Luận văn Thạc sĩ Toán học: Bài toán về chia hình vuông

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:50

Thêm vào BST

Báo xấu

27
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn đề cập đến hai khái niệm đồ thị và mạch điện, dựa vào lý thuyết đồ thị để giải bài toán chia hình chữ nhật thành các hình vuông không bằng nhau, đặc biệt là định lý Euler "Số đỉnh trừ số cạnh cộng số diện trong mọi đồ thị luôn bằng 1", khi đó ta thấy một song ánh hiếm hoi giữa Hình học và Điện học.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Bài toán về chia hình vuông

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM THÀNH AN BÀI TOÁN VỀ CHIA HÌNH VUÔNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2015
i Mục lục Lời cảm ơn ii Mở đầu 1 1 Ghép hình chữ nhật từ các hình vuông 3 1.1 Ghép hình chữ nhật từ các hình vuông . . . . . . . . . . . 3 1.2 Đồ thị và mạch điện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2 Định lý cơ bản về chia hình chữ nhật thành các hình vuông không bằng nhau 24 2.1 Định lý cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2 Bài toán chia hình chữ nhật và dãy Fibonacci . . . . . . . 41 Kết luận 45 Tài liệu tham khảo 46
ii Lời cảm ơn Trước tiên, tác giả xin được gửi lời cảm ơn đến tất cả quý thầy cô đã giảng dạy trong chương trình Cao học khóa 2013-2015 lớp K7Q, chuyên ngành Phương pháp toán sơ cấp, sự quan tâm chỉ đạo, tạo điều kiện của Ban giám hiệu, các phòng, khoa chuyên môn của trường Đại học Khoa học- Đại học Thái Nguyên, các kiến thức được thầy cô giảng dạy làm cơ sở cho tác giả thực hiện tốt luận văn này. Tác giả xin chân thành cảm ơn TS.Nguyễn Văn Minh, đã tận tình hướng dẫn cho tác giả trong thời gian thực hiện luận văn. Mặc dù, trong quá trình thực hiện luận văn, có giai đoạn không được thuận lợi mang yếu tố chủ quan nhưng thầy đã rất cố gắng hướng dẫn, chỉ bảo, cho tác giả nhiều kiến thức cũng như kinh nghiệm trong thời gian thực hiện đề tài. Sau cùng, tác giả xin gửi lời biết ơn sâu sắc đến Ban giám hiệu trường THPT Hoàng Hoa Thám- Đông Triều- Quảng Ninh, các anh chị em đồng nghiệp và gia đình, đã luôn tạo điều kiện tốt nhất cho tôi trong suốt quá trình học tập cũng như thực hiện luận văn. Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên. Thái Nguyên, tháng 4 năm 2015 Phạm Thành An Học viên Cao học Toán K7Q Trường ĐH Khoa học - ĐH Thái Nguyên
1 Mở đầu Luận văn trình bày bài toán nổi tiếng: "Chia hình vuông K thành một số hình vuông nhỏ hơn". Vấn đề trở thành dễ dàng nếu không đòi hỏi cách chia các hình vuông con phải khác nhau từng đôi (hình 1). • Nếu yêu cầu tất cả các hình vuông con phải bằng nhau thì chia được như hình 1a,b, nghĩa là số hình vuông phải là chính phương. • Nếu không yêu cầu tất cả các hình vuông bằng nhau, thì số hình vuông có thể là 6 (hình 1c) hoặc 7 (hình 1d). Hình 1: Tuy nhiên nếu yêu cầu “các hình vuông khác nhau từng đôi một” thì vấn đề sẽ không đơn giản. Một điều thú vị, từ bài toán chia hình vuông là biến thành một mạch điện tương đương, bằng cách xem xét các ô vuông như điện trở nối với các cạnh trên cùng và cạnh dưới cùng của hình vuông lớn, sau đó áp dụng định luật về mạch của định luật Kirchhoff mà sẽ đề cập trong luận văn này để giải quyết bài toán trên.
2 Luận văn đề cập đến hai khái niệm Đồ thị và Mạch điện, dựa vào lý thuyết đồ thị để giải bài toán chia hình chữ nhật thành các hình vuông không bằng nhau, đặc biệt là Định lý Euler "Số đỉnh trừ số cạnh cộng số diện trong mọi đồ thị luôn bằng 1", khi đó ta thấy một song ánh hiếm hoi giữa Hình học và Điện học. Hơn nữa, việc chứng minh Định lý cơ bản về chia hình chữ nhật thành các hình vuông không bằng nhau thì mọi hình vuông đều chia được thành các hình vuông nhỏ hơn đôi một khác nhau. Bài toán về ghép các hình vuông để được hình chữ nhật cho ta thấy sự liên hệ của bài toán này với dãy số Fibonacci. Cấu trúc luận văn: Chương 1: Ghép hình chữ nhật từ các hình vuông: Giải quyết bài toán về chia hình chữ nhật thành các hình vuông khác nhau từng đôi và ghép hình chữ nhật từ các hình vuông khác nhau từng đôi. Chương 2: Định lý cơ bản về chia hình chữ nhật thành các hình vuông không bằng nhau: Phát biểu và chứng minh lại Định lý cơ bản về điều kiện cần và đủ của phép chia hình chữ nhật thành các hình vuông không bằng nhau, tìm được một hệ thức liên hệ giữa bài toán chia một hình chữ nhật thành các hình vuông với dãy Fibonacci đã biết. Thái Nguyên, tháng 04 năm 2015 Phạm Thành An Học viên Cao học Toán K7Q Chuyên ngành Phương pháp Toán sơ cấp Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Email: Phamthanhan.c3hht@quangninh.edu.vn
3 Chương 1 Ghép hình chữ nhật từ các hình vuông 1.1 Ghép hình chữ nhật từ các hình vuông Trong mục này ta xét bài toán sau: Bài toán: Chia một hình chữ nhật thành n hình vuông con khác nhau từng đôi. Liên quan đến bài toán này là bài toán : "Ghép n hình vuông khác nhau từng đôi thành một hình chữ nhật". Người ta đã chứng minh được rằng, không thể ghép n hình vuông khác nhau từng đôi để được một hình chữ nhật với n ≤ 8 (chi tiết xem [5]). Với n = 9, có thể ghép 9 hình vuông khác nhau từng đôi thành một hình chữ nhật được minh họa trên hình (1.1, 1.2, 1.3, 1.4). Hình 1.1:
4 Hình 1.2: Hình 1.3: Hình 1.4:
5 Dễ thấy, nếu ta có thể ghép n hình vuông khác nhau từng đôi để được một hình chữ nhật thì cũng có thể ghép n + 1 hình vuông khác nhau từng đôi để được một hình chữ nhật. Thật vậy, nếu hình chữ nhật P được ghép từ n hình vuông khác nhau từng đôi, bằng cách ghép thêm vào P một hình vuông có cạnh bằng cạnh lớn của P , ta sẽ được một hình chữ nhật P1 . Hình vuông thứ n + 1 có cạnh lớn hơn tất cả các cạnh của hình vuông hợp thành P . Như vậy, hình vuông P1 được ghép từ n + 1 hình vuông khác nhau từng đôi. Một số nhà toán học đã xét bài toán: Tìm số n bé nhất sao cho có thể chia một hình vuông có kích thước cho trước thành n hình vuông con khác nhau từng đôi. Người đầu tiên xét bài toán này là P Sprag vào năm 1939 [6]. Trên hình 1.5 chỉ ra một cách chia hình vuông cạnh 175 thành 24 hình vuông con khác nhau từng đôi với các cạnh như sau: Hình 1.5: 1, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 14, 16, 18, 20, 29, 30 31, 33, 35, 38, 39, 43, 51, 55, 56, 64, 81
6 Ví dụ này được chỉ ra bởi Willcocks T.H.A.[8]. Cho đến nay, 24 là số ít nhất các hình vuông khác nhau từng đôi mà có thể ghép thành một hình vuông có cạnh 175. Ví dụ cho sự phân hoạch hình chữ nhật có kích thước 422 × 593 thành các hình vuông con khác nhau từng đôi (1.6): Hình 1.6: Các kết quả đã kể trên về bài toán chia hình chữ nhật thành các hình vuông con khác nhau từng đôi liên quan đến hai khái niệm quan trọng là khái niệm đồ thị và khái niệm mạch điện. 1.2 Đồ thị và mạch điện Các phương pháp đã sử dụng để nhận được đa số các kết quả trong 1.1 liên quan đến cơ sở của lý thuyết đồ thị và phương pháp biểu diễn các mạng điện phức tạp. Đồ thị trên mặt phẳng là một hệ thống các đường, ví dụ các đoạn thẳng, nối các điểm của một hệ điểm đã cho nào đó. Các điểm này gọi là các đỉnh của đồ thị, còn các đường (các đoạn thẳng) nối các điểm này gọi là các cạnh của đồ thị. Phần mặt phẳng giới hạn bởi các đường gấp khúc khép kín (nói chung, là các đường cong) lập từ các cạnh của đồ thị, tương tự như miền I hoặc miền II của hình 1.7a gọi là các diện của đồ thị.
7 Hình 1.7: Định lý sau đây kết quả quan trọng của lý thuyết đồ thị: Định lý 1.1 (Định lý Euler). [5] Nếu đồ thị có B đỉnh, P cạnh và G diện thì các số nguyên dương B, P, G liên hệ với nhau bởi hệ thức: B−P +G=1 (E) Chẳng hạn, đối với đồ thị trên hình 1.7a ta có : B = 6, P = 10, G = 5 và 6 − 10 + 5 = 1. Cuối cùng, cần nói thêm rằng đồ thị mà cạnh của nó kèm theo các mũi tên chỉ hướng đi của các cạnh này (ví dụ, xem hình 1.7b) được gọi là các đồ thị định hướng. Giả sử ta có một phân hoạch nào đó một hình chữ nhật hay một hình vuông thành các hình vuông nhỏ hơn; để xác định ta sẽ nói về phân hoạch hình chữ nhật với các cạnh 32 và 33 thành 9 hình vuông khác nhau từng đôi biểu diễn trên hình 1.2, mặc dù ở đây đang nói về phân hoạch bất kỳ một hình chữ nhật thành các hình vuông con không nhất thiết phải khác nhau. Như thường lệ, ta sẽ xem các cạnh của hình chữ nhật là nằm ngang hoặc thẳng đứng; khi đó các cạnh của tất cả các hình vuông con cũng sẽ nằm ngang hoặc thẳng đứng. Ta xét tất cả các đoạn nằm ngang trên hình vẽ của ta, tức là các đoạn A1 B1 , A2 B2 , A3 B3 , A4 B4 , A5 B5 , A6 B6 (hình 1.8)
8 Hình 1.8: Mỗi đoạn này được đặt tương ứng với một điểm xác định (có thể xem điểm này trùng với trung điểm của đoạn tương ứng, mặc dù điều này không bắt buộc). Ký hiệu các điểm này qua H1 , H2 ,...và xem chúng là đỉnh của một đồ thị nào đó. Nếu hai điểm tương ứng với các đoạn nằm ngang chứa các cạnh của cùng một hình vuông của phân hoạch thì ta nối các điểm này bằng một đoạn thẳng (hay là bằng một cung của đường cong nào đó). Như vậy, ta nhận được đồ thị 1.9, tương ứng với phân hoạch hình chữ nhật thành các hình vuông; rõ ràng, các cạnh của đồ thị này tương ứng với các hình vuông của phân hoạch, còn các đỉnh tương ứng với các đoạn nằm ngang xác định bởi phân hoạch của ta. Tiếp theo, sẽ có lợi cho ta khi làm rõ ý nghĩa của các diện của đồ thị nhận được. Chẳng hạn, xét diện H2 H3 H5 H4 (xem hình 1.10). Diện này tương ứng với một dãy 4 hình vuông của phân hoạch. Các đỉnh cao nhất và thấp nhất H2 , H5 của diện được xét tương ứng với các đường thẳng nằm ngang, dọc theo chúng là các hình vuông với các cạnh 10 và 4 (được biểu diễn trên đồ thị bởi các cạnh H2 H4 và H2 H3 ) và các hình vuông với các cạnh 1 và 7 (biểu diễn trên đồ thị bởi các cạnh H4 H5 và H3 H5 ); đồng thời hình vuông với cạnh 1 có cạnh nằm ngang chung với hình vuông cạnh 10, hình vuông với cạnh 7 có cạnh nằm ngang chung với cạnh 4. Như vậy, chúng ta đi đến một tổ hợp các hình vuông biểu diễn trên hình 1.10, từ
9 Hình 1.9: hình này rõ ràng rằng tất cả các hình vuông được xét đều kề với đoạn thẳng đứng CD. Hình 1.10: Ta quay trở lại trường hợp tổng quát. Giả sử H1 H2 H3 . . . Hl là một diện tùy ý của đồ thị, tương ứng với một phân hoạch nào đó của một hình chữ nhật thành các hình vuông, tạm thời chưa bắt buộc phải phân biệt từng cặp (hình 1.11. Ta giả sử rằng H1 và Hk (trong đó k ≤ l) là các đỉnh cao nhất và thấp nhất trong các đỉnh của các diện này, như vậy các điểm H1 và Hk tương ứng với các đoạn nằm ngang cao nhất và thấp nhất trong các đoạn tương ứng với các đỉnh H1 , H2 , H3 , . . . Hl . Các cạnh của đồ thị H1 H2 và H1 Hl , xuất phát từ đỉnh H1 tương ứng với hai hình vuông kề nhau, các đáy trên của chúng thuộc cùng một đường thẳng AB (biểu diễn trên đồ thị bởi điểm H1 ); hai hình vuông này có cạnh chung thẳng đứng CD (hình 1.11a)).
10 0 Nếu các hình vuông được xét K1 , K1 bằng nhau (hình 1.12a) thì các đáy Hình 1.11: dưới của chúng cũng phải thuộc cùng một đường thẳng nằm ngang A’B’; đồng thời, các cạnh H1 H2 và H1 Hl phải có hai đỉnh chung, nghĩa là các điểm H2 , Hl cần phải trùng nhau (hình 1.12b); cả hai điểm này tương ứng với đường thẳng A’B’); do đó, trong trường hợp này diện được xét của đồ thị suy biến thành “nhị giác” H1 H2 , có thể đặt tương ứng nó với cạnh 0 thẳng đứng CD. Bây giờ giả sử hình vuông K1 tương ứng với cạnh H1 Hl lớn hơn hình vuông K1 (tương ứng với cạnh H1 H2 ) (hình 1.11). Trong trường hợp kề với hình vuông K1 từ phía dưới còn một hình vuông nữa nhận đường thẳng CD làm cạnh thẳng đứng dễ hiểu rằng hình vuông K2 này được biểu diễn trên đồ thị bởi cạnh H2 H3 . 0 Nếu các hình vuông K2 và K1 có cạnh nằm ngang chung A’B’(hình 1.12c) thì các mút của các cạnh H2 H3 và H1 Hl của đồ thị phải trùng nhau (hình 1.12d); trong trường hợp này các đỉnh H3 ≡ Hl tương ứng với đoạn nằm ngang A’B’); như vậy, khi xét diện của đồ thị là tam giác H1 H2 H3 , 3 cạnh của nó tương ứng với 3 hình vuông kề với cạnh thẳng đứng CD. Nếu chẳng hạn, tổng tất cả các cạnh của các hình vuông K1 , K2 lớn hơn 0 0 các cạnh của hình vuông K1 (hình 1.11) thì tiếp xúc với hình vuông K1
11 Hình 1.12: 0 từ phía dưới còn có một hình vuông K2 cũng có cạnh nằm trên CD; trên đồ thị, hình vuông này tương ứng với cạnh Hl Hl−1 (hình 1.11b). Tiếp tục sự phân tích này, chúng ta khẳng định rằng trong mọi trường hợp đường gấp khúc H1 H2 H3 . . . và H1 Hl Hl−1 gặp nhau tại điểm Hk , tương ứng với cạnh nằm ngang A’B’ đi qua mút dưới D của đoạn thẳng đứng CD, đồng thời đường gấp khúc H1 H2 H3 . . . Hk và H1 Hl Hl−1 . . . Hk sẽ tương ứng với một dãy các hình vuông kề về bên trái hoặc bên phải, với đoạn thẳng đứng CD. Như vậy, ta kết luận rằng, mỗi diện của đồ thị tương ứng với một đoạn thẳng đứng nào đó, trong số các đoạn thẳng sinh ra phân hoạch một hình chữ nhật thành các hình vuông. Ngược lại, cũng rõ ràng là mỗi đoạn thẳng đứng CD (khác với các cạnh bên của hình chữ nhật được phân hoạch) tương ứng với một diện xác định của đồ thị giới hạn bởi các cạnh biểu diễn dãy các hình vuông kề về bên trái hoặc bên phải với cạnh CD. Tiếp theo ta sẽ luôn vẽ đồ thị sao cho từ hai điểm H và H’ tương ứng với các cạnh nằm ngang AB và A’B’, điểm nằm cao hơn tương ứng với đoạn nằm cao hơn; ngoài ra, trên các cạnh của đồ thị ta quy ước vẽ các mũi tên chỉ hướng từ trên xuống dưới. Như vậy, ta sẽ luôn xem đồ thị được xét là định hướng. Tiếp theo, bên cạnh mỗi cạnh của đồ thị sẽ đặt các số bằng độ dài cạnh của hình vuông tương ứng với cạnh này. Ví dụ,
12 trên hình 1.13 là đồ thị ở hình 1.9) khôi phục lại, tương ứng với phân hoạch hình chữ nhật thành các hình vuông biểu diễn ở hình 1.8), tuy nhiên, bây giờ đồ thị đã được định hướng, các cạnh của nó đã gắn trọng số. Hình 1.13: Dễ dàng thiết lập các liên hệ liên kết các cạnh của các đồ thị khả dĩ tương ứng với các phân hoạch một hình chữ nhật thành các hình vuông. Trước hết, rõ ràng rằng các cạnh đi tới một đỉnh xác định H tương ứng với các hình vuông kề về phía trên với đoạn thẳng nằm ngang AB biểu diễn bởi điểm H; các cạnh đi ra từ H tương ứng với các hình vuông kề với đoạn AB từ phía dưới. [Như vậy, trên hình 1.13 các đoạn đi tới H3 là H1 H3 , H2 H3 tương ứng với các hình vuông với cạnh 18 và 4 kề từ phía trên với đoạn A3 B3 , các cạnh đi ra từ H3 là các cạnh H3 H5 , H3 H6 tương ứng với các hình vuông có cạnh là 7 và 15 kề từ phía dưới với đoạn A3 B3 - xem hình 1.8]. Bởi vì tổng độ dài các cạnh của các hình vuông kề với một đoạn nằm ngang nào đó từ phía trên bằng tổng độ dài các cạnh của hình vuông kề với đoạn này từ phía dưới thì đối với mỗi đỉnh của đồ thị, tổng trọng số của các cạnh đi tới đỉnh này bằng tổng trọng số các cạnh đi ra từ nó. Hơn nữa, nếu Hi1 , Hi2 , . . . , Hil là một diện nào đó của đồ thị và Hi1 , Hik (k ≤ l) là các đỉnh cao nhất và thấp nhất của diện này thì các đường gấp khúc Hi1 , Hi2 , . . . , Hik và Hi1 , Hil Hil−1 , . . . , Hik tương ứng với dãy các hình vuông kề từ phía trái và phía phải với cùng một đoạn thẳng đứng.
13 Nhưng rõ ràng rằng tổng độ dài các cạnh của các hình vuông kề về bên trái với một đoạn thẳng đứng nào đó sẽ bằng tổng độ dài các cạnh của hình vuông kề với cạnh đó về phía phải; bởi vậy, đối với mỗi diện của đồ thị tổng trọng số của tất cả các cạnh lập thành đường gấp khúc Hi1 , Hi2 , . . . , Hil bằng tổng trọng số tất cả các cạnh lập thành đường gấp khúc Hi1 , Hil Hil−1 , . . . , Hik , trong đó H1 , H2 , . . . , Hik , . . . , Hil là các đỉnh của diện đã cho, đồng thời Hil , Hik tương ứng là các đỉnh cao nhất và thấp nhất của diện này (hình 1.14b). (Chẳng hạn, ở đồ thị biểu diễn trên hình 1.13 các đỉnh cao nhất và thấp nhất của diện H2 H3 H5 H4 là các đỉnh H2 , H5 , đồng thời tổng các trọng số của các đoạn lập thành các đường gấp khúc này là 10+1 và 4+7). Các điều kiện liên kết trọng số của các cạnh của đồ thị, có thể phát biểu theo một cách khác. Ta sẽ gán cho cạnh H’H với hướng đi ngược với chiều mũi tên (tức là hướng từ H’ tới H, trong đó H’ nằm dưới điểm H) trọng lượng âm −p, bằng với trọng lượng cũng của cạnh đó (tức là cạnh HH’ với hướng “tự nhiên”) về trị tuyết đối nhưng với dấu ngược lại. Khi đó, điều kiện đưa ra ở trên có thể phát biểu dưới dạng sau: Đối với mỗi đỉnh H của đồ thị, tổng trọng số của các cạnh xuất phát từ H (không phân biệt là đi tới H hoặc đi ra từ H) bằng 0; đối với mỗi diện Hi1 , Hi2 , ..., Hil tổng trọng số của các cạnh giới hạn diện này bằng 0 (ta sẽ xem hướng của các cạnh là hướng từ Hi1 tới Hi2 , từ Hi2 tới Hi3 ,...v.v...). Quy tắc chỉ ra ở trên rất gần với cái gọi là định luật Kirchhoff cho phép tính cường độ dòng điện đi qua phần này hoặc phần khác của một mạch điện rẽ nhánh. Trong trường hợp phần được xét của mạch không có nguồn, tổng cường độ dòng điện đi ra khỏi một đỉnh H nào đó của mạch rẽ nhánh bằng tổng cường độ các dòng đi tới đỉnh này (hình 1.15a). Mặt khác, nếu điện trở của tất cả các dây dẫn riêng biệt lập thành mạch phức tạp là như nhau thì đối với hai đường bất kỳ HH1 H2 ...Hi H 0 , HH10 H20 ...Hj0 H 0 nối hai đỉnh nào đó H, H’ của mạng, tổng cường độ dòng điện đi qua các đoạn dây dẫn HH1 , H1 H2 , ..., Hi−1 Hi , Hi H 0 bằng tổng cường độ dòng điện đi qua các đoạn dây dẫn HH10 , H10 H20 , ..., Hj−1 Hj0 , Hj0 H 0 (hình 1.15 b); nếu điện trở của các đoạn dây bằng 1, thì trong cả hai trường hợp tổng cường
14 độ dòng điện bằng hiệu điện thế tại các điểm H và H’). Hình 1.14: Hình 1.15: Như vậy, rõ ràng với định luật Kirchhoff, trùng khớp với các quy tắc liên kết các trọng số của đồ thị tương ứng với phân hoạch một hình chữ nhật (xem hình 1.14 và 1.15). Bởi vì, các quy tắc Kirchhoff là các mối liên hệ duy nhất liên kết các dòng điện tại các phần riêng biệt của một mạch điện rẽ nhánh, mỗi phân hoạch hình chữ nhật thành các hình vuông (thậm chí không bắt buộc phải khác nhau từng đôi) tương ứng với một mạch điện xác định. Ví dụ, trên hình 1.16 biểu diễn mạch điện tương ứng với phân hoạch hình chữ nhật thành 9 hình vuông, được biểu diễn trên hình 1.2 hay hình 1.8 (xem đồ thị biểu diễn trên hình 1.13). Trên hình 1.18 biểu diễn phân hoạch hình chữ nhật thành 10 hình vuông (xem hình
15 1.17) và mạch điện tương ứng với nó. Các ví dụ tương tự được đưa ra trên hình 1.19 và 1.20, trong đó các hình vuông của phân hoạch không phải đôi một khác nhau. Mối liên hệ chặt chẽ giữa bài toán về sự phân hoạch hình chữ nhật thành các hình vuông và các mạch điện cho phép sử dụng các phương pháp tính toán các mạch điện phức tạp đã được biết rõ để tìm các cách phân hoạch mới một hình chữ nhật thành các hình vuông. Hình 1.16: Hình 1.17:
16 Hình 1.18: Hình 1.19: Hình 1.20: Mạch điện tương ứng với một phân hoạch đã cho của một hình chữ nhật thành các hình vuông có thể mô tả như sau. Tưởng tượng một khung dây chữ nhật có dòng điện đi qua được phân thành các hình vuông bởi một
17 cách nào đó. Ta đồng nhất các điện cực với các đáy nằm ngang của khung dây sao cho dòng đi qua khung dây là không đổi. Khi đó các đường dòng có thể xem là thẳng đứng và các đường đẳng thế là các đường nằm ngang. Tổng cường độ dòng điện trong mạch có thể xem bằng độ dài của một cạnh nằm ngang của khung dây, còn hiệu điện thế giữa đáy trên và đáy dưới bằng độ dài của một cạnh thẳng đứng (như vậy, trong trường hợp phân hoạch một hình vuông thành các hình vuông nhỏ hơn cần phải xem cường độ dòng điện bằng hiệu điện thế). Chúng ta còn xem rằng các hình vuông riêng biệt tạo thành khung dây là tách rời khỏi nhau bởi các nhát rạch dọc theo các cạnh thẳng đứng của phân hoạch; dọc theo các đường nằm ngang chia cắt khung dây thành các phần chúng ta liên kết các hình vuông riêng biệt bởi các dây dẫn có độ dẫn điện cực lớn (thực tế là vô hạn) (hình 1.21); từ quan điểm các tính chất điện của lưới, điều kiện cuối cùng có nghĩa là đoạn nằm ngang được đồng nhất với một điểm). Khi đó tất cả các hình vuông mà khung dây được phân ra sẽ đóng vai trò các dây dẫn có điện trở giống nhau (bởi vì dọc theo các dây dẫn như vậy, tỷ U số giữa hiệu điện thế và cường độ dòng điện bằng đơn vị), và chúng ta I đi đến mạch điện mô tả ở trên tương ứng với phân hoạch của ta. Hình 1.21: Bây giờ ta quay lại với các đồ thị tương ứng với các phân hoạch hình chữ nhật thành các hình vuông. Mỗi đồ thị như vậy lập thành một “bộ khung” của mạch điện tương ứng (được hoàn toàn xác định bởi một đồ thị định hướng với các trọng số đã cho của các cạnh). Trong đoạn này