Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số phương pháp giải số phương trình và hệ phương trình vi phân cấp cao

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:55

Thêm vào BST

Báo xấu

36
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nội dung của luận văn là tìm hiểu một số phương pháp giải số phương trình vi phân cấp cao và hệ phương trình vi phân với hệ điều kiện đầu, phương pháp lặp đối với một số dạng bài toán cho phương trình cấp 4 với hệ điều kiện biên dạng phi tuyến, nghiên cứu tính chất hội tụ của các sơ đồ lặp và kiểm tra tính đúng đắn của các sơ đồ lặp trên máy tính điện tử. Mời các bạn tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số phương pháp giải số phương trình và hệ phương trình vi phân cấp cao

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Ngô Thị Thu Hương MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI SỐ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2017
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Ngô Thị Thu Hương MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI SỐ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60.46.01.12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. Vũ Vinh Quang Thái Nguyên - 2017
i Mục lục Bảng ký hiệu 1 Danh sách bảng 2 Danh sách hình vẽ 3 Mở đầu 4 1 Một số kiến thức cơ bản 6 1.1 Một số khái niệm cơ bản của Giải tích hàm . . . . . . . . . . . 6 1.1.1 Không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.2 Ánh xạ co . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.3 Nguyên lí ánh xạ co . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2 Phương pháp sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.1 Lưới sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.2 Hàm lưới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.3 Công thức Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.4 Một số công thức xấp xỉ đạo hàm . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Thuật toán truy đuổi 3 đường chéo . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4 Phương pháp lưới giải bài toán biên cho phương trình cấp 2 . . 12 2 Phương pháp số giải phương trình vi phân phi tuyến cấp cao và hệ phương trình vi phân với hệ điều kiện đầu 16 2.1 Cơ sở lý thuyết về phương pháp Runge-Kutta . . . . . . . . . . 16 2.1.1 Phương pháp Euler 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.1.2 Phương pháp Euler 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.1.3 Thuật toán RK4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2 Phương pháp Runge-Kutta đối với hệ phương trình vi phân phi tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.3 Phương pháp Runge-Kutta đối với phương trình vi phân cấp cao 21 2.4 Giới thiệu thư viện QH_2015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
ii 3 Phương pháp lặp giải mô hình các bài toán biên phi tuyến cấp 4 26 3.1 Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.2 Nghiên cứu các tính chất của nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.3 Phương pháp xây dựng sơ đồ lặp . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.3.1 Cơ sở lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.3.2 Sơ đồ lặp tìm nghiệm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.3.3 Một số kết quả thực nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Kết luận 44 Tài liệu tham khảo chính 45
iii Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy tôi TS. Vũ Vinh Quang, người đã trực tiếp hướng dẫn luận văn, đã tận tình chỉ bảo và hướng dẫn tôi tìm ra hướng nghiên cứu, tìm kiếm tài liệu, giải quyết vấn đề... nhờ đó tôi mới có thể hoàn thành luận văn cao học của mình. Từ tận đáy lòng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất tới Thầy của tôi và tôi sẽ cố gắng hơn nữa để xứng đáng với công lao của Thầy. Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, phòng Đào tạo trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đã quan tâm và giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học tập tại trường. Tôi xin cảm ơn quý thầy cô Khoa Toán - Tin và đặc biệt là PGS.TS. Nguyễn Thị Thu Thủy, trưởng Khoa Toán - Tin, đã luôn quan tâm, động viên, trao đổi và đóng góp những ý kiến quý báu trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Cuối cùng, tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới những người thân trong gia đình, đặc biệt là bố mẹ. Những người luôn động viên, chia sẻ mọi khó khăn cùng tôi trong suốt thời gian qua và đặc biệt là trong thời gian tôi theo học khóa thạc sỹ tại trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên. Thái Nguyên, tháng 10 năm 2017 Tác giả luận văn Ngô Thị Thu Hương
1 Bảng ký hiệu R Trường số thực. R+ tập số thực không âm R ∪ {±∞} tập số thực mở rộng Rn Không gian Euclide n-chiều. Ωh Không gian lưới. C 1 [0; L] Không gian của hàm có đạo hàm liên tục. A∪B hợp của hai tập A và B A∩B giao của hai tập A và B hx, yi tích vô hướng của hai véc-tơ x, y ∈ H [x, y] đoạn thẳng nối x và y l2 không gian các dãy số vô hạn f (n) đạo hàm cấp n ∆a sai số tuyệt đối của a
2 Danh sách bảng 2.1 Kết quả kiểm tra sai số đối với lược đồ QH_m . . . . . . . . . . 24 2.2 Kết quả kiểm tra sai số đối với lược đồ QH_m . . . . . . . . . . 25 3.1 Trường hợp biết trước nghiệm đúng (Tofuma_moi.m) . . . . . . 37 3.2 Trường hợp biết trước nghiệm đúng (Tofuma_moi.m) . . . . . . 38 3.3 Trường hợp không biết trước nghiệm đúng (Tofuma_moi_xx.m) 39 3.4 Trường hợp biết trước nghiệm đúng (Tofuma_tq.m) . . . . . . . 40 3.5 Trường hợp không biết trước nghiệm đúng (Tofuma_tp_xx.m) 42
3 Danh sách hình vẽ 3.1 Đồ thị sai số giữa nghiệm đúng và nghiệm gần đúng . . . . . . . 37 3.2 Đồ thị sai số giữa nghiệm đúng và nghiệm gần đúng . . . . . . . 38 3.3 Đồ thị sai số giữa nghiệm đúng và nghiệm gần đúng . . . . . . . 39 3.4 Đồ thị sai số giữa nghiệm đúng và nghiệm gần đúng . . . . . . . 41 3.5 Đồ thị sai số giữa nghiệm đúng và nghiệm gần đúng . . . . . . . 43
4 Mở đầu Phương trình vi phân dạng tuyến tính và phi tuyến tính là một lớp phương trình cơ bản trong lý thuyết phương trình vi phân có ứng dụng quan trọng đối với các bài toán thực tế đặc biệt là lý thuyết điều khiển ổn định. Về mặt lý thuyết tổng quát của lớp phương trình này đã được các nhà toán học nghiên cứu từ rất lâu, tuy nhiên vấn đề tìm nghiệm giải tích của các phương trình này chỉ thực hiện được đối với các phương trình dạng đặc biệt còn chủ yếu là phải xác định nghiệm xấp xỉ qua các phương pháp gần đúng. Đối với phương trình vi phân cấp 2, với các bài toán điều kiện đầu, người ta đã xây dựng các phương pháp giải số dựa trên công thức Runge-Kutta với độ chính xác bậc 4, đối với bài toán biên với hệ điều kiện biên hỗn hợp, sử dụng phương pháp sai phân, chúng ta có thể đưa về hệ phương trình đại số dạng 3 đường chéo và hệ giải được bằng thuật toán truy đuổi. Đối với phương trình vi phân tuyến tính bậc 4, bằng phương pháp phân rã, chúng ta có thể đưa về 2 bài toán cấp hai để xác định nghiệm thông qua các thuật toán đã biết. Tuy nhiên khi phương trình là dạng phi tuyến hoặc điều kiện biên là phi tuyến thì để tìm nghiệm xấp xỉ, chúng ta cần phải xây dựng các sơ đồ lặp tùy từng dạng bài toán để xác định nghiệm xấp xỉ của bài toán. Nội dung của luận văn là tìm hiểu một số phương pháp giải số phương trình vi phân cấp cao và hệ phương trình vi phân với hệ điều kiện đầu, phương pháp lặp đối với một số dạng bài toán cho phương trình cấp 4 với hệ điều kiện biên dạng phi tuyến, nghiên cứu tính chất hội tụ của các sơ đồ lặp và kiểm tra tính đúng đắn của các sơ đồ lặp trên máy tính điện tử. Nội dung luận văn chia làm 3 chương Chương 1: Một số kiến thức cơ bản.
5 Chương 2: Phương pháp số giải phương trình vi phân phi tuyến cấp cao và hệ phương trình vi phân với hệ điều kiện đầu. Chương 3: Phương pháp lặp giải mô hình các bài toán biên phi tuyến cấp 4.
6 Chương 1 Một số kiến thức cơ bản Trong chương này chúng tôi trình bày một số kết quả lý thuyết về các sơ đồ lặp, phương pháp sai phân đối với phương trình vi phân cấp 2 và thuật toán truy đuổi 3 đường chéo. Những kết quả này là những kiến thức bổ trợ cho việc trình bày các kết quả chính trong chương 2 và chương 3. Các kết quả lý thuyết được tham khảo trong các tài liệu [1, 2, 3]. 1.1 Một số khái niệm cơ bản của Giải tích hàm 1.1.1 Không gian metric Định nghĩa 1.1.1 Tập X của các phần tử x, y, z . . . được gọi là không gian metric nếu như với mọi phần x, y bất kì đều tương ứng với với 1 số không âm d(x,y) thỏa mãn các điều kiện sau: + d(x,y)>0, d(x,y)=0 khi và chỉ khi x=y + d(x,y)=d(y,x) + d(x,y) ≤d(x,z)+d(z,y). Số d(x, y) được gọi là khoảng cách giữa 2 phần tử x và y hay thường gọi là metric. Định nghĩa 1.1.2 Dãy {xn }được gọi là 1 dãy cơ bản nếu ∀ε > 0, đều tồn tại số N > 0 sao cho với mọi m,n>N ta đều có d(xn , xm ) ≤ ε. Nếu bất kì một dãy cơ bản nào trong không gian X đều hội tụ đến phần tử thuộc X thì X được gọi là không gian đủ. 1.1.2 Ánh xạ co Định nghĩa 1.1.3 Một ánh xạ A từ không gian metric (X,d) vào chính nó được gọi là ánh xạ co nếu tồn tại hằng số q ∈ (0, 1) sao cho với mọi x, y ∈ X,
7 d(A(x), A(y)) < qd(x, y). Khi đó hằng số q được gọi là hệ số co của ánh xạ A. 1.1.3 Nguyên lí ánh xạ co Cho A là ánh xạ co trong không gian metric đủ (X, d). Khi đó: • Tồn tại duy nhất x∗ ∈ X sao cho A(x∗ ) = x∗ . Phần tử x∗ ∈ X gọi là điểm bất động của ánh xạ A. • Mọi dãy lặp xn+1 = A(xn ), (n ≥ 0) xuất phát từ x0 bất kì đều hội tụ. Ngoài ra ta có ước lượng sau d(xn , x∗ ) ≤ q n (1 − q)−1 d(x0 , x1 ) (n ≥ 1), d(xn , x∗ ) ≤ q(1 − q)−1 d(xn−1 , xn ) (n ≥ 1). 1.2 Phương pháp sai phân 1.2.1 Lưới sai phân Ta chia đoạn [a, b] thành N đoạn con bằng nhau, mỗi đoạn con dài b−a h= bởi các điểm xi = a + ih, i = 0, 1, ..., N . Khi đó tập các điểm xi gọi N là một lưới sai phân trên [a, b] ký hiệu là Ωh , mỗi điểm xi gọi là một nút của lưới, h gọi là bước đi của lưới. 1.2.2 Hàm lưới Xét hàm số u(x) xác định trên đoạn [a,b], khi đó tập giá trị của hàm trên các điểm lưới được gọi là hàm lưới ui = u (xi ). 1.2.3 Công thức Taylor Giả sử u(x) là một hàm số xác định và có đạo hàm đến cấp m + 1 trong một khoảng (α, β) chứa x và x + ∆x, ∆x có thể âm hay dương. Khi đó ta có công thức khai triển: (∆x)2 00 0 u(x + ∆x) = u(x) + ∆xu (x) + u (x) + ... 2! (∆x)m (m) (∆x)m+1 (m+1) ... + u (x) + u (c). m! (m + 1)! trong đó c là một điểm ở trong khoảng từ x đến x+∆x. Có thể viết c = x+θ∆x với 0 < θ < 1. Ta giả thiết thêm:
(m+1)
u (x)
≤ M = const, x ∈ [α, β] .
8 (∆x)(m+1) (m+1) Khi đó u (c) là một vô cùng bé khi ∆x → 0. Tức là tồn tại (m + 1)! hằng số K > 0 không phụ thuộc vào ∆x sao cho: