Luận văn Thạc sĩ Toán học: Bài toán chứng minh tính vuông góc, song song trong hình học

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:85

Thêm vào BST

Báo xấu

21
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong hình học phẳng, các dạng bài tập về chứng minh tính song song hay chứng mình tính vuông góc luôn là các bài tập thú vị nhưng thường rất khó. Đặc biệt là những bài toán, đề thi đành cho học sinh giỏi thì học sinh phải nắm được các kiến thức nâng cao, đây là các định lý, tính chất và các phương pháp chứng mình không có trong chương trình đại trà cũng như chương trình nâng cao ở bậc cơ sở. Mời các bạn cùng tìm hiểu.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Bài toán chứng minh tính vuông góc, song song trong hình học

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC --------------------------- NGỌC THỊ HÀ BÀI TOÁN CHỨNG MINH TÍNH VUÔNG GÓC, SONG SONG TRONG HÌNH HỌC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC --------------------------- NGỌC THỊ HÀ BÀI TOÁN CHỨNG MINH TÍNH VUÔNG GÓC, SONG SONG TRONG HÌNH HỌC Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 8 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS. Trịnh Thanh Hải THÁI NGUYÊN - 2019
i Möc löc Mð ¦u 1 1 Ki¸n thùc c«n b£n 3 1.1 C¡c ành lþ, m»nh · v· t½nh vuæng gâc, song song trong h¼nh håc ph¯ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1 Ki¸n thùc chu©n bà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2 C¡c t½nh ch§t v· t½nh vuæng gâc, song song trong h¼nh håc ph¯ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.3 C¡c ành lþ, m»nh · v· t½nh song song v vuæng gâc trong h¼nh håc ph¯ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2 Mët sè b i to¡n li¶n quan ¸n t½nh vuæng gâc, song song trong h¼nh håc ph¯ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 C¡c b i to¡n chùng minh vuæng gâc trong c¡c · thi Håc sinh giäi 35 3 C¡c b i to¡n chùng minh song song trong c¡c · thi Håc sinh giäi 62 K¸t luªn 79 T i li»u tham kh£o 81
ii Líi c£m ìn Tr÷îc ti¶n em xin gûi líi c£m ìn ch¥n th nh v s¥u sc nh§t tîi PGS.TS. Trành Thanh H£i, ng÷íi th¦y vîi láng nhi»t huy¸t ¢ luæn ch¿ b£o tªn t¼nh cho em tø nhúng ng y ¦u ti¶n, çng thíi ÷a ra nhúng líi khuy¶n bê ½ch gióp em ho n thi»n luªn v«n n y. Em công xin gûi líi c£m ìn tîi c¡c th¦y cæ, tªp thº c¡n bë khoa To¡n - Tin, Tr÷íng ¤i håc Khoa håc - ¤i håc Th¡i Nguy¶n, Ban l¢nh ¤o v c¡c çng nghi»p Trung t¥m H÷îng nghi»p v Gi¡o döc th÷íng xuy¶n t¿nh Qu£ng Ninh, còng c¡c b¤n håc vi¶n lîp cao håc To¡n K11D, ¢ khæng ch¿ trang bà cho em nhúng ki¸n thùc bê ½ch m cán luæn gióp ï, t¤o i·u ki»n thuªn lñi trong qu¡ tr¼nh em håc tªp t¤i tr÷íng. Cuèi còng em xin c£m ìn gia ¼nh, b¤n b± ng÷íi th¥n l nhúng ng÷íi luæn õng hë, ëng vi¶n em v÷ñt qua nhúng khâ kh«n º em ho n th nh tèt luªn v«n. Th¡i Nguy¶n, ng y 26 th¡ng 3 n«m 2019
1 Mð ¦u Trong h¼nh håc ph¯ng, c¡c d¤ng b i tªp v· chùng minh t½nh song song hay chùng minh t½nh vuæng gâc luæn l c¡c b i tªp thó và nh÷ng th÷íng r§t khâ. °c bi»t l nhúng b i to¡n, · thi d nh cho håc sinh giäi th¼ håc sinh ph£i nm ÷ñc c¡c ki¸n thùc n¥ng cao, ¥y l c¡c ành lþ, t½nh ch§t v c¡c ph÷ìng ph¡p chùng minh khæng câ trong ch÷ìng tr¼nh ¤i tr công nh÷ ch÷ìng tr¼nh n¥ng cao ð bªc cì sð. Trong thíi gian vøa qua, ¢ câ nhi·u håc vi¶n cao håc lüa chån c¡c chõ · v· h¼nh håc º triºn khai luªn v«n th¤c s¾ nhúng ch÷a câ håc vi¶n n o nghi¶n cùu mët c¡ch h» thèng v· c¡c b i to¡n chùng minh t½nh song song, vuæng gâc º ph¡t triºn th nh luªn v«n th¤c s¾ chuy¶n ng nh Ph÷ìng ph¡p to¡n sì c§p. Vîi mong muèn t¼m hiºu c¡c ành lþ, t½nh ch§t công nh÷ ph÷ìng ph¡p chùng minh t½nh song song, t½nh vuæng gâc qua mët sè b i to¡n, · thi håc sinh giäi º l m t i li»u cho vi»c gi£ng d¤y cõa b£n th¥n v l m t i li»u tham kh£o cho håc sinh tü håc, tæi chån chõ ·: Ph÷ìng ph¡p chùng minh t½nh song song, t½nh vuæng gâc qua vi»c gi£i mët sè b i to¡n, · thi håc sinh giäi cho luªn v«n th¤c s¾ cõa m¼nh. Luªn v«n tªp trung nghi¶n cùu c¡c v§n · sau: • T¼m hiºu c¡c ành lþ, c¡c t½nh ch§t li¶n quan ¸n i·u ki»n º hai ÷íng th¯ng song song (hay vuæng gâc) vîi nhau công nh÷ c¡c h» qu£ câ ÷ñc tø vi»c hai ÷íng th¯ng song song (hay vuæng gâc). • S÷u t¦m c¡c b i to¡n luy»n thi ëi tuyºn håc sinh giäi, c¡c · thi håc sinh giäi to¡n v· h¼nh håc ph¯ng li¶n quan ¸n t½nh song song, t½nh vuæng gâc. • Tr¼nh b y líi gi£i mët sè b i to¡n luy»n håc sinh giäi, c¡c · thi håc sinh giäi to¡n v· h¼nh håc ph¯ng li¶n quan ¸n t½nh song song, t½nh vuæng gâc. Trong â cè gng ÷a ra líi gi£i t÷íng minh èi vîi nhúng b i to¡n, · thi m t i li»u tham kh£o ch¿ câ líi gi£i vn tt ho°c ành h÷îng líi gi£i.
2 • èi vîi mët v i b i to¡n, cè gng ÷a ra nhi·u líi gi£i º minh håa t½nh linh ho¤t trong vi»c vªn döng c¡c t½nh ch§t, ành lþ v o chùng minh b i to¡n v· t½nh song song, t½nh vuæng gâc. Vîi möc ti¶u nghi¶n cùu nh÷ vªy, bè cöc cõa luªn v«n bao gçm 3 ch÷ìng: Ch÷ìng 1. Ki¸n thùc chu©n bà Nëi dung ch÷ìng n y nh¬m h» thèng ho¡ c¡c t½nh ch§t, ành lþ v ph÷ìng ph¡p chùng minh c¡c b i to¡n v· t½nh vuæng gâc (÷íng thng, gâc) v t½nh song song trong h¼nh håc ph¯ng. C¡c ành lþ v t½nh ch§t cì b£n nh÷ ành lþ Thales £o, ành lþ Pythagoras, ành lþ Ceva º chùng minh c¡c ÷íng th¯ng æi mët song song ho°c çng quy, ành lþ Menelaus trong tam gi¡c v tù gi¡c, ành lþ Carnot thu ÷ñc tø c¡c ÷íng th¯ng vuæng gâc n¬m tr¶n c¡c c¤nh cõa tam gi¡c ... çng thíi công ÷a ra mët sè b i tªp ¡p döng c¡c ành lþ tr¶n º chùng minh t½nh vuæng gâc v song song. Ch÷ìng 2. C¡c b i to¡n chùng minh t½nh vuæng gâc trong c¡c · thi Håc sinh giäi Nëi dung ch÷ìng 2 tr¼nh b y mët c¡ch t÷íng minh vi»c vªn döng c¡c ành lþ, t½nh ch§t ... º chùng minh mët sè b i to¡n li¶n quan ¸n t½nh vuæng gâc. S÷u t¦m c¡c b i to¡n luy»n thi ëi tuyºn håc sinh giäi, c¡c · thi håc sinh giäi to¡n v· h¼nh håc ph¯ng li¶n quan ¸n t½nh vuæng gâc. Ch÷ìng 3. C¡c b i to¡n chùng minh t½nh song song trong c¡c · thi Håc sinh giäi Nëi dung ch÷ìng 3 cõa luªn v«n tr¼nh b y mët c¡ch t÷íng minh vi»c vªn döng c¡c ành lþ, t½nh ch§t . . . º chùng minh mët sè b i to¡n li¶n quan ¸n t½nh song song. S÷u t¦m c¡c b i to¡n luy»n thi ëi tuyºn håc sinh giäi, c¡c · thi håc sinh giäi to¡n v· h¼nh håc ph¯ng li¶n quan ¸n t½nh song song. V¼ i·u ki»n thíi gian giîi h¤n n¶n ph¤m vi nghi¶n cùu cõa luªn v«n tªp trung chõ y¸u l c¡c b i to¡n thuëc H¼nh håc ph¯ng. Th¡i Nguy¶n, ng y 26 th¡ng 3 n«m 2019 T¡c gi£ luªn v«n Ngåc Thà H
3 Ch÷ìng 1 Ki¸n thùc c«n b£n 1.1 C¡c ành lþ, m»nh · v· t½nh vuæng gâc, song song trong h¼nh håc ph¯ng 1.1.1 Ki¸n thùc chu©n bà Tr÷îc ti¶n, chóng ta s³ nhc l¤i c¡c kh¡i ni»m cì b£n ¢ ÷ñc · cªp trong c¡c ch÷ìng tr¼nh gi¡o döc phê thæng v· hai ÷íng th¯ng song song, hai ÷íng th¯ng vuæng gâc v c¡c t½nh ch§t cì b£n cõa chóng. ành ngh¾a 1.1. Hai ÷íng th¯ng xx0, yy0 ct nhau v trong c¡c gâc t¤o th nh câ mët gâc vuæng ÷ñc gåi l hai ÷íng th¯ng vuæng gâc v ÷ñc kþ hi»u l xx0 ⊥ yy0. ÷íng th¯ng vuæng gâc vîi mët o¤n th¯ng t¤i trung iºm cõa nâ ÷ñc gåi l ÷íng trung trüc cõa o¤n th¯ng §y. ành ngh¾a 1.2. Hai ÷íng th¯ng song song l hai ÷íng th¯ng khæng câ iºm chung. Hai ÷íng th¯ng ph¥n bi»t th¼ ho°c ct nhau ho°c song song vîi nhau.
4 Nhªn x²t 1.1. Tø h¼nh v³ d÷îi ¥y chóng ta x¡c ành c¡c c°p gâc sau ¥y (i) Hai gâc A1 v B3 công nh÷ hai gâc A4 v B2 ÷ñc gåi l hai gâc so le trong. (ii) C°p gâc A1 v B1 ÷ñc gåi l c¡c c°p gâc çng và. T÷ìng tü ta câ c¡c c°p gâc çng và kh¡c l A2 v B2 ; A3 v B3 ; A4 v B4 . ành ngh¾a 1.3. N¸u ÷íng th¯ng c ct hai ÷íng th¯ng a, b v trong c¡c gâc t¤o th nh câ mët c°p gâc so le trong b¬ng nhau (ho°c mët c°p gâc çng và b¬ng nhau) th¼ a v b song song vîi nhau. Ti¶n · 1.1 (Ti¶n · Euclide). Qua mët iºm ð ngo i mët ÷íng th¯ng ch¿ câ mët ÷íng th¯ng song song vîi ÷íng th¯ng â. Hai o¤n th¯ng AB v CD gåi l t¿ l» vîi hai o¤n th¯ng A0 B 0 v C 0D0 n¸u câ t¿ l» thùc AB A0 B 0 AB CD = 0 0 ho°c = . CD CD A0 B 0 C 0D0 ành ngh¾a 1.4. Cho ÷íng th¯ng d. Ph²p bi¸n h¼nh bi¸n méi iºm M thuëc d th nh ch½nh nâ, bi¸n méi iºm M khæng thuëc d th nh M 0 sao cho d l ÷íng trung trüc cõa o¤n th¯ng M M 0 ÷ñc gåi l ph²p èi xùng qua ÷íng th¯ng d hay ph²p èi xùng tröc d. Ph²p èi xùng tröc th÷íng ÷ñc k½ hi»u l d. ành ngh¾a 1.5. Cho iºm I . Ph²p bi¸n h¼nh bi¸n iºm I th nh ch½nh nâ, bi¸n méi iºm M kh¡c I th nh M 0 sao cho I l trung iºm cõa o¤n th¯ng
5 MM0 ÷ñc gåi l ph²p èi xùng t¥m I . Ph²p èi xùng t¥m th÷íng ÷ñc k½ hi»u l I ành ngh¾a 1.6. Cho iºm O v gâc l÷ñng gi¡c α. Ph²p bi¸n h¼nh bi¸n O th nh ch½nh nâ, bi¸n méi iºm M kh¡c O th nh iºm M 0 sao cho OM = OM 0 v gâc l÷ñng gi¡c (OM, \ OM 0 ) = α ÷ñc gåi l ph²p quay t¥m O gâc α. Ph²p quay t¥m O gâc α th÷íng ÷ñc k½ hi»u l Q(O,α) . ành ngh¾a 1.7. Cho tr÷îc mët iºm O v −−sè→thüc k−−6=→0. Ph²p bi¸n h¼nh bi¸n måi iºm M th nh iºm M 0 sao cho OM 0 = kOM ÷ñc gåi l ph²p và tü t¥m O t¿ sè k v ÷ñc k½ hi»u l V(O,k). iºm M 0 ÷ñc gåi l £nh cõa iºm M, M ÷ñc gåi l t¤o £nh cõa M 0, O l t¥m cõa ph²p và tü, k l t¿ sè và tü. Nhªn x²t 1.2. Ph²p và tü t¿ sè k câ c¡c t½nh ch§t sau: (i) Bi¸n ba iºm th¯ng h ng th nh ba iºm th¯ng h ng v b£o to n thù tü giúa c¡c iºm â. (ii) Bi¸n ÷íng th¯ng th nh ÷íng th¯ng song song ho°c tròng vîi nâ, bi¸n tia th nh tia, bi¸n o¤n th¯ng th nh o¤n th¯ng. (iii) Bi¸n tam gi¡c th nh tam gi¡c çng d¤ng vîi nâ, bi¸n gâc th nh gâc b¬ng nâ.
6 ành ngh¾a 1.8. Cho ÷íng trán (O; R) v iºm M cè ành, OM = d. Mët ÷íng th¯ng thay êi qua M ct ÷íng trán t¤i hai iºm A v B . Khi â, M A.M B = M O2 − R2 = d2 − R2 . ¤i l÷ñng khæng êi M A.M B = M O2 − R2 = d2 − R2 gåi l ph÷ìng t½ch cõa iºm M èi vîi ÷íng trán (O; R), k½ hi»u PM/(O). K¸t qu£ cõa c¡c ành lþ sau ¥y th÷íng ÷ñc dòng º chùng minh c¡c b i to¡n trong h¼nh håc ph¯ng v· t½nh song song v vuæng gâc, chóng ta s³ bä qua ph¦n chùng minh. ành lþ 1.1 (H» thùc l÷ñng trong tam gi¡c vuæng) . Cho tam gi¡c ABC vuæng t¤i A, ÷íng cao AH , ta câ AB 2 = BC.BH, AC 2 = BC.HC, AH 2 = BH.CH, BC.AH = AC.AH, 1 1 1 = + . AH 2 AB 2 AC 2 ành lþ 1.2. Khi M n¬m ngo i ÷íng trán (O) ta v³ ÷ñc ti¸p tuy¸n M T tîi ÷íng trán. Khi â PM/(O) = M A.M B = M T 2.
7 ành ngh¾a 1.9. Tù gi¡c nëi ti¸p ÷íng trán l tù gi¡c câ bèn ¿nh còng n¬m tr¶n ÷íng trán. ÷íng trán â ÷ñc gåi l ÷íng trán ngo¤i ti¸p tù gi¡c. Nhªn x²t 1.3. Tù gi¡c nëi ti¸p câ c¡c t½nh ch§t sau: (i) Tù gi¡c nëi ti¸p câ têng hai gâc èi b¬ng 180◦ . (ii) Tù gi¡c câ hai ¿nh k· còng nh¼n xuèng mët c¤nh cán l¤i d÷îi mët gâc b¬ng nhau th¼ nëi ti¸p. (iii) Tù gi¡c câ 4 ¿nh c¡ch ·u mët iºm cho tr÷îc th¼ nëi ti¸p. (iv) Gâc ngo i t¤i mët ¿nh cõa mët tù gi¡c b¬ng gâc trong èi di»n vîi ¿nh â cõa tù gi¡c §y th¼ nëi ti¸p. ành lþ 1.3. Tù gi¡c ABCD câ hai c¤nh èi AB, CD ct nhau t¤i M . i·u ki»n c¦n v õ º tù gi¡c ABCD nëi ti¸p ÷ñc ÷íng trán l M A.M B = M C.M D. ành lþ 1.4. Tù gi¡c ABCD câ hai ÷íng ch²o AC, BD ct nhau t¤i N . i·u ki»n c¦n v õ º tù gi¡c ABCD nëi ti¸p ÷ñc ÷íng trán l N A.N C = N B.N D. ành lþ 1.5. Cho hai ÷íng th¯ng AB, M T ph¥n bi»t ct nhau t¤i M (M khæng tròng A, B, T ). Khi â n¸u M A.M B = MT 2 th¼ ÷íng trán ngo¤i ti¸p tam gi¡c ABT ti¸p xóc vîi M T t¤i T .
8 ành ngh¾a 1.10. Cho hai ÷íng trán khæng çng t¥m (O1, R1); (O2, R2). Tªp hñp c¡c iºm M câ ph÷ìng t½ch èi vîi hai ÷íng trán b¬ng nhau l mët ÷íng th¯ng. ÷íng th¯ng n y gåi l tröc ¯ng ph÷ìng cõa hai ÷íng trán ¢ cho. Nhªn x²t 1.4. Tröc ¯ng ph÷ìng cõa hai ÷íng trán câ c¡c t½nh ch§t sau: (i) Tröc ¯ng ph÷ìng cõa hai ÷íng trán vuæng gâc vîi ÷íng nèi t¥m. (ii) N¸u hai ÷íng trán ct nhau t¤i A v B th¼ AB ch½nh l tröc ¯ng ph÷ìng. (iii) N¸u iºm M câ còng ph÷ìng t½ch vîi hai ÷íng trán th¼ ÷íng th¯ng qua M v vuæng gâc vîi ÷íng nèi t¥m l tröc ¯ng ph÷ìng. (iv) N¸u hai iºm M, N câ còng ph÷ìng t½ch èi vîi hai ÷íng trán th¼ ÷íng th¯ng M N l tröc ¯ng ph÷ìng. (v) N¸u ba iºm câ còng ph÷ìng t½ch vîi hai ÷íng trán th¼ chóng th¯ng h ng. (vi) N¸u (O1 ), (O2 ) ct nhau t¤i A th¼ ÷íng th¯ng qua A vuæng gâc vîi O1 O2 l tröc ¯ng ph÷ìng.
9 1.1.2 C¡c t½nh ch§t v· t½nh vuæng gâc, song song trong h¼nh håc ph¯ng T½nh ch§t 1.1. a0 Câ mët v ch¿ mët ÷íng th¯ng O i qua iºm v vuæng gâc vîi ÷íng th¯ng a cho tr÷îc. T½nh ch§t 1.2. N¸u ÷íng th¯ng c ct hai ÷íng th¯ng a, b v trong c¡c gâc t¤o th nh câ mët c°p gâc so le trong b¬ng nhau th¼ (i) Hai gâc so le trong cán l¤i b¬ng nhau; (ii) Hai gâc çng và b¬ng nhau. T½nh ch§t 1.3. N¸u mët ÷íng th¯ng ct hai ÷íng th¯ng song song th¼ (i) Hai gâc so le trong b¬ng nhau; (ii) Hai gâc çng và b¬ng nhau; (iii) Hai gâc trong còng ph½a bò nhau. T½nh ch§t 1.4. Hai ÷íng th¯ng ph¥n bi»t còng vuæng gâc vîi mët ÷íng th¯ng thù ba th¼ chóng song song vîi nhau. T½nh ch§t 1.5. Mët ÷íng th¯ng vuæng gâc vîi mët trong hai ÷íng th¯ng song song th¼ nâ công vuæng gâc vîi ÷íng th¯ng kia. T½nh ch§t 1.6. Hai ÷íng th¯ng ph¥n bi»t còng song song vîi mët ÷íng th¯ng thù ba th¼ chóng song song vîi nhau. 1.1.3 C¡c ành lþ, m»nh · v· t½nh song song v vuæng gâc trong h¼nh håc ph¯ng ành lþ 1.6 . N¸u mët ÷íng th¯ng ct (ành lþ Thales trong tam gi¡c) hai c¤nh cõa mët tam gi¡c v song song vîi c¤nh cán l¤i th¼ nâ ành ra tr¶n hai c¤nh cán l¤i nhúng o¤n th¯ng t¿ l». Chùng minh. X²t tam gi¡c ABC v gi£ sû ÷íng th¯ng xx0 k BC , ct c¤nh AB v AC t÷ìng ùng t¤i D v E. Ta s³ chùng minh AD AE = . (1.1) DB EC
10 V¼ DE k BC , n¶n di»n t½ch tam gi¡c DEB b¬ng di»n t½ch tam gi¡c DEC . Trong 4ABE k´ ÷íng cao EF. Khi â 1 SADE AD.EF AD = 2 = . (1.2) SBDE 1 BD BD.EF 2 T÷ìng tü ta câ SADE AE = . (1.3) SCDE EC Tø (1.2) v (1.3) suy ra h» thùc (1.1). ành lþ 1.7 (ành lþ Thales £o) . N¸u mët ÷íng th¯ng ct hai c¤nh cõa mët tam gi¡c v ành ra tr¶n hai c¤nh §y nhúng o¤n th¯ng t÷ìng ùng t¿ l» th¼ ÷íng th¯ng â song song vîi c¤nh cán l¤i cõa tam gi¡c. Chùng minh. Gi£ sû ÷íng th¯ng xx0 ct c¡c c¤nh AB, AC cõa tam gi¡c ABC theo thù tü t¤i D v E sao cho AB AC = . DB EC Ta chùng minh DE k BC. Qua D k´ ÷íng th¯ng song song vîi c¤nh BC ct c¤nh AC t¤i iºm E 0. Theo ành lþ Thales thuªn ta câ AD AE 0 AE 0 AE AE 0 AE = 0 ⇒ 0 = ⇔ 0 +1= +1 DB EC EC EC EC EC AE 0 + E 0 C AE + EC AC AC ⇔ = ⇔ = E 0C EC E 0C EC hay E 0 C = EC , tùc l E ≡ E 0. Do â DE k BC. ành lþ 1.8 (ành lþ Pythagoras) . Trong mët tam gi¡c vuæng, b¼nh ph÷ìng ë d i c¤nh huy·n b¬ng têng b¼nh ph÷ìng ë d i hai c¤nh gâc vuæng.
11 Chùng minh. Tr¶n BC l§y hai iºm M, N thäa m¢n BM = BN = AB. Khi â, BN \ \ = 90◦ − 1 ABC, A = BAN \ N \ \ = 1 ABC, AC = 90◦ − BAN \ 2 2 1\ AM \ B = ABC. 2 Do â, 4M CA ∼ 4ACN (g.g) n¶n ta câ MC CA AB + BC AC = ⇒ = . AC CN AC BC − AB Do vªy BC 2 = AB 2 + AC 2 . ành lþ 1.9 (ành lþ Pythagoras £o) . N¸u b¼nh ph÷ìng ë d i mët c¤nh cõa tam gi¡c b¬ng têng b¼nh ph÷ìng ë d i cõa hai c¤nh kia, th¼ gâc n¬m giúa hai c¤nh cõa tam gi¡c â b¬ng gâc vuæng. Chùng minh. Gi£ sû 4ABC khæng ph£i l tam gi¡c vuæng, tø B k´ ÷íng th¯ng vuæng gâc vîi AC ct AC t¤i D. Theo ành lþ Pythagoras ta câ BC 2 = DB 2 + DC 2 . Theo gi£ thi¸t BC 2 = AB 2 + AC 2 . Suy ra AB 2 − DB 2 = DC 2 − AC 2 ⇒ AD2 = AD(DC + AC) Do â AD = DC + AC (m¥u thu¨n). ành lþ 1.10 (ành lþ Ceva) . Cho tam gi¡c ABC , c¡c iºm D, E, F l¦n l÷ñt n¬m tr¶n BC, AC, AB. Chùng minh AD, BE, CF çng quy ho°c æi mët song song khi v ch¿ khi DB EC F A · · = −1. (1.4) DC EA F B
12 Chùng minh. i·u ki»n c¦n: Gi£ sû AD, BE, CF çng quy. Tø A v³ ÷íng th¯ng song song vîi BC ct BE, CF t¤i I v H. Theo ành lþ Thales ta câ DB IA EC BC F A AH = ; = ; = . DC HA EA IA F B BC DB EC F A Do â · · = −1. DC EA F B Vîi tr÷íng hñp AD k BE k CF , ¡p döng ành lþ Thales ta công câ k¸t qu£ DB EC F A · · = −1. DC EA F B i·u ki»n õ: Gi£ sû ta câ DB EC F A · · = −1. (1.5) DC EA F B Gåi G v F0 l¦n l÷ñt l giao iºm cõa AD ct BE , GC ct AB . C¡c iºm H, I nh÷ trong ph¦n chùng minh i·u ki»n c¦n. Suy ra DB EC F 0 A · · = −1. (1.6) DC EA F 0 B Tø (1.5) v (1.6) suy ra F ≡ F 0. ành lþ 1.11 (ành lþ Menelaus trong tam gi¡c) . Cho tam gi¡c ABC , tr¶n c¡c ÷íng th¯ng chùa c¡c c¤nh BC, CA, AB l§y c¡c iºm P, Q, R t÷ìng ùng sao cho méi iºm khæng tròng vîi ¿nh tam gi¡c. Khi â, ba iºm P, Q, R th¯ng h ng khi v ch¿ khi RB P C QA · · = 1. (1.7) RA P B QC
13 Chùng minh. i·u ki»n c¦n: Gi£ sû ba iºm P, Q, R th¯ng h ng. Qua A, k´ ÷íng th¯ng song song vîi BC , ct ÷íng th¯ng (d) t¤i L. Theo ành lþ Thales ta câ LA QA CP · QA = ⇔ , (1.8) PC PC QC RB PB RB LA = ⇔ · =1 (1.9) RA LA RA P B Thay AL ð (1.8) v o (1.9) ta ÷ñc i·u ph£i chùng minh. i·u ki»n õ: Gi£ sû ta câ RB P C QA · · = 1. RA P B QC Gåi Q0 l giao iºm cõa PR v c¤nh AC. Khi â theo i·u ki»n c¦n ta câ RB Q0 A P C · · = 1. (1.10) RA Q0 C P B Q0 A QA Tø (1.7) v (1.10) ta suy ra = . Vªy Q ≡ Q0 . Q0 C QC ành lþ 1.12 (ành lþ Menelaus trong tù gi¡c) . Cho tù gi¡c ABCD v mët ÷íng th¯ng (d) ct AB, BC, CD, DA l¦n l÷ñt ð M, N, P, Q. Khi â ta câ M A N B P C QD · · · = 1. (1.11) M B N C P D QA
14 Chùng minh. Tr¶n ÷íng th¯ng (d) l§y hai iºm I, J sao cho AI k BJ k CD. Theo ành lþ Thales ta câ MA JA N B JB OD PD = , = , = . MB JB N C P C OA IA Do â M A N B P C QD IA JB P C P D · · · = · · · = 1. M B N C P D QA JB P C P D IA ành lþ 1.13 (ành lþ Ptolemy) . Tù gi¡c lçi ABCD nëi ti¸p mët ÷íng trán khi v ch¿ khi têng cõa t½ch c¡c c°p c¤nh èi di»n b¬ng t½ch hai ÷íng ch²o, ngh¾a l AB.CD + AD.BC = AC.BD (1.12) Chùng minh. L§y M thuëc ÷íng ch²o AC sao cho ABD \=M BC. Khi â, \ 4ABD v 4M BC câ ABD x²t \=M \ BC, ADB \=M CB . \ N¶n 4ABD ∼ 4M BC (g.g). Do â ta câ AD MC = ⇒ AD · BC = BD · M C. (1.13) BD BC BA BM \ n¶n 4ABM ∼ 4DBC M°t kh¡c, = v ABM \ = DBC suy ra BD BC AB BD = ⇒ AB · CD = AM · BD (1.14) AM BC Tø (1.13) v (1.14) ta ÷ñc AD.BC + AB.CD = BD.M C + AM.BD = AC.BD ⇒ AB.CD + AD.BC = AC.BD.
15 ành lþ 1.14 (ành lþ Carnot) . Cho tam gi¡c ABC câ M, N, P theo thù tü n¬m tr¶n c¡c c¤nh BC, CA, AB. V³ c¡c ÷íng th¯ng d1, d2, d3 vuæng gâc vîi BC, CA, AB theo thù tü t¤i M, N, P. Chùng minh r¬ng i·u ki»n c¦n v õ º M, N, P çng quy l ta câ h» thùc M B 2 + N C 2 + P A2 = M C 2 + N A 2 + P B 2 (1.15) Chùng minh. i·u ki»n c¦n: Gåi O l iºm çng quy cõa d1, d2, d3. p döng ành lþ Pythagoras ta câ M B 2 = OB 2 − OM 2 , N C 2 = OC 2 − ON 2 , P A2 = OA2 − OP 2 ⇒ M B 2 + N C 2 + P A2 = (OB 2 − OM 2 ) + (OC 2 − ON 2 ) + (OA2 − OP 2 ) = (OC 2 − OM 2 ) + (OA2 − ON 2 ) + (OB 2 − 0P 2 ) = M C 2 + N A2 + P B 2 . i·u ki»n õ: Gi£ sû câ h» thùc (1.15). Gåi O l giao iºm cõa d2, d3. V³ OM 0 ⊥ BC (M 0 ∈ BC). Theo chùng minh ð i·u ki»n c¦n, ta câ M 0 B 2 + N C 2 + P A2 = M C 2 + N A 2 + P B 2 ⇒ M 0 B 2 = M B 2 ⇒ M B = M 0B ⇒ M ≡ M 0 Vªy d1 , d2 , d3 çng quy t¤i O. ành lþ 1.15 (ành lþ 4 iºm) . Cho bèn iºm A, B, C, D ph¥n bi»t trong m°t ph¯ng. Khi â AB ⊥ CD khi v ch¿ khi AC 2 − AD2 = BC 2 − BD2. Chùng minh. Gåi H, K l¦n l÷ñt l h¼nh chi¸u cõa A, B l¶n ÷íng th¯ng CD. N¸u AB ⊥ CD th¼ H≡K n¶n theo ành lþ Pythagoras ta câ AC 2 − AD2 = HC 2 − HD2 = BC 2 − BD2 . Ng÷ñc l¤i, n¸u AC 2 − AD2 = BC 2 − BD2 th¼ ta câ a + CD2 a = AC 2 −AD2 = HC 2 −HD2 = HC 2 −(CD ± HC)2 ⇒ HC = ± 2CD a + CD2 êi vai trá H cho K ta công câ KC = ± . Do â HC = KC. L¤i 2CD êi vai trá C bði D ta công chùng minh ÷ñc HD = KD. Nh÷ vªy H ≡ K , suy ra AB ⊥ CD.
16 ành lþ 1.16 (Tù gi¡c câ hai ÷íng ch²o vuæng gâc) . Tù gi¡c lçi ABCD câ hai ÷íng ch²o AC ⊥ BD khi v ch¿ khi AB + CD2 = AD2 + BC 2. 2 Chùng minh. i·u ki»n c¦n: Gi£ sû AC ⊥ BD v K l giao iºm cõa AC v BD. Theo ành lþ Pythagoras ta câ AB 2 + CD2 = KA2 + KB 2 + KC 2 + KD2 = KA2 + KD2 + KB 2 + KC 2 = AD2 + BC 2 . i·u ki»n õ: Gi£ sû ta câ AB 2 + CD2 = AD2 + BC 2 . °t α = AKB. \ Khi â ta biºu di¹n KA2 +KB 2 −2KA.KB. cos α+KC 2 +KD2 −2KC.KD. cos α = AB 2 +CD2 KA2 +KD2 −2KA.KD. cos α+KC 2 +KB 2 −2KC.KB. cos α = AD2 +BC 2 . Vªy (KA.KB + KC.KD − KA.KD − KA.KC). cos α = 0. π suy ra α = v AC ⊥ BD. 2 ành lþ 1.17 (ành lþ Desargues) . Cho hai tam gi¡c ABC v A1B1C1. Gåi M l giao iºm cõa AB v A1B1, N l giao iºm cõa AC v A1C1, P l giao iºm cõa BC v B1C1. Khi â ba iºm M, N, P th¯ng h ng khi v ch¿ khi AA1, BB1, CC1 çng quy. Chùng minh. Chi·u nghàch: Cho AA1, BB1, CC1 çng quy t¤i O, ta chùng minh M, N, P th¯ng h ng. p döng ành lþ Menelaus cho 4OAC vîi ba iºm N, A1 , C1 ta câ N A C1 C A 1 O · · = 1. (1.16) N C C1 O A1 A Chùng minh t÷ìng tü ta câ P C B1 B C1 O M B A1 A B1 O · · = 1, · · = 1. (1.17) P B B1 O C1 C M A A1 O B1 B