Luận văn Thạc sĩ Toán học: Nghịch đảo suy rộng

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:35

Thêm vào BST

Báo xấu

16
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn gồm ba chương. Trong chương đầu tóm tắt một số khái niệm trong Đại số tuyến tính và Giải tích hàm. Chương 2 đề cập đến nghịch đảo suy rộng trong không gian Hilbert còn chương cuối đề cập đến khái niệm này nhưng trong không gian Rn. Mời các bạn tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Nghịch đảo suy rộng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ------------------------------- NGÔ THỊ LOAN NGHỊCH ĐẢO SUY RỘNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ------------------------------- NGÔ THỊ LOAN NGHỊCH ĐẢO SUY RỘNG Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số : 8 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TSKH. Đinh Nho Hào THÁI NGUYÊN - 2019
i Mục lục Lời cảm ơn iii Lời cam đoan 1 Mở đầu 1 Chương 1 Các khái niệm cơ bản về đại số tuyến tính và giải tích hàm 3 1.1. Không gian Euclide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2. Không gian Banach và toán tử liên tục . . . . . . . . . . . 5 1.2.1. Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.2. Toán tử tuyến tính liên tục . . . . . . . . . . . . . 6 1.3. Đạo hàm theo nghĩa Fréchet . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Chương 2 Nghịch đảo suy rộng trong không gian Hilbert 9 2.1. Nghiệm bình phương tối thiểu . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.2. Nghịch đảo suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.3. Định lý Picard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Chương 3 Nghịch đảo suy rộng trong không gian hữu hạn chiều 15 3.1. Phân tích giá trị kỳ dị của ma trận . . . . . . . . . . . . . 15 3.2. Giả nghịch đảo (nghịch đảo suy rộng) . . . . . . . . . . . . 19
ii 3.3. Nghiệm bình phương tối thiểu . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Kết luận 27 Tài liệu tham khảo 28
iii Lời cảm ơn Luận văn này được thực hiện tại Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của GS.TSKH. Đinh Nho Hào. Em xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học của mình, người đã đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn và tận tình giải đáp những thắc mắc của em trong suốt quá trình làm luận văn. Em cũng xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán-Tin, cùng các giảng viên đã tham gia giảng dạy, đã tạo mọi điều kiện tốt nhất để em học tập và nghiên cứu. Đồng thời, em cũng xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp cao học Toán K11C (khóa 2017-2019), cảm ơn gia đình bạn bè đã động viên và giúp đỡ em rất nhiều trong quá trình học tập.
1 Lời cam đoan Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo GS.TSKH Đinh Nho Hào cùng với sự cố gắng của bản thân. Trong quá trình nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa những thành quả nghiên cứu của các nhà khoa học, các nhà nghiên cứu với sự trân trọng và biết ơn. Tôi xin cam đoan những kết quả trong luận văn này là kết quả nghiên cứu của bản thân, không trùng với luận văn của tác giả khác. Thái Nguyên, ngày tháng năm 2019 Tác giả
1 Mở đầu Phương pháp bình phương tối thiểu xuất phát từ các nghiên cứu về thiên văn và khoa đo đạc. Từ các quan sát khác nhau của hiện tượng người ta cần xấp xỉ nó. Phương pháp này có cội nguồn từ các nghiên cứu khác nhau bắt đầu từ Roger Cotes vào năm 1722, Tobias Mayer khi nghiên cứu về chuyển động của mặt trăng năm 1750, Pierre-Simon Laplace khi nghiên cứu chuyển động của sao Mộc và sao Thổ năm 1788 ... Người đầu tiên mô tả một cách tường minh và ứng dụng phương pháp bình phương tối thiểu đó là Adrien-Marie Legendre [5] vào năm 1805 khi ông phân tích các dữ kiện của Laplace về hình dạng quả đất. Phương pháp của Legendre được các nhà thiên văn học và các nhà đo đạc hàng đầu thời đó công nhận và sử dụng. Vào năm 1809, Carl Friedrich Gauss công bố phương pháp của ông về cách tính quỹ đạo của các thiên thể [4] và khẳng định rằng, phương pháp này do ông tìm ra từ năm 1795, trước cả Legendre. Gauss còn liên hệ phương pháp bình phương tối thiểu với các kết quả quan trọng trong lý thuyết xác suất về phân bố chuẩn ... Có khá nhiều tranh cãi về việc có đúng hay không, Gauss đã tìm ra phương pháp bình phương tối thiểu trước Legendre mặc dù ông công bố sau. Công trình của [10] đưa ra khẳng định, có lẽ điều này là đúng. Dù ai là người phát minh ra phương pháp này đầu tiên đi nữa, thì cho đến nay phương pháp bình phương tối thiểu là một phương pháp hết sức toàn năng và hiệu quả trong giải tích số, thống kê, ... Phương pháp bình phương tối thiểu cho ta một các hiểu nghiệm của hệ phương trình đại số tuyến tính, gọi là nghiệm bình phương tối thiểu - phần tử tối thiểu hóa bình phương chuẩn Euclide của độ lệch (discrepancy). Nghiệm bình phương tối thiểu là một giải pháp lý tưởng
2 để hiểu được hệ phương trình đại số tuyến tính có số phương trình nhiều hơn số ẩn - hệ thường xuyên gặp trong các bài toán đo đạc. Tuy nhiên, nghiệm bình phương tối thiểu có thể không duy nhất, để khắc phục khiếm khuyết này, Moore [6] vào năm 1920 và sau đó là Penrose [8, 9] vào những năm 1955, 1956 đã đưa ra khái niệm nghịch đảo suy rộng và nghiệm suy rộng dựa trên lý thuyết phổ. Có nhiều cách tiếp cận đến nghịch đảo suy rộng khác nhau, nhưng trong luận văn này chúng tôi sử dụng định nghĩa nghiệm suy rộng là nghiệm bình phương tối thiểu có chuẩn nhỏ nhất. Chúng tôi dùng khái niệm này vì dùng nó ta có thể tiếp cận các bài toán đặt không chỉnh. Các kết quả trong luận văn này dựa vào các tài liệu [1, 2, 3, 7]. Luận văn gồm ba chương. Trong chương đầu chúng tôi tóm tắt một số khái niệm trong Đại số tuyến tính và Giải tích hàm. Chương 2 đề cập đến nghịch đảo suy rộng trong không gian Hilbert còn chương cuối đề cập đến khái niệm này nhưng trong không gian Rn .
3 Chương 1 Các khái niệm cơ bản về đại số tuyến tính và giải tích hàm 1.1. Không gian Euclide Định nghĩa 1.1 Cho E là không gian vectơ trên trường số thực R, một tích vô hướng trên E là một ánh xạ : E × E → R (x, y) →< x, y > thỏa mãn các điều kiện sau 1. < x, y >=< y, x >, 2. < x + y, z >=< x, z > + < y, z >, 3. < λx, y >= λ < x, y >, 4. < x, x >≥ 0 ∀x ∈ E và < x, x >= 0 ⇔ x = 0. Định nghĩa 1.2 Không gian vectơ E trên trường số thực R được gọi là không gian vectơ Euclide nếu trên E có một tích vô hướng. Định nghĩa 1.3
4 Độ dài của một vectơ x của không gian vectơ Euclide E với tích vô hướng được xác định bởi: √ kxk = < x, x > Định nghĩa 1.4 Đối với hai vectơ x và y của không gian vectơ Euclide thì ta gọi góc ϕ giữa x và y được xác định bởi công thức: < x, y > cos ϕ = kxkkyk Khi không gian vector Euclide E là Rn , ta viết vector x ∈ Rn dưới dạng   x  1 x =  ...      xn với xi ∈ R. Khi đó vector chuyển vị của x là xt = (x1 , . . . , xn ). Giả sử M = (mij ) ∈ Rm,n , u, v ∈ Rk , α1 , . . . , α` ∈ R, u1 , . . . , u` ∈ Rk . Ta ký hiệu I ma trận đơn vị, Mt ma trận chuyển vị củaM, ut v tích vô hướng của u với v, kM k chuẩn max{kM xk|x ∈ Rn , kxk ≤ 1}, kM kF chuẩn Frobenius of M, P 2 2 kM kF := i,j |mi,j | , < u1 , . . . , u` > bao tuyến tính của u1 , . . . , u` , diag(α1 , . . . , α` ) ma trận đường chéo trong Rp,` với các thành phần α1 , . . . , α` trên đường chéo của nó (p ≥ 1), (u1 | . . . |u` ) ma trận trong Rk,` với các cột là u1 , . . . , u` .
5 1.2. Không gian Banach và toán tử liên tục 1.2.1. Không gian Banach Định nghĩa 1.5 (Không gian định chuẩn) Một không gian định chuẩn (hay không gian tuyến tính định chuẩn) là không gian tuyến tính X trên trường P (P = R hoặc P = C) cùng với một ánh xạ từ X vào tập số thực R, được gọi là chuẩn và ký hiệu là k.k thỏa mãn các tiên đề sau: 1. (∀x ∈ X) kxk ≥ 0, kxk = 0 ⇔ x = θ (ký hiệu phần tử không là θ); 2. (∀x ∈ X) , (∀α ∈ P ), kαxk = |α|.kxk; 3. (∀x, y ∈ X) kx + yk ≤ kxk + kyk. Số kxk gọi là chuẩn của vectơ x . Ta cũng kí hiệu không gian định chuẩn là X. Các tiên đề (1), (2), (3) được gọi là hệ tiên đề chuẩn. Định nghĩa 1.6 (Sự hội tụ trong không gian định chuẩn) Dãy điểm {xn } của không gian định chuẩn X được gọi là hội tụ tới điểm x ∈ X nếu lim kxn − xk = 0 Kí hiệu lim xn = x hay xn → x khi n→∞ n→∞ n→∞ Định nghĩa 1.7 (Dãy cơ bản) Dãy {xn } trong không gian định chuẩn X được gọi là dãy cơ bản nếu lim kxn − xm k = 0. n,m→∞ Định nghĩa 1.8 (Không gian Banach) Không gian định chuẩn X được gọi là không gian Banach nếu mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ. Ví dụ 1.1 Xét không gian véc tơ k - chiều Rk ,qvới mỗi x ∈ Rk , x = (x1 , x2 , . . . , xk )trong Pk 2 đó xi ∈ R, i = 1, 2, . . . , k. Đặt kxk = i=1 |xi | . Khi đó Rk là không gian Banach.
6 Ví dụ 1.2 Cho không gian véc tơ C[a,b] . Đối với hàm số bất kì xt ∈ C[a,b] , ta đặt kxk = max[a,b] |xt |. Khi đó C[a,b] là không gian Banach. 1.2.2. Toán tử tuyến tính liên tục Cho X, Y là hai không gian định chuẩn. Định nghĩa 1.9 (Toán tử tuyến tính) Một toán tử A : X → Y gọi là một toán tử tuyến tính nếu thỏa mãn các điều kiện sau 1. (∀x, y ∈ X)A(x + y) = A(x) + A(y); 2. (∀x ∈ X)(∀α ∈ P )A(αx) = αA(x). Ta viết Ax thay cho A(x). Nếu X ≡ Y ta nói A là toán tử trong X. Ta kí hiệu ImA = {y ∈ Y |y = Ax, ∀x ∈ X} là miền giá trị của toán tử A KerA = {x ∈ X|Ax = 0} là hạch (hạt nhân) của toán tử A. Ví dụ 1.3 Rb X ≡ Y ≡ C[a,b] , Ax(t) = a K(t, s)x(s)ds, trong đó K(t, s) là hàm liên tục theo hai biến t, s trong hình vuông a ≤ t, s ≤ b. A là toán tử tuyến tính và được gọi là toán tử tích phân. Định nghĩa 1.10 (Toán tử liên tục ) Giả sử X, Y là hai không gian định chuẩn. Toán tử A : X → Y gọi là liên tục tại x0 ∈ X nếu ∀{xn } ⊂ X, xn → x0 (n → ∞)thì Axn → Ax0 (n → ∞) Toán tử A được gọi là liên tục trên X nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc X. Định nghĩa 1.11 (Toán tử compact. ) Toán tử A : X 7→ Y được gọi là compact nếu ảnh của các tập giới nội trong X là tiền compact trong Y .
7 Ta biết rằng, toán tử compact có không quá một số đếm được các giá trị riêng. Ta có kết quả sau Định lý 1.1 [1, pp. 60-61] Giả sử A : X 7→ Y là toán tử tuyến tính compact. Khi đó tồn tại một hệ chỉ số J = {1, . . . , n} hoặc J = N, hệ trực chuẩn (ej )j∈J trong X và (fj )j∈J trong Y và dãy các số thực dương (δj )j∈J thỏa mãn các điều kiện sau: i) (σj )j∈J đơn điệu không tăng, limj σj = 0 nếu J = N, ii) Aej = σj fj , A∗ fj = σj ej , j ∈ J, iii) Với mọi x ∈ X tồn tại phần tử x0 ∈ N (A) với X X x = x0 + < x, ej > ej , Ax = σj < x, ej > fj . (1.1) j∈J j∈J iv) Với mọi y ∈ Y : X A∗ y = σj < y, fj > ej . j∈J Định nghĩa 1.12 Giả sử toán tử compact A : X 7→ Y có biểu diễn (1.1). Khi đó các số σj , j ∈ J được gọi là giá trị kỳ dị của A, bộ {(σj , ej , fj )|j ∈ J} được gọi là hệ kỳ dị của A còn biểu diễn (1.1) được gọi là phân tích giá trị kỳ dị của A. 1.3. Đạo hàm theo nghĩa Fréchet Cho X, Y là hai không gian Banach. Toán tử f : X → Y (không nhất thiết tuyến tính) Định nghĩa 1.13 Cho x là một điểm cố định trong không gian Banach X. Toán tử f : X → Y gọi là khả vi (theo nghĩa Fréchet) tại x nếu tồn tại một toán tử tuyến tính liên tục A : X → Y sao cho f (x + h) − f (x) = A(h) + φ(x, h), (∀h ∈ X)
8 kφ(x,h)k kf (x+h)−f (x)−A(h)k và lim = 0 (hay tương đương lim = 0). A(h) khk→0 khk khk→0 khk gọi là vi phân cấp một của toán tử f tại x. Ký kiệu là df (x, h).Toán tử A gọi là đạo hàm cấp một (theo nghĩa Fréchet) của f tại x. Kiệu là: f 0 (x). Vậy df (x, h) = f 0 (x).h Định lý 1.2 Nếu đạo hàm F tồn tại, nó là duy nhất. Định lý 1.3 Nếu một toán tử được xác định trên một tập con mở của một không gian Banach là khả vi Fréchet tại một điểm, thì nó liên tục tại điểm đó. Định lý 1.4 Một toán tử tuyến tính A từ một không gian Banach vào một không gian Banach là khả vi Fréchet nếu và chỉ nếu A là bị chặn. Trong trường hợp đó, A0 ≡ A. Định nghĩa 1.14 (Đạo hàm Fréchet cấp hai) Nếu A : B1 → B2 là khả vi Fréchet trên một tập mở Ω ⊂ B1 và A0 là khả vi Fréchet tại x ∈ Ω, thì A được gọi là khả vi Fréchet cấp hai tại x. Đạo hàm Fréchet của A0 tại x được gọi là đạo hàm Fréchet cấp hai của A và được kí hiệu là A00 (x).
9 Chương 2 Nghịch đảo suy rộng trong không gian Hilbert Trong chương này, ta giả sử X, Y là các không gian Hilbert và toán tử A ∈ L(X, Y ). Chúng ta nghiên cứu giải phương trình tuyến tính Ax = y, (2.1) trong đó y cho trước. Nếu phương trình không có nghiệm, chúng ta có thể tìm véctơ x ∈ X sao cho kAx − yk ≤ kAu − yk với mọi u ∈ X. 2.1. Nghiệm bình phương tối thiểu Nội dung phần này là phân tích loại nghiệm này. Xuyên suốt luận văn này, nếu không nói gì thêm ta luôn ký hiệu rằng N (A) = ker A = {x ∈ X|Ax = 0} là hạt nhân của toán tử A còn R(A) = ImA = {y ∈ Y |y = Ax, ∀x ∈ X} là miền giá trị của toán tử A. Dùng Q để chỉ phép chiếu của V trên R(A), trong đó kAy − yk ≤ kz − yk, ∀z ∈ R(A), Q(y) ∈ R(A), y ∈ Y. Từ định lý phép chiếu, giải theo tất cả y ∈ Y , ta có y − Q(y) ∈ R(A) = R(A)⊥ . Định lý 2.1 Cho x ∈ X, y ∈ Y . Các mệnh đề sau là tương đương
10 a) Ax = Qy b) kAx − yk ≤ kAu − yk, ∀u ∈ X, c) A∗ Ax = A∗ y. Chứng minh: ⊥ a ⇒ b. Cho u ∈ X. Do Qy − y ∈ R(A) nên ta có kAu − yk2 =kAu − Qyk2 + kQy − yk2 =kAu − Qyk2 + kAx − yk2 ≥ kAx − yk2 (vì Qy = Ax). b ⇒ c. Cho Qy ∈ R(A) nên tồn tại dãy (xn ) ∈ X sao cho Qy = lim Axn . n→∞ Khi đó, kQy − yk2 = lim kAxn − yk2 ≥ kAx − yk2 n→∞ kAx − yk2 =kAx − Qyk + kQy − yk2 ≥kAx − Qyk + kAx − yk2 . ⊥ Suy ra, Ax = Qy, Ax−y = Qy−y ∈ R(A) = N (A∗ ) hay A∗ (Ax−y) = 0. c ⇒ a. Ta có Ax − y ∈ N (A∗ ) = R(A)⊥ . Suy ra θ = Q(Ax − y) = QAx − Qy = Ax − Qy. Suy ra Ax = Qy. Định nghĩa 2.1 Một véctơ x ∈ X thỏa mãn các điều kiện tương đương a, b, c của Định lý 2.1 được gọi là “nghiệm bình phương tối thiểu” của phương trình Ax = y. 2.2. Nghịch đảo suy rộng Hệ quả 2.1 Cho y ∈ Y . Khi đó 1. L(y) = {x ∈ X| A∗ Ax = A∗ y} = 6 ∅ nếu và chỉ nếu y ∈ R(A) ⊕ R(A)⊥ . 2. Nếu y ∈ R(A) ⊕ R(A)⊥ thì Ly là tập lồi đóng khác rỗng của X. Chứng minh:
11 1. Cho x ∈ L(y). Từ Định lý 2.1, ta có ⊥ Ax − y ∈ N (A∗ ) = R(A) = R(A)⊥ . Do vậy, y = Ax + (y − Ax) ∈ R(A) ⊕ R(A)⊥ . Ngược lại, nếu y ∈ R(A) ⊕ R(A)⊥ thì y = y 1 + y 2 với y 1 ∈ R(A) và y 2 ∈ R(A)⊥ . Khi đó, Qy = y 1 , y 1 = Ax với x nào đó thộc X. Theo Định lý 2.1 suy ra tồn tại x ∈ L(y) nên L(y) 6= ∅. 2. Cho xn ⊂ L(y), xn → x. Vì A∗ y = lim A∗ Axn = A∗ Ax. Suy ra n→∞ x ∈ L(y) và L(y) đóng. Dễ dàng chứng minh được L(y) lồi. Vậy L(y) là tập lồi đóng khác ∅ của X. Bằng Hệ quả 2.1 và định lý phép chiếu, tập L(y) chứa các nghiệm bình phương tối thiểu của phương trình Ax = y sẽ có x nhỏ nhất nếu y ∈ R(A) ⊕ R(A)⊥ kxk = min{kuk| u ∈ L(y)}. Vì thế ta có định nghĩa sau Định nghĩa 2.2 Cho ánh xạ A+ với miền xác định D(A+ ) := R(A) ⊕ R(A)⊥ tương ứng với y ∈ D(A+ ). Với X + ∈ L(y) có chuẩn nhỏ nhất được gọi là nghịch đảo suy rộng của phương trình Ax = y. Hệ quả 2.2 Ta có 1. A(A+ ) trù mật trong Y và D(A+ ) = Y nếu R(A) là đóng.
2. Nếu R(A) đóng thì A−1 tồn tại và A+
R(A) = A−1 . 3. R(A+ ) = N (A)⊥ 4. A+ là ánh xạ tuyến tính. 5. A+ giới hạn bởi (sup{kA+ yk; y ∈ D(A+ ); kyk ≤ 1} < ∞) nếu R(A) đóng. 6. Cho mỗi y ∈ D(A+ ), véctơ A+ y là nghiệm bình phương tối thiểu của phương trình Ax = y nằm trong N (A)⊥ .
12 Chứng minh: ⊥ 1. D(A+ ) = R(A) ⊕ R(A)⊥ ⊃ R(A) ⊕ R(A) = Y . Từ đó, D(A+ ) trù mật trong Y . Nếu R(A) là đóng thì D(A+ ) = R(A) ⊕ R(A)⊥ = Y . 2. Từ định nghĩa của A+ ta có A+