Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Sự hội tụ của các độ đo xác suất và ứng dụng

Chia sẻ: Na Na | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:100

Thêm vào BST

Báo xấu

71
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bố cục luận văn gồm phần mở đầu, ba chương, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo. Chương một là mở đầu. Nêu một số khái niệm và tính chất bổ trợ cho các chương sau của luận văn. Chương hai đề cập tới sự hội tụ yếu trong không gian Metric. Chương ba là sự hội tụ yếu trong không gian C và ứng dụng.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Sự hội tụ của các độ đo xác suất và ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HOÀNG TRUNG HIẾU SỰ HỘI TỤ CỦA CÁC ĐỘ ĐO XÁC SUẤT VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học Mã số: 60460106 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TSKH. ĐẶNG HÙNG THẮNG HÀ NỘI−2014
Mục lục Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1 Mở đầu 5 1.1 Một số khái niệm và kết quả cơ bản . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Hội tụ yếu trên đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 Sự hội tụ yếu trong không gian Metric 19 2.1 Độ đo trên không gian Metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.1.1 Độ đo và tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.1.2 Tính chặt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2 Tính chất của hội tụ yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2.1 Định lý kết hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2.2 Tiêu chuẩn khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2.3 Nguyên lý ánh xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.2.4 Không gian tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.3 Sự hội tụ theo phân phối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.3.1 Đại lượng ngẫu nhiên S-giá trị . . . . . . . . . . . . . 38 2.3.2 Sự hội tụ theo phân phối . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.3.3 Sự hội tụ theo xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.3.4 Mối quan hệ giữa các loại hội tụ . . . . . . . . . . . . 43 2.3.5 Nguyên lý địa phương và nguyên lý tích phân . . . . . 44 1
2.3.6 Qua giới hạn tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.3.7 Độ đo tương đối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.4 Định lý Prohorov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2.4.1 Tính compact tương đối . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2.4.2 Tính chặt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3 Sự hội tụ yếu trong không gian C và ứng dụng 62 3.1 Hội tụ yếu và tính chặt trong C . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.1.1 Tính chặt và tính compact trên C . . . . . . . . . . . 63 3.1.2 Hàm ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3.2 Độ đo Wiener và định lý Donsker . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.2.1 Độ đo Wiener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.2.2 Cấu trúc của độ đo Wiener . . . . . . . . . . . . . . . 70 3.2.3 Định lý Donsker và ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . 74 3.3 Hàm của các quỹ đạo chuyển động Brown . . . . . . . . . . 79 3.3.1 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất . . . . . . . . . . . 80 3.3.2 Luật Arcsin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 3.3.3 Cầu Brown . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 3.4 Bất đẳng thức cực đại . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 3.4.1 Cực đại của các tổng riêng . . . . . . . . . . . . . . . 90 3.4.2 Bất đẳng thức tổng quát hơn . . . . . . . . . . . . . . 94 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 2
LỜI NÓI ĐẦU Trong lý thuyết độ đo, có rất nhiều khái niệm về sự hội tụ của các độ đo xác suất mà hội tụ yếu là một khái niệm quan trọng trong đó. Hội tụ yếu (hay còn gọi là hội tụ hẹp hoặc yếu-hội tụ, đây là tên thích hợp hơn theo quan điểm giải tích hàm nhưng ít được sử dụng) là một trong các loại hội tụ liên quan đến sự hội tụ của các độ đo. Bố cục luận văn gồm phần mở đầu, ba chương, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo. Chương một là mở đầu. Nêu một số khái niệm và tính chất bổ trợ cho các chương sau của luận văn. Bên cạnh đó, chương một sẽ nhắc lại về sự hội tụ yếu trên đường thẳng thực (tài liệu tham khảo [7]). Chương hai đề cập tới sự hội tụ yếu trong không gian Metric. Trong chương hai chúng ta sẽ tìm hiểu lý thuyết chung về khái niệm hội tụ yếu trong không gian metric và xem xét nó khi ta hạn chế trong nhiều trường hợp khác nhau. Mở đầu bằng các khái niệm cơ bản về hội tụ yếu và các tính chất của nó. Từ đó ứng dụng vào trong việc xét sự hội tụ theo phân phối và xác suất của các độ đo. Cùng với đó là kết quả quan trọng liên quan tới một họ các độ đo xác suất. Chương ba là sự hội tụ yếu trong không gian C và ứng dụng. Chương này quan tâm đến sự hội tụ yếu trong không gian C = C[0, 1] với tôpô đều; C là không gian tất cả các hàm thực liên tục trên đoạn đóng [0, 1]. Các ứng dụng sẽ được nêu ra trong chương này cho ta thấy lý do tại sao thật thú vị và hữu ích khi phát triển lý thuyết chung về sự hội tụ của các độ đo (độ đo Wiener, chuyển động Brown). 3
Luận văn này được thực hiện dưới sự hướng dẫn của GS.TSKH. Đặng Hùng Thắng. Toàn thể ban lãnh đạo và các thầy cô trong khoa Toán - Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên − Đại học Quốc Gia Hà nội đã giúp tôi có thêm nhiều kiến thức để có thể hoàn thành luận văn và khóa học một cách tốt đẹp. Các thầy cô phòng Sau Đại học đã tạo những điều kiện thuận lợi giúp tôi hoàn thành các thủ tục bảo vệ luận văn cũng như học tập. Các thầy và các bạn trong seminar Toán xác suất về những góp ý để tôi có thể hoàn thành luận văn này. Tôi xin chân thành cảm ơn tất cả những sự giúp đỡ và đóng góp quý giá ấy. Tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của quý thầy cô và các bạn. Hà Nội, tháng 10 năm 2014 Hoàng Trung Hiếu 4
Chương 1 Mở đầu Đầu tiên chúng ta nhắc lại một vài tính chất của không gian metric sẽ được sử dụng trong luận văn. Sau đó, ta sẽ nhắc lại về sự hội tụ của độ đo xác suất trên đường thẳng. 1.1 Một số khái niệm và kết quả cơ bản Ta đề cập một kết quả hữu ích được chứng minh đơn giản sau. Định lý 1.1.1 (M −test Weierstrass). Giả sử rằng limn xnk = xk với mỗi k P P P và |xnk | ≤ Mk , trong đó k Mk < ∞. Khi đó k xk và tất cả các k xnk P P hội tụ và limn k xnk = k xk . P P Chứng minh. Do k Mk < ∞ nên chuỗi k xnk hội tụ tuyệt đối. Ta có X X X X | xnk − xk | ≤ | |xnk − xk | + 2 Mk . k k k≤k0 k>k0 P Với cho trước, chọn k0 sao cho Mk < /3 và n0 sao cho n > n0 thì k>k0 P P |xnk −xk | < /3k0 với k ≤ k0 . Khi đó với n > n0 thì | k xnk − k xk | < . 5
Chúng ta ký hiệu không gian metric là S và metric của nó là ρ(x, y); không gian metric chính là cặp (S, ρ). Với các tập con A của S, ký hiệu A− , Ao và ∂A = A− − Ao lần lượt là bao đóng, phần trong và biên của A. Khoảng cách từ x tới A là ρ(x, A) = inf{ρ(x, y) : y ∈ A}; từ ρ(x, A) ≤ ρ(x, y) + ρ(y, A) suy ra ρ(·, A) liên tục đều. Ký hiệu B(x, r) là r-hình cầu mở {y : ρ(x, y) < r}; hình cầu sẽ có nghĩa là hình cầu mở và các hình cầu đóng ký hiệu là B(x, r)− . -lân cận của một tập A là tập mở A = {x : ρ(x, A) < }. So sánh các metric. Giả sử ρ và ρ0 là hai metric trên cùng không gian S. Để nói rằng tô pô ρ0 là lớn hơn tô pô ρ là để nói các lớp tương ứng O và O0 của các tập mở trong mối quan hệ O ⊂ O0 . (1.1) Điều này đúng nếu và chỉ nếu với mọi x và r, có một r0 sao cho B 0 (x, r0 ) ⊂ B(x, r) và trong trường hợp này tô pô ρ0 cũng được nói là tốt hơn tô pô ρ. Coi ánh xạ đồng nhất i trên S như một ánh xạ từ (S, ρ0 ) vào (S, ρ). Khi đó i là liên tục nếu và chỉ nếu G ∈ O kéo theo G = i−1 G ∈ O0 −nghĩa là nếu và chỉ nếu (1.1) đúng. Hơn nữa, i là liên tục theo nghĩa này nếu và chỉ nếu ρ0 (xn , x) → 0 kéo theo ρ(xn , x) → 0. Đây là cách khác để nói rằng tô pô ρ0 là "tốt hơn" tô pô ρ. Metric ρ là rời rạc nếu ρ(x, y) = 1 với x 6= y; điều này đưa tới S tô pô tốt nhất có thể. Hai metric và tô pô tương ứng là tương đương nếu mỗi trong chúng là tốt hơn cái kia: (S, ρ) và (S, ρ0 ) là đồng phôi. Nếu ρ0 là tốt hơn ρ thì cả hai có thể tương đương; nói cách khác, "tốt hơn" không có nghĩa là "tốt hơn nghiêm ngặt". Tính khả ly. Không gian S là khả ly nếu nó chứa một tập con trù mật, đếm được. Một cơ sở cho S là một lớp các tập mở với tính chất: mỗi tập mở là hợp của các tập trong lớp đó. Một phủ mở của A là một lớp các tập mở mà hợp của chúng chứa A. 6
Định lý 1.1.2. Ba điều kiện sau là tương đương: (i) S là khả ly. (ii) S có một cơ sở đếm được. (iii) Mỗi phủ mở của mỗi tập con của S có một phủ con đếm được. Chứng minh. 1.(i) → (ii). Lấy D đếm được, trù mật và lấy V là lớp các hình cầu B(d, r) với d ∈ D và r hữu tỷ. Lấy G mở, để chứng minh V là một cơ sở, chúng ta phải chỉ ra rằng nếu G1 là hợp của các phần tử của V mà bị chứa trong G thì G = G1 . Thật vậy, ta đã có G1 ⊂ G và để chứng minh G ⊂ G1 ta lấy x ∈ D, d ∈ D và số hữu tỷ r sao cho x ∈ B(d, r) ⊂ G. (Nếu x ∈ G thì B(x, ) ⊂ G với nào đó.) Do D là trù mật nên có d ∈ D sao cho ρ(x, d) < /2. Lấy số hữu tỷ r thỏa mãn ρ(x, d) < r < /2 : x ∈ B(d, r) ⊂ B(x, ). 2.(ii) → (iii). Lấy {V1 , V2 , . . .} là một cơ sở đếm được và giả sử rằng {Gα } là một phủ mở của A (α chạy trên một tập chỉ số tùy ý). Với mỗi Vk mà tồn tại một Gα thỏa mãn Vk ⊂ Gα , lấy Gαk là tập nào đó trong Gα chứa nó. S Khi đó, A ⊂ k Gαk . 3.(iii) → (i). Với mỗi n, {B(x, n−1 ) : x ∈ S} là một phủ mở của S. Nếu (iii) đúng thì có một phủ con {B(xnk , n−1 ) : k = 1, 2, . . .}. Tập đếm được {xnk : n = 1, 2, . . .} là trù mật trong S. Một tập con M của S là khả ly nếu có một tập đếm được D là trù mật trong M (M ⊂ D− ). Mặc dù D không nhất thiết là tập con của M , điều này có thể dễ dàng được sắp xếp: Giả sử rằng {dk } trù mật trong M và lấy xkn là điểm chung của B(dk , n−1 ) và M (nếu có). Lấy x trong M và dương, chọn n và dk để ρ(x, dk ) < n−1 < /2. Do B(dk , n−1 ) chứa điểm x của M , nó chứa xkn và ρ(x, xkn ) < . Do đó, xkn tạo thành một tập con trù, mật đếm được của M . Định lý 1.1.3. Giả sử tập con M của S là khả ly. 7
(i) Có một lớp A đếm được của các tập mở với tính chất: nếu x ∈ G ∩ M và G mở thì x ∈ A ⊂ A− ⊂ G với A nào đó trong A. (ii) Mỗi phủ mở của M có một phủ con đếm được (tính chất Lindel¨ of ). Chứng minh. 1.(i). Lấy D là tập con trù mật, đếm được của M và lấy A bao gồm các hình cầu B(d, r) với d ∈ D và r hữu tỷ. Nếu x ∈ G ∩ M và G mở, chọn để B(x, ) ⊂ G, sau đó chọn d trong D sao cho ρ(x, d) < /2 và cuối cùng chọn số hữu tỷ r: ρ(x, d) < r < /2. Suy ra rằng x ∈ B(d, r) ⊂ B(d, r)− ⊂ B(x, ) ⊂ G. 2.(ii). Lấy A = {A1 , A2 , . . .} là lớp của phần (i). Cho một phủ mở {Gα } S của M , với mỗi Ak chọn một Gαk chứa nó (nếu có). Thì M ⊂ k Gαk . Tính khả ly là một tính chất tô pô: Nếu ρ và ρ0 là hai metric tương đương thì M là ρ-khả ly nếu và chỉ nếu nó là ρ0 -khả ly. Tính đầy đủ. Một dãy {xn } là cơ bản hoặc có tính chất Cauchy nếu sup ρ(xi , xj ) →n 0. i,j≥n Một tập M là đầy đủ nếu mọi dãy cơ bản trong M có giới hạn nằm trong nó. Tập đầy đủ hiển nhiên là đóng. Một dãy cơ bản là hội tụ nếu nó chứa một dãy con hội tụ. (Điều này cung cấp cho ta một cách thuận tiện để kiểm tra tính đầy đủ của một dãy.) Tính đầy đủ không là một tính chất tô pô: S = [1, ∞) là đầy đủ theo metric thông thường (ρ0 (x, y) = |x − y|) nhưng không đầy đủ theo metric tương đương ρ(x, y) = |x−1 − y −1 |. Một không gian metric (S, ρ) là không gian đủ tô pô nếu như trong ví dụ này có một metric tương đương để ρ theo đó là đầy đủ. Cho một metric ρ trên S, xác định b(x, y) = 1 ∧ ρ(x, y). (1.2) 8
Do φ(t) = 1 ∧ t là không giảm và thỏa mãn φ(s + t) ≤ φ(s) + φ(t) với s, t ≥ 0 nên b là một metric (tương đương với ρ). Hơn nữa, do φ(t) ≤ t với t ≥ 0 và φ(t) = t với 0 ≤ t ≤ 1 thì một dãy là b-cơ bản nếu và chỉ nếu nó là ρ-cơ bản; điều này cũng có nghĩa S là ρ-đầy đủ nếu và chỉ nếu nó là b-đầy đủ. Tính compact. Một tập A theo định nghĩa compact là nếu mỗi phủ mở của A có một phủ con hữu hạn. Một -lưới cho A là một tập của các điểm {xk } với tính chất là với mỗi x trong A có một xk sao cho ρ(x, xk ) < ; A là hoàn toàn bị chặn nếu với mỗi dương, nó có một -lưới (các điểm của nó có thể không nằm trong A). Định lý 1.1.4. Ba điều kiện sau là tương đương: (i) A− là compact. (ii) Mỗi dãy trong A có một dãy con hội tụ (giới hạn nằm trong A− ). (iii) A là hoàn toàn bị chặn và A− là đầy đủ. Chứng minh. Hiển nhiên (ii) đúng nếu và chỉ nếu mỗi dãy trong A− có một dãy con hội tụ tới một điểm trong A− và A là hoàn toàn bị chặn nếu và chỉ nếu A− cũng là hoàn toàn bị chặn. Do đó, chúng ta có thể thừa nhận chứng minh A = A− là đóng. Chứng minh là hiển nhiên nếu ta đặt thêm ba tính chất giữa (i) và (ii): (i1 ) Mỗi phủ mở đếm được của A có một phủ con hữu hạn. S (i2 ) Nếu A ⊂ n Gn , ở đó Gn mở và G1 ⊂ G2 ⊂ · · · thì A ⊂ Gn với n nào đó. T (i3 ) Nếu A ⊃ F1 ⊃ F2 ⊃ · · · , ở đó Fn là đóng và khác trống thì n Fn là khác trống. Đầu tiên chúng ra chứng minh tất cả (i1 ), (i2 ), (i3 ), (ii), (iii) là tương đương. (i1 ) ↔ (i2 ). Hiển nhiên, (i1 ) kéo theo (i2 ). 9
S Ngược lại, nếu {Gn } phủ A, chỉ cần thay thế đơn giản Gn bởi k≤n Gk . (i2 ) ↔ (i3 ). Đầu tiên,(i2 ) nói rằng A ∩ Dn ↑ A kéo theo A ∩ Gn = A với n nào đó. Và (i3 ) nói rằng A ∩ Fn ↓ ∅ kéo theo A ∩ Fn = ∅ với n nào đó (ở đây Fn không nhất thiết chứa trong A). Nếu Fn = Gcn thì hai phát biểu là như nhau. (i3 ) ↔ (ii). Giả sử (i3 ) đúng. Nếu {xn } là một dãy trong A, lấy Bn = {xn , xn+1 , . . .} và Fn = Bn− . Mỗi Fn là không trống, do đó nếu (i3 ) đúng thì T n Fn chứa x nào đó. Do x là nằm trong bao đóng của Bn nên có in sao cho in ≥ n và ρ(x, xin ) < n−1 ; chọn in quy nạp sao cho i1 < i2 < · · · Khi đó, limn ρ(x, xin ) = 0: (ii) đúng. Mặt khác, nếu Fn là các tập đóng giảm, khác trống và (ii) đúng thì lấy T xn ∈ Fn và x là giới hạn của dãy con nào đó; rõ ràng x ∈ n Fn : (i3 ) đúng. (ii) → (iii). Nếu A không hoàn toàn bị chặn thì tồn tại và dãy {xn } vô hạn trong A sao cho ρ(xm , xn ) ≥ với m 6= n. Nhưng khi đó {xn } không chứa dãy con hội tụ và vì thế (ii) kéo theo A hoàn toàn bị chặn. Và A− đầy đủ bởi vì nếu {xn } là cơ bản và có một dãy con hội tụ tới x thì toàn bộ dãy hội tụ tới x. (iii) → (ii). Sử dụng phương pháp đường chéo. Nếu A hoàn toàn bị chặn thì với mỗi n có phủ bởi những hình cầu mở hữu hạn Bn1 , . . . , Bnkn bán kính n−1 . Cho một dãy {xm } trong A, đầu tiên chọn một dãy tăng của các số nguyên m11 , m12 , . . . theo cách mà tất cả xm11 , xm12 , . . . nằm trong cùng B1k (điều đó có thể vì chỉ có hữu hạn hình cầu). Sau đó chọn một dãy m21 , m22 , . . ., một dãy của m11 , m12 , . . . theo cách mà tất cả xm21 , xm22 , . . . nằm trong cùng B2k . Tiếp tục như thế nếu ri = mii thì tất cả xrn , xrn+1 , . . . nằm trong cùng Bnk . Nó kéo theo rằng xr1 , xr2 , . . . là cơ bản và do đó hội tụ đầy đủ tới điểm nào đó của A. Do vậy (i1 ) đến (iii) là tương đương. Do (i) kéo theo (i1 ) nên ta có thể hoàn thành chứng minh bởi (i1 ) và (iii) cùng kéo theo (i). 10
Nhưng nếu A là hoàn toàn bị chặn thì nó rõ ràng là khả ly và nó suy ra bởi tính chất Lindel¨ of rằng một phủ mở bất kỳ của A có một phủ con đếm được. Và do đó theo (i1 ), nó có một phủ con hữu hạn. Tính compact là một tính chất tô pô (theo điều kiện (ii) của định lý). Một tập A là bị chặn nếu đường kính sup{ρ(x, y) : x, y ∈ A} của nó hữu hạn. Theo nghĩa này, bao đóng của một tập hoàn toàn bị chặn rõ ràng là bị chặn; điều ngược lại là sai, như ví dụ các hình cầu đóng trong C (Ví dụ 2.1.3) là không compact. Mặt khác, một tập trong k-không gian Euclid là hoàn toàn bị chặn nếu và chỉ nếu nó là bị chặn. Một tập A là compact tương đối nếu A− là compact. Điều này tương đương với điều kiện mọi dãy trong A đều chứa một dãy con hội tụ (giới hạn của chúng có thể không nằm trong A). Một kết quả hữu ích: Ảnh liên tục của một tập compact là compact. Giả sử rằng f : S → S 0 là liên tục và A là tập compact trong S. Nếu {f (xn )} là một dãy trong f (A), chọn {ni } sao cho {xni } hội tụ tới một điểm x của A. Bằng tính liên tục, {f (xni )} hội tụ điểm tới f (x) của f (A). Tích các không gian metric. Giả sử (Si , ρi ), i = 1, 2, . . . là các không gian metric và xét tích Descartes S = S1 × S2 × · · · . Khi đó rõ ràng ∞ X ρ(x, y) = 2−i (1 ∧ ρi (xi , yi )) (1.3) i=1 là một metric. Nếu mỗi Si là khả ly thì S là khả ly. Giả sử Di là tập trù mật đếm được trong Si và xét tập đếm được D trong S chứa các điểm có dạng x = (x1 , . . . , xk , xok+1 , xok+2 , . . .), (1.4) trong đó k ≥ 1, xi là một điểm biến đổi của Di với i ≤ k và xoi là điểm cố định của Si với i > k. Với cho trước và y ∈ S, chọn k sao cho i>k 2−i < , P sau đó chọn các điểm xi của Di sao cho ρi (yi , xi ) < . 11
Khi đó, (1.4) thỏa mãn ρ(y, x) < 2. Nếu mỗi Si đầy đủ thì S là đầy đủ. Thật vậy, giả sử rằng xn = (xn1 , xn2 , . . .) là các điểm của S tạo thành một dãy cơ bản. Khi đó, mỗi dãy x1i , x2i , . . . là dãy cơ bản trong Si và do đó ρi (xni , xi ) →n 0 với các xi nào đó thuộc Si . Theo M -test thì ρ(xn , x) → 0. Nếu Ai compact trong Si thì A1 × A2 × · · · compact trong S. Do với dãy các điểm xn = (xn1 , xn2 , . . .) thuộc A cho trước, với mỗi i ta xét dãy x1i , x2i , . . . trong Ai . Vì Ai compact thì tồn tại dãy các số nguyên n1 , n2 , . . . sao cho xni k →k xi với xi nào đó thuộc Ai . Nhưng theo phương pháp đường chéo, chuỗi {nk } có thể được chọn để xni k →k xi với mỗi i tại cùng thời điểm. Và khi đó xnk →k (x1 , x2 , . . .). Phạm trù Baire. Một tập A trù mật trong B nếu B ⊂ A− . Và A trù mật khắp nơi nếu S = A− , điều này đúng nếu và chỉ nếu A trù mật trong mọi hình cầu mở B. Và A được xác định để là không đâu trù mật nếu không tồn tại hình cầu mở B mà nó trù mật trong đó. Ví dụ, tập Cantor là một tập không đâu trù mật trong khoảng đơn vị nhưng một tập không đâu trù mật có thể hoàn toàn tầm thường: Một đường thẳng là không đâu trù mật trong mặt phẳng. Nói A không đâu trù mật là để nói rằng với mỗi hình cầu mở B, A không trù mật trong B, tức là B chứa x nào đó sao cho với nào đó, hình cầu B(x, ) ⊂ Ac . Nhưng vì B mở nên B(x, ) ⊂ B với đủ nhỏ: B(x, ) ⊂ B ∩ Ac . (1.5) Vì vậy, A là tập không đâu trù mật nếu và chỉ nếu mỗi hình cầu mở B đều chứa một hình cầu mở B(x, ) thỏa mãn (1.5). Bằng cách lấy đủ nhỏ, ta có thể nâng (1.5) thành B(x, − ) ⊂ B ∩ Ac . Định lý 1.1.5 (Trù mật Baire). Nếu S đầy đủ thì nó không thể được biểu diễn như là hợp đếm được của các tập không đâu trù mật. 12
Chứng minh. Giả sử rằng A1 , A2 . . . là các tập không đâu trù mật. Khi đó, tồn tại x1 ∈ S sao cho B(x1 , 1 )− ⊂ S ∩ Ac1 với 1 nào đó. Và B(x1 , 1 ) chứa x2 sao cho B(x2 , 2 )− ⊂ B(x1 , 1 )∩Ac2 với 2 nào đó. Tiếp tục quá trình đó ta có thể chọn n sao cho n < 2−n . Do ρ(xn , xn+1 ) < 2−n nên dãy {xn } là dãy cơ bản và do đó nó hội tụ tới x nào đó. Với mỗi k, x nằm trong B(xk , k )− S nên nó nằm ngoài Ak . Vậy S = k Ak là không thể. Nửa liên tục trên. Hàm f được gọi là nửa liên tục trên (nltt) tại x0 nếu với mỗi , tồn tại δ sao cho ρ(x0 , y) < δ thì f (y) < f (x0 ) + . Dễ thấy f là nửa liên tục trên (nltt tại mọi điểm) nếu và chỉ nếu với mỗi số thực α thì {x : f (x) < α} là tập mở. Định lý 1.1.6 (Định lý Dini). Nếu fn (x) ↓ 0 với mỗi x và nếu mỗi fn là nửa liên tục trên thì sự hội tụ này là đều trên mỗi tập compact. Chứng minh. Với mỗi , các tập mở Gn = {x : fn (x) < } phủ S. Nếu K compact thì K ⊂ Gn với n nào đó và do đó fn hội tụ đều đến 0. Hàm Lipschitz. Một hàm thỏa mãn điều kiện Lipschitz trên một tập con A của S có thể được mở rộng cho toàn bộ không gian. Định lý 1.1.7. Giả sử hàm f trên S thỏa mãn: |f (x) − f (y)| ≤ Kρ(x, y) với x, y ∈ A. Tồn tại một mở rộng g của f thỏa mãn điều kiện tương tự |g(x) − g(y)| ≤ Kρ(x, y) với x và y thuộc S. Nếu f thỏa mãn |f | ≤ a trên A thì có thể lấy g để thỏa mãn |g| ≤ a trên S. Chứng minh. Cố định z thuộc A. Nếu y ∈ A thì với mọi x ∈ S f (y) + Kρ(x, y) = f (z) + Kρ(x, y) + (f (y) − f (z)) ≥ f (z) + Kρ(x, y) − Kρ(y, z) ≥ f (z) − Kρ(x, z). Do đó, hàm g(x) = inf y∈A (f (y) + Kρ(x, y)) được định nghĩa tốt trên S. Nếu x, y nằm trong A thì f (y) + Kρ(x, y) ≥ f (x), dấu bằng xảy ra tại 13
y = x : g(x) = f (x) với x ∈ A. Cho x, x0 là các điểm của S. Với > 0 cho trước, chọn y ∈ A sao cho g(x) ≥ f (y) + Kρ(x, y) − . Khi đó g(x0 ) − g(x) ≤ f (y) + Kρ(x0 , y) − [f (y) + Kρ(x, y) − ] = K[ρ(x0 , y) − ρ(x, y)] + ≤ Kρ(x0 , x) + , nên g(x0 ) − g(x) ≤ Kρ(x0 , x). Đổi chỗ x0 và x để có điều kiện Lipschitz cho g. Nếu |f | ≤ a thì |g| ≤ a. Tô pô và tính đo được. Một σ-trường Borel S đối với (S, ρ) là σ-trường được sinh bởi các tập mở. Lấy (S 0 , ρ0 ) là không gian metric thứ hai với σ- trường S 0 . Nếu h : S → S 0 liên tục thì nó là S/S 0 đo được (tức là A0 ∈ S 0 thì A ∈ S). Lấy (Ω, F) là một không gian đo được và hn , h là các ánh xạ từ Ω vào S. Nếu mỗi hn là F/S đo được và nếu limn hn x = hx với mỗi x thì h cũng là F/S đo được. Thực tế, h−1 F ⊂ lim inf n h−1 n F ⊂ h −1 2 F . Nếu F đóng thì h−1 F = lim inf n h−1 T n F và nằm trong F. Dh là tập các điểm nằm trong S mà h không liên tục. Điều này đúng cho dù là h không là S/S 0 đo được. Để chứng minh, lấy Aδ là tập các x trong S mà có các điểm y và z trong S thỏa mãn ρ(x, y) < δ, ρ(x, z) < δ và ρ0 (hy, hz) ≥ . Khi đó Aδ mở và Dh ∈ S vì Dh = δ Aδ . S T Không gian con. Tập con S0 của S là không gian metric. Nếu O và O0 là lớp các tập mở trong S và S0 thì O0 = O ∩ S0 (= {G ∩ S0 : G ∈ O}), từ đó σ-trường trong S0 là S0 = S ∩ S0 . (1.6) Nếu S0 nằm trong S thì S0 = {A : A ⊂ S0 , A ∈ S}. (1.7) Không gian tích. Lấy S 0 và S 00 là các không gian metric ρ0 và ρ00 và các σ-trường S 0 và S 00 . Xét không gian tích T = S 0 × S 00 . Tô pô tích trong T có 14
thể được xác định bởi nhiều tô pô như p t((x0 , x00 ), (y 0 , y 00 )) = [ρ0 (x0 , y 0 )]2 + [ρ00 (x00 , y 00 )]2 (1.8) và t((x0 , x00 ), (y 0 , y 00 )) = ρ0 (x0 , y 0 ) ∨ ρ00 (x00 , y 00 ). (1.9) Đối với cả hai metric này đều tồn tại sự hội tụ (x0n , x00n ) → (x0 , x00 ) trong T nếu và chỉ nếu x0n → x0 trong S 0 và x00n → x00 trong S 00 . Đối với metric (1.9) ta có Bt ((x0 , x00 ), r) = Bρ0 (x0 , r) × Bρ00 (x00 , r). (1.10) Xét phép chiếu π 0 : T → S 0 và π 00 : T → S 00 xác định bởi π 0 (x0 , x00 ) = x0 và π 00 (x0 , x00 ) = x00 đều là các ánh xạ liên tục. Nếu T0 đếm được và trù mật trong T thì π 0 T0 và π 00 T0 là đếm được và trù mật trong S 0 và S 00 . Mặt khác, nếu S00 và S000 đếm được và trù mật trong S 0 và S 00 thì S000 × S000 đếm được và trù mật trong T . Do đó: T khả ly khi và chỉ khi S 0 và S 00 đều khả ly. Lấy T là σ-trường Borel trong T . Ta cũng xét tích σ-trường S 0 × S 00 − được sinh bởi hình chữ nhật đo được, các tập A0 ×A00 với A0 ∈ S 0 và A00 ∈ S 00 . Hình chữ nhật này là (π 0 )−1 A0 ∩ (π 00 )−1 A00 ; vì hai ánh xạ chiếu là liên tục nên chúng tương ứng là T /S 0 và T /S 00 đo được và suy ra rằng hình chữ nhật nằm trong T . Do đó, S 0 × S 00 ⊂ T . Mặt khác, nếu T khả ly thì mỗi tập mở trong T là hợp đếm được các tập trong (1.10) và do đó nằm trong S 0 × S 00 . Suy ra S 0 × S 00 = T (1.11) nếu T là khả ly. n n P P Định lý Scheffé’s. Giả sử rằng ym là không âm và m ym = m ym n (hữu hạn) với mọi n và ym →n ym với mọi m. Khi đó chuỗi X n |ym − ym | →n 0. m 15
Nếu f là hàm thực liên tục và bị chặn thì X X n n ym f (ym ) →n ym f (ym ). m m Nếu f bị chặn bởi M thì X X n n | ym f (ym ) − ym f (ym )| m m X X n n n ≤ |ym − ym | · |f (ym )| + ym |f (ym ) − f (ym )| m m X X n n ≤M |ym − ym | + ym |f (ym ) − f (ym )|. m m Bất đẳng thức Etemadi. Nếu S1 , . . . , Sn là các tổng của biến ngẫu nhiên độc lập thì P max |Sk | ≥ 3α ≤ 3 max P |Sk | ≥ α . k≤n k≤n Để chứng minh điều này, xét các tập Bk ở đó |Sk | ≥ 3α mà |Sj | < 3α với j < k. Do Bk là rời nhau nên X P max |Sk | ≥ 3α ≤ P |Sn | ≥ α + P Bk ∩ |Sn | < α k≤n k≤n X
≤ P |Sn | ≥ α + P Bk ∩ |Sn − Sk
> 2α k≤n X = P |Sn | ≥ α + PBk · P |Sn − Sk | > 2α k≤n ≤ P |Sn | ≥ α + max P |Sn − Sk | ≥ 2α k≤n ≤ P |SN ≥ α + max P Sn ≥ α + P |Sk | ≥ α k≤n ≤ 3 max P |Sk | ≥ α . k≤n 16
1.2 Hội tụ yếu trên đường thẳng Trong lý thuyết độ đo, các khái niệm khác nhau về hội tụ của độ đo đã được biết. Tuy nhiên, trong lý thuyết xác suất, hội tụ yếu của độ đo xác suất thường được nhắc tới. Hội tụ yếu của độ đo xác suất được tổng quát hóa từ hội tụ yếu của các hàm phân phối trên đường thẳng thực. Cho Fn , n ∈ N và F là các hàm phân phối. Ta nhắc lại rằng Fn hội tụ yếu tới F khi n → ∞ nếu lim Fn (x) = F (x), n→∞ với mọi điểm liên tục x của F . Nếu hàm giới hạn F là liên tục thì hội tụ bên trên kéo theo với mọi x. Hội tụ yếu của hàm phân phối có thể được viết lại dưới độ đo xác suất. Cho Pn và P là các độ đo xác suất sinh bởi các hàm phân phối Fn và F , được xác định bởi Pn (−∞, x] = Fn (x), P (−∞, x] = F (x). Hàm F (x) liên tục tại x nếu và chỉ nếu P ({x}) = 0. Do đó, Fn hội tụ yếu tới F nếu và chỉ nếu lim Pn (−∞, x] = P (−∞, x], (1.12) n→∞ với P ({x}) = 0. Lấy A = (−∞, x] thì khi đó (1.12) tương đương với quan hệ lim Pn (A) = P (A) (1.13) n→∞ nếu P (∂A) = 0. Do đó, hội tụ yếu của Fn tới F là tương đương với (1.13) với mọi tập Borel A mà P (A) = 0. Quan hệ (1.13) được gọi là hội tụ yếu của Pn tới P khi n → ∞. Vậy, với độ đo xác suất trên (R, R) (R được ký hiệu là lớp các tập Borel của R), hội tụ yếu của độ đo xác suất trùng với hội tụ yếu của các hàm phân phối. 17