Luận văn Thạc sĩ Toán học: Không gian với thứ tự sinh bởi nón và các ánh xạ giữa chúng

Chia sẻ: Lavie Lavie | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:79

Thêm vào BST

Báo xấu

71
lượt xem 8
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Không gian với thứ tự sinh bởi nón và các ánh xạ giữa chúng tập trung tìm hiểu về nón và thứ tự sinh bởi nón – nón liên hợp; nón sinh; nón làm đầy được; một số ánh xạ giữa các không gian Banach; nón và điểm bất động của ánh xạ tăng.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Không gian với thứ tự sinh bởi nón và các ánh xạ giữa chúng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH NGUYỄN THỊ BẢO XUYÊN KHÔNG GIAN VỚI THỨ TỰ SINH BỞI NÓN VÀ CÁC ÁNH XẠ GIỮA CHÚNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Tp. Hồ Chí Minh - 2012 1
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH NGUYỄN THỊ BẢO XUYÊN KHÔNG GIAN VỚI THỨ TỰ SINH BỞI NÓN VÀ CÁC ÁNH XẠ GIỮA CHÚNG Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS. NGUYỄN BÍCH HUY Tp. Hồ Chí Minh - 2012 2
LỜI CẢM ƠN Chuùng toâi ( ngöôøi laøm luaän vaên ) thöïc hieän luaän vaên naøy vôùi söï giuùp ñôõ taän tình cuûa thaày höôùng daãn, PGS.TS NGUYEÃN BÍCH HUY . Töø coâng vieäc giaûng daïy kieán thöùc chuyeân moân ñeán vieäc höôùng daãn thu thaäp taøi lieäu vaø chæ veõ trong phöông phaùp nghieân cöùu khoa hoïc, thaày coøn höôùng daãn chuùng toâi trình baøy caùc hieåu bieát cuûa mình theo caùch logic, trong saùng , khoa hoïc… Chuùng toâi xin ghi nhaän söï giuùp ñôõ quí giaù cuûa thaày Caùc taøi lieäu ñöôïc söû duïng trong luaän vaên naøy laø caùc baøi giaûng cuûa caùc thaày , coâ giaùo taïi lôùp hoïc, laø caùc saùch tham khaûo, caùc baøi baùo khoa hoïc… coù lieân quan ñeán ñeà taøi luaän vaên, ñöôïc pheùp söû duïng trong hoïc taäp . Toâi xin cam ñoan khoâng heà sao cheùp hay döïa daãm vaøo moät coâng trình nghieân cöùu rieâng tö naøo cuûa ai khaùc Moät laàn nöõa, xin gôûi ñeán thaày PGS.TS NGUYEÃN BÍCH HUY loøng bieát ôn saâu ñaäm cuûa chuùng toâi Ngöôøi laøm luaän vaên Nguyeãn Thò Baûo Xuyeân 3
MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN ............................................................................. 3 MỤC LỤC ................................................................................... 4 CHƯƠNG 1: PHẦN TỔNG QUAN ......................................... 6 CHƯƠNG 2: CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ........................ 9 2.1. Các không gian Banach .....................................................................9 2.2. Các kí hiệu ........................................................................................10 2.3. Các định lý ........................................................................................10 CHƯƠNG 3: NÓN VÀ QUAN HỆ THỨ TỰ TRÊN KHÔNG GIAN BANACH ...................................................... 13 3.1. Nón và thứ tự sinh bởi nón – nón liên hợp ....................................14 3.1.1. Nón và thứ tự từng phần ..................................................................... 14 3.1.2. Nón liên hợp ....................................................................................... 15 3.2. Nón sinh ............................................................................................18 3.2.1. Định nghĩa và tính chất ....................................................................... 18 3.2.2. Các điều kiện cần và đủ của nón sinh ................................................. 20 3.3. Nón chuẩn ........................................................................................22 3.3.1. Định nghĩa và tính chất ....................................................................... 22 3.3.2. Các điều kiện cần và đủ của nón chuẩn .............................................. 25 3.4. Nón chính qui – nón Minihedral ...................................................28 3.4.1. Nón chính qui ..................................................................................... 28 3.4.2. Nón minihedral ................................................................................... 30 3.5. Nón làm đầy được (Allows plastering)...........................................32 3.5.1. Nón lầm đầy được............................................................................... 32 3.5.2. Ánh xạ tuyến tính dương .................................................................... 32 3.6. Nón và điểm bất động của ánh xạ tăng ..........................................36 CHƯƠNG 4: MỘT SỐ ÁNH XẠ GIỮA CÁC KHÔNG GIAN BANACH ....................................................................... 39 4.1. Ánh xạ tuyến tính dương.................................................................39 4.1.1. Tính liên tục và sự mở rộng của ánh xạ tuyến tính dương ................ 39 4.1.2. Tính chất phổ của ánh xạ tuyến tính dương ....................................... 43 4
4.1.3. Phương trình tuyến tính không thuần nhất ......................................... 51 4.2. Ánh xạ tăng.......................................................................................53 4.2.1. Tính liên tục của ánh xạ tăng .............................................................. 53 4.2.2. Sự tương quan giữa ánh xạ tăng và đạo hàm ...................................... 57 4.2.3. Điểm bất động của ánh xạ tăng .......................................................... 60 4.3. Ánh xạ lồi ..........................................................................................65 4.3.1. Điều kiện của ánh xạ lồi ..................................................................... 65 4.3.2. Điểm bất động của ánh xạ u0 -lõm ...................................................... 70 4.3.3. Tính chất của vectơ riêng và giá trị riêng ........................................... 75 CHƯƠNG 5: PHẦN KẾT LUẬN .......................................... 77 TÀI LIỆU THAM KHẢO ....................................................... 79 5
CHƯƠNG 1: PHẦN TỔNG QUAN Chuùng ta ñaõ thaáy quan heä thöù töï trong  , ñoùng vai troø quan troïng trong vieäc nghieân cöùu caùc haøm moät bieán. Khi chuyeån sang xeùt caùc aùnh xaï taùc ñoäng trong  k hay caùc khoâng gian ñònh chuaån trong chöông trình ñaïi hoïc ta chöa roõ thaáy vai troø cuûa moät quan heä thöù töï. Quan heä thöù töï ñaõ ñöôïc ñöa vaøo caùc khoâng gian vectô töø nhöõng naêm 1930 trong caùc coâng trình cuûa Kantorovich, Krein, Rutman, Birkhoff, Krasnoselskii,…theo caùc caùch khaùc nhau vaø ñaëc bieät laø phöông phaùp ñònh nghóa thöù töï qua moät noùn cuûa Krien – Rutman Qua ñònh nghóa cuûa noùn , chuùng toâi ( ngöôøi laøm luaän vaên ) xin giôùi thieäu trong luaän vaên naøy moät caùch heä thoáng, chi tieát vaø töông ñoái ñaày ñuû : • Veà caùc daïng noùn vaø caùc tính chaát cuûa chuùng, • Aûnh höôûng caùc tính chaát cuûa noùn leân caùc aùnh xaï Baèng caùc kieán thöùc nhaän ñöôïc töø caùc baøi giaûng cuûa thaày höôùng daãn vaø cuõng töø söï höôùng daãn cuûa thaày , chuùng toâi thu thaäp taøi lieäu ( bao goàm saùch tham khaûo, baøi baùo khoa hoïc,…) coù lieân quan ñeán ñeà taøi luaän vaên, nghieân cöùu tìm hieåu chuùng vaø söû duïng caùc keát quaû, caùc phöông phaùp laäp luaän cuûa Giaûi tích haøm, Giaûi tích phi tuyeán, Topo ñaïi cöông…Chuùng toâi trình baøy caùc noäi dung sau ñaây: Chöông 1 : Phaàn toång quan Chöông 2 : Caùc kieán thöùc chuaån bò Chuùng toâi ñònh nghóa laïi caùc kí hieäu Toaùn hoïc nhaèm laøm roõ hôn noäi dung cuûa luaän vaên Chuùng toâi cuõng neâu ra caùc keát quaû, caùc ñònh lyù ñaõ ñöôïc chöùng minh ñaày ñuû trong caùc taøi lieäu töông öùng vaø seõ ñöôïc söû duïng trong luaän vaên Chöông 3 : Khoâng gian vôùi thöù töï sinh bôûi noùn 6
Chuùng toâi trình baøy ñònh nghóa cuûa noùn vaø quan heä thöù töï töøng phaàn sinh bôûi moät noùn . Ñoàng thôøi chuùng toâi cuõng tìm hieåu tính chaát cuûa töøng daïng noùn theo quan heä thöù töï sinh neân : • Noùn lieân hôïp • Noùn sinh • Noùn chuaån • Noùn chính qui – Noùn laøm ñaày ñöôïc • Noùn minihedral Nghieân cöùu theâm veà söï töông quan giöõa caùc noùn treân Nhieàu ví duï cuõng ñöôïc trình baøy trong phaàn naøy nhaèm muïc ñích laøm roõ hôn baûn chaát cuûa moãi daïng noùn vaø söï töông quan giöõa caùc noùn nhö ñaõ noùi treân Sau cuøng, laø caùc nghieân cöùu veà aûnh höôûng cuûa moãi daïng noùn leân söï toàn taïi ñieåm baát ñoäng cuûa caùc aùnh xaï khoâng compact Chöông 4 : Aùnh xaï giöõa caùc khoâng gian coù thöù töï Trong phaàn naøy, chuùng toâi nghieân cöùu caùc tính chaát cuûa aùnh xaï : • Aùnh xaï tuyeán tính döông :  Tính lieân tuïc vaø söï môû roäng theo ñònh lyù Haln – Banach  Tính chaát phoå vaø phöông trình tuyeán tính khoâng thuaàn nhaát Chuùng toâi cuõng trình baøy Ví duï 1 nhaèm hieåu roõ hôn veà caùc aùnh xaï u0 - bò chaën treân vaø u0 -döông • Aùnh xaï taêng  Tính lieân tuïc  Söï töông quan giöõa aùnh xaï taêng vaø ñaïo haøm  Ñieåm baát ñoäng Taïi ñaây, chuùng ta cuõng thaáy ôû Ví duï 2 , moät öùng duïng trong lyù thuyeát ñieåm baát ñoäng cuûa aùnh xaï taêng qua caùch xeùt baøi toaùn tìm nghieäm tuaàn hoaøn vôùi chu kì 2π cuûa phöông trình : ( t ) x f t, x ( t ) , x ( t − h ) x / + a= • Aùnh xaï loài  Caùc ñieàu kieän cuûa aùnh xaï loài nhö laø moät söï töông quan giöõa aùnh xaï loài vaø ‘daáu’ cuûa ñaïo haøm caáp 2 7
 Ñieåm baát ñoäng cuûa aùnh xaï u0 -loõm : söï toàn taïi vaø xaáp xæ ñieåm baát ñoäng cuûa aùnh xaï u0 -loõm vôùi daõy ñôn ñieäu taêng  Tính chaát cuûa vectô rieâng vaø giaù trò rieâng Chöông 5 : Phaàn keát luaän Trong phaàn naøy, chuùng toâi trình baøy caùc kieán thöùc thu nhaän ñöôïc trong quaù trình nghieân cöùu vaø thöïc hieän luaän vaên , ñoàng thôøi cuõng neâu ra yù nghóa cuûa vaán ñeà maø chuùng toâi nhaän thöùc ñöôïc Sau cuøng laø caùc TAØI LIEÄU THAM KHAÛO 8
CHƯƠNG 2: CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 2.1. Các không gian Banach Trong luaän vaên naøy, chuùng toâi söû duïng caùc khoâng gian ñònh chuaån ( khoâng gian Banach ) vôùi chuaån töông öùng sau ñaây ñeå laøm ví duï minh hoïa cho caùc daïng noùn ñöôïc ñònh nghóa cuõng nhö laøm roõ caùc tính chaát cuûa chuùng (J ) • Khoâng gian caùc haøm lieân tuïc C= {x : J →  / x laø haøm lieân tuïc} vôùi chuaån – max : x 0 = max x ( t ) , ∀x ∈ C ( J ) t∈J • Khoâng gian caùc haøm khaû vi lieân tuïc (J ) C1= {x : J →  / x laø haøm khaû vi vaø x / } lieân tuïc vôùi chuaån – max: x 0 = max x ( t ) , ñoâi khi ñònh nghóa chuaån ... vôùi: t∈J x= x 0 + x / , ∀x ∈ C1 ( J ) 0   ng gian Lp ( Ω )  x ño ñöôïc treân Ω : ∫ x d µ < ∞  p • Khoâ=  Ω  1  p  p Vôùi chuaån x =  ∫ x d µ  , trong ñoù p ≥ 1 p Ω   ∞  ( n )n∈ ∑ xn < ∞  p • Khoâng gian l=p  x = x /  n =1  1  ∞ p p Vôùi p ≥ 1 vaø coù chuaån x =  ∑ xn   n =1  • Khoâng gian caùc daõy hoäi tuï veà 0: c= 0 {=x ( x ) n n∈ } / xn → 0 Vôùi chuaån x = sup xn n∈ 9
2.2. Các kí hiệu Caùc kí hieäu sau ñaây thöôøng ñöôïc ñònh nghóa moãi khi ñeà caäp ñeán, tuy nhieân chuùng toâi cuõng neâu ra tröôùc ñeå phaàn trình baøy luaän vaên ñöôïc roõ raøng hôn +  = :  0, ∞ )   n+ := {x = ( x , x ,..., x ) : x 1 2 n k ≥ 0, ∀k = 1,2,..., n } { C+ ( J ) x ∈ C ( J ) / x ≥ 0 treân J  C+ :== }  L+p := L+p ( Ω ) = {x ∈ L ( Ω ) / x ≥ 0 treân Ω ( h.k.n )} p  l+p := {x= ( x ) n n∈ ∈ l p / xn ≥ 0, ∀n ∈  }  Kí hieäu θ laø vectô -khoâng cuûa khoâng gian vectô X vaø X * laø khoâng gian lieân hôïp cuûa X hay khoâng gian caùc phieám haøm tuyeán tính lieân tuïc treân X, coù vectô -khoâng laø θ * 0  Phaàn trong cuûa taäp con A trong khoâng gian topo X, kí hieäu : A hay intA  Keát quaû sau ñaây seõ ñöôïc söû duïng trong luaän vaên 0 0 0 0 0 0 Caùc taäp :  + , K3 ,  n+ ,  + ( J ) ≠ ∅ vaø L+p ( J ) = l+p = ∅  Ñoái vôùi topo yeáu caùc khaùi nieäm lieân quan ñöôïc kí hieäu : w – ñoùng ( ñoùng yeáu ) , w – compact ( compact yeáu ) …  Neáu M laø taäp con cuûa X vaø f : M → Y thì moät môû roäng cuûa f leân X laø ( x ) f ( x ) , ∀x ∈ M aùnh xaï F : X → Y sao cho F = Neáu F coøn thoûa theâm moät soá tính chaát naøo ñoù, chaúng haïn tuyeán tính , thì F goïi laø môû roäng tuyeán tính cuûa f 2.3. Các định lý Caùc ñònh lyù sau ñaây, ñöôïc söû duïng ñeå chöùng minh caùc meänh ñeà, ñònh lyù … trong luaän vaên : 10
2.3.1. Ñònh lyù Haln – Banach ( Giaùo trình GIAÛI TÍCH HAØM - Nguyeãn bích Huy ) Giaû söû treân khoâng gian vectô thöïc X coù sô chuaån p vaø M laø khoâng gian con cuûa X, neáu coù aùnh xaï f : M →  tuyeán tính sao cho f ( x ) ≤ p ( x ) , ∀x ∈ M thì toàn taïi moät môû roäng tuyeán tính F : X →  , cuûa f sao cho F ( x ) ≤ p ( x ) , ∀x ∈ X 2.3.2. Ñònh lyù - Taùch taäp loài 1: ( Giaùo trình GIAÛI TÍCH HAØM - Nguyeãn bích Huy ) Neáu taäp A môû vaø taäp B ñoùng laø caùc taäp con loài, khaùc ∅ vaø rôøi nhau cuûa khoâng gian thöïc, loài ñòa phöông X. Khi ñoù, toàn taïi phieám haøm tuyeán tính f vaø soá λ sao cho : f ( x ) < λ ≤ f ( y ) , ∀x ∈ A vaø ∀y ∈ B 2.3.3. Ñònh lyù - Taùch taäp loài 2 : ( Giaùo trình GIAÛI TÍCH HAØM - Nguyeãn bích Huy ) Neáu taäp A compact vaø taäp B ñoùng laø caùc taäp con loài, khaùc ∅ vaø rôøi nhau cuûa khoâng gian thöïc, loài ñòa phöông X. Khi ñoù, toàn taïi phieám haøm tuyeán tính f sao cho : sup f ( A ) < inf f ( B ) 2.3.4. Ñònh lyù :( Giaùo trình boå sung veà GIAÛI TÍCH HAØM - Nguyeãn bích Huy ) Khoâng gian Banach X laø phaûn xaï khi vaø chæ khi quaû caàu B (θ ,1) laø taäp w – compact 2.3.5. Ñònh lyù veà aùnh xaï k – coâ ñaëc ( GIAÛI TÍCH PHI TUYEÁN 1 - Leâ hoaøn Hoùa ) Neáu D laø taäp loài, ñoùng, bò chaën trong khoâng gian Banach X vaø f : D → D laø aùnh xaï k – coâ ñaëc thì f coù ñieåm baát ñoäng 11
2.3.6. Ñònh lyù Tychonoff –Schauder (GIAÛI TÍCH PHI TUYEÁN -Nguyeãn bích Huy) Neáu D laø taäp loài, ñoùng trong khoâng gian loài ñòa phöông X vaø f : D → D laø aùnh xaï lieân tuïc sao cho f ( D ) laø taäp compact töông ñoái thì f coù ñieåm baát ñoäng trong D 2.3.7. Ñònh lyù Baire ( GIAÛI TÍCH HAØM - Phan ñöùc Chính ) Moïi khoâng gian metric ñaày ñuû ñeàu thuoäc phaïm truø thöù 2 Ñieàu naøy cuõng coù nghóa laø : ∞ 0 Neáu X laø khoâng gian Banach vaø X =  X n thì toàn taïi n0 ∈  sao cho X n ≠ ∅ 0 n =1 2.3.8. Ñònh lyù Beppo Levi :( Giaùo trình boå sung veà ÑOÄ ÑO VAØ TÍCH PHAÂN - Nguyeãn bích Huy} Neáu ( fn ) laø daõy haøm ño ñöôïc, döông hoäi tuï taêng haàu khaép nôi veà f treân A thì n∈ lim ∫ fn d µ = ∫ fd µ n →∞ A A 12
CHƯƠNG 3: NÓN VÀ QUAN HỆ THỨ TỰ TRÊN KHÔNG GIAN BANACH Thöù töï treân taäp soá thöïc  coù theå ñöôïc hieåu nhö : x ≤ y ⇔ y − x ∈  + , ∀x , y ∈  , Töø ñaây, ta coù caùc khaùi nieäm caän treân, tính bò chaën cuûa taäp hôïp hay tính ñôn ñieäu cuûa daõy soá, haøm soá … Cuoái cuøng laø caùc keát quaû nhaän ñöôïc töø caùc taäp hôïp, aùnh xaï... thoûa maõn moät soá tính chaát naøo ñoù lieân quan ñeán caùc khaùi nieäm noùi treân. Cuõng töông töï nhö taäp  + treân  , ta xaây döïng caùc taäp: •=K3 {( x , x , x ) ∈  / 1 2 3 3 } x12 + x22 ≤ x3 treân  3 •  n+= {x= ( x , x ,..., x ) ∈  1 2 n n } / xi ≥ 0, ∀i= 1,2,..., n treân  n • C+ ( J )= {x ∈ C ( J ) / x ( t ) ≥ 0, ∀t ∈ J} treân C ( J )   vaø nhaän ñöôïc moät quan heä thöù töï treân khoâng gian töông öùng vaø ta seõ goïi laø caùc noùn Moät caùch toång quaùt, neáu X laø khoâng gian Banach , treân X ta xaây döïng taäp K coù caùc tính chaát cô baûn toái thieåu cuûa  + ñeå taïo neân moät thöù töï treân X vaø goïi laø noùn K, cuõng coù theå theâm vaøo K, moät soá tính chaát khaùc cuûa  + ñeå giaûi quyeát ñöôïc caùc vaán ñeà ñang nghieân cöùu, khi ñoù, ta coù noùn ñaëc bieät hôn, trong phaàn naøy: • Tröôùc heát, ta xeùt söï töông quan cuûa caùc noùn ñaëc bieät ñoù • Noùn lieân hôïp K * laø moät taäp con cuûa khoâng gian lieân hôïp X * , duø nhieàu tröôøng hôïp noù chöa phaûi laø noùn nhöng caùc tính chaát cuûa noù coù aûnh höôûng tröïc tieáp leân noùn K • Sau cuøng, taát nhieân khoâng theå boû qua aùnh xaï taêng vaø ñieåm baát ñoäng , theo ñoù ta cuõng thaáy ñöôïc raèng: Neáu noùn K “ ñuû toát “ thì coù theå giaûm thieåu nhieàu yeâu caàu ñoái vôùi aùnh xaï F, trong vieäc nghieân cöùu veà söï toàn taïi cuûa ñieåm baát ñoäng 13
3.1. Nón và thứ tự sinh bởi nón – nón liên hợp 3.1.1. Nón và thứ tự từng phần Ñònh nghóa: • Giaû söû X laø khoâng gian Banach vaø K laø taäp con ñoùng khaùc roãng sao cho : λ K ⊂ K , ∀λ ≥ 0  K + K ⊂ K K  −K =  ( ) {θ } Khi ñoù , K goïi laø moät noùn trong X • Neáu K laø moät noùn trong X, quan heä thöù töï töøng phaàn theo K xaùc ñònh bôûi : x ≤ y ⇔ y − x ∈ K , ∀x , y ∈ X  Neáu x ≤ y vaø x ≠ y thì ta ghi x < y  Neáu y − x ∈ K 0 thì ghi x  y  Neáu θ ≤ x thì ta noùi x döông ( vaø neáu θ < x , thì x laø döông thöïc söï ) • Theo ñoù caùc khaùi nieäm quen thuoäc lieân quan ñeán quan heä thöù töï ≤ cuõng ñöôïc hieåu moät caùch töï nhieân, chaúng haïn: a. Daõy ( xn ) trong X goïi laø ñôn ñieäu neáu ñoù laø daõy taêng ( xn ≤ xn +1 , ∀n ∈  ) hay n giaûm ( xn ≥ xn +1 , ∀n ∈  ) b. Phaàn töû y0 ∈ X goïi laø moät caän treân ( upper bound ) cuûa taäp con M theo quan heä thöù töï ≤ , neáu ∀x ∈ M ⇒ x ≤ y0 vaø khi ñoù M goïi laø bò chaën treân , khaùi nieäm y0 = sup M cuõng ñöôïc hieåu nhö thöôøng leä Meänh ñeà 1 : Giaû söû X laø khoâng gian Banach coù thöù töï xaùc ñònh bôûi noùn K, khi ñoù: 14
 x + z ≤ y + z, ∀z ∈ X a. x ≤ y ⇒  λ x ≤ λ y, ∀λ ≥ 0  x ≤ yn , ∀n ∈  b.  n ⇒x≤y =lim xn x= , lim yn y c. Neáu ( xn ) laø daõy taêng vaø hoäi tuï veà x thì xn ≤ x , n Chöùng minh a. Hieån nhieân, do ñònh nghóa cuûa noùn − x lim ( yn − xn ) ∈ K b. Do θ ≤ yn − xn ∈ K , ∀n ∈  vaø do K ñoùng neân y= n →∞ Vaäy x≤y x − xn lim ( xn + k − xn ) ∈ K ⇒ xn ≤ x c. Do ∀n ∈  ⇒ = k →∞ Nhaän xeùt : Töø keát quaû (b) , neáu u, v ∈ X vaø u ≤ v , ñaët u, v = { x ∈ X / u ≤ x ≤ v} thì khi ñoù moïi daõy trong u, v hoäi tuï veà a ta suy ñöôïc a ∈ u, v neân u, v laø taäp ñoùng 3.1.2. Nón liên hợp Ñònh nghóa Cho X laø khoâng gian Banach vôùi khoâng gian lieân hôïp X * vaø K laø noùn treân X Taäp K ∗ = {f ∈X ∗ / f ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ K } goïi laø noùn lieân hôïp cuûa K Hieån nhieân, ta coù K * laø taäp ñoùng trong X ∗ . Hôn nöõa: λ K ⊂ K , ∀λ ≥ 0 * *  * * *  K + K ⊂ K ( Ñieàu kieän K *  − K * = ) { } θ * khoâng nhaát thieát ñuùng, tuy nhieân ta coù: 15
Meänh ñeà 2 : ( K * laø noùn treân X * ( hay K *  − K * = ) { } θ * ) khi vaø chæ khi X= K − K Chöùng minh ( • Giaû söû K *  − K * = ) { } θ * vaø ∃ x0 ∈ X \ K − K Do B= K − K laø taäp con ñoùng cuûa X neân coù laân caän A môû cuûa x0 sao cho AB = ∅ Suy ra toàn taïi phieám haøm f ∈ X * : f ( x0 ) < f ( x ) , ∀x ∈ K − K ( ⊃ K , − K ) ( ) Do f ( x ) vaø − f ( x ) = f ( − x ) > f ( x0 ) , ∀x ∈ K ⇒ f = 0 treân K vaø – K neân ( f ∈ K *  −K * ) Suy ra f = θ * , maâu thuaãn vôùi f ( x0 ) < 0 Vaäy K − K = X • Ngöôïc laïi, neáu K − K = ( ) X vaø f ∈ K *  − K * thì vôùi moïi x ∈ K , y ∈ − K ta coù f ( x ) , f ( − x ) , f ( y ) , f ( − y ) ≥ 0 ⇒ f ( x ) = 0, ∀x ∈ K  ( − K ) vaø do f tuyeán tính , lieân tuïc neân vôùi K − K = X thì f = θ * ( Suy ra K *  − K * = θ* ) { } Meänh ñeà 3 : Cho X laø khoâng gian Banach vôùi khoâng gian lieân hôïp X * , K laø noùn treân X vaø coù noùn lieân hôïp K * , khi ñoù ta coù: { } (a) Neáu K * ≠ θ * thì: x ∈ K ⇔ f ( x ) ≥ 0, ∀f ∈ K * 16
Hôn nöõa, moïi x ∈ K \ {θ } ⇒ ∃ f ∈ K * : f ( x ) > 0 0 { } (b) Neáu x0 ∈ K ( ≠ ∅ ) thì f ( x0 ) > 0, ∀f ∈ K * \ θ * vaø { } x ∈ ∂K ⇒ ∃ g ∈ K * \ θ * : g ( x ) = 0 Chöùng minh (a) Laáy x0 ∉ K , theo ñònh lyù taùch taäp loài, vôùi A laø taäp môû chöùa x0 , B = K vaø A  B = ∅ toàn taïi f ∈ X * : f ( x0 ) < f ( x ) , ∀x ∈ K , khi ñoù, f coù tính chaát: ( x ) f ( nx ) > f ( x0 ) , ∀n ∈  ⇒ f ( x ) ≥ 0 ⇒ f ∈ K * Vôùi x ∈ K coá ñònh, do nf = (1) vaø do { } f ( x0 ) < f (θ ) = 0 ⇒ f ∈ K * \ θ * (2) baèng meänh ñeà nghòch chuyeån, ta coù: f ( x ) ≥ 0, ∀f ∈ K ∗ suy ra x ∈ K . Hôn nöõa, neáu x ∈ K \ {θ } ⇒ − x ∉ K Lyù luaän nhö treân thì toàn taïi f ∈ K * : f ( − x ) < 0 ⇒ f ( x ) > 0 0 0 (b) Cho K ≠ ∅ vaø x0 ∈ K ⇒ ∃ r > 0 : B ( x0 , r ) ⊂ K , neáu toàn taïi f ∈ K * : f ( x0 ) = 0 thì rx r  rx  ∀x ∈ X \ {θ } ⇒ x0 + ∈ B ( x0 , r ) ⊂ K ⇒ f (= x ) f  x0 + ≥0 2 x 2 x  2 x    ⇒ f ( x ) ≥ 0 khi ñoù, do f tuyeán tính neân f = θ * 0 Neáu x0 ∈ ∂K thì theo ñònh lyù taùch taäp loà = i vôùi A {= x } vaø B 0 K môû rôøi 17
0 nhau neân ∃ f ∈ X * : f ( x ) < f ( x0 ) , ∀x ∈ K vaø do f lieân tuïc neân f ( x ) ≤ f ( x0 ) , ∀x ∈ K ,  ñaët g =− f ⇒ g ( x0 ) ≤ g ( x ) , ∀x ∈ K ⇒  { } g ( x ) ≥ 0 ⇒ g ∈ K * \ θ *  g ( x0 ) ≤ 0 ⇒ g ( x0 ) =0 Meänh ñeà ñöôïc chöùng minh 3.2. Nón sinh 3.2.1. Định nghĩa và tính chất Ñònh nghóa : Noùn K trong khoâng gian Banach X goïi laø noùn sinh neáu K − K =, X vaø laø noùn toaøn phaàn neáu K − K = X Hieån nhieân, neáu K laø noùn sinh thì K laø noùn toaøn phaàn ( K − K = X ) vaø theo meänh ñeà 2 thì noùn lieân hôïp K cuøng laø moät noùn treân X * * Meänh ñeà 4 : Neáu K laø noùn sinh thì toàn taïi soá M > 0 sao cho: ∀x ∈ X ⇒ ∃ u, v ∈ K : x = u − v vaø u , v ≤ M x Chöùng minh • Ñaët D K  B (θ ,1) − K  B (θ ,1) = ∞ Do K laø noùn sinh neân: X =  nD vaø do X laø khoâng gian Banach neân theo ñònh lyù n =1 Baire toàn taïi taäp G môû vaø soá nguyeân n0 : G ⊂ n0 D 1 1 1 1 Vì D loài, ñoái xöùng ta coù D− D⊂ D⇒ G− G⊂D 2 2 2n0 2n0 18
Vaäy D chöùa moät laân caän môû cuûa ñieåm θ neân ∃ r > 0 : B (θ , r ) ⊂ D r r • Laáy a ∈ B := B (θ ,1) , do: 2 2 r 1 r 1 B⊂ D neân ∀y ∈ B, ε > 0 ⇒ ∃ x ∈ D : y − x < ε . Töø ñaây: 2n 2n 2n 2n r 1 r Vôùi a ∈ B ⇒ ∃ x1 ∈ D : a − x1 < 2 2 2 2 r 1 r a − x1 ∈ B ⇒ ∃ x2 ∈ 2 D : a − x1 − x2 < 3 ,... 2 2 2 2 1 r Ta ñöôïc daõy ( xn ) : xn ∈ D, a − x1 − x2 − ... − xn ≤ n +1 n 2 n 2 (1) 1 Vôùi moãi soá n do xn ∈ D neân ∃ un , vn ∈ K : xn = un − vn vaø 2n (2) 1 un , vn ≤ 2n (3) ∞ ∞ Do (3) caùc chuoã = iu =n 1=n 1 ∑= un , v ∑v n hoäi tuï trong K ñoùng , vaø do (2) & (1) Ta suy ñöôïc a = u − v∈D ( do u , v ≤1 ) rx r rx • Töø ñaây, ∀x ∈ X \ {θ } ⇒ ∈ B ⇒ ∃ u / , v / ∈ K , u / , v / ≤ 1: = u/ − v/ 2 x 2 2 x 2 2 Suy ra x = u−v, x u / − x v / := r r  2 Trong ñoù u, v ∈ K vaø u , v ≤ M x  vôùi M =  r 19
3.2.2. Các điều kiện cần và đủ của nón sinh Meänh ñeà 5 : Giaû söû X laø khoâng gian Banach vaø quan heä thöù töï ≤ , xaùc ñònh bôûi noùn K, khi ñoù: 0 Neáu K ≠ ∅ thì K laø noùn sinh. Ñieàu ngöôïc laïi khoâng ñuùng Chöùng minh 0 • Laáy x0 ∈ K ( ≠ ∅ ) vaø r > 0 : B ( x , r ) ⊂ K rx Vôùi moãi x ∈ X \ {θ } ta coù x0 + ∈ B ( x, r ) ⊂ K x x  rx  x Töø λ K ⊂ K , ∀λ > 0 ⇒  x0 + , x ∈ K . vaø r  x  r 0   x  rx  x =x  x0 + − x ∈K −K r  x  r 0   Vaäy K laø noùn sinh • Tuy nhieâ = n, vôùi X L= p ( J ) vaø K L+p ( J ) khi ñoù: moïi x ∈ X ⇒ x + = max { x ,0} , x − = max {− x ,0} ∈ K vaø x = x + − x _ neân K laø noùn sinh vaø 0 ta cuõng bieát K = ∅ Meänh ñeà 6 : Giaû söû X laø khoâng gian Banach vaø quan heä thöù töï ≤ , xaùc ñònh bôûi noùn K, khi ñoù, = (θ ,1) vaø C K  B thì caùc meänh ñeà sau ñaây laø töông ñöông : vôùi B B= a. K laø noùn sinh b. Toàn taïi soá ρ > 0 : C − C ⊃ ρ B c. Toàn taïi soá δ > 0 : C − C ⊃ δ B , 20