Luận văn Thạc sĩ Toán học: Chỉnh hóa nghiệm một bài toán đàn hồi ba chiều

Chia sẻ: Lavie Lavie | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:53

Thêm vào BST

Báo xấu

59
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Chỉnh hóa nghiệm một bài toán đàn hồi ba chiều giới thiệu tới các bạn những nội dung về kiến thức chuẩn bị (các không gian hàm, một số kết quả được áp dụng, hệ Lamé, bài toán không chỉnh và vấn đề chỉnh hóa); các kết quả chính.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Chỉnh hóa nghiệm một bài toán đàn hồi ba chiều

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Nguyễn Hoài Phúc CHỈNH HÓA NGHIỆM MỘT BÀI TOÁN ĐÀN HỒI BA CHIỀU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh 2012
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Nguyễn Hoài Phúc CHỈNH HÓA NGHIỆM MỘT BÀI TOÁN ĐÀN HỒI BA CHIỀU Chuyên Ngành : Toán Giải Tích Mã Số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC : GS. TS. ĐẶNG ĐỨC TRỌNG Thành phố Hồ Chí Minh 2012
LỜI CẢM ƠN Tôi xin chân thành cảm ơn thầy Đặng Đức Trọng, người đã tận tâm giảng dạy, hướng dẫn và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình làm luận văn. Tôi xin cảm ơn bạn Phùng Trọng Thực và bạn Phan Thành Nam đã rất nhiệt tình giúp đỡ, góp ý cho tôi trong suốt quá trình nghiên cứu. Tôi xin chân thành cảm ơn các bạn học viên Toán – Giải Tích khóa 21 đã hỗ trợ cho tôi trong suốt khóa học. Tp HCM, ngày tháng năm 2012 Nguyễn Hoài Phúc
GIỚI THIỆU BÀI TOÁN Cho   0,1 0,1 0,1 biểu diễn một vật thể đàn hồi đẳng hướng ba chiều và cho T  0 là khoảng thời gian quan sát. Với mỗi x : x 1, x 2 , x 3    , ta kí hiệu u(x , t )  u1(x , t ), u2 (x , t ), u 3 (x , t ) là độ chuyển dịch (displacement), trong đó u j là độ chuyển dịch tính theo phương x j . Như chúng ta đã biết, u thỏa mãn hệ phương trình Lamé 2u  m u  (l  m ) div(u )  F , x  , t  0,T  t 2 u1 u2 u 3 với F : F1, F2 , F3  là lực thể tích, div(u )  u    và l, m là x 1 x 2 x 3 các hằng số Lamé thỏa m  0 và l  2m  0 . Hệ trên liên kết với các điều kiện đầu là : u1(x , 0), u2 (x , 0), u 3 (x , 0)  g1(x ), g2 (x ), g 3 (x ), x  ,   u1 u 2 u 3   h (x ), h (x ), h (x ) , x  ,    t ( x , 0), (x , 0), (x , 0)   1     t  t  2 3 và điều kiện biên của vật thể đàn hồi bị kẹp chặt, nghĩa là u (x, t ), u (x, t ), u (x, t )  0, 0, 0, 1 2 3 x  , t  0,T  . Chúng ta xét bài toán ngược là tìm lực thể tích F. Một bài toán ngược thường được nghiên cứu ở nhiều khía cạnh như tính duy nhất, tính ổn định và vấn đề chỉnh hóa. Vấn đề chỉnh hóa và đánh giá sai số của nghiệm là điều rất cần thiết.
Trong năm 2005, Grasselli, Ikehata và Yahamoto [2] đã chứng minh được lực thể tích F x , t   j(t )f (x ) là duy nhất được xác định từ các phương trình trên   với điều kiện j  C 1 0,T  , j(0)  0 và thời gian quan sát T  0 đủ lớn. Mặc dù có tính duy nhất nhưng vấn đề chỉnh hóa f vẫn chưa được thỏa mãn, nghĩa là với một sai sót nhỏ trong dữ kiện cũng có thể gây ra sai số lớn trong kết quả. Vì vậy, điều quan trọng trong thực tế là tìm ra một quá trình chỉnh hóa nghiệm, cụ thể là xây dựng giải pháp gần đúng bằng cách sử dụng các dữ kiện gần đúng. Gần đây, vấn đề chỉnh hóa đã được giải quyết một phần trong [6], trong đó phương pháp chỉnh hóa một phần của f được đưa ra từ việc sử dụng thông tin về các điều kiện cuối cùng u x ,T  . Điều kiện cuối cùng đóng một vai trò thiết yếu trong [6] từ đó nó cho phép tác giả tìm ra một công thức rõ ràng cho việc biến đổi Fourier của f , và sau đó sử dụng thông tin này để phục hồi f . Còn lại là một vấn đề mở trong [6] (xem phần kết luận của họ) là tìm ra một quá trình chỉnh hóa cho f . Mục đích của luận văn là giải quyết vấn đề này một cách hoàn chỉnh, đó chính là việc tìm ra quá trình chỉnh hóa f mà không cần sử dụng đến điều kiện cuối. Quá trình chỉnh hóa nghiệm được nêu ra trong luận văn chủ yếu sử dụng phương pháp cắt ngắn chuỗi Fourier kết hợp với các bất đẳng thức nội suy Lagrange, dựa theo phương pháp nội suy được giới thiệu trong [7] trong đó các tác giả đã xây dựng quá trình chỉnh hóa cho các nguồn nhiệt của phương trình nhiệt. Trong luận văn này, để chỉnh hóa được nghiệm của bài toán, ngoài điều kiện đầu và điều kiện biên bị kẹp ta cần có thêm sức ép bề mặt trên cả biên của vật thể, nghĩa là      s1 t12 t13  n1  X1  t s t  n   X  , x  , t  0,T  21 2 23   2   2    t t s n  X   31 32 3  3   3 
trong đó n  n1, n2, n 3  là vectơ pháp tuyến đơn vị hướng ra ngoài của  và các sức ép s và t được định nghĩa  u   u u j t jk  m  j  k , s j  ldiv(u )  2m , j, k  1, 2, 3 .  x k x j  x j Luận văn này chủ yếu là trình bày lại bài báo [10] . Và để rõ ràng hơn, luận văn đã chi tiết hóa phần chứng minh bổ đề 2.3 nhằm bổ trợ cho quá trình chứng minh tính duy nhất nghiệm của bài toán và bổ đề 2.5 giúp chỉnh hóa nghiệm đồng thời ước lượng sai số một cách dễ dàng hơn. Phần còn lại của luận văn được chia làm ba chương : Chương một: là phần kiến thức chuẩn bị, bao gồm việc nhắc lại một số kiến thức cơ bản và nêu một vài kết quả cần thiết cho phần sau. Chương hai: nêu một số kí hiệu và kết quả chính. Sau đó sẽ chứng minh sự duy nhất của f và chỉnh hóa f . Chương ba: trình bày một ví dụ cụ thể minh họa cho các tính toán lý thuyết.
Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Các không gian hàm Trước hết, xin nhắc lại các không gian Lp và W 1,p . Cho  là một tập đo được trong  N . Định nghĩa 1.1.1. Với mỗi ánh xạ đo được f :    và 1  p   , ta kí hiệu 1  p f  p    f (x ) dx  với 1  p   , p    f    inf h  0 : f (x )  h, x   .  Với mỗi 1  p   , ta gọi Lp () là không gian gồm tất cả các hàm f đo được trên  sao cho f  . p Định lý 1.1.1. Với mỗi 1  p   , Lp () là một không gian Banach với chuẩn    . Đặc biệt, L2 () là không gian Hilbert với tích vô hướng Lp () p f,g   f (x )g(x )dx .  Chứng minh định lý này dựa trên bất đẳng thức quan trọng sau. 1 1 Định lý 1.1.2. (Bất đẳng thức Holder) Cho p, q  (1, ) và   1 . Nếu p q f  Lp (), q  Lq () thì f .g  L1() và
f .g  f .g . L1 () Lp () Lq () Bây giờ cho  là một tập mở trong  N . Ta kí hiệu C c () là không gian các hàm khả vi vô hạn có giá compact trên  . Với mỗi c  C c () và N a  a1, a2 ,..., aN   N với ai  0, i  1, 2,..., N , Ta kí hiệu a   ai và i 1 a  u a D u(x )  a a a (x ), x  x 1, x 2 ,..., x N    .  1 x 1 2 x 2 ... N x N Định nghĩa 1.1.2. Với mỗi 1  p   và m nguyên dương, không gian Sobolev W m ,p () là tập hợp tất cả các hàm f  Lp () sao cho với mỗi a  a1, a2 ,..., aN   N với ai  0, i  1, 2,..., N và a  m , tồn tại g a  Lp () thỏa mãn a  f (x )D g a f(x )dx  (1) a (x )f(x )dx , f  C c ().   a  f Khi đó ta kí hiệu a a a  ga .  1 x 1 2 x 2 ... N x N Đặc biệt, ta đặt W m ,2 ()  H m () . Định lý 1.1.3. Với mỗi 1  p   , m nguyên dương, W m ,p () là không gian Banach với chuẩn p    p  . f    D a f W m , p ( )  a m Lp ()  
Tiếp theo, ta nhắc lại các không gian C m I , X  và Lp I , X  , trong đó I là một khoảng (mở hoặc đóng) trong  và X là không gian Banach. Một cách đơn giản, ta định nghĩa C I , X  là tập hợp các ánh xạ liên tục từ I vào X. Định nghĩa 1.1.3. Cho I một khoảng (mở hoặc đóng) trong  và u :I X.  Nếu I là một khoảng mở, ta nói u khả vi trên I nếu tồn tại ánh xạ u đạo hàm : I  X sao cho t u(t )  u(s ) u lim  (s ), s  I , s t t s t với giới hạn tính theo chuẩn của X. Với mỗi số nguyên dương m, ta nói u khả vi m lần trên I nếu các ánh xạ đạo hàm sau đây tồn tại u 2u   u  m u   m1u  , :  ,..., m :   . t t 2 t  t  t t  t m1   Nếu I là một khoảng đóng và m nguyên dương, ta nói u khả vi m lần trên I nếu tồn tại một khoảng mở I  chứa I và một ánh xạ v : I   X khả vi m k u k u lần trên I  sao cho v |I  u . Ta cũng kí hiệu  với mọi k  1, 2,... m . t k t k I (Xem trong [9] trang 8).
Định nghĩa 1.1.4. Cho I là một khoảng (mở hoặc đóng) và m là một số nguyên dương, ta kí hiệu C m I , X  là tập hợp các hàm u : I  X khả vi m lần mu trên I sao cho  C I , X  . t m Định nghĩa 1.1.5. Cho I là một khoảng mở trong R và u : I  X . Ta nói u là đo được nếu có một dãy hàm un trong C c I , X  sao cho un (t )  u(t ) với mỗi t I . (Trong đó C c I , X  là tập hợp các hàm liên tục có giá compact trên I). Định nghĩa 1.1.6. Cho I là một khoảng mở trong R và 1  p   . Ta kí hiệu Lp I , X  là tập hợp (các lớp tương đương) các hàm đo được u : I  X sao cho hàm thực t  u(t ) thuộc Lp (I ) , trong đó ta đồng nhất u với v nếu X u(t )  v(t ) với mỗi một t  I . Định lý 1.1.4. Cho I là một khoảng mở trong R, 1  p   và X là một không gian Banach. Khi đó Lp I , X  là không gian Banach với chuẩn 1  p    u(t ) dt  . p u p L I ,X   I X  1.2 Một số kết quả được áp dụng Định lý 1.2.1. (Công thức Green) Cho  là tập mở, bị chặn trong Rn có biên  là C 1 từng khúc. Khi đó nếu u và v thuộc H 1() , ta có
u v  x i vdx   u x dx   uvnid s .   i  đúng với mọi i  1, n . Trong đó ni là thành phần thứ i của vectơ pháp tuyến n trên biên  của  , tích phân cuối được hiểu theo nghĩa vết của u và v. Mệnh đề 1.2.2. Cho E là không gian Hilbert. Giả sử E có cơ sở trực chuẩn đếm được en  . Khi đó ta có  1. Chuỗi Fourier : x   x , ei ei , x  E . i 1    x , ei  , x  E . 2 2 2. Đẳng thức Parseval: x i 1 Mệnh đề 1.2.3. Cho   0,1 0,1 . Khi đó các hệ : cos(m px ) cos n py  m ,n N  , sin(m px ) cos n py   m N *, n N là cơ sở trực giao của L2 () . Chứng minh. Ta chứng minh hệ sin(m px ) cos n py  m N *, n N là cơ sở trực giao, hệ còn lại chứng minh tương tự. Kiểm tra trực tiếp thấy các hệ trên là hệ trực giao trong L2 () . Bây giờ giả sử f  L2 () và  f x, y  sin(m px ) cos n py dxdy  0, với mọi m  N *, n  N .  Ta chứng minh f  0 trong L2 () .
1 Với mỗi n  N , đặt hn (x )   f (x, y ) cos(n py )dy . Ta có 0 1  h (x ) sin(m px )dx  0, m  N * , n 0 và hn  L2 (0,1) bởi vì 1    1   2 2 hn (x )    f (x , y ) dy    cos2 (n py )dy  .  0  0    L0,1 Từ hệ sin(m px ) là cơ sở trực giao của L2 (0,1) ta có hn  0 trong m N * L2 (0,1) . Gọi An là tập có độ đo không để hn (x )  0, x  0,1 \ An . Đặt  Bn  A thì B có độ đo không và hn (x )  0, x  0,1 \ B và n  N . Từ hệ n 0 n   cos(n px ) n N là cơ sở trực giao trong L2 (0,1) suy ra f (x ,)  0 trong L2 (0,1) , với mọi x  0,1 \ B . Vậy f  0 trong L2 () .   Mệnh đề 1.2.4. Cho   0,1 0,1 0,1 . Khi đó các hệ : cos(m px ) cos n px  cos ppx  1 2 3 m ,n ,pN , sin(m px ) cos n px  cos ppx  1 2 3 m N *, n ,pN là cơ sở trực giao của L2 () . Định nghĩa 1.2.1. Cho C là trường số phức và hàm số f : C  C . Ta nói f là hàm nguyên nếu f giải tích trên C.
Mệnh đề 1.2.5. Cho f là hàm nguyên khác hằng, khi đó tồn tại r0  0 sao cho Max f(z )  1 z r đúng với mọi r  r0 . Chứng minh. Đặt y(r )  Max f(z ) . Theo nguyên lý môđun cực đại ta có z r Max f(z )  Max f(z ) , z r z r vậy y không giảm. Vì f là hàm nguyên và khác hằng nên không bị chặn, từ đó tồn tại z 0  C , z 0  0 sao cho f(z 0 )  1 . Đặt r0  z 0 , ta được r0 là giá trị cần tìm. Mệnh đề 1.2.6. Với mọi z  C và mọi x  0,1 , ta có bất đẳng thức z cosh(zx )  e . Chứng minh. Giả sử z  a  bi,(a, b  R) . Ta có e (a bi )x  e (a bi )x 1 2ax cosh(zx )   e  e 2ax  2 cos(2bx ) 2 2 1 2ax 1  2 e  e 2ax  2  eax  e ax 2   ax a z e e e , đúng với mọi z  C , mọi x  0,1 .
Mệnh đề 1.2.7. Cho  là tập mở trong C và B z 0 , r    (B z 0 , r  là quả cầu mở tâm z 0 , bán kính r trong C). Cho f là giải tích trên  trừ tại một số hữu hạn cực điểm a1, a2,..., an nằm trong B z 0 , r  . Khi đó ta có  n   Res  f (z ), a   .   f (z )dz  2 pi  k   k 1  z z r 0 Kết quả này được suy trực tiếp từ định lý tích phân Cauchy và định nghĩa thặng dư. Mệnh đề 1.2.8. (Định lý Beurling) Cho f là hàm nguyên. Đặt M f (r )  Max f (z ) , (r  0) . z r ln f (r ) Khi đó ta có : lim sup  1. r  ln M f (r ) 1.3. Hệ Lamé Hệ Lamé được thiết lập từ các dữ kiện vật lý và có liên quan chặt chẽ đến bài toán đàn hồi. Trong không gian ba chiều với   0,1 0,1 0,1 như là vật thể đàn hồi, hệ Lamé được xác định bởi 2u  m u  (l  m ) div(u )  F , x  , t  0,T  t 2 ở đây u(x , t )  u1(x , t ), u2 (x , t ), u 3 (x , t ) thỏa mãn hệ Lamé, trong đó u j là độ chuyển dịch theo hướng j của vật thể đàn hồi và F (x , t )  F1(x , t ), F2 (x , t ), F3 (x , t ) biểu thị lực thể tích. Các hằng số l và m được gọi là hằng số Lamé. (có thể xem trong [4,5])
1.4. Bài toán không chỉnh và vấn đề chỉnh hóa Những bài toán phương trình đạo hàm riêng (đặc biệt là những bài toán có nguồn gốc từ vật lý) thường có dạng tìm nghiệm từ dữ kiện cho trước. Xuất phát từ ý nghĩa thực tế của bài toán, khái niệm về chỉnh hóa bài toán được đặt ra, một bài toán được gọi là chỉnh nếu có ba tính chất:  Tính tồn tại: Bài toán có nghiệm.  Tính duy nhất: Bài toán có nhiều nhất một nghiệm.  Tính ổn định: Nghiệm phụ thuộc liên tục vào dữ kiện. Một bài toán được gọi là không chỉnh nếu thiếu một trong ba tính chất trên. Về mặt toán học, việc tồn tại nghiệm có thể đạt được bằng cách mở rộng không gian nghiệm. Nếu bài toán có nhiều hơn một nghiệm thì thường là thông tin về nghiệm bị thiếu, và bằng những thông tin bổ sung ta sẽ thu được nghiệm duy nhất. Yêu cầu quan trọng nhất là sự ổn định của nghiệm, bởi nếu thiếu điều này thì dù một sai sót nhỏ của dữ liệu cũng có thể dẫn đến một sai số lớn của nghiệm. Điều này làm cho chúng ta không thể tính được nghiệm (dù là xấp xỉ), bởi mọi dữ kiện đo đạc điều phải đi kèm với sai số. Để khắc phục tính không chỉnh của bài toán, ta phải thực hiện công việc chỉnh hóa. Tức là trước hết ta chứng tỏ bài toán tồn tại và duy nhất nghiệm và sau đó ta đi chỉnh hóa nghiệm đó. Sự chỉnh hóa nghiệm tức là từ những dữ kiện đo đạc (có thể sai số so với dữ kiện chính xác) ta đi xây dựng nghiệm mới, gọi là nghiệm chỉnh hóa. Nghiệm chỉnh hóa có thể không phải là nghiệm chính xác của bài toán (ứng với dữ kiện chính xác) nhưng ta có thể kiểm soát sai số của nghiệm chỉnh hóa với nghiệm chính xác nhỏ như mong muốn.
Chương 2: CÁC KẾT QUẢ CHÍNH 2.1. Phát biểu bài toán Cho   0,1 0,1 0,1 và T  0 . Chúng ta xét bài toán tìm u, F  thỏa mãn hệ phương trình 2u  m u  (l  m ) div(u )  F , x  , t  0,T  (2.1) t 2 ở đây l, m là các hằng số Lamé thỏa m  0 và l  2m  0 . Với các điều kiện đầu là u1(x , 0), u2 (x , 0), u 3 (x , 0)  g1(x ), g2 (x ), g 3 (x ), x  ,   u1 u2 u3  (2.2)    t ( x , 0), (x , 0), (x , 0)  h1(x ), h2 (x ), h3 (x ), x  .   t  t  Hơn nữa biên của vật thể đàn hồi bị giữ cố định nên hàm u  u1, u2, u 3  thỏa mãn điều kiện biên u1(x, t ), u2(x, t ), u3(x, t )  0, 0, 0, x  , t  0,T  (2.3) Cuối cùng, sức căng bề mặt được cho trên       s1 t12 t13  n1  X1  t s t  n   X  , x  , t  0,T ,  21 2 23   2   2    (2.4) t t s      31 32 3 n 3  X 3  Trong đó : n  n1, n2, n 3  là vectơ pháp tuyến đơn vị hướng ra ngoài của  và các sức ép s và t được định nghĩa
 u  u j  j uk  t jk  m  , s j  ldiv(u )  2m , j, k  1, 2, 3 .  x k x j  x j 2.2. Các kết quả chính Nhắc lại rằng chúng ta cần tìm hàm : f (x )   f1(x ), f2 (x ), f3 (x ) , x   của lực thể tích F (x , t )  j(t )f (x ) từ hệ (2.1) – (2.4). Các hằng số Lamé luôn thỏa m  0 và l  2m  0 và dữ kiện I  j, X , g, h  là không mịn     3 I  L1(0,T ), L1(0,T , L1() ,(L2 ())3,(L2 ())3    Cho a  3 và x   3 , kí hiệu G (a, x )  G11(a, x )  G22 (a, x )  G33 (a, x )  cos(a1x1 ) cos(a2x 2 ) cos(a3x 3 ), G21(a, x )  G12 (a, x )   sin(a1x1 ) sin(a2x 2 ) cos(a3x 3 ), G31(a, x )  G13 (a, x )   sin(a1x1 ) cos(a2x 2 ) sin(a3x 3 ), G32 (a, x )  G23 (a, x )   cos(a1x1 ) sin(a2x 2 ) sin(a3x 3 ) . Nếu không sợ nhầm lẫn ta cũng có thể viết Gkj thay cho Gkj (a, x ) . Trước hết ta có bổ đề sau.      3 Bổ đề 2.1. Nếu u  C 2 [0,T ], L2 ()  L2 0,T , H 2 () và f  (L2 ())3 thỏa hệ (2.1) – (2.4) với dữ kiện I  j, X , g, h  , thì
E1 j (I )(a)  E1*j (a) E2 j (I )(a)  E2*j (a)  fjGdx   , j  1, 2, 3  D1(I )(a) D2 (I )(a) cho mọi a  a1, a2, a3   3 mà   2 a   a12  a22  a32  0 và D1(I )(a)  0, D2 (I )(a)  0, 0 trong đó 2 T sinh  l  2m a (T  t ) dt ,  0 D1(I )(a)   a j(t ) 0 0 cosh  l  2m a T 0  2 T sinh  m a (T  t ) dt ,  0 D2 (I )(a)   a j(t ) 0 0 cosh  m a T 0  E1 j (I )(a)   l  2m a a j  a1g1G1j  a2g2G2j  a3g 3G3j dx 0     tanh   l  2m a T a j  a1h1G1j  a2h2G2j  a3h3G3j dx 0    T sinh  l  2m a (T  t ) a   0 a X G j   a2X 2G2j  a3X 3G3j d wdt , 0  cosh  l  2m a T 0  j 1 1 1 l  2m a E1*j (a)  0 aj  cosh  l  2m a T 0     a1u1(x ,T )G1j  a2u2 (x ,T )G2j  a3u 3 (x ,T )G3j dx ,  
 2  j  0   E2 j (I )(a)   m a   a g G j  a (a g G j  a g G j  a g G ) dx 0 j j j 1 1 1 2 2 2 3 3 3     2    tanh m a T   a h jG jj  a j (a1h1G1j  a2h2G2j  a3h3G3j )dx 0  0    T sinh  m a (T  t )   0 0  cosh  m a T 0   2   a X jG jj  a j (a1X1G1j  a2X 2G2j  a3X 3G3j )d wdt  0  m a  2   a 0 u j (x,T )G j  j E2*j (a)  0 cosh  m a T 0   a j (a1u1(x ,T )G1j  a2u2 (x ,T )G2j  a3u3 (x ,T )G3j ) dx .  Chú ý rằng E1j* và E2j * trong bổ đề 1 phụ thuộc vào u(x ,T ) thay vì dữ kiện I  j, X , g, h  . Do đó, thông thường ta không biết số hạng của chúng. Tuy nhiên, với a đủ lớn, E1j* và E2j * tương đối nhỏ khi so sánh với E1j và E2j , và có thể được giảm nhẹ khi tính tích phân  fjGdx với các hệ số Fourier của f j . Vì thế ta  sử dụng một vài kí hiệu tiện lợi hơn. Định nghĩa 2.1 (Thông tin từ dữ kiện). Cho I  j, X , g, h  và a  3 mà a.a  0 , ta đặt ( sử dụng các kí hiệu của Bổ đề 1).   E1 j (I ) E2 j (I )    , khi D1(I )(a).D2 (I )(a)  0  H j (I )(a)   D1(I ) D2 (I )  0,  khi D1(I )(a).D2 (I )(a)  0.   Định nghĩa 2.2 (Hệ số Fourier). Cho a  a1, a2, a3   3 , w  L2 () , ta đặt
 (w)(a)   w(x )G (a, x )dx   w(x ) cos(a1x1 ) cos(a2x 2 ) cos(a3x 3 )dx .   Lưu ý rằng bất kì hàm w  L2 () nào đều có thể lấy đại diện là w(x )   k(m, n, p) (w)(m p, n p, p p) cos(m px1 ) cos(n px 2 ) cos(p px 3 ) ,(2.5) m ,n , p 0 trong đó k(m, n, p) : (1  1{m 0} )((1  1{n 0} )(1  1{p 0} ) . Như đã giải thích ở trên, là sẽ tính được gần đúng  ( f j )(a) bởi H j (I )(a) với a lớn. Để làm việc này, ta cần một số giới hạn thấp hơn trên D1(I )(a) và D2 (I )(a) . Ta giả định các điều kiện sau đây trên j và T. (W1) Tồn tại (j )  0,T  và C (j )  0 sao cho : hoặc j(t )  C (j ) với hầu hết t  0, (j ) hoặc j(t )  C (j ) với hầu hết t  0, (j ) .  1 1   1 1      (W2)T  2 max  ,  hoặc (W2’)T  12 5  max  , .  m l  2m   m l  2m      Chú ý 2.1. Nếu j liên tục tại t  0 thì điều kiện (W1) là tương đương với j(0)  0 . Các điều kiện (W2) và (W2’) có nghĩa là thời gian quan sát phải đủ dài. Điều kiện (W2) là đủ cho sự duy nhất, trong khi điều kiện mạnh hơn là (W2’) thì cần thiết trong bước chỉnh hóa nghiệm. Định lý 2.1 (Tính duy nhất). Giả sử các giả thiết (W1) và (W2) thỏa mãn. Khi đó hệ (2.1) – (2.4) có nhiều nhất một nghiệm   u, f   C 2([0,T ]; L2())  L2(0,T ; H 2()) 3 ,(L2 ())3  . 