Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số bài toán cauchy chứa kì dị trong không gian banach

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:90

Thêm vào BST

Báo xấu

62
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn trình bày về bài toán Cauchy trên thang không gian Banach được trình bày trong ba chương, tương ứng với việc sử dụng dãy lặp, Định lý ánh xạ co hoặc Định lý điểm bất động Schauder–Darbo– Sadovskii khi nghiên cứu bài toán. Mời các bạn tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số bài toán cauchy chứa kì dị trong không gian banach

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH ———————————- PHẠM VĂN HIỂN MỘT SỐ BÀI TOÁN CAUCHY CHỨA KÌ DỊ TRONG KHÔNG GIAN BANACH Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số: 62 46 01 02 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS Nguyễn Bích Huy Thành phố Hồ Chí Minh - 2020
LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình khoa học của tôi dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Nguyễn Bích Huy. Các kết quả mới viết trong luận án là hoàn toàn trung thực và chưa được công bố bởi bất cứ tác giả nào khác. Nghiên cứu sinh Phạm Văn Hiển 1
Mục lục LỜI CAM ĐOAN 1 MỞ ĐẦU 4 0.1 Sử dụng dãy lặp trong nghiên cứu bài toán . . . . . . . . . . . . . . 8 0.2 Sử dụng ánh xạ co trong nghiên cứu bài toán . . . . . . . . . . . . 10 0.3 Sử dụng tính compact trong nghiên cứu bài toán . . . . . . . . . . 11 Chương 1 KIẾN THỨC CƠ SỞ 14 1.1 Các định lý điểm bất động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2 Không gian với thứ tự sinh bởi nón . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3 Ánh xạ co theo họ nửa chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.4 Độ đo phi compact và ánh xạ cô đặc . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.5 Một số kiến thức khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Chương 2 SỬ DỤNG DÃY LẶP TRONG NGHIÊN CỨU BÀI TOÁN 22 2.1 Bài toán với kì dị yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2 Phương trình bậc phân thứ với kì dị yếu . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.2.1 Các khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.2.2 Sự tồn tại và duy nhất của nghiệm . . . . . . . . . . . . . . 29 2.3 Kỹ thuật lặp đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.4 Bài toán có chậm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Chương 3 SỬ DỤNG ÁNH XẠ CO TRONG NGHIÊN CỨU BÀI TOÁN 42 3.1 Bài toán với điều kiện Lipschitz địa phương . . . . . . . . . . . . . 42 3.2 Bài toán có chậm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.2.1 Sự tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán tổng quát . . . . . 46 3.2.2 Bài toán áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.3 Bài toán trên miền vô hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2
3 Chương 4 SỬ DỤNG TÍNH COMPACT TRONG NGHIÊN CỨU BÀI TOÁN 56 4.1 Xây dựng không gian Fréchet và độ đo phi compact cho bài toán . 57 4.2 Bài toán Cauchy không có chậm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 4.3 Giải bài toán có chậm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 4.4 Cấu trúc tập nghiệm của một lớp bài toán Cauchy trên thang không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 4.4.1 Bài toán và không gian nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 4.4.2 Một số bổ đề cần thiết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 4.4.3 Cấu trúc tập nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 KẾT LUẬN 82 Danh mục công trình của tác giả 84 Tài liệu tham khảo 84
MỞ ĐẦU Các quá trình trong Tự nhiên và Xã hội đều phụ thuộc vào thời gian t và thường được mô tả bởi phương trình vi phân với điều kiện đầu (hay bài toán Cauchy) như sau: u0 (t) = f (t, u(t)), t ∈ [0, T ), u(0) = u0 , (1) trong đó u : [0, T ] → X là ẩn hàm, f : [0, T ] × X → X là hàm đã biết, thỏa mãn một số điều kiện và X là một không gian vectơ tôpô. Nghiệm của bài toán theo nghĩa cổ điển (hay nghiệm mạnh) là hàm u ∈ C([0, T ], X) ∩ C 1 ((0, T ), X) thỏa mãn (1). Ban đầu, bài toán (1) được nghiên cứu với X là một không gian hữu hạn chiều. Khi đó (1) là phương trình vi phân thường và Peano đã chứng minh sự tồn tại nghiệm khi f là hàm liên tục; Picard khẳng định sự tồn tại và duy nhất nghiệm khi f liên tục và thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo biến thứ hai, tức là kf (t, u) − f (t, v)kX ≤ Cku − vkX . (2) Các phương trình đạo hàm riêng dạng parabolic hoặc hyperbolic được đưa về bài toán (1) với X là một không gian Banach hoặc không gian Fréchet (khi cần xét sự tồn tại nghiệm trên khoảng thời gian vô hạn). Khi đó định lý Picard vẫn đúng; định lý Peano đúng khi f liên tục và thỏa mãn thêm điều kiện có liên quan tới tính compact, ví dụ điều kiện "cô đặc" đối với độ đo phi compact α trong không gian X , dạng α f (t, B) ≤ Cα(B), B ⊂ X là tập bị chặn. (3) Nếu vế phải của (1) là hàm liên tục thì bài toán tương đương với bài toán tìm hàm u ∈ C([0, T ], X) thỏa mãn Z t u(t) = u0 + f (τ, u(τ ))dτ := F u(t). (4) 0 Phương trình (4) xác định ánh xạ F : C([0, T ], X) → C([0, T ], X) và điểm bất động của F chính là nghiệm của bài toán (1) ban đầu. Có hai phương pháp cơ 4
5 bản để tìm điểm bất động của ánh xạ F . Ở phương pháp thứ nhất, điểm bất động được tìm như là giới hạn của dãy lặp sau: u0 (t) = u0 , un+1 (t) = F un (t), ∀t ∈ [0, T ]. Phương pháp thứ hai là sử dụng các định lý điểm bất động: Định lý ánh xạ co Banach khi f thỏa mãn điều kiện Lipschitz, Định lý Schauder hay mở rộng của nó là Định lý Darbo–Sadovskii khi f thỏa mãn một điều kiện về tính compact. Trong luận án này chúng tôi sẽ xét một lớp bài toán Cauchy chứa kì dị. Đó là bài toán Cauchy (1) trên một họ (cũng gọi là một thang) các không gian Banach (Xs , k.ks ), s ∈ [a, b] thỏa mãn Xs0 ⊂ Xs , kxks ≤ kxks0 , ∀x ∈ Xs0 , s < s0 . Tính kì dị thể hiện ở chỗ ánh xạ f không tác động từ một không gian vào chính nó mà vào các không gian rộng hơn f (t, Xs0 ) ⊂ Xs , s < s0 , và thỏa mãn điều kiện Lipschitz ở dạng C kf (t, u) − f (t, v)ks ≤ ku − vks0 , u, v ∈ Xs0 , s < s0 (5) s0 −s hoặc điều kiện cô đặc dạng C αs0 (B), B ⊂ Xs0 bị chặn, s < s0 , αs f (t, B) ≤ (6) s0 −s trong đó αs là độ đo phi compact Kuratowski trên Xs . Các nhà toán học L.Ovcyannikov và T.Yamanaka là những người đầu tiên sử dụng thang không gian Banach khi nghiên cứu mở rộng định lý Cauchy— Kowalevskaya cho hệ phương trình đạo hàm riêng [44, 45, 54, 55]. Trong [44, 45] tác giả xét bài toán n ∂u X ∂u = ai + a0 u ≡ Lu(t, x), u(0, x) = u0 (x). (7) ∂t ∂xi i=1 Họ đã xây dựng thang không gian Banach như sau. Với số dương s, đặt Xs là không gian các hàm giải tích trên quả cầu mở Bs = {x ∈ Rn : kxk < s} và liên tục trên Bs với chuẩn: X sk kuks = sup |Dα u(x)| < ∞, k! x∈Bs k∈N |α|=k
6 trong đó α = (α1 , ..., αn ) ∈ Nn là bộ đa chỉ số và |α| = α1 + ... + αn . Ta có thể chứng minh được C kuxi ks ≤ kuks0 , ∀ 0 < s < s0 , i = 1, ..., n. s0 −s Và do đó C kLuks ≤ kuks0 , 0 < s < s0 . (8) s0 −s Sử dụng đánh giá trên và giả thiết u0 ∈ Xb , tác giả chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm của (7) thỏa mãn b−s u(t) ∈ Xs với t ∈ 0, , 0
7 [3], R.E. Caflish [15], M.V. Safonov [48], ... với các giảm nhẹ của điều kiện (5), ví dụ điều kiện: Z t Cku(τ ) − v(τ )ks(τ ) kF u(t) − F v(t)ks ≤ dτ, 0 s(τ ) − s trong đó s < s(τ ) ≤ b − λt với mọi 0 ≤ τ < t < T và F là ánh xạ trong (4). Các kết quả trên đều có một đặc điểm chung, đó là nếu điều kiện đầu u0 thuộc không gian Xb của thang thì nghiệm có tính chất (9). Như vậy để nghiệm tốt (thuộc không gian Xs với s gần b) thì khoảng tồn tại nghiệm là nhỏ. Bước tiếp theo trong nghiên cứu bài toán Cauchy trên thang không gian Banach là thay điều kiện Lipschitz (5) bởi các điều kiện có liên quan tới tính compact. Các tác giả W. Tutschke [52], H. Begehr [12], V.I. Nazarov [40], M. Reissig [47], E.A. Barkova–P.P. Zabreiko [8, 9], O. Zubelevich [58, 59] sử dụng giả thiết về tính compact của phép nhúng Xs0 ,→ Xs , s < s0 , kết hợp với điều kiện về độ tăng dạng C kuks0 + K , t ∈ [0, T ], u ∈ Xs0 , s < s0 . kf (t, u)ks ≤ (10) s0 −s Điều kiện cô đặc theo độ đo phi compact dạng (6) được sử dụng trong các nghiên cứu của K. Deimling [18], N.B. Huy [34] và M. Ghisi [25]. Sau ứng dụng khởi đầu để nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng tuyến tính (7) thì lý thuyết về bài toán Cauchy trên thang không gian Banach đã được ứng dụng cho đến hôm nay trong rất nhiều lĩnh vực. Đó là ứng dụng cho các phương trình phi tuyến trong cơ học chất lỏng như phương trình Boltzmann, phương trình Navier–Stokes [16, 38, 43, 49, 50], các phương trình đạo hàm riêng không địa phương như phương trình Camassa–Holm, phương trình Novikov [10, 11, 30, 33, 53], phương trình dòng chảy Prandtl [38, 53], phương trình Kirchhoff [26, 27, 35], phương trình Burgers [24], cho các phương trình đạo hàm riêng có chậm theo biến thời gian và không gian [4, 36, 37, 56], cho các phương trình bậc không nguyên [8, 9] và gần đây là cho các hệ động lực Glauber, hệ động lực ngẫu nhiên sinh-tử trong các môi trường liên tục [14, 17, 21, 22, 23],... Trong luận án, các kết quả nghiên cứu của chúng tôi về bài toán Cauchy trên thang không gian Banach được trình bày trong ba chương, tương ứng với việc sử dụng dãy lặp, Định lý ánh xạ co hoặc Định lý điểm bất động Schauder–Darbo– Sadovskii khi nghiên cứu bài toán.
8 0.1 Sử dụng dãy lặp trong nghiên cứu bài toán Trong một thời gian dài (đến 1995) nghiên cứu bài toán Cauchy trong thang không gian Banach, các nhà nghiên cứu chủ yếu sử dụng phương pháp xây dựng dãy lặp với các giả thiết phức tạp. L. Nirenberg xây dựng dãy lặp Newton hội tụ nhanh để chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm địa phương với điều kiện Lipschitz (5), T. Nishida, M.V. Safonov, K. Assano sử dụng dãy lặp Picard. Ưu điểm của phương pháp xây dựng dãy lặp để chứng minh sự tồn tại điểm bất động ánh xạ F (được định nghĩa trong (4)) là ta chỉ cần "tính chất co" của F trong dãy lặp này. Trong luận án, chúng tôi xây dựng dãy lặp để nghiên cứu 4 lớp bài toán Cauchy trên thang các không gian Banach: • Bài toán với kì dị yếu. • Bài toán bậc không nguyên với kì dị yếu. • Bài toán trên thang các không gian có thứ tự. • Bài toán có chậm. Chúng tôi gọi bài toán Cauchy (1) trong thang các không gian Banach có kì dị yếu nếu điều kiện Lipschitz (5) được thay bởi C kf (t, u) − f (t, v)ks ≤ ku − vks0 , u, v ∈ Xs0 , s < s0 , (11) (s0 − s)p với p ∈ (0, 1). Trong trường hợp này chúng tôi chứng minh được sự tồn tại, duy nhất nghiệm toàn cục u ∈ C [0, T ], Xs với mọi s < b và sự phụ thuộc liên tục của nghiệm vào điều kiện đầu. Cần chú ý rằng với kì dị dạng (5), (6) thì khoảng tồn tại nghiệm phụ thuộc tham số s và cho bởi (9). Bài toán Cauchy với bậc không nguyên có dạng ( C D α u(t) = f (t, u(t)), t ∈ (0, T ), (12) u(k) (0) = ξk , ∀k = 0, . . . , m − 1, trong đó m = dαe và với u ∈ C m [0, T ), X thì đạo hàm Caputo bậc α của u được định nghĩa bởi C dm u Dα u(t) = J m−α , dtm
9  1 Rt  Γ(β) 0 (t − τ )β−1 v(τ )dτ β > 0, với J β v(t) = v(t) β = 0. Bài toán (12) xét trên thang không gian Banach (Es ) được E.A. Barkova và P.P. Zabreiko nghiên cứu trong [8] khi phép nhúng Es0 ,→ Es , s < s0 là compact và trong [9] khi f thỏa mãn điều kiện Lipschitz (11) với p = α. Khi bài toán có tính kì dị yếu, tức là p < α chúng tôi cũng chứng minh được sự tồn tại và duy nhất của nghiệm toàn cục. Xây dựng dãy lặp đơn điệu đã được sử dụng nhiều trong nghiên cứu bài toán Cauchy trên một không gian riêng lẻ (xem [28] và các tài liệu tham khảo ở đó). Chúng tôi sử dụng kỹ thuật này để nghiên cứu bài toán Cauchy trên thang không gian Banach có thứ tự. Sử dụng giả thiết về sự tồn tại cặp nghiệm trên, nghiệm dưới kết hợp các tính chất đặc biệt của thứ tự và giả thiết về tính đơn điệu dạng C f (t, u) − f (t, v) ≥ − (u − v), u, v ∈ Xs0 , s < s0 , s0 −s chúng tôi chứng minh được sự tồn tại nghiệm. Theo hiểu biết của chúng tôi thì đây là kết quả đầu tiên về bài toán Cauchy trong thang các không gian Banach có thứ tự. Một số phương trình đạo hàm riêng dạng cụ thể có chậm trong thang không gian (tuy chưa làm nổi bật tính kì dị của bài toán ) đã được xét trong [4, 36, 37, 56]. Theo hiểu biết của chúng tôi, bài toán có chậm trong thang không gian Banach trừu tượng chưa được nghiên cứu. Trong chương này của luận án, chúng tôi xét bài toán có chậm sau: du = f (t, u(t), u(h(t))), t ∈ (0, 1), u(0) = u0 (13) dt trong đó yếu tố chậm h : [0, 1) → [0, 1) là hàm liên tục và thỏa mãn h(t) < t1/p , t ∈ (0, 1) và p ∈ (0, 1). Chúng tôi phát hiện ra rằng, sự xuất hiện của yếu tố chậm theo thời gian cho phép chúng tôi xét các "kì dị mạnh". Cụ thể, vế phải của bài toán (13) có thể thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo biến thứ hai và điều kiện H¨older theo biến thứ ba: C p 0 kf (t, u1 , v1 )−f (t, u2 , v2 )ks ≤ ku 1 −u 2 ks0 +kv1 −v2 k 0 , u1 , u2 , v1 , v2 ∈ Xs0 , s < s . s s0 − s Hơn nữa, trong trường hợp vế phải không phụ thuộc biến thứ hai và thỏa mãn điều kiện C kf (t, v1 ) − f (t, v2 )ks ≤ kv1 − v2 kps0 , v1 , v2 ∈ Xs0 , s < s0 , (s0 − s)γ
10 với γ > 0 tùy ý, chúng tôi vẫn chứng minh được sự tồn tại nghiệm toàn cục. Kết quả về bài toán chậm (13) được chúng tôi công bố trên tạp chí Fixed Point Theory (xem danh mục công trình tác giả). 0.2 Sử dụng ánh xạ co trong nghiên cứu bài toán Để xét sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ F (được định nghĩa ở (4)) ta cần xây dựng một không gian, trong đó F tác động. Đó thường là không gian các hàm u liên tục từ [0, c(b − s)) vào Xs với mỗi s ∈ [a, b) với chuẩn c(b − s) kuk = sup ku(t)ks − 1 được Nishida sử dụng trong [42] s∈[a,b) t 0
11 Đây là dạng trừu tượng của lớp phương trình đạo hàm riêng có chậm theo biến không gian và thời gian sau (l ) (l ) ∂t u(t, x) = g[t, x, ∂2 1 u(t, σ(t)x), ∂2 2 u(h(t), x)]. (16) Bài toán trên được khảo sát trong loạt công trình của M. Kawagishi–T. Ya- manaka [36, 37, 56] với các giả thiết ngặt về các độ chậm như sau 0 ≤ σ(t) ≤ m, 0 ≤ h(t) ≤ mt, với m ∈ (0, 1). (17) Trong bài toán (15), các kì dị đặc trưng cho bài toán Cauchy trong thang không gian không có trong ánh xạ f mà có trong các ánh xạ tuyến tính A, B : kA(t, .)kL(Xs0 ,Xs ) ≤ α(t), α ∈ L1 (0, T0 ), s < s0 , C kBkL(Xs0 ,Xs ) ≤ 0 , s < s0 . (18) (s − s)q Chúng ta lại thấy sự xuất hiện của yếu tố chậm theo thời gian cho phép tăng tính kì dị của bài toán (tham số q trong điều kiện (18) có thể lớn hơn 1). Tổng quát hóa một chuẩn được M. Kawagishi–T. Yamanaka sử dụng cho bài toán (16), chúng tôi xây dựng chuẩn kuk = sup ku(t)kS(t,T ) , t∈[0,T ] với hàm S : ∆ = {(t, T ) : 0 ≤ t ≤ T < T0 } → [a, b] thỏa mãn một số điều kiện. Kết quả về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán tổng quát (15) được chúng tôi áp dụng cho bài toán (16). Việc xét bài toán tổng quát một mặt cho phép bỏ qua những kỹ thuật không cần thiết khi xét cụ thể, mặt khác cho phép chúng tôi mở rộng đáng kể điều kiện (17). Kết quả về bài toán (15) và mở rộng của (16) được chúng tôi công bố trên tạp chí Fixed Point Theory. Trong phần cuối của chương này, chúng tôi chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm trên khoảng t ∈ [0, ∞) nhờ xây dựng một không gian Fréchet thích hợp. 0.3 Sử dụng tính compact trong nghiên cứu bài toán Sau khi có được điều kiện (5) có tính khuôn mẫu cho bài toán Cauchy trên thang các không gian Banach thì các nhà toán học bắt đầu xét bài toán với các điều kiện có liên quan đến tính compact. Các tác giả W. Tutschke [52], H. Begehr [12], V.I. Nazarov [40], M. Reissig [47], E.A. Barkova – P.P. Zabreiko [8, 9] đặt
12 điều kiện phép nhúng Es0 ,→ Es , s < s0 là compact. Việc sử dụng tính cô đặc của ánh xạ theo độ đo phi compact trong nghiên cứu bài toán Cauchy trên thang không gian Banach được thực hiện bởi K. Deimling [18], N.B.Huy [34] và M. Ghisi [25]. K. Deimling xét vế phải f (t, u) = A(t)u + g(t, u) với i) A(t) : Xs0 → Xs là ánh xạ tuyến tính liên tục và kA(t)kL(Xs0 ,Xs ) ≤ M (s0 − s)−1 , s < s0 ≤ b. ii) g : [0, T ] × Bs (u0 , r) → Xb là liên tục đều, bị chặn và với mọi s < b thì αb [g(t, B)] ≤ αs (B), ∀B ⊂ Bs (u0 , r), trong đó αs là độ đo phi compact Kura- towski trên Xs . Tác giả N.B. Huy đã đi đến điều kiện (6) nhưng phải sử dụng giả thiết f liên tục từ [0, T ] × Xs vào Xs . Chúng ta thấy điều kiện này và điều kiện ii) của Deimling là không đặc trưng cho bài toán Cauchy trên thang không gian Banach. Tác giả M. Ghisi đã thu được kết quả hoàn chỉnh về bài toán (1) với điều kiện (6), (10) nhưng không áp dụng được Định lý điểm bất động Darbo–Sadovskii mà dùng dãy lặp Tonelli Z t T T un (t) = u0 ; ∀ t ≤ 0, un (t) = u0 + f τ − , un τ − dτ, ∀t ≥ 0, n ∈ N. 0 n n Trong luận án, chúng tôi xét ba lớp bài toán sau đây với các giả thiết có liên quan tới tính compact: • Bài toán (1) với các điều kiện (6), (10). • Bài toán (13) với điều kiện dạng αsp0 (Ω2 ) , ∀(t, u, v) ∈ [0, T ] × Xs × Xs0 , s < s0 , αs f (t, Ω1 , Ω2 ) ≤ L αs (Ω1 ) + 0 (s − s)γ trong đó γ = 1 nếu f xác định địa phương và γ > 0 tùy ý nếu f xác định toàn cục. • Bài toán u0 (t) = f (t, u(t)) + g(t, u(t)), t ∈ (0, T ), u(0) = u0 , (19) với f thỏa mãn điều kiện Lipschitz (5) và g là ánh xạ compact Chúng tôi xét sự tồn tại nghiệm cho bài toán thứ nhất và thứ hai và chứng minh tính chất Rδ của tập nghiệm cho bài toán thứ ba. Đặc biệt, để nghiên cứu hai bài toán đầu, chúng tôi đã sử dụng hai kỹ thuật mới. Đó là
13 1) Xét ánh xạ F (được định nghĩa bởi (4)) trên một không gian Fréchet thay cho không gian Banach như các chương trước. 2) Xây dựng một độ đo phi compact nhận giá trị trong một không gian Banach có thứ tự sao cho F là ánh xạ cô đặc đối với độ đo này. Chúng ta có thể thấy điểm mạnh của việc sử dụng độ đo phi compact với giá trị vector so với độ đo phi compact với giá trị số từ nhận xét sau. Điều kiện để ánh xạ F là cô đặc đối với độ đo Φ là Φ(B) ≤ Φ(F (B)) ⇒ B compact tương đối. Nếu độ đo Φ nhận giá trị vector thì trong bất đẳng thức trên ta có mối liên hệ giữa hai phần tử của một không gian vector và do đó cung cấp cho chúng ta nhiều thông tin hơn so với khi trong bất đẳng thức là hai số thực. Nghiên cứu của chúng tôi về bài toán (13) với điều kiện về tính compact đã được chúng tôi công bố trong Journal of Fixed Point Theory and Applications 22, 36 (2020). Ngoài các công trình của tác giả được liệt kê ở danh mục công trình của tác giả, các kết quả chính của luận án cũng đã được báo cáo tại Đại hội Toán học Việt Nam lần thứ 9 (Nha Trang, 2018) và các Hội nghị Khoa học cho Nghiên cứu sinh trường Đại học Sư phạm TP.HCM.
Chương 1 KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Các định lý điểm bất động Định lý 1.1.1 (Định lý ánh xạ co). Cho không gian metric đủ (X, d) và M ⊂ X đóng, khác rỗng. Ánh xạ F : M → M là ánh xạ co, tức là tồn tại k ∈ [0, 1) sao cho d(F (x), F (y)) ≤ k.d(x, y), ∀x, y ∈ M. Khi đó F có duy nhất điểm bất động x∗ ∈ M và x∗ = lim F n (x), ∀x ∈ M. n→∞ Định lý 1.1.2 (Định lý Schauder). Cho ánh xạ liên tục F : M → M , trong đó M là tập lồi, đóng, khác rỗng trong một không gian topo Hausdorff. Nếu F (M ) chứa trong một tập compact thì F có điểm bất động trong M . Định lý 1.1.3 (Định lý Darbo). Cho M là tập lồi, khác rỗng, bị chặn trong không gian Banach X . Giả sử ánh xạ F : M → M là liên tục và tồn tại k ∈ [0, 1) sao cho với mọi B ⊂ M thì α(F (B)) ≤ kα(B), trong đó α(A) là độ đo Kuratowski của tập A trong X . Khi đó F có điểm bất động trong M . Định lý 1.1.4 (Giới hạn dãy lặp). Trong không gian Banach X , cho phần tử u0 và xây dựng dãy lặp: u0 (t) = u0 Z t un (t) = F (un−1 )(t) := u0 + f (τ, un−1 (τ ))dτ, t ∈ [0, T ], n ∈ N+ , 0 14
15 trong đó f : [0, T ] × X → X là liên tục. Giả sử trong E := C([0, T ], X) chúng ta có u = lim un , n→∞ thì u chính là điểm bất động của F trong E . 1.2 Không gian với thứ tự sinh bởi nón Trong không gian vector X với θX là phần tử không, tập K ⊂ X được gọi là nón nếu nó là tập lồi, đóng, thỏa mãn các tính chất: K ∩ −K = {θX }, λK ⊂ K, ∀λ > 0. Chúng ta định nghĩa thứ tự một phần trong X sinh bởi nón K là: u ≤ v ⇔ v − u ∈ K. (1.1) Do định nghĩa của nón, thứ tự này có các tính chất: • au + bv ≥ θX , ∀u, v ≥ θX , a, b ≥ 0. • limn→∞ un ≥ θX nếu giới hạn tồn tại và un ≥ θX , ∀n. Một dãy {un }n ⊂ Xs được gọi là tăng nếu: un+1 ≥ un , ∀n. Dãy gọi là giảm nếu đổi chiều bất đẳng thức, và dãy gọi là đơn điệu nếu hoặc nó tăng, hoặc nó giảm. Định nghĩa 1.2.1. Nón K được gọi là • Nón chính quy nếu mọi dãy tăng và bị chặn trên thì hội tụ. • Nón chuẩn nếu tồn tại số N sao cho với mọi v ≥ u ≥ θX thì kuk ≤ N kvk. Bổ đề 1.2.2. [19] 1. Nếu K là nón chính quy thì: • K là nón chuẩn. • Mọi dãy giảm và bị chặn dưới thì hội tụ. 2. Giả sử K là nón chuẩn và dãy đơn điệu {un }n có dãy con hội tụ về u thì {un }n cũng hội tụ về u
16 Sau đây là một số khái niệm khác. Cho X là không gian định chuẩn, ký hiệu không gian các hàm liên tục trên I := [0, T ], nhận giá trị trong X là E := C(I, X), có chuẩn được định nghĩa là |u| := sup ku(t)k. t∈I Từ thứ tự trong X , chúng ta định nghĩa thứ tự trong không gian Banach E như sau: u ≤ v ⇔ u(t) ≤ v(t), ∀t ∈ I. Cho α, β ∈ E , chúng ta định nghĩa khoảng đóng là: [α, β] = {u ∈ E|α ≤ u ≤ β}. Ánh xạ f : X → X được gọi là tăng nếu f (x) ≤ f (y), ∀x ≤ y, x, y ∈ X. Có thể thấy rằng nếu f là ánh xạ tuyến tính thì tính chất tăng tương đương với tính chất f (K) ⊂ K . Bổ đề 1.2.3. Cho p ∈ E và số M thỏa mãn tính chất: p0 (t) ≥ −M p(t), ∀t ∈ I, p0 (t) khả tích trên I. Khi đó: eM t p(t) ≥ p(0), ∀t ∈ I. Chứng minh. Đặt h(t) = eM t p(t), t ∈ I . Khi đó h0 (t) = eM t [p0 (t) + M p(t)] ≥ θX , ∀t ∈ I. Do vậy thì Z t h(t) − h(0) = h0 (τ )dτ ≥ θX , ∀t ∈ I. 0 Suy ra điều cần chứng minh. Nhận xét 1.2.4. Nếu bất đẳng thức trong giả thiết của bổ đề trên đổi chiều thì bất đẳng thức trong kết luận cũng đổi chiều. Do đó nếu có đẳng thức p0 (t) = −M p(t), ∀t ∈ I thì sẽ suy ra p(t) = e−M t p(0), ∀t ∈ I .
17 1.3 Ánh xạ co theo họ nửa chuẩn Cho X là một không gian vector trên trường K (thực hoặc phức). Định nghĩa 1.3.1. Ánh xạ p : X → [0, +∞) được gọi là nửa chuẩn trên X nếu 1. p(kx) = |k|p(x) với mọi k ∈ K và x ∈ X . 2. p(x + y) ≤ p(x) + p(y) với mọi x, y ∈ X . Như vậy, nếu nửa chuẩn p thỏa mãn thêm điều kiện: p(x) = 0 kéo theo x = θX thì nó sẽ là một chuẩn trong X . Khái niệm dãy Cauchy, dãy hội tụ theo nửa chuẩn cũng tương tự như đối với chuẩn. Giả sử X được trang bị họ đếm được các nửa chuẩn {pn }n∈N+ . Nó sẽ là một không gian vector topo lồi địa phương mà một cơ sở của lân cận điểm không gồm toàn các tập lồi có dạng Uε,k = {x ∈ X : pn (x) ≤ ε, ∀n ≤ k}. Sau đây, chúng ta chỉ sử dụng topo này cho không gian X . Họ nửa chuẩn {pn }n được gọi là • Tách nếu từ tính chất pn (x) = 0 với mọi n kéo theo x = θX . • Đầy đủ nếu mọi dãy {xm }m ⊂ X là Cauchy theo pn với mọi n thì nó hội tụ theo topo trong X . Có thể thấy rằng, nếu {pn }n là tách thì topo trên X là khả metric và ta có (theo topo trên X ): 1. lim xm = x ⇔ lim pn (xm − x) = 0, ∀n. m→∞ m→∞ 2. {xm }m là dãy Cauchy khi và chỉ khi {xm }m là dãy Cauchy theo mỗi pn . Định nghĩa 1.3.2. Ánh xạ F : M ⊂ X → X được gọi là co theo họ nửa chuẩn {pn }n nếu với mỗi n ∈ N+ thì tồn tại qn ∈ (0, 1) sao cho pn (F (x) − F (y)) ≤ qn pn (x − y), ∀x, y ∈ M. Bổ đề 1.3.3. Cho không gian X với topo sinh bởi họ nửa chuẩn tách và đầy đủ {pn }n∈N+ , M ⊂ X là tập đóng, khác rỗng. Nếu F : M → M là ánh xạ co theo họ nửa chuẩn {pn }n , thì nó có duy nhất một điểm bất động trong M , và điểm bất động đó là giới hạn của dãy lặp ym = F m (y0 ), ∀y0 ∈ M.
18 Chứng minh. Nếu A là một tập hữu hạn trong N+ thì bằng cách đặt q = max{qn : n ∈ A}, chúng ta thấy pn (F (x) − F (y)) ≤ qpn (x − y), ∀x, y ∈ M, n ∈ A. Do đó F liên tục theo topo trên X . Cho các số tự nhiên n, m, k , chúng ta có m+k−1 X m+k−1 X pn (ym − ym+k ) ≤ pn (yi − yi+1 ) ≤ (qn )i pn (y0 − y1 ) i=m i=m (qn )m− (qn )m+k ≤ pn (y0 − y1 ). 1 − qn Vế phải bất đẳng thức là hội tụ về 0 khi k, m ra vô hạn với mỗi n. Do đó dãy {ym }m là dãy Cauchy theo pn . Nghĩa là nó hội tụ về giới hạn duy nhất y ∈ M theo topo trên X . Mặt khác, F là liên tục cho nên y = lim ym+1 = F ( lim ym ) = F (y). m→∞ m→∞ Vậy, y là điểm bất động của F . Cuối cùng, giả sử x, y là các điểm bất động của F . Thì với mỗi n, tính co của F suy ra pn (x − y) = 0. Mà {pn }n là tách, cho nên x = y. 1.4 Độ đo phi compact và ánh xạ cô đặc Trong không gian định chuẩn (X, k.kX ), cho Ω là một tập bị chặn. Đường kính của Ω được định nghĩa là số: d(Ω) = sup{kx − ykX : x, y ∈ Ω}. Định nghĩa 1.4.1. [2] Độ đo Kuratowski α(Ω) được định nghĩa là inf của các số d > 0 sao cho Ω được phủ bởi họ hữu hạn các tập có đường kính không quá d. Về độ đo Kuratowski, chúng tôi tham khảo hai bổ đề cần thiết sau. Bổ đề 1.4.2. [2] Độ đo Kuratowski có các tính chất: 1. Chính quy, tức là α(Ω) = 0 khi và chỉ khi Ω là tập compact tương đối; 2. Không kì dị, tức là α({x}) = 0, ∀x ∈ X ; 3. Nửa thuần nhất, tức là α(tΩ) = |t|α(Ω) với mọi t ∈ R;
19 4. Dưới cộng tính, tức là α(Ω1 + Ω2 ) ≤ α(Ω1 ) + α(Ω2 ); 5. Nửa cộng tính, tức là α(Ω1 ∪ Ω2 ) = max{α(Ω1 ), α(Ω2 )}; 6. Nếu X là không gian vô hạn chiều và B là quả cầu với bán kính R thì α(B) = 2R; 7. Bất biến dịch chuyển, tức là α(Ω + x) = α(Ω), ∀x ∈ X . Bổ đề 1.4.3. [6] Giả sử X là một không gian Banach. Ω là tập bị chặn, đồng liên tục trong không gian C([0, T ], X), là không gian Banach với chuẩn kuk = supt∈[0,T ] ku(t)kX . Khi đó α(Ω(.)) là hàm số liên tục trên t ∈ [0, T ] và thỏa mãn bất đẳng thức: Z t Z t α u(τ )dτ : u ∈ Ω ≤ α(Ω(τ ))dτ, ∀ t ∈ [0, T ], 0 0 trong đó Ω(τ ) = {u(τ ) : u ∈ Ω}. Tiếp theo chúng ta định nghĩa độ đo phi compact tổng quát trong không gian lồi địa phương và ánh xạ cô đặc tương ứng. Định nghĩa 1.4.4. [1] Cho E là một không gian lồi địa phương với topo sinh bởi họ nửa chuẩn {pn }n . Gọi M là một họ các tập con của E sao cho nếu Ω ∈ M thì coΩ ∈ M. Ánh xạ φ, xác định trên M nhận giá trị trong không gian có thứ tự một phần (Q, ≤), được gọi là một độ đo phi compact (tổng quát) nếu: φ(coΩ) = φ(Ω) ≥ θQ , ∀Ω ∈ M. (1.2) Và φ được gọi là 1. Chính quy nếu φ(Ω) = θQ khi và chỉ khi Ω là tập compact tương đối (tức là tập có bao đóng là compact). 2. Nửa cộng tính nếu φ(Ω1 ∪ Ω2 ) = max{φ(Ω1 ), φ(Ω2 )}. 3. Không kì dị nếu φ({x}) = θQ , ∀x ∈ E . Có thể thấy rằng độ đo Kuratowski cũng là một độ đo phi compact với giá trị số. Định nghĩa 1.4.5. [1] Cho φ là độ đo phi compact trên M là một họ các tập con của E . Ánh xạ F : D ⊂ E → E được gọi là φ-cô đặc nếu với mọi Ω ⊂ D sao cho Ω ∈ M thì F (Ω) ∈ M và: φ(F (Ω)) ≥ φ(Ω) kéo theo Ω là tập compact tương đối. (1.3)