Luận văn Thạc sĩ Toán học: Giải số hệ phương trình vi phân - đại số bằng phương pháp Runge-Kutta

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:41

Thêm vào BST

Báo xấu

28
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn trình bày các kết quả về giải số của các hệ phương trình vi phân-đại số trong các ứng dụng của nhóm tác giả Ernst Hairer, Chriseian Lubich, Michel Roche về giải số hệ phương trình vi phân-đại số bằng phương pháp Runge-Kutta. Mời các bạn tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Giải số hệ phương trình vi phân - đại số bằng phương pháp Runge-Kutta

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRẦN ĐỨC ĐOÀN GIẢI SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN-ĐẠI SỐ BẰNG PHƯƠNG PHÁP RUNGE-KUTTA LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2015
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRẦN ĐỨC ĐOÀN GIẢI SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN-ĐẠI SỐ BẰNG PHƯƠNG PHÁP RUNGE-KUTTA Chuyên ngành: GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS ĐÀO THỊ LIÊN THÁI NGUYÊN - 2015
i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu do tôi thực hiện. Các số liệu, kết luận nghiên cứu trình bày trong luận văn này là trung thực và chưa được công bố ở các nghiên cứu khác. Tôi xin chịu trách nhiệm về nghiên cứu của mình. Thái Nguyên, tháng 04 năm 2015 Tác giả TRẦN ĐỨC ĐOÀN
ii LỜI CẢM ƠN Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại khoa Toán, trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn khoa học của TS Đào Thị Liên. Qua đây, tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô giáo - TS Đào Thị Liên, người hướng dẫn khoa học, người đã gợi ý đề tài, định hướng nghiên cứu và tận tình hướng dẫn tác giả trong suốt quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn. Tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới các thầy cô giáo công tác tại Viện Toán học Việt Nam; khoa Toán, Phòng Đào tạo (Bộ phận quản lý Sau đại học) Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, các thầy cô đã tạo mọi điều kiện trang bị cho tác giả về kiến thức, về học liệu và kinh nghiệm nghiên cứu cũng như mọi thủ tục hành chính để tác giả hoàn thành bản luận văn này. Tác giả cũng gửi lời cảm ơn chân thành đến gia đình, các bè bạn gần xa đặc và các bạn trong lớp Cao học Toán K21A, đã luôn động viên, giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu hoàn thành luận văn. Do thời gian nghiên cứu và năng lực bản thân còn nhiều hạn chế, bản luận văn không tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được những ý kiến đóng góp quý báu, sự chỉ bảo tận tình của các thầy cô và bạn bè đồng nghiệp. Thái Nguyên, tháng 03 năm 2015 Tác giả Trần Đức Đoàn
iii MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN ................................................................................................ i LỜI CẢM ƠN ...................................................................................................... ii MỤC LỤC ..........................................................................................................iii DANH MỤC CÁC BẢNG ................................................................................. iv MỞ ĐẦU ............................................................................................................. 1 Chương 1. KIẾN THỨC CƠ SỞ ...................................................................... 2 1.1. Giới thiệu chung về phương trình vi phân đại số ......................................... 2 1.1.1. Chỉ số hệ phương trình vi phân-đại số ................................................... 2 1.1.2. Hệ với chỉ số 1 ....................................................................................... 3 1.1.3. Hệ với chỉ số 2 ....................................................................................... 5 1.1.4. Hệ với chỉ số 3 ..................................................................................... 10 1.1.5. Con lắc.................................................................................................. 11 1.1.6. Các bài toán nhiễu suy biến ................................................................. 11 1.1.7. Hệ nhiễu suy biến đơn.......................................................................... 13 1.1.8. Các định nghĩa khác về chỉ số .............................................................. 14 1.2. Giải số hệ phương trình vi phân thường cấp một bằng phương pháp RUNGER-KUTTA ............................................................................................. 17 Chương 2. GIẢI SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ CẤP 1 BẰNG PHƯƠNG PHÁP RUNGE-KUTTA .................................................. 22 2.1. Giải số hệ phương trình vi phân -đại số cấp 1 bằng phương pháp RUNGE-KUTTA ............................................................................................... 22 2.2. Phương pháp RUNGE-KUTTA cho phương trình vi phân-đại số............. 23 2.3. Các nhóm phương pháp RUNGE-KUTTA ẩn ........................................... 24 2.4. Tóm tắt kết quả hội tụ ................................................................................. 27 2.5. Bài toán nhiễu suy biến .............................................................................. 29 2.6. Phương pháp nửa hiện ................................................................................ 30 2.7. Ví dụ về hệ chỉ số 2 khi phương pháp số không áp dụng được ................. 31 KẾT LUẬN....................................................................................................... 34 TÀI LIỆU THAM KHẢO............................................................................... 35
iv DANH MỤC CÁC BẢNG Bảng 2.1. Phương pháp Radau IIA bậc 1 và 3 ............................................... 26 Bảng 2.2. Phương pháp Radau IIA bậc 5 ....................................................... 26 Bảng 2.3. Bậc hội tụ ....................................................................................... 27 Bảng 2.4. Cấp hội tụ cho bài toán chỉ số 3 (1.17-18) ..................................... 28 Bảng 2.5. Cấp của sai số đối với bài toán nhiễu suy biến .............................. 30
1 MỞ ĐẦU Thuật ngữ phương trình vi phân-đại số được đưa ra để đề cập đến các phương trình vi phân cùng với các ràng buộc (các phương trình vi phân trên các đa tạp) và các phương trình vi phân ẩn. Các bài toán như thế nảy sinh và cần phải được giải trong nhiều ứng dụng, chẳng hạn như các hệ cơ học có ràng buộc, động lực học chất lỏng, động học phản ứng hóa học, mô phỏng các mạng điện, và kỹ thuật điều khiển... Từ quan điểm lý thuyết, nghiên cứu các phương trình vi phân-đại số giúp chúng ta hiểu thấu đáo nguyên tắc của các phương pháp số cho các phương trình vi phân thường cứng. Do đó, chủ đề này đã thu hút nhiều sự quan tâm của các kỹ sư và các nhà toán học trong những năm qua. Trong luận văn này, chúng tôi trình bày các kết quả về giải số của các hệ phương trình vi phân-đại số trong các ứng dụng của nhóm tác giả Ernst Hairer, Chriseian Lubich, Michel Roche về giải số hệ phương trình vi phân-đại số bằng phương pháp Runge-Kutta. Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục các tài liệu tham khảo, nội dung chính của luận văn gồm hai chương Chương 1. Kiến thức cơ sở Nội dung chính là giới thiệu chung về hệ phương trình vi phân-đại số và trình bày ngắn gọn về cách giải số hệ phương trình vi phân thường cấp 1 bằng phương pháp Runge-Kutta. Chương 2. Giải số hệ phương trình vi phân-đại số cấp 1 bằng phương pháp Runge-Kutta Trong chương này, tác giả trình bày về giải số hệ phương trình, phương trình vi phân-đại số bằng phương pháp Runge-Kutta, các nhóm phương pháp Runge-Kutta ẩn, kết quả hội tụ, bài toán nhiễu, phương pháp ẩn và ví dụ về chỉ số 2 khi phương pháp số không áp dụng được
2 Chương 1 KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1. Giới thiệu chung về phương trình vi phân đại số Ta xét phương trình vi phân-đại số dạng tổng quát F(Y ', Y )  0 ( 1.1) trong đó F và Y có cùng chiều, F được giả thiết là có đạo hàm bị chặn. Hệ không ôtônôm F(Y ', Y , x)  0 được sinh ra từ hệ (1.1) nhờ việc đưa vào một biến độc lập x mà x'  1 . Giá trị ban đầu Y ( 0 ) được giả thiết là đã biết và nghiệm Y(x) được tìm trên một đoạn bị chặn 0; x  . Nếu F / Y ' là khả nghịch thì ta có thể giải được Y ' từ (1.1) khi đó ta được một hệ phương trình vi phân thường. Nếu F / Y ' là suy biến ta có hệ phương trình vi phân-đại số. Một trong những cách để phân loại lớp phương trình vi phân này là dùng khái niệm chỉ số. 1.1.1. Chỉ số hệ phương trình vi phân-đại số Chúng ta giới thiệu khái niệm chỉ số như một cách để đo độ nhạy của nhiễu đối với nghiệm trong phương trình. Có những nhóm nghiên cứu khác đưa ra một số định nghĩa khác về chỉ số cho hệ phương trình vi phân-đại số. Mối liên hệ của định nghĩa này với các định nghĩa khác về chỉ số sẽ được trình bày ở mục 1.1.8. Định nghĩa. Phương trình (1.1) có chỉ số nhiễu m dọc theo nghiệm Y trên đoạn 0; x  , nếu m là số tự nhiên nhỏ nhất sao cho mọi hàm Y có   F Y ', Y   (x), ( 1.2 ) thì tồn tại đánh giá   Y(x)  Y(x)  C Y( 0 )  Y( 0 )  max  (  )  ...  max  (m 1 ) (  ) ,x  0; x  ( 1.3 ) 0  x 0  x với mỗi một số hạng trong vế phải là đủ nhỏ. Ở đây C là một hằng số chỉ phụ thuộc vào F và độ dài của đoạn 0, x  .
3 Trong nghiệm số của phương trình (1.1), ảnh hưởng của nhiễu lên phương trình rời rạc có vai trò quan trọng trong việc phân tích sự hội tụ và sai số làm tròn. Việc xuất hiện đạo hàm cấp (m-1) trong (1.3) sẽ biến đổi nghiệm số thành phép chia nhiễu rời rạc cho h m1 , trong đó h là tham số rời rạc (nhỏ). Cần lưu ý rằng có thể có các ước lượng lớn hơn (1.3) đối với một vài hiệu số của chênh lệch nghiệm. Ta gọi một phương trình là phương trình chỉ số m nếu phương trình đó có chỉ số m dọc theo mọi nghiệm. Theo định nghĩa ở trên, chỉ số nhiễu không thể nhỏ hơn 1. Trường hợp chỉ số 0 có thể được tính đến nếu ta hiểu  ( 1 ) (  ) là một tích phân trên  . Cụ thể hơn, ta nói rằng phương trình (1.1) có chỉ số nhiễu 0 nếu    Y (x)  Y (x)  C  Y ( 0 )  Y ( 0 )  max   (t)d(t)   0  x  0  Theo Bổ đề Gronwall, điều này luôn được thoả mãn đối với phương trình vi phân thường Y '  f (Y ) . Bây giờ ta xem xét các lớp của hệ với chỉ số 1, 2 và 3, đây là các nhóm hệ thường xuất hiện trong các ứng dụng. 1.1.2. Hệ với chỉ số 1 Trường hợp đơn giản nhất là hệ có dạng y'  f (y, z) ( 1.4.a) 0  g(y, z) ( 1.4.b) g (trong đó, f và g là các hàm khả vi) ở đây g z  có nghịch đảo bị chặn trong z lân cận nghiệm. (1.5)
4 Giá trị ban đầu (y0 , z0 ) cần phải tương thích, nghĩa là g(y0 , z0 )  0 . Theo Định lý hàm ẩn, z có thể được rút ra từ phương trình (1.4.b) như là một hàm số của y. Sau khi chèn z vào phương trình (1.4.a) ta có phương trình vi phân thường. Điều này cho thấy tồn tại nghiệm đơn trị và đều. Xét hệ nhiễu   y'  f y, z   1 (x) 0  g  y, z    (x). 2 Áp dụng Định lý hàm ẩn ta có  z(x)  z(x)  C1 y(x)  y(x)   2 (x) ,  với  2 (x) nhỏ và y(x) đủ gần với y(x) . Ta trừ phương trình (1.4.a) cho phương trình nhiễu tương ứng, lấy tích phân từ 0 đến x, sử dụng điều kiện Lipschitz cho f và ước lượng ở trên đối với z(x)  z(x) . Ta được e(x)  y(x)  y(x) x x x e(x)  e( 0 )  C2  e(t)dt  C3   2 (t) dt    (t)dt 1 , 0 0 0 và theo bất đẳng thức Gronwall, ta có  x   y(x)  y(x)  C4  y( 0 )  y( 0 )    2 (t) dt  max  1(t)dt  .  0  x  0 0  Sau khi chèn bất đẳng thức trên vào ước lượng z(x)  z(x) , ta có ước lượng (1.3) không phụ thuộc vào đạo hàm của nhiễu. Do đó, hệ có chỉ số 1. Bài toán có dạng BY '  a( Y ) ( 1.6 ) với ma trận hằng số B có thể được đưa về dạng (1.4) nhờ việc phân tích (như bằng phép khử Gaussian) như sau
5  I 0 B  S T ( 1.7 ) 0 0 với S và T là khả nghịch. Nhân hai vế của phương trình (1.6) với S 1 và sử dụng các biến  y TY    z  ta có hệ (1.4). Điều kiện (1.5) khi đó trở thành     1  1  Y S a  T  có   22 nghịch đảo bị chặn (1.8) trong đó  22 chỉ số dưới bên phải của ma trận (chiều không gian nghiệm của B), theo như phân tích (1.7). Giá trị ban đầu Y0 là tương thích khi a Y0  nằm trong miền giá trị của B. (1.9) 1.1.3. Hệ với chỉ số 2 Ta xét bài toán y'  f (y, z) ( 1.10.a) 0  g(y) ( 1.10.b) với giả thiết rằng g y f z có nghịch đảo bị chặn trong lân cận của nghiệm (1.11). Đạo hàm hai vế phương trình (1.10.b) và thế y' từ phương trình (1.10.a) ta thấy nghiệm cũng thoả mãn phương trình 0  g y (y) f(y, z) ( 1.10.c) để nghiệm có thể nằm trên giao của đa tạp xác định bởi phương trình (1.10.b) và (1.10.c). Một giá trị ban đầu tương thích (y0, z0) phải thoả mãn (1.10.b) cho thành phần y và điều kiện (1.10.c), khi đó (1.11) xác định duy nhất thành phần z. Các phương trình (1.10.a) và (1.10.c) đều có điều kiện (1.11) ở dạng chỉ số 1 (1.4) với (1.5). Vì ta đã lấy đạo hàm một lần để có được dạng này, ước lượng (1.3) có chứa đạo hàm nhiễu trong phương trình (1.10.b) và do đó hệ có chỉ số 2. Bây giờ ta xét hệ nhiễu
6   y'  f y, z   (x) 0  g  y    (x). Lấy đạo hàm phương trình thứ hai, ta có       0  g y y f y, z  g y y  (x)   '(x). Giờ đây ta có thể sử dụng các ước lượng của trường hợp chỉ số 1 ta được  x  y(x)  y(x)  C  y( 0 )  y( 0 )     (  )   '(  )  d    0  z(x)  z(x)  C  y( 0 )  y( 0 )  max  (  )  max  '(  ) .  ( 1.12 )  0  x 0  x  Hệ (1.10) có thể được xem là trường hợp đặc biệt của phương trình (1.4) với gz suy biến. Với các bài toán như vậy, nếu giả định gz có hạng không đổi trong lân cận nghiệm, ta có thể chuyển về dạng (1.10) - dạng này không thay đổi chỉ số và thậm chí quan trọng hơn trong dạng đó các phương pháp số nghiên cứu là bất biến. Phép biến đổi này có thể được mô tả như là quan điểm phi tuyến tính của phép khử Gaussian: Ta kí hiệu phần tử đầu tiên của z là z1.Từ giả thiết rằng gz có hạng không đổi đồng thời cũng tồn tại một thành phần của g thỏa mãn gi / z1  0 hoặc g / z1 đồng nhất bằng 0, tức là g độc lập với z1. Trong trường hợp đầu, theo định lý hàm ẩn ta có thể biểu diễn z1 là hàm số của y và các thành phần còn lại của z và bằng cách ấy khử z1 trong các phương trình khác. Lặp lại các bước này với z2, z3,…, cuối cùng ta được hệ có dạng (1.10) trong đó z gồm các thành phần z chưa bị khử như trong (1.4). Mục tiêu tiếp theo của ta là mô tả hai lớp phương trình có dạng (1.10), (1.11) hoặc gần với dạng đó. Hai lớp này gồm: a) Hệ với ma trận suy biến phụ thuộc nghiệm nhân với đạo hàm nghiệm, xuất hiện trong phân tích mạch điện và động lực phản ứng hoá học. b) Phương trình chuyển động của hệ thống cơ khí có ràng buộc.
7 Xét lớp a) Ta thu được hệ dạng (1.10), chỉ số 2, một cách hình thức từ một biến đổi (sẽ được miêu tả ở phần dưới đây) của hệ B(y) y'  a(y) ( 1.13 ) trong đó B(y) là ma trận suy biến phụ thuộc nghiệm thoả mãn (1.7) và (1.8). Do các phương pháp số sẽ nghiên cứu ở đây là bất biến theo phép biến đổi đó, đánh giá sự hội tụ đối với y của (1.10) sẽ được áp dụng trực tiếp để thu được nghiệm của hệ (1.13). Đầu tiên ta viết lại (1.13) thành một hệ bổ sung y' = z 0 = a(y) - B(y)z. Giả sử B có hạng không đổi, ta lại có thể phân tích I 0 B(y)=S(y)   T(y) (1.14) 0 0  với S và T là khả nghịch. Chọn S và T đồng thời là trơn trong mỗi lân cận của y thì rõ ràng B khả vi. Nhân phương trình thứ hai của hệ mở rộng đó với S–1(y) được  f(y)   T11 T12   y1   z1  (S -1a)(y)=   , T= T T  , y= y  , z=  z ,  g(y)   21 22   2  2 hệ tương đương y'1  z1 y'2  z2 0  f (y)  T11(y) z1  T12 (y) z2 0  g(y). Vì T là khả nghịch, chúng ta cũng có thể giả sử T11 là khả nghịch (trừ việc hoán vị các cột). Khi đó ta có thể loại trừ hàng thứ ba của hệ trên bằng việc tính z1 và thế z1 vào hàng đầu tiên. Từ đó hệ có dạng (1.10), với (y, z2) đóng vai trò (y, z)
8 1 của (1.10). Điều kiện (1.11) trở thành (  g y1T11 T12  g y2 ) là khả nghịch, thực hiện kiểm tra bằng tính toán dễ dàng chỉ ra rằng nó tương đương với (1.8). Nhờ phép biến đổi trên, ta có thể suy ra hiệu số giữa nghiệm của (1.13)   và nghiệm của hệ nhiễu B y y '  a y   (x) bị chặn bởi  x x  y(x)  y(x)  C  y( 0 )  y( 0 )    (  ) d     '(  ) d   , với ξ đủ nhỏ.  0 0  Ước lượng này mạnh hơn (1.3) trong trường hợp chuẩn đều được thay thế bởi chuẩn L1. Trái với trường hợp (1.6) của ma trận hằng số B, hiệu số của ước lượng  ' không thể bị loại bỏ cho nghiệm phụ thuộc B(y). Điều này có thể thấy qua ví dụ sau y'1  y3 y'2  y2 y'3  0, y1( 0 )  0 0  y2 0  y3 . Nếu bổ sung nhiễu  (x)  ( 0, є sin  x, є cos  x )T , ta có y'1  є2 và để    ta thấy rằng không thể loại bỏ số hạng  ' trong (1.3). Tuy nhiên, cần lưu ý rằng không có sự phụ thuộc vào  ' với các hệ có dạng đặc biệt by (y) y'  f(y) 0  g(y) với ma trận khả nghịch  by , g y  trong đó by  b / y đối với một số hàm T T T b(y) nào đó. Điều này được suy ra từ nhận xét rằng hệ có được sau khi bổ sung phương trình 0  b(y)  v và thay by (y) y' bằng v' là hệ có dạng chỉ số 1 trong (1.4), (1.5) với (v, y) đóng vai trò của (y, z). Phương pháp số là không bất biến trong phép biến đổi này do v' và by (y) y' được rời rạc hoá khác nhau đối với by không là hằng.
9 Xét lớp b) Các bài toán có dạng (1.10) xuất hiện trong quá trình mô hình hoá cơ khí các hệ ràng buộc. Một hệ có nhiều thành phần được miêu tả bởi tọa độ q và vận tốc u  q ' có thể chịu ràng buộc hình học g(q)  0 và ràng buộc động lực học K(q)u  k(q)  0. Xét về động năng T(q, u), phương trình chuyển động Lagrange được viết như sau d  T  T    Q  HT dt  u  q trong đó Q(q, u) là các lực hiệu dụng,  là nhân tử Lagrange và HT = (GT, KT) với G  g q . Lấy đạo hàm và nhóm các phương trình lại, ta có hệ dạng q'  u ( 1.15.a) M (q)u'  f(q, u )  H T (q) ( 1.15.b) 0  g(q) ( 1.15.c ) 0  K(q)u  k(q) ( 1.15.d ) trong đó M = Tuu là ma trận xác định dương. Đầu tiên ta xét trường hợp không có ràng buộc (1.15.c). Hệ (1.15.a, b, d) có dạng (1.10) (ngoại trừ việc giải ra u' trong (1.15.b)) với (q, u) và  trong vai trò của y và z. Nếu các ràng buộc trong (1.15.d) là độc lập để H = K có hạng đầy đủ theo hàng thì KM-1KT là khả nghịch, điều kiện (1.11) được thoả mãn. Trong trường hợp có các ràng buộc hình học (1.15.c), hệ (1.15) không quá chỉ số 2. Việc giảm xuống chỉ số 2 có đạt được bằng việc sử dụng ràng buộc đã được lấy đạo hàm G(q)u  0 , có dạng (1.15.d), thay vì (1.15.c) (hoặc sử dụng kết hợp cả hai). Cách này gặp phải một khó khăn trong khi lấy tích phân, ta có thể bỏ qua ràng buộc ban đầu (1.15.c). Để tránh điều này, Gear, Gupta & Leimkuhler (1985) đề xuất sử dụng ràng buộc đã được lấy đạo hàm và cộng (1.15.c) thông qua một nhân tử Lagrange  (triệt tiêu trên nghiệm đúng):
10 q'  u  G T (q) ( 1.16.a) M(q)u'  f(q, u )  H T (q) ( 1.16.b) 0  g(q) ( 1.16.c) 0  G(q)u ( 1.16.d) 0  K(q)u  k(q). ( 1.16.e) Nếu các dòng H (và do đó cả các dòng G) là độc lập tuyến tính, thì (1.16) có dạng (1.10) với y  (q, u) và z  (  ,  ) và điều kiện (1.11) được thoả mãn. 1.1.4. Hệ với chỉ số 3 Bài toán có dạng y'  f (y, z) ( 1.17.a) z'  k(y, z, u) ( 1.17.b ) 0  g(y) ( 1.17.c) là dạng có chỉ số 3, nếu g y f z ku có nghịch đảo bị chặn (1.18) trong lân cận nghiệm. Điều này có được bằng việc lấy đạo hàm (1.17.c) hai lần, cho kết quả (loại bỏ đối số hàm) 0  gy f ( 1.17.d) 0  g yy (f, f)  g y f y f  g y f z k. ( 1.17.e) Các phương trình (1.17.a,b) cùng với (1.17.e) có điều kiện (1.18) của dạng chỉ số 1 trong (1.4) với (1.5). Ước lượng sai số (1.3) giờ đây phụ thuộc vào đạo hàm cấp hai của khuyết số trong (1.17.a-c), cho ra chỉ số 3. Các giá trị ban đầu tương thích cần phải thoả mãn cả ba điều điều kiện (1.17.c, d, e). Một ví dụ của bài toán chỉ số 3 là hệ cơ khí ôtônom, tại đó các phương trình (1.15) có thể được lập mà không có ràng buộc (1.15.d). Ở đây (q, u,  ) đóng vai trò (y, z, u) trong (1.17). Điều kiện (1.18) được thoả mãn nếu H = G có các dòng độc lập tuyến tính. Khi không có các ràng buộc (1.15.d) bài toán (1.15) vẫn có chỉ số 3 nếu H có hạng đầy đủ (do lấy đạo hàm (1.15.c) cho hệ với chỉ số 2 có dạng (1.10)). Tuy nhiên, dạng này yếu hơn dạng tổng quát trong (1.17).
11 1.1.5. Con lắc Ta sử dụng con lắc để minh hoạ cho những lập luận ở trên. Các phương trình chuyển động của một vật nặng m treo trên một sợi dây có trọng lượng không đáng kể với độ dài l, dưới tác động của trọng lực g, trong hệ toạ độ vuông góc (p, q) , như sau: p'  u q'  v ( 1.19.a) mu'   p  mv'   q   g ( 1.19.b) 0  p 2  q2  l 2 . ( 1.19.c) Ở đây (u, v) là vận tốc và  là độ căng của dây. Trong công thức này, hệ có chỉ số 3 dạng (1.17.a-c). Lấy đạo hàm (1.19.c) ta có 0  pu  qv ( 1.19.d) tương ứng hình học với thực tế rằng vận tốc là tiếp tuyến của đa tạp cho bởi (1.19.c), nghĩa là vuông góc với độ dốc 2(p, q). Hệ (1.19.a, b, d) có chỉ số 2 dạng (1.10.a, b). Lấy đạo hàm một lần nữa và kết hợp (1.19.c) ta được 0  m(u 2  v 2 )  gq l 2  . ( 1.19.e) Hệ (1.19.a, b, e) có chỉ số 1 dạng (1.4.a, b). Lập lại phương trình chỉ số 2 của Gear, Gupta & Leimkuhler (1985) áp dụng vào trường hợp hiện tại p'  u  p q'  v  q mu'   p ( 1.20 ) mv'   q  g 0  p 2  q2  l 2 0  pu  qv. 1.1.6. Các bài toán nhiễu suy biến Một dãy các hệ phương trình vi phân-đại số với chỉ số cao tùy ý trong nghiên cứu vấn đề nhiễu đơn
12 y'  f (y, z) ( 1.21.a) є z'  g(y, z), 0  є 1 ( 1.21.b) trong đó giả sử g z v, v   v 2 (với mọi véctơ v) (1.22) là đúng với một tích vô hướng trong lân cận của nghiệm. Trên bất cứ đoạn bị chặn nào kể từ 0 (bên ngoài pha chuyển tiếp ban đầu), nghiệm có một є -mở rộng y(x)  y0 (x)  єy1(x)  є2 y2 (x)  ...  єN y N (x)  O( єN 1 ) z(x)  z0 (x)  єz1(x)  є2 z2 (x)  ...  єN z N (x)  O( єN 1 ) ( 1.23 ) với hệ số є độc lập và trơn yk, zk. Chèn (1.23) vào (1.21) và so sánh luỹ thừa của є ta thấy các hệ số mở rộng là nghiệm của một dãy các hệ phương trình vi phân-đại số y'0  f (y0 , z0 ) 0  g(y0 , z0 ) ( 1.24.0 ) y'1  f y (y0 , z0 ) y1  f z (y0 , z0 ) z1 z'0  g y (y0 , z0 ) y1  g z (y0 , z0 ) z1 ( 1.24.1) và nói chung y'k  f y (y0 , z0 ) yk  f z (y0 , z0 ) zk  k (y0 , z0 , ..., yk 1 , zk 1 ) z'k 1  g y (y0 , z0 ) yk  g z (y0 , z0 ) zk  k (y0 , z0 , ..., yk 1 , zk 1 ) ( 1.24.k) các hàm số y0, z0 được xác định hoàn toàn bởi (1.24.0), là một hệ chỉ số 1 có dạng (1.4), với điều kiện (1.5) có hệ quả từ (1.22). Nếu y0, z0 được xem là đã biết thì (1.24.1) là hệ chỉ số 1 với y1, z1. Tuy nhiên, các phương trình (1.24.0) và (1.24.1) có chỉ số 2 bởi vì nhiễu trong z0 được đưa vào phép lấy đạo hàm (1.24.1) (Để ý rằng hệ kết hợp (1.24.0), (1.24.1) thật ra có dạng (1.10), (1.11) với (y0, z0, y1) và z1 đóng vai trò y và z). Tương tự, hệ (1.24.0)-(1.24.k) có chỉ số k+1. Ta quan tâm đến hệ (1.24) bởi nghiệm số trong bài toán (1.21) có mở rộng є mà các hệ số là nghiệm của hệ phương trình vi phân-đại số (1.24). Điều này cho phép sai số bị chặn đối với nghiệm số của (1.21). Ta sẽ trở lại vấn đề này ở cuối Chương 2.
13 1.1.7. Hệ nhiễu suy biến đơn Như là một ví dụ cho hệ cơ khí cứng, ta xét con lắc treo trên một lò xo cứng có trọng lượng không đáng kể với hằng số Hooke 1 / є2 ,0  є 1 Với việc chuẩn hoá m  1, l  1, g  1 phương trình chuyển động được viết như sau p'  u q'  v ( 1.25.a) u'   1 є2 p q 2 p 2  p2  q2  1  v'   1 є2 q p q 2 2   p 2  q 2  1  1. ( 1.25.b) Có thể thấy rằng mỗi nghiệm có một є -mở rộng tiệm cận với các hệ số є2 độc lập trơn p(x)  p0 (x)  є2 p1(x)  є4 p2 (x)  ...  є2 N pN (x)  O( є2 N  2 ) ( 1.26 ) và tương tự cho q, u, v với các hệ số qi, ui, vi hoặc nghiệm dao động nhanh với tần suất biên độ 1 / є xung quanh nghiệm đó. Giả sử ta quan tâm tới nghiệm trơn (1.26). Để є2  0 trong (1.25.b) cho ta điều kiện 0  p0  q0  1 . Bây giờ ta định nghĩa các hàm số  j (x) bởi 2 2 1 p 2 (x)  q 2 (x)  1 2   0 (x)  є21(x)  ... ( 1.27 ) є p (x)  q (x) 2 2 0 Chèn (1.26) và (1.27) vào (1.25) và so sánh các hệ số của є cho ta phương trình con lắc trong chỉ số 3 dạng (1.19.a, b, c): p'0  u0 q'0  v0 u'0   p0 0 ( 1.28 ) v'0   q0 0  1 0  p02  q02  1.
14 So sánh các hệ số є 2 trong (1.27) và (1.25) ta có p'1  u1 q'1  v1 u'1   p10  p0 1 ( 1.29 ) v'1   q10  q0 1 0  p0 p1  q0 q1  0 . Nếu các biến có chỉ số 0 được xem là đã biết thì (1.29) là hệ có chỉ số 3 cho p1 , q1 , u1 , v1 , 1 . Tuy nhiên, hệ (1.28) và (1.29) lại có chỉ số 5. Giờ ta có thể tiếp tục xây dựng các hệ số còn lại trong (1.26) và (1.27). Điều này đưa ra một dãy các hệ phương trình vi phân-đại số mà chỉ số tăng hai lần ở mỗi bước. Phân tích ở trên áp dụng với các phương trình chuyển động của hệ cơ khí cứng trong đó thế năng lớn khiến chuyển động ở gần với biểu thức. T 1  U  M (y) y"  f(y, y')  2   y , є  y  ( 1.30 ) trong đó ma trận M(y) là xác định dương và thế năng U là cực tiểu trên đa tạp  và lồi lớn dọc theo chiều ngang với . Trong mở rộng є2 của nghiệm trơn, các hệ số của є0 thoả mãn các phương trình chuyển động của hệ ràng buộc chỉ số 3 y'0  z0 M(y0 ) z'0  f (y0 , z0 )  g Ty (y0 )0 ( 1.31) 0  g(y0 ), trong đó g triệt tiêu trên và gy có hạng đầy đủ. Điều ta quan tâm trong công thức trên là nghiệm số của bài toán cứng (1.30) đồng thời cũng có є2 -mở rộng mà hệ số của mở rộng là nghiệm số của các phương trình vi phân-đại số liên quan có chỉ số 3, 5, 7… 1.1.8. Các định nghĩa khác về chỉ số