Luận văn Thạc sĩ Toán học: Điều kiện Fritz John và Karush Kuhn Tucker cho nghiệm hữu hiệu của bài toán cân bằng vectơ qua dưới vi phân suy rộng

Chia sẻ: Tri Tâm | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:46

Thêm vào BST

Báo xấu

28
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn trình bày điều kiện cần Fritz John, các điều kiện cần và đủ Karush Kuhn Tucker cho nghiệm hữu hiệu của bài toán cân bằng vectơ qua dưới vi phân suy rộng Đ.V. Lưu đăng trên tạp chí J.Optim.Theory Appl. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Điều kiện Fritz John và Karush Kuhn Tucker cho nghiệm hữu hiệu của bài toán cân bằng vectơ qua dưới vi phân suy rộng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– AN VĂN LONG ĐIỀU KIỆN FRITZ JOHN VÀ KARUSH-KUHN-TUCKER CHO NGHIỆM HỮU HIỆU CỦA BÀI TOÁN CÂN BẰNG VECTƠ QUA DƯỚI VI PHÂN SUY RỘNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN, 5/2018
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– AN VĂN LONG ĐIỀU KIỆN FRITZ JOHN VÀ KARUSH-KUHN-TUCKER CHO NGHIỆM HỮU HIỆU CỦA BÀI TOÁN CÂN BẰNG VECTƠ QUA DƯỚI VI PHÂN SUY RỘNG Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 8460112 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN PGS.TS. ĐỖ VĂN LƯU THÁI NGUYÊN, 5/2018
Mục lục Bảng ký hiệu i Mở đầu 1 Chương 1. Dưới vi phân suy rộng 4 1.1. Dưới vi phân suy rộng và các dưới vi phân Clarke, Michel–Penot 4 1.2. Dưới vi phân chính quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3. Quy tắc tính dưới vi phân suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . 14 Chương 2. Điều kiện cần và điều kiện đủ cho nghiệm hữu hiệu địa phương 17 2.1. Các khái niệm và kết quả bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2. Điều kiện cần Fritz John cho nghiệm hữu hiệu địa phương . . . 19 2.3. Điều kiện cần Karush–Kuhn–Tucker cho nghiệm hữu hiệu địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.4. Điều kiện đủ cho nghiệm hữu hiệu yếu . . . . . . . . . . . . . . 31 Chương 3. Áp dụng 36 3.1. Điều kiện tối ưu cho bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ . 36 3.2. Điều kiện tối ưu cho bài toán tối ưu vectơ . . . . . . . . . . . . 38 Kết luận 40 Tài liệu tham khảo 42
i Bảng ký hiệu convM bao lồi của tập M clconvM bao lồi đóng của tập M coneM nón lồi sinh ra bởi M X∗ không gian đối ngẫu tô pô của không gian X T (C, x) nón tiếp tuyến Clarke của C tại x N (C, x) nón pháp tuyến Clarke của C tại x f − (x, d) đạo hàm Dini dưới của f tại x theo phương d f + (x, d) đạo hàm Dini trên của f tại x theo phương d f 0 (x, d) đạo hàm suy rộng Clarke của f tại x theo phương d f ♦ (x, d) đạo hàm Michel–Penot của f tại x theo phương d ∂f (x) dưới vi phân Clarke của f tại x ∂ ♦ f (x) dưới vi phân Michel–Penot của hàm f tại x ∂ ∗ f (x) dưới vi phân suy rộng trên của f tại x ∂∗ f (x) dưới vi phân suy rộng dưới của f tại x (V EP ) bài toán cân bằng vectơ (CV EP ) bài toán cân bằng vectơ có ràng buộc (CV V I) bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ có ràng buộc (CV OP ) bài toán tối ưu vectơ có ràng buộc
1 Mở đầu 1. Lí do chọn đề tài Bài toán cân bằng vectơ bao gồm nhiều lớp bài toán trong tối ưu, trong đó có bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ và bài toán tối ưu vectơ. Điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu của bài toán cân bằng vectơ là một bộ phận quan trọng của tối ưu hóa. Năm 1999, V. Jeyakummar và D.T. Luc [5] đã đưa ra khái niệm dưới vi phân suy rộng đóng không lồi (convexificator) cho hàm vô hướng. Dưới vi phân suy rộng là một tổng quát hóa của các khái niệm dưới vi phân Clarke, Michel - Penot, Mordukhovich, Treiman. Dưới vi phân suy rộng là một công cụ hữu hiệu để thiết lập các điều kiện tối ưu. Khi dẫn các điều kiện tối ưu qua các dưới vi phân người ta thường phải giả thiết hàm ràng buộc đẳng thức là khả vi Fréchet. Đ.V. Lưu ([6], 2016) đã thiết lập các điều kiện cần Fritz John, các điều kiện cần và đủ Karush–Kuhn–Tucker cho nghiệm hữu hiệu của bài toán cân bằng vectơ có ràng buộc đẳng thức, bất đẳng thức và ràng buộc tập qua dưới vi phân suy rộng, trong đó hàm ràng buộc đẳng thức không khả vi Fréchet, mà chỉ là hàm Lipschitz địa phương. Đây là đề tài được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu. Chính vì vậy, chúng tôi chọn đề tài: "Điều kiện Fritz John và Karush–Kuhn–Tucker cho nghiệm hữu hiệu của bài toán cân bằng vectơ qua dưới vi phân suy rộng". 2. Mục đích của đề tài Luận văn trình bày các điều kiện cần Fritz John, các điều kiện cần và đủ Karush–Kuhn–Tucker cho nghiệm hữu hiệu của bài toán cân bằng vectơ qua dưới vi phân suy rộng của Đ.V. Lưu [6] đăng trong tạp chí J.
2 Optim.Theory Appl. 171 (2016), 643 - 665. Một số áp dụng cho bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ và bài toán tối ưu vectơ cũng được trình bày trong luận văn. 3. Nội dung của luận văn Luận văn bao gồm phần mở đầu, ba chương, kết luận và danh mục tài liệu tham khảo Chương 1 " Dưới vi phân suy rộng" trình bày một số kiến thức cơ bản về dưới vi phân suy rộng không compact cho hàm giá trị thực mở rộng, bao gồm: các khái niệm dưới vi phân suy rộng trên và dưới, dưới vi phân suy rộng chính quy và dưới vi phân suy rộng tối thiểu, các quy tắc tính dưới vi phân suy rộng, định lý giá trị trung bình. Chương 2 "Điều kiện cần và điều kiện đủ" trình bày các điều kiện cần Fritz John và Karush–Kuhn–Tucker cho nghiệm hữu hiệu địa phương chính quy theo nghĩa Ioffe và các điều kiện đủ cho nghiệm hữu hiệu yếu của bài toán cân bằng vectơ có ràng buộc trong không gian Banach của D. V. Luu [6]. Chương 3 "Áp dụng": sử dụng các kết quả đã trình bày trong chương 2, chúng tôi trình bày các điều kiện tối ưu cho bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ (CVVI) và bài toán tối ưu vectơ (CVOP). Luận văn này được thực hiện tại Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của PGS.TS. Đỗ Văn Lưu. Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới người thầy hướng dẫn khoa học của mình, người đã đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn tận tình và đầy trách nhiệm để tác giả hoàn thành luận văn này. Tác giả đã học tập được rất nhiều kiến thức chuyên ngành bổ ích cho
3 công tác và nghiên cứu của bản thân. Nhân dịp này tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới các thầy giáo, cô giáo đã tham gia giảng dạy lớp cao học Toán K10Y, nhà trường và các phòng chức năng của Trường, khoa Toán - Tin, trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đã quan tâm và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập tại trường. Cuối cùng tác giả xin cảm ơn gia đình, bạn bè và đồng nghiệp đã động viên, ủng hộ và tạo mọi điều kiện cho tác giả trong suốt thời gian nghiên cứu và học tập. Thái Nguyên, tháng 5 năm 2018 Tác giả luận văn An Văn Long
4 Chương 1 Dưới vi phân suy rộng Chương 1 trình bày một số kiến thức cơ bản về dưới vi phân suy rộng không compact cho hàm giá trị thực mở rộng, bao gồm: các khái niệm dưới vi phân suy rộng trên và dưới, dưới vi phân suy rộng chính quy và dưới vi phân suy rộng tối thiểu, các quy tắc tính dưới vi phân suy rộng, định lý giá trị trung bình. Các kiến thức trình bày trong chương này được tham khảo trong [1], [5]. 1.1. Dưới vi phân suy rộng và các dưới vi phân Clarke, Michel–Penot Trong phần này, ta trình bày khái niệm dưới vi phân suy rộng, dưới vi phân suy rộng chính quy dưới và trên cho hàm giá trị thực mở rộng. Giả sử X là một không gian Banach và f : X → R là một hàm giá trị thực mở rộng, trong đó R := R ∪ {±∞}. Không gian đối ngẫu của X được kí hiệu bởi X ∗ và X ∗ được trang bị tô pô yếu∗ . Bao lồi và bao lồi đóng của tập A trong X ∗ được kí hiệu tương ứng bởi conv(A) và conv(A). Giả sử x ∈ X tại đó f là hữu hạn. Đạo hàm theo phương Dini dưới và trên của f tại x theo phương v được định nghĩa tương ứng bởi f (x + tv) − f (x) f − (x, v) := lim inf , t↓0 t f (x + tv) − f (xt) f + (x, v) := lim sup . t↓0 t
5 Trong trường hợp f + (x; v) = f − (x; v), giá trị chung của chúng được ký hiệu bởi f 0 (x; v) và được gọi là đạo hàm Dini của f tại x theo phương v. Hàm f được gọi là khả vi Dini được tại x nếu đạo hàm Dini tại x tồn tại theo tất cả các phương. Theo [5], hàm f : X −→ R được gọi là có dưới vi phân suy rộng trên ∂ ∗ f (x) tại x nếu ∂ ∗ f (x) ⊂ X ∗ là đóng yếu∗ và với mỗi v ∈ X, f − (x, v) ≤ sup hx∗ , vi . x∗ ∈∂ ∗ f (x) Hàm f : X −→ R được gọi là có dưới vi phân suy rộng dưới ∂∗ f (x) tại x nếu ∂∗ f (x) ⊂ X ∗ đóng yếu∗ và với mỗi v ∈ X, f + (x, v) ≥ inf hx∗ , vi . x∗ ∈∂∗ f (x) Hàm f : X −→ R được gọi là có dưới vi phân suy rộng ∂ ∗ f (x) tại x nếu nó đồng thời là dưới vi phân suy rộng dưới và trên của hàm f tại x. Điều này có nghĩa là hàm f có dưới vi phân suy rộng thì ∂ ∗ f (x) là đóng yếu∗ và với mỗi v ∈ X, f − (x, v) ≤ sup hx∗ , vi , x∗ ∈∂ ∗ f (x) f + (x, v) ≥ inf hx∗ , vi . x∗ ∈∂ ∗ f (x) Chú ý rằng dưới vi phân suy rộng không nhất thiết là lồi hoặc compắc yếu∗ . Điều này cho phép ta áp dụng được cho một lớp rộng bài toán với các hàm liên tục không trơn. Ví dụ 1.1 Cho hàm f : R → R được xác định bởi: (√ x, nếu x ≥ 0, f (x) = √ − −x, nếu x < 0 Hàm f có dưới vi phân suy rộng không compắc tại 0 có dạng [α, ∞) với α ∈ R. Hàm f được cho là có dưới vi phân suy rộng nửa chính quy trên (dưới) ∂ ∗ f (x) (tương ứng ∂∗ f (x)) tại x nếu ∂ ∗ f (x) (tương ứng ∂∗ f (x)) đóng yếu∗ và với mọi v ∈ X, f + (x; v) 6 sup hξ, vi ξ∈∂ ∗ f (x)
6 tương ứng f − (x; v) > inf hξ, vi . ξ∈∂∗ f (x) Giả sử f : X −→ R là hữu hạn tại điểm x ∈ X. Nếu f là nửa liên tục dưới tại x thì đạo hàm trên Clarke–Rockafellar của f tại x theo phương v được định nghĩa bởi 0 0 0 f x + tv − f x f ↑ (x, v) = lim sup inf , 0 x →f x v 0 →v t t↓0 0 0 0 trong đó x →f x có nghĩa là x → x và f (x ) → f (x). Nếu f là nửa liên tục trên tại x thì đạo hàm dưới Clarke–Rockafellar của f tại x với phương v được xác định bởi 0 0 0 ↓ f (x + tv ) − f (x ) f (x, v) = lim inf sup . x0 →f x v 0 →v t t↓0 Nếu f liên tục tại x thì x0 →f x trong định nghĩa trên có thể viết đơn giản là x0 → x. Các dưới vi phân suy rộng trên và dưới của f tại x được cho bởi công thức: ∂ ↑ f (x) = x∗ ∈ X ∗ : hx∗ , vi ≤ f ↑ (x, v), ∀v ∈ X , ∂ ↓ f (x) = x∗ ∈ X ∗ : hx∗ , vi ≤ f ↓ (x, v), ∀v ∈ X . Nếu f ↑ (x, 0) > −∞ thì ∂ ↑ f (x) là tập con đóng yếu∗ , lồi, khác rỗng của X ∗ và với mỗi v ∈ X, f ↑ (x, v) = sup hx∗ , vi . x∗ ∈∂ ↑ f (x) Tương tự, nếu f ↓ (x, 0) < ∞ thì ∂ ↓ f (x) là tập con đóng yếu∗ , lồi, khác rỗng của X ∗ và với mỗi v ∈ X, f ↓ (x, v) = inf hx∗ , vi . x∗ ∈∂ ↓ f (x) Nếu f là Lipschitz địa phương tại x thì f ↑ (x; v) = f ◦ (x, v) , f ↓ (x; v) = f◦ (x, v) ,
7 trong đó 0 0 0 f (x + tv ) − f (x ) f ◦ (x, v) = lim sup , x0 → f x t t↓0 0 0 0 f (x + tv ) − f (x ) f◦ (x, v) = lim inf , x0 →f x t t↓0 là các đạo hàm theo phương suy rộng trên và dưới Clarke của f tại x theo phương v. Dưới vi phân suy rộng Clarke được xác định bởi (xem [2]) ∂ ◦ f (x) = x∗ ∈ X ∗ : hx∗ , vi ≤ f ◦ (x, v), ∀v ∈ X . Hơn nữa, f ◦ (x, v) = max hx∗ , vi , x∗ ∈∂ ◦ f (x) f◦ (x, v) = min hx∗ , vi . x∗ ∈∂ ◦ f (x) Vì vậy, nếu f Lipschitz địa phương tại x thì ∂ ◦ f (x) là dưới vi phân suy rộng của f tại x, bởi vì fd− (x, v) ≤ f ◦ (x, v) và fd+ (x, v) ≥ f◦ (x, v), với mỗi v ∈ X. Tương tự, nếu f là Lipschitz địa phương tại x thì đạo hàm theo phương dưới và trên Michel–Penot của f tại x tương ứng được xác định bởi f (x, v) = sup lim sup λ−1 f (x + λz + λv) − f (x + λz) , z∈X λ↓0 f (x, v) = inf lim inf λ−1 f (x + λz + λv) − f (x + λz) . z∈X λ↓0 Dưới vi phân Michel–Penot được định nghĩa bởi ∂ f (x) := x∗ ∈ X ∗ : f (x, v) ≥ hx∗ , vi , ∀v ∈ X . Ta thấy rằng đạo hàm theo phương dưới và trên Michel–Penot f (x,. ) và f (x,. ) là hữu hạn, dưới tuyến tính, ∂ f (x) là compact yếu∗ lồi và f (x, v) = max hx∗ , vi , x∗ ∈∂ f (x) f (x, v) = min hx∗ , vi . x∗ ∈∂ f (x) Vì vậy, ∂ f (x) cũng là một dưới vi phân suy rộng của f tại x, bởi vì fd− (x, v) ≤ f (x, v) và fd+ (x, v) ≥ f (x, v), với mỗi v ∈ X.
8 Hơn nữa, nếu X = Rn thì 0 ∂ ◦ f (x) = conv v ∈ Rn : ∃{xk } : xk → x, xk ∈ K, f (xk ) → v . Như vậy, tập com pắc 0 v ∈ Rn : ∃{xk } : xk → x, xk ∈ K, f (xk ) → v là một dưới vi phân suy rộng của f tại x, trong đó K là tập các điểm của Rn mà f là khả vi với đạo hàm f 0 (x) tại x. Định lý giá trị trung bình dưới đây đóng một vai trò quan trọng trong lý thuyết dưới vi phân suy rộng. Định lí 1.1 (Định lý giá trị trung bình cho dưới vi phân suy rộng) Giả sử a, b ∈ X và f : X → R là một hàm sao cho thu hẹp f |[a,b] là hữu hạn và liên tục. Giả thiết rằng với mỗi x ∈ (a, b), ∂ ∗ f (x) và ∂∗ f (x) tương ứng là các dưới vi phân suy rộng trên và dưới của f . Khi đó tồn tại c ∈ (a, b) và một dãy {x∗k } ⊂ conv(∂ ∗ f (c)) ∪ conv(∂∗ f (c)) sao cho f (b) − f (a) = lim hx∗k , b − ai . k→∞ Chứng minh Xét hàm g : [0, 1] → R được xác định bởi g(t) := f a + t(b − a) − f (a) + t f (a) − f (b) . Khi đó, g là liên tục trên [0, 1] và g(0) = g(1) = 0. Như vậy, tồn tại γ ∈ (0, 1) sao cho g đạt cực trị tại γ. Đặt c = γb + (1 − γ)a. Giả sử g đạt cực tiểu tại γ. Khi đó, điều kiện cần để γ là cực tiểu là với mỗi v ∈ R, g − (γ, v) ≥ 0. Bởi vì g − (γ, v) = f − c, v(b − a) + v f (a) − f (b) , với mỗi v ∈ R, ta có f − c, v(b − a) ≥ v f (b) − f (a) .
9 Khi đó bằng cách đặt v = 1 và v = −1 ta có được các bất đẳng thức sau: −f − (c, a − b) ≤ f (b) − f (a) ≤ f − (c, b − a). Bởi vì ∂ ∗ f (c) là một dưới vi phân suy rộng trên của f tại c, ta có inf hz ∗ , b − ai ≤ f (b) − f (a) ≤ sup hz ∗ , b − ai . (1.1) z ∗ ∈∂ ∗ f (c) z ∗ ∈∂ ∗ f (c) Khi đó từ bất đẳng thức (1.1), tồn tại dãy {x∗k } ⊂ conv(∂ ∗ f (c)) thỏa mãn f (b) − f (a) = lim hx∗k , b − ai . k→∞ Nếu g đạt cực đại tại γ thì cũng lí luận tương tự như trên ta nhận được kết luận của định lí. Từ định lý giá trị trung bình ta chứng minh được quy tắc hàm hợp cho dưới vi phân suy rộng như sau: Định lí 1.2 Giả sử f = (f1 , ..., fn ) là một hàm liên tục từ X vào Rn và g là một hàm liên tục từ Rn vào R. Giả thiết rằng với mỗi i = 1, 2, ..., n, fi có một dưới vi phân suy rộng bị chặn ∂ ∗ fi (x0 ) tại x0 và g có một dưới vi phân suy rộng bị chặn ∂ ∗ g f (x0 ) tại f (x0 ). Với mỗi i = 1, 2, ..., n, nếu ∂ ∗ fi là nửa liên tục trên tại x0 và ∂ ∗ g là nửa liên tục trên tại f (x0 ) thì tập ∂ ∗ (g ◦ f )(x0 ) := ∂ ∗ g f (x0 ) ∂ ∗ f1 (x0 ), ..., ∂ ∗ fn (x0 ) là một dưới vi phân suy rộng của g ◦ f tại x0 . Chứng minh Lấy x0 ∈ X. Khi đó, g f (x 0 + tu) − g f (x 0 ) (g ◦ f )− (x0 , u) = lim inf , t↓0 t Từ định lí giá trị trung bình ta nhận được g f (x0 + tu) − g f (x0 ) ∈ conv ∂ ∗ g(ct ), f (x0 + tu) − f (x0 ) , với ct nào đó ∈ [f (x0 ), f (x0 + tu)] và với mỗi i, fi (x0 + tu) − fi (x0 )) ∈ conv ∂ ∗ fi (xti ), tu ,
10 với cti nào đó ∈ (x0 , x0 + tu). Từ giả thiết nửa liên tục trên ta suy ra với mỗi > 0, tồn tại t0 > 0 sao cho ∂ ∗ g(ct ) ⊂ ∂ ∗ g f (x0 ) + B n , ∗ ∂ ∗ fi (xti ) ⊂ ∂ ∗ fi (x0 ) + B X , với mỗi i và t ∈ [0, t0 ], trong đó B n là hình cầu đơn vị trong Rn . Như vậy ta nhận được, với mỗi t ≤ t0 , g f (x0 + tu) − g f (x0 ) ∈ conv hA, ui , t trong đó n X (αi + bi ) + (ξi + ηi )|α ∈ ∂ ∗ g f (x0 ) , A := i=1 ∗ b ∈ B n , ξi ∈ ∂ ∗ fi (x0 ), ηi ∈ B X . Bởi vì dưới vi phân suy rộng là bị chặn, suy ra tồn tại M > 0, không ∗ phụ thuộc vào sao cho với mỗi α ∈ ∂ ∗ g f (x0 ) , b ∈ B n , ξi ∈ B X , i = 1, 2, ..., n, kαi ηi + bi ξi k ≤ M và kbi ηi k ≤ M. Do đó, (g ◦ f )− ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ d (x0 , u) ≤ sup hx , ui |x ∈ ∂ g f (x 0 ) ∂ f (x 1 0 ), ..., ∂ f (x n 0 ) + ( + 2 )M. Bởi vì là tùy ý, ta suy ra được (g ◦ f )− (x0 , u) ≤ sup hx∗ , ui |x∗ ∈ ∂ ∗ g f (x0 ) ∂ ∗ f1 (x0 ), ..., ∂ ∗ fn (x0 ) . Do đó, tập ∂ ∗ g f (x0 ) ∂ ∗ f1 (x0 ), ..., ∂ ∗ fn (x0 ) là một dưới vi phân suy rộng trên của g ◦ f tại x0 . Lý luận tương tự như trên ta có tập ∂ ∗ g f (x0 ) ∂ ∗ f1 (x0 ), ..., ∂ ∗ fn (x0 ) là một dưới vi phân suy rộng dưới của g ◦ f tại x0 . Do đó, ta có điều phải chứng minh.
11 1.2. Dưới vi phân chính quy Hàm f : X → R được gọi là có dưới vi phân suy rộng chính quy trên ∂ ∗ f (x) ⊂ X ∗ tại x nếu ∂ ∗ f (x) là đóng yếu∗ và với mỗi v ∈ X, f + (x, v) = sup hx∗ , vi . x∗ ∈∂ ∗ f (x) Tương tự, hàm f được gọi là có dưới vi phân suy rộng chính quy dưới ∂∗ f (x) ⊂ X ∗ tại x nếu ∂∗ f (x) là đóng yếu∗ và với mỗi v ∈ X, f − (x, v) = inf hx∗ , vi . x∗ ∈∂ ∗ f (x) Rõ ràng, mọi dưới vi phân suy rộng chính quy trên (dưới) của f tại x là dưới vi phân suy rộng trên (t.ứ. dưới) của f tại x. Theo [5], hàm f là dưới khả vi tại x nếu nó khả vi theo phương và tồn tại một tập lồi và compăc yếu∗ ∂ ∗ f (x) sao cho với mỗi v ∈ X, f 0 (x, v) = max hx∗ , vi . x∗ ∈∂ ∗ f (x) Khi đó, từ định nghĩa suy ra mọi hàm dưới khả vi có dưới vi phân suy rộng compăc yếu∗ và chính quy trên. Các hàm dưới khả vi cho ta một lớp rộng của hàm không trơn, nó kín với phép lấy tổng và maximum theo điểm. Nhắc lại [2]: hàm Lipschitz địa phương f được gọi là chính quy theo nghĩa Clarke tại x nếu với mọi v ∈ X, tồn tại f 0 (x, v) và f 0 (x, v) = f 0 (x, v). Chú ý rằng dưới vi phân Clarke của f quy về đạo hàm thông thường nếu f khả vi chặt. Trong trường hợp f là Lipschitz địa phương, dưới vi phân Clarke là một dưới vi phân suy rộng của f tại x (xem [5]). Với những hàm f như vậy, dưới vi phân Clarke ∂f (x) là một dưới vi phân suy rộng chính quy trên và ánh xạ dưới vi phân suy rộng ∂f bị chặn địa phương tại x. Hơn nữa, trong trường hợp dim X < ∞, ánh xạ ∂f nửa liên tục trên tại x (xem [2]). Ví dụ 1.2 Cho f là một hàm lấy giá trị thực trên tập R với   x 1 , nếu x 6= 0, f (x) := 1+e x 0, nếu x = 0.
12 Ta có  0, nếu v > 0, + − f (0; v) = f (0; v) = v, nếu v < 0. Tập hợp {0; 1} là một dưới vi phân suy rộng bán chính quy trên của f tại x = 0. Nó cũng là một dưới vi phân suy rộng chính quy dưới của f tại x = 0. Mệnh đề sau đây cho ta thấy mối liên hệ giữa tính khả vi và tính chính quy. Mệnh đề 1.1 Hàm f : X → R là khả vi Gâteaux tại x0 nếu và chỉ nếu f là khả vi theo phương tại x0 và f có một dưới vi phân suy rộng chính quy trên và dưới tại x0 . Chứng minh Nếu f là khả vi Gâteaux tại x0 thì f là khả vi theo phương và đạo hàm Gâteaux {f 0 (x0 )} là một dưới vi phân suy rộng chính quy trên và dưới của f tại x0 . Ngược lại, nếu f là khả vi theo phương tại x0 và nếu ∂ ∗ f (x0 ) là một dưới vi phân suy rộng chính quy trên và dưới thì với mỗi v ∈ X, f 0 (x0 , v) = fd− (x0 , v) = inf hx∗ , vi x∗ ∈∂∗ f (x) = fd+ (x0 , v) = sup hx∗ , vi . x∗ ∈∂ ∗ f (x) Do đó, ∂ ∗ f (x0 ) là tập một điểm và f là khả vi Gâteaux tại x0 . Giả sử ta có hàm f là hữu hạn và liên tục tại x. Ta nói f là chính quy trên tại x nếu với mỗi v ∈ X, f + (x, v) = f ↑ (x, v) . Tương tự, hàm f là chính quy dưới tại x nếu với mỗi v ∈ X, f − (x, v) = f ↓ (x, v) . Lưu ý rằng, nếu f : Rn → R là Lipschitz địa phương trên Rn và nếu với mỗi v ∈ X, f + (·, v) [f − (·, v)] là nửa liên tục trên [dưới], thì với mỗi x ∈ X và v ∈ X, f + (x, v) = f ◦ (x, v) = f ↑ (x, v)[f − (x, v) = f◦ (x, v) = f ↓ (x, v)],
13 và như vậy f là chính quy trên [dưới] tại x. Nếu f ↑ (x, 0) > −∞ và f là chính quy trên tại x, thì ∂ ↑ f (x)) là tập con đóng yếu∗ , lồi, khác rỗng của X ∗ và với mỗi v ∈ X, f + (x, v) = f ↑ (x, v) = sup hx∗ , vi . x∗ ∈∂ ↑ f (x) Do đó, ∂ ↑ f (x) là dưới vi phân suy rộng chính quy trên của f tại x. Tương tự, nếu f ↓ (x, 0) < ∞ và f là chính quy dưới tại x, thì ∂ ↓ f (x) là tập con đóng yếu∗ , lồi, khác rỗng của X ∗ và với mỗi v ∈ X, fd− (x, v) = f ↓ (x, v) = sup hx∗ , vi , x∗ ∈∂ ↓ f (x) và như vậy ∂ ↓ f (x) là dưới vi phân suy rộng chính quy dưới của f tại x. Nếu f : Rn → R là Lipschitz địa phương trên Rn và chính quy trên tại x, thì với mỗi v ∈ X, fd+ (x, v) = f ↑ (x, v) = f ◦ (x, v) = max hx∗ , vi . x∗ ∈∂ ◦ f (x) Định lí 1.3 Giả sử hàm f : X → R có dưới vi phân suy rộng ∂ ∗ f (x) tại x ∈ X. Nếu f đạt cực trị tại x thì 0 ∈ conv(∂ ∗ f (x)). Chứng minh Giả sử f đạt cực tiểu tại x. Khi đó, với mỗi v ∈ X, f − (x, v) ≥ 0. Như vậy, sup hx∗ , vi ≥ 0, x∗ ∈∂ ∗ f (x) bởi vì ∂ ∗ f (x) là dưới vi phân suy rộng trên của f tại x. Ta định nghĩa hàm φ : X → R như sau: φ(v) = sup hx∗ , vi . x∗ ∈∂ ∗ f (x)
14 φ là hàm dưới tuyến tính, nửa liên tục dưới. Do đó, theo [19], với mỗi v ∈ X, φ(v) ≥ 0 nếu và chỉ nếu 0 ∈ ∂φ(0), trong đó ∂φ(0) = conv(∂ ∗ f (x)). Mặt khác, nếu f đạt cực đại tại x thì với mỗi v ∈ X, inf hx∗ , vi ≤ f + (x, v) ≤ 0. x∗ ∈∂ ∗ f (x) Như vậy, với mỗi v ∈ X, sup hx∗ , vi ≥ 0. x∗ ∈∂ ∗ f (x) Do đó ta có điều cần chứng minh. 1.3. Quy tắc tính dưới vi phân suy rộng Quy tắc 1.1 Giả sử ∂ ∗ f (x) và ∂∗ f (x) tương ứng là các dưới vi phân suy rộng trên và dưới của f tại x. Nếu λ > 0 thì λ∂ ∗ f (x) là một dưới vi phân suy rộng trên của λf tại x. Nếu λ < 0 thì λ∂∗ f (x) là một dưới vi phân suy rộng trên của λf tại x. Chứng minh Kết luận của quy tắc được suy ra từ định nghĩa. Chú ý rằng quy tắc này cũng đúng với các dưới vi phân suy rộng chính quy dưới và trên Quy tắc 1.2 Giả thiết rằng các hàm f, g : X → R nhận ∂ ∗ f (x) và ∂ ∗ g(x) tương ứng là các dưới vi phân suy rộng trên tại x và một trong các dưới vi phân suy rộng là chính quy trên tại x. Khi đó ∂ ∗ f (x) + ∂ ∗ g(x) là dưới vi phân suy rộng trên của f + g tại x. Chứng minh
15 Giả sử ∂ ∗ g(x) là dưới vi phân suy rộng chính quy trên của g tại x. Khi đó, với mỗi v ∈ X, (f + g)− (x, v) ≤ f − (x, v) + g + (x, v) ≤ sup hx∗ , vi + sup hy ∗ , vi . x∗ ∈∂ ∗ f (x) y ∗ ∈∂ ∗ g(x) Do đó, với mỗi v ∈ X, (f + g)− (x, v) ≤ sup hz ∗ , vi . z ∗ ∈∂ ∗ f (x)+∂ ∗ g(x) Từ đó ta có kết luận cần chứng minh. Quy tắc sau đây cho ta một kết quả mạnh hơn quy tắc trước nhưng với một điều kiện khả vi. Quy tắc 1.3 Nếu f : X → R có dưới vi phân suy rộng chính quy trên ∂ ∗ f (x) tại x và g : X → R là khả vi Gâteaux tại x với đạo hàm g 0 (x) thì ∂ ∗ f (x) + {g 0 (x)} là dưới vi phân suy rộng chính quy trên của f + g tại x. Chứng minh Ta có (f + g)+ (x, v) = f + (x, v) + hg 0 (x), vi = sup hx∗ , vi + hg 0 (x), vi . x∗ ∈∂ ∗ f (x) Do đó, với mỗi v ∈ X, (f + g)+ (x, v) = sup hz ∗ , vi . z ∗ ∈∂ ∗ f (x)+{g 0 (x)} Cho I = {1, 2}, x0 ∈ X và với mỗi i ∈ I, giả sử fi : X → R là một hàm liên tục. Hàm h : X → R được xác định bởi h(x) = max{f1 (x), f2 (x)}. Đặt I(x0 ) = {i ∈ I : h(x0 ) = fi (x0 )}.
16 Quy tắc 1.4 Với mỗi i ∈ I, nếu fi có dưới vi phân suy rộng trên ∂ ∗ fi (x0 ) tại x0 thì [ ∂ ∗ h(x0 ) := ∂ ∗ fi (x0 ) i∈I(x0 ) là dưới vi phân suy rộng trên của h tại x0 . Chứng minh Nếu f1 (x0 ) > f2 (x0 ) thì I(x0 ) = {1} và h(x) = f1 (x) với mỗi x trong một lân cận của x0 . Do đó, h− (x0 , v) = f − (x0 , v) ≤ sup hx∗ , vi , x∗ ∈∂ ∗ f1 (x) và như vậy ∂ ∗ h(x0 ) = ∂ ∗ f1 (x0 ) là một dưới vi phân suy rộng trên của h tại x0 . Tương tự, nếu f1 (x0 ) < f2 (x0 ) thì ∂ ∗ h(x0 ) = ∂ ∗ f2 (x0 ) là một dưới vi phân suy rộng trên của h tại x0 . Bây giờ giả thiết rằng f1 (x0 ) = f2 (x0 ). Khi đó, h(x0 ) = f1 (x0 ) = f2 (x0 ), và với mỗi v ∈ X, h− (x0 , v) max f1 (x0 + tv), f2 (x0 + tv) − h(x0 ) = lim inf t↓0 t f1 (x0 + tv) − f1 (x0 ) f2 (x0 + tv) − f2 (x0 ) = lim inf max , t↓0 t t f1 (x0 + tv) − f1 (x0 ) f2 (x0 + tv) − f2 (x0 ) = max lim inf , lim inf t↓0 t t↓0 t ∗ ≤ sup hx , vi . x∗ ∈ ∂ ∗ f1 (x0 )∪∂ ∗ f2 (x0 ) Do đó, ∂ ∗ f1 (x0 ) ∪ ∂ ∗ f2 (x0 ) là dưới vi phân suy rộng trên của h tại x0 . Chú ý rằng với dưới vi phân suy rộng dưới ta có kết quả tương tự.