Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số định lý hội tụ mạnh giải bài toán điểm bất động chung tách trong không gian Hilbert

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:40

Thêm vào BST

Báo xấu

13
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích của luận văn này là trình bày chứng minh chi tiết cho Định lý 4.2 và trình bày lại một kết quả của tác giả Ha M.T.N. về phương pháp chiếu co hẹp để xấp xỉ một nghiệm của Bài toán (0.3) cho trường hợp M = N = 1. Mời các bạn tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số định lý hội tụ mạnh giải bài toán điểm bất động chung tách trong không gian Hilbert

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ------------------------------- HOÀNG THỊ VẦN MỘT SỐ ĐỊNH LÝ HỘI TỤ MẠNH GIẢI BÀI TOÁN ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG TÁCH TRONG KHÔNG GIAN HILBERT Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số : 8 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC 1. TS. Trương Minh Tuyên 2. TS. Phạm Hồng Trường THÁI NGUYÊN - 2020
ii Lời cảm ơn Tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới TS. Trương Minh Tuyên người thầy đã luôn tận tình hướng dẫn, chỉ bảo và giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và hoàn thiện luận văn. Đồng thời, tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn đến các thầy, cô trong khoa Toán– Tin, trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên đã giúp đỡ, tạo điều kiện cho tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu tại Trường. Cuối cùng tác giả xin chân thành cảm ơn tới người thân trong gia đình, bạn bè và đồng nghiệp đã luôn động viên tạo điều kiện giúp đỡ tôi về mọi mặt trong suốt quá trình học tập và viết luận văn này.
iii Mục lục Lời cảm ơn ii Một số ký hiệu và viết tắt iv Mở đầu 1 Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 3 1.1. Một số đặc trưng của không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2. Ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . 11 1.2.1. Ánh xạ không giãn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.2. Phương pháp chiếu lai ghép . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.2.3. Phương pháp chiếu thu hẹp . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3. Toán tử đơn điệu trong không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . 16 Chương 2 Hai phương pháp chiếu giải bài toán điểm bất động chung tách 21 2.1. Phát biểu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2. Phương pháp chiếu lai ghép . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.3. Phương pháp chiếu thu hẹp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.4. Ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.4.1. Bài toán (MSCFPP) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.4.2. Bài toán (MSCNPP) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Kết luận 34 Tài liệu tham khảo 35
iv Một số ký hiệu và viết tắt h., .i tích vô hướng trên không gian Hilbert H k.k chuẩn trên không gian Hilbert H ∪ phép hợp ∩ phép giao R+ tập các số thực không âm G(A) đồ thị của toán tử A D(A) miền xác định của toán tử A R(A) miền ảnh của toán tử A A−1 toán tử ngược của toán tử A I toán tử đồng nhất ∅ tập rỗng ∀x với mọi x xn −→ x0 dãy {xn } hội tụ mạnh về x0 xn * x0 dãy {xn } hội tụ yếu về x0
1 Mở đầu Cho C và Q là các tập con lồi, đóng và khác rỗng của các không gian Hilbert H1 và H2 , tương ứng. Cho T : H1 −→ H2 là một toán tử tuyến tính bị chặn. Bài toán chấp nhận tách (SFP-Split Feasibility Problem) có dạng như sau: Tìm một phần tử x∗ ∈ C ∩ T −1 (Q). (0.1) Một dạng tổng quát của Bài toán (0.1) là bài toán chấp nhận tách đa tập (MSSFP-Multiple sets Split Feasibility Problem), bài toán này được phát biểu như sau: Cho Ci , i = 1, 2, ..., N và Qj , j = 1, 2, ..., M là các tập con lồi và đóng của H1 và H2 tương ứng. Tìm một phần tử x∗ ∈ ∩N i=1 Ci ∩ T −1 (∩M j=1 Qj ) 6= ∅. (0.2) Mô hình bài toán (SFP) lần đầu tiên được giới thiệu và nghiên cứu bởi Y. Censor và T. Elfving [5] cho mô hình các bài toán ngược. Bài toán này đóng vai trò quan trọng trong khôi phục hình ảnh trong Y học, điều khiển cường độ xạ trị trong điều trị bệnh ung thư, khôi phục tín hiệu (xem [3], [4]) hay có thể áp dụng cho việc giải các bài toán cân bằng trong kinh tế, lý thuyết trò chơi. Bài toán chấp nhận tách (0.1) là một trường hợp đặc biệt của bài toán điểm bất động chung tách. Dạng tổng quát của bài toán điểm bất động chung tách được phát biểu như sau: Cho Ti : H1 −→ H1 , i = 1, 2, ..., N và Sj : H2 −→ H2 , j = 1, 2, ..., M là các ánh xạ không giãn trên H1 và H2 , tương ứng. Tìm phần tử x∗ ∈ ∩N −1 ∩M i=1 Fix(Ti ) ∩ T j=1 Fix(Sj ) =6 ∅. (0.3) Thời gian gần đây, lớp các Bài toán (0.3) đã thu hút sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà toán học trong và ngoài nước. Năm 2019, các tác giả Reich S. và
2 Tuyen T.M. đã đưa ra một phương pháp lặp mới dựa trên phương pháp chiếu lai ghép (Hybrid projection method) để giải Bài toán (0.3) (xem [8, Định lý 4.2]). Mục đích của luận văn này là trình bày chứng minh chi tiết cho Định lý 4.2 trong [8] và trình bày lại một kết quả của tác giả Ha M.T.N. về phương pháp chiếu co hẹp [6] để xấp xỉ một nghiệm của Bài toán (0.3) cho trường hợp M = N = 1. Nội dung của luận văn được chia làm hai chương chính: Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, luận văn đề cập đến một số đặc trưng cơ bản của không gian Hilbert, phép chiếu mêtric, ánh xạ không giãn cùng các phương pháp chiếu lai ghép hay chiếu co hẹp để tìm điểm bất động cho lớp ánh xạ này. Mục cuối cùng của chương này đề cập đến khái niệm toán tử đơn điệu và một số tính chất cơ bản. Chương 2. Hai phương pháp chiếu giải bài toán điểm bất động chung tách Chương này tác giả trình bày chứng minh chi tiết cho Định lý 4.2 trong [8] và trình bày lại kết quả của tác giả Ha M.T.H. trong [6]. Ngoài ra, bằng cách sử dụng tính chất điểm bất động của ánh xạ trung bình hay tính chất của toán tử giải đối với toán tử đơn điệu, tác giả cũng đưa ra một số phương pháp giải Bài toán (0.3) và bài toán không điểm chung tách.
3 Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị Chương này bao gồm ba mục chính. Mục 1.1 đề cập đến một số đặc trưng cơ bản của không gian Hilbert thực, Mục 1.2 giới thiệu sơ lược một số kết quả về ánh xạ không giãn, cùng với các phương pháp chiếu lai ghép và chiếu thu hẹp tìm điểm bất động cho lớp ánh xạ này. Mục 1.3 trình bày một số khái niệm và tính chất cơ bản về toán tử đơn điệu trong không gian Hilbert. Nội dung của chương này phần lớn được tham khảo từ các tài liệu [1] và [2]. 1.1. Một số đặc trưng của không gian Hilbert Ta luôn giả thiết H là không gian Hilbert thực với tích vô hướng được kí hiệu là h., .i và chuẩn được kí hiệu là k.k. Mệnh đề 1.1. Trong không gian Hilbert thực H ta luôn có đẳng thức sau kx − yk2 + kx − zk2 = ky − zk2 + 2hx − y, x − zi, với mọi x, y, z ∈ H. Chứng minh. Thật vậy, ta có ky − zk2 + 2hx − y, x − zi = hy, yi + hz, zi + 2hx, xi − 2hx, zi − 2hx, yi = [hx, xi − 2hx, yi + hy, yi] + [hx, xi − 2hx, zi + hz, zi] = kx − yk2 + kx − zk2 .
4 Vậy ta được điều phải chứng minh. Mệnh đề 1.2. Cho H là một không gian Hilbert thực. Khi đó, với mọi x, y ∈ H và mọi λ ∈ [0, 1], ta có kλx + (1 − λ)yk2 = λkxk2 + (1 − λ)kyk2 − λ(1 − λ)kx − yk2 . (1.1) Chứng minh. Ta có kλx + (1 − λ)yk2 = λ2 kxk2 + 2λ(1 − λ)hx, yi + (1 − λ)2 kyk2 = λkxk2 + (1 − λ)kyk2 − λ(1 − λ)(kxk2 − 2hx, yi + kyk2 ) = λkxk2 + (1 − λ)kyk2 − λ(1 − λ)kx − yk2 . Ta được điều phải chứng minh. Mệnh đề 1.3. Cho H là một không gian Hilbert thực. Khi đó, nếu với x, y ∈ H thỏa mãn điều kiện |hx, yi| = kxk.kyk, tức là bất đẳng thức Schwars xảy ra dấu bằng thì hai véc tơ x và y là phụ thuộc tuyến tính. Chứng minh. Giả sử ngược lại rằng x 6= λy với mọi λ ∈ R. Khi đó, từ tính chất của tích vô hướng, ta có 0 < kx − λyk2 = λ2 kyk2 − 2λhx, yi + kxk2 , với mọi λ ∈ R. Ta thấy rằng nếu y = 0, thì hiển nhiên x và y là phụ thuộc tuyến hx, yi tính. Giả sử y 6= 0, khi đó với λ = , thì bất đẳng thức trên trở thành kyk2 |hx, yi| < kxk.kyk, điều này mâu thuẫn với giả thiết. Vậy x và y là phụ thuộc tuyến tính. Mệnh đề được chứng minh.
5 Nhắc lại rằng, dãy {xn } trong không gian Hilbert H được gọi là hội tụ yếu về phần tử x ∈ H, nếu lim hxn , yi = hx, yi, n→∞ với mọi y ∈ H. Từ tính liên tục của tích vô hướng, suy ra nếu xn → x, thì xn * x. Tuy nhiên, điều ngược lại không đúng. Chẳng hạn xét không gian l2 = {xn } ⊂ P∞ 2 2 R: n=1 |xn | < ∞ và {en } ⊂ l , được cho bởi en = (0, ..., 0, 1 , 0, ..., 0, ...), vị trí thứ n với mọi n ≥ 1. Khi đó, en * 0, khi n → ∞. Thật vậy, với mỗi y ∈ H, từ bất đẳng thức Bessel, ta có ∞ X |hen , yi|2 ≤ kyk2 < ∞. n=1 Suy ra limn→∞ hen , yi = 0, tức là en * 0. Tuy nhiên, {en } không hội tụ về 0, vì ken k = 1 với mọi n ≥ 1. Ta biết rằng mọi không gian Hilbert H đều thỏa mãn điều kiện của Opial, tính chất này được thể hiện trong mệnh đề dưới đây: Mệnh đề 1.4. Cho H là một không gian Hilbert thực và {xn } ⊂ H là một dãy bất kỳ thỏa mãn điều kiện xn * x, khi n → ∞. Khi đó, với mọi y ∈ H và y 6= x, ta có lim inf kxn − xk < lim inf kxn − yk. (1.2) n→∞ n→∞ Chứng minh. Vì xn * x, nên {xn } bị chặn. Ta có kxn − yk2 = kxn − xk2 + kx − yk2 + 2hxn − x, x − yi. Vì x 6= y, nên lim inf kxn − yk2 > lim inf (kxn − xk2 + 2hxn − x, x − yi) n→∞ n→∞ = lim inf kxn − xk2 . n→∞
6 Do đó, ta nhận được lim inf kxn − xk < lim inf kxn − yk. n→∞ n→∞ Mệnh đề được chứng minh. Mệnh đề 1.5. Mọi không gian Hilbert thực H đều có tính chất Kadec-Klee, tức là nếu {xn } ⊂ H là một dãy bất kỳ trong H thỏa mãn các điều kiện xn * x và kxn k → kxk, thì xn → x, khi n → ∞. Chứng minh. Ta có kxn − xk2 = kxn k2 − 2hxn , xi + kxk2 → 0, n → ∞. Suy ra xn → x, khi n → ∞. Mệnh đề được chứng minh. Mệnh đề 1.6. Cho C là một tập con lồi và đóng của không gian Hilbert thực H. Khi đó, tồn tại duy nhất phần tử x∗ ∈ C sao cho kx∗ k ≤ kxk với mọi x ∈ C. Chứng minh. Thật vậy, đặt d = inf kxk. Khi đó, tồn tại {xn } ⊂ C sao cho x∈C kxn k −→ d, n −→ ∞. Từ đẳng thức hình bình hành, ta có xn + xm 2 kxn − xm k2 = 2(kxn k2 + kxm k2 ) − 4k k 2 ≤ (kxn k2 + kxm k2 ) − 4d2 −→ 0, khi n, m −→ ∞. Do đó {xn } là dãy Cauchy trong H. Suy ra tồn tại x∗ = lim xn ∈ n→∞ C (do {xn } ⊂ C và C là tập đóng). Do chuẩn là hàm số liên tục nên kx∗ k = d. Tiếp theo ta chỉ ra tính duy nhất. Giả sử tồn tại y ∗ ∈ C sao cho ky ∗ k = d. Ta có ∗ ∗ 2 ∗ 2 x∗ + y ∗ 2 ∗ 2 kx − y k = 2(kx k + ky k ) − 4k k 2
7 ≤ 2(d2 + d2 ) − 4d2 = 0. Suy ra x∗ = y ∗ . Vậy tồn tại duy nhất một phần tử x∗ ∈ C sao cho kx∗ k = inf x∈C kxk. Từ Mệnh đề 1.6, ta có mệnh đề dưới đây: Mệnh đề 1.7. Cho C là một tập con lồi và đóng của không gian Hilbert thực H. Khi đó, với mỗi x ∈ H, tồn tại duy nhất phần tử PC x ∈ C sao cho kx − PC (x)k ≤ kx − yk với mọi y ∈ C. Chứng minh. Vì C là tập lồi, đóng và khác rỗng nên x − C cũng là tập lồi, đóng và khác rỗng. Do đó, theo Mệnh đề 1.6, tồn tại duy nhất một phần tử PC ∈ C sao cho kx − PC (x)k ≤ kx − yk với mọi y ∈ C. Định nghĩa 1.1. Phép cho tương ứng mỗi phần tử x ∈ H một phần tử PC x ∈ C xác định như trên được gọi là phép chiếu mêtric từ H lên C. Ví dụ 1.1. Cho C = {x ∈ H : hx, ui = y}, với u 6= 0. Khi đó y − hx, ui PC x = x + 2 u. kuk Ví dụ 1.2. Cho C = {x ∈ H : kx − ak ≤ R}, trong đó a ∈ H là một phần tử cho trước và R là một số dương. Khi đó, ta có:  x nếu kx − ak ≤ R,  PC x = R a +  (x − a) nếu kx − ak > R. kx − ak Mệnh đề dưới đây cho ta một điều kiện cần và đủ để ánh xạ PC : H −→ C là một phép chiếu mêtric.
8 Mệnh đề 1.8. Cho C là tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gian Hilbert H. Cho PC : H −→ C là một ánh xạ. Khi đó, các phát biểu sau là tương đương: a) PC là phép chiếu mêtric từ H lên C; b) hy − PC x, x − PC xi ≤ 0 với mọi x ∈ H và y ∈ C; Chứng minh. Thật vậy, giả sử PC là phép chiếu mêtric từ H lên C, tức là kx − PC xk = inf u∈C kx − uk. Với mọi x ∈ H, y ∈ C và với mọi α ∈ (0, 1), đặt yα = αy + (1 − α)PC x. Vì C lồi nên yα ∈ C và do đó kx − PC xk ≤ kyα − xk. Điều này tương đương với 2 2 kx − PC xk ≤ kα(y − PC x) − (x − PC x)k 2 2 = α2 ky − PC xk + kx − PC xk − 2αhy − PC x, x − PC xi. Từ đó, ta nhận được 2 2hy − PC x, x − PC xi ≤ αky − PC xk . Cho α −→ 0+ , ta được hy − PC x, x − PC xi ≤ 0. Ngược lại, giả sử b) đúng. Với mọi x ∈ H và mọi y ∈ C, ta có kx − PC xk2 = kx − y + y − PC xk2 = kx − yk2 + 2hx − y, y − PC xi + ky − PC xk2 = kx − yk2 + 2hx − PC x, y − PC xi − ky − PC xk2 ≤ kx − yk2 . Do đó, kx − PC xk = inf u∈C kx − uk, hay PC là phép chiếu mêtric từ H lên C. Từ mệnh đề trên, ta có hệ quả dưới đây: Hệ quả 1.1. Cho C là một tập con lồi đóng của không gian Hilbert H và PC là phép chiếu mêtric từ H lên C. Khi đó, ta có các khẳng định sau:
9 a) với mọi x, y ∈ H, ta có kPC x − PC yk2 ≤ hx − y, PC x − PC yi; b) với mọi x ∈ H và y ∈ C, ta có kx − yk2 ≥ kx − PC xk2 + ky − PC xk2 . Chứng minh. a) Với mọi x, y ∈ H, từ Mệnh đề 1.8, ta có hx − PC x, PC y − PC xi ≤ 0, hy − PC y, PC x − PC yi ≤ 0. Cộng hai bất đẳng thức trên ta nhận được điều phải chứng minh. b) Với mọi x ∈ H và y ∈ C, từ Mệnh đề 1.8, ta có hx − PC x, y − PC xi ≤ 0. Từ đó, ta có kx − yk2 = k(x − PC x) − (y − PC x)k2 = kx − PC xk2 + ky − PC xk2 − 2hx − PC x, y − PC xi ≥ kx − PC xk2 + ky − PC xk2 . Hệ quả được chứng minh. Mệnh đề 1.9. Cho C là một tập con lồi, đóng của không gian Hilbert H và x∈ / C. Khi đó, tồn tại một phần tử v ∈ H, v 6= 0 sao cho suphv, yi ≤ hv, xi − kvk2 . y∈C Chứng minh. Vì x ∈ / C, nên v = x − PC x 6= 0. Từ Mệnh đề 1.8, ta có hv, y − PC xi ≤ 0,
10 với mọi y ∈ C. Suy ra hv, y − x + x − PC xi ≤ 0, với mọi y ∈ C. Điều này tương đương với hv, yi ≤ hv, xi − kvk2 , với mọi y ∈ C. Do đó suphv, yi ≤ hv, xi − kvk2 . y∈C Mệnh đề được chứng minh. Chú ý 1.1. Mệnh đề 1.9 còn được gọi là định lý tách tập lồi cho trước với một điểm không thuộc nó. Mệnh đề 1.10. Nếu C là một tập con lồi và đóng của không gian Hilbert H, thì C là tập đóng yếu. Chứng minh. Giả sử C không là tập đóng yếu. Khi đó, tồn tại dãy {xn } trong C thỏa mãn xn * x, nhưng x ∈ / C. Vì C là tập lồi và đóng, nên theo định lý tách các tập lồi, tồn tại y ∈ H và ε > 0 (chẳng hạn lấy y = v và ε = kvk2 /2 trong chứng minh của Mệnh đề 1.9) sao cho hy, zi < hy, xi − ε, với mọi z ∈ C. Đặc biệt hy, xn i < hy, xi − ε, với mọi n. Cho n → ∞, ta nhận được hy, xi ≤ hy, xi − ε, điều này là vô lý. Do đó, C là tập đóng yếu. Chú ý 1.2. Nếu C là tập đóng yếu trong H thì hiển nhiên C là tập đóng. Từ định lý Banach-Alaoglu, ta có mệnh đề dưới đây: Mệnh đề 1.11. Mọi tập con bị chặn của H đều là tập compact tương đối yếu.
11 1.2. Ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert 1.2.1. Ánh xạ không giãn Định nghĩa 1.2. Cho C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gian Hilbert thực H. Ánh xạ T : C −→ H được gọi là một ánh xạ không giãn, nếu với mọi x, y ∈ C, ta có kT x − T yk ≤ kx − yk. Ta ký hiệu tập điểm bất động của ánh xạ không giãn T là Fix(T ), tức là Fix(T ) = {x ∈ C : T x = x}. Mệnh đề dưới đây cho ta mô tả về tính chất của tập điểm bất động Fix(T ). Mệnh đề 1.12. Cho C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gian Hilbert thực H và T : C −→ H là một ánh xạ không giãn. Khi đó, Fix(T ) là một tập lồi và đóng trong H. Chứng minh. Giả sử Fix(T ) 6= ∅. Trước hết, ta chỉ ra Fix(T ) là tập đóng. Thật vậy, vì T là ánh xạ không giãn nên T liên tục trên C. Giả sử {xn } là một dãy bất kỳ trong Fix(T ) thỏa mãn xn → x, khi n → ∞. Vì {xn } ⊂ Fix(T ), nên kT xn − xn k = 0, với mọi n ≥ 1. Từ tính liên tục của chuẩn, cho n → ∞, ta nhận được kT x−xk = 0, tức là x ∈ Fix(T ). Do đó, Fix(T ) là tập đóng. Tiếp theo, ta chỉ ra tính lồi của Fix(T ). Giả sử x, y ∈ Fix(T ), tức là T x = x và T y = y. Với mọi λ ∈ [0, 1], ta chỉ ra z = λx + (1 − λ)y ∈ Fix(T ). Thật vậy, nếu x = y, thì z = x = y ∈ Fix(T ). Giả sử x 6= y, khi đó ta có kT z − xk = kT z − T xk ≤ kx − zk = (1 − λ)kx − yk, kT z − yk = kT z − T yk ≤ ky − zk = λkx − yk.
12 Từ đó, ta nhận được kx − yk ≤ kT z − xk + kT z − yk ≤ kx − yk. Suy ra kx − yk = kT z − xk + kT z − yk, và kT z − xk = (1 − λ)kx − yk, kT z − yk = λkx − yk. (1.3) Đặt a = T z − x và b = y − T z, thì ta nhận được ka + bk = kak + kbk, điều này tương đương với ha, bi = kak.kbk. Theo Mệnh đề 1.3, tồn tại α ∈ R sao cho a = αb. Vì x 6= y, nên α 6= −1. Suy ra T z là một tổ hợp affine của x và y, tức là T z = βx + (1 − β)y, (1.4) 1 với β = . 1+α Từ (1.3) và (1.4), ta nhận được kx − T zk = (1 − λ)kx − yk = (1 − β)kx − yk. Suy ra λ = β, tức là T z = z. Do đó, z ∈ Fix(T ). Vậy Fix(T ) là một tập lồi. Mệnh đề được chứng minh. Chú ý 1.3. Ta có thể chứng minh tính lồi của tập Fix(T ) bằng cách khác như sau: Giả sử Fix(T ) 6= ∅ và x, y ∈ Fix(T ). Với λ ∈ [0, 1], đặt z = λx + (1 − λ)y. Khi đó, từ Mệnh đề 1.2 và tính không giãn của T ta có kT z − zk2 = kλ(T z − x) + (1 − λ)(T z − y)k2 = λkT z − xk2 + k(1 − λ)(T z − y)k2 − λ(1 − λ)kx − yk2 = λkT z − T xk2 + (1 − λ)k(T z − T y)k2 − λ(1 − λ)kx − yk2 ≤ λkz − xk2 + (1 − λ)k(z − y)k2 − λ(1 − λ)kx − yk2
13 = kλ(z − x) + (1 − λ)(z − y)k2 = 0. Suy ra T z = z và do đó z ∈ Fix(T ). Vậy Fix(T ) là một tập lồi. Mệnh đề dưới đây cho ta biết về tính nửa đóng của ánh xạ không giãn T . Mệnh đề 1.13 (Nguyên lý nửa đóng, xem [1]). Giả sử T là một ánh xạ không giãn từ tập con lồi, đóng và khác rỗng C của không gian Hilbert thực H vào chính nó. Nếu T có điểm bất động, thì I − T là nửa đóng, tức là nếu {xn } là một dãy trong C hội tụ yếu về phần tử x ∈ C và dãy {(I − T )xn } hội tụ mạnh về phần tử y, thì ta có (I − T )x = y. Chứng minh. Giả sử x − T x 6= y. Vì xn * x, nên xn − y * x − y. Do x − y 6= T x, nên từ Mệnh đề 1.4, ta có lim inf kxn − xk < lim inf kxn − y − T xk n→∞ n→∞ ≤ lim inf (kxn − T xn − yk + kT xn − T xk) n→∞ ≤ lim inf kxn − xk. n→∞ Suy ra mâu thuẫn. Do đó, x − T x = y. Đặc biệt, nếu y = 0 thì x = T x hay x ∈ Fix(T ). Bổ đề được chứng minh. Sự tồn tại điểm bất động đối với lớp ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert được phát biểu trong mệnh đề dưới đây: Mệnh đề 1.14. Cho C là một tập con lồi, đóng và bị chặn của không gian Hilbert H. Cho T : C −→ C là một ánh xạ không giãn. Khi đó Fix(T ) 6= ∅. Chứng minh. Lấy x0 ∈ C và dãy {αn } ⊂ (0, 1] sao cho αn → 0. Xác định dãy ánh xạ {Tn } trên C như sau: Tn (x) = αn x0 + (1 − αn )T (x), với mọi n ≥ 1 và mọi x ∈ C.
14 Với mọi x, y ∈ C, ta có kTn (x) − Tn (y)k = (1 − αn )kT (x) − T (y)k ≤ (1 − αn )kx − yk. Suy ra, Tn là ánh xạ co với hệ số co 1 − αn . Theo nguyên lý ánh xạ co Banach1 tồn tại duy nhất xn ∈ C sao cho Tn (xn ) = xn , tức là, xn = αn x0 + (1 − αn )T (xn ). Từ đó suy ra kxn − T (xn )k = αn kx0 − T (xn )k ≤ αn diam(C) → 0. Do đó ta có kxn − T (xn )k → 0. Vì C là tập bị chặn và {xn } ⊂ C nên dãy {xn } cũng bị chặn. Do đó theo Mệnh đề 1.11, tồn tại một dãy con {xnk } ⊆ {xn } sao cho xnk * x∗ khi k → ∞. Do đó, theo Mệnh đề 1.13, ta nhận được x∗ ∈ Fix(T ). Mệnh đề được chứng minh. Mệnh đề 1.15. Cho C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gian Hilbert H. Cho (Ti )i∈I và một họ các ánh xạ không giãn từ C vào chính nó thỏa P mãn ∩i∈I Fix(Ti ) 6= ∅. Khi đó với mọi αi ∈ (0, 1) thỏa mãn i∈I αi = 1 ta đều có P Fix( i∈I αi Ti ) = ∩i∈I Fix(Ti ). P Chứng minh. Dễ thấy ∩i∈I Fix(Ti ) ⊆ Fix( i∈I αi Ti ). Bây giờ ta sẽ chỉ ra bao hàm thức ngược lại. Lấy y ∈ ∩i∈I Fix(Ti ), với mọi i ∈ I và mọi x ∈ C, từ Mệnh đề (1.1) và tính không giãn của Ti , ta có 2hTi x − x, x − yi = kTi x − yk2 − kTi x − xk2 − kx − yk2 = kTi x − Ti yk2 − kx − yk2 − kTi x − xk2 ≤ −kTi x − xk2 . (1.5) 1 Mọi ánh xạ co từ không gian mêtric đầy đủ X vào chính nó đều có duy nhất một điểm bất động.
15 P Bây giờ, lấy bất kỳ x ∈ Fix( i∈I αi Ti ). Từ (1.5), ta có X X 0=2 αi hTi x − x, x − ii ≤ − kTi x − xk2 ≤ 0. i∈I i∈I kTi x − xk2 = 0 và do đó kTi x − xk = 0 hay x = Ti x với mọi i ∈ I, P Suy ra i∈I tức là, x ∈ ∩i∈I Fix(Ti ). P Vậy Fix( i∈I αi Ti ) = ∩i∈I Fix(Ti ). Mệnh đề được chứng minh. 1.2.2. Phương pháp chiếu lai ghép Trong mục này chúng tôi đề cập đến một phương pháp chiếu lai ghép để tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn. Năm 2003, Nakajo và Takahashi [7] đã chứng minh định lý dưới đây: Định lý 1.1. Cho H là một không gian Hilbert thực và C là tập con lồi, đóng, khác rỗng của H. Cho T là một ánh xạ không giãn từ C vào chính nó với Fix(T ) 6= ∅. Với x1 ∈ C bất kỳ, ta xác định dãy {xn } như sau  yn = αn xn + (1 − αn )T xn ,        Cn = {z ∈ C : kyn − zk ≤ kxn − zk},  (1.6) Qn = {z ∈ C : hxn − z, x − xn i ≥ 0},        xn+1 = PCn ∩Qn x1 , n ≥ 1,  trong đó {αn } là dãy số thực thỏa mãn điều kiện αn ⊂ [0, a), với a < 1. Khi đó, dãy {xn } hội tụ mạnh về PFix(T ) x1 , khi n → ∞. 1.2.3. Phương pháp chiếu thu hẹp Trong tiểu mục này, chúng tôi giới thiệu một số kết quả của Takahashi W., Takeuchi Y. và Kubota R. trong tài liệu [10] về phương pháp chiếu thu hẹp cho bài toán tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn.
16 Định lý 1.2. Cho H là một không gian Hilbert thực và C là tập con lồi, đóng, khác rỗng của H. Cho T là một ánh xạ không giãn từ C vào chính nó với Fix(T ) 6= ∅ và x0 ∈ H. Với C1 = C và u1 = PC1 x0 , xác định dãy {un } như sau:      yn = αn un + (1 − αn )T un ,   Cn+1 = {z ∈ Cn : kyn − zk ≤ kun − zk},   n+1 = PCn+1 x0 , n ∈ N,  u trong đó 0 ≤ αn ≤ a < 1 với mọi n ∈ N. Khi đó, dãy {un } hội tụ mạnh về z0 = PFix(T ) x0 . Định lý 1.3. Cho H là một không gian Hilbert thực và C là tập con lồi, đóng, khác rỗng của H. Cho T là một ánh xạ không giãn từ C vào chính nó với Fix(T ) 6= ∅ và x0 ∈ H. Với C1 = C và u1 = PC1 x0 , xác định dãy {un } như sau:      y n = α n u n + (1 − αn ) βn u n + (1 − βn )T un ,   Cn+1 = {z ∈ Cn : kyn − zk ≤ kun − zk},   un+1 = PCn+1 x0 , n ∈ N,   trong đó 0 ≤ αn ≤ a < 1 và 0 < b ≤ βn ≤ c < 1 với mọi n ∈ N. Khi đó, dãy {un } hội tụ mạnh về z0 = PFix(T ) x0 . 1.3. Toán tử đơn điệu trong không gian Hilbert Định nghĩa 1.3. Một ánh xạ đa trị A : H −→ 2H được gọi là một toán tử đơn điệu nếu hu − v, x − yi ≥ 0 (1.7) với mọi x, y ∈ H và mọi u ∈ A(x), v ∈ A(y). Toán tử đơn điệu A được gọi là đơn điệu cực đại nếu đồ thị G(A) = {(x, u) ∈ H × H : u ∈ A(x)} không chứa thực sự trong đồ thị của bất kì toán tử đơn điệu nào khác trên H.