Luận văn Thạc sĩ Toán học: Bài toán biên hai điểm cho hệ phương trình vi phân tuyến tính

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:69

Thêm vào BST

Báo xấu

39
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu của đề tài là nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán biên hai điểm cho hệ phương trình vi phân tuyến tính, nghiên cứu tính xấp xỉ nghiệm, tính bị chặn cho bài toán biên hai điểm cho hệ phương trình vi phân tuyến tính. Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Bài toán biên hai điểm cho hệ phương trình vi phân tuyến tính

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Kettavong Chinnalone BÀI TOÁN BIÊN HAI ĐIỂM CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2018
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Kettavong Chinnalone BÀI TOÁN BIÊN HAI ĐIỂM CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH Chuyên ngành : Toán giải tích Mã số : 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. NGUYỄN ANH TUẤN Thành phố Hồ Chí Minh – 2018
LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của tôi được thực hiện dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Nguyễn Anh Tuấn. Nội dung của luận văn có tham khảo và sử dụng một số thông tin, tài liệu từ các nguồn sách, tạp chí được liệt kê trong danh mục tài liệu tham khảo. Tôi xin hoàn toàn chịu mọi trách nhiệm về luận văn của mình. Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 01 năm 2018 Học viên thực hiện KETTAVONG Chinnalone
LỜI CẢM ƠN Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới PGS.TS. Nguyễn Anh Tuấn người đã tận tình hướng dẫn tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Mặc dù bận nhiều công việc nhưng thầy vẫn dành rất nhiều thời gian để hướng dẫn tôi hoàn thành bài luận này. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy trong khoa Toán – Tin và cán bộ nhân viên của Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã tận tình giảng dạy, giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong thời gian học tập và làm luận văn tại trường. Và cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các anh chị em, bạn bè gần xa và người thân trong gia đình đã luôn khuyến khích, động viên giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập. KETTAVONG Chinnalone
MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Các ký hiệu MỞ ĐẦU ............................................................................................................. 1 Chương 1. CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ...................................................... 3 1.1. Bài toán Cauchy cho hệ phương trình vi phân tuyến tính .......................... 3 1.2. Phương pháp biến thiên hằng số, công thức Cauchy ............................... 12 1.3. Tính xấp xỉ nghiệm của bài toán Cauchy cho hệ phương trình vi phân tuyến tính .......................................................................................... 13 1.4. Một liên hệ giữa ổn định và xấp xỉ .......................................................... 18 Chương 2. BÀI TOÁN BIÊN TỔNG QUÁT CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH ............................................... 26 2.1. Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán biên tổng quát .............. 26 2.2. Định lý xấp xỉ nghiệm của bài toán biên tổng quát .................................. 40 Chương 3. BÀI TOÁN BIÊN HAI ĐIỂM CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH ............................................. 46 3.1. Các tiêu chuẩn cho sự tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán (3.1), (3.2) ................................................................................................. 46 3.2. Các tính chất đại số của bài toán (3.1), (3.2) ............................................ 51 KẾT LUẬN ........................................................................................................ 59 TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................ 61
CÁC KÝ HIỆU  R  (, ); R   0,   ; R    ,0. x x x x  x  R,  x   ,  x   . 2 2   ik – Kronecker tức là: 1 i = k, ik   0 i  k.  x   x i i1 là vectơ cột n - chiều, n  R n  x   x i i1 x i  R, i  1,n , n  x   xi  n i 1 . Trên R n ta trang bị các chuẩn n x   xi , i 1 x  max x i . i 1,n  Ký hiệu X   x ik mn – ma trận cấp m  n .  Đặt R mn  X   x ik mn x ik  R, i  1,m,k  1,n .  Trên R mn ta có 2 chuẩn sau là tương đương. Nếu X   x ik   R mn thì m n x   x ik hoặc x  max x ik . i 1 k 1 i 1,m k 1,n  Cho X   x ik mn , Y   yik mn  R mn . Ta nói: X  Y  x ik  yik , i  1,m , k  1,n.  X   xik mn , X   xik  mn .
 Cho I  R . Ta gọi mỗi ánh xạ X : I  R mn là một ma trận hàm cấp m  n. t X  t    x ik  t  mn  Ma trận hàm X  t    xik  t  mn gọi là liên tục, bị chặn, liên tục tuyệt đối, khả tích, khả vi trên I nếu tất cả các hàm x ik  t  , i  1,m; k  1,n có các tính chất đó trên I.  Cho ma trận hàm X  t    xik  t  mn .   xik  t  mn dx Đặt X  t   dt   I X    d     ik x    d  I  mn  C  I, R mn  là không gian các ma trận hàm cấp m  n liên tục và bị chặn trên I với chuẩn X C   sup X  t  : t  I .   Nếu I  a,b, C a,b,R mn  là không gian các ma trận hàm X  t    x ik  t   liên tục trên a,b với chuẩn X C   max X  t  : t   a, b   hoặc X C   max x ik  t  C , i  1, m, k  1, n .   C a,b,R mn  là không gian các ma trận hàm cấp m  n. X:a,b  R mn liên tục tuyệt đối trên a,b với chuẩn b X C  X  a    X  t  dt. a
 Cloc  I,R mn  là tập các ma trận hàm cấp m  n liên tục tuyệt đối trên mọi tập con compắc của I.  L  I,R mn  là không gian các ma trận hàm cấp m  n khả tích bậc  trên I với chuẩn 1     X L    X  t  dt  với 1    . I   Lloc  I, R mn  là không gian các ma trận hàm cấp m  n khả tích bậc  trên mỗi tập con compắc của I.  E – ma trận đơn vị.   – ma trận không.
1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Lý thuyết bài toán biên xuất hiện từ thế kỷ XVIII nhưng đến nay vẫn phát triển mạnh mẽ do có các ứng dụng sâu sắc trong vật lý, cơ học, cơ khí, sinh học... Bài toán trên cho hệ phương trình vi phân tuyến tính vào các điều kiện biên khác nhau như tuần hoàn, đối xứng, phản đối xứng, nhiều điểm cũng đã được xem xét. Bài toán biên hai điểm cho hệ phương trình vi phân tuyến tính có rất nhiều ứng dụng trong vật lý và cơ học. Chính vì thế tôi chọn đề tài “bài toán biên hai điểm cho hệ phương trình vi phân tuyến tính”. 2. Ý nghĩa của luận văn Luận văn là tài liệu tham khảo cho sinh viên và học viên cao học khi nghiên cứu về bài toán biên hai điểm cho hệ phương trình vi phân tuyết tính. 3. Mục tiêu nghiên cứu Nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán biên hai điểm cho hệ phương trình vi phân tuyến tính, nghiên cứu tính xấp xỉ nghiệm, tính bị chặn cho bài toán biên hai điểm cho hệ phương trình vi phân tuyến tính. 4. Nội dung của luận văn Chương1: Các kiến thức chuẩn bị Trong chương này, ta xây dụng các điền kiện đủ cho việc tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy cho hệ phương trình vi phân tuyến tính và nghiên cứu tính xấp xỉ nghiệm của bài toán này. Chương 2: Bài toán biên tổng quát cho hệ phương trình vi phân tuyến tính. Trong chương này, chúng ta xây dựng các điền kiện đủ cho việc tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán biên tổng quát cho hệ phương trình vi phân tuyến tính. Hơn nữa, ta còn xem xét tính xấp xỉ nghiệm của bài toán này. Chương 3: Bài toán biên hai đìểm cho hệ phương trình vi phân tuyến tính.
2 Mục đích chính của chương 3 là áp dụng các kết quả của chương 1 và chương 2 để xây dựng các điều kiện cần và đủ cho việc tồn tại nghiệm cho bài toán biên hai điểm cho hệ phương trình vi phân tuyến tính. Ngoài ra, chúng ta cũng nghiên cứu một số tính chất đại số cho nghiệm của bài toán biên hai điểm khi bài toán biên thuần nhất tương ứng có nghiệm khác tầm thường.
3 Chương 1 CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Bài toán Cauchy cho hệ phương trình vi phân tuyến tính Giả sử I  R là một khoảng (đoạn, bán đoạn, khoảng hữu hạn hay vô hạn) P  Lloc  I, R nn  ,q  Lloc  I, R n  . Xét hệ phương trình vi phân thường tuyến tính: dx  P  t  x  q  t . (1.1) dt Véctơ hàm x : I  R n được gọi là nghiệm của hệ (1.1) , nếu hầu khắp nơi trên I có: (t)  P  t  x  t   q  t  , x  Cloc  I,R n . dx dt Với t 0  I, C0  R n cố định. Bài toán tìm nghiệm x(t) của hệ (1.1) thỏa điều kiện đầu: x  t 0   C0 (1.2) gọi là bài toán Cauchy cho hệ phương trình vi phân tuyến tính. Bổ đề 1.1 Giả sử p,q  Lloc  I,R  , t 0  I,C0  R và hàm số x  Cloc  I, R  hầu khắp nơi trên I thỏa bất đẳng thức:  x  t   p  t  x  t   q  t   sign  t  t 0   0 (1.3) và x  t 0   C0 . (1.4) Khi đó t  t t  x  t   exp  p  s  ds  .C0   exp  p  s  ds  .q  τ  dτ , t  I. (1.5) t  τ  0  t0 Xem chứng minh trong [1].
4 Bổ đề 1.2 Giả sử p,q  Lloc  I, R   , t 0  I, C0  R  , x  Cloc  I, R   t x  t   C0    p  τ  .x  τ   q  τ  dτ , t  I. (1.6) t0 Khi đó t  I ta có:  t  t t  x  t   C0 .exp  p  s  ds    exp  p  s  ds  q  τ  dτ . (1.7) t  t  τ   0  0 Xem chứng minh trong [1]. Định lý 1.1 Nếu P  Lloc  I, R nn  , q  Lloc  I, R n  , t 0  I, C0  R n thì bài toán Cauchy (1.1), (1.2) có nghiệm và nghiệm đó là duy nhất. Chứng minh Trước hết ta nhận thấy x(t) là nghiệm của (1.1), (1.2) dx (t)  P  t  x  t   q  t  , dt x  t 0   C0 khi và chỉ khi x(t) là nghiệm của phương trình: t x  t   C0    P  τ  .x  τ   q  τ   dτ , t  I. (1.8) t0 Phương trình (1.8) là phương trình tích phân dạng Volter.  Ta chứng minh tồn tại nghiệm của (1.8) bằng xấp xỉ Picard. Xét dãy vectơ hàm x k  t k 1 xác định như sau:  x 0  t   C0 , t x k  t   C0    P  τ  .x k 1  τ   q  τ   dτ ,  k  1,2,. (1.9) t0
5 Dễ thấy x k  Cloc  I, R n  , k  N. Ta chứng minh rằng dãy x k  t k 1 là hội tụ đều trên I bằng cách chứng  minh rằng chuỗi:  C0    x k  t   x k 1  t   (1.10) k 1 hội tụ đều trên I. Ta có: t x1  t   x 0  t   C0    P  τ  .C0  q  τ   dτ  C0 t0 t  x1  t   x 0  t    P  τ .C 0  q  τ   dτ t0 t   P  τ C t0 0  q  τ  dτ =ξ 0  t  , t  I, (1.11) t với ξ 0  t    P  τ .C 0  q  τ  dτ . t0 Với k > 1 thì: t x k  t   x k 1  t   P  τ   x k 1  τ   x k 2  τ   dτ. (1.12) t0 Do (1.11) ta có: t x 2  t   x1  t    P  τ  .ξ  τ  dτ 0 t0  ξ 0  t  .ξ  t  , t  I, t với ξ  t    P  τ  dτ . t0
6 ξ  t  k 1 Vậy nếu k  1,2 thì x k  t   x k 1  t   ξ 0  t  , t  I. (1.13)  k  1! Giả sử (1.13) đúng với số tự nhiên k nào đó. Ta chứng minh nó đúng với k+1. Từ (1.12) ta có: t x k 1  t   x k  t    P  τ  . x  τ   x  τ  dτ k k 1 t0 k 1 t ξ  τ    ξ   τ   ξ  τ  dτ t0  k  1! 0 (Do ξ 0  t   0 và đơn điệu tăng theo t  t 0 ) k 1 t ξ  τ    ξ 0  t  ξ  τ   dτ t0  k  1! ξ  t   k  ξ0  t   , t  I. k! Vậy theo nguyên lý qui nạp (1.13) đúng với k  N. Do chuỗi k 1 ξ  t   C0  ξ 0  t    (1.14) k 1  k  1! hội tụ đều trên I về hàm C0  ξ 0  t .expξ  t . Nên theo dấu hiệu Weirstrass chuỗi (1.10) hội tụ đều về hàm x(t) trên I. Hay x  t   lim x k  t  đều trên I. k  Chuyển (1.9) qua giới hạn ta có: t x  t   C0  lim   P  τ  x k 1  τ   q  τ   dτ k  t0
7 t  C0    lim P  τ  x k 1  τ   q  τ   dτ t  k   0 t  C0    P  τ  x  t   q  τ   dτ , t  I. t0 Vậy x(t) – nghiệm của (1.8) và do đó nó là nghiệm của bài toán (1.1), (1.2).  Ta chứng minh bài toán (1.1), (1.2) có nghiệm duy nhất. Giả sử x(t), y(t) – nghiệm của (1.1), (1.2). Theo (1.8) ta có: t x  t   y  t   P  τ   x  τ   y  τ   dτ t0 hay t x t  yt   P  τ  . x  τ   y  τ  dτ . t0 Áp dụng bổ đề 1.2 với q  t   0, C 0  0 ta có: x  t   y  t   0 , t  I hay x  t   y  t  , t  I. Định lý đã được chứng minh. Xét hệ phương trình tuyến tính : dx (t )  P  t  x  t   q  t  (1.1) dt   với P  Lloc I,R nn , q  Lloc I,R n .   Khi q  t   θ thì (1.1) thành: dx  P  t .x (1.15) dt (1.15) gọi là hệ phương trình tuyến tính thuần nhất của (1.1). Ta biết tập các nghiệm của hệ (1.15) làm thành một không gian vectơ.
8 Hệ quả 1.1 Giả sử X(t) là một ma trận cơ bản (là một hệ nghiệm cơ bản) của hệ (1.15). Khi đó mọi nghiệm x của hệ (1.15) đều có thể viết dưới dạng: x  t   X  t  .C, (1.16) với C  R n và ngược lại, với mọi C  R n , vectơ x(t) cho bởi công thức (1.16) là nghiệm của hệ (1.15). Trong đại số tuyến tính ta định nghĩa: nếu z  R nn thì  1 k exp  z   E   .z . k 1 k! Định lý 1.2 Giả sử t 0  I và hầu khắp nơi trên I ta có: t  t  P  t   P  s  ds    P  s  ds  .P  t  . (1.17) t  t  0  0  Khi đó ma trận t X  t   exp P  s  ds (1.18) t0 là ma trận cơ bản của hệ (1.15). Chứng minh Do (1.17) nên theo kết quả trong đại số tuyến tính ta có: k k 1 d  t  t  P  s  ds   k.P  t   P  s  ds  dt  t 0   t 0   và do đó tích phân 2 vế ta có: k k 1 t  t τ   P  s  ds   k P  τ  . P  s  ds  dτ , t  I. (1.19) t  t  0  t0 0  Theo (1.18) ta có:
9  m  t  k  1 X  t   lim E    P  s  ds    (1.20) m    k 1 k!  t 0      hội tụ trên là hội tụ đều trên I (nên ta có thể chuyển qua dấu tích phân). Ta có: t t  m τ   k 1 E  P  τ  X  τ  dτ  E  P  τ . lim E    P  s  ds   dτ m   k 1 k!  t 0   t0 t0     t m τ   k 1  E  lim   P  τ    P  τ    P  s  ds   dτ m   k 1 k! t   t0  0   t m t  τ  k  1  E  lim P  τ  dτ    P  τ   P  s  ds  dτ   m  k 1 k! t 0 t    t0 0    t m t   k+1 1  lim  E  P  τ  dτ    P  τ  dτ   k 1  k+1!  t 0 m      t0    t m 1 t   k 1  lim  E  P  s  ds    P  s  ds   m    k  2 k!  t 0    t0    X  t . Vậy: t X  t   E  P  τ  X  τ  dτ hầu khắp nơi trên I t0 hay X  t   P  t .X  t  hầu khắp nơi trên I và X  t 0   E. Vậy X(t) là ma trận cơ bản của hệ (1.15).
10 Định lý 1.3 Giả sử X : I  R nn là ma trận hàm mà các cột của nó là nghiệm của hệ (1.15). Khi đó t, t 0  I ta có: t  det  X  t    det  X  t 0   exp  tr  P  s   ds  . (1.21) t  0  Định nghĩa 1.1 Ma trận hàm C: I2  R nn gọi là ma trận Cauchy của hệ (1.15) nếu với mỗi τ  I ma trận hàm C  , τ  : I  R nn là ma trận cơ bản của hệ (1.15) thỏa điều kiện đầu: C  τ, τ   E. (1.22) Định lý 1.4 Ma trận Cauchy của hệ (1.15) tồn tại và duy nhất. Hơn nữa nó có dạng: C  t, τ   X  t  .X1  τ  . (1.23) Trong đó X(t) – ma trận cơ bản tùy ý của hệ (1.15). Chứng minh  Tồn tại là hiển nhiên.  Ta chứng minh tính duy nhất: Giả sử C  t, τ  – ma trận Cauchy của hệ (1.15). Giả sử X0  t  – ma trận cơ bản tùy ý của hệ (1.15). Do với mỗi τ  I, C  t, τ  – ma trận cơ bản nên C  t, τ   X 0  t  .C0  τ  . Do E  C  τ, τ   X 0  τ  .C0  τ  nên C0  τ   X01  τ  . Suy ra C  t, τ   X0  t  .X01  τ  . Và do đó: C  t, τ   X0  t .X01  τ   X  t .X 1  τ . (1.24) Định lý được chứng minh.
11 Định lý 1.5 Với t 0  I , mọi nghiệm của hệ (1.15) có dạng: x  t   C  t, t 0  .x  t 0  (1.25) với C  t, τ  – ma trận Cauchy của (1.15). Chứng minh Do với t 0  I cố định C  t,t 0  là ma trận cơ bản nên với mọi nghiệm của hệ (1.15) đều có dạng: x  t   C  t, t 0 . C0 , C0  R n (1.26)  x  t 0   E.C0  C0  x  t 0  . Vậy x  t   C  t, t 0  .x  t 0 . Ta có điều phải chứng minh. Định lý 1.6 Giả sử t 0  I và khắp nơi trên I thỏa: t  t  P  t  . P  s  ds    P  s  ds  .P  t . (1.27) t  t  0  0  Khi đó ma trận t  C  t, τ   exp  P  s  ds  (1.28) τ  là ma trận Cauchy của hệ (1.15). Chứng minh t  Do (1.27) nên ma trận X  t   exp  P  s  ds  là ma trận cơ bản của hệ t  0  (1.24).
12 t   C  t, τ   X  t  .X  τ   exp  P  s  ds  . 1 τ  Định lý được chứng minh. Hệ quả 1.2 Nếu P  R nn thì ma trận Cauchy của hệ phương trình vi phân dx  P.x (1.29) dt có dạng: C  t, τ   exp  P  t  τ   . (1.30) 1.2. Phương pháp biến thiên hằng số, công thức Cauchy Xét bài toán Cauchy: dx  P  t  .x  q  t  (1.1) dt x  t 0   C0 (1.2)   với P  Lloc I,R nn , q  Lloc (I,R n ) . Theo định lý 1.1 bài toán (1.1), (1.2) có nghiệm duy nhất. Ta tìm công thức nghiệm của nó theo phương pháp biến thiên hằng số Lagrange. Gọi X(t) – ma trận cơ bản của hệ thuần nhất dx  P  t .x  t . (1.15) dt Ta tìm nghiệm của bài toán (1.1), (1.2) dưới dạng: x  t   X  t  .y  t  (1.31) y(t) cần xác định để (1.31) là nghiệm, ta có: x  t   X  t .y  t   X  t .y  t   P  t .X  t .y  t   X  t .y  t . (1.32) Thay vào (1.1) ta có: