Luận văn Thạc sĩ Toán học: Hệ tiên đề Pogorelov và mô hình carte của hình học Euclid

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:52

Thêm vào BST

Báo xấu

135
lượt xem 10
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Như đã biết, những đối tượng cơ bản đầu tiên để xây dựng Hình học Euclid là điểm, đường thẳng, mặt phẳng và những tương quan cơ bản là liên thuộc, nằm giữa, bằng nhau. Với Hệ tiên đề Hilbert hoặc Hệ tiên đề Pogorelov, các tác giả đã xét các vị trí tương đối có thể xảy ra như: Với hai điểm, ta xét điểm trùng nhau, điểm khác nhau; với đường thẳng, xét đường thẳng trùng nhau, đường thẳng cắt nhau, đường thẳng song song với nhau, đường thẳng chéo nhau... Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Hệ tiên đề Pogorelov và mô hình carte của hình học Euclid

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐỖ THỊ HƯƠNG HỆ TIÊN ĐỀ POGORELOV VÀ MÔ HÌNH CARTE CỦA HÌNH HỌC EUCLID LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2015
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐỖ THỊ HƯƠNG HỆ TIÊN ĐỀ POGORELOV VÀ MÔ HÌNH CARTE CỦA HÌNH HỌC EUCLID Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số : 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. ĐÀM VĂN NHỈ Thái Nguyên - 2015
i Mục lục Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Chương 1: Hệ tiên đề Hilbert và Hệ tiên đề Wayne cho Hình học Euclid 5 1.1 Tổng quan về lịch sử Hình học . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.1 Tác phẩm "Elements" của Euclid . . . . . . . . . . 5 1.1.2 Nỗ lực chứng minh Định đề 5 . . . . . . . . . . . . 7 1.1.3 Phát hiện Hình học khác Hình học Euclid . . . . . 9 1.1.4 Nền tảng hình học trong nửa sau thế kỉ 19 . . . . . 11 1.2 Hệ tiên đề Hilbert cho Hình học Euclid . . . . . . . . . . . 13 1.2.1 Yêu cầu cơ bản về phương pháp tiên đề . . . . . . . 13 1.2.2 Các nhóm tiên đề Hilbert . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3 Hệ tiên đề Wayne cho Hình học Euclid . . . . . . . . . . . 16 1.3.1 Nhóm tiên đề về phép cộng véc tơ . . . . . . . . . . 17 1.3.2 Nhóm tiên đề về phép nhân véc tơ với số thực . . . 17 1.3.3 Nhóm tiên đề về số chiều . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.3.4 Nhóm tiên đề về tích vô hướng của hai véc tơ . . . 18 1.3.5 Nhóm tiên đề về đặt véc tơ từ hai điểm . . . . . . . 19 1.4 Mối quan hệ giữa hệ tiên đề Hilbert và hệ tiên đề Wayne . 19 1.4.1 Ưu - khuyết điểm của Hệ tiên đề Hilbert . . . . . . 19 1.4.2 Ưu - khuyết điểm của Hệ tiên đề Wayne . . . . . . 20 Chương 2: Hệ tiên đề Pogorelov cho Hình học Euclid 21 2.1 Hệ tiên đề Pogorelov và hệ quả trực tiếp . . . . . . . . . . 21 2.2 Mô hình Carte của Hình học Euclid . . . . . . . . . . . . . 30 2.2.1 Lý do xây dựng Mô hình Carte . . . . . . . . . . . 30 2.2.2 Kiểm tra tiên đề qua Mô hình Carte . . . . . . . . 31
ii Chương 3: Hệ tiên đề xây dựng Hình học ở Việt Nam và một vài áp dụng 38 3.1 Hệ tiên đề trong sách giáo khoa phổ thông . . . . . . . . . 38 3.2 Một vài áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.2.1 Tam giác vuông . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.2.2 Hệ tọa độ Carte vuông góc . . . . . . . . . . . . . . 41 3.2.3 Định lý Stewart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
iii Lời cảm ơn Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn và chỉ bảo tận tình của PGS.TS Đàm Văn Nhỉ, Trường ĐHSP Hà Nội. Từ đáy lòng mình, tác giả xin được bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đối với sự quan tâm, động viên và sự tận tình chỉ bảo, hướng dẫn của thầy. Tác giả xin gửi tới Ban giám hiệu, phòng đào tạo, các thầy cô Khoa Toán - Tin trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên cũng như các thầy giáo, cô giáo đã tham gia giảng dạy lời cảm ơn sâu sắc về công lao dạy dỗ trong suốt quá trình giáo dục, đào tạo của nhà trường. Tác giả xin chân thành cảm ơn tới lãnh đạo UBND thành phố Tuyên Quang, phòng Giáo dục và Đào tạo thành phố và Ban giám hiệu trường THCS Ỷ La, cùng các đồng nghiệp và gia đình đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ, động viên tác giả trong thời gian học tập và hoàn thành luận văn. Mặc dù bản thân đã có nhiều cố gắng nhưng thời gian nghiên cứu có hạn nên không tránh khỏi thiếu sót, tác giả rất mong nhận được sự chỉ bảo và đóng góp ý kiến của các thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện. Thái Nguyên, ngày 5 tháng 6 năm 2015 Tác giả Đỗ Thị Hương
1 Mở đầu A. Một vài điểm quan trọng trong Hình học phẳng Như đã biết, những đối tượng cơ bản đầu tiên để xây dựng Hình học Euclid là điểm, đường thẳng, mặt phẳng và những tương quan cơ bản là liên thuộc, nằm giữa, bằng nhau. Với Hệ tiên đề Hilbert hoặc Hệ tiên đề Pogorelov, ta xét các vị trí tương đối có thể xảy ra như: (1.1) Với hai điểm, ta xét điểm trùng nhau, điểm khác nhau. (1.2) Với đường thẳng, xét đường thẳng trùng nhau, đường thẳng cắt nhau, đường thẳng song song với nhau, đường thẳng chéo nhau. (1.3) Với điểm và đường thẳng (đoạn thẳng), ta xét điểm thuộc đường thẳng (đoạn thẳng), điểm không thuộc đường thẳng (đoạn thẳng). Với tiên đề độ dài: Mỗi đoạn thẳng AB có một độ dài `(AB) > 0 và nếu C thuộc đoạn AB, C 6= A, C 6= B, thì `(AB) = `(AC) + `(CB). Để giải quyết trường hợp hai điểm trùng nhau ta còn có khái niệm khoảng cách giữa hai điểm tùy ý A, B: ( `(AB) khi A 6= B d(A, B) = 0 khi A ≡ B và khái niệm góc với số đo. Tiếp theo, ta xét tập các điểm hay các hình sau: (2.1) Xét các đa giác. Đặc biệt là việc xét tam giác cân, tam giác đều, tam giác vuông và hình vuông. (2.2) Xét tập các điểm cách đều một điểm O nào đấy với khoảng cách không đổi R. Đó là đường tròn (`) tâm O bán kính R. Xét tiếp tập các điểm không thuộc (`). Đó là tập các điểm bên trong hoặc bên ngoài đường tròn (`). (2.3) Xét tập các điểm cách đều hai điểm phân biệt A và B nào đấy. Đó là đường trung trực của đoạn thẳng AB.
2 (2.4) Xét tập các điểm cách đều 2 cạnh của góc xOy d nào đấy. Đó là đường phân giác của góc. Tùy theo bài toán, ta xét đường phân giác trong hay đường phân giác ngoài của góc. (2.5) Xét tập các điểm sao cho khoảng cách từ đó đến một điểm cố định là không đổi. Đó là một đường tròn. Xét tập các điểm sao cho tổng khoảng cách từ đó đến 2 điểm cho trước A, B nào đấy là một số không đổi. Đó là đường elíp với hai tiêu điểm A và B. Xét tiếp, tập các điểm sao cho giá trị tuyệt đối của hiệu khảng cách từ đó đến hai điểm cho trước A và B là một số không đổi. Đó là đường hypebol với hai tiêu điểm A và B. (2.6) Với điểm A và đường thẳng d không chứa A, xét tập các điểm sao cho khoảng cách từ đó đến A bằng khoảng cách từ điểm đó đến d. Đó là đường parabol với tiêu điểm A và đường chuẩn d. B. Phương pháp tọa độ trong Hình học Xuất phát từ những điểm rất đặc biệt sau đây: (3.1) Khi dựng hình ta sử dụng thước kẻ và compa. Việc dựng đường thẳng và đường tròn dễ dàng. Nhìn vào hình vẽ tương đối chính xác ta sử dụng một vài kết quả đã biết (Mệnh đề, Định lý, Hệ quả,v.v...) để giải bài toán. Với thước kẻ và compa, ta không vẽ chính xác được parabol, hypebol,v.v.... Do vậy, một số kết quả sẽ không còn đúng và trực giác để ta cảm nhận cách giải sẽ không áp dụng được nữa. (3.2) Phải thay đổi định nghĩa một vài khái niệm. Chẳng hạn, khi xét parabol (P ) với tiêu điểm A và đường chuẩn d, ta hạ AH⊥d với H ∈ d. Không khó để chứng minh đường thẳng AH và đường trung trực d0 của đoạn AH đều có chung với (P ) đúng một điểm, nhưng d0 là tiếp tuyến của (P ), còn AH lại không. (3.3) Với thước kẻ và compa, ta rất khó xây dựng những hệ thức liên hệ và lớp bài tập cũng bị thu hẹp. (3.4) Xét phép biến đổi F trong mặt phẳng. Giả sử hình (H) có tính chất P. Nếu ảnh (H 0 ) = F (H) cũng có tính chất P thì P được gọi là tính chất bất biến của (H) qua F ; còn nếu ảnh (H 0 ) = F (H) không có tính chất P thì P được gọi là tính chất không bất biến của (H) qua F. Vấn đề đặt ra: Xét tính chất P không bất biến đã biến đổi qua F thành tính chất gì?
3 (3.5) Khi xét bài toán tập điểm hoặc hệ thức liên hệ ta thường phải xử lý đối tượng tiến ra vô tận. Để biểu thị đối tượng tiến ra vô tận, ta đưa phần tử mới ∞ vào tập R. (3.6) Phương pháp tọa độ để ta ít phụ thuộc vào hình vẽ, biểu thị các mối quan hệ qua các phương trình. Khi đó ta không phải vẽ hình, không phải kẻ thêm đường phụ phức tạp. Ta dễ dàng biện luận các trường hợp và mở rộng bài toán hoặc làm biến dạng nó thành một bài toán khác. Do vậy trong Hệ tiên đề Pogorelov tác giả đã dùng mô hình thử để kiểm tra Hệ tiên đề dựa trên hình học giải tích, trong nhiều tài liệu tham khảo về Hình học sơ cấp người ta cũng sử dụng phương pháp tọa độ để giải quyết bài toán. C. Nội dung luận văn Luận văn tập trung trình bày lại một số mục trong Giáo trình Hình học của viện sĩ A. Pogorelov viết cho sinh viên toán trong các trường đại học ở Liên xô. Ngoài phần mở đầu, phần kết luận, luận văn gồm 3 chương: Chương 1. Hệ tiên đề Hilbert và hệ tiên đề Wayne cho Hình học Euclid. Chương này tập trung trình bày những nét cơ bản về hai hệ tiên đề đã nêu ra. Mục 1.1 trình bày đôi nét tổng quan về sự phát triển của Hình học Euclid. Mục 1.2 trình bày về Hệ tiên đề Hilbert. Luận văn đã trình bày yêu cầu cơ bản về phương pháp tiên đề và các nhóm tiên đề Hilbert cho Hình học Euclid. Mục 1.3 được dành để trình bày Hệ tiên đề Wayne cho Hình học Euclid. Trong mục này đã làm nổi bật được việc sử dụng Đại số tuyến tính khi xây dựng hệ tiên đề. Ở Mục 1.4 đã đưa ra một vài ý kiến riêng về mối quan hệ giữa hai hệ tiên đề và việc sử dụng Hệ tiên đề Wayne để xây dựng hình học Euclid ở một vài nước. Chương 2. Hệ tiên đề Pogorelov cho Hình học Euclid. Trong chương này tập trung trình bày lại hệ tiên đề cho Hình học Euclid và mô hình Carte do Pogorelov đưa ra. Chương này được chia ra làm hai mục. Mục 2.1 trình bày Hệ tiên đề Pogorelov và một vài hệ quả được suy ra trực tiếp từ hệ tiên đề này. Mục 2.2. trình bày nội dung Mô hình Carte của Hình học Euclid. Trong Mô hình Carte, Pogorelov đã sử dụng phương pháp tọa độ để kiểm tra hệ tiên đề của mình. Do vậy trong phần này đã nêu lý do để có phương pháp tọa độ trong hình học.
4 Chương 3. Hệ tiên đề xây dựng Hình học ở Việt Nam và một vài áp dụng. Chương này trình bày nội dung cơ bản về hệ tiên đề xây dựng hình học ở Việt Nam và một vài áp dụng. Nó được chia ra làm hai mục. Mục 3.1 trình bày hệ tiên đề cho hình học trong sách giáo khoa ở bậc phổ thông. Mục 3.2 là một vài áp dụng.
5 Chương 1 Hệ tiên đề Hilbert và Hệ tiên đề Wayne cho Hình học Euclid 1.1 Tổng quan về lịch sử Hình học 1.1.1 Tác phẩm "Elements" của Euclid Hình học xuất phát như một phần của khoa học thực nghiệm và được phát triển đặc biệt bởi người Ai Cập. Những người áp dụng hình học vào đo đạc thổ nhưỡng cũng như những công trình tưới tiêu. Trong thiên niên kỷ đầu tiên trước công nguyên, kiến thức hình học của người Ai Cập được bắt nguồn từ người Hy Lạp và nhờ đó tạo ra một kỷ nguyên mới. Các nhà hình học Hy Lạp từ thế kỷ thứ bảy đến thế kỷ thứ ba trước công nguyên không chỉ làm khoa học phong phú hơn bằng các kiến thức mới, mà họ còn tiến những bước quan trọng trong việc thiết lập các dãy suy luận logic chặt chẽ. Các thành quả vun đắp qua nhiều thế kỷ đã được tổng kết và hệ thống hóa bởi Euclid (từ những năm 330 - 275 trước công nguyên) trong tác phẩm "Elements" nổi tiếng của mình. Lần đầu tiên trong lịch sử, Euclid đã giới thiệu một bản tường thuật logic chặt chẽ về hình học. Xét trong thời đại đó, cách giải quyết và mô tả về hình học này hoàn toàn không có khuyết điểm, đến mức ngay cả 2000 năm sau khi tác phẩm "Elements" xuất hiện, cuốn sách vẫn là cuốn sổ tay hình học độc nhất vô nhị. Quyển I - IV và VI trong tổng số 13 cuốn sách đã trình bày các chương về mặt phẳng và đóng góp cho sự hoàn thiện của hình học, cũng như Quyển XI - XIII đã bao gồm hình học không gian. Các chương khác nêu ứng dụng của số học trong việc xử lý hình học. Mỗi quyển sách đều được bắt đầu bằng các khái niệm mới, (ví dụ: Quyển 1 bao gồm 23 định nghĩa). Đặc biệt là ba định nghĩa dưới đây:
6 Định nghĩa 1. Điểm là thứ không thể chia nhỏ. Định nghĩa 2. Đường là một độ dài không có chiều rộng. Định nghĩa 3. Đường thẳng là một đường trải đều trên các điểm của nó. Những định nghĩa trên được khẳng định bởi các định đề và tiên đề (các khái niệm chung). Chẳng hạn: Định đề 1. Ta luôn dựng được một đường thẳng nối hai điểm bất kỳ. Định đề 5. Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng khác tạo thành hai góc trong cùng phía có tổng bé hơn hai góc vuông thì khi kéo dài vô hạn hai đường thẳng này, chúng sẽ cắt nhau về phía hai góc đó. Tiên đề 1. Những vật cùng bằng với một vật khác thì bằng nhau. Tiên đề 2. Nếu các vật bằng nhau cùng được cộng với các vật bằng nhau khác thì các kết quả cũng sẽ bằng nhau. Cả hai định đề và tiên đề đều là các giả định không được chứng minh. Cho đến nay, vẫn không ai biết được dựa trên nguyên lý nào mà có những điều được phân làm định đề và những điều khác lại trở thành tiên đề. Tiên đề được hỗ trợ bởi một chuỗi định lý và bài toán dựng hình nghiêm ngặt mang tên Mệnh đề. Do đó, sự chứng minh hoặc giải pháp cho mỗi phát biểu sau sẽ dựa trên các phát biểu đi trước. Sau đây là một trong số đó: Nếu hai tam giác có hai cặp cạnh bên lần lượt bằng nhau và hai góc tạo bởi mỗi cặp cạnh bên cũng bằng nhau, thì hai cạnh đáy cũng bằng nhau, hai tam giác bằng nhau và các góc còn lại (các góc đối của các cạnh bên) của một tam giác cũng lần lượt bằng với các góc tương đương của tam giác kia. Mặc dù "Elements" đã trở thành mẫu mực trong một thời gian rất dài, chúng vẫn hoàn toàn không thể sánh được với sự chính xác trong kiến thức hiện đại. Các định nghĩa và vật hình học trong quyển thứ nhất được đưa ra theo cách mô tả và hoàn toàn không thể hoàn hảo. Ví dụ: Định nghĩa số 4 về đường thẳng không hề khiến nó khác biệt so với đường tròn, trong khi Định nghĩa số 2 về đường số học đã mô tả chiều dài và chiều rộng - những thứ mà bản thân chúng cũng cần được định nghĩa. Tuy nhiên, chúng ta không được nghĩ rằng tất cả các định nghĩa tồn tại trước khi quyển sách đầu tiên được viết là có khiếm khuyết. Ngược lại, một phần trong số đó, bao gồm chu vi (đường tròn), tam giác, góc vuông, góc nhọn và góc tù, đều hoặc đã hoàn thiện hoặc vẫn mơ hồ một cách vô nghĩa và có thể dễ dàng bị chỉnh lý. Trong khi đó, nếu chúng ta nhớ rằng các tính chất của vật hình học được mô tả bởi các định nghĩa không chính xác sẽ không bao giờ được sử dụng trong phép chứng minh,
7 thì chúng sẽ bị bỏ qua mà không gây ra bất kỳ tổn hại nào cho việc tính toán. Về định đề và tiên đề, các cách trình bày này đều không thể chê được, là bản chất của các phát biểu và tạo nền tảng cơ bản cho các phép chứng minh sau này. Cuối cùng, chúng ta có thể xác định chúng một cách chắc chắn. Theo như những điều tác giả của "Elements" đã trình bày, các cách chứng minh của tất cả các mệnh đề phải cùng được dựa trên các tính chất của vật hình học. Các tính chất này phải được quyết định dựa trên định đề và tiên đề. Tuy nhiên, ngay cả những thứ nhìn qua có vẻ quen thuộc với các cách chứng minh của Euclid đã thể hiện rằng một số lượng không nhỏ các tính chất và mối quan hệ giữa các vật hình học không thể được làm rõ bằng định đề hay tiên đề. Ví dụ, khi chứng minh tính đồng dư của tam giác bằng mệnh đề nói trên, Euclid đã sử dụng đến khái niệm chuyển động và liên hệ những thứ khác với các tính chất về sự sắp đặt tương hỗ của các điểm trên đường thẳng và thể hiện bằng khái niệm “ở giữa”. Theo lẽ tự nhiên, nhiều câu hỏi sẽ được đặt ra nếu chúng ta có thể loại bỏ khuyết điểm trong các cách chứng minh của Euclid bằng cách thay thế chúng với những cách chứng minh khác chỉ dựa hoàn toàn trên định đề và tiên đề. Chúng ta đã thu được câu trả lời cho vấn đề như vậy cách đây không lâu. Kết quả là các chứng minh này có thể được thực hiện chỉ bằng cách hoàn thiện các định đề và tiên đề Euclid một cách phù hợp. 1.1.2 Nỗ lực chứng minh Định đề 5 Một vài khuyết điểm đã được chỉ ra ở trên của "Elements" đã được người Hy Lạp cổ nhận ra. Tùy thuộc vào vấn đề họ lựa chọn vào nỗ lực và cải thiện cách tiếp cận mà họ mong muốn xử lý các kết luận trong hình học. Mục đích chính là người Hy Lạp làm là việc tinh giản hệ thống định đề và tiên đề của Euclid. Một cách tự nhiên, để giải quyết vấn đề tinh giản các định đề và tiên đề là việc suy luận ra một vài định đề và tiên đề từ các định đề và tiên đề khác. Bằng cách này, "Elements" mới chỉ chứng minh được Định đề 4 (mọi góc vuông đều bằng nhau). Tuy nhiên, mọi nỗ lực nhằm loại bỏ Định đề 5 đều không mang lại kết quả, mặc dù các nhà hình học đã nỗ lực làm điều này trong hơn 2000 năm. Sai lầm đặc trưng của phần lớn các chứng minh là việc sử dụng một cách cố ý hoặc vô ý của vài hoặc các phát biểu khác không được bao hàm một cách rõ ràng trong các định đề, tiên đề còn lại và không được suy ra từ chúng. Ví dụ sau đây là cách chứng minh của Proclus:
8 Ví dụ 1.1.1. Cho α + β < 1800 . Chứng minh rằng, đường thẳng g 0 và g” giao nhau tại một điểm C. Bài giải: Qua điểm A vẽ đường thẳng g song song với đường thẳng g 0 . Chọn điểm B thuộc g” và kẻ qua B một đường vuông góc với đường thẳng g. Vì khoảng cách đến g tăng liên tục và không bị giới hạn khi khoảng cách giữa B và A tăng, trong khi đó khoảng cách giữa g 0 và g không thay đổi, nên tồn tại một điểm C thuộc g” và g 0 sao cho đây chính là điểm giao nhau của g 0 và g”. Tính chất của đường thẳng song song mà chúng ta đã sử dụng trong chứng minh trên không hề được biết một cách rõ ràng trong các định đề và tiên đề khác. Hơn nữa, nó còn không thể suy ra được từ các định đề và tiên đề đã có. Định đề 5 còn có thể được chứng minh dựa vào rất nhiều phát biểu khác nữa, chẳng hạn: (1) Tất cả các đường trực giao nằm cùng một phía của một góc nhọn đều cắt cạnh còn lại của nó. (2) Tồn tại những tam giác giống nhau nhưng không đồng đẳng. (3) Tồn tại tam giác với diện tích lớn tùy ý. (4) Tồn tại tam giác có tổng các góc bằng tổng hai góc vuông. (5) Qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng đã cho có thể kẻ được không nhiều hơn một đường thẳng song song với chính nó. Mặc dù các nỗ lực chứng minh Định đề 5 không đưa đến kết quả như mong đợi. Nhưng chúng hiển nhiên cũng đã đóng vai trò hữu ích trong sự phát triển của Hình học. Chúng cũng đã làm phong phú thêm cho Hình học với các kết quả mới, mà việc chứng minh các kết quả đó không dựa trên Định đề 5. Một trong số chúng đã được chứng minh bởi nhà toán A. Legendre về tổng các góc của một tam giác tùy ý đều không lớn hơn tổng hai góc vuông.
9 1.1.3 Phát hiện Hình học khác Hình học Euclid Một trong số những phương pháp mà các nhà hình học thế kỷ 18 và đầu thế kỷ 19 sử dụng với hy vọng chứng minh Định đề 5 bao gồm việc thay thế nó bằng sự phủ định hoặc các phát biểu khác tương đương. Tất cả các mệnh đề (mà bị thay đổi) được suy luận một các logic từ hệ thống các định đề và tiên đề đó, sau đó đều được chứng minh bằng phương pháp giống với trong "Elements". Nếu trên thực tế, Định đề 5 được suy ra từ các định đề và tiên đề khác, thì hệ thống định đề và tiên đề đã được hình thành sẽ trở nên tự mâu thuẫn. Do đó, sớm muộn gì chúng ta cũng đi đến hai kết luận riêng biệt đối nghịch nhau, nhờ đó chứng minh Định đề 5. G. Saccheri, J. Lambert và A. Legendre đã cố gắng chứng minh chúng theo cách này. Cách đầu tiên sử dụng một hình chữ nhật với hai góc đáy vuông và hai cạnh đối bằng nhau. Có ba giả thuyết về hai góc còn lại và các giả thuyết này có giá trị tương đương, là chúng là góc vuông, tù hoặc nhọn. Ông đã chứng minh là giả thuyết về góc vuông và Định đề 5 là tương đương, có nghĩa là cái sau có thể được sử dụng để chứng minh về sự hình thành định đề của cái trước và ngược lại. Sau khi đã đưa ra giả thuyết góc tù, G. Saccheri đã vấp phải sự mâu thuẫn và cuối cùng lại làm điều tương tự với góc nhọn thông qua nhiều hệ quả, mà xét trên góc nhìn của các quan điểm hình học thông thường thì những hệ quả này rất ngớ ngẩn. Ví dụ: Các đường thẳng song song hoặc sở hữu chỉ một trực giao chung trên cả hai phía mà chúng có thể phân kỳ vô tận hoặc sẽ không có trực giao nào và tiếp cận lẫn nhau theo cách tiệm cận từ một hướng và phân kỳ vô tận ở hướng còn lại. G. Saccheri đã không đưa ra kết luận rằng sự mâu thuẫn xảy ra chỉ khi các kết quả có được đều mâu thuẫn với quan điểm thông thường về sự sắp đặt đường thẳng. Thay vào đó, ông cố gắng tìm cách giải thích logic cho ý tưởng vô lý kia một cách cứng đầu. Những mâu thuẫn đó cuối cùng cũng được ông ấy “phát hiện”, tuy nhiên lại là nhờ một sai lệch về tính toán. Công trình tương tự được thực hiện bởi J. Lambert – người đã xem xét về tứ giác có ba góc vuông và giống như G. Saccheri, đã tạo ra ba giả thuyết cho góc thứ tư. Với việc chứng minh rằng giả thuyết góc tù tương đương với Định đề 5, rằng không thể có một góc tù và đưa ra phỏng đoán về góc nhọn tương tự như G. Saccher đã làm, A. Lagendre đã thu được nhiều hệ quả tiết lộ những đặc tính nghịch lý của sự sắp đặt đường thẳng. Tuy nhiên, cũng như G. Saccheri, J. Lambert không nhận thấy sự mâu thuẫn. Ông cũng không tìm thấy bất kì mâu thuẫn
10 mang tính logic nào và giả thuyết góc nhọn không bị loại bỏ. Thông qua việc phát triển những hệ quả của giả thuyết góc nhọn, J. Lambert phát hiện rằng những hệ quả này tương tự với hình học về hình cầu và biểu thị giả định đúng để giả thuyết này “có hiệu lực với một số hình cầu tưởng tượng”. Trong số các nhà hình học thế kỉ thứ 17, J. Lambert là người tiến đến gần nhất với các giải pháp đúng đắn cho những vấn đề của định đề thứ năm. Trong “chứng minh” về Định đề 5 của mình, A. Legendre đã cân nhắc ba giả thuyết dưới đây về tổng các góc của một tam giác: (1) Tổng các góc của một tam giác bằng hai góc vuông. (2) Tổng các góc của một tam giác lớn hơn hai góc vuông. (3) Tổng các góc của một tam giác nhỏ hơn hai góc vuông. Ông chứng minh rằng giả thuyết đầu tiên tương đương với Định đề thứ 5 và giả thuyết thứ hai thì không có khả năng. Cuối cùng, với việc chấp nhận giả thuyết thứ ba, ông cũng gặp phải sự mâu thuẫn bằng việc sử dụng định đề thứ năm thông qua một trong những định đề tương đương với nó. Nhà toán học lỗi lạc người Nga N. I. Lobachevsky (1792 – 1856), người được vinh danh cho việc phát hiện ra dạng hình học mới, hình học Lobachevsky, cũng bắt đầu bằng việc nỗ lực chứng minh định đề thứ năm. Như đã được chỉ ra ở trên (Mục 2), một trong những định đề tương đương với định đề thứ 5 là phát biểu: Qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng, không có nhiều hơn một đường thẳng song song với đường thẳng cho trước. N. I. Lobachevsky thay thế định đề thứ 5 bằng phát biểu dưới đây: Qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng, có thể kẻ ít nhất hai đường thẳng không cắt với đường thẳng đã cho. Tương tự với các tiền bối trước đó, N. I. Lobachevsky mong muốn tìm ra một mâu thuẫn trong hệ thống hệ quả Euclid. Tuy nhiên, với việc đã phát triển học thuyết của mình ngang tầm với "Elements" về mặt nội dung, N. I. Lobachevsky nhận ra rằng hệ thống không mâu thuẫn và đưa ra một kết luận đáng kể về sự tồn tại của hình học khác với Euclid và định đề thứ năm không còn đúng. Điều này xảy ra vào năm 1826. Mới đầu, kết luận của N. I. Lobachevsky có vẻ không có đủ căn cứ. Thực tế, làm cách nào đảm bảo rằng không có bất kì mâu thuẫn nào nếu chúng ta phát triển giả thuyết của ông xa hơn? Tuy nhiên, điều tương tự có thể xảy ra với hình học Euclid, vì vậy từ quan điểm về sự nhất quán logic, hai dạng hình học là tương đương. Hơn nữa, những kiểm định sau này
11 đã chỉ ra rằng chúng quan hệ mật thiết, với sự nhất quán logic của cái này phụ thuộc vào nhất quán logic của cái kia. Vì vậy, dạng hình học của cả Euclid và Lobachevsky đều tương đương về tư cách là một hệ thống logic. Và để tìm ra cái nào phản ánh tốt hơn mối quan hệ không gian trong thế giới xung quanh, chỉ có thể thông qua kinh nghiệm. N. I. Lobachevsky hiểu điều này và đã đo lường tổng các góc của một tam giác thì sai với mục đích này. N. I. Lobachevsky là nhà hình học đầu tiên, nhưng không phải là người duy nhất, phát hiện ra sự tồn tại của một dạng hình học khác với hình học Euclid. Hình học mới cũng được phát hiện bởi F. C. Gauss. Ông đã viết về nó trong những bức thư của mình. Ba năm sau khi nghiên cứu của N. I. Lobachevsky được công bố, nhà toán học người Hungary, J. Bolya (1822 - 1860), không hề biết đến nghiên cứu của những người tiền nhiệm, đã công bố kết quả nghiên cứu dựa trên cùng một giả thuyết, nhưng trong một dạng kém phát triển hơn. 1.1.4 Nền tảng hình học trong nửa sau thế kỉ 19 Không có nhiều người cùng thời N. I. Lobachevsky hiểu và đồng ý với phát hiện của ông. Phần lớn mọi người, trong đó có nhiều nhà toán học lỗi lạc, đã hoài nghi nó. Sự nhận thức của thế giới về hình học Lobachevsky được hỗ trợ đáng kể nhờ những nhà hình học sau thời của ông, trước tiên là E. Beltrami (1862). Ông đã chứng minh rằng mặt phẳng Lobachevsky đúng với đường cong âm không đổi nếu các đường hypebol được hiểu là đường trắc địa, trong đó chuyển động được hiểu như bản đồ đẳng cự của bề mặt trên nó. Đây là một chứng minh rằng hình học Lobachevsky là phi mâu thuẫn. Thực vậy, một mâu thuẫn trong nó có thể tương ứng với những giải thích ở trên cho mâu thuẫn tương tự trong học thuyết về các bề mặt Euclid, tức là một trong số hình học Euclid. Đây là điểm yếu trong chứng minh về sự nhất quán của hình học Lobachevsky. Nếu dựa trên các giải thích Beltrami thì D. Hilbert đã mô tả, không tồn tại bề mặt Euclid hoàn chỉnh của đường cong âm không đổi mà không có điểm kỳ dị. Do đó, dạng hình học của một phần của mặt phẳng Lobachevsky có thể được lý giải dựa trên đó. Điểm hạn chế đã được loại bỏ trong các mô hình sau này của H. Poincaré và F. Klein. F. Kliein giải thích mặt phẳng hình học hypebol bên trong hình tròn trong mặt phẳng Euclid, tại đó dây cung đường trong được hiểu là các đường thẳng và các chuyển động như phép cộng tuyến được giữ trong
12 chu vi đường tròn. Chứng minh dựa trên giải thích này rằng hình học Lobachevky là phi mâu thuẫn sẽ được xem là không thể chê trách được. Đồng thời, luận chứng của định đề thứ năm độc lập với các định đề và tiên đề khác của Euclid. Thực tế, nếu định đề thứ năm là hệ quả của những định hoặc tiên đề khác, thì hình học Lobachevsky sẽ mâu thuẫn vì trong nó tồn tại hai phát biểu riêng biệt đối nghịch nhau. Khuynh hướng chung về tính chính xác của toán học thể hiện trên tất cả các nghiên cứu trong nửa sau thế kỉ 19, cũng như đáp án cho vấn đề về Định đề 5. Khuynh hướng này đã khiến các nhà hình học đưa hệ thống tiên đề hình học vào nghiên cứu tỉ mỉ hơn. Các nhà nghiên cứu chỉ ra rằng không phải mọi tiên đề Euclid đều hoàn hảo, trước tiên bởi vì chúng không hoàn chỉnh. Như chúng ta sẽ thấy sau đây, họ đã bỏ qua một số nhóm tiên đề cực kỳ cần thiết để chứng minh một cách chặt chẽ và sau đó hệ thống tiên đề Euclid đã được hoàn thiện với những tiên đề còn thiếu. Vì vậy, M. Pasch (1882) đã hỗ trợ tiên đề Euclid với các tiên đề thứ tự. Một trong những tiên đề đó mang tên ông. Các nghiên cứu tiên đề Euclid được hoàn thiện bởi D. Hilbert năm 1899. Hệ thống tiên đề bởi D. Hilbert bao gồm 5 nhóm: Liên thuộc; Thứ tự; Bằng nhau; Liên tục và Song song, tất cả đều liên quan tới các đối tượng thuộc ba hình thức: Điểm, đường thẳng, mặt phẳng và ba mối quan hệ giữa chúng, được biểu thị bằng các cụm từ “ ngẫu nhiên”, “ nằm giữa” và “đồng đẳng”. Thế nào là một điểm, một đường thẳng hoặc một mặt phẳng và ý nghĩa thực sự của những quan hệ trên là gì đều không được miêu tả chính xác. Những thứ được giả định là đã được biết sẽ được biểu thị bởi các tiên đề và dạng hình học được xây dựng khi đó sẽ thừa nhận những phép thể hiện cụ thể, mà những phép thể hiện này thường khá “xa vời” với quan điểm thông thường. D. Hilbert đã xây dựng và hoàn thiện hệ thống tiên đề của Euclid . Cụ thể, ông chứng minh rằng tiên đề sẽ phi mâu thuẫn nếu số học cũng phi mẫu thuẫn. Hơn nữa, bên cạnh sự song song, ông cũng chỉ ra tính độc lập của những tiên đề nhất định và cuối cùng, nghiên cứu về việc hình học có thể tiến xa tới đâu nếu một số hoặc những tiên đề khác (những tiên đề được chia ra trong hệ thống) được sử dụng làm nền tảng phát triển. D. Hilbert gần như đã hoàn thiện nghiên cứu của nhiều thế kỉ dựa trên nền tảng của hình học cơ bản. Nghiên cứu của ông được đánh giá cao bởi những người đương thời và giành giải thưởng Lobachevsky năm 1903.
13 1.2 Hệ tiên đề Hilbert cho Hình học Euclid Nhà toán học người Đức là David Hilbert (1862 - 1943), người đầu tiên đã công bố Hình học tiên đề vào năm 1899 sau khi phát hiện ra Hình học phi Euclid. Vấn đề này đã được nhắc đến trong bài giảng của ông ở Hội nghị Toán học quốc tế tại Paris năm 1900 và nó mang đến cho ông giải thưởng Lobachevsky năm 1903. Sau đó, phương pháp tiên đề thịnh hành và nhiều hệ tiên đề khác đã nảy sinh. Nhiều công trình nghiên cứu cũng đã bổ sung, tạo ra những hệ tiên đề tương đương với hệ tiên đề Hilbert. 1.2.1 Yêu cầu cơ bản về phương pháp tiên đề Khi xây dựng bất kỳ một Lý thuyết khoa học nào đó, ta cần phải có những khái niệm cơ bản, (đó là những khái niệm đầu tiên không định nghĩa được coi như đã có) và các tiên đề (những mệnh đề được thừa nhận luôn đúng). Vận dụng những khái niệm và tiên đề đã công nhận để xây dựng kết quả mới qua những suy luận logic. Một vài câu hỏi này sinh khi đưa ra khái niệm cơ bản và tiên đề. Từ những cơ sở ban đầu ta đã có thể xây dựng môn khoa học đặt ra chưa? Cùng một giả thiết có một hay nhiều kết quả khác nhau qua suy luận.... Để trả lời những câu hỏi như vậy, ba điều kiện sau đã được đặt ra khi xây dựng một hệ tiên đề: (1) Điều kiện phi mâu thuẫn, có nghĩa: Từ những khái niệm cơ bản và tiên đề, các kết quả suy ra qua những lập luận logic không có hai câu trả lời trái ngược nhau. (2) Điều kiện độc lập, có nghĩa: Không thể suy ra tiên đề này từ các tiên đề còn lại. (3) Điều kiện đầy đủ, có nghĩa: Hệ tiên đề phải đủ để xây dựng môn khoa học qua những suy diễn logic đúng. Để biết những khái niệm cơ bản và các tiên đề đưa ra đã thỏa mãn ba điều kiện trên hay chưa ta phải có một mô hình kiểm tra. Đặc biệt, sau
14 khi đưa ra một hệ tiên đề, A. Pogorelov đã xây dựng mô hình Carte để chứng minh hệ tiên đề của mình thỏa mãn ba điều kiện trên. 1.2.2 Các nhóm tiên đề Hilbert Mục này tập trung trình bày sơ lược về hệ tiên đề của Hilbert cho Hình học Euclid. Hệ tiên đề Hilbert cho Hình học Euclid gồm 20 tiên đề được chia ra làm năm nhóm: I. Nhóm liên thuộc. II. Nhóm thứ tự. III. Nhóm bằng nhau. IV. Nhóm song song. V. Nhóm liên tục. Các tiên đề thuộc nhóm liên thuộc quyết định các tính chất về sự sắp đặt liên quan giữa các điểm, các đường thẳng và mặt phẳng. Chúng được biểu thị bằng khái niệm “gắn liền” hoặc "đi qua" hoặc hay một vài khái niệm khác tương đương. Nhóm này gồm tám tiên đề sau: I1 . Với hai điểm bất kì A và B luôn luôn có một đường thẳng đi qua hai điểm này. I2 . Với hai điểm bất kì A và B không tồn tại nhiều hơn một đường thẳng đi qua hai điểm ấy. I3 . Tồn tại ít nhất hai điểm thuộc một đường thẳng. Tồn tại ít nhất ba điểm không thuộc cùng một đường thẳng. I4 . Cho ba điểm bất kì A, B, C không nằm trên cùng một đường thẳng, tồn tại một mặt phẳng chứa ba điểm. Với mỗi mặt phẳng, luôn tồn tại một điểm nằm trong nó. I5 . Cho ba điểm bất kì A, B, C không nằm trên cùng một đường thẳng, tồn tại không nhiều hơn một mặt phẳng đi qua ba điểm. I6 . Nếu hai điểm A và B của đường thẳng a nằm trong mặt phẳng α thì mọi điểm của đường thẳng a đều thuộc mặt phẳng này.
15 I7 . Nếu một điểm A nằm trong hai mặt phẳng α và β thì tồn tại ít nhất một điểm B cũng nằm trong mặt phẳng α và β. I8 . Tồn tại ít nhất bốn điểm không thuộc cùng một mặt phẳng. Chú ý rằng, "điểm A thuộc đường thẳng d" còn được viết "điểm A nằm trên đường thẳng d." Nhóm tiên đề thứ tự diễn đạt những tính chất về sự sắp đặt liên quan giữa các điểm, các đường thẳng và mặt phẳng, được biểu thị bằng các khái niệm “ở giữa” hoặc "nằm giữa." Nhóm này gồm bốn tiên đề: II1 . Nếu điểm B nằm giữa hai điểm A và C thì A, B, C là ba điểm phân biệt và B cũng là điểm nằm giữa hai điểm C và A. II2 . Cho hai điểm bất kì A và C, tồn tại ít nhất một điểm B thuộc đường thẳng AC sao cho điểm C nằm giữa hai điểm A và B. II3 . Trong ba điểm bất kì thuộc một đường thẳng, không có nhiều hơn một điểm nằm giữa hai điểm còn lại. Thuật ngữ “ nằm giữa” dành cho các điểm trên một đường thẳng cho phép chúng ta đưa ra định nghĩa khái niệm đoạn thẳng theo cách thức quen thuộc. II4 . Cho A, B và C là ba điểm không cộng tuyến và đường thẳng a trong mặt phẳng ABC, không chứa điểm A, B và C. Nếu a chứa một điểm thuộc đoạn AB thì a sẽ chứa một điểm thuộc đoạn AC hoặc một điểm thuộc đoạn BC (tiên đề Pasch). Nhóm tiên đề bằng nhau quyết định định nghĩa về “sự đồng đẳng” hoặc tương đương cho đoạn thẳng và góc. Nhóm gồm năm tiên đề: III1 . Nếu A và B là hai điểm phân biệt trên một đường thẳng a, và điểm A0 nằm trên cùng đường thẳng hoặc đường thẳng a0 thì tồn tại một điểm B 0 nằm ở cùng phía của a0 với A0 , sao cho, đoạn thẳng AB có độ dài bằng đoạn thẳng A0 B 0 . III2 . Nếu hai đoạn thẳng có độ dài bằng một đoạn thứ ba thì hai đoạn thẳng đó bằng nhau. III3 . Giả sử AB và BC là hai đoạn thẳng trên đường thẳng a sao cho AB và BC có chung duy nhất một điểm B. Ngoài ra, A0 B 0 và B 0 C 0 hai đoạn thẳng trên đường thẳng a0 sao cho A0 B 0 và B 0 C 0 có chung duy nhất một điểm B 0 . Nếu AB có độ dài bằng A0 B 0 và BC có