Luận văn Thạc sĩ Toán học: Bao nội xạ của môđun - Những hình ảnh cụ thể của nó

Chia sẻ: Lavie Lavie | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:48

Thêm vào BST

Báo xấu

73
lượt xem 12
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Bao nội xạ của môđun - Những hình ảnh cụ thể của nó tập trung tìm hiểu về mở rộng cốt yếu và bao nội xạ; những ví dụ cụ thể về bao nội xạ của Môđun; tính nội xạ trên vành Noether. Mời các bạn tham khảo luận văn để nắm bắt nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Bao nội xạ của môđun - Những hình ảnh cụ thể của nó

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Đoàn Văn Tuấn Khanh BAO NỘI XẠ CỦA MÔĐUN - NHỮNG HÌNH ẢNH CỤ THỂ CỦA NÓ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2014
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Đoàn Văn Tuấn Khanh BAO NỘI XẠ CỦA MÔĐUN - NHỮNG HÌNH ẢNH CỤ THỂ CỦA NÓ Chuyên ngành: Đại số và lí thuyết số Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS. TS. BÙI TƯỜNG TRÍ Thành phố Hồ Chí Minh – 2014
LỜI CẢM ƠN Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm thành phố Hồ Chí Minh dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Bùi Tường Trí. Nhân dịp này tôi xin bài tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy, người đã tận tình chu đáo và động viên tôi rất nhiều trong suốt quá trình học tập cũng như quá trình hoàn thành luận văn. Tôi xin cảm ơn tất cả các Thầy Cô, các cán bộ trong khoa Toán – Tin của trường Đại học sư phạm thành phố Hồ Chí Minh, đặc biệt là các Thầy trong tổ Đại số đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập. Xin cảm ơn các bạn học viên nghành toán đã động viên giúp đỡ tôi và có nhiều ý kiến đóng góp trong quá trình hoàn thành luận văn. Do trình độ và thời gian có hạn nên luận văn không tránh khỏi những thiếu sót. Tôi rất mong nhận được sự chỉ bảo và góp ý của các Thầy Cô và các Bạn. Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 9 năm 2014 Tác giả
LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn do chính tôi làm dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Bùi Tường Trí. Tôi không sao chép luận văn của người khác. Nếu lời cam đoan của tôi không đúng sự thật thì tôi sẽ bị xử lý theo đúng pháp luật. Người viết cam đoan Đoàn Văn Tuấn Khanh
MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cảm ơn Lời cam đoan MỞ ĐẦU .................................................................................................................... 1 Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ...................................................................... 2 1.1. Môđun – Môđun con – Môđun thương ............................................................ 2 1.2. Đồng cấu môđun ............................................................................................... 7 1.3. Tích trực tiếp – Tổng trực tiếp ........................................................................ 11 1.4. Tích Tenxơ ...................................................................................................... 15 1.5. Môđun cốt yếu - Đối cốt yếu .......................................................................... 17 1.6. Môđun nội xạ .................................................................................................. 18 1.7. Môđun Noether – vành Noether ..................................................................... 24 1.8. Giới hạn trực tiếp ............................................................................................ 25 Chương 2. BAO NỘI XẠ CỦA MÔĐUN NHỮNG HÌNH ẢNH CỤ THỂ CỦA NÓ ............................................................................................... 27 2.1. Mở rộng cốt yếu và bao nội xạ ....................................................................... 27 2.2. Những ví dụ cụ thể về bao nội xạ của Môđun ................................................ 30 2.3. Tính nội xạ trên vành Noether ........................................................................ 37 KẾT LUẬN .............................................................................................................. 41 TÀI LIỆU THAM KHẢO ...................................................................................... 42
BẢNG KÍ HIỆU VIẾT TẮT Q: Nhóm cộng các số hữu tỉ Z : Vành các số nguyên ⊕ Ai : Tổng trực tiếp ngoài các môđun Ai , i ∈ I I ⊕ f i : Tổng trực tiếp của họ các đồng cấu ( fi , i ∈ I ) I ∏f I i : Tích trực tiếp của họ các đồng cấu ( fi , i ∈ I ) x ⊗ y : Tích tenxơ của hai phần tử x và y. M ⊗N : Tích tenxơ của hai môđun M và N. E(M): Bao nội xạ của môđun M N⊂M : N là môđun con của M N ⊆ e M : N là môđun cốt yếu trong M hay M là mở rộng cốt yếu của N. N ⊆ s M : N là môđun đối cốt yếu trong M hay N là môđun con bé trong M. MR : Phạm trù các R môđun phải
1 MỞ ĐẦU Trong lý thuyết vành và môđun khái niệm nội xạ và xạ ảnh được xem là hai trong những khái niệm cơ bản nhất. Khái niệm môđun nội xạ được đưa ra bởi R.Bayer năm 1940 và sau đó là một loạt khái niệm liên quan được đưa ra như là khái niệm bao nội xạ, giải nội xạ, chiều nội xạ,…Chúng có nhiều ứng dụng đối với nghành Đại số nói chung và nghành Đại số giao hoán nói riêng. Trên vành giao hoán Noether, mỗi môđun nội xạ được phân tích một cách duy nhất thành tổng trực tiếp của các môđun không phân tích được, và vì vậy chúng ta biết rõ hơn về cúc trúc của chúng. Bao nội xạ là mở rộng cốt yếu cực đại và cũng là mở rộng nội xạ tối tiểu. Lớp môđun nội xạ là lớp môđun quan trọng trong Đại số hiện đại. Hiện nay người ta đã mở rộng các lớp môđun đó và đã thu được nhiều kết quả quan trọng. Trong phạm vi luận văn này tôi đi sâu nghiên cứu về lớp môđun nội xạ với đề tài “Bao nội xạ của môđun - những hình ảnh cụ thể của nó”. Bố cục luận văn chia làm hai chương: ♦ Chương 1. Kiến thức chuẩn bị Trong chương này tôi trình bày các khái niệm, định nghĩa cơ bản của lý thuyết vành có liên quan đến nội dung của đề tài. Cụ thể tôi sẽ trình bày tóm tắt các khái niệm, kí hiệu và tính chất của môđun và môđun nội xạ. ♦ Chương 2. Bao nội xạ của môđun - những hình ảnh cụ thể của nó. Trong chương này tôi đề cập đến ba nội dung chính. Nội dung thứ nhất trình bày chi tiết và hệ thống các khái niệm, chứng minh các tính chất về mở rộng cốt yếu và bao nội xạ của môđun. Nội dung thứ hai tôi sẽ nêu ra một số ví dụ cụ thể về bao nội xạ của môđun để qua đó ta thấy rõ được hình ảnh cụ thể của bao nội xạ. Nội dung thứ ba tôi sẽ đi nghiên cứu về tính nội xạ trên vành Noether thông qua định lý Bass Papp và các hệ quả của nó.
2 Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Môđun – Môđun con – Môđun thương 1.1.1. Định nghĩa Giả sử R là vành. Một R môđun phải M là nhóm cộng aben cùng với ánh M ×R → M xạ được gọi là phép nhân vô hướng nếu thỏa các hệ thức sau: (m, r )  mr (mr )r ' = m(rr ') (m + m ')r =mr + m ' r với mọi m, m ' ∈ M và mọi r , r ' ∈ R . m(r + r ') = mr + mr ' m.1 = m Tương tự, một R môđun trái là một nhóm aben M cùng với phép nhân vô hướng rm (r ∈ R, m ∈ M ) thỏa r (r ' m) = (rr ')m r (m + m ') =rm + rm ' với mọi m, m ' ∈ M và mọi r , r ' ∈ R . (r + r ')m =rm + r ' m 1.m = m Nếu R là vành giao hoán thì các khái niệm R môđun phải và R môđun trái trùng nhau và được gọi là R môđun. 1.1.2. Ví dụ Phép nhân bên phải trên vành R là phép nhân vô hướng của R lên nhóm aben R và thỏa mãn các tiên đề của môđun. Bởi vậy R là R môđun phải. Tương tự R cũng là R môđun trái. Do đó R là R môđun. Mỗi ideal phải của R là R môđun phải, mỗi ideal trái của R là R môđun trái. Giả sử R=Z là vành các số nguyên. Mỗi nhóm aben A có cấu trúc như Z môđun. Có thể nói khái niệm môđun là mở rộng của khái niệm nhóm aben và không gian vectơ.
3 1.1.3. Định nghĩa Giả sử M là R môđun phải. Tập con A của M được gọi là môđun con của M nếu A là môđun trên R với phép cộng và phép nhân vô hướng của M hạn chế trên A. 1.1.4. Bổ đề Giả sử M là R môđun phải. Nếu A là tập con khác rỗng của M thì các điều sau tương đương (a) A là môđun con của M (b) A là nhóm con cộng của M và với mọi a ∈ A, r ∈ R ta có ar ∈ A (c) Với mọi a, b ∈ A và r , s ∈ R ta có ar + bs ∈ A 1.1.5. Ví dụ (a) Mỗi môđun M đều có các môđun con tầm thường là 0 và M. Môđun con A của M được gọi là thực sự nếu A ≠ 0 và A ≠ M . (b) Giả sử M là R môđun tùy ý và m0 ∈ M . Khi đó tập con mo R {m0 r , r ∈ R} là môđun con của M. Nó được gọi là môđun con xiclic sinh = bởi phần tử m0 . (c) Giả sử m0 là phần tử của R môđun M, I là ideal phải của vành R. Tập hợp các phần tử m0α trong đó α chạy khắp I là một môđun con của M. Kí hiệu m0 I . (d) Giả sử A và B là hai môđun con của M thì A ∩ B cũng là môđun con của M và A + B = {a + b / a ∈ A, b ∈ B} cũng là môđun con của M. 1.1.6. Mệnh đề Giao của một họ bất kì những môđun con của R môđun M là một môđun con của M. Ví dụ : 1) 2Z ∩ 3Z = 6Z 2)  pZ = 0 với P là tập tất cả các số nguyên tố. p∈P
4 1.1.7. Định nghĩa Giả sử X là một tập con của R môđun M. Môđun con bé nhất A chứa X gọi là môđun con sinh bởi X và X là một tập sinh hay hệ sinh của A. Trong trường hợp A=M ta nói X là hệ sinh của M và M được sinh bởi X. Nếu M có hệ sinh hữu hạn ta nói rằng M là R môđun hữu hạn sinh. Nếu môđun con sinh bởi một phần tử thì ta gọi môđun đó là môđun con xiclic. 1.1.8. Mệnh đề Giả sử X là một tập con của R môđun M. Các mệnh đề sau tương đương: 1) A là môđun con sinh bởi tập X. A {∑ xrx / x ∈ X , rx ∈ R} trong đó rx bằng 0 hầu hết trừ một số hữu hạn. 2)= Ví dụ : Z môđun Q các số hữu tỉ không có hệ sinh hữu hạn. Thật vậy: 1 Giả sử X = {a1a 2 ,..., an } là hệ sinh hữu hạn của Q. Khi đó a1 có thể biểu 2 diễn dưới dạng tổng hữu hạn 1 a1 =x1a1 +∑ ai xi , ai ∈ Z . Suy ra a1 =2x1a1 +∑ 2ai xi , ai ∈ Z 2 i ≠1 i ≠1 Từ đó ma1 = ∑ 2ai xi , ai ∈ Z với m = 1 − 2 x1 i ≠1 1 Giả sử a1 =y1a1 +∑ ai yi , yi ∈ Z m i ≠1 Khi đó a1 =myi a1 +∑ myi ai = ∑ 2 x a y + ∑ my a = ∑ r a i i i i i i i i ≠1 i ≠1 i ≠1 i ≠1 Điều này chứng tỏ X \{a1} cũng là hệ sinh của Q. Tiếp tục quá trình này sau n bước ta được tập rỗng là hệ sinh của Q và do đó Q = {0} !.
5 1.1.9. Định nghĩa Giả sử ( Ai / i ∈ I ) là một họ tùy ý những môđun con của R môđun M. Khi đó môđun con sinh bởi tập S =  Ai được gọi là tổng của các môđun con I Ai và được kí hiệu bởi ∑A I i 1.1.10. Mệnh đề Cho ( Ai / i ∈ I ) là một họ tùy ý những môđun con của R môđun M. Khi đó : ∑ = I A {∑ a , a ∈ A , i ∈ J ⊂ I , J i J i i i hữu hạn}. 1.1.11. Định nghĩa Môđun con A của M được gọi là tối đại nếu A ≠ M và nó không chứa trong một môđun con thật sự nào của M. 1.1.12. Định lý Trong những môđun hữu hạn sinh mỗi môđun con thật sự được chứa trong một môđun con tối đại. 1.1.13. Bổ đề Zorn Cho A là tập sắp thứ tự. Nếu mỗi tập con sắp thứ tự hoàn toàn trong A có cận trên trong A thì A có phần tử tối đại. 1.1.14. Hệ quả Mỗi môđun hữu hạn sinh M ≠ {0} đều chứa môđun con tối đại. 1.1.15. Luật môđula Nếu B,C,D là những môđun con của R môđun M và C ⊂ B thì (D + C) ∩ B = D ∩ (B + C) 1.1.16. Mệnh đề và định nghĩa Cho A là môđun con của R môđun M. Khi đó tương ứng ( M × A) / R → M / A là một ánh xạ. Hơn nữa, nhóm thương M/A là R môđun (m + A, r )  mr + A
6 với phép nhân vô hướng (m+A)r = mr+A và được gọi là môđun thương. 1.1.17. Định nghĩa môđun đơn (môđun bất khả qui) R – môđun M được gọi là môđun đơn (hay môđun bất khả qui) nếu M chỉ có hai môđun con tầm thường là (0) và M. 1.1.18. Định nghĩa môđun nửa đơn R – môđun M được gọi là môđun nửa đơn (hay môđun hoàn toàn khả qui) nếu M phân tích được thành tổng trực tiếp của các môđun đơn 1.1.19. Định lí. Đối với mỗi R – môđun M, các phát biểu sau đây là tương đương (i) M là nửa đơn (ii) Mọi môđun con của M đều là hạng tử trực tiếp của M (iii) M là tổng của một họ môđun con đơn. 1.1.20. Bổ đề Cho M là R – môđun phải (tương ứng, môđun trái) và là môđun đơn. Khi đó R có iđêan phải (iđêan trái) đẳng cấu với M khi và chỉ khi =M* Hom R ( M,R R ) ≠ 0 1.1.21. Định nghĩa vành đơn, vành nửa đơn Vành R ≠ 0 được gọi là vành đơn (nửa đơn) nếu R là môđun đơn (nửa đơn) trên chính nó. 1.1.22. Định lí. Đối với mỗi vành R, các phát biểu sau là tương đương: (i) R là R – môđun phải nửa đơn (ii) R là R – môđun trái nửa đơn (iii) Mọi R – môđun phải M là môđun nửa đơn (iv) Mọi R – môđun trái M là môđun nửa đơn 1.1.23. Vành nguyên – vành chia . Vành nguyên:
7 Vành R được gọi là vành nguyên nếu R ≠ 0 và ab = 0 ⇒ a = 0 hoặc b=0 Vành nguyên giao hoán gọi là miền nguyên. Vành chia Vành R được gọi là vành chia nếu R ≠ 0 và mọi phần tử khác không trong R đều khả nghịch Vành chia giao hoán là trường. 1.2. Đồng cấu môđun 1.2.1. Định nghĩa Cho hai môđun MR và NR. Một đồng cấu R môđun hay một ánh xạ tuyến tính f : M → N là một ánh xạ f thỏa các điều kiện : f ( x + y )= f ( x) + f ( y ) f ( xr ) = f ( x)r Với mọi x, y ∈ M , r ∈ R . Nếu N=M thì f được gọi là tự đồng cấu của M. Một đồng cấu R môđun còn được gọi đơn giản là đồng cấu nếu không cần chỉ rõ vành cơ sở. Dễ dàng thấy rằng f : M → N là đồng cấu môđun khi và chỉ khi f ( xr + ys )= f ( x)r + f ( y ) s Với mọi x, y ∈ M , r , s ∈ R . Tập tất cả các đồng cấu từ MR đến NR kí hiệu bởi HomR ( M , N ) hay Hom( M , N ) . Tập hợp này là nhóm aben với phép cộng các đồng cấu ( f + g )( x) = f ( x) + g ( x) Với f , g ∈ Hom( M , N ) và x ∈ R . Nếu R là vành giao hoán thì nhóm cộng này có cấu trúc R-môđun với phép nhân vô hướng f (rx) = rf ( x) . Ta cũng định nghĩa đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu môđun tương tự đồng cấu nhóm. Cụ thể f : M R → N R được gọi là đơn cấu (toàn cấu, đẳng cấu) nếu f
8 là đơn ánh (toàn ánh, song ánh). Đối với đồng cấu môđun f :M → N ta kí hiệu imf = f ( M ) và ker f = {x ∈ M / f ( x) = f −1 (0) và gọi imf là ảnh của f và ker f là hạt nhân 0} = của f. 1.2.2. Mệnh đề Cho đồng cấu môđun f : M → N và U,V tương ứng là môđun con của M,N. Khi đó : 1) f (U ) là môđun con của N {x ∈ M / f ( x) ∈ V } là môđun con của M 2) f −1 (V ) = Đặc biệt imf và kerf là những môđun con tương ứng của N,M. 1.2.3. Mệnh đề Giả sử f : X → Y là một đồng cấu R môđun. Khi đó các điều sau tương đương: 1) f là đơn cấu 2) f giản ước được bên trái nghĩa là đẳng thức f ϕ1 = f ϕ2 ⇒ ϕ1 = ϕ2 trong đó ϕ1 , ϕ2 là những đồng cấu từ R môđun tùy ý M tới X. 1.2.4. Mệnh đề Giả sử f : X → Y là một đồng cấu R môđun. Khi đó các điều sau tương đương: 1) f là toàn cấu 2) f giản ước được bên phải nghĩa là đẳng thức ϕ1 f = ϕ2 f ⇒ ϕ1 = ϕ2 trong đó ϕ1 , ϕ2 là những đồng cấu từ Y đến một R môđun bất kì N. 1.2.5. Bổ đề Giả sử ϕ : A → B là một đồng cấu R môđun và U,V là những môđun con của A,B. Khi đó : 1) ϕ là đơn cấu khi và chỉ khi ker ϕ = 0
9 2) ϕ −1 (ϕ (U ))= U + ker ϕ 3) ϕ −1 (ϕ (V ))= V ∩ imϕ 1.2.6. Định lý Mỗi đồng cấu R môđun ϕ : A → B có sự phân tích A ϕ B ψ ϕ' A / ker ϕ Trong đó ψ : A → A / ker ϕ là toàn cấu tự nhiên, còn ϕ ' là đơn cấu. Hơn nữa ϕ ' là toàn cấu khi và chỉ khi ϕ là toàn cấu. 1.2.7. Định lý ( định lý đẳng cấu thứ nhất) Nếu B,C là hai môđun con của A thì ( B + C ) / C ≅ B / ( B ∩ C ) 1.2.8. Định lý (định lý đẳng cấu thứ hai) Nếu C ⊂ B ⊂ A thì A / B ≅ ( A / C ) / ( B / C ) 1.2.9. Định lý Giả sử ϕ : A → B là đồng cấu môđun và α : A → C là toàn cấu, ngoài ra ker α ⊂ ker ϕ . Khi đó tồn tại đồng cấu λ : C → B sao cho: 1) ϕ = λα 2) imλ = imϕ 3) λ đơn cấu khi và chỉ khi ker α = ker ϕ 1.2.10. Định nghĩa Giả sử ϕ : A → B là đồng cấu R môđun. Khi đó ta đặt co ker ϕ = B / imϕ là đối hạt nhân của ϕ coimϕ = A / ker ϕ là đối ảnh của ϕ Như vậy coimϕ ≅ imϕ
10 1.2.11. Định lý (định lý về tính phổ dụng của hạt nhân và đối hạt nhân) Trong biểu đồng các đồng cấu môđun i ϕ Kerϕ A B ψ D Nếu ϕψ = 0 thì tồn tại duy nhất đồng cấu ψ ' : D → ker ϕ sao cho ψ = iψ ' với i là phép nhúng chính tắc. Tương tự Trong biểu đồ các đồng cấu môđun ϕ p A B Cokerϕ ρ C Nếu pϕ = 0 thì tồn tại đồng cấu duy nhất p ' : co ker ϕ → C sao cho p = p ' p với p là phép chiếu chính tắc. 1.2.12. Định nghĩa (dãy khớp) Một dãy hữu hạn hoặc vô hạn các đồng cấu R môđun α β ...  → A  → B  → C  → ... Được gọi là khớp tại B nếu imα = ker β . Dãy được gọi là khớp nếu nó khớp tại mọi môđun khác hai đầu của dãy. Dãy khớp dạng : 0  α → A  β → B  → 0 được gọi là dãy khớp → C  ngắn. 1.2.13. Mệnh đề Cho đồng cấu R môđun α : A → B . Khi đó: 1) Dãy 0  α → A  → B là khớp nếu α đơn cấu α 2) Dãy A  → 0 là khớp nếu α toàn cấu → B 
11 3) Dãy 0  α → A  → 0 là khớp nếu α đẳng cấu → B  Một hệ quả trực tiếp của mệnh đề trên là trong dãy khớp ngắn α là đơn cấu còn β là toàn cấu. 1.3. Tích trực tiếp – Tổng trực tiếp 1.3.1. Định nghĩa (tích trực tiếp) Cho một họ những R môđun ( Ai / i ∈ I ). Khi đó tích Đề Các ∏ A= i∈I i {(ai ) / i ∈ I , ai ∈ Ai } cùng với phép cộng và phép nhân vô hướng theo các thành phần: (ai ) + (bi ) =(ai + bi ) (ai )r = (ai r ) là một R môđun, gọi là tích trực tiếp của họ ( Ai / i ∈ I ). Trường hợp Ai = A với mọi i ∈ I ta kí hiệu ∏A = A I i I Phép chiếu p j : ∏ Ai → Aj là một R đồng cấu ∀j ∈ I . I 1.3.2. Định lý ( Tính chất phổ dụng ) Giả sử B là R môđun cùng với các đồng cấu B j : B → Aj . Khi đó tồn tại duy nhất đồng cấu β : B → ∏ Ai sao cho biểu đồ sau giao hoán : I ∏ A → A ∀j ∈ I pj i j I β βj B 1.3.3. Mệnh đề Giả sử ( fi : Ai → Bi / i ∈ I ) là một họ đồng cấu môđun. Khi đó tương ứng f : ∏ Ai → ∏ Bi cho bởi f ((ai )) = ( fi (ai )) là một đồng cấu, được kí hiệu I I bởi ∏f I i và được gọi là tích trực tiếp của họ các đồng cấu ( fi / i ∈ I ) .
12 1.3.4. Định nghĩa (Tổng trực tiếp) Cho một họ những R môđun ( Ai / i ∈ I ). Một môđun con của ∏A I i gồm tất cả những phần tử (ai ) mà ai = 0 hầu hết, trừ một số hữu hạn chỉ số i ∈ I , được gọi là tổng trực tiếp ( hay tổng trực tiếp ngoài của họ ( Ai / i ∈ I ) và kí hiệu ⊕ Ai I Trong trường hợp Ai = A với mọi i ∈ I ta kí hiệu ⊕ Ai = A( I ) . I Với mỗi j ∈ I tương ứng µ j : Aj → ⊕ Ai I a j , i = j a j → (ai ) , ai =  0, i ≠ j là một đơn cấu. 1.3.5. Định lý (Tính chất phổ dụng) Giả sử B là R môđun cùng với các đồng cấu α j : Aj → B . Khi đó tồn tại duy nhất α : Ai → B sao cho biểu đồ sau giao hoán ⊕ Ai  → Aj ∀j ∈ I j p I α αj B 1.3.6. Mệnh đề Giả sử ( fi : Ai → Bi / i ∈ I ) là một họ đồng cấu môđun. Khi đó tương ứng f : ⊕ Ai → ⊕ Bi cho bởi f ((ai )) = ( f (ai )) là một đồng cấu kí hiệu ⊕ fi và I I được gọi là tổng trực tiếp của họ các đồng cấu ( fi / i ∈ I ) . 1.3.7. Định nghĩa Môđun AR được gọi là tổng trực tiếp trong của một họ các môđun con ( Ai / i ∈ I ) nếu các điều kiện sau thỏa: 1) A = ∑ Ai I 2) Aj ∩ ∑ A=j 0 ∀j ∈ I i≠ j
13 1.3.8. Bổ đề Môđun AR là tổng trực tiếp trong của họ các môđun con ( Ai / i ∈ I ) nều và chỉ nếu mỗi phần tử a ∈ A biểu diễn duy nhất dưới dạng : a = ai1 + ai2 + ... + ain , ai j ∈ Ai j , i j ∈ I 1.3.9. Hệ quả Giả sử A là tổng của những môđun con Ai, A = ∑ Ai . Khi đó A là tổng j trực tiếp trong nếu và chỉ nếu từ ai + ai + ... += ai 0, ai ∈ Ai , i j ∈ I suy ra 1 2 n j j ai j = 0,1 ≤ j ≤ n . 1.3.10. Hệ quả Môđun A là tổng trực tiếp trong của họ các môđun con ( Ai / i ∈ I ) nếu ⊕ Ai → A và chỉ nếu ánh xạ I là đẳng cấu. (ai )  ∑ ai 1.3.11. Định nghĩa Môđun con B của A được gọi là hạng tử trực tiếp trong A nếu có môđun con C của A sao cho A= B ⊕ C . Môđun con A ≠ 0 được gọi là không phân tích được nếu 0 và A là những hạng tử duy nhất trong A. Ví dụ : 1) Giả sử V = VK là không gian vectơ trên trường K và {ai / i ∈ I } là cơ sở của nó. Khi đó hiển nhiên V = ⊕ ai K I 2) Trong ZZ mọi môđun con đều có dạng mZ, m ∈ N . Với m ≠ 0, m ≠ 1 thì mZ không là hạng tử trực tiếp. Thật vậy nếu = Z mZ ⊕ nZ thì mn ∈ mZ ∩ nZ = 0 ⇒ n = 0 ⇒ mZ = Z ⇒ m = 1 (trái giả thiết). Vậy ZZ không phân tích được. 1.3.12. Định nghĩa Đơn cấu α : A → B của các R môđun được gọi là chẻ ra nếu Im α là
14 hạng tử trực tiếp trong B. Toàn cấu β : B → A được gọi là chẻ ra nếu Ker β là hạng tử trực tiếp trong B. 1.3.13. Mệnh đề 1) Đồng cấu α : A → B là đơn cấu chẻ ra khi và chỉ khi tồn tại đồng cấu β : B → A sao cho βα = id A ( ta nói α có nghịch đảo trái). Khi đó β Im α ⊕ Ker β . = 2) Đồng cấu β : B → C là toàn cấu chẻ ra khi và chỉ khi tồn tại đồng cấu γ : C → B sao cho βγ = idC ( ta nói β có nghịch đảo phải). Khi đó =β Ker β ⊕ Im γ . 1.3.14. Định nghĩa Dãy khớp ngắn 0  α → A  β → B  → 0 được gọi là chẻ ra nếu → C  Im α = Ker β là hạng tử trực tiếp của B. 1.3.15 Mệnh đề Đối với dãy khớp ngắn 0  α → A  β → B  → C  → 0 ta có các phát biểu sau tương đương: a) Dãy khớp ngắn trên là chẻ ra b) α là đơn cấu chẻ ra c) β là toàn cấu chẻ ra Khi đó B= Im α ⊕ Im γ ≅ A ⊕ C , trong đó γ : C → B là nghịch đảo phải của β . 1.3.16. Định lý Cho dãy khớp ngắn 0  α → A  β → B  → 0 . Khi đó các dãy sau → C  là khớp α β a) 0  → Hom( M , A)  → Hom( M , B)  * → Hom( M , C ) * β α b) 0  → Hom(C , M )  → Hom( B, M )  → Hom( A, M ) * * Trong đó M là R môđun tùy ý α* = Hom(id M , α ) , α * = Hom(α , id M ) (tương