Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số lớp ánh xạ lồi và lõm trong không gian có thứ tự

Chia sẻ: Lavie Lavie | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:48

Thêm vào BST

Báo xấu

49
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số lớp ánh xạ lồi và lõm trong không gian có thứ tự tập gồm có 3 chương trong đó, chương 1 - Các kết quả chuẩn bị; chương 2 - Một số lớp ánh xạ lồi, lõm; chương 3 - Một số lớp ánh xạ lõm đa trị.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số lớp ánh xạ lồi và lõm trong không gian có thứ tự

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH ĐINH CÔNG MINH MỘT SỐ LỚP ÁNH XẠ LỒI VÀ LÕM TRONG KHÔNG GIAN CÓ THỨ TỰ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 201110
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH ĐINH CÔNG MINH MỘT SỐ LỚP ÁNH XẠ LỒI VÀ LÕM TRONG KHÔNG GIAN CÓ THỨ TỰ Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. TRẦN ĐÌNH THANH Thành phố Hồ Chí Minh – 201110
LỜI CẢM ƠN Tôi gửi cảm ơn sâu sắc đến Thầy TS. Trần Đình Thanh đã tận tình hướng dẫn tôi trong suốt quá trình thực hiện luận văn này. Tôi xin chân thành cám ơn quí Thầy, Cô khoa Toán trường ĐHSP TP Hồ Chí Minh và trường ĐHKHTN TP Hồ Chí Minh đã trang bị cho tôi nhiều kiến thức quí báu trong Toán học cũng như trong cuộc sống. Tôi xin cảm ơn bạn bè và người thân đã động viên giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và làm luận văn. Tp. Hồ Chí Minh, tháng 10 năm 2011 Học viên Đinh Công Minh
MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN ............................................................................................. 0 MỤC LỤC ................................................................................................... 0 MỞ ĐẦU ..................................................................................................... 1 1. Lý do chọn đề tài:................................................................................................... 1 2. Nội dung luận văn .................................................................................................. 1 3. Phương pháp nghiên cứu ....................................................................................... 2 Chương 1: CÁC KẾT QUẢ CHUẨN BỊ ................................................ 3 1.1 Không gian banach có thứ tự ............................................................................... 3 1.2 Nguyên lí Entropy và Định lí điểm bất động của ánh xạ tăng............................. 8 1.2.1 Nguyên lí Entropy .................................................................................................................. 8 1.2.2 Định lí điểm bất động của ánh xạ tăng. .................................................................................. 9 Chương 2: MỘT SỐ LỚP ÁNH XẠ LỒI, LÕM. ................................. 12 2.1 Ánh xạ u0 − lõm hoặc u0 − lồi. ........................................................................... 12 2.1.2 Sự duy nhất của điểm bất động. ........................................................................................... 13 2.1.3 Xây dựng dãy lập đơn điệu hội tụ về điểm bất động............................................................ 14 2.1.4 Tính chất của vectơ riêng, giá trị riêng. ............................................................................... 17 2.2 Một số ánh xạ lồi, lõm. ...................................................................................... 20 2.2.1 Ánh xạ dưới tuyến tính ......................................................................................................... 20 2.2.2 Ánh xạ u0 − đơn điệu........................................................................................................... 21 α − lồi, α − lõm. .................................................................................................... 22 2.2.3 Ánh xạ 2.3 Ánh xạ uo − lõm tổ hợp ...................................................................................... 30 2.3.1 Ánh xạ đơn điệu tổ hợp ........................................................................................................ 30 2.3.2 Ánh xạ uo − lõm tổ hợp. ...................................................................................................... 32 2.3.3 Một số ứng dụng................................................................................................................... 34 Chương 3: MỘT SỐ LỚP ÁNH XẠ LÕM ĐA TRỊ ............................ 37 3.1 Sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ uo − lõm đều đơn trị ................................ 37 3.2 Sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ lõm đều đa trị. ......................................... 39 KẾT LUẬN ............................................................................................... 43 TÀI LIỆU THAM KHẢO ....................................................................... 44
MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài: Lý thuyết phương trình trong không gian có thứ tự ra đời từ những năm 1940, được phát triển và hoàn thiện cho đến ngày nay. Lý thuyết này tìm được những ứng dụng rộng rãi trong việc nghiên cứu các phương trình xuất phát từ khoa học Tự nhiên, Y học, Kinh tế học. Trong lý thuyết về phương trình trong không gian có thứ tự thì lớp phương trình với ánh xạ lồi hoặc lõm đóng vai trò quan trọng. Đối với lớp phương trình với ánh xạ lồi hoặc lõm ta có thể chứng minh sự duy nhất của nghiệm, xây dựng hai dãy lặp Picard là dãy tăng hoặc giảm hội tụ về nghiệm; chứng minh được tập giá trị riêng là khoảng,… Vì sự quan trọng của nó nên lớp phương trình với ánh xạ lồi được nhiều nhà Toán học quan tâm nghiên cứu. Một số lớp ánh xạ lõm hoặc lồi mới được đưa vào nghiên cứu và thu được các định lý mới về điểm bất động, về xây dựng dãy lặp xấp xỉ nghiệm,… Việc hệ thống lại các lớp ánh xạ lồi, lõm đã được nghiên cứu, các tính chất của chúng, so sánh mối liên hệ giữa chúng,… là việc làm cần thiết và có ý nghĩa. Luận văn chỉ trình bày các kết quả lý thuyết. Sau khi thu thập tài liệu từ nhiều nguồn, chúng tôi sẽ phân loại, tổng hợp các tài liệu để trình bày các kết quả theo một hệ thống hoàn chỉnh, chi tiết. 2. Nội dung luận văn Nội dung luận văn gồm có ba chương: Chương 1. Nhắc lại các khái niệm, các kết quả được sử dụng. Trong đó gồm có các khái niệm về không gian Banach với thứ tự sinh bởi nón; Nguyên lí Entropy; Định lí điểm bất động của ánh xạ tăng.Các kết quả này được trích dẫn từ các tài liệu tham khảo. Chương 2. Trình bày một số kết quả của một số lớp ánh xạ lồi, lõm. Tính chất của véctơ riêng, giá trị riêng. Ánh xạ lõm tổ hợp. Chương 3. Khảo sát sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ lõm đa trị .
3. Phương pháp nghiên cứu 1. Sử dụng các tính chất của thứ tự sinh bởi nón, nguyên lí Entropy, định lí điểm bất động của ánh xạ tăng. 2. Phương pháp lặp liên tiếp.
Chương 1: CÁC KẾT QUẢ CHUẨN BỊ 1.1 Không gian banach có thứ tự Định nghĩa 1.1.1 Tập K trong không gian Banach thực X gọi là nón nếu i) K là tập đóng, khác rỗng và K ≠ θ ii) K + K ⊂ K, λK ⊂ K ∀λ ≥ 0. iii) K  ( − K ) = {θ } Định nghĩa 1.1.2 Trong không gian Banach thực X với nón K , ta xét quan hệ " ≤ " sau: ∀x, y ∈ X , x ≤ y ⇔ y − x ∈ K Khi đó quan hệ " ≤ " có các tính chất: 1) Phản xạ: x − x = θ ∈ K ⇒ x ≤ X , ∀x ∈ X . 2) Phản xứng: ∀x, y ∈ X , nếu x ≤ y và y ≤ x thì y − x ∈ K và x − y ∈ K θ nên x = y Do iii) ta có: y − x = 3) Bắc cầu: ∀x, y, z ∈ X nếu x ≤ y và y ≤ z thì y − x ∈ K và z − y ∈ K Do ii) ta có: z − x = ( y − x ) + ( z − y ) ∈ K . Do đó x≤ z. Vậy " ≤ " là một quan hệ thứ tự trên X . Mỗi x ∈ K \ {θ } gọi là dương. Mệnh đề 1.1.1 Cho X là không gian Banach thực sinh bởi nón K . Khi đó: x + z ≤ y + z 1) ∀x, y, z ∈ X , ∀λ ≥ 0; x ≤ y ⇒  λ x ≤ λ y 2) Nếu ( xn ≤ yn (n ∈ * ), lim = xn x, lim yn ≤ y ) thì x ≤ y . 3) Nếu { xn } là dãy tăng, hội tụ về x thì xn ≤ x ∀n ∈ * Chứng minh 1) Ta có x ≤ y ⇒ y − x ∈ K ⇒ λ y − λ x= λ ( x − y ) ∈ K ⇒ λ x ≤ λ y. Tương tự: x ≤ y ⇒ y − x ∈ K ⇒ y − x = ( y + z ) − ( x + z ) ∈ K ⇒ x + z ≤ y + z.
2) Do xn ≤ yn ⇒ yn − xn ∈ K Do lim ( yn − xn ) =y − x và K đóng nên y − x ∈ K . Vì thế x ≤ y . n→∞ 3) Giả sử dãy { xn } là tăng. Với mỗi n ta có: xn ≤ xn+ m . Cho m → +∞ , ta có: xn ≤ x, ∀n . Định nghĩa 1.1.3 i) Nón K trong X được gọi là nón miniheral mạnh nếu mọi tập M bị chặn trên trong X đều tồn tại sup M . ii) Nón K trong không gian Banach X được gọi là nón chuẩn nếu ∃N > 0 sao cho ∀x, y ∈ X , x ≤ y thì x ≤ N y ( số N được gọi là hằng số chuẩn cuả K ) iii) Nón K trong X được gọi là nón chính qui nếu mọi dãy tăng bị chặn trên trong X đều hội tụ. iv) Nón K trong X được gọi là nón sinh nếu ∀x ∈ X , ∃u , v ∈ K : x = u − v Mệnh đề 1.1.2 Cho K là nón chuẩn trong X . Khi đó: 1) ∀u , v ∈ X ; u ≤ v thì u , v = { x ∈ X : u ≤ x ≤ v} là tập đóng và bị chặn. 2) Nếu xn ≤ yn ≤ zn , (n = = 1,2,...) và lim = xn lim zn x thì lim yn = x n→∞ n→∞ n→∞ 3) ( ) hội tụ về Nếu dãy đơn điệu ( xn )n có dãy con xnk k x thì ( xn )n hội tụ về x Chứng minh 1) u , v là tập đóng. Giả sử xn ∈ u , v , ∀n và lim xn = x . n→∞ Ta có: u ≤ xn ≤ v, ∀n ⇒ u ≤ x ≤ v ⇒ x ∈ u , v . u , v bị chặn: ∀x ∈ u , v thì u ≤ x ≤ v ⇒ x − u ∈ K , v − u ∈ K và x − u ≤ v − u Do K là nón chuẩn nên x − u ≤ N v − u ⇒ x − u ≤ N v − u Vì vậy x ≤ N v − u + u = M
2) Giả sử xn ≤ yn ≤ zn , ∀n ⇒ θ ≤ yn − xn ≤ zn − vn Do K là nón chuẩn nên yn − xn ≤ N zn − xn (*) = Mà lim = xn lim zn x nên zn − xn → θ n→∞ n→∞ từ (*) cho n → ∞ thì yn − xn → θ Do đó y= n ( yn − xn ) + xn → x (n → ∞) . 3) ( ) hội tụ về Giả sử ( xn )n là dãy tăng có dãy con xnk k x ε Ta có: xnk → x ⇒ ∀ε > 0, ∃ko : x − xnk < . 0 N Ta lại có: xnk ≤ x, ∀k và xn ≤ xnk nên xn ≤ x, ∀n Khi đó: ∀n ≥ nk0 thì xnk ≤ xn ≤ x ⇒ θ ≤ x − xn ≤ x − xnk 0 0 Do đó: x − xn ≤ N x − xnk < ε 0 Vậy lim xn = x . n→∞ Định lí 1.1.1 tương đương * Trong không gian Banach X với nón chuẩn K tồn tại chuẩn . với chuẩn ban đầu . sao cho ∀x, y ∈ X , θ ≤ x ≤ y ⇒ x ≤ y * * Chứng minh [ B(0,1) + K ]  [ B(0,1) − K ] Đặt A = Ta chứng minh: B(0,1) ⊂ A ⊂ B(0, r ) , với r > 0 đủ lớn. + Do θ ∈ K  ( − K ) nên B(0,1) ⊂ A + Chứng minh A ⊂ B(0; r ), r > 0. Thật vậy, nếu trái lại ta có thể xây dựng dãy ( xn )n ⊂ A với xn ≥ n và yn , zn ∈ B(0,1); un , vn ∈ K sao cho xn = yn + un = zn − vn Vì un + vn = zn − vn nên un + vn ≤ 2 mà K là nón chuẩn nên un ≤ N un + vn ≤ 2 N . Do đó n ≤ xn ≤ yn + un ≤ 1 + 2 N , ∀n ( điều này vô lí )
* Xét phiếm hàm Minkovski của tập A :  x  x = inf λ > 0 : ∈ A x ∈ A *  λ  x x * ∀x ∈ X , x ≠ 0 , gọi λ0 = x thì ∈ B(0,1) và ∈ A. * 2 x λ0 x x Theo trên ta có: ∈ A và ∈ B(0, r ) 2 x λ0 x Do đó: x < 2 x và 0 :   λ  λ y Thật vậy, xét λ sao cho ∈A λ x x Do x ≥ 0 nên ∈K ⇒ 0+ ∈ B(0,1) + K λ λ x y y x Do x ≤ y nên ≤ ⇒ − ∈K λ λ λ λ y y Mà ∈ A nên theo định nghĩa A ta có = u − v với u ∈ B (0,1) − K λ λ x Do đó ∈A λ Vì vậy x ≤ y . * * Định lí 1.1.2 i) K là nón chính qui khi và chỉ khi mọi dãy đơn điệu giảm bị chặn dưới đều hội tụ. ii) K là nón chính qui thì K là nón chuẩn.
Chứng minh i) (⇒) Giả sử K là nón chính qui. Xét dãy x1 ≥ x2 ≥ ... ≥ xn ≥ ... ≥ x Ta có dãy ( x1 − xn ) n đơn điệu tăng và bị chặn trên bởi x1 − x nên hội tụ. Vậy dãy ( xn ) n hội tụ. (⇐) Xét dãy x1 ≤ x2 ≤ ... ≤ xn ≤ ... ≤ x Ta thấy dãy ( x1 − xn ) n đơn điệu giảm và bị chặn dưới nên hội tụ. Vậy dãy ( xn ) n hội tụ.. ii) Ta chứng minh bằng phản chứng. Giả sử K không là nón chuẩn. Khi đó: ∀N , ∃xN ∈ K , ∃y N ∈ K , θ ≤ xN ≤ y N mà xN > N y N = Cho N n= 2 (n 1,2...) ta được các dãy ( xn ) n ⊂ K , ( yn ) n ⊂ K thoả θ ≤ xn ≤ yn , xn > n 2 yn xn yn Rõ ràng xn ≠ θ . Xét các= dãy xn, = , yn, xn yn ∞ 1 Ta có: θ ≤ xn, ≤ yn, , x= , n 1, yn, < n2 nên chuỗi ∑y n =1 , n hội tụ. ∞ Đặt y = ∑ yn, thì y1, + y2, + ... + yn, ≤ y (∀n) n =1 Ta thấy dãy zn = x1, + x2, + ... + xn, tăng và bị chặn trên bởi y . Mà K là nón chính qui nên ( zn ) n hội tụ. Dẫn đến xn, =zn − zn−1 → θ Điều này mâu thuẫn với điều kiện xn, = 1 . Vậy K là nón chuẩn. Mệnh đề 1.1.3 Nếu nón K trong X có điểm trong uo thì i) ∃α > 0 sao cho ∀x ∈ X thì −α x u0 ≤ x ≤ α x u0 ii) K là nón sinh. Chứng minh
i) u0 ∈ int K ⇒ ∃r > 0 : B(u0 , r ) ⊂ K . rx rx * với x ≠ θ , ta có u0 ± ∈ B(u0 , r ) nên u0 ± ≥θ 2 x 2 x 2 2 Do đó − x u0 ≤ x ≤ x u0 r r * Khi x = θ thì bất đẳng thức trên vẫn đúng. ii) theo i) ∃α > 0 sao cho ∀x ∈ X thì −α x u0 ≤ x ≤ α x u0 α x u0 + x α x u0 − x Đặt u = và v = thì u ≥ θ , v ≥ θ , x = u−v 2 2 Do đó u , v ∈ K và x= u − v . Vậy K là nón sinh. Định lí 1.1.3 Nếu K là nón sinh thì tồn tại hằng số sao cho ∀x ∈ X , ∃u , v ∈ K : x= u − v, u ≤ M x , v ≤ M x 1.2 Nguyên lí Entropy và Định lí điểm bất động của ánh xạ tăng. 1.2.1 Nguyên lí Entropy Giả sử: i) X là tập sắp thứ tự sao cho mỗi dãy đơn điệu tăng trong X có cận trên. ii) S : X → [ −∞; +∞ ) là một hàm đơn điệu tăng ( u ≤ v ⇒ S ( u ) ≤ S ( v ) ) và bị chặn trên. Khi đó tồn tại phần tử uo ∈ X có tính chất: ∀u ∈ X , u ≥ uo ⇒ S ( u ) =S ( uo ) Chứng minh Lấy tùy ý u1 ∈ X rồi xây dựng các phần tử u1 ≤ u2 ≤ ... như sau. {u ∈ X : u ≥ un } , β n = Giả sử đã có un , ta đặt M n = sup S ( u ) . u∈M n * Nếu β n = S ( un ) thì un cần tìm. Nếu β n ≥ S ( un ) ta tìm được un+1 thỏa:
un+1 ∈ M n    S ( un+1 ) > β n − 2 ( β n − S ( un ) ) . 1 * Nếu quá trình trên vô hạn thì ta có dãy tăng {un } thỏa: 2 S ( un+1 ) − S ( un ) > β n ∀n ∈ N *. Gọi uo là một cận trên của {un } , với u ≥ uo , ta có: u ∈ M n ∀n ∈ N * ( do u ≥ un ) ⇒ S ( u ) ≤ β n ≤ 2 S ( un+1 ) − S ( un ) ⇒ S ( u ) ≤ lim S ( un ) S ( uo ) ⇒ S ( u ) ≤ S ( uo ) hay S ( u ) = 1.2.2 Định lí điểm bất động của ánh xạ tăng. Định lí Giả sử X là không gian Banach được sắp bởi nón K , M ⊂ X là tập đóng và F : M → X là ánh xạ tăng thỏa mãn: i) F ( M ) ⊂ M , ∃x0 ∈ M : x0 ≤ F ( x0 ) ii) F biến mỗi dãy tăng thuộc M thành dãy hội tụ. Khi đó F có điểm bất động trong M . Chứng minh. Đặt M 0 = { x ∈ M : x ≤ F ( x)} , g ( x) = sup { F ( y ) − F ( z ) : f , z ∈ M 0 , y ≥ z ≥ x} * Ta áp dụng nguyên lí Entropy cho tập M 0 và hàm (− g ) i) ∀{ xn } ⊂ M 0 , { xn } = tăng ⇒∃x : lim F ( xn ), x ∈ M .  xn ≤ x ⇒ ( do x ≤ F ( x ) ≤ x ) n n  x ∈ M 0 ( do F ( x ) ≤ F ( x) vaø cho n → ∞ ) n ii) Với x1 , x2 ∈ M 0 , giả sử x1 ≤ x2 ta có { z, y ∈ M 0 , y ≥ z ≥ x2 } ⊂ { z , y ∈ M 0 , y ≥ z ≥ x1} Do đó g ( x2 ) ≤ g ( x1 ) .
Vì thế theo nguyên lí Entropy ta có: ∃a ∈ M 0 :∀u ∈ M 0 , u ≥ a ⇒ g (u ) =g (a ) . * Ta chứng minh g (a ) = 0. Nếu trái lại g (a ) > c > 0 ta có ∃y1 , y2 ∈ M 0 : y2 ≥ y1 ≥ a, F ( y2 ) − F ( y1 ) > c Do g (= y2 ) g (a ) > c nên ∃y3 , y4 ∈ M 0 : y4 ≥ y3 ≥ y2 , F ( y4 ) − F ( y3 ) > c,... Tiếp tục như trên ta có dãy tăng { yn } ⊂ M , F ( y2 n ) − F ( y2 n−1 ) > c , ta gặp mâu thuẫn với giả thuyết ii) của định lí. y ) F (a ), ∀y ≥ a, y ∈ M 0 . Vì a ∈ M 0 nên a ≤ F (a ) . * Do g (a ) = 0 nên F (= F ( F (a ) ) F= Vì thế= (a ) hay b : F (a ) là điểm bất động. Vậy định lí được chứng minh. Từ định lí trên ta có hai hệ quả sau Hệ quả 1. Giả sử F : u , v → X là ánh xạ tăng thỏa mãn: i) u ≤ F (u ), F (v) ≤ v ( ii) F u , v ) là tập compact tương đối, K là nón chuẩn. Khi đó F có điểm bất động trong u , v . Chứng minh Ta áp dụng định lí cho tập M = u , v . ( ) Từ giả thuyết i) ta có: F u , v ⊂ u , v . Với { xn } ⊂ u , v là dãy tăng ta có: {F ( x )} có dãy con hội tụ n ( ( vì F u , v ) là tập compact tương đối ) ⇒ { F ( xn )} hội tụ ( do { F ( xn )} tăng và K là nón chuẩn ) Theo định lí trên thì F có điểm bất động trong u , v .
Hệ quả 2. Giả sử F : u , v → X là ánh xạ tăng thỏa mãn: i) u ≤ F (u ), F (v) ≤ v ii) K là nón chính qui Khi đó F có điểm bất động trong u , v . Chứng minh Ta áp dụng định lí cho tập M = u , v . ( ) Từ giả thuyết i) ta có: F u , v ⊂ u , v . Với { xn } ⊂ u , v là dãy tăng ta có { F ( xn )} là dãy tăng và bị chặn trên. Do K là nón chính qui nên { F ( xn )} hội tụ. Theo định lí trên thì F có điểm bất động trong u , v .
Chương 2: MỘT SỐ LỚP ÁNH XẠ LỒI, LÕM. Trong chương này ta xét X là không gian Banach với thứ tự sinh bởi nón K 2.1 Ánh xạ u0 − lõm hoặc u0 − lồi. Định nghĩa 2.1.1 Ánh xạ A : K → K và u0 > θ . Giả sử: i) Với mỗi x > θ , ∃α ( x) > 0, β ( x) > 0 sao cho α u0 ≤ Ax ≤ β u0 (2.1.1) ii) Với mỗi x ∈ K thoả α1u0 ≤ x ≤ β1u0 (α1 ( x) > 0, β1 ( x) > 0) và số η η ( x, t ) > 0 sao cho mỗi 0 < t < 1 , tồn tại= A(tx) ≥ (1 + η )tAx (2.1.2) Khi đó: Ánh xạ A được gọi là u0 lõm. Nếu ta thay điều kiện ii) bởi ii’) như sau: ii’) Với mỗi x ∈ K thoả α1u0 ≤ x ≤ β1u0 (α1 ( x) > 0, β1 ( x) > 0) và số η η ( x, t ) > 0 sao cho A(tx) ≤ (1 − η )tAx mỗi 0 < t < 1 , tồn tại= (2.1.3) Khi đó ánh xạ A gọi là u0 − lồi. 2.1.1 Tính chất Định lí 2.1.1 Ánh xạ A : K → K là tăng và u0 − lõm. Giả sử A có điểm bất động dương x* > θ và K là nón chuẩn. Khi đó tồn tại cặp số R > r > 0 sao cho: Ax ≤ x, ∀x ∈ K , 0 < x < r (2.1.4) Ax ≥ x, ∀x ∈ K , x > R (2.1.5) Chứng minh Trước tiên, ta chứng minh: x > θ , Ax ≤ x ⇒ x ≥ x* (2.1.6) Thật vậy, do A là u0 − lõm nên ta có α * α α * x ≥ Ax ≥ α= u0 β u0 ≥ * Ax = * x (với α , β * > 0) β * β β * Đặt t0 = sup {t > 0 : x ≥ tx*} , ta có: 0 < t0 < ∞
Ta chứng minh t0 ≥ 1. Nếu 0 < t0 < 1 thì do A là u0 − lõm và tăng nên có số η0 > 0 sao cho x ≥ Ax ≥ A(t0 x* ) ≥ (1 + η0 )t0 Ax* = (1 + η0 )t0 x* Điều này mâu thuẫn với cách đạt t0 . Do đó t0 ≥ 1 Vậy x > θ , Ax ≤ x ⇒ x ≥ x* . Tương tự, ta có: x > θ , Ax ≥ x ⇒ x* ≥ x (2.1.7) * Đặt = r inf z + x* . Do x* > θ nên ta có r > 0 . z∈K Với cách đặt như trên thì số r thoả mãn (2.1.4) Thật vậy, nếu ∃x ∈ K , 0 < x < r mà Ax ≤ x thì do (2.1.6) ta có: x= z + x* ( với z =x − x* ≥ θ ) ⇒ x ≥ r ( vô lí ) Vậy Ax ≤ x, ∀x ∈ K , 0 < x < r . * Do K là nón chuẩn nên θ , x*  bị chặn. Ta đặt R = sup z .  * z∈ θ , x   Với cách đặt như trên thì số R thoả (2.1.5) Thật vậy, nếu ∃x ∈ K , x > R mà Ax ≥ x thì do (2.1.7) ta có: x ≤ x* ⇒ x ∈ θ , x*  ⇒ x ≤ R ( ta gặp mâu thuẫn) Vậy định lí được chứng minh. 2.1.2 Sự duy nhất của điểm bất động. Định lí 2.1.2 Nếu ánh xạ A : K → K là tăng và u0 − lõm thì A có nhiều nhất một điểm bất động dương. Chứng minh Giả sử x1 > θ , x2 > θ là hai điểm bất động dương của A . Do ánh xạ A là u0 − lõm nên ta có:
α1 α α x1 =Ax1 ≥ α1u0 = .β 2u0 ≥ 1 Ax2 = 1 x2 ( với α1 , β 2 > 0 ) β2 β2 β2 Đặt t0 = sup {t > 0 : x1 ≥ tx2 } . Ta có 0 < t0 < ∞ Ta cần chứng minh t0 ≥ 1 . Nếu trái lại 0 < t0 < 1 thì do A là u0 − lõm và tăng nên có số η0 > 0 sao cho x1 = Ax1 ≥ A(t0 x2 ) ≥ (1 + η0 )t0 Ax2 = (1 + η0 )t0 x2 ⇒ x1 ≥ (1 + η0 )t0 x2 ( mâu thuẫn với định nghĩa của t0 ) Do đó: x1 ≥ x2 (*) Tương tự như trên, ta có: α2 α α x2 =Ax2 ≥ α 2u0 = .β1u0 ≥ 2 Ax1 = 2 x1 ( với α 2 , β1 > 0 ) β1 β1 β1 Đặt t1 = sup {t > 0 : x2 ≥ tx1} . Ta có 0 < t1 < ∞ Ta cần chứng minh t1 ≥ 1 . Giả sử 0 < t1 < 1 Do A là u0 − lõm nên tồn tại số η1 > 0 sao cho: x2 = Ax2 ≥ A(t1x1 ) ≥ (1 + η1 )t1 Ax1 = (1 + η1 )t1 x1 ⇒ x2 ≥ (1 + η1 )t1 x1 ( mâu thuẫn với định nghĩa của t1 ) Do đó: x2 ≥ x1 (**) Từ (*) và (**) ta có: x1 = x2 . Vậy định lí được chứng minh. 2.1.3 Xây dựng dãy lập đơn điệu hội tụ về điểm bất động. Với K là nón trong không gian Banach thực X và u0 > θ . Đặt X u0 = {x ∈ X :∃ λ > 0 để −λu0 ≤ x ≤ λu0 } và x= u inf {λ > 0 : − λu0 ≤ x ≤ λu0 } , ∀x ∈ X u0 0 Ta có X u0 là không gian định chuẩn với chuẩn . u . 0 Ta gọi x u0 là u0 − chuẩn của phần tử x ∈ X u0 .
Định lí 1.5.1 [2] Với K là nón chuẩn thì X u0 là không gian Banach với u0 − chuẩn và tồn tại số M > 0 sao cho x ≤ M x u0 với mỗi x ∈ X u0 . Định lí 2.1.3 Với ánh xạ A : K → K là u0 − lõm và tăng. Giả sử A có điểm bất động dương x* > θ . Với x0 > θ ban đầu, ta xây dựng= dãy xn Ax = n −1 ( n 1,2,...) . Khi đó: xn − x* →0 ( n → ∞) (2.1.8) u0 Chứng minh Giả sử x* > θ là điểm bất động dương của ánh xạ A . *Bước 1: Với mỗi 0 < t1 < 1 Đặt = v0 t1= x* , vn+1 Av= n ( n 0,1,2....) Ta có: t1 x* = v0 ≤ v1 ≤ ... ≤ vn ≤ ... ≤ x* (2.1.9) { } Đặt ρ n =sup t > 0 : tx* ≤ vn thì ta có: 0 < t1 = ρ0 ≤ ρ1 ≤ ρ 2 ≤ ... ≤ ρ n ≤ ... ≤ 1 (2.1.10) và ρ n x* ≤ vn ( n = 0,1,2...) (2.1.11) Ta chứng minh lim ρ n = 1 (2.1.12) n→∞ Nếu trái lại lim ρ n = γ < 1 ( γ ≥ t1 > 0) thì tồn tại số η > 0 sao cho: n→∞ A(γ x* ) ≥ (1 + η )γ Ax* = (1 + η )γ x* t t Vì vậy khi 0 < t ≤ γ < 1 thì A =(tx* ) A( .γ x* ) ≥ A(γ x* ) ≥ (1 + η )tx* γ γ hay A(tx* ) ≥ (1 + η )tx* . Đặc biệt A( ρ n x* ) ≥ (1 + η ) ρ n x* (n = 0,1,2...) (2.1.13) Từ (2.1.11) và (2.1.13) suy ra: vn+1= Avn ≥ A( ρ n x* ) ≥ (1 + η ) ρ n x* Do đó theo định nghĩa ρ n thì: ρ n+1 ≥ (1 + η ) ρ n (n = 0,1,2...) Bằng qui nạp ta có: ρ n ≥ (1 + η ) n .ρ0 (n = 0,1,2...) .
Mà điều này mâu thuẫn với (2.1.10). Vậy lim ρ n = 1 . n→∞ * Bước 2. Với t2 > 1 Đặt ω0 t2= = x* , ωn+1 A= ωn ( n 0,1,2...) Ta có: t2 x* = ω0 ≥ ω1 ≥ ... ≥ ωn ≥ ... ≥ x* (2.1.14) { Đặt ζ n =inf t > 0 : tx* ≥ ωn } ( n =0,1,2...) thì ta có: t2 ≥ ζ 0 ≥ ζ 1 ≥ ζ 2 ≥ ... ≥ ζ n ≥ ... ≥ 1 (2.1.15) và ζ n x* ≥ ωn ( n = 0,1,2...) (2.1.16) Ta chứng minh lim ζ n = 1 (2.1.17) n→∞ Nếu trái lại lim ζ= n γ 0 > 1 , thì khi đó tồn tại số η0 > 0 sao cho: n→∞ 1  1 x* =Ax* =A  γ 0 x*  ≥ (1 + η0 ) A γ 0 x* ( )  γ0  γ0 γ0 * ( Suy ra: A γ 0 x* ≤ ) 1 + η0 x γ0 γ0 A(γ 0 x* ) A( Vì thế khi t ≥ γ o ta có = .tx* ) ≥ A(tx* ) t t γ0 * hay A(tx* ) ≤ t γ0 ( A γ 0 x* ≤ ) t . γ 0 1 + η0 x = t 1 + η0 x* . ζn Đặt biệt A(ζ n x* ) ≤ x* (n = 0,1,2,...) (2.1.18) (1 + η0 ) ζn Từ (2.1.16) và (2.1.18) suy ra: ωn+1 = Aωn ≤ A(ζ n x* ) ≤ x* (1 + η0 ) ζn Vì thế ta có: ζ n+1 ≤ (n = 0,1,2,...) (1 + η0 ) ζ0 Qui nạp ta được: ζ n ≤ (n = 0,1,2,...) (1 + η0 ) n Điều này mâu thuẫn với (2.1.15).