Luận văn Thạc sĩ Toán học: Bài toán cân bằng véctơ trên tập trù mật

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:48

Thêm vào BST

Báo xấu

22
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài toán cân bằng vô hướng sau đây được E. Blum và W. Oettli [3] nghiên cứu vào năm 1994: Tìm điểm x-∈K sao cho f(-x, x) ≥ 0, với mọi x∈K, (EP) trong đó K là tập con nào đó và f:KxK → R là một hàm số thực thỏa mãn điều kiện f(x,-x)≥0 với mọi x∈K. Từ bài toán (EP) ta có thể suy ra các bài toán khác nhau trong lý thuyết tối ưu như bài toán tối ưu, bài toán bất đẳng thức biến phân, bài toán bù, bài toán cân bằng Nash, bài toán điểm yên ngựa, bài toán điểm bất động. Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Bài toán cân bằng véctơ trên tập trù mật

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM Nguyễn Thị Kim Oanh BÀI TOÁN CÂN BẰNG VÉCTƠ TRÊN TẬP TRÙ MẬT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2017
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM Nguyễn Thị Kim Oanh BÀI TOÁN CÂN BẰNG VÉCTƠ TRÊN TẬP TRÙ MẬT Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học TS. BÙI THẾ HÙNG Thái Nguyên - 2017
Lời cam đoan i Tôi xin cam đoan rằng nội dung trình bày trong luận văn này là trung thực và không trùng lặp với đề tài khác. Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc. Thái Nguyên, tháng 4 năm 2017 Người viết luận văn Nguyễn Thị Kim Oanh Xác nhận Xác nhận của trưởng khoa Toán của người hướng dẫn khoa học TS. Bùi Thế Hùng i
Lời cảm ơn Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Bùi Thế Hùng, người thầy tận tình hướng dẫn tôi trong suốt quá trình nghiên cứu để tôi có thể hoàn thành luận văn này. Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, khoa Toán cùng toàn thể các thầy cô giáo trường ĐHSP Thái Nguyên, Viện Toán học và Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã truyền thụ cho tôi những kiến thức quan trọng, tạo điều kiện thuận lợi và cho tôi những ý kiến đóng góp quý báu trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn. Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè những người đã giúp đỡ và chia sẻ với tác giả trong suốt thời gian học tập và hoàn thành luận văn của mình. Tôi xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng 4 năm 2017 Tác giả Nguyễn Thị Kim Oanh ii
Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Một số ký hiệu và viết tắt iv Mở đầu 1 1 Kiến thức chuẩn bị 3 1.1 Không gian lồi địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Nón trong không gian tuyến tính . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Một số tính chất của ánh xạ véctơ . . . . . . . . . . . . 7 1.4 Nguyên lý ánh xạ KKM và định lý điểm bất động . . 11 2 Bài toán cân bằng véctơ trên tập trù mật 15 2.1 Tập tự trù mật đoạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2 Bài toán cân bằng véctơ yếu trên tập tự trù mật đoạn 19 2.3 Bài toán cân bằng véctơ mạnh trên tập tự trù mật đoạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.4 Một số ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Kết luận 39 Tài liệu tham khảo 40 iii
Một số ký hiệu và viết tắt R tập các số thực R+ tập số thực không âm R− tập số thực không dương Rn không gian véctơ Euclide n− chiều Rn+ tập các véctơ không âm của Rn Rn− tập các véctơ không dương của Rn X∗ không gian đối ngẫu tôpô của không gian X hξ, xi giá trị của ξ ∈ X ∗ tại x ∈ X {xα } dãy suy rộng ∅ tập rỗng A := B A được định nghĩa bằng B A⊆B A là tập con của B A 6⊆ B A không là tập con của B A∪B hợp của hai tập hợp A và B A∩B giao của hai tập hợp A và B iv
A\B hiệu của hai tập hợp A và B A+B tổng véctơ của hai tập hợp A và B A×B tích Descartes của hai tập hợp A và B conv A bao lồi của tập hợp A core A phần trong đại số của tập hợp A ri A phần trong tương đối của tập hợp A cl A bao đóng tôpô của tập hợp A int A phần trong tôpô của tập hợp A KKM tên của ba nhà toán học Knater, Kuratowski và Mazurkiewicz supp(f ) giá của hàm f x∈A giá trị của x thuộc vào tập hợp A x∈ /A giá trị của x không thuộc vào tập hợp A ∀x với mọi giá trị của x ∃x tồn tại giá trị x x≤y giá trị của x nhỏ hơn hoặc bằng giá trị y x≥y giá trị của x lớn hơn hoặc bằng giá trị của y (EP ) bài toán cân bằng vô hướng 2 kết thúc chứng minh v
Mở đầu Bài toán cân bằng vô hướng sau đây được E. Blum và W. Oettli [3] ¯ ∈ K sao cho nghiên cứu vào năm 1994: Tìm điểm x x, x) ≥ 0, với mọi x ∈ K, f (¯ (EP ) trong đó K là tập con nào đó và f : K × K → R là một hàm số thực thỏa mãn điều kiện f (x, x) ≥ 0 với mọi x ∈ K. Từ bài toán (EP ) ta có thể suy ra các bài toán khác nhau trong lý thuyết tối ưu như bài toán tối ưu, bài toán bất đẳng thức biến phân, bài toán bù, bài toán cân bằng Nash, bài toán điểm yên ngựa, bài toán điểm bất động, ...(xem [2], [3], [9], [10], [13]). Chính vì vậy, bài toán này được nhiều người quan tâm nghiên cứu như E. Blum, W. Oettli, Ky Fan, Browder, Minty, Bianchi, S. Schaible, Hadjisavvas, .... Sau đó bài toán trên được mở rộng cho ánh xạ véctơ đơn trị từ tập con không rỗng nào đó vào không gian tuyến tính với thứ tự sinh bởi nón và người ta gọi bài toán (EP ) là bài toán cân bằng véctơ hay còn được gọi là bài toán cân bằng đa mục tiêu. Từ quan hệ thứ tự sinh bởi nón, người ta đưa ra các khái niệm khác nhau về điểm hữu hiệu của một tập và phát biểu được các loại bài toán cân bằng khác nhau như bài toán cân bằng véctơ lý tưởng, bài toán cân bằng véctơ mạnh, bài toán cân bằng véctơ yếu, bài toán cân bằng véctơ thực sự (xem [1] và các tài liệu liên quan). Bài toán (EP ) trong trường hợp này đóng vai trò trung tâm của lý thuyết cân bằng véctơ hay còn gọi là lý thuyết cân bằng đa mục tiêu. Lý thuyết này được hình thành từ những ý tưởng về cân bằng kinh tế, lý thuyết giá trị 1
của Edgeworth [6], gắn liền với tên tuổi của một số nhà toán học lớn, ta có thể kể đến như Hausdorff, Cantor, Borel, Von Neumann, Koopmans, .... Nhưng cũng phải cho tới năm 1954 với công trình của Deubreu [5] về giá trị cân bằng và tối ưu Pareto, lý thuyết cân bằng véctơ mới được công nhận là ngành toán học quan trọng có nhiều ứng dụng trong thực tế và được rất nhiều nhà toán học trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu. Vì những lý do đó, chúng tôi chọn đề tài "Bài toán cân bằng véctơ trên tập trù mật" làm luận văn tốt nghiệp. Mục đích chính của luận văn là trình bày một số điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng véctơ yếu và mạnh dưới giả thiết tính liên tục theo nón và tính lồi theo nón của hàm mục tiêu trên tập con tự trù mật đoạn mà không cần trên toàn bộ miền xác định. Ngoài ra, luận văn trình bày một số ứng dụng vào bài toán bất đẳng thức biến phân. Luận văn gồm phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận và tài liệu tham khảo. Chương 1 dành cho việc trình bày một số khái niệm về không gian lồi địa phương, nón trong không gian tuyến tính, tính liên tục và tính lồi theo nón của ánh xạ véctơ. Ngoài ra chúng tôi trình bày Nguyên lý ánh xạ KKM và một số định lý điểm bất động được sử dụng trong chứng minh các kết quả của chương 2. Chương 2 trình bày một số điều kiện đủ về sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng véctơ yếu và mạnh dưới giả thiết tính lồi và tính liên tục đối với hàm mục tiêu trên tập con tự trù mật đoạn của miền xác định. Ngoài ra, chúng tôi còn trình bày một số ứng dụng của kết quả trên vào bài boái tối ưu và bài toán bất đẳng thức biến phân véctơ Minty. 2
Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và kết quả quen biết về không gian lồi địa phương, nón trong không gian tuyến tính, tính liên tục và lồi theo nón của ánh xạ véctơ được dùng xuyên suốt trong luận văn. Ngoài ra chúng tôi còn trình bày một cách chi tiết Nguyên lý ánh xạ KKM và điểm bất động trong không gian tôpô tuyến tính. 1.1 Không gian lồi địa phương Trong mục này, ta xét lớp không gian trừu tượng, đó là không gian lồi địa phương. Định nghĩa 1.1.1. Cho X là một tập hợp không rỗng. Một họ τ những tập con của X được gọi là một tôpô trên X nếu (i) Hai tập ∅, X đều thuộc họ τ ; (ii) τ kín đối với phép giao hữu hạn, tức là giao của một số hữu hạn tập thuộc họ τ thì cũng thuộc họ τ ; (iii) τ kín đối với phép hợp bất kì, tức là hợp của một số hữu hạn hay vô hạn tập thuộc họ τ thì cũng thuộc họ τ . Cặp (X, τ ) được gọi là không gian tôpô. Các phần tử thuộc X ta gọi là 3
điểm và các tập thuộc họ τ được gọi là tập mở. Định nghĩa 1.1.2. Giả sử τ, τ 0 là các tôpô trên X . Nếu τ ⊆ τ 0 , ta nói tôpô τ yếu hơn (thô hơn) tôpô τ 0 hay tôpô τ 0 mạnh hơn (mịn hơn) tôpô τ . Trường hợp không có quan hệ đó, ta nói hai tôpô không so sánh được. Trong không gian metric (X, d), họ τ các tập mở trong X cũng là một tôpô trên X , ta gọi đó là tôpô metric d, điều đó có nghĩa là, mọi không gian metric (bao gồm cả không gian định chuẩn và Hilbert), đều là không gian tôpô. Cho một không gian tôpô ta có thể định nghĩa được khái niệm lân cận, giới hạn, phần trong, bao đóng, . . . một cách khái quát hơn các khái niệm đã định nghĩa trong không gian metric. Định nghĩa 1.1.3. Cho không gian tôpô (X, τ ) và A ⊆ X . (i) Tập con U của không gian X được gọi là lân cận của A nếu U là bao hàm một tập mở chứa A; (ii) Lân cận của phần tử x ∈ X là lân cận của tập con x. Họ tất cả các lân cận của một điểm gọi là hệ lân cận của điểm đó. Định nghĩa 1.1.4. Không gian tôpô (X, τ ) được gọi là không gian Haus- dorff nếu đối với hai điểm khác nhau tùy ý x, y ∈ X luôn tồn tại các lân cận U của x, V của y sao cho U ∩ V = ∅. Định nghĩa 1.1.5. Cho X là không gian véctơ trên trường K. (i) Một tôpô τ trên X được gọi là tương thích với cấu trúc đại số của X nếu các phép toán cộng và nhân vô hướng là các ánh xạ liên tục. (ii) Một không gian tôpô tuyến tính hay không gian véctơ tôpô trên trường K là một cặp (X, τ ), trong đó X là không gian véctơ trên trường K và τ là một tôpô tương thích với cấu trúc đại số của X . Định nghĩa 1.1.6. Một không gian tôpô tuyến tính X được gọi là không gian lồi địa phương (và tôpô của nó là tôpô lồi địa phương), nếu trong X có một cơ sở lân cận (của gốc) gồm toàn tập lồi. Hơn vậy, nếu không gian lồi 4
địa phương X đồng thời là không gian Hausdorff thì X được gọi là không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff. Ví dụ 1.1.7. Không gian định chuẩn, không gian Hilbert là các không gian lồi địa phương Hausdorff. Ví dụ 1.1.8. Cho X là một không gian định chuẩn, ta biết X là một không gian tôpô tuyến tính và họ các hình cầu BX (0, r), r > 0 làm thành một cơ sở lân cận của gốc. Tôpô này là tôpô lồi địa phương vì mỗi hình cầu là một tập lồi. Do đó X là không gian lồi địa phương. Định nghĩa 1.1.9. Giả sử X là không gian định chuẩn với liên hợp X 0 . Với mỗi hệ hữu hạn u1 , u2 , ..., un ∈ X 0 và ε > 0 ta đặt: W (u1 , u2 , ..., un ; ε) = x ∈ X : max |ui (x)| ≤ ε 1≤i≤n Dễ thấy W (u1 , u2 , ..., un ; ε) là các tập cân, hút trong X và do đó chúng là cơ sở các 0-lân cận của một tôpô lồi địa phương δ(X, X 0 ) trên X . Ta có định nghĩa sau: Tôpô lồi địa phương δ(X, X 0 ) trên X xác định như trên được gọi là tôpô yếu của X . Định nghĩa 1.1.10. Không gian định chuẩn X được gọi là không gian có tính chất phản xạ (hay còn gọi là không gian phản xạ) nếu phép nhúng chính tắc H : X −→ X ∗ là toàn ánh. Từ định nghĩa ta dễ dàng nhận thấy: 1. Không gian định chuẩn X có tính chất phản xạ nếu với mọi g ∈ X ∗ đều tồn x ∈ X sao cho g(f ) = f (x) với mọi f ∈ X ∗ . 2. Nếu X phản xạ thì X đẳng cự tuyến tính với X ∗ . Do vậy nếu ta đồng nhất hai không gian đẳng cự với nhau thì X phản xạ nếu X = X ∗ . 3. Ta biết X ∗ là không gian Banach nên nếu X phản xạ thì X là không gian Banach. 5
1.2 Nón trong không gian tuyến tính Trong phần này, ta trình bày khái niệm nón trong không gian tuyến tính. Từ khái niệm này người ta đưa ra khái niệm về tính liên tục theo nón và tính lồi theo nón của ánh xạ véctơ. Đầu tiên ta nhắc lại khái niệm nón trong không gian tuyến tính. Định nghĩa 1.2.1. Cho Y là không gian tuyến tính và C là một tập con không rỗng trong Y . Ta nói rằng C là nón có đỉnh tại gốc trong Y nếu tc ∈ C , với mọi c ∈ C và t ≥ 0. Nếu C là nón có đỉnh tại gốc thì C + x0 là nón có đỉnh tại x0 . Vì vậy trong luận văn này chúng tôi chỉ quan tâm đến nón có đỉnh tại gốc và để tránh nhầm lẫn ta gọi nón thay cho nón có đỉnh tại gốc. Định nghĩa 1.2.2. Cho C là nón trong không gian tuyến tính Y . Ta nói rằng (i) C là nón lồi nếu C là tập lồi. (ii) C là nón nhọn nếu l(C) = {0}, trong đó l(C) = C ∩ (−C). Trong trường hợp Y là không gian tôpô tuyến tính và C là nón trong Y , ta ký hiệu cl C, int C, conv C là bao đóng tôpô, phần trong tôpô và bao lồi của C , tương ứng. Nón C gọi là đóng nếu C là tập đóng trong Y . Ta nói C là nón lồi đóng nhọn nếu C là nón lồi, đóng và nhọn. Dưới đây là một số ví dụ về nón trong không gian tuyến tính. Ví dụ 1.2.3. 1. Cho Y là không gian tuyến tính. Khi đó 0 , Y là các nón trong Y và ta gọi chúng là các nón tầm thường trong Y . 2. Cho không gian tuyến tính Rn . Khi đó tập Rn+ = x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Rn : xi ≥ 0, i = 1, 2, ..., n là nón lồi đóng nhọn trong Rn và ta gọi là nón orthant dương trong Rn . 6
3. Gọi C[0, 1] là không gian tuyến tính các hàm số xác định và liên tục trên đoạn [0, 1] với các phép toán cộng và nhân vô hướng: (x + y)(t) = x(t) + y(t), (λx)(t) = λx(t). Khi đó tập C+ [0, 1] = x ∈ C[0, 1] : x(t) ≥ 0 với mọi t ∈ [0, 1] là nón lồi đóng nhọn trong C[0, 1]. 1.3 Một số tính chất của ánh xạ véctơ Trong phần này chúng tôi trình bày tính chất liên tục theo nón của ánh xạ véctơ đơn trị và tính lồi theo nón của ánh xạ véctơ đơn trị. Các khái niệm trong phần này là sự mở rộng của các khái niệm về tính liên tục, tính lồi của hàm đơn trị. 1.3.1 Tính liên tục theo nón của ánh xạ véctơ Trước hết ta nhắc lại khái niệm liên tục của ánh xạ đơn trị giữa các không gian tôpô: Một ánh xạ đơn trị f : X → Y từ không gian tôpô X vào không gian tôpô Y được gọi là liên tục tại x0 ∈ X nếu với mọi tập mở V trong Y chứa f (x0 ), tồn tại lân cận mở U trong X chứa x0 sao cho f (U ) ⊆ V . Giả sử X, Y là hai không gian tôpô tuyến tính và C là nón trên Y. Ta nhắc lại khái niệm liên tục theo nón của ánh xạ véctơ đơn trị. Định nghĩa 1.3.1. Cho ánh xạ véctơ đơn trị f : X → Y . (i) f được gọi là C - nửa liên tục trên tại x ∈ X nếu với mỗi lân cận V của f (x), tồn tại lân cận U của x trong X sao cho f (U ) ⊆ V − C. 7
(ii) f được gọi là C - nửa liên tục dưới tại x ∈ X nếu −f là C - nửa liên tục trên tại x. (iii) Nếu f là C - nửa liên tục trên và C - nửa liên tục dưới tại x đồng thời, thì ta nói f là C - liên tục tại x. (iv) Nếu f là C - nửa liên tục trên, C - nửa liên tục dưới và C - liên tục tại mọi điểm trong X , ta nói f là C - nửa liên tục trên, C - nửa liên tục dưới và C - liên tục trong X . Mệnh đề sau đưa ra điều kiện cần và đủ để ánh xạ véctơ đơn trị liên tục theo nón. Mệnh đề 1.3.2. Giả sử X là không gian tôpô, Y là không gian tôpô tuyến tính với thứ tự sinh bởi nón C và ánh xạ véctơ đơn trị f : X → Y . Khi đó các khẳng định sau đây là tương đương (i) f là C - nửa liên tục trên trong X . (ii) Với mỗi x0 ∈ X và k ∈ int C , tồn tại lân cận U của x0 trong X sao cho f (U ) ⊆ f (x0 ) + k − int C. (iii) Với mọi y ∈ Y, f −1 (y − int C) là mở trong X . Chứng minh. (i) =⇒ (ii). Giả sử f là C - nửa liên tục trên trong X . Lấy x0 ∈ X và k ∈ int C tùy ý. Vì int C là tập mở nên tồn tại lân cận mở W của k sao cho W ⊆ int C . Khi đó f (x0 ) ∈ f (x0 ) + k − W ⊆ f (x0 ) + k − int C. Đặt V := f (x0 ) + k − int C . Khi đó V là lân cận mở của f (x0 ). Vì f là C - nửa liên tục trên tại x0 nên tồn tại lân cận U của x0 sao cho f (U ) ⊆ V − C. Từ đó suy ra f (U ) ⊆ f (x0 ) + k − int C. 8
(ii) =⇒ (iii). Lấy x0 ∈ f −1 (y−int C) bất kỳ. Từ đó suy ra y−f (x0 ) ∈ int C . Theo giả thiết, tồn tại lân cận U của x0 trong X sao cho f (U ) ⊆ f (x0 ) + y − f (x0 ) − int C = y − int C. Điều này kéo theo U ⊆ f −1 (y − int C) và do vậy f −1 (y − int C) là mở. (iii) =⇒ (i). Lấy x0 ∈ X tùy ý và V là lân cận mở bất kỳ của f (x0 ) trong Y. Từ đó suy ra f (x0 ) ∈ V − C . Vì V mở nên V − C = V − int C . Vậy f (x0 ) ∈ V − int C . Suy ra tồn tại k ∈ int C sao cho f (x0 ) + k ∈ V . Mặt khác, ta lại có x0 ∈ f −1 (f (x0 ) + k − int C) và f −1 (f (x0 ) + k − int C) là tập mở nên tồn tại lân cận U của x0 sao cho U ⊆ f −1 (f (x0 ) + k − int C). Điều này kéo theo f (U ) ⊆ f (x0 ) + k − int C ⊆ V − C. Vậy f là C - nửa liên tục trên trong X . Tương tự ta cũng định nghĩa khái niệm ánh xạ véctơ đơn trị liên tục mạnh theo nón. Định nghĩa 1.3.3. Cho ánh xạ véctơ đơn trị f : X → Y . (i) f được gọi là C - nửa liên tục trên mạnh tại x ∈ X nếu với mỗi lân cận V của f (x), tồn tại lân cận U của x trong X sao cho f (U ) ⊆ V − C\{0}. (ii) f được gọi là C - nửa liên tục dưới mạnh tại x ∈ X nếu −f là C - nửa liên tục trên mạnh tại x. (iii) Nếu f là C - nửa liên tục trên mạnh và C - nửa liên tục dưới mạnh tại x ¯ đồng thời, thì ta nói f là C - liên tục mạnh tại x¯. (iv) Nếu f là C - nửa liên tục trên mạnh, C - nửa liên tục dưới mạnh và C - liên tục mạnh tại mọi điểm trong X , ta nói f là C - nửa liên tục trên mạnh, C - nửa liên tục dưới mạnh và C - liên tục mạnh trong X . 9
1.3.2 Tính lồi theo nón của ánh xạ véctơ Trước hết ta nhắc lại khái niệm hàm lồi đơn trị: Một hàm f : K → R xác định trên tập lồi K được gọi là lồi nếu với mọi x, y ∈ K và λ ∈ [0, 1] ta luôn có f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y). Trong phần này chúng tôi luôn giả thiết K là tập con lồi của không gian tuyến tính X và Y là không gian tuyến tính với nón C . Ta nhắc lại khái niệm hàm véctơ lồi theo nón. Định nghĩa 1.3.4. Giả sử f : K → Y là hàm véctơ. Ta nói rằng: (i) f là C - lồi trong K nếu với mọi x, y ∈ K và α ∈ [0, 1], ta luôn có f (αx + (1 − α)y) ∈ αf (x) + (1 − α)f (y) − C. (ii) f là C - tựa giống như lồi (quasiconvex-like) trong K nếu với x1 , x2 ∈ D và α ∈ [0, 1] thì luôn tồn tại chỉ số i ∈ {1, 2} sao cho f (αx1 + (1 − α)x2 ) ∈ f (xi ) − C. Khái niệm dưới đây là mở rộng các khái niệm trên cho trường hợp K không lồi. Định nghĩa 1.3.5. Cho f : K → Y là ánh xạ véctơ đơn trị. Ta nói rằng f là C - hàm trên K nếu với mọi tập hữu hạn {x1 , x2 , ..., xn } ⊆ K và với n P n P mọi αi ≥ 0, i ∈ {1, 2, ..., n}, αi = 1, αi xi ∈ K thì i=1 i=1 n X Xn αi f (xi ) − f ( αi xi ) ∈ C. i=1 i=1 10
1.4 Nguyên lý ánh xạ KKM và định lý điểm bất động Những định lý điểm bất động nổi tiếng đã xuất hiện từ đầu thế kỷ 20, có thể kể đến nguyên lý điểm bất động Brouwer năm 1912, nguyên lý ánh xạ co Banach năm 1922. Năm 1929 ba nhà toán học Knaster, Kuratowski và Mazurkiewicz đã sử dụng kết quả của Sperner năm 1928 về phép tam giác phân một đơn hình, để chứng minh một kết quả rất quan trọng mà ngày nay chúng ta gọi là "Bổ đề KKM". Phương pháp này tương đối sơ cấp, khác với phương pháp của Brouwer năm 1912. Từ đó suy ra nguyên lý điểm bất động Brouwer và người ta cũng chỉ ra từ nguyên lý điểm bất động Brouwer suy ra được bổ đề KKM. Như vậy nguyên lý điểm bất động Brouwer và bổ đề KKM là tương đương với nhau. Năm 1961, Ky Fan đã mở rộng bổ đề KKM cổ điển sang không gian tôpô tuyến tính với ánh xạ đa trị và kết quả thu được ngày nay ta gọi là "Bổ đề Fan-KKM". Trước tiên ta nhắc lại nguyên lý điểm bất động Brouwer. Định lý 1.4.1. (Định lý điểm bất động Brouwer, xem [4]) Giả sử D là tập con không rỗng lồi đóng của không gian hữu hạn chiều X và F : D → D là ánh xạ liên tục. Khi đó tồn tại x0 ∈ D sao cho x0 = F (x0 ). Định nghĩa 1.4.2. Giả sử D là tập con không rỗng của X . Ánh xạ đa trị F : D → 2X được gọi là ánh xạ KKM nếu với mọi tập con hữu hạn {x1 , x2 , ..., xn } trong D, ta luôn có conv{x1 , x2 , ..., xn } ⊆ ∪ni=1 F (xi ). Định lý 1.4.3. (Bổ đề Fan-KKM, xem [8]) Giả sử D là tập con không rỗng của không gian tôpô tuyến tính X và F : D → 2X là ánh xạ KKM với giá trị đóng. Khi đó với mọi tập hữu hạn A ⊆ D, ta luôn có ∩x∈A F (x) 6= ∅. 11
Chứng minh. Ta chứng minh định lý bằng phản chứng. Giả sử tồn tại tập hữu hạn {x1 , x2 , ..., xn } ⊆ D sao cho ∩ni=1 F (xi ) = ∅. Đặt L = span{x1 , x2 , ..., xn } và d là khoảng cách trên L tương thích với tôpô cảm sinh từ X . Ta kí hiệu ∆ = conv{x1 , x2 , ..., xn } và G(xi ) = F (xi ) ∩ L với i = 1, 2, ..., n. Với mỗi x ∈ ∆, đặt αi (x) = d(x, G(xi )). Vì ∩ni=1 F (xi ) = ∅ nên ∩ni=1 G(xi ) = ∅. Do đó với mỗi x ∈ ∆, tồn tại i sao cho x 6∈ G(xi ). Vì G(xi ) đóng nên αi (x) > 0. Ta đặt αi (x) µi (x) = Pn , x ∈ ∆. j=1 α j (x) Khi đó các hàm µi liên tục và 0 ≤ µi (x) ≤ 1, nj=1 µj (x) = 1 với mọi P x ∈ ∆. Xét ánh xạ T : ∆ → ∆ xác định bởi n X Tx = µi (x)xi . j=1 Rõ ràng T liên tục trên ∆ là tập con lồi và compact của không gian con hữu hạn chiều L. Sử dụng Định lí điểm bất động Brouwer, tồn tại x ¯ ∈ ∆ sao cho P T (¯ x) := {i ∈ {1, 2, ..., n} : µi (¯ x) = x¯. Đặt I(¯ x) > 0}. Vì µi (¯ x) = 1 i∈I(¯ x) x) 6= ∅. Mặt khác ta lại có nên I(¯ n X X x¯ = T (¯ x) = µi (¯ x)xi = µi (¯ x)xi . i=1 i∈I(¯ x) Từ đó suy ra x¯ ∈ conv{xi : i ∈ I(¯ x)} ⊆ ∪i∈I(¯x) F (xi ). x) > 0 với mọi i ∈ I(¯ Vì µi (¯ x), nên ta có x¯ 6∈ G(xi ). Vì x¯ ∈ L nên x¯ 6∈ F (xi ) với mọi i ∈ I(¯ x). Chứng tỏ x¯ 6∈ ∪i∈I(¯x) F (xi ). Điều này mâu ¯ ∈ ∪i∈I(¯x) F (xi ). Vậy định lý được chứng minh. thuẫn với x 12
Nhận xét. Trong Định lý 1.4.3 nếu thêm giả thiết "tồn tại x0 ∈ D sao cho F (x0 ) là tập compact trong X " thì ∩x∈D F (x) 6= ∅. Định lý 1.4.4. (Phân hoạch đơn vị, xem [14]) Giả sử {Vα }α∈I là phủ mở của tập con không rỗng compact K của không gian lồi địa phương Hausdorff X . Khi đó tồn tại các hàm liên tục pi : K → R (i = 1, 2, ..., n) thỏa mãn các điều kiện (i) 0 ≤ pi (x) ≤ 1 với mọi x ∈ K và i = 1, 2, ..., n. Pn (ii) i=1 pi (x) = 1 với mọi x ∈ K . (iii) supp(pi ) := cl{x ∈ K : pi (x) 6= 0} ⊆ Vyi với i = 1, 2, ..., n. Năm 1968, Browder đã chứng minh kết quả của Ky Fan (1961) theo dạng khác. Đó là định lý điểm bất động ngày nay gọi là định lý điểm bất động Fan- Browder. Định lý 1.4.5. (Định lý điểm bất động Fan- Browder, xem [15]) Giả sử K là tập con không rỗng, lồi, compact của không gian véctơ tôpô Hausdorff X và F : K → 2K là ánh xạ đa trị với giá trị không rỗng, lồi thỏa mãn điều kiện với mỗi x ∈ K , F −1 (x) là mở trong K . Khi đó tồn tại x ¯ ∈ K sao cho x¯ ∈ F (¯ x) Chứng minh. Từ mỗi x ∈ K , F −1 (x) là mở trong K nên họ {F −1 (x)}x∈K là phủ mở của K . Vì K compact nên tồn tại x1 , x2 , ..., xn ∈ K sao cho K = ∪ni=1 F −1 (xi ). Theo Định lý về phân hoạch đơn vị, tồn tại các hàm liên tục pi : K → R (i = 1, 2, ..., n) thỏa mãn các điều kiện (i) 0 ≤ pi (x) ≤ 1 với mọi x ∈ K và i = 1, 2, ..., n. Pn (ii) i=1 pi (x) = 1 với mọi x ∈ K . 13