Luận văn Thạc sĩ Toán học: Khôi phục một lớp hàm nguyên và áp dụng vào phương trình truyền nhiệt

Chia sẻ: Lavie Lavie | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:54

Thêm vào BST

Báo xấu

56
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Khôi phục một lớp hàm nguyên và áp dụng vào phương trình truyền nhiệt trình bày bài toán khôi phục một lớp hàm nguyên từ các giá trị của chúng trên một tập hợp các điểm nguyên. Luận văn phục vụ cho các bạn chuyên ngành Toán học.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Khôi phục một lớp hàm nguyên và áp dụng vào phương trình truyền nhiệt

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH ------------------------- Nguyễn Quốc Cường KHÔI PHỤC MỘT LỚP HÀM NGUYÊN VÀ ÁP DỤNG VÀO PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2011
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH ------------------------- Nguyễn Quốc Cường Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS. TS. ĐẶNG ĐỨC TRỌNG Thành phố Hồ Chí Minh - 2011
LỜI CÁM ƠN Tôi xin đặc biệt bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến Thầy của tôi, PGS. TS. Đặng T 2 Đức Trọng về tất cả những sự hướng dẫn, góp ý, chỉ dạy, giúp đỡ, động viên, khích lệ rất nhiệt tình và tận tâm của Thầy trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thành Luận văn. Tôi xin chân thành cám ơn đến toàn thể Quý Thầy Cô trong Tổ Toán Giải tích của Trường T 2 Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã giảng dạy tận tình, luôn khích lệ tôi trên con đường học tập và nghiên cứu Toán học. Tôi xin chân thành cám ơn Quý Thầy Cô phản biện đã đọc và góp ý để tôi hoàn chỉnh Luận T 2 văn này. Tôi xin chân thành cám ơn các Thầy Cô trong Hội đồng chấm Luận văn đã đọc và cho tôi T 2 nhiều ý kiến quý báu để tôi thấy được những thiếu sót của mình. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc và chân thành tới các thầy giáo, cô giáo trong Khoa Toán T 2 T 2 - Tin và Phòng Sau đại học Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã tận tình giúp đỡ và tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất cho tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành T 2 Luận văn. T 2 Tôi gửi lời cám ơn chân thành tới các bạn bè, đồng nghiệp đã hỗ trợ, động viên và tạo điều T 2 kiện cho tôi trong thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành Luận văn. Tôi đặc biệt bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến gia đình tôi, đã luôn ở bên tôi, giúp đỡ, động T 2 viên, tạo điều kiện thuận lợi để tôi vượt qua mọi khó khăn trong quá trình học tập và hoàn thành Luận văn này. Nguyễn Quốc Cường T 2
MỤC LỤC
PHẦN MỞ ĐẦU Việc khảo sát bài toán khôi phục hàm nguyên bắt nguồn từ thực tế, trong các lĩnh vực điều T 0 khiển học, vật lý, kinh tế, y khoa, thăm dò, nhận dạng,… đặc biệt là các bài toán không chỉnh. Đây là lĩnh vực toán học hết sức thực tiễn, sâu rộng, được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu và đạt được nhiều thành tựu rất quan trọng. Trong quá trình giải bài toán khôi phục, các kết quả thu được đã có nhiều ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực như phương trình đạo hàm riêng, xử lý tín hiệu, lý thuyết hệ thống, nhận dạng trong tình huống xấu nhất,… Trong Luận văn này, chúng tôi trình bày bài toán khôi phục một lớp hàm nguyên từ các giá T 0 trị của chúng trên một tập hợp các điểm nguyên. Các kết quả này được áp dụng để kiểm tra hai bài T 0 toán liên quan đến phương trình truyền nhiệt: bài toán đầu tiên là việc giải một phương trình truyền nhiệt mà không có điều kiện đầu hoặc điều kiện cuối và bài toán thứ hai là việc xác định nguồn nhiệt của một bài toán nhiệt ngược thời gian. Cụ thể như sau: Cho σ > 0 , chúng tôi ký hiệu Lσ2 là không gian các hàm nguyên f ∈ L2 ( ¡ ) thỏa mãn f ( z ) const.e σz = , z ∈£. Do định lý Paley-Wiener (xem Rudin [18, Chương 19]), mỗi hàm f ∈ Lσ2 có thể được biểu diễn như là biến đổi Fourier của một hàm g ∈ L2 ( −σ , σ ) , nghĩa là σ =f ( z) ∫σ g ( t ) e itz dt , z ∈ £ . − Chúng tôi quan tâm đến một bài toán khôi phục một hàm trong Lσ2 từ các giá trị của nó trên một tập con đã biết của ¡ , vấn đề này đã được biết khi xem xét một số phương trình đạo hàm riêng. Trước tiên, chúng ta hãy xem xét phương trình nhiệt ut − u xx= f ( x, t ) , ( x, t ) ∈ Q=: ( 0,1) × ( 0, T ) ,  (1) ( 0, t ) u x= u x = (1, t ) u= (1, t ) 0, trong đó u ∈ C1 ([ 0, T ] ; L1 ( 0,1) ) ∩ L2 ( ( 0, T ) ; H 2 ( 0,1) ) đã biết. Ở đây, chúng ta nhớ lại rằng, C1 ([ 0, T ] ; L1 ( 0,1) ) là không gian tất cả các hàm liên tục f : [ 0, T ] → L1 ( 0,1) có f ' : [ 0, T ] → L1 ( 0,1) liên tục và L2 ( ( 0, T ) ; H 2 ( 0,1) ) là không gian tất cả các hàm f : ( 0, T ) → H 2 ( 0,1) thỏa mãn
T ∫ f (t ) 2 H 2 ( 0,1) < ∞. 0 Đây là một loại bài toán gọi là “bài toán không có điều kiện đầu”. T 0 Năm 1935, Tikhonov [25] đã chứng minh tính duy nhất nghiệm của phương trình truyền T 0 nhiệt thuần nhất ut − ∆u= 0, − ∞ < t < ∞ . Năm 1990, Safarov [19] đã giải quyết bài toán thuần nhất này cho miền không bị chặn x > 0 T 0 T 0 T 0 và cho 0 < x < l . Sau đó, phương trình truyền nhiệt không thuần nhất mà không có điều kiện đầu đã T 0 T 0 được xem xét bởi nhiều tác giả như Shmulev [23], Kirilich [13] và Guseinov [12]. Các tác giả này T 0 kiểm tra bài toán trong điều kiện −∞ < t < ∞ hoặc −∞ < t < T và họ đòi hỏi một số giả thiết về điều kiện nhiệt độ tại −∞ hoặc điều kiện tuần hoàn để bài toán giải được. Trong Luận văn này, chúng tôi sẽ trình bày bài toán không thuần nhất trên một thời gian hữu T 0 hạn 0 < t < T , việc làm này là hợp lý hơn cho các ứng dụng thực tế. Việc thiếu điều kiện đầu u (.,0 ) 0T T 0 T 0 T 0 được bù đắp bằng cách thêm điều kiện biên u (1,.) . Chúng tôi muốn chứng minh rằng bài toán (1) T 0 T 0 T 0 có nhiều nhất một nghiệm và giải nó bằng số. Với mỗi α ∈ ¡ , nhân vào hai vế của phương trình đầu tiên của (1) với v ( x ) = cos (α x ) và sử T 0 T 0 0T T 0 T 0 dụng tích phân từng phần, ta có 1 1 1 ∫ ut ( x, t ) cos (α x ) dx − ∫ uxx ( x, t ) cos (α x ) dx = 0 0 ∫ f ( x, t ) cos (α x ) dx , 0 d 1 x =1 ∫ u ( x, t ) cos (α x ) dx − u x ( x, t ) cos (α x ) + α u ( x, t ) sin (α x )  dt 0 x=0 1 1 + α 2 ∫ u ( x, t ) cos (α x ) dx = ∫ f ( x, t ) cos (α x ) dx, 0 0 F ( u (., t ) ) (α ) − u x (1, t ) cos α + α u (1, t ) sin α − u x ( 0, t ) cos 0 − α u ( 0, t ) sin 0  d dt + α 2 F ( u (., t ) ) (α ) =F ( f (., t ) ) (α ) . ( 0, t ) u x= Do u x = (1, t ) u= (1, t ) 0 nên F ( u (., t ) ) (α ) + α 2 F ( u (., t ) ) (α ) = F ( f (., t ) ) (α ) . d dt trong đó F là viết tắt của biến đổi Fourier Cosin trong L2 ( 0,1) , nghĩa là 0T T 0 T 0 T 0 T 0 1 ( w )( z ) : F= ∫ w ( x ) cos ( zx ) dx, w ∈ L2 ( 0,1) , z ∈ £ . 0
F ( f (., t ) ) (α ) , ta suy ra F ( u (., t ) ) (α ) + α 2 F ( u (., t ) ) (α ) = d Từ phương trình T 0 0T dt T 0 ( d α 2t dt 2 ) e F ( u (., t ) ) (α ) = eα t F ( f (., t ) ) (α ) , ( ) T T ∫0 dt e F ( u (., t ) ) (α ) dt = ∫0 e F ( f (., t ) ) (α ) dt , d α 2t α 2t t = T T α 2t eα t F ( u (., t ) ) (α ) = e F ( f (., t ) ) (α ) dt , t = 0 ∫0 2 T α 2T ∫ e F ( f (., t ) ) (α ) dt . F ( u (., T ) ) (α ) − F ( u (.,0 ) ) (α ) = α t 2 e 0 Do đó T F ( u (., T ) ) (α ) e −α T F ( u (.,0 ) ) (α ) + ∫ e F ( f (., t ) ) (α ) dt . α 2 ( t −T ) = 2 (2) 0 Khó khăn của việc tìm u (., T ) là bởi vì điều kiện đầu u (.,0 ) không có sẵn. Tuy nhiên, từ (2), T 0 0T T 0 T 0 0T T 0 chúng tôi có một quan sát rất quan trọng rằng, khi α → +∞ thì e −α T → 0 rất nhanh và thật là hợp 2 lý để sử dụng xấp xỉ T F ( u (., T ) ) (α ) ≈ ∫ e F ( f (., t ) ) (α ) dt . α 2 ( t −T ) (3) 0 Công thức (3) đưa ra một xấp xỉ tốt cho F ( u (., T ) ) (α ) , nếu α đủ lớn. Bây giờ, mấu chốt của vấn đề là để khôi phục F ( u (., T ) ) (α ) cho α rất nhỏ. Vì vậy, chúng tôi gặp một bài toán khôi phục một hàm trong L12 từ các giá trị của nó trên một tập hợp ( −∞, − r ] ∪ [ r , ∞ ) , trong đó r > 0 là một số lớn. Bây giờ, chúng ta hãy xem xét một bài toán truyền nhiệt khác gọi là “bài toán nguồn nhiệt T 0 ngược thời gian”. Đây là bài toán tìm một cặp hàm ( u , f ) thỏa mãn T 0 T 0 ut − u xx= ϕ ( t ) f ( x ) , ( x, t ) ∈ Q= ( 0,1) × ( 0, T ) ,  ( 0, t ) u x= u x = (1, t ) u= (1, t ) 0, (4)  u ( x, T ) = g ( x ) , T 0 trong đó ϕ ∈ L1 ( 0, T ) và g ∈ L2 ( 0,1) được cho trước. 0T T 0 0T 0T 0T Bài toán nguồn nhiệt ngược thời gian này là “bài toán không chỉnh”, nghĩa là nghiệm có thể T 0 T 0 không tồn tại và thậm chí nếu nó tồn tại thì nó có thể không phụ thuộc vào cách liên tục trên dữ liệu. Vì vậy, một cách xử lý số thông thường là không thể và một sự chỉnh hóa là cần thiết. 0T
Bài toán tìm nguồn nhiệt dưới dạng ϕ ( t ) f ( x ) , trong đó một trong hai hàm ϕ và f không T 0 T 0 T 0 T 0 T 0 được biết, đã được kiểm tra trong một thời gian dài. Tính duy nhất và sự ổn định được xem xét bởi T 0 nhiều tác giả như Cannon-Esteva [5, 6], Yamamoto [31, 32], Yamamoto-Zou [33], Saitoh-Tuan- Yamamoto [20, 21] và Choulli-Yamamoto [7]. Tuy nhiên, sự chỉnh hóa bài toán đối với trường hợp T 0 không ổn định vẫn còn khó khăn. Sự chỉnh hóa bài toán cho trường hợp f ≡ 1 đã được kiểm tra bởi T 0 Wang-Zheng [29] và Shidfar-Zakeri-Neisi [22], trong khi trường hợp ϕ ≡ 1 được xem xét bởi Cannon [4], Wang-Zheng [30] và Farcas-Lesnic [11]. Gần đây, Trong-Long-Đinh [27] và Trong- Quan-Đinh [28] đã xem xét sự chỉnh hóa bài toán trong đó ϕ được cho trước và f là không được biết. Tuy nhiên, trong hai bài báo này, cả hai điều kiện đầu u (.,0 ) và điều kiện cuối u (., T ) là bắt buộc. Yêu cầu này là ngặt và không tự nhiên. Trong Luận văn này, chúng tôi trình bày bài toán tương tự như trong [27], nhưng yêu cầu của nhiệt độ ban đầu được loại bỏ hoàn toàn. Lưu ý rằng, nếu f đã được biết thì chúng ta có được một bài toán truyền nhiệt ngược thông thường. Vì vậy, chúng tôi sẽ chỉ tập trung vào việc tìm f . Với mỗi α ∈ ¡ , nhân vào hai vế của phương trình đầu tiên của (4) với v ( x ) = cos (α x ) và sử T 0 T 0 0T T 0 T 0 dụng tích phân từng phần, ta có 1 1 1 ∫ ut ( x, t ) cos (α x ) dx − ∫ uxx ( x, t ) cos (α x ) dx = 0 0 ∫ ϕ ( t ) f ( x ) cos (α x ) dx , 0 d 1 x =1 ∫ u ( x, t ) cos (α x ) dx − u x ( x, t ) cos (α x ) + α u ( x, t ) sin (α x )  dt 0 x=0 1 1 + α 2 ∫ u ( x, t ) cos (α x ) dx = ϕ ( t ) ∫ f ( x ) cos (α x ) dx, 0 0 F ( u (., t ) ) (α ) − u x (1, t ) cos α + α u (1, t ) sin α − u x ( 0, t ) cos 0 − α u ( 0, t ) sin 0  d dt + α 2 F ( u (., t ) ) (α ) =F ( f (., t ) ) (α ) . ( 0, t ) u x= Do u x = (1, t ) u= (1, t ) 0 nên F ( u (., t ) ) (α ) + α 2 F ( u (., t ) ) (α ) = d ϕ ( t ) F ( f )(α ) . dt Từ phương trình trên, ta suy ra T 0 0T 0T ( d α 2t dt ) e F ( u (., t ) ) (α ) = eα tϕ ( t ) F ( f )(α ) , 2 ( ) T T ∫0 dt e F ( u (., t ) ) (α ) dt = ∫0 e ϕ ( t ) F ( f )(α ) dt , d α 2t α 2t
t =T T e F ( u (., t ) ) (α ) α 2t = F ( f )(α ) ∫ eα tϕ ( t ) dt , 2 t =0 0 T eα T F ( u (., T ) ) (α ) − F ( u (.,0 ) ) (α ) = F ( f )(α ) ∫ eα tϕ ( t ) dt . 2 2 0 Do u ( x, T ) = g ( x ) nên T F ( g )(α ) − e F ( u (.,0 ) ) (α ) = F ( f )(α ) ∫ e ( )ϕ ( t ) dt . −α 2T α 2 t −T 0 Vì vậy F ( g )(α ) − e −α T F ( u (.,0 ) ) (α=) D (ϕ )(α ) F ( f )(α ) , α ∈ ¡ , 2 (5) trong đó T D (ϕ )(α ) = ∫ e ϕ ( t ) dt . α 2 ( t −T ) 0 Nếu e −α T D (ϕ )(α ) → 0 “đủ nhanh” khi α → +∞ thì chúng ta có xấp xỉ 2 F ( g )(α ) F ( u (.,0 ) ) (α ) F ( g )(α ) F( f )(α ) = − e−α T ≈ 2 . (6) D (ϕ )(α ) D (ϕ )(α ) D (ϕ )(α ) Vì vậy, chúng tôi gặp lại bài toán khôi phục một hàm trong L12 , nghĩa là F ( f ) , từ giá trị của nó trên một tập hợp ( −∞, − r ] ∪ [ r , ∞ ) , trong đó r > 0 là một số lớn. Tóm lại, hai bài toán truyền nhiệt gợi ra cho chúng ta một “bài toán công cụ” của việc khôi T 0 phục những hàm trong Lσ2 . Phần còn lại của Luận văn này được trình bày thành 4 Chương. Trong 0T 0T Chương 1, chúng tôi giới thiệu và trình bày một số kiến thức cơ bản, các ký hiệu, các không gian hàm được sử dụng trong Luận văn. Trong Chương 2, chúng tôi giới thiệu và trình bày sơ lược về hàm giải tích, hàm nguyên và các tính chất quan trọng của chúng được sử dụng trong Luận văn. Trong Chương 3, chúng tôi trình bày một số kết quả về “bài toán công cụ” của việc khôi phục những hàm trong Lσ2 . Trong Chương 4, chúng tôi trở lại những bài toán truyền nhiệt và áp dụng các 0T 0T kết quả trong Chương 3 để giải quyết chúng. Một thực nghiệm bằng số cũng được trình bày trong Chương 4 để làm sáng tỏ hiệu quả phương pháp.
Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Không gian định chuẩn và không gian Banach Định nghĩa 1.1.1. (xem [15, tr. 3-4]) Cho K là trường số thực ¡ hoặc trường số phức £ . Tập hợp X khác rỗng cùng với hai ánh xạ (gọi là phép cộng và phép nhân vô hướng) + : X×X → X ( x, y ) a x+ y . : K×X → X (λ, x) a λx được gọi là một không gian tuyến tính (hoặc không gian vectơ) trên K nếu các tính chất sau thỏa mãn: (a) X cùng với phép cộng là một nhóm Abel, tức là: (i) x + y = y + x với mọi x, y ∈ X , (ii) ( x + y ) + z =x + ( y + z ) với mọi x, y, z ∈ X , (iii) Tồn tại một phần tử 0 của X sao cho 0 + x = x + 0 = x với mọi x ∈ X , (iv) Với mỗi phần tử x của X , tồn tại một phần tử − x của X sao cho x + ( − x ) =0 . (b) λ ( x + y ) = λ y + λ x với mọi λ ∈ K , và với mọi x, y ∈ X , (c) ( λ + µ ) x =λ x + µ x với mọi λ , µ ∈ K , và với mọi x ∈ X , (d) ( λµ ) x = λ ( µ x ) với mọi λ , µ ∈ K , và với mọi x ∈ X , (e) 1x = x với mọi x ∈ X . Nếu K = ¡ thì X được gọi là một không gian tuyến tính thực. Nếu K = £ thì X được gọi là một không gian tuyến tính phức. Định nghĩa 1.1.2. (xem [16, tr. 8]) Cho ( X , +, ⋅) là một không gian vectơ trên ¡ . Một ánh xạ ⋅ : X → ¡ x a x được gọi là một chuẩn trên X nếu các tính chất sau thỏa với mọi x, y ∈ X , α ∈ ¡ , (i) x ≥ 0 và x = 0 ⇔ x = 0 , (ii) α x = α x , (iii) x + y ≤ x + y .
Không gian vectơ ( X , +, ⋅) với chuẩn ⋅ được gọi là không gian định chuẩn ( X , +, ⋅, ⋅ ) , hay vắn tắt là ( X , ⋅ ) , hay vắn tắt hơn là X , khi các phép toán, hàm chuẩn được ngầm hiểu và không thể nhầm lẫn. Định nghĩa 1.1.3. (xem [16, tr. 10]) Cho ( X , ⋅ ) là một không gian định chuẩn và f là một ánh xạ từ tập hợp các số nguyên dương ¥ vào X . Đặt xn = f ( n ) với mọi n trong ¥ . Ta gọi { xn } là một dãy trong X . Cho { xn } là một dãy các phần tử của một không gian định chuẩn ( X , ⋅ ) . Ta nói (i) { xn } là dãy hội tụ (trong X ) nếu tồn tại x ∈ X sao cho lim xn − x = 0 , nghĩa là ứng với n →∞ mỗi ε > 0 , tồn tại n0 ∈ ¥ sao cho xn − x < ε , với mọi n ≥ n0 . Khi đó, phần tử x , nếu có, thì duy nhất và được gọi là giới hạn của dãy { xn } , ký hiệu lim xn = x . Ta cũng nói xn → x khi n → ∞ . n →∞ (ii) { xn } là dãy Cauchy (trong X ) nếu ứng với mỗi ε > 0 , tồn tại n0 ∈ ¥ sao cho xm − xn < ε , với mọi m, n ≥ n0 . (iii) { xn } là dãy bị chặn (trong X ) nếu ảnh của nó, {xn n∈¥} là một tập con bị chặn của X . Chú ý rằng, mọi dãy hội tụ đều là dãy Cauchy và mọi dãy Cauchy đều bị chặn. Chiều ngược lại không đúng cho trường hợp tổng quát. Định nghĩa 1.1.4. (xem [9, tr. 10]) Cho ( X , ⋅ ) là một không gian định chuẩn và f là một ánh xạ từ tập hợp các số nguyên dương ¥ vào X và g là một ánh xạ đồng biến nghiêm cách từ ¥ vào ¥ . Đặt xn = f ( n ) và yk = f o g ( k ) với mọi n và k trong ¥ . Ta gọi { yk } là một dãy con của { } dãy { xn } và được ký hiệu là xnk . Định nghĩa 1.1.5. (xem [16, tr. 10-11]) Cho không gian định chuẩn ( X , ⋅ ) . Ta nói (i) ( X , ⋅ ) là đầy đủ khi mọi dãy Cauchy trong X đều hội tụ. (ii) ( X , ⋅ ) là compact khi mọi dãy trong X đều có một dãy con hội tụ (trong X ).
Định nghĩa 1.1.6. (xem [16, tr. 52-53]) Với hai không gian định chuẩn ( X 1 , +, ⋅, ⋅ 1 ); (X 2 , +, ⋅, ⋅ 2 ) , xét X= X 1 × X 2 . Ta có X trở thành một không gian vectơ với các phép toán trên X sinh bởi các phép toán trên X 1 và X 2 , ( x1 , x2 ) + ( y1 , y2 ) =( x1 + y1 , x2 + y2 ) , α ( x1 , x2 ) = (α x1 ,α x2 ) , với mọi x1 , y1 ∈ X 1; x2 , y2 ∈ X 2 và α ∈ ¡ . Hơn nữa, hàm ⋅ : X → X xác định bởi =x x1 1 + x2 2 2 2 ,= với x ( x1 , x2 ) ∈ X , trở thành một chuẩn trên X . Không gian định chuẩn X nhận được gọi là không gian định chuẩn tích của các không gian định chuẩn X 1 và X 2 . Tương tự với n không gian định chuẩn X i , +, ⋅, ⋅ ( i ) , i = 1, 2,..., n , tập X = X 1 × X 2 × ... × X n với các phép toán cũng như hàm chuẩn sau ( x1 , x2 ,..., xn ) + ( y1 , y2 ,..., yn ) =( x1 + y1 , x2 + y2 ,..., xn + yn ) , α ( x1 , x2 ,..., xn ) = (α x1 , α x2 ,..., α xn ) , ( x1 , x2 ,..., x= n) x1 1 + x2 2 + ... + xn 2 2 2 n , được gọi là không gian định chuẩn tích của các không gian định chuẩn X i , +, ⋅, ⋅ ( i ) , i = 1, 2,..., n . Định nghĩa 1.1.7. (xem [9, tr. 10]) Ta nói một không gian định chuẩn ( X , ⋅ ) là một không gian Banach nếu và chỉ nếu mọi dãy Cauchy của nó đều hội tụ. 1.2. Không gian Hilbert (xem [16, tr. 155-156) Định nghĩa 1.2.1. Cho H là một không gian vectơ trên ¡ . Một ánh xạ .,. : H × H → ¡ ( x, y ) a x, y được gọi là một tích vô hướng trên H nếu các tính chất sau thỏa, (i) α x + β x ', y = α x, y + β x ', y , với mọi α , β ∈ ¡ ; x, x ', y ∈ H , (ii) x, α y + β y ' = α x, y + β x, y ' , với mọi α , β ∈ ¡ ; x, y, y ' ∈ H , (iii) x, y = y, x , với mọi x, y ∈ H , và (iv) x, x ≥ 0 , với mọi x ∈ H và x, x = 0 ⇔ x = 0 .
Như vậy, một tích vô hướng trên H là một phiếm hàm song tuyến tính, đối xứng, xác định dương. Từ tích vô hướng nêu trên, với x ∈ H , đặt x = x, x . Từ định nghĩa, với x, y ∈ H , ta có 0 ≤ x + ty, x + ty = x + 2t x, y + t 2 y 2 2 đúng với mọi t ∈ ¡ , ta suy ra Bất đẳng thức Schwarz. Với mọi x, y ∈ H , x, y ≤ x y . Từ đó suy ra x + y = x + y , x + y = x + 2 x, y + y 2 2 2 ≤ x +2 x y + y =( x + y ) 2 2 2 nên ta được Bất đẳng thức tam giác. Với mọi x, y ∈ H , x+ y ≤ x + y . Hơn nữa, do x+ y x− y x+ y x+ y x− y x− y ( ) 2 2 1 2 + = + = x + y , 2 , , 2 2 2 2 2 2 2 ta được Bất đẳng thức hình bình hành. Với mọi x, y ∈ H , x+ y x− y ( ) 2 2 1 2 + = x + y . 2 2 2 2 Đặc biệt, ⋅ là một chuẩn trên H và do đó H trở thành một không gian định chuẩn. Định nghĩa 1.2.2. Khi không gian định chuẩn ( H , ⋅ ) đầy đủ, ta nói ( H , ⋅ ) là không gian Hilbert. 1.3. Không gian Lp (xem [1, tr. 1-5]; xem [3, Chương 4]; xem [18, Chương 3])
1.3.1. Các định lý quan trọng của lý thuyết tích phân Định lý 1.3.1.1. (Định lý hội tụ đơn điệu của Beppo Levi) Cho { f n } là dãy tăng các hàm khả tích (Lesbesgue) trên tập Ω ⊂ ¡ N sao cho sup ∫ f n < ∞ . Khi đó, f n hội tụ h.k.n trên Ω về một n hàm f khả tích trên Ω và fn − f 1 ≡ ∫ f n ( x ) − f ( x ) dx → 0 khi n → ∞ . Ω Định lý 1.3.1.2. (Định lý hội tụ bị chặn của Lesbesgue) Cho { f n } là một dãy các hàm (thực hoặc phức) khả tích trên Ω . Giả sử (i) f n ( x ) → f ( x ) h.k.n trên Ω . (ii) Tồn tại hàm g khả tích sao cho với mỗi n , f n ( x ) → g ( x ) h.k.n trên Ω . Khi đó f khả tích và fn − f 1 ≡ ∫ f n ( x ) − f ( x ) dx → 0 khi n → ∞ . Ω Hệ quả 1.3.1.3. Cho f là hàm đo được và g là hàm khả tích trên Ω . Ta có, nếu f n ( x ) → g ( x ) h.k.n. trên Ω thì f khả tích trên Ω . Suy ra rằng, nếu f khả tích thì f khả tích (đương nhiên chiều ngược lại cũng đúng). Bổ đề 1.3.1.4. (Bổ đề Fatou) Giả sử { f n } là một dãy các hàm khả tích sao cho (i) f n ≥ 0 h.k.n trên Ω, ∀n . (ii) sup f n < ∞ . Với mỗi x ∈ Ω , ta đặt f ( x ) = liminf f n ( x ) . Khi đó, f khả tích trên Ω và ∫ f ≤ lim inf ∫ f n →∞ n . Giả sử Ω1 ⊂ ¡ 1 , Ω 2 ⊂ ¡ 2 là hai tập mở và F : Ω1 × Ω 2 → ¡ (hoặc £ ) là hàm đo được. Định lý 1.3.1.5. (Tonelli) Giả sử ∫ F ( x, y ) dy < ∞ h.k.n. trên Ω1 Ω2 và Ω1 ∫ dx ∫ F ( x, y ) dy < ∞ Ω2 Khi đó, F khả tích trên Ω1 × Ω 2 .
Định lý 1.3.1.6. (Fubini) Cho F khả tích trên Ω1 × Ω 2 . Khi đó, với hầu hết x thuộc Ω1 F ( x,.) ≡ y a F ( x, y ) khả tích trên Ω 2 và xa ∫ F ( x, y ) dy Ω2 khả tích trên Ω1 Kết luận tương tự khi đổi vai trò x cho y , Ω1 cho Ω 2 . Hơn nữa, ta có dx ∫ F ( x, y ) dy ∫= ∫= dy ∫ F ( x, y ) dx ∫ F ( x, y ) dxdy Ω1 Ω2 Ω2 Ω1 Ω1 ×Ω 2 1.3.2. Không gian Lp , 1 ≤ p ≤ ∞ Định nghĩa 1.3.2.1. Cho p ∈ ¡ với 1 ≤ p < ∞ , ta định nghĩa Lp (= Ω) { }, p f : Ω → ¡ (hoặc £ ); f đo được và f khả tích L∞ (= Ω) { f : Ω → ¡ (hoặc £ ); f đo được và ∃C , f ( x ) ≤ C h.k.n }, và ký hiệu 1  p =  ∫ f ( x ) dx  p f p Ω  = { f ∞ inf C; f ( x ) ≤ C h.k.n . } Nhận xét 1.3.2.2. Nếu f ∈ Lp ( Ω ) thì f ( x ) ≤ f ∞ h.k.n x ∈ Ω . Thật vậy, có dãy {Cn } hội tụ về f ∞ sao cho ∀n, f ( x ) ≤ Cn h.k.n. trên Ω . Vì vậy, với mỗi n , f ( x ) ≤ Cn , ∀x ∈ Ω \ En , trong đó En là tập không đáng kể (có độ đo 0). Đặt E = U En thì E là n tập không đáng kể và với mỗi n , f ( x ) ≤ Cn , ∀x ∈ Ω \ E , suy ra f ( x ) ≤ C , ∀x ∈ Ω \ E . 1 1 Ta ký hiệu p ' là số liên hợp của p, 1 ≤ p ≤ ∞ , nghĩa là + = 1. p p' Định lý 1.3.2.3. (Bất đẳng thức Holder) Cho f ∈ Lp và g ∈ Lp ' với 1 ≤ p ≤ ∞ . Khi đó f .g ∈ L1 và ∫ f .g ≤ f p . f p' Dựa vào bất đẳng thức Holder, người ta chứng minh được:
Định lý 1.3.2.4. Lp là một không gian vector và ⋅ p là một chuẩn với 1 ≤ p ≤ ∞ . Định lý 1.3.2.5. (Fischer-Riesz) (i) Lp là không gian Banach với 1 ≤ p ≤ ∞ . (ii) Giả sử { f n } là một dãy hội tụ về f trong không gian Lp (1 ≤ p ≤ ∞ ), nghĩa là, fn − f p → 0 . Thế thì có dãy con f nk{ } k =1,2,... sao cho f nk ( x ) → f ( x ) h.k.n ∀k , f nk ( x ) ≤ h ( x ) h.k.n với h là một hàm trong Lp . Với Ω là tập mở trong ¡ , ta ký hiệu C k ( Ω ) là không gian các hàm số khả vi liên tục đến ∞ Ω ) I C k ( Ω ) . Còn Cc ( Ω ) là không gian các hàm số f liên tục trên Ω sao cho giá cấp k và C ∞ (= k =1 (support) của f , tức là tập hợp supp f= { x ∈ Ω : f ( x ) ≠ 0} là compact chứa trong Ω , ký hiệu gạch ngang ở trên là bao đóng của tập hợp. Đặt Cck ( Ω= ) C k ( Ω ) ∩ Cc ( Ω ) Cc∞ ( Ω= ) C ∞ ( Ω ) ∩ Cc ( Ω ) Lloc ( Ω ) là tập các hàm đo được trên Ω , khả tích trên mỗi tập compact K ⊂ Ω . Ta có kết quả sau đây về tính trù mật: Định lý 1.3.2.6. Với 1 ≤ p < ∞ (lưu ý rằng p ≠ ∞ ), thì Cc∞ ( Ω ) trù mật trong Lp ( Ω ) . Định lý 1.3.2.7. (Riemann-Lesbesgue) Cho f ∈ L1 ( a; b ) , với ( a; b ) là khoảng hữu hạn hoặc vô hạn của ¡ , thì ta có b b lim ∫ f ( x ) cos Nxdx 0,= = lim ∫ f ( x ) sin Nxdx 0 N →∞ N →∞ a a khi N → ∞ . 1.3.3. Tích chập Định nghĩa 1.3.3.1. Cho hai hàm số f và g xác định trên ¡ N thì hàm số f ∗ g định bởi f ∗ g ( x )= ∫ f ( x − y ) g ( y ) dy, N ¡ với giả thiết là tích phân ở trên tồn tại, được gọi là tích chập của f và g .
Định lý 1.3.3.2. Giả sử f ∈ L1 ( ¡ N ) và g ∈ L ( ¡ ) với 1 ≤ p ≤ ∞ . Khi đó, với mỗi x ∈ ¡ p N N , hàm số y a f ( x − y ) g ( y ) khả tích trên ¡ N và f ∗ g ∈ Lp ( ¡ N ) . Hơn nữa, f ∗g p ≤ f 1 g p. 1.4. Không gian Sobolev (xem [3, Chương 8]) 1.4.1. Không gian Sobolev W 1, p và các tính chất cơ bản Cho Ω ⊂ ¡ N là một tập mở và 1 ≤ p ≤ ∞ . Định nghĩa 1.4.1.1. Hàm g ∈ Lloc ( Ω ) được gọi là đạo hàm riêng suy rộng theo biến xi của ∂f hàm f ∈ Lloc ( Ω ) , ký hiệu g = hay g = Di f , nếu ∂xi ∂ϕ ∫ f ∂x dx =− ∫ gϕ dx, ∀ϕ ∈ Cc∞ ( Ω ) . Ω i Ω Nếu f có Di f , i = 1, N , ta ký hiệu ∇f =( D1 f , D2 f ,..., DN f ) . Định nghĩa 1.4.1.2. Với 1 ≤ p ≤ ∞ , ta ký hiệu W 1, p ( Ω ) là tập hợp các hàm f ∈ Lp ( Ω ) có mọi đạo hàm riêng suy rộng Di f ∈ Lp ( Ω ) , i = 1, N . Trong W 1, p ( Ω ) ta xét chuẩn N f= w1, p f L p + ∑ Di f Lp i =1 hoặc chuẩn tương đương 1  N p = +∑ p p f w1, p  f Lp Di f Lp  khi 1 ≤ p < ∞ .  i =1  Định nghĩa 1.4.1.3. Không gian W 1,2 ( Ω ) được ký hiệu là H 1 ( Ω ) và được trang bị tích vô hướng  N  = f ,g ∫ fgdx + ∫  ∑ Di f Di g  dx Ω Ω  i =1  và chuẩn tương ứng 1   N 2 2 f H 1  ∫ f dx + ∫  ∑ Di f  dx  . = 2 Ω Ω  i =1  
Định nghĩa 1.4.1.4. W01, p ( Ω ) là bao đóng của Cc1 ( Ω ) trong W 1, p ( Ω ) . Ta ký hiệu H 01 ( Ω = ) W01,2 ( Ω ) . Định lý 1.4.1.5. Không gian W 1, p là không gian Banach với 1 ≤ p ≤ ∞ , khả li với 1 ≤ p < ∞ , phản xạ với 1 < p < ∞ . Định lý 1.4.1.6. (Đạo hàm của một tích) Cho f , g ∈ W 1, p ( Ω ) ∩ L∞ ( Ω ) , 1 ≤ p ≤ ∞ . Khi đó fg ∈ W 1, p ( Ω ) ∩ L∞ ( Ω ) và = Di ( fg ) ( Di f ) g + f ( Di g ) . Định lý 1.4.1.7. (Đạo hàm của hàm hợp) Cho G ∈ C1 ( ¡ ) thỏa G ( 0 ) = 0 , G ' ( t ) ≤ M , ∀t ∈ ¡ và f ∈ W 1, p ( Ω ) , 1 ≤ p < ∞ . Khi đó G o f ∈ W 1, p ( Ω ) và Di ( G o f ) = G ' ( f ) Di f . 1.4.2. Không gian Sobolev W m , p Định nghĩa 1.4.2.1. Cho một số nguyên m ≥ 2 và một số thực 1 ≤ p ≤ ∞ , ta định nghĩa bằng quy nạp  ∂f  W m , p ( Ω ) =∈ f W m −1, p ( Ω ) , ∈ W m−1, p ( Ω ) , ∀i = 1, N   ∂xi  hay ta cũng có thể định nghĩa một cách tương đương { W m , p ( Ω ) = f ∈ Lp ( Ω ) ∀α , α ≤ m, ∃gα ∈ Lp ( Ω ) sao cho  ∫ fD ϕ =( −1) ∫ gαϕ , ∀ϕ ∈ C ( Ω ) α α ∞ c Ω Ω Ta ký hiệu Dα f = gα và H m (= Ω ) W m ,2 ( Ω ) . Chú ý 1.4.2.2. Một đa chỉ số α là một bộ α = (α1 , α 2 ,..., α N ) với α i ≥ 0 nguyên, ta đặt N ∂α1 +α 2 +...+α N α = ∑ α i và Dα ϕ = ϕ. i =1 ∂x1α1 ∂x2α 2 ...∂xαNN Định lý 1.4.2.3. Không gian W m , p được trang bị bởi chuẩn f= wm , p f Lp + ∑ α 0≤ ≤ m Dα f Lp là một không gian Banach. Định lý 1.4.2.4. Không gian H m ( Ω ) được trang bị bởi tích vô hướng
f= , g Hm f ,g L2 + ∑ α 0≤ ≤m Dα f , Dα g L2 là một không gian Hilbert. Ta chứng minh được rằng chuẩn của W m , p ( Ω ) là tương đương với chuẩn f Lp + ∑ α =m Dα f Lp . 1.5. Biến đổi Fourier (xem [1, tr. 56-68]; xem [8, Chương 6]; xem [10, Chương 4]; xem [18, Chương 9) 1.5.1. Biến đổi Fourier trong L1 ( ¡ ) Định nghĩa 1.5.1.1. Cho f ∈ L1 ( ¡ ) , hàm F định bởi +∞ ( f ) F= F= ( x) ∫ e f ( t ) dt ixt −∞ được gọi là biến đổi Fourier của f . Định lý 1.5.1.2. Cho f , g ∈ L1 ( ¡ ) , λ , µ ∈ £ . Khi đó, ta có: (i) F ( λ f + µ g= ) λF ( f ) + µF ( g ) , (ii) F ( f ∗ g ) = F ( f )F (g), (iii) sup F ( x ) ≤ f L1 , x∈¡ (iv) F ( x ) − F ( y ) → 0 khi x − y → 0 , (v) F ( x ) → 0 khi x → ∞ . Định lý 1.5.1.3. Với r > 0 , đặt f r ( t ) = f ( rt ) . Ta có 1  x ( f r ) F= F= r ( x) F  r r ( t ) f ( t + a ) . Ta có Định lý 1.5.1.4. Với a ∈ ¡ , đặt f a = ( f a ) F= F= a ( x) e − iax F ( x ) Định lý 1.5.1.5. Cho f ∈ L1 ( ¡ ) thỏa supp f ⊂ [ −a; a ] . Ta có F là hàm giải tích trên £ . Định lý 1.5.1.6. Cho dãy { f n }n =1,2,... hội tụ trong L1 ( ¡ ) . Khi đó, dãy {Fn }n=1,2,... hội tụ đều trên ¡ .
Định lý 1.5.1.7. Cho f ∈ L1 ( ¡ ) thỏa tính chất f ' ∈ L1 ( ¡ ) và f liên tục tuyệt đối trên mọi khoảng hữu hạn. Khi đó F ' ( x ) = −ixF ( x ) . Định lý 1.5.1.8. Nếu f có đạo hàm bậc càng cao trong L1 ( ¡ ) thì F hội tụ về 0 càng nhanh khi x → ∞ , nghĩa là, F( n) ( x) F ( x) = n . x Định lý 1.5.1.9. Cho f ∈ L1 ( ¡ ) . Nếu f '' tồn tại và f '' ∈ L1 ( ¡ ) thì F ∈ L1 ( ¡ ) . Định lý 1.5.1.10. Cho f ∈ L1 ( ¡ ) bị chặn, liên tục và F ∈ L1 ( ¡ ) . Khi đó ta có +∞ 1 f (t ) = ∫e − itx F ( x ) dx . 2π −∞ 1.5.2. Biến đổi Fourier trong L2 ( ¡ ) Định lý 1.5.2.1. (Plancherel) Với mọi f ∈ L2 ( ¡ ) , N > 0 , ta đặt N FN { f }( x ) = ∫ e f ( t ) dt ixt −N Khi đó (i) FN { f } hội tụ trong L2 ( ¡ ) đến một hàm F { f } khi N → ∞ . Hơn nữa F{ f } 2 = 2π f 2 L2 L2 (ii) Nếu f ∈ L1 ( ¡ ) ∩ L2 ( ¡ ) thì F { f } = F ( f ) h.h trên ¡ . (iii) Đặt N φN ( t ) = ∫e − itx F { f }( x ) dx −N thì φN hội tụ trong L2 ( ¡ ) đến f khi N → ∞ . (iv) Toán tử F là một đẳng cấu từ L2 ( ¡ ) vào L2 ( ¡ ) . Hệ quả 1.5.2.2. Nếu f ∈ L2 ( ¡ ) và F ∈ L1 ( ¡ ) thì +∞ 1 f (t ) = ∫e − itx F ( x ) dx với h .h .x. 2π −∞