Luận văn Thạc sĩ Sinh học: Mô hình hóa các cấu trúc ngưng tụ của ADN

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:27

Thêm vào BST

Báo xấu

15
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu của nghiên cứu là trên cơ sở các mô hình và tính toán lý thuyết, tìm hiểu về cấu hình cuộn tối ưu của ADN trong cấu trúc ngưng tụ dạng vòng xuyến, đồng thời đưa ra được giản đồ pha trạng thái cơ bản của các cấu trúc ngưng tụ phụ thuộc vào chiều dài của ADN và tham số năng lượng của mô hình.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Sinh học: Mô hình hóa các cấu trúc ngưng tụ của ADN

Mô hình hóa các cấu trúc ngưng tụ của ADN 1
Lời cảm ơn Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS. Trịnh Xuân Hoàng. Thầy đã tận tình hướng dẫn chỉ bảo cho tôi nhiều kiến thức quan trọng cũng như các kinh nghiệm quý báu trong học tập và nghiên cứu khoa học. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến các thầy cô giáo ở Viện Vật lý đã dạy bảo tôi tận tình trong suốt quá trình học tập thạc sĩ tại Học viện Khoa học và Công nghệ, cũng như gia đình và bạn bè đã luôn bên tôi và giúp đỡ trong suốt thời gian qua để tôi có thể hoàn thành luận văn này. Hà Nội, tháng 6 năm 2019 Học viên Tạ Thành Lê 2
Mục lục Mở đầu..........................................................................................................4 Chương 1: Tổng quan về ngưng tụ ADN...................................................7 1.1. Cấu trúc hóa học của ADN.....................................................................7 1.2. Đóng gói ADN trong nhân tế bào và trong virus....................................8 1.3. Hiện tượng ngưng tụ ADN.....................................................................11 Chương 2: Các mô hình cấu trúc ngưng tụ của ADN...............................15 2.1. Mô hình bó xoắn cho cấu trúc ngưng tụ vòng xuyến..............................15 2.2. Mô hình cuộn chỉ.....................................................................................17 2.3. Mô hình độ cong không đổi.....................................................................17 2.4. Mô hình trụ cầu cho cấu trúc dạng que....................................................18 Chương 3: Một số kết quả nghiên cứu........................................................20 3.1. Cấu hình cuộn tối ưu của ADN trong cấu trúc ngưng tụ vòng xuyến......20 3.2. Phân bố độ cong của ADN trong cấu trúc ngưng tụ vòng xuyến.............22 3.3. Giản đồ pha các cấu trúc ngưng tụ của ADN...........................................23 Kết luận..........................................................................................................25 Tài liệu tham khảo........................................................................................26 3
Mở đầu 1. Đặt vấn đề ADN là các phân tử mang thông tin di truyền có mặt trong mọi tế bào của cơ thể sống. Trong tự nhiên ADN được đóng gói rất chặt trong nhân tế bào hoặc trong vỏ virus. ADN là polymer mang điện tích âm và hòa tan rất tốt trong môi trường nước. Do lực đẩy Coulomb giữa các đoạn phân tử mang điện tích cùng dấu, ADN có độ cứng lớn và có cấu hình duỗi ngẫu nhiên trong môi trường nước. Trong những điều kiện dung môi nhất định, thường là khi trong dung dịch có các ion dương hóa trị cao, ADN ngưng tụ về các cấu trúc bó chặt với một số cấu trúc hình học đặc trưng như cấu trúc dạng vòng xuyến (toroid), cấu trúc dạng que (rod-like), với kích thước từ vài chục tới vài trăm nm. Các cấu trúc ngưng tụ này đã được quan sát trong thực nghiệm. Hiện tượng ngưng tụ ADN đã được nghiên cứu trong nhiều năm. Tuy vậy, nhiều khía cạnh của hiện tượng này, ví dụ như các vấn đề về tương tác ADN-ADN, cấu trúc trạng thái ngưng tụ và động lực học của quá trình ngưng tụ v.v. cho tới nay vẫn chưa được hiểu rõ và đang được các nhà khoa học tiếp tục quan tâm nghiên cứu. Nghiên cứu về ngưng tụ ADN không chỉ giúp hiểu rõ hơn về loại phân tử vô cùng quan trọng với sự sống mà còn có thể giúp ích cho việc mang lại các ứng dụng trong y sinh học, như trị liệu gen. Trên cơ sở tìm hiểu về hiện tượng ngưng tụ ADN, cũng như ý nghĩa của nó đối với sự sống và các ứng dụng trong y sinh học, tôi chọn đề tài “Mô hình hóa các cấu trúc ngưng tụ của ADN” để nghiên cứu rõ thêm về hiện tượng thú vị này. Dựa trên các kiến thức đã biết trước đây về ADN cũng như những hình ảnh thực nghiệm quan sát chúng tôi xem xét các mô hình khả dĩ cho các cấu trúc ngưng tụ của ADN. Cụ thể trong luận văn này tôi sẽ nêu ra và so sánh các mô hình cấu trúc ngưng tụ của ADN bao gồm các mô hình bó xoắn, mô hình cuộn chỉ và mô hình độ cong không đổi cho cấu trúc ngưng tụ vòng xuyến và 4
mô hình trụ cầu (sphero-cylinder model) cho cấu trúc ngưng tụ dạng que. Thông qua việc tối ưu hóa và so sánh các mô hình, ta có thể tìm ra trạng thái ổn định nhất về nhiệt động học. 2. Mục tiêu nghiên cứu Mục tiêu của nghiên cứu là trên cơ sở các mô hình và tính toán lý thuyết, tìm hiểu về cấu hình cuộn tối ưu của ADN trong cấu trúc ngưng tụ dạng vòng xuyến, đồng thời đưa ra được giản đồ pha trạng thái cơ bản của các cấu trúc ngưng tụ phụ thuộc vào chiều dài của ADN và tham số năng lượng của mô hình. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Đối tượng nghiên cứu là ADN với tư cách là polymer bán linh động ở trạng thái ngưng tụ. Phạm vi nghiên cứu: Trong luận văn này, chúng tôi chỉ quan tâm tới các trạng thái có năng lượng thấp nhất của các cấu trúc ngưng tụ dạng vòng xuyến và dạng que, là trạng thái đạt cân bằng nhiệt động. Mặc dù câu hỏi các cấu trúc ngưng tụ của ADN là các cấu trúc cân bằng hay phi cân bằng hiện nay vẫn chưa có câu trả lời chính xác. Ở đây chúng tôi giả thiết ADN đạt trạng thái cân bằng nhiệt động là trạng thái có năng lượng thấp nhất trong mô hình. Luận văn cũng không xét tới các vấn đề khác như động lực học của quá trình ngưng tụ hay trạng thái cân bằng của hệ gồm nhiều cấu trúc ngưng tụ. 4. Các nội dung nghiên cứu Các nội dung nghiên cứu của luận văn bao gồm: - Nghiên cứu cấu hình cuộn tối ưu của ADN trong cấu trúc ngưng tụ dạng vòng xuyến. - Nghiên cứu phân bố độ cong của ADN trong cấu trúc ngưng tụ vòng xuyến. - Tính toán giản đồ pha cấu trúc ngưng tụ của ADN dựa trên sự cạnh tranh giữa cấu trúc vòng xuyến và cấu trúc dạng que. 5
5. Cách tiếp cận và phương pháp nghiên cứu - Cách tiếp cận: Cách tiếp cận của nghiên cứu trong luận văn là xây dựng các mô hình lý thuyết đơn giản dựa trên những kết quả thực nghiệm đã biết về các cấu trúc ngưng tụ của ADN, và sau đó dùng các mô hình lý thuyết để nghiên cứu sâu hơn về hiện tượng này. - Phương pháp nghiên cứu: Phương pháp nghiên cứu được sử dụng là tính toán giải tích và tính số. Các tính toán chủ yếu được thực hiện là cực tiểu hóa năng lượng của ADN để tối ưu hóa cấu trúc ngưng tụ. 6. Cấu trúc của luận văn Sau phần mở đầu là các nội dung của luận văn được chia thành 3 chương: - Chương 1: Tổng quan về ngưng tụ ADN - Chương 2: Các mô hình cấu trúc ngưng tụ của ADN - Chương 3: Một số kết quả nghiên cứu Cuối cùng là phần kết luận và tài liệu tham khảo. 6
Chương 1: Tổng quan về ngưng tụ ADN 1.1. Cấu trúc hóa học của ADN ADN (Axit Deoxyribonucleic) là vật chất mang thông tin di truyền ở cấp độ phân tử, được tạo thành từ hai chuỗi polynucleotide liên kết với nhau và uốn quanh 1 trục tương tự 1 chiếc thang dây xoắn. Cấu trúc này được gọi là cấu trúc xoắn kép (Hình 1.1), được phát hiện đầu tiên bởi Watson và Crick vào năm 1953 [1]. Hình 1.1: Cấu trúc xoắn kép của ADN. Mỗi nucleotide được tạo thành từ một phân tử đường ribose, một gốc phosphate và một bazơ nitơ (nucleobase). Trong ADN chỉ có 4 loại nucleotide và những loại này khác nhau ở thành phần nucleobase. Do đó tên gọi của các loại nucleotide xuất phát từ gốc nucleobase mà nó mang: Adenine (A), Thymine (T), Cytosine (C), và Guanine (G). Mỗi chuỗi polynucleotide do các phân tử nucleotide liên kết với nhau thông qua liên kết phosphodieste giữa gốc 7
đường của nucleotide này với gốc phosphate của nucleotide tiếp theo. Trong môi trường dịch thể, 2 chuỗi polynucleotide của 1 phân tử ADN liên kết với nhau bằng liên kết hiđrô. Liên kết này được tạo ra giữa 2 gốc nucleobase của 2 nucleotide đối diện nhau trên 2 chuỗi, tương tự như những bậc thang trên 1 chiếc thang dây. Do cấu tạo hoá học của các nucleobase mà liên kết hydro chỉ hình thành giữa 2 loại nucleobase nhất định là A với T (qua 2 liên kết hydro) và C với G (bằng 3 liên kết hydro). Do nhóm phosphate tích điện âm nên trong các dung môi hòa tan, ADN tích điện âm (Hình 1.2). Do lực đẩy tĩnh điện giữa các đoạn, ADN là polymer có độ cứng lớn với chiều dài quán tính (persistence length) khoảng 50 nm, gấp 25 lần đường kính tiết diện của nó, trong dung dịch 0.1 M NaCl [2]. Hình 1.2: Trong nhiều dung môi hòa tan, ADN tích điện âm. 1.2. Đóng gói ADN trong tế bào và trong virus Các tế bào phải chứa đựng một lượng ADN khổng lồ, kể cả là ở một số loài với hệ gen có kích thước khiêm tốn nhất. Ví dụ về tế bào điển hình của E.coli 8
có kích thước khoảng 1 µm đường kính và dài 2 µm, nó phải sắp xếp một phân tử ADN (vòng) với độ dài vào khoảng 1600 µm – đủ ADN để quấn quanh tế bào của nó hơn 400 lần! Các tế bào nhân thực đối mặt với một thách thức còn lớn hơn thế. Một tế bào người có kích thước trung bình chứa đủ ADN để bao quanh tế bào hơn 1500 lần. Vì lý do nào đó, tất cả ADN này phải được đóng gói một cách hiệu quả vào tế bào và vẫn có khả năng tiếp cận với bộ máy nội bào cho quá trình phiên mã và sao mã các gene đặc trưng. Rõ ràng, đóng gói ADN là một vấn đề có tính thách thức đối với tất cả các dạng sống. (a) (b) Hình 1.3: (a) Cấu trúc của nuleosome. (b) Đóng gói DNA trong nhiễm sắc thể của tế bào nhân chuẩn. 9
ADN của sinh vật nhân chuẩn có chiều dài hàng chục cm nên cần được đóng gói một cách trật tự để có thể nằm trong nhân có kích thước cỡ µm. Nhờ các protein histone có tính kiềm cao và mang điện tích dương mà ADN có thể cuộn lại xung quanh lõi protein được tạo bởi 8 protein histone [3]. Một cấu trúc như thế được gọi là một nucleosome (Hình 1.3a). Chuỗi các nucleosome lại tiếp tục xoắn lại với nhau để tạo nên nhiễm sắc thể (Hình 1.3b). Vật liệu di truyền trong virus có thể là ADN hoặc ARN, được đóng gói trong lớp vỏ protein của virus (Hình 1.4). Tùy thuộc vào loại virus, ADN hoặc ARN được đóng gói có thể là sợi đơn (single-stranded) hoặc sợi kép (double- stranded). Trong các virus mang ADN sợi kép, ví dụ như thực khuẩn thể, sự sắp xếp của ADN trong virus có thể ở trật tự hoặc mất trật tự tùy thuộc vào trạng thái hoạt động của virus. Mật độ của ADN trong thực khuẩn thể lên tới 500 mg/ml, gần với mật độ tinh thể, tạo nên áp suất thẩm thấu bên trong vỏ virus lên tới 20 atm. Áp suất này khiến thực khuẩn thể dễ dàng phóng ADN của nó vào tế bào vật chủ. Hình 1.4: Sơ đồ cấu tạo của virus thực khuẩn thể (Nguồn: Wikipedia). ADN được đóng gói trong phần đầu của virus có dạng đa diện tạo bởi lớp vỏ 10
protein. 1.3. Hiện tượng ngưng tụ ADN Vì ADN tích điện âm nên để sự ngưng tụ ADN xảy ra cần giảm lực đẩy tĩnh điện giữa các đoạn ADN. Trong phòng thí nghiệm, khi hòa tan ADN có thêm các cation hóa trị cao như Mn2+, spermidine3+, spermine4+, Co(NH3)3+, ..., người ta đã quan sát thấy sự co lại của các phân tử ADN về các cấu trúc cỡ nm. Sự kết hợp giữa các nghiên cứu lý thuyết và thực nghiệm chỉ ra rằng sự ngưng tụ ADN xảy ra khi khoảng 90% điện tích dọc chuỗi ADN được trung hòa bởi các ion mang điện tích dương theo cơ chế ngưng tụ phản ion (counterion condensation) [4]. Hình dạng ngưng tụ của ADN được quan sát thấy nhiều nhất dưới kính hiển vi điện tử là các cuộn hình vòng xuyến (toroid) [5]. Hình dạng toroid gợi ý rằng ADN được ngưng tụ sẽ cuộn tròn xung quanh toroid, giống như việc cuộn tròn 1 vòi nước. Để mật độ đóng gói tối ưu, hay nói một cách tương đương, để ADN được cuộn chặt nhất trong toroid, các sợi ADN cần được đóng gói trong mạng tinh thể lục giác. Hầu như các nghiên cứu về ADN từ trước đến nay đều giả thiết các sợi ADN được cuộn tròn và đóng gói lục giác. Nhờ sự phát triển của kĩ thuật hiển vi điện tử truyền dẫn siêu lạnh, cryo-TEM (là một loại kĩ thuật hiển vi truyền dẫn điện tử trong đó mẫu được nghiên cứu tại nhiệt độ rất thấp, dưới −150oC), Hud và Downing đã chỉ ra sự đóng gói ADN trong các toroid phù hợp với đóng gói lục giác [6]. Kính hiển vi điện tử cho phép có thể quan sát trực tiếp các cấu trúc phân tử với độ phân giải cỡ nm. Trong nghiên cứu bằng cryo-TEM của Hud và Downing, các toroid của ADN của thể thực khuẩn λ (48kb) được tạo ra bởi chất ngưng tụ Co(NH3)6Cl3, và được làm lạnh một cách nhanh chóng ngay 11
trước khi chụp hình. Sự đông lạnh nhanh chóng của các toroid trong một màng mỏng cho phép giữ các toroid riêng lẻ tại các định hướng khác nhau trước mặt phẳng ảnh của kính hiển vi, do đó thu được các thông tin cần thiết để xác định cấu trúc 3 chiều của các toroid. Các toroid được định hướng đồng phẳng với mặt phẳng ảnh của kính hiển vi thể hiện các đường vân tròn, và phù hợp với giả thiết về sự cuộn thành các vòng tròn của ADN (Hình 1.5). Dựa trên các phép phân tích nhiễu xạ điện tử một cách định lượng, Hud và Downing cũng đã chỉ ra rằng khoảng cách của các sợi ADN trong các toroid phù hợp với đóng gói lục giác, và cũng phù hợp với các kết quả nghiên cứu của các tác giả khác trước đó nhưng dựa trên nhiễu xạ tia X. Hình 1.5: Hình ảnh qua kính hiển vi điện tử của ADN toroid của thể thực khuẩn λ, trong đó toroid được đặt gần như đồng phẳng với mặt phẳng ảnh của kính hiển vi. (a) Một toroid với các đường vân tròn gần như toàn bộ chu vi của toroid. (b) Một toroid trong đó chỉ có 2 cung nhỏ là các đường vân tròn của ADN được xác định rõ. Các toroid trong hình (a) và (b) có bán kính cỡ 50 nm [6]. 12
Để nghiên cứu sự đóng gói của ADN toroid trong các mạng tinh thể lục giác, Hud và Downing đã phát triển các mô hình mô phỏng máy tính 3 chiều cho các toroid, phương pháp của Hud và Downing là mô phỏng các hình ảnh thu được qua kính hiển vi điện tử và so sánh với các hình ảnh ngưng tụ của ADN toroid thực theo phương pháp làm lạnh nhanh như đã trình bày ở trên. Một loạt các hình ảnh toroid được mô phỏng nhờ sử dụng một toroid mô hình tương đối lý tưởng, được tạo nên từ các đường tròn có đường kính khác nhau và được sắp xếp trong mạng tinh thể lục giác lý tưởng (Hình 1.6). Hình 1.6: Mô hình đóng gói lục giác của ADN trong cấu trúc vòng xuyến. Vào năm 1995, Hud và các cộng sự đưa ra mô hình độ cong không đổi cho sắp xếp của ADN bên trong cấu trúc ngưng tụ vòng xuyến (Hình 1.7) dựa trên khả năng tạo vòng (loop) của ADN trong dung dịch [7]. Trong mô hình này, 13
ADN được uốn cong với bán kính cong không đổi và đồng nhất trong toàn bộ thể tích của cấu trúc ngưng tụ vòng xuyến. Mô hình này cho các tiên đoán về kích thước cấu trúc vòng xuyến tương đối phù hợp với thực nghiệm [7]. Hình 1.7: Mô hình độ cong không đổi cho cấu trúc ngưng tụ vòng xuyến [7]. 14
Chương 2: Các mô hình cấu trúc ngưng tụ của ADN Trong chương này chúng tôi xét một số mô hình lý thuyết mô tả các cấu trúc ngưng tụ của ADN bào gồm các mô hình bó xoắn (twisted bundle model) [10], mô hình cuộn chỉ (spool model) và mô hình độ cong không đổi (constant curvature model) [11, 12] cho cấu trúc vòng xuyến, và mô hình trụ cầu (sphero-cylinder model) [11] cho cấu trúc dạng que. Các mô hình bó xoắn, cuộn chỉ và độ cong không đổi được ký hiệu bằng các chữ viết tắt tương ứng là TB, Sp và CC. 2.1. Mô hình bó xoắn cho cấu trúc ngưng tụ vòng xuyến Trong mô hình bó xoắn (TB), cấu hình của ADN ngưng tụ bên trong một hình xuyến có dạng tham số cho bởi [𝑹 − 𝝆𝒄𝒐𝒔(𝜽 + 𝒌𝝓)]𝒄𝒐𝒔𝝓 𝒓(𝝆, 𝜽, 𝝓) = ([𝑹 − 𝝆𝒄𝒐𝒔(𝜽 + 𝒌𝝓)]𝒔𝒊𝒏𝝓 ), (2.1.1) 𝝆𝒔𝒊𝒏(𝜽 + 𝒌𝝓) trong đó r là vị trí của ADN dọc theo trục của nó, R là bán kính trung bình của vòng xuyến, là bán kính chiều dày của vòng xuyến ( ≤ R);  ∈ (0, ∆) là khoảng cách xuyên tâm từ trục tròn hình xuyến;  ∈ (0, 2π) và ∈ (0, 2π) là các góc phương vị; k là tham số đặc trưng cho mức độ xoắn của bó xoắn (Hình 2.1). Với k = 0, bó ADN có độ xoắn bằng 0 và chúng ta thu được mô hình cuộn chỉ. Ta có đạo hàm của r theo tham số  bằng 𝒅𝒓 𝒓′ = . (2.1.2) 𝒅𝝓 với |𝒓′| = √(𝒌𝝆)𝟐 + [𝑹 − 𝝆𝒄𝒐𝒔(𝜽 + 𝒌𝝓)]𝟐 . (2.1.3) Vi phân của độ dài cung được tính bởi công thức 𝒅𝒔 = |𝒓′|𝒅𝝓. Véc tơ tiếp tuyến được định nghĩa bởi 15
𝒅𝒓 𝟏 𝒅𝒓 𝒕= = |𝒓′| (2.1.4) 𝒅𝒔 𝒅𝝓 và độ cong của ADN được cho bởi 𝒅𝒕 𝒄 = | |. (2.1.5) 𝒅𝒔 Hình 2.1: Cấu hình bó xoắn của cấu trúc vòng xuyến với độ xoắn k = 0.89. Giả sử d = 2,8 nm là khoảng cách giữa các đoạn ADN lân cận nhau trong cấu trúc ngưng tụ và   (2.1.6) 2 3 là tỷ lệ thể tích của cấu trúc đóng gói lục giác. Độ dài của ADN trong cấu trúc vòng xuyến được cho bởi 𝜼𝑽𝒕𝒐𝒓 𝟖𝝅𝜼𝜟𝟐 𝑹 𝑳= = . (2.1.7) 𝝅(𝒅⁄𝟐)𝟐 𝒅𝟐 Ta có thể viết năng lượng bẻ cong của ADN trong cấu trúc vòng xuyến ở dạng tích phân theo thể tích của hình vòng xuyến: 𝜼 𝜟 𝟐𝝅 𝟐𝝅 𝜿 𝑼𝑻𝑩 𝒕𝒐𝒓 = ∫ 𝒅 𝝆 ∫𝟎 𝝆 𝒅𝜽 ∫𝟎 (𝑹 − 𝝆𝒄𝒐𝒔𝜽) 𝟐 𝒄𝟐 𝒅𝝓 (2.1.8) 𝝅(𝒅⁄𝟐)𝟐 𝟎 với  là độ cứng của ADN. Năng lượng tổng cộng của cấu trúc vòng xuyến được cho bởi Etor  Utor   Stor (2.1.9) trong đó  là sức căng bề mặt và diện tích bề mặt vòng xuyến bằng 16
𝑺𝒕𝒐𝒓 = 𝟒𝝅𝟐 𝜟𝑹. (2.1.10) Độ cứng điển hình của ADN là  = 50 kBT(nm) tương ứng với độ dài quán tính lp =  = 50 nm, với kB là hằng số Boltzmann, T là nhiệt độ tuyệt đối. Sức căng bề mặt  có giá trị cỡ bằng –/d với  là năng lượng tương tác trên một đơn vị độ dài giữa các đoạn ADN lân cận nhau và d là khoảng cách xuyên tâm giữa hai đoạn ADN lân cận trong cấu trúc ngưng tụ (d ≈ 2.8 nm). Giá trị của  và d phụ thuộc vào tác nhân ngưng tụ và điều kiện dung môi, và có thể xác định bằng thực nghiệm bằng phương pháp áp lực thẩm thấu (osmotic stress) [9]. Ví dụ, cho tương tác ADN-ADN gây ra bởi CoHex3+, người ta thu được  ≈ −0.21 kBT/cặp bazơ và d ≈ 2.8 nm [9]. Mỗi cặp bazơ có chiều cao 0.34 nm. Do vậy, sức căng bề mặt tương ứng là σ ≈ 0.22 kBT (nm)−2 . 2.2. Mô hình cuộn chỉ Mô hình cuộn chỉ (Sp) là trường hợp đặc biệt của mô hình bó xoắn với tham số k = 0. Có thể chỉ ra rằng trong mô hình cuộn chỉ, độ cong của ADN được cho bởi 𝟏 𝒄= . (2.2.1) 𝑹−𝝆𝒄𝒐𝒔𝝓 Năng lượng bẻ cong trong mô hình cuộn chỉ được tính toán bằng 𝑺𝒑 𝟖𝝅𝜿𝜼 𝑼𝒕𝒐𝒓 = 𝒅𝟐 (𝑹 − √𝑹𝟐 − 𝜟𝟐 ). (2.2.2) Năng lượng tổng cộng của ADN trong mô hình cuộn chỉ bằng 𝑺𝒑 𝑺𝒑 𝑬𝒕𝒐𝒓 = 𝑼𝒕𝒐𝒓 + 𝝈𝑺𝒕𝒐𝒓 . (2.2.3) 2.3. Mô hình độ cong không đổi Trong mô hình độ cong không đổi (CC), độ cong của ADN trong cấu trúc vòng xuyến luôn có giá trị c = 1/R với R là bán kính trung bình của hình xuyến. Mô hình này đã được nghiên cứu trong các nghiên cứu trước đây [10]. Năng lượng bẻ cong của ADN trong cấu trúc vòng xuyến bằng 17
𝜿 𝑳 𝑼𝑪𝑪 𝒕𝒐𝒓 = . (2.3.1) 𝟐 𝑹𝟐 Năng lượng tổng cộng của ADN trong mô hình độ cong không đổi bằng 𝑬𝑪𝑪 𝑪𝑪 𝒕𝒐𝒓 = 𝑼𝒕𝒐𝒓 + 𝝈𝑺𝒕𝒐𝒓 (2.3.2) 2.4. Mô hình trụ cầu cho cấu trúc dạng que Mô hình trụ cầu (sphero-cylinder model) cho cấu trúc ngưng tụ dạng que của được tạo bởi hai nửa bán cầu ghép với hình trụ như Hình 2.2. Hình trụ cầu có bán kính tiết diện là R và chiều dài phần trụ D = γR với γ ≥ 0. Khi γ = 0, cấu trúc dạng que trở thành cấu trúc dạng cầu. Hình 2.2: Mô hình trụ cầu cho cấu trúc ngưng tụ dạng que của ADN. Gọi b = 2 nm là đường kính tiết diện của ADN và L là chiều dài tổng cộng của ADN trong cấu trúc ngưng tụ. Giả thiết chiều dài tổng cộng của ADN gồm hai phần: phần duỗi thẳng ở bên trong hình trụ và phần uốn cong nằm bên trong các bán cầu: L = Lstraight + Lloops (2.4.1) trong đó 𝜼𝝅𝑹𝟐 𝟒𝜼𝜸𝑹𝟑 𝑳𝒔𝒕𝒓𝒂𝒊𝒈𝒉𝒕 = )𝟐 𝑫= (2.4.2) 𝝅(𝒃⁄𝟐 𝒃𝟐 𝜼𝝅(𝟒⁄𝟑)𝑹𝟑 𝟏𝟔𝜼𝑹𝟑 𝑳𝒍𝒐𝒐𝒑𝒔 = = . (2.4.3) 𝝅(𝒃⁄𝟐)𝟐 𝟑𝒃𝟐 18
Do đó, chiều dài tổng cộng L là: 𝟒𝜼𝜸𝑹𝟑 𝟏𝟔𝜼𝑹𝟑 𝟒𝜼𝑹𝟑 𝟒 𝑳= + = (𝜸 + 𝟑). (2.4.4) 𝒃𝟐 𝟑𝒃𝟐 𝒃𝟐 Suy ra: 𝟏 𝑳𝒃𝟐 𝟑 𝑹=( ). (2.4.5) 𝟒𝜼(𝟒⁄𝟑+𝜸) Giả thiết bên trong các bán cầu, ADN được cuộn thành các nửa vòng tròn có bán kính cong như nhau và đều bằng R/2. Năng lượng bẻ cong của ADN trong cấu trúc ngưng tụ dạng que bằng 𝜿 𝑳𝒍𝒐𝒐𝒑𝒔 𝟑𝟐 𝑹 𝑼𝒓𝒐𝒅 = = 𝜿𝜼 (2.4.6) 𝟐 (𝑹⁄𝟐)𝟐 𝟑 𝒃𝟐 trong đó  là độ cứng của ADN. Diện tích bề mặt của hình trụ cầu là: 𝑺𝒓𝒐𝒅 = 𝟐𝝅𝑹𝑫 + 𝟒𝝅𝑹𝟐 = 𝟐𝝅𝑹𝟑 (𝜸 + 𝟐) (2.4.7) Năng lượng tổng cộng của ADN trong cấu trúc dạng que là: 𝑬𝒓𝒐𝒅 = 𝑼𝒓𝒐𝒅 + 𝝈𝑺𝒓𝒐𝒅 . (2.4.8) 19
Chương 3: Một số kết quả nghiên cứu Trong chương này chúng tôi trình bày một số kết quả nghiên cứu sử dụng các mô hình cấu trúc ngưng tụ của ADN được trình bày trong chương 2. 3.1. Cấu hình cuộn tối ưu của ADN trong cấu trúc ngưng tụ vòng xuyến Cấu hình cuộn tối ưu của ADN được định nghĩa là cấu hình cho năng lượng nhỏ nhất. Do vậy, với mỗi mô hình ta cần tối ưu hóa các tham số cấu trúc sao cho năng lượng của ADN đạt giá trị cực tiểu. Ngoài ra, trong các mô hình thì mô hình tối ưu là mô hình cho năng lượng cực tiểu thấp nhất. Đối với cấu trúc ngưng tụ vòng xuyến ta so sánh 3 mô hình cuộn ADN khác nhau bao gồm mô hình bó xoắn (TB), mô hình cuộn chỉ (Sp) và mô hình độ cong không đổi (CC), cho mỗi chiều dài L và tỷ số độ cứng trên sức căng bề mặt  cho trước. Trong mô hình bó xoắn, các tham số được sử dụng cho việc cực tiểu hóa năng lượng bao gồm bán kính trung bình của vòng xuyến R và số sóng k của bó xoắn. Trong mô hình cuộn chỉ, k = 0 và ta chỉ cần cực tiểu hóa năng lượng bằng cách thay đổi bán kính R. Trong mô hình độ cong không đổi, tham số tối ưu hóa là bán kính R. Cực tiểu hóa năng lượng trong mô hình bó xoắn được thực hiện bằng phương pháp tính số, trong khi trong hai mô hình còn lại có thể thực hiện bằng phương pháp giải tích (bằng cách tính đạo hàm của năng lượng theo R). Hình 3.1 cho ta sự phụ thuộc của năng lượng vào tham số k trong mô hình bó xoắn cho ADN với chiều dài L = 104 nm và  = 200 nm3. Ta thấy rằng cực tiểu của năng lượng đạt được tại k = k* = 0.89. Để so sánh, ta có năng lượng cực tiểu trong mô hình cuộn chỉ chính là là năng lượng của mô hình bó xoắn tại k = 0. Ngoài ra, ta có năng lượng cực tiểu trong mô hình độ cong không đổi được hiển thị bằng đường đứt nét trên Hình 3.1. Có thể thấy rằng mô hình độ cong không đổi cho năng lượng thấp hơn đáng kể so với mô hình cuộn chỉ. 20