Luận văn Thạc sĩ Toán học: Giảm bậc của hệ điều khiển tuyến tính không phụ thuộc thời gian bằng phương pháp Chặt cân bằng

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:39

Thêm vào BST

Báo xấu

11
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích của luận văn này là nhằm tìm hiểu về phương pháp giảm bậc của hệ điều khiển tuyến tính không phụ thuộc thời gian. Phương pháp được đề cập ở đây là phương pháp Chặt cân bằng. Mời các bạn tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Giảm bậc của hệ điều khiển tuyến tính không phụ thuộc thời gian bằng phương pháp Chặt cân bằng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC LÊ THỊ PHƯƠNG GIANG GIẢM BẬC CỦA HỆ ĐIỀU KHIỂN TUYẾN TÍNH KHÔNG PHỤ THUỘC THỜI GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP CHẶT CÂN BẰNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2015
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC LÊ THỊ PHƯƠNG GIANG GIẢM BẬC CỦA HỆ ĐIỀU KHIỂN TUYẾN TÍNH KHÔNG PHỤ THUỘC THỜI GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP CHẶT CÂN BẰNG Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN THANH SƠN Thái Nguyên - 2015
i Mục lục Lời cam đoan iii Tóm tắt nội dung iv Lời cảm ơn v Danh sách ký hiệu vi Danh sách hình vẽ 1 Mở đầu 2 0.1 Lý do chọn đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0.2 Mục đích nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0.3 Nhiệm vụ nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 0.4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 0.5 Phương pháp nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1 Kiến thức chuẩn bị 5 1.1 Sơ lược về hệ điều khiển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Quan hệ đầu vào - đầu ra của hệ động lực . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Tính đạt được và tính quan sát được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.1 Tính đạt được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.2 Tính quan sát được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4 Một số chuẩn của hệ động lực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
ii 1.4.1 Giá trị kỳ dị Hankel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4.2 Chuẩn trong không gian Hardy . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2 Phương pháp chặt cân bằng 14 2.1 Phương pháp chặt cân bằng đối với hệ tối thiểu . . . . . . . . . . . . . 14 2.1.1 Ý tưởng của phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.1.2 Cơ sở toán học xây dựng phương pháp . . . . . . . . . . . . . 18 2.2 Phương pháp chặt cân bằng đối với hệ không tối thiểu . . . . . . . . . 20 2.2.1 Xây dựng hệ giảm bậc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2.2 Định lý cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.3 Thuật toán chặt cân bằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.3.1 Thuật toán chặt cân bằng đối với hệ tối thiểu . . . . . . . . . . 23 2.3.2 Thuật toán chặt cân bằng đối với hệ không tối thiểu . . . . . . 24 3 Ví dụ số 26 3.1 Hệ hình thức FOM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.2 Hệ Eady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Kết luận 30 Tài liệu tham khảo 31
iii Lời cam đoan Tôi xin cam đoan rằng số liệu và các kết quả nghiên cứu trong luận văn này là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác. Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cám ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc. Thái Nguyên, ngày 17 tháng 04 năm 2015 Học viên Lê Thị Phương Giang
iv TÓM TẮT NỘI DUNG Rất nhiều hiện tượng, thiết bị được mô hình hóa bằng toán học dưới dạng một hệ điều khiển. Do đòi hỏi của tính chính xác, cỡ của vectơ trạng thái, được gọi là bậc của mô hình, thường là từ 104 trở lên. Việc này gây khó khăn cho mô phỏng vì máy tính phải làm việc với hệ cỡ lớn hay hệ bậc cao. Do đó yêu cầu đặt ra là phải thay thế hệ cỡ lớn bằng một hệ cỡ nhỏ hơn theo nghĩa nào đó. Trong luận văn này, chúng tôi nghiên cứu phương pháp Chặt cân bằng, một phương pháp hữu hiệu để giảm bậc của hệ điều khiển. Chúng tôi phân tích kỹ càng ý tưởng của phương pháp xuất phát từ ý nghĩa vật lý, cũng như việc trình bày nó dưới ngôn ngữ toán học. Thêm vào đó, để thuận tiện cho việc lập trình, thuật toán của phương pháp cũng được đưa ra. Cuối cùng, để lấy minh họa cho phương pháp, chúng tôi lấy ví dụ với những dữ liệu thực tế.
v Lời cảm ơn Trước tiên tôi xin gửi lời cám ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Nguyễn Thanh Sơn - Giảng viên khoa Toán - Tin, Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, người thầy đã hướng dẫn, chỉ bảo tận tình cho tôi trong suốt quá trình hoàn thành luận văn này. Tôi cũng xin được gửi lời cám ơn chân thành đến các thầy, cô đã và đang tham gia giảng dạy tại trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên. Các thầy cô đã nhiệt tình giảng dạy và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành khóa học tại trường. Đồng thời, tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn tới tất cả bạn bè, đồng nghiệp và người thân đã động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và viết luận văn. Mặc dù đã dành nhiều thời gian nghiên cứu tìm hiểu, song bản luận văn không thể tránh khỏi những hạn chế, thiếu sót. Vì vậy, tôi rất mong muốn nhận được những góp ý để luận văn này được hoàn thiện hơn. Thái Nguyên, 2015 Lê Thị Phương Giang Học viên Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên
vi Danh sách ký hiệu Trong toàn luận văn, ta dùng những ký hiệu với các ý nghĩa xác định trong bảng dưới đây: R+ tập các số thực dương R− tập các số thực âm Rn×r tập các ma trận thực cỡ n × r AT ma trận chuyển của ma trận A x˙ đạo hàm của x theo biến t Re(s) là phần thực của số phức s Λ(A) tập hợp các giá trị kì dị của ma trận A Im ảnh của một ma trận/ánh xạ tuyến tính Ker nhân của một ma trận/ánh xạ tuyến tính rank(R) hạng của ma trận σi (A) giá trị kỳ dị thứ i của ma trận A, trong đó σ1 (A) ≥ σ2 (A) ≥ · · · ≥ σn (A). trace tổng các phần tử trên đường chéo chính của ma trận
1 Danh sách hình vẽ 3.1 Sai số tuyệt đối của mô hình FOM: ngưỡng sai số 10−3 (a) và ngưỡng sai số 10−5 (b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.2 Sai số tương đối của mô hình FOM: ngưỡng sai số 10−3 (a) và ngưỡng sai số 10−5 (b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.3 Sai số tuyệt đối của mô hình Eady: ngưỡng sai số 10−3 (a) và ngưỡng sai số 10−5 (b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.4 Sai số tương đối của mô hình Eady: ngưỡng sai số 10−3 (a) và ngưỡng sai số 10−5 (b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2 Mở đầu 0.1 Lý do chọn đề tài Ngày nay, mô phỏng số là khâu rất quan trọng giúp các nhà sản xuất tạo ra sản phẩm. Bước này giúp các nhà thiết kế tạo ra mẫu sản phẩm thỏa mãn các yêu cầu của nhà sản suất. Ngoài ra, việc mô phỏng thay thế cho các thí nghiệm thực tế thường đắt tiền và kéo dài sẽ giúp hạ giá thành và tiết kiệm thời gian. Trong bước đầu tiên của một mô phỏng, người ta phải tìm một mô hình toán học mô tả hoạt động của thiết bị, hoặc một thành phần đơn lẻ của nó. Việc hình thành một mô hình được dựa trên các quy luật trong vật lý, hóa học... Quá trình này được kết thúc bởi một tập hợp các phương trình vi phân đạo hàm riêng. Để có dữ liêu mô phỏng, người ta phải giải các phương trình đó trên máy tính. Để làm được điều này, các phương trình vi phân đạo hàm riêng phải được rời rạc trong không gian bằng phương pháp số, chẳng hạn như phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) hoặc phương pháp sai phân hữu hạn (FDM). Trong nhiều trường hợp, ta thu được hệ điều khiển tuyến tính không phụ thời gian như sau: E x(t) ˙ = Ax(t) + Bx(t), (1) y(t) = Cx(t) + Du(t), trong đó E, A ∈ RN ×N , B ∈ RN ×m , C ∈ Rl×N là các ma trận thực hoặc phức; x(t) là vectơ cỡ N mô tả trạng thái của hệ phụ thuộc vào thời gian t; u(t) là hàm đầu vào hoặc là hàm điều khiển, ảnh hưởng tới các hoạt động của hệ thống; y(t) là thông tin đầu ra có được từ trạng thái x(t) và đầu vào u(t) mà người dùng quan tâm đến. Hệ thống (1) là mô hình toán học cho tương ứng đầu vào - đầu ra. Nhập một đầu
3 vào u(t) và quan sát các thông tin của đầu ra y(t). Hành động này được lặp đi lặp lại nhiều lần trong quá trình thiết kế, mô phỏng. Do đòi hỏi của tính chính xác trong quá trình mô phỏng, miền không gian được chia rất nhỏ. Điều này dẫn đến một hệ quả là cỡ của vectơ trạng thái hay còn gọi là bậc của mô hình, rất lớn, thông thường là trên 104 . Như vậy, cứ mỗi lần thay đổi đầu vào, người ta phải giải một phương trình vi phân cỡ lớn để có vectơ trạng thái và tính đầu ra. Máy tính thông thường không thể thực hiện điều đó trong thời gian thực, nghĩa là tốc độ tính toán tương ứng đầu vào - đầu ra rất chậm. Từ đó người ta muốn xấp xỉ hệ động lực bậc N ban đầu bởi một hệ động lực bậc n, với n N . Xấp xỉ được hiểu theo nghĩa: với mọi đầu vào giống nhau, đầu ra của hai hệ động lực xấp xỉ bằng nhau. Đương nhiên với bậc n nhỏ hơn nhiều lần, thời gian mô phỏng sẽ được rút ngắn rất nhiều. Công việc này gọi là giảm bậc của hệ động lực. Việc giảm bậc hệ của động lực rất quan trọng cả về mặt lý thuyết và ứng dụng thực tế. Có rất nhiều công trình đã viết về vấn đề này và nhiều phương pháp đã được tìm ra. Nổi bật hơn cả là ba phương pháp: phân tích trực giao chính (Proper Orthogonal Decomposition), Chặt cân bằng (Balanced Truncation) và phương pháp không gian con Krylov (Krylov Subspace Methods). Trong ba phương pháp giảm bậc ở trên thì phương pháp Chặt cân bằng là phương pháp hữu hiệu hơn cả. Nó được thể hiện ở hai khía cạnh. Thứ nhất, nó cho chúng ta một chặn trên sai số tiên nghiệm (a priori error bound). Thứ hai, nó bảo toàn tính ổn định của hệ ban đầu nếu hệ ban đầu ổn định. Do vậy chúng tôi quyết định chọn đề tài "Giảm bậc của hệ điều khiển tuyến tính không phụ thuộc thời gian bằng phương pháp Chặt cân bằng" để nghiên cứu. 0.2 Mục đích nghiên cứu Mục đích của luận văn này là nhằm tìm hiểu về phương pháp giảm bậc của hệ điều khiển tuyến tính không phụ thuộc thời gian. Phương pháp được đề cập ở đây là phương pháp Chặt cân bằng.
4 0.3 Nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn tập trung làm rõ một số vấn đề sau đây: Trình bày ý tưởng của phương pháp chặt cân bằng, các khái niệm và tính chất liên quan đến phương pháp, nội dung phương pháp và cuối cùng là áp dụng phương pháp này cho một số ví dụ thực tế. 0.4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu • Đối tượng nghiên cứu: Phương pháp giảm bậc của mô hình Chặt cân bằng. • Phạm vi nghiên cứu: Hệ điều khiển tuyến tính không phụ thuộc thời gian. 0.5 Phương pháp nghiên cứu • Đọc và tìm hiểu một số tài liệu liên quan như sách, bài báo tạp chí, luận án tiến sĩ, luận văn thạc sĩ. • Sử dụng nhiều kiến thức của đại số tuyến tính ứng dụng. • Kiểm chứng các kết quả lý thuyết bằng ví dụ số lập trình trên MATLAB và các dữ liệu đã được công nhận rộng rãi trong cộng đồng những nhà nghiên cứu về lý thuyết giảm bậc.
5 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Sơ lược về hệ điều khiển Trong luận văn này, chúng tôi xét hệ điều khiển tuyến tính, liên tục theo thời gian và ô-tô-nôm x(t) ˙ = Ax(t) + Bu(t), (1.1) y(t) = Cx(t) + Du(t). Ý nghĩa của các đại lượng như sau: • t ∈ (0, +∞): biến thời gian, • u(t) ∈ Rm : đầu vào hay hàm điều khiển, • y(t) ∈ Rl : đầu ra, • x(t): vectơ trạng thái, • A ∈ RN ×N : ma trận động lực, • B ∈ RN ×m : ma trận đầu vào, • C ∈ Rl×N : ma trận đầu ra, • D ∈ Rl×m : ma trận ghép cặp đầu vào - đầu ra. Ở đây A, B, C, D là các ma trận hằng, nghĩa là chúng không phụ thuộc vào thời gian t.
6 Khi u(t) và y(t) là các hàm vô hướng, hay m = l = 1, thì hệ điều khiển được gọi là một đầu vào - một đầu ra và ký hiệu là SISO (single - input - single - output), trường hợp ngược lại nếu m, l > 1 thì hệ được gọi là nhiều đầu vào - nhiều đầu ra và ký hiệu là MIMO (multiple - input - multiple - output). Khi xét hệ điều khiển tổng quát người ta còn đưa vào một số khái niệm: tính chất khoảng, tính nhất quán, tính nhân quả, tính đối chu trình, tính ổn định, tính đạt được và tính quan sát được, các khái niệm này có thể tìm thấy trong [3] Hệ (1.1) được gọi là dạng của hệ động lực trong miền thời gian. 1.2 Quan hệ đầu vào - đầu ra của hệ động lực Giả sử phương trình (1.1) có điều kiện ban đầu x(t0 ) = x0 , nghiệm của nó x(t) được viết như sau Z t A(t−t0 ) ϕ(t; t0 , x0 , u(·)) := x(t) = e x0 + eA(t−τ ) Bu(τ )dτ, t ∈ R. t0 Trong nhiều ứng dụng, ta chỉ quan tâm đến đầu ra của hệ điều khiển khi cho đầu vào, nói cách khác, hệ điều khiển được xem như một ánh xạ giữa hai không gian hàm, cho tương ứng một hàm đầu vào là một hàm đầu ra. Giả sử T = R+ , t0 = 0, x0 = 0, khi đó đầu ra của (1.1) tương ứng với đầu vào u(.) là Z t y(t) = Du(t) + CeA(t−τ ) Bu(τ )dτ. 0 Nhắc lại hàm delta Dirac là một hàm suy rộng thỏa mãn   +∞ nếu x = 0, δ(x) = 0 nếu x 6= 0, và Z +∞ δ(x)dx = 1. −∞ Đầu ra y(t) có thể được viết lại như sau Z t Z t y(t) = Dδ(t − τ )u(τ )dτ + CeA(t−τ ) Bu(τ )dτ 0 0
7 Z t Z t = Dδ(τ − t)u(τ )dτ + CeA(t−τ ) Bu(τ )dτ Z0 t Z t 0 = (Dδ(t − τ ) + CeA(t−τ ) Bu)u(τ )dτ 0 0 = (G ∗ u)(t), (1.2) trong đó ∗ là ký hiệu tích chập và G(t) = Dδ(t) + CeAt B. Theo đó G(t) chính là phản ứng của hệ điều khiển với xung δ . Ta định nghĩa L : Lq (R+ , Rm ) −→ Lq (R+ , Rl ), 1 ≤ q ≤ ∞ Z t u 7−→ y(t) = Du(t) + CeA(t−τ ) Bu(τ )dτ, 0 1 trong đó Lq (R+ , Rm ) := {f : R+ −→ Rn , ( ||f (t)||qq dt) q < ∞}. L được gọi là ánh R R+ xạ đầu vào - đầu ra của hệ điều khiển trong miền thời gian. Định nghĩa 1.1. Cho f (t) ∈ L1 (R+ , Rl ), biến đổi Laplace của f (t) là Z +∞ fˆ(s) = (L, f ) := f (t)e−st dt, s ∈ C. (1.3) 0 Nếu f (t)e−αt ∈ L1 (R+ , Rn ) thì tích phân hội tụ trong miền Re(s) ≥ α. Áp dụng biến đổi Laplace cho (1.2) ta có ˆ u(s). yˆ(s) = G(s)ˆ (1.4) Như vậy, trong miền tần số, G(s) ˆ cho phép xác định đầu ra của hệ điều khiển trực tiếp thông qua phép nhân thông thường với đầu vào mà không quan tâm đến trạng thái của hệ điều khiển. G(s) ˆ được gọi là hàm truyền của hệ điều khiển. Có một cách khác, tự nhiên để xác định hàm truyền của hệ (1.1) là sử dụng trực tiếp biến đổi Laplace lên cả hai phương trình của hệ sˆ x(s) = Aˆ x(s) + B uˆ(s), yˆ(s) = C xˆ(s) + Dˆ u(s),
8 do đó yˆ(s) = (D + C(sI − A)−1 B)ˆ u(s) =: H(s)ˆ u(s). (1.5) So sánh (1.4) và (1.5), ta có G(s) ˆ ≡ H(s) = D + C(sI − A)−1 B. 1.3 Tính đạt được và tính quan sát được 1.3.1 Tính đạt được Định nghĩa 1.2. • Xét hệ (1.1), trạng thái x ∈ X gọi là đạt được từ 0 nếu tồn tại một điều khiển u(t) có năng lượng hữu hạn, thời gian t hữu hạn sao cho x = ϕ(t; t0 , 0, u(.)). • Không gian đạt được là tập hợp các trạng thái đạt được, kí hiệu là X r . • Hệ điều khiển được gọi là đạt được nếu X r = X . • Ma trận có vô số cột R(A, B) := [B AB A2 B ...] được gọi là ma trận đạt được của hệ điều khiển (1.1). Chú ý 1.1. Đối với trường hợp đang xét, khái niệm đạt được, không gian đạt được trùng với khái niệm điều khiển được vốn rất thông dụng trong lý thuyết điều khiển. Ma trận đạt được có mối quan hệ chặt chẽ với các Gramian đạt được, nó được định nghĩa như sau Định nghĩa 1.3. Gramian hữu hạn đạt được tại t ∈ R của hệ điều khiển (1.1) là ma trận Z t T P(t) := eAτ BB T eA τ dτ. 0 Định lí 1.1. • P(t) = P T (t) và nửa xác định dương.
9 • ∀t ∈ R+ , ImP(t) = ImR(A, B). Định lí 1.2. • X r = ImR(A, B). • AX r ⊂ X r . • Hệ điều khiển là đạt được nếu rank(R(A, B)) = N. • X r là bất biến dưới phép biến đổi tọa độ. Theo Định lý (1.1) và (1.2) ta có ∀x ∈ X r , ∀t ∈ R+ , ∃ξ ∈ Rn sao cho x = P(t)ξ. (1.6) Áp dụng công thức nghiệm của phương trình trạng thái Z t x= eA(t−τ ) Bu(τ )dτ 0 Z t T = eAτ BB T eA τ ξdτ. (1.7) 0 Từ (1.7) chọn T u = B T eA (t−τ ) ξ, sau đó lấy tích phân Z t T x= eA(t−τ ) BB T eA (t−τ ) ξdτ, 0 đổi biến bằng cách đặt s = t − τ, ta có Z t T x= eAs BB T eA s ξds 0 = P(t)ξ. Điều vừa chứng minh chỉ ra rằng muốn đạt được x tại t ta cần biến điều khiển T u = B T eA (t−τ ) ξ.
10 Người ta đã chỉ ra, xem [1], u có năng lượng nhỏ nhất trong các điều khiển đưa trạng thái 0 đến x, tức là ||u||2 ≤ ||u||2 , ∀u(t) ∈ L2 (R+ , Rm ), thỏa mãn x = ϕ(t; 0, 0, u(.)). Nếu hệ đạt được, rank(P(T )) = N thì P(t)) khả nghịch và Z t ||u(t)||22 = u(r)T u(r)dr 0 Z t T =ξ eA(t−r) BB T eA (t−r) drξ 0 = ξP(t)ξ = ξP(t)P −1 (t)P(t)ξ = xT (t)P −1 (t)x(t). 1.3.2 Tính quan sát được Định nghĩa 1.4. • Trạng thái x ∈ X của hệ điều khiển được gọi là không quan sát được nếu y(t) = Cϕ(t; 0, x, 0) = 0, ∀t ≥ 0. • X uo ⊂ X là tập các trạng thái không quan sát được. Khi đó hệ được gọi là quan sát được nếu X uo = {0}. • Ma trận vô hạn cột O(A, C) = [C T AT C T (AT )2 C T ...]T được gọi là ma trận quan sát được của hệ điều khiển. • Gramian quan sát được tại t ∈ R+ là Z t T Q(t) = eA τ C T CeAτ dτ. 0
11 Định nghĩa 1.5. • ∀t ∈ R+ , X uo = KerO(A, C) = KerQ(t) • X uo là bất biến với A. • Hệ điều khiển là quan sát được khi và chỉ khi rank(O(A, C)) = N. • Tính quan sát được là bất biến đối với phép đổi cơ sở. Tương tự như phần năng lượng của điều khiển, ta tính được năng lượng trong L2 (R+ , Rl ) của hàm đầu ra y(t) = Cx(t) tạo ra bởi x tại thời điểm t là ||y||2 = xT Q(t)x. Nhận xét 1.1. Theo định nghĩa, P và Q là không giảm trong R+ . Nếu hệ điều khiển là đạt được thì P(t) khả nghịch và P −1 (t) là không tăng. Vì vậy ||u(t)||22 = xT (t)P −1 (t)x(t) là không tăng. Từ đó, năng lượng đạt được nhỏ nhất của điều khiển từ 0 đến x là tại thời điểm t khi t −→ ∞. Tương tự như vậy, năng lương quan sát lớn nhất sinh ra do x là khi t −→ ∞ (khi thời gian lớn). Định nghĩa 1.6. Nếu hệ ổn định ta gọi Gramian đạt được là Z ∞ T P := eAτ BB T eA τ dτ. (1.8) 0 Gramian quan sát được là Z ∞ T Q := eA τ C T CeAτ dτ. (1.9) 0 Định lí 1.3. Gramian đạt được P và Gramian quan sát được Q của hệ điều khiển là nghiệm của phương trình Lyapunov AP + PAT + BB T = 0, (1.10) AT Q + QA + C T C = 0. (1.11)
12 Nhận xét 1.2. P, Q là các ma trận đối xứng, nửa xác định dương. Nếu hệ điều khiển là đạt được và quan sát được thì P, Q tương ứng là các ma trận xác định dương. Trong thực tế tính toán, ta hay giải phương trình Lyapunov bằng phương pháp lặp và thu được nghiệm của nó dưới dạng phân tích hạng thấp nếu nghiệm là nửa xác định dương và phân tích Cholesky nếu là xác định dương có dạng P = LT L, Q = RT R. Trong trường hợp phân tích hạng thấp, R và L là các ma trận với số hàng ít hơn nhiều lần so với số cột. Nhận xét 1.3. Từ tính xác định dương của P, Q năng lượng nhỏ nhất để đạt được x từ 0 là xT P −1 x, năng lượng lớn nhất để quan sát x là xT Qx. Nếu dùng phép biến đổi tọa độ x = φ˜ x thì các Gramian sẽ thay đổi. Ta có thể chỉ ra, trong tọa độ mới, Gramian đạt được là P˜ = φ−1 P φ−T , (1.12) và Gramian quan sát được là ˜ = φT Qφ. Q (1.13) 1.4 Một số chuẩn của hệ động lực 1.4.1 Giá trị kỳ dị Hankel Định nghĩa 1.7. Toán tử Hankel là toán tử đầu vào đầu ra được hạn chế H : L2 (R− , Rm ) −→ L2 (R+ , Rl )