Luận văn Thạc sĩ Toán học: Các định lý hội tụ - Thác triển đổi với ánh xạ chỉnh hình vào không gian phức Zalcman yếu

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:44

Thêm vào BST

Báo xấu

15
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Các tác giả đã đưa ra khái niệm về một lớp không gian phức mới gọi là không gian phức Zalcman, từ đó xây dựng khái niệm không gian phức Zalcman yếu và chỉ ra một số định lý hội tụ - thác triển kiểu Noguchi đối với những ánh xạ chỉnh hình vào không gian con phức Zalcman yếu của một không gian phức.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Các định lý hội tụ - Thác triển đổi với ánh xạ chỉnh hình vào không gian phức Zalcman yếu

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ————————————————— TRẦN THỊ HUỆ CÁC ĐỊNH LÝ HỘI TỤ - THÁC TRIỂN ĐỐI VỚI ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH VÀO KHÔNG GIAN PHỨC ZALCMAN YẾU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2017
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ————————————————— TRẦN THỊ HUỆ CÁC ĐỊNH LÝ HỘI TỤ - THÁC TRIỂN ĐỐI VỚI ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH VÀO KHÔNG GIAN PHỨC ZALCMAN YẾU Chuyên ngành: GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học TS. TRẦN HUỆ MINH Thái Nguyên - Năm 2017
Lời cam đoan Tôi xin cam đoan nội dung trong luận văn này là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của TS. Trần Huệ Minh. Tôi không sao chép từ bất kì một công trình nào khác. Tôi kế thừa và phát huy các thành quả khoa học của các nhà khoa học với sự biết ơn chân thành. Thái Nguyên, tháng 4 năm 2017 Người viết luận văn Trần Thị Huệ Xác nhận Xác nhận của Trưởng (phó) khoa chuyên môn của người hướng dẫn khoa học TS. Trần Huệ Minh i
Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới TS. Trần Huệ Minh, người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn, cho tôi những nhận xét quý báu để tôi có thể hoàn thành luận văn. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng Sau Đại học, các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên đã giúp đỡ và tạo điều kiện cho tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu khoa học. Nhân dịp này tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập. Thái Nguyên, tháng 4 năm 2017 Người viết luận văn Trần Thị Huệ ii
Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Mở đầu 1 1 Kiến thức chuẩn bị 3 1.1 Ánh xạ chỉnh hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Tô pô compact mở và compact hóa một điểm . . . . . . . . 4 1.2.1 Tô pô compact mở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.2 Compact hóa một điểm . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 Đa tạp phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3.2 Ánh xạ chỉnh hình giữa các đa tạp phức . . . . . . . 6 1.4 Không gian phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.5 Họ chuẩn tắc các ánh xạ chỉnh hình . . . . . . . . . . . . . 7 1.6 Phủ chỉnh hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.7 Giả khoảng cách Kobayashi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.8 Không gian phức hyperbolic . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 iii
1.8.1 Không gian phức hyperbolic . . . . . . . . . . . . . 9 1.8.2 Không gian phức hyperbolic đầy . . . . . . . . . . . 9 1.8.3 Không gian phức nhúng hyperbolic . . . . . . . . . . 10 1.9 Miền taut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.10 Hàm đa điều hòa dưới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2 Các định lý hội tụ - thác triển đối với ánh xạ chỉnh hình vào không gian phức Zalcman yếu 12 2.1 Không gian phức Zalcman . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.2 Tính taut của một miền không bị chặn trong một không gian phức với nhóm tự đẳng cấu không compact. . . . . . . . . . 22 2.3 Tính lồi đĩa yếu và các định lý hội tụ - thác triển đối với ánh xạ chỉnh hình vào không gian phức Zalcman yếu. . . . . . . 28 Kết luận 36 Tài liệu tham khảo 37 iv
Mở đầu Như chúng ta đã biết, bài toán thác triển ánh xạ chỉnh hình là một trong những bài toán quan trọng bậc nhất của giải tích phức nhiều biến, các định lý hội tụ - thác triển kiểu Noguchi có liên quan tới nhiều vấn đề trong giải tích phức hyperbolic và lý thuyết đa thế vị. Trong [11], các tác giả đã đưa ra khái niệm về một lớp không gian phức mới gọi là không gian phức Zalcman, từ đó xây dựng khái niệm không gian phức Zalcman yếu và chỉ ra một số định lý hội tụ - thác triển kiểu Noguchi đối với những ánh xạ chỉnh hình vào không gian con phức Zalcman yếu của một không gian phức. Với mong muốn tìm hiểu và nghiên cứu về không gian phức Zalcman và các định lý hội tụ - thác triển đối với ánh xạ chỉnh hình vào không gian phức Zalcman yếu, em đã chọn đề tài luận văn " Các định lý hội tụ - thác triển đối với ánh xạ chỉnh hình vào không gian phức Zalcman yếu". Luận văn ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo còn gồm hai chương nội dung. Chương một trình bày tổng quan một số kiến thức cơ bản về ánh xạ chỉnh hình, tôpô compact mở và compact hóa một điểm, đa tạp phức, không gian phức, họ chuẩn tắc các ánh xạ chỉnh hình, phủ chỉnh hình, giả khoảng cách Kobayashi, không gian phức hyperbolic, miền taut, hàm đa điều hòa dưới. Chương hai trình bày các định lý hội tụ - thác triển đối với ánh xạ chỉnh 1
hình vào không gian phức Zalcman yếu. Phần đầu của chương trình bày một vài lớp không gian Zalcman quan trọng và chỉ ra những tính chất cơ bản của không gian Zalcman. Phần thứ hai trình bày điều kiện đủ về tính taut của một miền trong một không gian phức với nhóm tự đẳng cấu không compact theo cách tiếp cận từ không gian phức Zalcman có điểm biên đọng quỹ đạo. Phần cuối của chương dành cho việc nghiên cứu mối quan hệ giữa tính hyperbolic Brody yếu, tính ∆∗ − thác triển, tính Zalcman yếu và tính lồi đĩa yếu của không gian phức. Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn khoa học của TS. Trần Huệ Minh. Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất tới cô giáo hướng dẫn, trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành được khóa học của mình. 2
Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Nội dung trình bày ở chương này chủ yếu được đưa vào từ các tài liệu [1], [4], [5]. 1.1 Ánh xạ chỉnh hình Giả sử X là một tập mở trong Cn và f : X → C là một hàm số. Hàm f được gọi là khả vi phức tại x0 ∈ X nếu tồn tại ánh xạ tuyến tính λ : Cn → C sao cho |f (x0 + h) − f (x0 ) − λ (h)| lim = 0, |h|→0 |h| n 2 1/2 trong đó h = (h1 , ..., hn ) ∈ Cn và |h| = P |hi | . i=1 Hàm f được gọi là chỉnh hình tại x0 ∈ X nếu f khả vi phức trong một lân cận nào đó của x0 và được gọi là chỉnh hình trên X nếu f chỉnh hình tại mọi điểm thuộc X . Một ánh xạ f : X → Cm có thể viết dưới dạng f = (f1 , ..., fm ), trong đó fi = πi ◦ f : X → C, i = 1, ..., m là các hàm tọa độ. Khi đó f được gọi là chỉnh hình trên X nếu fi chỉnh hình trên X với mọi i = 1, ..., m. Ánh xạ f : X → f (X) ⊂ Cn được gọi là song chỉnh hình nếu f là song ánh, chỉnh hình và f −1 cũng là ánh xạ chỉnh hình. 3
1.2 Tô pô compact mở và compact hóa một điểm 1.2.1 Tô pô compact mở Giả sử X , Y là các không gian tô pô. Gọi F là họ các ánh xạ X vào Y . + Với mỗi tập con K của không gian X và với mỗi tập con U của không gian Y , ta định nghĩa W (K, U ) = {f |f (K) ⊂ U } . Họ tất cả các tập W (K, U ), trong đó K là một tập con compact bất kỳ của X và U là một tập mở trong Y , là một tiền cơ sở của tô pô compact mở C trên F . Do đó họ tất cả các giao hữu hạn các tập hợp dạng W (K, U ), trong đó K và U là các tập hợp như trên, lập thành cơ sở của tô pô compact mở trên T F . Một phần tử tùy ý của cơ sở có dạng {W (Ki , Ui ) |i = 1, ..., n} trong đó mỗi Ki là tập con copmact của X và mỗi Ui là một tập con mở của Y . + Giả sử {fn } là một dãy trong F . Ta nói dãy {fn } hội tụ tới f ∈ F đều trên các tập con compact của X (hay hội tụ theo tô pô compact mở) nếu với mỗi tập con compact K của X và mỗi tập mở U của Y thỏa mãn f (K) ⊂ U , tồn tại n0 > 0 sao cho với mọi n ≥ n0 ta có fn (K) ⊂ U. 1.2.2 Compact hóa một điểm Giả sử X là không gian tô pô không compact. Cặp (Y, ϕ), trong đó Y là một không gian compact, ϕ : X → Y là một phép nhúng đồng phôi X vào Y sao cho ϕ (X) trù mật trong Y , gọi là một compact hóa của X . Ta sẽ xét compact hóa bởi một điểm của không gian không compact. Giả sử Y là một không gian tô pô không compact và ∞ là một điểm không 4
thuộc Y . Đặt Y + = Y ∪ {∞}. Ta trang bị cho Y + một tô pô τ như sau: - Nếu G là một tập hợp trong Y + không chứa ∞, tức là G ⊂ Y , thì G ∈ τ khi và chỉ khi G mở trong Y . - Nếu G là một tập hợp trong Y + chứa ∞, thì G ∈ τ khi và chỉ khi Y + \G là một tập hợp đóng và compact trong X . Ta có (Y + , τ ) là một không gian tô pô và Y là không gian con của không gian tô pô Y + . Nếu gọi i : Y → Y + , i (x) = x là phép nhúng đồng phôi Y vào Y + thì cặp (Y + , i) là một compact hóa của Y và gọi là compact hóa một điểm hay compact hóa Alexandrov của Y. 1.3 Đa tạp phức 1.3.1 Định nghĩa Giả sử X là một không gian tô pô Hausdorff. + Cặp (U, ϕ) được gọi là một bản đồ địa phương của X , trong đó U là tập mở trong X và ϕ : U → Cn là ánh xạ, nếu các điều kiện sau được thỏa mãn: (i) ϕ(U ) là tập mở trong Cn , (ii) ϕ : U → ϕ(U ) là một đồng phôi. + Họ A = {(Ui , ϕi )}i∈I các bản đồ địa phương của X được gọi là một tập bản đồ giải tích (atlats)của X nếu các điều kiện sau được thỏa mãn (i) {Ui }i∈I là một phủ mở của X . (ii) Với mọi Ui , Uj mà Ui ∩ Uj 6= ∅, ánh xạ ϕj ◦ ϕ−1 i : ϕi (Ui ∩ Uj ) → ϕj (Ui ∩ Uj ) 5
là ánh xạ chỉnh hình. Xét họ các atlats trên X . Hai atlats A1 , A2 được gọi là tương đương nếu hợp A1 ∪ A2 là một atlats. Đây là một mối quan hệ tương đương trên tập các atlats. Mỗi lớp tương đương xác định một cấu trúc khả vi phức trên X , và X cùng với cấu trúc khả vi phức trên nó được gọi là một đa tạp phức n chiều. Ví dụ 1.3.1. Giả sử D là miền trong Cn . Khi đó, D là một đa tạp phức n chiều với bản đồ địa phương {(D, IdD )} . 1.3.2 Ánh xạ chỉnh hình giữa các đa tạp phức Giả sử M, N là các đa tạp phức, ánh xạ liên tục f : M → N được gọi là chỉnh hình trên M nếu với mọi bản đồ địa phương (U, ϕ) của M và mọi bản đồ địa phương (V, ψ) của N sao cho f (U ) ⊂ V thì ánh xạ ψ ◦ f ◦ ϕ−1 : ϕ (U ) → ψ (V ) là ánh xạ chỉnh hình. Hay tương đương, với mọi x ∈ M, y ∈ N , tồn tại hai bản đồ địa phương (U, ϕ) và (V, ψ) tại x và y tương ứng sao cho ψ ◦ f ◦ ϕ−1 : ϕ (U ) → ψ (V ) là ánh xạ chỉnh hình. Giả sử f : M → N là song ánh giữa các đa tạp phức. Nếu f và f −1 là các ánh xạ chỉnh hình thì f gọi là ánh xạ song chỉnh hình giữa M và N. 6
1.4 Không gian phức Định nghĩa 1.4.1. Giả sử M là đa tạp phức. Một không gian phức đóng X là một tập con đóng của M mà về mặt địa phương được xác định bởi hữu hạn các phương trình giải tích. Tức là, với x0 ∈ X tồn tại lân cận mở V của x trong M và hữu hạn các hàm chỉnh hình ϕ1 , ..., ϕm trên V sao cho X ∩ V = {x ∈ V |ϕi (x) = 0, i = 1, ..., m} . Giả sử X là một không gian con phức trong đa tạp phức M. Hàm f : X → Y được gọi là chỉnh hình nếu với mỗi điểm x ∈ X tồn tại một lân cận U (x) ⊂ M và một hàm chỉnh hình fˆ trên U sao cho fˆ|U ∩X = f |U ∩X . Giả sử f : X → Y là ánh xạ giữa hai không gian phức X và Y , f được gọi là chỉnh hình nếu với mỗi hàm chỉnh hình g trên một tập con mở V của Y , hàm hợp g ◦ f là hàm chỉnh hình trên f −1 (V ) . Ký hiệu Hol (X, Y ) là tập các ánh xạ chỉnh hình từ X vào Y được trang bị tô pô compact mở. 1.5 Họ chuẩn tắc các ánh xạ chỉnh hình - Một họ F các ánh xạ chỉnh hình từ không gian phức X tới không gian phức Y được gọi là chuẩn tắc nếu F compact tương đối trong Hol(X, Y ) với tôpô compact mở. - Một dãy fj ∈ F được gọi là phân kỳ compact nếu với mỗi tập compact K ⊂ X và với mỗi tập compact L ⊂ Y tồn tại j0 = j (K, L) sao cho fj (K) ∩ L = ∅ với mọi j ≥ j0 . 7
- Một họ F được gọi là không phân kỳ compact nếu F không chứa dãy con nào phân kỳ compact. 1.6 Phủ chỉnh hình Ánh xạ chỉnh hình π : X 0 → X được gọi là phủ chỉnh hình nếu với mọi x ∈ X , có lân cận mở U chứa x mà π −1 (U ) là hợp rời rạc những tập mở Uσ của X 0 (tức là π −1 (U ) = ∪ Uα , Uα là các tập mở trong X 0 và Uα ∩ Uβ = ∅ α∈I nếu α, β ∈ I, α 6= β ) thỏa mãn π|Uα : Uα → U là song chỉnh hình. Khi đó X 0 được gọi là không gian phủ, X gọi là đáy của phủ và với mỗi x ∈ X, π −1 (x) gọi là thớ trên x của phủ π. 1.7 Giả khoảng cách Kobayashi Giả sử X là một không gian phức, x và y là hai điểm tùy ý của X . Hol (D, Y ) là tập tất cả các ánh xạ chỉnh hình từ D vào Y , được trang bị tô pô compact mở. Xét dãy các điểm p0 = x, p1 , ..., pk = y của X , dãy các điểm a1 , a2 , ..., ak của D và các dãy ánh xạ f1 , ..., fk trong Hol (D, Y ) thỏa mãn fi (0) = pi−1 , fi (ai ) = pi , ∀i = 1, ..., k. Tập hợp α = {p0 , ..., pk , a1 , ...ak , f1 , ..., fk } thỏa mãn các điều kiện trên được gọi là một dây chuyền chỉnh hình nối x và y trong X . Ta định nghĩa ( k ) X dX (x, y) = inf ρD (0, ai ), α ∈ Ωx,y , α i=1 8
trong đó Ωx,y là tập tất cả các dây chuyền chỉnh hình nối x và y trong X . Khi đó dX : X × X → R là một giả khoảng cách trên X và gọi là giả khoảng cách Kobayashi trên không gian phức X . Pk Tổng ρD (0, ai ) gọi là tổng Kobayashi của dây chuyền chỉnh hình α. i=1 1.8 Không gian phức hyperbolic 1.8.1 Không gian phức hyperbolic Không gian phức X được gọi là không gian hyperbolic (theo nghĩa Kobayashi) nếu giả khoảng cách Kobayashi dX là khoảng cách trên X , tức là dX (p, q) = 0 ⇔ p = q, ∀p, q ∈ X. Nhận xét 1.8.1. Từ định nghĩa và tính chất giảm khoảng cách qua các ánh xạ chỉnh hình ta có tính hyperbolic của không gian phức là một bất biến song chỉnh hình. 1.8.2 Không gian phức hyperbolic đầy - Giả sử X là không gian phức với khoảng cách d. Dãy {xn } ⊂ X được gọi là dãy cơ bản (hay dãy Côsi) đối với khoảng cách d nếu với mỗi ε > 0, tồn tại n0 ∈ N sao cho với mọi m, n > n0 ta có d (xn , xm ) < ε. - Không gian phức X được gọi là hyperbolic đầy nếu X là hyperbolic và đầy đối với khoảng cách Kobayashi dX , tức là mọi dãy cơ bản đối với khoảng cách dX đều hội tụ. 9
1.8.3 Không gian phức nhúng hyperbolic Giả sử X là không gian con phức của không gian phức Y , X được gọi là nhúng hyperbolic trong Y nếu với mọi x, y ∈ X, x 6= y luôn tồn tại các lân cận mở U của x và V của y trong Y sao cho dX (X ∩ U, X ∩ V ) > 0. 1.9 Miền taut Cho M là một miền trong không gian phức X . - Dãy {fj }∞ j=1 ⊂ Hol(∆, M ) được gọi là phân kỳ compact nếu với mỗi tập compact K ⊂ ∆, với mỗi tập compact L ⊂ M , tồn tại số j0 = j(K, L) sao cho fj (K) ∩ L = ∅, với mọi j ≥ j0 . - M được gọi là taut nếu mọi dãy {fj }∞ j=1 ⊂ Hol(∆, M ) hoặc chứa một dãy con hội tụ đều trên mỗi tập con compact tới ánh xạ chỉnh hình f ∈ Hol(∆, M ) hoặc phân kỳ compact. 1.10 Hàm đa điều hòa dưới + Giả sử D là miền trong C. Một C 2 - hàm h xác định trên D được gọi là điều hòa nếu ∂ 2h ∆h := 4 = 0 trên D. ∂z∂ z¯ + Hàm u : D → [ − ∞, ∞) được gọi là điều hòa dưới trong miền D nếu u thỏa mãn hai điều kiện sau: i) u là nửa liên tục trên trong D, tức là tập {z ∈ D; u (z) < s} là tập mở với mỗi số thực s; ii) Với mỗi tập con mở compact tương đối G của D và mọi hàm h : G → R 10
là điều hòa trong G và liên tục trong G ta có: nếu u ≤ h trên ∂G thì u ≤ h trên G. Ta có tiêu chuẩn điều hòa dưới sau: Để hàm u nửa liên tục trên trong miền D là điều hòa dưới trong D, cần và đủ là với mỗi điểm z ∈ D, tồn tại r0 (z) > 0 sao cho Z2π 1 u (z) ≤ u(z + reit )dt với mọi r < r0 (z) . 2π 0 + Giả sử G là một tập con mở trong Cn . Một hàm ϕ : G → [ − ∞, ∞) được gọi là đa điều hòa dưới nếu (i) ϕ là nửa liên tục trên và ϕ không đồng nhất với −∞ chỉ trên thành phần liên thông của G; (ii) Với mỗi z0 ∈ G và a ∈ Cn mà a 6= 0, và với mỗi ánh xạ τ : C → Cn , τ (z) = z0 + az , hàm ϕ ◦ τ trên mỗi thành phần liên thông của τ −1 (G) hoặc bằng −∞ hoặc là điều hòa dưới. Trong không gian phức bất kỳ ta có định nghĩa: Giả sử X là một không gian phức. Một hàm đa điều hòa dưới trên X là một hàm ϕ : X → [ − ∞, ∞) thỏa mãn tính chất sau: Với mỗi x ∈ X tồn tại một lân cận mở U của x sao cho với một ánh xạ song chỉnh hình h : U → V lên một không gian phức con đóng V của một miền G ⊂ Cm nào đó và một hàm đa điều hòa dưới ϕ : G → [−∞,∞) sao cho ϕ|U = ϕ ◦ h. Định nghĩa trên không phụ thuộc vào việc chọn bản đồ địa phương. 11
Chương 2 Các định lý hội tụ - thác triển đối với ánh xạ chỉnh hình vào không gian phức Zalcman yếu Phần đầu của chương này, chúng tôi trình bày về không gian phức Zalcman và một số tính chất cơ bản của không gian Zalcman. Phần tiếp theo, trình bày về tính taut của một miền không bị chặn trong một không gian phức với nhóm tự đẳng cấu không compact. Cuối cùng, chúng tôi trình bày về tính lồi đĩa yếu và các định lý hội tụ - thác triển đối với ánh xạ chỉnh hình vào không gian phức Zalcman yếu. 2.1 Không gian phức Zalcman Định nghĩa 2.1.1. [11] Giả sử X là một không gian phức, ∆ là đĩa đơn vị mở trên C. Không gian phức X được gọi là một không gian Zalcman nếu X thỏa mãn điều kiện sau: Với mỗi họ không chuẩn tắc F ⊂ Hol (∆, X) sao cho F là không phân kỳ compact, thì tồn tại các dãy {pj } ⊂ ∆ với {pj } → p0 ∈ ∆, {fj } ⊂ F , 12
{ρj } ⊂ R với ρj > 0 và {ρj } → 0+ sao cho gj (ξ) = fj (pj + ρj ξ), ξ ∈ C, hội tụ đều trên các tập con compact của C đến một ánh xạ chỉnh hình khác hằng g : C → X . Nhận xét 2.1.1. Một không gian taut là không gian Zalcman. Ví dụ 2.1.1. 1. Từ định lý 2.8 [8] suy ra mỗi không gian phức compact là một không gian Zalcman. 2. Cho X là một không gian phức compact. Cho H là một siêu diện phức của X . Khi đó X\H là không gian Zalcman, đặc biệt C = CP 1 \ 1điểm là không gian Zalcman. 3. Nếu X1 là không gian taut và X2 là không gian Zalcman, thì X1 × X2 cũng là không gian Zalcman. Thật vậy, giả sử fj = fj1 ; fj2 ⊂ Hol(∆, X1 × X2 ) sao cho {fj } là không chuẩn tắc trên ∆ và không phân kỳ compact trên ∆. Khi đó dễ thấy k fj cũng không phân kỳ compact trên ∆, (k = 1, 2). Do X1 là taut nên fj1 là chuẩn tắc trên ∆. Vậy fj2 là không chuẩn tắc trên ∆. Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử rằng fj1 → f 1 trong Hol(∆, X1 ). Vì X2 là Zalcman nên không mất tổng quát ta có thể giả sử rằng tồn tại một dãy {pj } ⊂ ∆ với {pj } → p0 ∈ ∆, {fj } ⊂ F , {ρj } ⊂ R với ρj > 0 và {ρj } → 0+ sao cho gj2 (ξ) = fj2 (pj + ρj ξ), ξ ∈ C, hội tụ đều trên tập con compact của C đến một hàm nguyên khác hằng 13
g 2 : C → X2 . Khi đó gj1 (ξ) = fj1 (pj + ρj ξ), ξ ∈ C, cũng hội tụ đều trên các tập con compact của C đến hàm hằng g 1 = f 1 (p0 ). Khẳng định được chứng minh. 4 . Nếu X1 là không gian phức compact và X2 là không gian Zalcman, thì X1 × X2 cũng là không gian Zalcman. Thật vậy, giả sử fj = fj1 ; fj2 ⊂ Hol(∆, X1 × X2 ) sao cho {fj } là không chuẩn tắc trên ∆ và không phân kỳ compact trên ∆. Khi đó dễ dàng thấy rằng fj2 cũng không phân kỳ compact trên ∆. Ta xét hai trường hợp. Trường hợp 1: fj2 là chuẩn tắc trên ∆. Khi đó fj1 là không chuẩn tắc trên ∆. Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử rằng fj2 → f 2 trên Hol(∆, X2 ). Do X1 là compact nên không mất tính tổng quát ta có thể giả sử rằng tồn tại dãy {pj } ⊂ ∆ với {pj } → p0 ∈ ∆, {ρj } ⊂ R với ρj > 0 và {ρj } → 0+ sao cho gj1 (ξ) = fj1 (pj + ρj ξ), ξ ∈ C, hội tụ đều trên các tập con compact của C đến hàm nguyên khác hằng g 1 : C → X1 . Khi đó gj2 (ξ) = fj2 (pj + ρj ξ), ξ ∈ C, cũng hội tụ đều trên các tập con compact của C đến hàm hằng g 2 = f 2 (p0 ). Trường hợp 2: fj2 là không chuẩn tắc trên ∆. Do X2 là không gian Zalcman nên không mất tính tổng quát ta có thể giả sử rằng tồn tại các dãy {pj } ⊂ ∆ với {pj } → p0 ∈ ∆, {ρj } ⊂ R với 14