Luận văn Thạc sĩ Toán học: Dáng điệu tiệm cận của định thức các ma trận ngẫu nhiên

Chia sẻ: Lavie Lavie | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:80

Thêm vào BST

Báo xấu

126
lượt xem 7
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Dáng điệu tiệm cận của định thức các ma trận ngẫu nhiên tập trung tìm hiểu về dáng điệu tiệm cận của định thức các ma trận Laguerre và Jacobi. Đây là tài liệu hữu ích dành cho các bạn chuyên ngành Toán học.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Dáng điệu tiệm cận của định thức các ma trận ngẫu nhiên

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Nguyễn Lê Toàn Nhật Linh DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA ĐỊNH THỨC CÁC MA TRẬN NGẪU NHIÊN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2012
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Nguyễn Lê Toàn Nhật Linh DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA ĐỊNH THỨC CÁC MA TRẬN NGẪU NHIÊN Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS. TS. ĐẶNG ĐỨC TRỌNG Thành phố Hồ Chí Minh – 2012
LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, em xin chân thành cảm ơn GS. TS Đặng Đức Trọng. Thầy đã dành nhiều thời gian và công sức hướng dẫn em thực hiện luận văn. Có ai đó đã nói rằng: “ép một người uống nước không bằng làm cho người đó khát”, chính những lần seminar, những vấn đề và những câu hỏi thầy đặt ra đã làm em khát thật sự. Điều này tiếp thêm động lực cho em, một học viên chuyên ngành giải tích, bước đầu tiếp xúc với toán thống kê có thể từng bước thực hiện và hoàn thành đề tài. Em xin gửi lời cảm ơn đến TS. Chu Đức Khánh, TS. Đinh Ngọc Thanh, hai thầy đã tạo điều kiện và góp nhiều ý kiến quý báo trong quá trình em thực hiện luận văn. Em cũng xin cảm ơn anh Dương Thanh Phong, bạn Cao Thị Hồng Nhung và các anh chị trong nhóm seminar đã trao đổi với em về đề tài này. Em cảm ơn các thầy trong Khoa Toán – tin trường Đại học Sư phạm TPHCM, đã tận tình giảng dạy chúng em, cùng các thầy cô Phòng Sau đại học đã tạo điều kiện cho chúng em trong hai năm học Cao học vừa qua. Con xin gửi những tình cảm thân thương nhất đến ba mẹ. Ba mẹ luôn quan tâm và dõi theo sự trưởng thành của con. Ba mẹ là bến đổ bình yên nhất trong những lần con gặp khó khăn. Ba mẹ là điểm tựa vững chắc nhất để con tiếp tục cố gắng. Con thương ba mẹ nhiều lắm. Nguyễn Lê Toàn Nhật Linh
MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN PHẦN MỞ ĐẦU Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ............................................................................... 1 1.1. Thống kê.............................................................................................................. 1 1.2. Jacobians của phép biến đổi trong  ............................................................... 4 m 1.3. Giải tích phức ...................................................................................................... 7 1.4. Quá trình ngẫu nhiên ......................................................................................... 16 Chương 2: DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA ĐỊNH THỨC MA TRẬN LAGUERRE .. 29 2.1. Phân phối của định thức ma trận Laguerre ...................................................... 29 2.1.1. Ma trận Laguerre ....................................................................................... 29 2.1.2. Hàm mật độ đồng thời của các giá trị riêng của ma trận Laguerre. .......... 30 2.1.3. Phân phối của định thức ma trận Laguerre ............................................... 32 2.2. Dáng điệu tiệm cận của định thức ma trận Laguerre ....................................... 33 Chương 3: DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA ĐỊNH THỨC MA TRẬN JACOBI ......... 52 3.1. Phân phối của định thức ma trận Jacobi........................................................... 52 3.1.1. Ma trận Jacobi ............................................................................................ 52 3.1.2. Hàm mật độ đồng thời của các giá trị riêng của ma trận Jacobi ................ 57 3.1.3. Phân phối của định thức ma trận Jacobi .................................................... 58 3.2. Dáng điệu tiệm cận của định thức ma trận Jacobi ............................................ 59 KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO
PHẦN MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Ma trận ngẫu nhiên xuất hiện đầu tiên trong toán thống kê bởi hai nhà toán học Hsu và Wishart. Nhiều tính chất của một số ma trận ngẫu nhiên đã được Wigner nghiên cứu trong những năm 1950 đặt trong mối liên hệ với vật lý hạt nhân. Trong thống kê nhiều chiều, các ma trận ngẫu nhiên Laguerre và Jacobi là các ma trận đối xứng nảy sinh trong quá trình thao tác trên mẫu ngẫu nhiên (xây dựng các ước lượng, kiểm định…). Một cách cụ thể, ma trận ngẫu nhiên Laguerre liên quan đến ma trận hiệp phương sai mẫu, trong khi ma trận ngẫu nhiên Jacobi phát sinh trong phân tích phương sai nhiều chiều. Định thức của các ma trận trên đã được Muirhead, Anderson và nhiều nhà toán học khác sử dụng để xây dựng nhiều kiểm định trong thống kê. Gần đây, sự phát triển các lý thuyết và ứng dụng của ma trận ngẫu nhiên mở ra yêu cầu nghiên cứu tiệm cận của định thức các ma trận này. Được sự hướng dẫn của GS. TS Đặng Đức Trọng và dựa trên bài báo [13], chúng tôi nghiên cứu, tìm hiểu đề tài: “DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA ĐỊNH THỨC CÁC MA TRẬN NGẪU NHIÊN” 2. Mục đích của đề tài Đề tài “DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA ĐỊNH THỨC CÁC MA TRẬN NGẪU NHIÊN” hướng đến hai mục đích: Thứ nhất, xác định phân phối của định thức các ma trận ngẫu nhiên Laguerre và Jacobi bằng cách sử dụng các tính chất của phép biến đổi Mellin và Jacobians của phép biến đổi trong  m . Thứ hai, dựa trên các định lý giới hạn của quá trình ngẫu nhiên và một số ước lượng để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của định thức các ma trận ngẫu nhiên Laguerre và Jacobi.
3. Phương pháp nghiên cứu • Phân tích đề tài để xác định mục tiêu nghiên cứu. • Thu thập các bài báo khoa hoc, các tài liệu có liên quan đến đề tài. • Nghiên cứu tài liệu, ghi chép các kiến thức liên quan đến đề tài. • Tổng hợp kiến thức, chọn nội dung viết báo cáo. 4. Bố cục luận văn Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương này cung cấp một số kiến thức về thống kê cơ bản, Jacobians của phép biến đổi trong  m , giải tích phức và quá trình ngẫu nhiên. Đây là các kiến thức được sử dụng nhiều trong việc nghiên cứu các kết quả chính của đề tài. Chương 2: DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA ĐỊNH THỨC MA TRẬN LAGUERRE Nội dung chương này gồm hai phần. Phần thứ nhất hướng đến việc xác định phân phối của định thức ma trận Laguerre. Phần thứ hai của chương này và là phần quan trọng nhất đó là một số kết quả về dáng điệu tiệm cận của định thức ma trận Laguerre. Chương 3: DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA ĐỊNH THỨC MA TRẬN JACOBI Về nội dung, chương này được bố cục hoàn toàn tương tự chương 2 chỉ có việc ma trận được nghiên cứu là ma trận Jacobi.
1 Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Thống kê (xem [2], [11]) 1.1.1. Phân phối chuẩn Cho không gian xác xuất Ω, F , P . Biến ngẫu nhiên X gọi là có phân phối chuẩn N  µ , σ 2 , σ  0 nếu hàm mật độ của nó cho bởi   x  µ 2  1   . f  x  exp   σ 2π   2σ 2  Hàm đặc trưng của biến ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn N  µ , σ 2  cho bởi   ϕ X u   Ε eiuX   exp iu µ  u 2σ 2  . 1  2  Véctơ ngẫu nhiên p chiều X   X 1 ,..., X p  gọi là có phân phối chuẩn với ' trung bình µ và ma trận hiệp phương sai là Σ nếu hàm mật độ đồng thời của X được cho như sau 1 1  1  f  x1 ,..., x p   2π  exp   x  µ  Σ1  x  µ  ,  p  Σ ' 2 2  2  với x   x1 ,..., x p  . ' Định lý 1.1.1.1 ([2]-tr 30) Cho véctơ ngẫu nhiên p chiều X có phân phối chuẩn N  µ , Σ và ma trận D cấp q  p với rankD  q  p . Khi đó biến ngẫu nhiên DX sẽ có phân phối chuẩn N  Dµ , DΣD '  . Định lý 1.1.1.2 ([11]-tr 82) Cho X là ma trận ngẫu nhiên cấp n  m thỏa các véctơ cột của X là độc lập và có cùng phân phối chuẩn N 0, I n  . Nếu
2 n  m thì P  X  Θ m ,n   1 trong đó Θ m ,n là tập các ma trận cấp n  m có hạng bằng m. 1.1.2. Phân phối Gamma Cho không gian xác xuất Ω, F , P . Biến ngẫu nhiên X gọi là có phân phối Gamma với cặp tham số α , β  (kí hiệu X  Gamma α , β  ) nếu hàm mật độ của nó cho bởi x 1  f  x  x α 1 β e 10, . Γ α  β α Định lý 1.1.2.1 Giả sử X  Gamma α , β  . Khi đó ta có Γ α  µ  ΕX µ  β µ . Γ α  1.1.3. Phân phối Beta Biến ngẫu nhiên X gọi là có phân phối Beta với cặp tham số α , β  (kí hiệu X  Beta α , β  ) nếu hàm mật độ của nó cho bởi Γ α  β  α 1 β 1 f  x  x 1 x 10,1 . Γ α  Γ  β  Định lý 1.1.3.1 Giả sử X  Beta α , β  . Khi đó ta có Γ α  µ  Γ α  β  ΕX µ  . Γ α  Γ  µ  α  β  1.1.4. Phân phối của ma trận ngẫu nhiên Định nghĩa 1.1.4.1 Cho không gian xác xuất Ω, F , P . Một ma trận ngẫu nhiên X cấp p  q ứng với không gian xác xuất Ω, F , P là một ma trận mà mỗi thành phần là một biến ngẫu nhiên trên không gian xác xuất này. Định nghĩa 1.1.4.2 Cho ma trận ngẫu nhiên X   X ij  cấp p  q . Phân phối của ma trận ngẫu nhiên X là phân phối của véctơ ngẫu nhiên pq chiều sau
3  X 1 j , X 2 j ,..., X pj  j1,...,q . ' Nếu ma trận ngẫu nhiên X   X ij  là đối xứng cấp p  p thì phân phối của p  p  1 X chính là phân phối của véctơ ngẫu nhiên chiều sau 2  X 1 j , X 2 j ..., X jj  j1,..., p . ' Nếu ma trận ngẫu nhiên X là phản đối xứng cấp p  p thì phân phối của X p  p 1 chính là phân phối của véctơ ngẫu nhiên chiều sau 2   ' X 1 j , X 2 j ,..., X  j1 j . j 2,.., p 1.1.4.1. Phân phối Wishart Nếu một ma trận ngẫu nhiên đối xứng W cấp p  p mà có sự phân tích n W   X k X k' k 1 trong đó n  p và X 1 ,..., X n độc lập và có cùng phân phối chuẩn N p 0, Σ thì ma trận ngẫu nhiên W gọi là có phân phối Wishart bậc tự do n với tham số Σ . Kí hiệu: W  W p n, Σ . Giả sử W  W p n, Σ khi đó hàm mật độ của W cho bởi n p1/2 W  1  exp  tr Σ1W  W  0 .  n  n /2  2  2np /2 Γ p   Σ  2 Định lý 1.1.4.1.1 Cho W1  W p n1 , Σ và W2  W p n2 , Σ khi đó W1  W2  có phân phối W p n1  n2 , Σ .
4 1.2. Jacobians của phép biến đổi trong  (xem [8], [11]) m 1.2.1. Các định nghĩa Định nghĩa1.2.1.1 Cho phép biến đổi y  y  x   y1  x,..., ym  x là ánh xạ ' 1 − 1 từ S   m vào T ⊂  m . Khi đó Jacobians của phép biến đổi này kí là J  x  y  được xác định bởi  x1 x1   . . .   y1 ym     x  J  x  y   det  ... ...   det  i  .    y j   x  x   m . . . m  y ym   1 trong đó x  x  y    x1  y ,..., xm  y  là phép biến đổi ngược của phép biến đổi ' trên.  x  Việc tính det  i  khi m lớn là khá khó khăn. Do đó, để xác định  y j  J ( x → y ) người ta đưa ra định nghĩa tích ngoài " " cho các đại lượng vi phân. Định nghĩa 1.2.1.2 Tích ngoài " " là phép tính trên các đại lượng vi phân thỏa mãn các tính chất: i) du  dv  dv  du , ii) α du  dv  du  α dv  α du  dv , iii) du  dv  dw  du  dw  dv  dw. Từ định nghĩa trên ta thấy " " thỏa du  du  0 1.2.2. Áp dụng định nghĩa tích ngoài để xác định J  x  y  . Ta có x  x  y    x1  y ,..., xm  y  . ' Khi đó
5 x1 x dx1  dy1  ...  1 dym , y1 ym ... xm x dxm  dy1  ...  m dym . y1 ym Tính dx1  ...  dxm  x x   x x  dx1  ...  dxm   1 dy1  ...  1 dym   ...   m dy1  ...  m dym .  y y m   y y m  1 1 Sử dụng định nghĩa tích ngoài ta có: dx1  ...  dxm  J  x  y  dy1  ...  dym . Định lý 1.2.2.1 Cho dx và dy là các vectơ vi phân cấp m1 nghĩa là dx  dx1 ,..., dxm  và dy  dy1 ,..., dym  . Khi đó, nếu dx  Bdy , B là ma trận ' ' hằng cấp m  m không suy biến thì dx1  ...  dxm  det B  dy1  ...  dym . 1.2.3. Jacobians của một số biến đổi thường gặp. Trước khi xác định Jacobians của một số biến đổi thường gặp ta có một số quy ước sau: Nếu X   xij  là ma trận biến cấp n × m thì ta xem X là vectơ trong  mn dX là ma trận dxij  cấp n  m . m n dX  kí hiệu cho j1 i1 dxij . Nếu X là ma trận biến đối xứng cấp m  m thì ta xem X là vectơ trong mm1  . dX  kí hiệu cho i j dxij . Nếu X là ma trận biến phản đối xứng cấp m  m thì ta xem X là vectơ mm1 trong  .
6 dX  kí hiệu cho i j dxij . Tích phân  f  x  dx1  ...  dxm hiểu theo nghĩa là tích phân A  f  x  dx1...dxm . A Ngoài những quy ước trên ta còn nhận thấy rằng Jacobians được sử dụng vào công thức đổi biến tích phân hoặc xác định hàm mật độ qua một phép biến đổi thông qua dấu giá trị tuyệt đối. Do đó, trong quá trình xác định Jacobians ta có thể bỏ qua dấu của nó. Định lý 1.2.3.1 Nếu X  BY ở đó X và Y là ma trận biến cấp n  m , B là ma trận hằng cấp n  n không suy biến thì dX   det B  dY . m Tức là J  X  Y   det B  . m Định lý 1.2.3.2 Nếu X  BYC ở đó X và Y là ma trận biến cấp n  m , B và C lần lượt là ma trận hằng không suy biến cấp n  n và m  m thì dX   det B det C  dY . m n Tức là J  X  Y   det B  det C  . m n Định lý 1.2.3.3 Nếu X  BYB ' ở đó X và Y là ma trận biến đối xứng cấp m  m , B là ma trận hằng không suy biến cấp m  m thì m1 dX   det B dY . m1 Tức là J  X  Y   det B  . Định lý 1.2.3.4 Nếu X  BYB ' ở đó X và Y là ma trận biến phản đối xứng cấp m  m , B là ma trận hằng không suy biến cấp m  m thì m1 dX   det B dY . m1 Tức là J  X  Y   det B  .
7 Định lý 1.2.3.5 Cho hai ma trận biến X , Y cấp m  m . Nếu X  Y 1 ở đó Y là ma trận đối xứng cấp m  m thì m1 dX   det Y  dY . Định lý 1.2.3.6 Nếu A là ma trận biến xác định dương cấp m  m và A  T 'T với T  tij  là ma trận biến tam giác trên thỏa các phần tử trên đường chéo chính đều dương thì m dA  2m  tiim1i dT . i1 m Tức là J  A  T   2m  tiim1i i1 Định lý 1.2.3.7 Cho Z là ma trận biến cấp n  m với n  m, rankZ  m và Z được viết dưới dạng Z  H1T ( H1 là ma trận biến cấp n  m thỏa H1' H1  I m , T là ma trận biến tam giác trên cấp m  m với các phần tử trên đường chéo chính dương). Đặt H 2 n n  m sao cho H   H1 : H 2  là ma trận biến trực giao. Khi đó m dZ    tiini dT    H1' dH1 , i1 Trong đó H   h1...hm : hm1...hn  và  H1' dH1     h 'j dhi . m n i1 j i 1 1.3. Giải tích phức (xem [1], [5], [11], [12], [16]) 1.3.1. Hàm Gamma ([12]-tr 29) Hàm Gamma được định nghĩa đầu tiên bởi Euler. Sau đó nhiều nhà toán học đã phát triển và tìm ra nhiều cách định nghĩa khác nhau cho hàm Gamma. Định nghĩa 1.3.1.1 n !n Z Γ  z   lim , z  0, 1, 2,... n z  z  1... z  n  Định nghĩa 1.3.1.2
8 1  1    z Γ  z   z 1   1 1  z  .  n n1   n  Định nghĩa 1.3.1.3   1  z   nz   ze  1   e  , γz Γ z  n   n1   ở đó γ gọi là hằng số Euler xác định bởi  1 1  γ  lim 1   ...   log n. n  2 n  Ngoài ra hằng số Euler có thể xác định như sau  et dt 1 γ   1 e    dt t . 0 t 1 t Định nghĩa 1.3.1.4  Γ  z    t z1et dt , Re z  0 . 0 Định lý 1.3.1.1 1. Hàm Gamma giải tích trên toàn bộ mặt phẳng phức trừ các điểm 0, −1, −2,... các điểm này là các cực điểm đơn của hàm Gamma. 2. Γ (1) = 1. 3. Γ ( z + 1) =zΓ ( z ) , Re z > 0. π đặc biệt Γ   = 1 4. Γ ( z ) Γ (1 − z ) = π. sin (π z ) 2 1− m mz − 1  1  m −1  = 5. Γ ( mz ) ( 2π ) 2 .m 2 .Γ ( z ) .Γ  z +  ...Γ  z + =  , m 1, 2,...  m  m  6. Công thức Binet ∞  1 1 1 1 1  e − tz ln Γ ( z ) =  z −  ln z − z + ln 2π + ∫  − + t  dt.  2 2 0 2 t e −1  t
9 7. Công thức Stirling )  z −  ln z − z + ln 2π + O ( z −1 ) , z → ∞. 1 1 ln Γ ( z =  2 2 ở đó kí hiệu O được hiểu như sau: =f ( z ) O ( g ( z ) ) , z → z0 nghĩa là tồn tại số M sao cho f ( z ) ≤ M g ( z ) với z đủ gần z0 hay z − z0 → 0 . 1.3.2. Hàm Gamma nhiều chiều Định nghĩa 1.3.2.1 m  1  Γ m a   π mm1/4  Γ  a  2  j 1, j 1 1 trong đó Re a   m 1 . 2 Định lý 1.3.2.1 ([11]-tr 70) 2m π mn /2   H1' dH1    1  . Vm , n Γ m  n 2  Tích phân bên vế trái là tích phân mặt với  H1' dH1  là dạng vi phân xác định như trong định lý 1.2.3.7 và Vm ,n  H n  m : H ' H  I m  xem như một mặt 1 mn  m m  1 chiều trong không gian Euclide  mn . 2 Chứng minh Gọi Z là ma trận ngẫu nhiên cấp n  m với n  m mà các phần tử của Z là độc lập và có cùng luật phân phối N 0,1 . Khi đó hàm mật độ của Z là  1 m n  exp   zij2 .  mn /2 2π   2 j1 i1  Suy ra
10    1 m n 2     2  zij  dz11dz21...dznm  2π  . mn /2 ... exp  j 1 i1    Do đó    1   tr  Z ' Z dZ   2π mn /2 .    2 ... exp  (1)   Mặt khác ta có thể phân tích Z  H1T ở đó H1  Vm ,n , T là ma trận tam giác trên mà các phần tử trên đường chéo chính đều dương. Khi đó trZ ' Z  trT 'T   tij2 i j m và dZ    tiini dT    H1' dH1 . i1 Đẳng thức (1) trở thành  1  m ni 2     2  ij  tii dT    H1dH1   2π  .  mn /2 ... exp  t ' tij , H1 Vm , n i j i1 Suy ra  1 2  m ni        2 i j  i1        π  ' mn /2 ... exp t ij  t ii dT H 1 dH 1 2 . tij H1 Vm , n Tương đương   m  1 2  m  1   exp  tij  dtij   tiini exp  tii2  dtii    H dH   2π  ' mn /2 . i j   2  i1 0  2  H1 Vm , n 1 1 Ta lại có   1 2  1  tij  dtij  2π 2 ,   2  exp    1  ni1/2  1  t ni exp  tii2  dtii  2 Γ  n  i  1 . 0 ii  2   2  Do đó
11 2m π mn /2   H dH1    1  . ' 1 Vm , n Γ m  n 2  1.3.3. Phép biến đổi Mellin (xem [12]) Định nghĩa 1.3.3.1 Cho hàm f  x khả tích địa phương trên 0, . Khi đó biến đổi Mellin của hàm f được kí hiệu là Μ  f , s  và xác định bởi  Μ  f , s    x s1 f  x dx 0 khi tích phân trên hội tụ.   O  xaε , x  0  Nếu f  x   trong đó ε  0 , a  b thì khi đó tích phân     O x bε , x    trên hội tụ tuyệt đối, hơn nữa miền a  Re s  b là miền giải tích của Μ  f , s  . Định lý 1.3.3.1 Cho hàm f  x khả tích địa phương trên 0, . Khi đó ta có các kết quả sau: 1. Μ  f ax, s   as Μ  f  x, s  , a  0 . 2. Μ  x a f  x, s   Μ  f  x, s  a  . 3. Μ  f  x a , s   a1Μ  f  x, s / a  , a  0 .   4. Μ  f  xa , s   a1Μ  f  x, s / a  , a  0 .   5. Μ  xα f  x µ , s   µ 1Μ  f  x,  s  α  / µ  , µ  0 .   6. Μ  xα f  xµ , s   µ 1Μ  f  x,  s  α  / µ  , µ  0 .    n 7. Μ ln x f  x, s   Μ  f  x , s   , n  1, 2,... n  
12 Định nghĩa 1.3.3.2 Một hàm f  x khả tích địa phương trên 0, và có biến đổi Mellin Μ  f , s  giải tích trên miền a  Re s  b . Khi đó biến đổi Mellin ngược cho bởi ci 1 f  x   2π i ci xs Μ  f , s  ds, a  c  b . 1.3.4. Khai triển một lớp hàm thành chuỗi vô hạn các phân thức hữu tỉ (xem [1], [5], [16]) Xét hàm biến phức f  z  . Giả sử f chỉ có các cực điểm đơn mà ta kí hiệu là a1 , a2 ,... ở đó a1  a2  ... Khi đó ta có thể chọn một dãy các đường tròn Cm tâm tại O và bán kính Rm sao cho Cm không đi qua bất kì cực điểm nào và Rm   khi m   . Ta xét khai triển thành chuỗi vô hạn các phân thức hữu tỉ cho lớp hàm phức thỏa các điều kiện: i) f chỉ có các cực điểm đơn mà ta kí hiệu là a1 , a2 ,... ở đó a1  a2  ... ii) f giải tích trên  bỏ đi các cực điểm. iii) Gọi M 1 , M 2 ,... là dãy các chặn trên của f trên C1 , C2 ,... thì dãy M i i bị chặn trên. Gọi b1 , b2 ,... là các thặng dư của f tại các cực điểm tương ứng a1 , a2 ,... Nếu x không là cực điểm của f thì ta có 1 f z br 2π i  zx dz  f  x    r ar  x (1) Cm trong đó m đủ lớn sao cho x thuộc miền trong của Cm . Mặt khác
13 1 f  z 1 f  z x f z  2π i C z  x dz   2π i C z dz   2π i C z  z  x  dz m m m br x f z  f 0     dz. r ar 2π i C z  z  x  m Giả sử x  a ta có x f  z Ma  2π i C z  z  x dz  Rm  a . m Do đó cho m   trong đẳng thức (1) ta được   br b f  0    f  x    r . r 1 ar r 1 ar  x Vậy khai triển của hàm f cho bởi  1 1  f  x  f 0   br   . r 1  ar x  ar  Bổ đề 1.3.4.1 Cho hàm      1  1  1  1 ; s  0   2 s e 1 s s f s      1   ; s0  12 Khi đó   1 1 ln Γ  x   x   ln x  x  ln 2π   f  s  esx ds .  2 2 0 Ngoài ra ta có thể đánh giá hàm f trong công thức trên như sau: 1 0  f s  , s  0 . 12  1 và 0   sf  s     1 , s  0 .  2
14 Chứng minh Với hàm f đã cho, theo công thức Binet thì đẳng thức   1 1 ln Γ  x   x   ln x  x  ln 2π   f  s  esx ds  2 2 0 hiển nhiên đúng. Ta chỉ cần chứng minh các đánh giá đối với hàm f . Đặt 1 1 g s   . e s 1 s Khi đó g sẽ thỏa các điều kiện để có thể khai triển thành chuỗi vô hạn các phân thức hữu tỉ. Ta có các cực điểm của g là đơn, cụ thể là sn  i 2nπ với 0  n  Ζ . Khi đó thặng dư tương ứng với cực điểm sn là 1. Mặt khác  1 1 1 lim g  s   lim  s     . s0 s0  e 1 s  2 Do đó với s  0 ta có thể khai triển g như sau 1  1 1  g  s         2 n0  i 2nπ s  i 2nπ  1   1 1        2 n1  s  i 2nπ s  i 2nπ  1  2s       2 . 2 n1  s  4n π  2 2 Vậy 1 1 1   2s    s    2 ; s  0 . 2 s e 1 n1  s  4n 2π 2  Mặt khác   1  1   2n π n1 2 2   .  12