Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một phương pháp chiếu co hẹp giải bài toán không điểm chung tách trong không gian banach

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:52

Thêm vào BST

Báo xấu

34
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn đề cập đến một số vấn đề về cấu trúc hình học của các không gian Banach như không gian Banach lồi đều, không gian Banach trơn đều, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc; phép chiếu mêtric và phép chiếu tổng quát; toán tử đơn điệu trong không gian Banach, toán tử giải mêtric và toán tử giải tổng quát. Mời các bạn tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một phương pháp chiếu co hẹp giải bài toán không điểm chung tách trong không gian banach

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐỖ THỊ HUYỀN TRANG MỘT PHƯƠNG PHÁP CHIẾU CO HẸP GIẢI BÀI TOÁN KHÔNG ĐIỂM CHUNG TÁCH TRONG KHÔNG GIAN BANACH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 8 46 01 12 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC 1. TS. Trương Minh Tuyên 2. TS. Li Quanqing Thái Nguyên – 2019
ii Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Trương Minh Tuyên, người đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập nghiên cứu để hoàn thành luận văn. Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, các thầy giáo, cô giáo trong khoa Toán – Tin, trường Đại học Khoa học–Đại học Thái Nguyên đã tận tình giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu tại Trường. Nhân dịp này, tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, người thân, bạn bè đã động viện, khích lệ, tạo điều kiện giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu.
iii Mục lục Lời cảm ơn ii Một số ký hiệu và viết tắt iv Mở đầu 1 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 3 1.1. Một số vấn đề về hình học các không gian Banach . . . . . . . . 3 1.2. Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3. Phép chiếu mêtric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.4. Toán tử đơn điệu trong không gian Banach . . . . . . . . . . . . 24 1.4.1. Khái niệm toán tử đơn điệu cực đại và toán tử giải mêtric 24 1.4.2. ε− mở rộng của toán tử đơn điệu cực đại trong không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Chương 2 Một phương pháp chiếu co hẹp giải bài toán không điểm chung tách 32 2.1. Phương pháp chiếu co hẹp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.2. Một số ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.2.1. Bài toán điểm cực tiểu tách . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.2.2. Bài toán chấp nhận tách đa tập . . . . . . . . . . . . . . 41 2.2.3. Bài toán bất đẳng thức biến phân tách . . . . . . . . . . 42 2.3. Ví dụ số minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Kết luận 45 Tài liệu tham khảo 46
iv Một số ký hiệu và viết tắt E không gian Banach E∗ không gian đối ngẫu của E R tập hợp các số thực R+ tập các số thực không âm ∩ phép giao inf M cận dưới đúng của tập hợp số M sup M cận trên đúng của tập hợp số M max M số lớn nhất trong tập hợp số M min M số nhỏ nhất trong tập hợp số M argminx∈X F (x) tập các điểm cực tiểu của hàm F trên X ∅ tập rỗng ∀x với mọi x D(A) miền xác định của toán tử A R(A) miền ảnh của toán tử A A−1 toán tử ngược của toán tử A I toán tử đồng nhất Lp (Ω) không gian các hàm khả tích bậc p trên Ω lp không gian các dãy số khả tổng bậc p lim sup xn giới hạn trên của dãy số {xn } n→∞ lim inf xn giới hạn dưới của dãy số {xn } n→∞ xn −→ x0 dãy {xn } hội tụ mạnh về x0 xn * x0 dãy {xn } hội tụ yếu về x0 JE ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc trên E jE ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc đơn trị trên E
v δE (ε) mô đun lồi của không gian Banach E ρE (τ ) mô đun trơn của không gian Banach E F ix(T ) hoặc F (T ) tập điểm bất động của ánh xạ T ∂f dưới vi phân của hàm lồi f M bao đóng của tập hợp M PC phép mêtric lên C ΠC phép chiếu tổng quát lên C iC hàm chỉ của tập lồi C
1 Mở đầu Cho C và Q là các tập con lồi, đóng và khác rỗng của các không gian Hilbert H1 và H2 , tương ứng. Cho T : H1 −→ H2 là một toán tử tuyến tính bị chặn và T ∗ : H2 −→ H1 là toán tử liên hợp của T . Bài toán chấp nhận tách (SFP) có dạng như sau: Tìm một phần tử x∗ ∈ S = C ∩ T −1 (Q) 6= ∅. (SFP) Mô hình bài toán (SFP) lần đầu tiên được giới thiệu và nghiên cứu bởi Y. Censor và T. Elfving [5] cho mô hình các bài toán ngược. Bài toán này đóng vai trò quan trọng trong khôi phục hình ảnh trong Y học, điều khiển cường độ xạ trị trong điều trị bệnh ung thư, khôi phục tín hiệu (xem [3], [4]) hay có thể áp dụng cho việc giải các bài toán cân bằng trong kinh tế, lý thuyết trò chơi (xem [13]). Giả sử C là một tập con lồi và đóng của không gian Hilbert H1 . Ta biết rằng tập điểm cực tiểu của hàm chỉ  0, nếu x ∈ C, iC (x) = ∞, nếu x ∈/C là arg minH1 iC (x) = C. Do đó, ta nhận được C = (∂iC )−1 (0), với ∂iC là dưới vi phân của iC (Rockafellar [11] đã chỉ ra rằng ∂iC là một toán tử đơn điệu cực đại). Ngoài ra, C cũng là tập không điểm của toán tử đơn điệu A xác định bởi A = I − PC . Do đó, ta có thể xem bài toán chấp nhận tách (SFP) là trường hợp riêng của bài toán không điểm chung tách. Bài toán không điểm chung tách được phát biểu ở dạng sau: Cho A : H1 −→ 2H1 và B : H2 −→ 2H2 là các toán tử đơn điệu cực đại và cho T : H1 −→ H2 là một toán tử tuyến tính bị chặn. Tìm một phần tử x∗ ∈ S = A−1 (0) ∩ T −1 B −1 (0) 6= ∅. (SCNPP) Cho đến nay Bài toán (SCNPP) đã và đang là chủ đề thu hút nhiều người làm toán trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu. Mục đích của luận văn
2 này là trình bày lại các kết quả của T.M. Tuyen, N.S Ha, N.T.T Thuy trong tài liệu [15] về phương pháp chiếu co hẹp cho Bài toán (SCNPP) trong không gian Banach. Nội dung của luận văn được chia làm hai chương chính: Chương 1. Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, luận văn đề cập đến một số vấn đề về cấu trúc hình học của các không gian Banach như không gian Banach lồi đều, không gian Banach trơn đều, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc; phép chiếu mêtric và phép chiếu tổng quát; toán tử đơn điệu trong không gian Banach, toán tử giải mêtric và toán tử giải tổng quát. Chương 2. Một phương pháp chiếu co hẹp giải bài toán không điểm chung tách Trong chương này luận văn tập trung trình bày lại một cách chi tiết các kết quả của T.M. Tuyen, N.S Ha, N.T.T Thuy [15] về phương pháp chiếu co hẹp cho bài toán không điểm chung tách trong không gian Banach. Ngoài ra, trong chương này luận văn cũng đề cập đến một số ứng dụng của định lí chính (Định lí 2.1) cho một số bài toán liên quan như bài toán điểm cực tiểu tách, bài toán chấp nhận tách đa tập và bất đẳng thức biến phân tách.
3 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Chương này bao bồm 4 mục. Mục 1.1 trình bày về một số tính chất cơ bản của không gian phản xạ, không gian Banach lồi đều, trơn đều. Mục 1.2 giới thiệu về ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc. Mục 1.3 đề cập đến khái niệm phép chiếu mêtric và một số tính chất cơ bản. Mục 1.4 trình bày về toán tử đơn điệu trong không gian Banach, toán tử giải mêtric và ε-mở rộng của một toán tử đơn điệu. Nội dung của chương này được tham khảo trong các tài liệu [1, 6, 7, 8, 9]. 1.1. Một số vấn đề về hình học các không gian Banach Cho E là một không gian Banach và E ∗ là không gian đối ngẫu của nó. Để cho đơn giản và thuận tiện hơn, chúng tôi thống nhất sử dụng kí hiệu k.k để chỉ chuẩn trên E và E ∗ ; Sự hội tụ mạnh và yếu của dãy {xn } về phần tử x trong E lần lượt được kí hiệu là xn → x và xn * x trong toàn bộ luận văn. Trong luận văn này, chúng tôi thường xuyên sử dụng tính chất dưới đây của không gian Banach phản xạ. Mệnh đề 1.1. (xem [1] trang 41) Cho E là một không gian Banach. Khi đó, các khẳng định sau là tương đương: i) E là không gian phản xạ. ii) Mọi dãy bị chặn trong E, đều có một dãy con hội tụ yếu. Mệnh đề dưới đây cho ta mối liên hệ giữa tập đóng và tập đóng yếu trong không gian tuyến tính định chuẩn.
4 Mệnh đề 1.2. Nếu C là tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gian không gian tuyến tính định chuẩn X, thì C là tập đóng yếu. Chứng minh. Ta chứng minh bằng phản chứng. Giả sử tồn tại dãy {xn } ⊂ C / C. Theo định lý tách các tập lồi, tồn tại x∗ ∈ X ∗ sao cho xn * x, nhưng x ∈ tách ngặt x và C, tức là tồn tại ε > 0 sao cho hy, x∗ i ≤ hx, x∗ i − ε, với mọi y ∈ C. Đặc biệt, ta có hxn , x∗ i ≤ hx, x∗ i − ε, với mọi n ≥ 1. Ngoài ra, vì xn * x, nên hxn , x∗ i → hx, x∗ i. Do đó, trong bất đẳng thức trên, cho n → ∞, ta nhận được hx, x∗ i ≤ hx, x∗ i − ε, điều này là vô lý. Do đó, điều giả sử là sai, hay C là tập đóng yếu. Mệnh đề được chứng minh. Chú ý 1.1. Nếu C là tập đóng yếu, thì hiển nhiên C là tập đóng. Định nghĩa 1.1. Cho D ⊂ E, f : D → R ∪ {±∞}. i) Hàm f được gọi là chính thường nếu dom f 6= ∅ và f (x) > −∞(∀x ∈ D), trong đó dom f = {x ∈ D : f (x) < ∞}. ii) Hàm f được gọi là hàm lồi trên D nếu epi f là tập lồi trong E × R, trong đó epi f = {(x, r) ∈ D × R : f (x) ≤ r}. iii) Hàm f : D ⊂ E → R được gọi là nửa liên tục dưới tại điểm x ∈ D nếu với mỗi ε > 0 có một δ > 0 sao cho f (x) − ε ≤ f (x) với mọi x ∈ D, kx − xk < δ. Hàm f được gọi là nửa liên tục dưới trên D nếu f nửa liên tục dưới tại mọi điểm x ∈ D. Dưới đây là ví dụ về hàm nửa liên tục dưới.
5 Ví dụ 1.1. Cho f : R −→ R là hàm số được xác định bởi  x2 khi x 6= 0 f (x) = −1 khi x = 0. Khi đó, hàm f là hàm nửa liên tục dưới tại điểm x = 0, nhưng không liên tục tại x = 0. Thật vậy, dễ thấy f không liên tục tại x = 0. Với mọi ε > 0 và với mọi δ > 0 (trong trường hợp này có thể chọn δ là số dương bất kỳ) ta có f (0) − ε = −1 − ε < −1 ≤ f (x), với mọi x. Do đó, f là nửa liên tục dưới tại 0. Mệnh đề dưới đây cho ta một điều kiện về sự tồn tại điểm cực tiểu của một phiếm hàm lồi, chính thường, nửa liên tục dưới trong không gian Banach phản xạ. Mệnh đề 1.3. Cho C là tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gian Banach phản xạ E và f : C −→ (−∞, ∞] là một hàm lồi, chính thường, nửa liên tục dưới trên C, sao cho f (xn ) → ∞ khi kxn k → ∞. Khi đó, tồn tại x0 ∈ dom(f ) sao cho f (x0 ) = inf{f (x) : x ∈ C}. Chứng minh. Đặt m = inf{f (x) : x ∈ C}. Khi đó, tồn tại dãy {xn } ⊂ C sao cho f (xn ) → m khi n → ∞. Nếu {xn } không bị chặn, thì tồn tại một dãy con {xnk } của {xn } sao cho kxnk k → ∞. Theo giả thiết, f (xnk ) → ∞, mâu thuẫn với m 6= ∞. Do đó, {xn } bị chặn. Theo Mệnh đề 1.1 và Mệnh đề 1.2, tồn tại dãy con {xnj } của {xn } sao cho xnj * x0 ∈ C. Vì f là nửa liên tục dưới trong tôpô yếu, nên ta có m ≤ f (x0 ) ≤ lim inf f (xnj ) = lim f (xn ) = m. j→∞ n→∞ Do đó, m = f (x0 ). Mệnh đề được chứng minh. Tiếp theo, trong mục này chúng tôi đề cập đến một số vấn đề cơ bản về cấu trúc hình học các không gian Banach, như: tính lồi, tính trơn, mô đun lồi, mô đun trơn ...
6 Định nghĩa 1.2. Không gian Banach E được gọi là lồi chặt nếu với mọi x, y ∈ E, x 6= y mà kxk = 1, kyk = 1 ta có x + y 2 < 1. Chú ý 1.2. Định nghĩa 1.2 còn có thể phát biểu dưới các dạng tương đương sau: Không gian Banach E được gọi là lồi chặt nếu với mọi x, y ∈ SE thỏa kx + yk mãn = 1, suy ra x = y hoặc với mọi x, y ∈ SE và x 6= y ta có 2 ktx + (1 − t)yk < 1 với mọi t ∈ (0, 1), trong đó SE = {x ∈ E : kxk = 1}. Mệnh đề 1.4. Cho E là một không gian Banach lồi chặt. Khi đó, với mỗi f ∈ E ∗ \ {0}, tồn tại duy nhất phần tử x ∈ E sao cho kxk = 1 và hx, f i = kf k. Chứng minh. Sự tồn tại phần tử x như trên được suy ra trực tiếp từ hệ quả của định lí Hahn-Banach Giả sử tồn tại x, y ∈ E thỏa mãn kxk = kyk = 1 và x 6= y sao cho hx, f i = hy, f i = kf k. Khi đó, với t ∈ (0, 1), từ tính lồi chặt của E, ta có kf k = thx, f i + (1 − t)hy, f i = htx + (1 − t)y, f i ≤ ktx + (1 − t)ykkf k < kf k. Suy ra mâu thuẫn. Vậy tồn tại duy nhất phần tử x ∈ E sao cho kxk = 1 và hx, f i = kf k. Định nghĩa 1.3. Không gian Banach E được gọi là lồi đều nếu với mọi ε > 0, tồn tại δ(ε) > 0 sao cho với mọi x, y ∈ E mà kxk = 1, kyk = 1, kx − yk ≥ ε ta luôn có x + y 2 ≤ 1 − δ(ε). Dễ thấy rằng nếu E là một không gian Banach lồi đều thì nó là không gian Banach lồi chặt. Tuy nhiên điều ngược lại không đúng, ví dụ dưới đây chỉ ra điều đó.
7 Ví dụ 1.2. (xem [1] trang 54) Xét E = c0 (không gian các dãy số hội tụ về không) với chuẩn k.kβ xác định bởi ∞ 1/2 |xi |2 X kxkβ = kxkc0 + β , x = (xi ) ∈ c0 . i=1 i2 Khi đó, (E, k.kβ ), β > 0 là một không gian lồi chặt nhưng không là không gian lồi đều. Để đo tính lồi của không gian Banach E, người ta đưa vào khái niệm sau: Mô đun lồi của không gian Banach E là hàm số x + y 2 : kxk ≤ 1, kyk ≤ 1, kx − yk ≥ ε . δE (ε) = inf 1 − Nhận xét 1.1. Mô đun lồi của không gian Banach E là hàm số xác định, liên tục và tăng trên đoạn [0; 2]. Không gian Banach E lồi chặt khi và chỉ khi δE (2) = 1 (xem [1] trang 59). Ngoài ra, không gian Banach E là lồi đều khi và chỉ khi δE (ε) > 0, ∀ε > 0 (xem [1] trang 60). Ví dụ 1.3. Cho H là không gian Hilbert, khi đó mô đun lồi của H được xác định bởi r ε2 δH (ε) = 1 − 1 − , ε ∈ [0, 2]. 4 Mệnh đề 1.5. (xem [1] trang 56) Mọi không gian Banach lồi đều bất kì là không gian phản xạ. Chứng minh. Giả sử E là không gian Banach lồi đều, ta cần chứng minh E là không gian Banach phản xạ. Giả sử SE ∗ := {j ∈ E ∗ : kjk = 1} là hình cầu đơn vị trong E ∗ và f ∈ SE ∗ . Giả sử {xn } là một dãy trong SE sao cho hxn , f i → 1. Ta sẽ chỉ ra {xn } là một dãy Cauchy. Giả sử {xn } không là dãy Cauchy, khi đó tồn tại ε > 0 và hai dãy {xni } và {xnj } của {xn } sao cho kxni − xnj k ≥ ε. Theo giả thiết, E là không gian lồi đều, nên ∃δ(ε) > 0 sao cho x + x ni nj < 1 − δ. 2
8 Khi đó, ta có
xni + xnj
x + x ni nj
f
≤ kf k 2 2