1.1. Hàm x = x(t), (x : I → B; I ⊂ R+ xác định trên I , khả vi liên tục theo t ∈ I ) được gọi là nghiệm của (1.1) nếu khi thay vào (1.1) ta thu được một đồng nhất thức trên I . Tức là dx(t) = f (t, x(t)), ∀t ∈ I. dt Bài toán Cauchy: Tìm nghiệm x = x(t) của phương trình (1.1) thỏa mãn điều kiện ban đầu x(t0 ) = x0 với (t0 , x0 ) ∈ I × B cho trước. Tương ứng với phương trình (1.1) ta thường xét phương trình tích phân sau: Z t x(t) = x0 + f (τ, x(τ ))dτ. (1.2) t0 Nhận xét: Nếu hàm f liên tục theo chuẩn trong B thì ta có thể chỉ ra rằng nghiệm của (1.2) là nghiệm của bài toán Cauchy và ngược lại.Sau đây ta ký hiệu: S(ε,η) = (t, x) ∈ R+ × B : |t − t0 | ≤ ε, ||x − x0 || ≤ η , với ε > 0, η > 0 là lân cận đóng của điểm (t0 , x0 ). Khi đó ta có định lý tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy như sau: Định lý 1.1. (Tính duy nhất nghiệm địa phương) Giả sử tồn tại một lân cận đóng của (t0 , x0 ) sao cho trong lân cận đó hàm f (t, x) liên tục theo t, ||f (t, x0 )|| ≤ M0 < +∞ và thỏa mãn điều kiện Lipschitz: ||f (t, x2 ) − f (t, x1 )|| ≤ M ||x2 − x1 ||, (1.3) M là một hằng số hữu hạn. Khi đó tồn tại một lân cận của điểm x0 mà trong lân cận đó thì (1.1) có duy nhất nghiệm x = x(t) thỏa mãn điều kiện ban đầu x(t0 ) = x0 . 6
Chứng minh. Từ giả thiết ta suy ra tồn tại ε > 0, η > 0 sao cho trong miền |t − t0 | ≤ ε, ||x − x0 || ≤ η , ta có: ||f (t, x)|| ≤ ||f (t, x0 )|| + ||f (t, x) − f (t, x0 )|| ≤ ||f (t, x0 )|| + M η ≤ M1 < +∞. Lấy δ = min ε, Mη1 và ký hiệu Cδ (B) là không gian Banach các hàm liên tục x(t) xác định trên |t − t0 | ≤ δ với chuẩn |||x||| = sup ||x(t)||. |t−t0 |≤δ Gọi Bη (x0 ) = {x ∈ Cδ (B) : |||x − x0 ||| ≤ η}. Xét toán tử: Z t (Sx)(t) = x0 + f (τ, x(τ ))dτ. t0 Ta có: Z t ||(Sx)(t) − x0 || = || f (τ, x(τ ))dτ || ≤ ||t − t0 || sup ||f (τ, x(τ ))|| t0 τ ∈[t0 ,t] ≤ δM1 ≤ η. Suy ra toán tử S là ánh xạ đi từ Bη vào Bη . Hơn nữa, với x1 , x2 ∈ Bη , từ điều kiện Lipschitz ta có đánh giá: Z t ||(Sx2 )(t) − (Sx1 )(t)|| ≤ ||f (τ, x2 (τ )) − f (τ, x1 (τ ))||dτ t0 Z t ≤M ||x2 (τ ) − x1 (τ )||dτ ≤ M (t − t0 )|||x2 − x1 |||. t0 Mặt khác ta lại có: Zt || S 2 x2 (t) − S 2 x1 (t) || ≤ M || (Sx2 ) (τ ) − (Sx1 ) (τ ) ||dτ t0 Zt ≤ M 2 |||x2 − x1 ||| (τ − t0 ) dτ t0 2 [M (t − t0 )] = |||x2 − x1 |||. 2! Sử dụng phép đánh giá liên tiếp ta được: [M (t − t0 )]n || (S n x2 ) (t) − (S n x1 ) (t) || ≤ |||x2 − x1 ||| n! n n [δM ]n ||S x2 − S x1 || ≤ |||x2 − x1 |||. n! 7
n Do [δM ] n n! → 0 khi n → +∞ nên với n đủ lớn thì S là toán tử co trong Bη . Do đó, sử dụng định lý ánh xạ co ta có thể suy ra rằng phương trình tích phân Z t x(t) = x0 + f (τ, x(τ ))dτ. t0 Nên x(t) = (Sx)t có nghiệm duy nhất. Do đó tồn tại duy nhất nghiệm x(t) ∈ Bη (x0 ). Định lý 1.2. (Sự kéo dài nghiệm của bài toán Cauchy). Giả sử ||x|| < ∞, t ≥ t0 , hàm f (t, x) thỏa mãn điều kiện ||f (t, x(t))|| ≤ L(||x||), trong đó L(r) là hàm liên tục có tính chất Zr dr → ∞, khi r → ∞, L (r) r0 khi đó mọi nghiệm của phương trình (1.2) có thể kéo dài trên khoảng thời gian vô hạn t0 ≤ t < ∞. Chứng minh. Vì
x(t2 ) − x(t1 )
||x(t2 )|| − ||x(t1 )||
|| || ≥
t2 − t1 t2 − t1
dx