Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một vài mở rộng của nguyên lý biến phân Ekeland

Chia sẻ: Quỳnh Quỳnh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:41

Thêm vào BST

Báo xấu

198
lượt xem 43
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một vài mở rộng của nguyên lý biến phân Ekela nhằm trình bày lại một cách có hệ thống một số kết quả liên quan tới nguyên lý biến phân Ekeland cổ điển và một vài mở rộng của nguyên lý này cho ánh xạ đa trị. Mời bạn đọc cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một vài mở rộng của nguyên lý biến phân Ekeland

VI N KHOA H C VÀ CÔNG NGH VI T NAM VI N TOÁN H C Vũ Minh Thư M T VÀI M R NG C A NGUYÊN LÝ BI N PHÂN EKELAND LU N VĂN TH C S TOÁN H C Ngành: Toán ng d ng Ngư i hư ng d n: PGS.TS. Trương Xuân Đ c Hà
M cl c M đ u 4 1 Nguyên lý bi n phân Ekeland c đi n 6 1.1. M t vài tính ch t c a hàm n a liên t c dư i . . . . . . . . 6 1.2. Nguyên lý bi n phân Ekeland c đi n . . . . . . . . . . . . 10 1.2.1. Nguyên lý bi n phân Ekeland trong không gian metric 10 1.2.2. Nguyên lý bi n phân Ekeland trong không gian h u h n chi u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3. M ts ng d ng c a nguyên lý bi n phân Ekeland . . . . 17 1.3.1. Nguyên lý bi n phân Ekeland và tính đ y đ c a không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.3.2. Đ o hàm t i đi m x p x c c ti u . . . . . . . . . . 18 2 Nguyên lý bi n phân Ekeland cho ánh x đa tr s d ng nón pháp tuy n và đ i đ o hàm Clarke 21 2.1. M t s ki n th c chu n b . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2. Nguyên lý bi n phân Ekeland cho ánh x đa tr s d ng nón pháp tuy n và đ i đ o hàm Clarke . . . . . . . . . . . 27 2
2.3. Đi u ki n đ đ t n t i c c ti u y u và c c ti u th c s dương c a ánh x đa tr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 K t lu n 38 Tài li u tham kh o 39 3
L im đ u M t k t qu c đi n trong gi i tích ch ra r ng, m t hàm f n a liên t c dư i trên m t t p compact X thì đ t c c ti u trên t p đó. N u b gi thi t X compact thì k t lu n trên có th không còn đúng n a. Năm 1974, I.Ekeland phát bi u m t nguyên lý g i là nguyên lý bi n phân Ekeland ch ra r ng n u hàm f là n a liên t c dư i và b ch n dư i trong không gian metric đ ta luôn tìm đư c m t hàm nhi u c a hàm ban đ u sao cho hàm nhi u này có c c ti u toàn c c. N u hàm f là kh vi Gateaux và b ch n dư i trong không gian Banach thì đ o hàm c a f có th làm nh tùy ý. Hơn n a, n u f th a mãn đi u ki n Palais-Smale thì f có c c ti u. Nguyên lý bi n phân Ekeland m ra hư ng nghiên c u m i cho toán h c và là m t công c m nh đư c ng d ng hi u qu trong các lĩnh v c: lý thuy t t i ưu, gi i tích phi tuy n, gi i tích đa tr ,... Ngày nay, nguyên lý v n đư c r t nhi u nhà toán h c quan tâm, nghiên c u và m r ng theo nhi u hư ng: các ánh x đơn tr ho c đa tr trong không gian l i đ a phương, trong không gian vectơ, trong không gian Banach... M c đích c a lu n văn là trình bày l i m t cách có h th ng m t s k t qu liên quan t i nguyên lý bi n phân Ekeland c đi n trong [2], [4], [10] và m t vài m r ng c a nguyên lý này cho ánh x đa tr theo [5]. Đ i v i ánh x đa tr chúng ta s dùng đ i đ o hàm Clarke đ nh nghĩa thông qua nón pháp tuy n Clarke đư c gi i thi u trong bài báo [8]. 4
Lu n văn g m 2 chương Chương 1. Nguyên lý bi n phân Ekeland c đi n. Chương này bao g m m t s k t qu c đi n c a gi i tích v các đi u ki n đ hàm n a liên t c dư i đ t c c ti u, nguyên lý bi n phân Ekeland c đi n và m ts ng d ng c a nguyên lý này. Chương 2. Nguyên lý bi n phân Ekeland cho ánh x đa tr s d ng nón pháp tuy n và đ i đ o hàm Clarke. Đây là n i dung chính c a lu n văn. Trong chương này, chúng tôi trình bày m t s m r ng c a nguyên lý bi n phân Ekeland cho ánh x đa tr trong không gian Banach có s d ng nón pháp tuy n, đ i đ o hàm Clarke và m t s đi u ki n đ đ ánh x đa tr có c c ti u y u, c c ti u th c s dương. Lu n văn đư c hoàn thành dư i s ch b o, hư ng d n t n tình c a PGS.TS Trương Xuân Đ c Hà. Nhân đây, tôi xin bày t lòng bi t ơn sâu s c t i Cô. Tôi xin đư c bày t lòng bi t ơn t i Ban lãnh đ o Vi n Toán h c, các th y cô và Trung tâm đào t o sau đ i h c c a Vi n đã t o m i đi u ki n thu n l i giúp đ tôi trong quá trình h c t p và làm lu n văn. Đ ng th i tôi xin chân thành c m ơn các b n đ ng nghi p khoa Khoa h c cơ b n - Cao đ ng công ngh Hà N i, gia đình và b n bè đã giúp đ tôi r t nhi u trong quá trình h c t p c a mình. Hà N i, tháng 8 năm 2011 Tác gi 5
Chương 1 Nguyên lý bi n phân Ekeland c đi n Trong chương này, chúng ta cùng xem xét nguyên lý bi n phân Ekeland c đi n đư c gi i thi u trong bài báo [4], nguyên lý Ekeland trong không gian h u h n chi u theo [10] và m t s ng d ng c a nguyên lý theo [2]. 1.1. M t vài tính ch t c a hàm n a liên t c dư i Trong m c này, chúng ta s nh c l i v l p hàm n a liên t c dư i và m t s tính ch t c a nó. Cho X là không gian topo và hàm f : X → R ∪{+∞} Kí hi u : domf = {x ∈ X|f (x) < +∞}, epif = {(x, a) ∈ X × R|f (x) ≤ a}. V i m i a ∈ R, kí hi u t p m c c a f là La f = {x ∈ X|f (x) ≤ a}. Đ nh nghĩa 1.1.1. Cho X là không gian topo, hàm f : X → R ∪ {+∞}
đư c g i là hàm n a liên t c dư i t i x0 khi và ch khi lim inf f (x) ≥ f (x0 ). x→x0 Hàm f đư c g i là n a liên t c dư i trên X n u f n a liên t c dư i t i m i đi m c a X . Nh n xét 1.1.1. Hàm f là n a liên t c dư i t i x0 khi và ch khi ∀ε > 0 t n t i lân c n U c a x0 sao cho ∀x ∈ U ta đ u có f (x) ≥ f (x0 ) − ε. Ta xét ví d sau đ minh h a cho đ nh nghĩa trên. Ví d 1.1.1. Cho hàm s f : R → R xác đ nh b i f (x) = 6x2 − 1 n u x = 1 0 n u x=1 Ta th y f liên t c trên R \ {1} và gián đo n t i x = 1. Nhưng f n a liên t c dư i t i x = 1 vì lim inf f (x) = 5 ≥ f (1). V y f n a liên t c dư i x→1 trên R. Sau đây là m t s tính ch t c a hàm n a liên t c dư i. M nh đ 1.1.1. Cho X là không gian topo và hàm f : X → R ∪ {+∞}. Các kh ng đ nh sau là tương đương (i) f là hàm n a liên t c dư i trên X . (ii) epif là t p đóng trong X × R. (iii) ∀a ∈ R thì t p m c La f là t p đóng trong X . Ch ng minh. (i) ⇒ (ii). Gi s f là n a liên t c dư i trên X . Ta l y dãy {(xn , an )} ⊂ epif sao cho lim (xn , an ) = (x0 , a0 ). Ta c n ch ra n→∞ (x0 , a0 ) ∈ epif . Th t v y, lim xn = x0 , lim an = a0 và hàm f là n a n→∞ n→∞ 7
liên t c dư i t i x0 nên lim inf f (xn ) ≥ f (x0 ). Mà {(xn , an )} ⊂ epif nên n→∞ f (xn ) ≤ an , n ∈ N. Do đó lim inf f (xn ) ≤ lim an . Suy ra n→∞ n→∞ f (x0 ) ≤ lim inf f (xn ) ≤ lim an = a0 . n→∞ n→∞ Đi u này ch ng t (x0 , a0 ) ∈ epif . (ii) ⇒ (iii). Gi s epif là t p đóng trong X × R.∀a ∈ R gi s La f = {x ∈ X|f (x) ≤ a} là t p m c b t kì c a f . Ta s ch ng minh La f đóng trong X . L y dãy {xn } ⊂ La f th a mãn lim xn = x0 . Ta có f (xn ) ≤ a n→∞ do {xn } ⊂ La f . Suy ra (xn , a) ∈ epif, ∀n ∈ N. Hơn n a, lim xn = x0 n→∞ nên lim (xn , a) = (x0 , a). n→∞ M t khác, epif đóng trong X × R nên (x0 , a) ∈ epif vì v y x0 ∈ La f hay La f là t p đóng ∀a ∈ R. (iii) ⇒ (i). Gi s La f đóng trong X, ∀a ∈ R. Ta ph i ch ng minh f là hàm n a liên t c dư i trên X . Gi s ph n ch ng f không là n a liên t c dư i t i x0 ∈ X khi đó t n t i dãy xn ⊂ X sao cho lim xn = x0 và n→∞ lim inf f (xn ) < f (x0 ). n→∞ Ch n ε > 0 đ nh sao cho có k ∈ N đ f (xn ) ≤ f (x0 ) − ε(∀n > k). Xét t p m c L = {x ∈ X|f (x) ≤ f (x0 ) − ε}. Ta th y xn ∈ N, ∀n > k . M t khác, do L đóng và lim xn = x0 nên x0 ∈ L n→∞ do đó f (x0 ) ≤ f (x0 ) − ε (vô lí). V y f là n a liên t c dư i trên X . Ti p theo, chúng tôi trình bày l i hai đ nh lý trong gi i tích v s t n t i đi m c c ti u c a hàm n a liên t c dư i. V n đ chúng ta thư ng quan tâm là khi nào hàm f : X → R ∪{+∞} đ t c c ti u trên X , t c là t n t i x ∈ X sao cho f (x) ≥ f (x), ∀x ∈ X . Sau đây, ta cùng xem l i k t qu quen thu c v s t n t i đi m c c ti u c a hàm f n a liên t c dư i trên t p compact X . 8
M nh đ 1.1.2. [10] Cho hàm f : X → R ∪ { + ∞} là hàm n a liên t c dư i trên t p compact X trong không gian topo. Khi đó f đ t c c ti u trên X. Ch ng minh. Đ t a = inf{f (x)|x ∈ X}. Khi đó có m t dãy xn ⊂ X sao cho lim f (xn ) = a. Do X là t p compact, không m t tính t ng quát ta n→∞ có th coi xn là dãy h i t đ n x ∈ X . Ta s ch ng minh f (x) = a. Th t v y, do f là n a liên t c dư i t i x ∈ X nên lim inf f (xn ) ≥ f (x) k t h p n→∞ v i lim f (xn ) = a ta suy ra f (x) ≤ a. n→∞ M t khác theo đ nh nghĩa c a a thì f (x) ≥ a. V y f (x) = a và x là đi m c c ti u c a f trên X . Nh n xét 1.1.2. Khi X không compact thì hàm f có th không đ t c c ti u. Ta xét ví d sau đ minh h a cho nh n xét trên. Ví d 1.1.2. Cho hàm s f : X = R × R\{(0, 1)} → R x = (x1 , x2 ) → f (x) = x2 + (x2 − 1)4 . 1 Ta th y f là liên t c trên X và f (x) ≥ 0, ∀x ∈ X . Hơn n a inf f = 0. X Tuy nhiên không t n t i x ∈ X đ f (x) = 0. Th t v y, gi s r ng có x0 ∈ X sao cho f (x0 ) = 0 thì ta suy ra x0 = (0, 1) ∈ X (mâu thu n v i cách xác đ nh X ). V y hàm f không đ t c c ti u trên X . Khi gi thi t compact c a X không còn thì hàm f có th không đ t c c tr . Dư i đây là m t đi u ki n đ hàm n a liên t c dư i đ t c c tr trên t p đóng. Hàm f : X → R ∪ {+∞} g i là b c trên t p X khác r ng n u f (x) → +∞ khi x ∈ X, x → +∞. 9
M nh đ 1.1.3. [10] M t hàm f : X → R ∪ {+∞} n a liên t c dư i trên m t t p đóng X khác r ng trong không gian h u h n chi u và b c trên X thì f ph i có c c ti u trên X . Ch ng minh. L y a ∈ X . Do f là n a liên t c dư i nên t M nh đ 1.1.1 ta suy ra t p C = {x ∈ X|f (x) ≤ f (a)} là t p đóng . Gi s r ng C là t p không b ch n v y t n t i {xk } ⊂ C sao cho f (xk ) ≤ f (a), xk → +∞. Do f th a mãn đi u ki n b c nên f (xk ) → +∞ (mâu thu n vì f (xn ) ≤ f (a)). V y C là t p đóng và b ch n ta suy ra C compact. Theo M nh đ 1.1.2 thì f đ t c c ti u trên C và c c ti u này cũng là c c ti u trên X c a f . 1.2. Nguyên lý bi n phân Ekeland c đi n Trong m c này, chúng ta cùng xem xét nguyên lý bi n phân Ekeland c đi n trong không gian metric đ và không gian h u h n chi u. 1.2.1. Nguyên lý bi n phân Ekeland trong không gian metric N u X không compact và f không là b c trên X thì hàm f có th không đ t c c ti u trên X . Khi đó, ta xét khái ni m đi m ε−x p x c c ti u như sau: V i ε > 0 cho trư c, m t đi m xε ∈ X g i là ε−x p x c c ti u c a f (x) trên X n u inf f ≤ f (xε ) ≤ inf f + ε. X X Đi m ε− x p x c c ti u bao gi cũng t n t i n u f b ch n dư i. Hơn n a, khi X là không gian metric đ thì nguyên lý Ekeland phát bi u r ng ta có th làm nhi u hàm f đ thu đư c m t hàm đ t c c ti u trên X . Sau 10
đây ta xét nguyên lý bi n phân Ekeland c đi n trên không gian metric đ (X, d). Đ nh lý 1.2.1. [4] [Nguyên lý bi n phân Ekeland ] Cho (X, d) là không gian metric đ và hàm f : X → R ∪ { + ∞} là hàm n a liên t c dư i, b ch n dư i. Gi s ε > 0 và xε ∈ X th a mãn f (xε ) < inf f + ε. X Khi đó v i λ > 0 b t kỳ thì t n t i x ∈ X sao cho: (i) d(x, xε ) ≤ λ. ε (ii) f (x) + λ d(x, xε ) ≤ f (xε ). ε (iii) f (x) + λ d(x, x) > f (x), ∀x ∈ X\{x}. Đ ch ng minh Đ nh lý trên, trư c h t ta đ nh nghĩa m t quan h th t ≤ trên tích X × R như sau, v i m i α > 0, v i (x1 , y1 ), (x2 , y2 ) ∈ X × R ta có (x1 , y1 ) ≤ (x2 , y2 ) ⇔ y2 − y1 + αd(x1 , x2 ) ≤ 0. Ta ch ng minh quan h ≤ có tính ph n x , ph n đ i x ng và b c c u. Tính ph n x : d th y t đ nh nghĩa quan h ≤ . Tính ph n đ i x ng : gi s r ng (x1 , y1 ) ≤ (x2 , y2 ) và (x2 , y2 ) ≤ (x1 , y1 ). Ta c n ch ng minh (x1 , y1 ) = (x2 , y2 ). Th t v y, do cách đ nh nghĩa quan h th t và gi thi t trên ta có: y1 − y2 (x1 , y1 ) ≤ (x2 , y2 ) ⇔ d(x1 , x2 ) ≤ . α y2 − y1 (x2 , y2 ) ≤ (x1 , y1 ) ⇔ d(x2 , x1 ) ≤ . α Suy ra 2d(x1 , x2 ) ≤ 0. Vì v y x1 = x2 . Do đó (x1 , y1 ) = (x2 , y2 ). Tính b c c u : gi s r ng (x1 , y1 ) ≤ (x2 , y2 ) và (x2 , y2 ) ≤ (x3 , y3 ). 11
Khi đó y1 − y2 y2 − y3 d(x1 , x2 ) ≤ và d(x2 , x3 ) ≤ . α α Ta suy ra y1 − y3 d(x1 , x2 ) + d(x2 , x3 ) ≤ . α M t khác d(x1 , x3 ) ≤ d(x1 , x2 ) + d(x2 , x3 ). V y ta suy ra y1 − y3 d(x1 , x3 ) ≤ α hay(x1 , y1 ) ≤ (x3 , y3 ). B đ sau s đư c dùng đ ch ng minh Đ nh lý 1.2.1. B đ 1.2.1. [4] Cho S là t p đóng trong X × R th a mãn t n t i m ∈ R sao cho n u (x, a) ∈ S thì a ≥ m. Khi đó, v i m i ph n t (x1 , a1 ) ∈ S luôn có ph n t (x, a) ∈ S sao cho (x1 , a1 ) ≤ (x, a) và (x, a) là ph n t c c đ i trong S theo nghĩa (x, a) (x, a), ∀(x, a) ∈ S và (x, a) = (x, a). Ch ng minh. Ta xây d ng dãy (xn , an ) ⊂ S b ng quy n p như sau, b t đ u v i (x1 , a1 ) ∈ S cho trư c. Gi s r ng (xn , an ) đã bi t. Ký hi u Sn = {(x, a) ∈ S| (xn , an ) < (x, a)} , mn = inf {a ∈ R| (x, a) ∈ Sn } . Ta có Sn là các t p đóng và Sn khác r ng khi đó ta l y (xn+1 , an+1 ) ∈ Sn sao cho an − mn an − an+1 ≥ . (1.1) 2 Do quan h ≤ có tính b c c u nên Sn+1 ⊂ Sn suy ra mn ≤ mn+1 . Như v y, Sn là dãy các t p đóng gi m d n trong S , mn là dãy gi m d n 12
trong R và b ch n dư i, v y (1.1) có th vi t thành an − mn ≥ an+1 − mn ≥ an+1 − mn+1 ≥ 0. 2 Ti p t c quá trình này ta thu đư c an − mn a1 − m an+1 − mn+1 ≤ ≤ ... ≤ . 2 2n M t khác (xn+1 , an+1 ) < (x, a) nên ta có an+1 − a a1 − m d(xn+1 , x) ≤ ≤ (α > 0). α 2n α V y đư ng kính c a Sn ti n d n v 0. Suy ra dãy Sn là dãy các t p đóng l ng nhau th t d n và có đư ng kính ti n d n v 0 trong X × R, theo Đ nh lý Cantor t n t i (x, a) ∈ S tho mãn {(x, a)} = ∩ Sn . (1.2) n∈N Ta s ch ng minh (x, a) là ph n t c c đ i c n tìm. Th t v y, t đ nh nghĩa (x, a) và (xn , an ) ≤ (x, a), ∀n ∈ N do đó (x1 , a1 ) ≤ (x, a). Gi s có (x, a) > (x, a) v i (x, a) ∈ S và (x, a) = (x, a). Khi đó (x, a) ∈ S, ∀n ∈ N Vì v y (x, a) ∈ ∩ Sn đi u này mâu thu n v i (1.2). Như v y (x, a) là n∈N ph n t c c đ i trong S th a mãn yêu c u B đ . Ta ch ng minh nguyên lý bi n phân Ekeland trong Đ nh lý 1.2.1. Ch ng minh. Đ t S = epif = {(x, a) ∈ X × R|f (x) ≤ a}. D th y, (xε , f (xε )) ∈ S . Do f là n a liên t c dư i nên theo M nh đ 1.1.1 thì S là t p đóng trong X × R. ε Áp d ng B đ 1.2.1 v i α = λ và ph n t (xε , f (xε )), luôn tìm đư c (x, a) sao cho (xε , f (xε )) ≤ (x, a) và (x, a) là ph n t c c đ i trong S . T đ nh nghĩa c a epif ta luôn có (x, f (x)) ∈ S, ∀x ∈ X . M t khác f (x) ≤ a nên ε −f (x) + a + d(x, x) ≥ 0. λ 13
mà (x, a) là ph n t l n nh t trong S nên ta có f (x) = a. V y (x, f (x)) là ph n t l n nh t trong S . Ta s ch ng minh x là đi m c n tìm. Th t v y, theo B đ 1.2.1 ta có (xε , f (xε )) ≤ (x, f (x)) t c là ε f (x) + d(x, xε ) ≤ f (xε ). λ V y kh ng đ nh (ii) đư c ch ng minh. ε M t khác, t f (x) − f (xε ) + λ d(x, xε ) ≤ 0, ta có ε d(x, xε ) ≤ f (xε ) − f (x). λ Hơn n a, f (xε ) ≤ inf f + ε nên f (xε ) − f (x) ≤ ε. Do đó X ε d(x, xε ) ≤ ε hay d(x, xε ) ≤ λ. λ Ta suy ra (i) đúng. Ta ch ng minh (iii). Theo ph n trên (x, f (x)) là ph n t l n nh t trong S nên ∀(x, f (x)) ∈ S thì (x, f (x)) (x, f (x)), ∀x = x. Do đó ε f (x) + d(x, x) > f (x), ∀x = x. λ Nh n xét 1.2.3. Đi m x tìm đư c là đi m c c ti u ch t c a hàm nhi u ε f (x) + d(x, x). N u λ nh ta có thông tin t t hơn v v trí c a x so v i λ ε đi m xε x p x ban đ u, nhưng khi đó hàm nhi u f (x) + d(x, x) l i có λ s sai khác l n so v i f (x). Ngư c l i, n u λ l n thì ta không bi t nhi u ε v v trí đi m x, nhưng hàm f (x) + d(x, x) có th sai khác r t ít so v i λ hàm f (x) ban đ u. H ng s λ trong Đ nh lý trên đư c ch n r t linh ho t. N u ch n √ λ = ε ta có k t qu sau. 14
Đ nh lý 1.2.2. [2] Cho (X, d) là không gian metric đ và hàm f : X → R ∪ { + ∞} là hàm n a liên t c dư i b ch n dư i. Gi s ε > 0 và xε ∈ X th a mãn f (xε ) < inf f + ε. X Khi đó t n t i x ∈ X sao cho: √ (i) d(x, xε ) ≤ ε. √ (ii) f (x) + εd(x, xε ) ≤ f (xε ). √ (iii) f (x) + εd(x, x) > f (x), ∀x ∈ X\{x}. 1.2.2. Nguyên lý bi n phân Ekeland trong không gian h u h n chi u Trong m c trên, ta đã phát bi u và ch ng minh nguyên lý bi n phân Ekeland cho m t không gian metric đ t ng quát v i hàm f là n a liên t c dư i và b ch n dư i. Trong không gian h u h n chi u, ta có m t cách ch ng minh ng n g n Đ nh lý trên s d ng đi u ki n b c đư c trình bày trong [10] c a GS.Hoàng T y. Đ nh lý 1.2.3. [10] Cho f : Rn → R ∪ { + ∞} là hàm n a liên t c dư i, b ch n dư i, λ > 0 và p ≥ 1. Gi s ε > 0 và xε ∈ X th a mãn f (xε ) < inf f + ε. n R Khi đó t n t i x ∈ Rn sao cho: (i) xε − x < λ. ε p (ii) f (x) + λp x − xε ≤ f (xε ). ε p ε p (iii)f (x) + λp x − xε ≥ f (x) + λp x − xε , ∀x ∈ Rn . 15
Ch ng minh. Xét hàm g(x) = f (x) + λp x − xε p . Do f n a liên t c dư i ε và b ch n dư i nên g cũng là n a liên t c dư i và b ch n dư i. M t khác, ta th y r ng g th a mãn đi u ki n b c t c là lim g(x) = +∞. x →+∞ L y a ∈ Rn xét t p Lg(a) g = {x ∈ Rn |g(x) ≤ g(a)}, do g là n a liên t c dư i theo M nh đ 1.1.1 thì Lg(a) g là đóng trong Rn . Ta ch ng minh t p Lg(a) g là b ch n trong Rn . Th t v y gi s Lg(a) g không b ch n trong Rn , lúc đó t n t i dãy {xn } ⊂ Lg(a) g sao cho xn → +∞. Theo ch ng minh trên g th a mãn đi u ki n b c trên Rn nên lim g(xn ) = +∞. M t khác xn ∈ Lg(a) g nên g(xn ) ≤ g(a), ∀n ∈ N. n→+∞ Ta suy ra lim g(xn ) ≤ g(a), ∀n ∈ N (mâu thu n v i lim g(xn ) = +∞). n→∞ n→+∞ V y t p Lg(a) g là đóng và b ch n trong Rn hay Lg(a) g là compact. Khi đó g là hàm n a liên t c dư i trên t p compact Lg(a) g . T đó theo M nh đ 1.1.2 t n t i đi m c c ti u x c a g trên Lg(a) g . Ta s ch ng minh x là đi m c c ti u c a g trên Rn . Ta có v i x ∈ Lg(a) g / thì g(x) > g(a) ≥ g(x) nghĩa là x là đi m c c ti u c a g trên Rn . Bây gi ta ch ng minh x th a mãn các k t lu n c a đ nh lý. Th t v y, do x là đi m c c ti u c a g trên Rn nên ε p ε p f (x) + x − xε ≤ f (x) + x − xε , ∀x ∈ Rn . λp λp ε p V y (iii) đư c th a mãn. Ta cho x = xε ta có: f (x)+ x − xε ≤ f (xε ). λp Ta ch ng minh đư c (ii) và có f (x) ≤ f (xε ). Đ ng th i theo ch ng minh trên và đ nh nghĩa c a xε thì ε p ε p inf f (x) + x − xε ≤ f (x) + x − xε ≤ f (xε ) ≤ inf f (x) + ε. R n λp λp nR Nghĩa là x − xε < λ, ta ch ng minh đư c (i). 16
1.3. M ts ng d ng c a nguyên lý bi n phân Ekeland Trong ph n này, chúng ta ch ra nguyên lý bi n phân Ekeland là tương đương v i tính đ c a không gian metric. Ti p theo, chúng ta v n d ng nguyên lý bi n phân Ekeland đ đánh giá đ o hàm t i đi m x p x c c ti u. 1.3.1. Nguyên lý bi n phân Ekeland và tính đ y đ c a không gian metric Đ nh lý sau đây ch ra m t đ c trưng c a không gian metric đ y đ . Đ nh lý 1.3.4. [2] Cho (X, d) là không gian metric. Khi đó X là đ y đ khi và ch khi v i m i hàm n a liên t c dư i, b ch n dư i f : X → R ∪{+∞} và v i m i ε > 0, t n t i m t đi m x ∈ X th a mãn (i) f (x)) < inf f + ε. X (ii) f (x) + εd(x, x) ≥ f (x), ∀x ∈ X . Ch ng minh. Chi u thu n c a đ nh lý trên ta suy ra t Đ nh lý 1.2.1 v i λ = 1. Ngư c l i, gi s v i m i hàm n a liên t c dư i b ch n dư i f : X → R ∪ { + ∞}, và v i m i ε > 0 ,t n t i m t đi m x ∈ X th a mãn (i) và (ii). Ta ph i ch ng minh (X, d) là không gian metric đ . Th t v y, c đ nh x ∈ X và xét dãy {xn } ⊂ X là dãy Cauchy ta c n ch ra {xn } h i t trong X . T đánh giá |d(xm , x) − d(xn , x)| ≤ d(xm , xn ), ∀m, n ∈ N. Ta suy ra {d(xn , x)} là dãy Cauchy trong R+ (là không gian metric đ ) nên dãy này h i t trong R+ . Xét hàm f (x) = lim d(xn , x). Do hàm n→∞ 17
kho ng cách là lipschitz v i x nên ta có f (x) là hàm liên t c. Hơn n a dãy xn là dãy Cauchy nên f (xn ) → 0 khi n → ∞. Ta suy ra inf f = 0. X V i ε ∈ (0, 1), ta tìm đư c x ∈ X sao cho f (x) ≤ inf f + ε và X f (x) + εd(x, x) ≥ f (x), ∀x ∈ X. Cho x = xn thay vào bi u th c trên và chuy n qua gi i h n n → ∞ ta đư c f (x) ≤ εf (x) suy ra f (x) = 0. Đi u này ch ng t r ng lim xn = x. n→∞ 1.3.2. Đ o hàm t i đi m x p x c c ti u Chúng ta bi t r ng n u hàm f : U → R ∪ { + ∞} là kh vi trên U v i t p U m , U ⊂ R và f đ t c c tr t i c ∈ U thì f (c) = 0. Đó là k t qu c a Đ nh lý Fermat. V n đ đ t ra là v i nh ng hàm không đ t c c tr thì đ o hàm c a chúng ra sao? Li u có th đánh giá đ o hàm t i nh ng đi m ε - x p x c c ti u không? Đ nh lý sau s tr l i nh ng câu h i đó. Trư c h t chúng tôi nh c l i m t s khái ni m v s kh vi c a hàm f trên không gian Banach. Đ nh nghĩa 1.3.2. [1] Cho X là không gian Banach và X ∗ là không gian đ i ng u c a X . Hàm f : X → R ∪ { + ∞} đư c g i là kh vi Gateaux t i x0 ∈ X(f (x0 ) < +∞) n u t n t i phi m hàm tuy n tính f (x0 ) ∈ X ∗ sao cho ∀x ∈ X f (x0 + tu) − f (x0 ) lim = f (x0 )(u), ∀u ∈ X. t→0 t Hàm f đư c g i là kh vi Gateaux trên X n u f kh vi Gateaux t i m i đi m x ∈ X . Đ nh nghĩa 1.3.3. [1] Cho X là không gian Banach và X ∗ là không gian đ i ng u c a X . Hàm f : X → R ∪ { + ∞} đư c g i là kh vi Frechet 18
t i x0 ∈ X(f (x0 ) < +∞) n u t n t i phi m hàm tuy n tính f (x0 ) ∈ X ∗ th a mãn f (x0 + x) − f (x0 ) − f (x0 )(u) lim = 0, ∀u ∈ X. u→0 u Hàm f đư c g i là kh vi Frechet trên X n u f kh vi Frechet t i m i đi m x ∈ X . Ánh x tuy n tính f (x0 ) ∈ X ∗ đư c g i là đ o hàm c a f t i x0 . Nh n xét 1.3.4. Ta ch ng minh đư c r ng n u f kh vi Frechet trên X thì f cũng kh vi Gateaux trên X . Đ nh lý 1.3.5. [4] Cho X là không gian Banach và hàm n a liên t c dư i, b ch n dư i f : X → R ∪ { + ∞} là kh vi Gateaux trên X . Gi s v i ε > 0 ta có inf f > f (xε ) − ε. Khi đó v i b t kỳ λ > 0 t n t i X x ∈ B(xε , λ) sao cho đ o hàm Gateaux c a f t i x∗ th a mãn: ∗ ε f (x∗ ) ≤ . λ Đi m x∗ th a mãn k t lu n c a đ nh lý đư c g i là đi m x p x t i h n. Ch ng minh. Áp d ng nguyên lý bi n phân Ekeland cho hàm f ta tìm đư c x∗ ∈ B(xε , λ) th a mãn ε f (x) ≥ f (x∗ ) − x − x∗ , ∀x ∈ X. (1.3) λ Thay x = x∗ + tu(u ∈ X, t ∈ R) vào (1.3) ta có ε f (x∗ + tu) ≥ f (x∗ ) − tu . λ T đó ta có f (x∗ + tu) − f (x∗ ) ε ≥ − u , ∀u ∈ X. (1.4) |t| λ Vì f kh vi Gateaux trên X nên ta cho t → 0− trong (1.4) ta có ∗ f (x∗ + tu) − f (x∗ ) ε f (x )(u) = lim ≤ u . (1.5) t→0− t λ 19