Luận văn Thạc sĩ Toán học: Nguyên lý so sánh đối với toán tử Monge - Ampère phức trong các lớp Ftp (W) và Etp (W)

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:52

Thêm vào BST

Báo xấu

15
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích của luận văn là nghiên cứu và trình bày lại các kết quả của Hbil, Jaway và Ghiloufi về mở rộng miền xác định của (ddc.) ÙT đối với các lớp hàm đa điều hòa dưới không nhất thiết bị chặn với T là một dòng dương đóng song chiều (q,q) trên một tập mở WÌ £n. Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Nguyên lý so sánh đối với toán tử Monge - Ampère phức trong các lớp Ftp (W) và Etp (W)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ------------------------------------ LƯU THỊ THANH HUYỀN NGUYÊN LÝ SO SÁNH ĐỐI VỚI TOÁN TỬ MONGE-AMPÈRE PHỨC TRONG CÁC LỚP F pT ( W) VÀ EpT ( W) LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN – 2017
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ------------------------------------------ LƯU THỊ THANH HUYỀN NGUYÊN LÝ SO SÁNH ĐỐI VỚI TOÁN TỬ MONGE-AMPÈRE PHỨC TRONG CÁC LỚP F pT ( W) VÀ EpT ( W) Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Phạm Hiến Bằng THÁI NGUYÊN-2017
LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các tài liệu trong luận văn là trung thực. Luận văn chưa từng được công bố trong bất cứ công trình nào. Tác giả Lưu Thị Thanh Huyền i
LỜI CẢM ƠN Bản luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Phạm Hiến Bằng. Nhân dịp này tôi xin cám ơn Thầy về sự hướng dẫn hiệu quả cùng những kinh nghiệm trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Xin chân thành cảm ơn Phòng Đào tạo- Bộ phận Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán, các thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học và Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã giảng dạy và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học. Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì vậy rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học viên để luận văn này được hoàn chỉnh hơn. Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tôi trong thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Tháng 04 năm 2017 Tác giả ii
MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN i LỜI CẢM ƠN ii MỤC LỤC iii MỞ ĐẦU 1 1. Lý do chọn đề tài 1 2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 2 3. Phương pháp nghiên cứu 2 4. Bố cục luận văn 2 Chương 1. CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 4 1.1. Dạng vi phân và dòng trong lý thuyết đa thế vị 4 1.2. Hàm đa điều hòa dưới 6 1.3. Toán tử Monge-Ampère phức 8 1.4. Tính tựa liên tục của hàm đa điều hòa dưới 10 1.5. Nguyên lý so sánh Bedford-Taylor 12 1.6. Các lớp năng lượng Cegrell 16 Chương 2. NGUYÊN LÝ SO SÁNH ĐỐI VỚI TOÁN TỬ MONGE- AMPERE PHỨC TRONG CÁC LỚP F pT (W) VÀ EpT (W) 17 2.1. Các lớp F pT (W) và EpT (W) 17 2.2. Các Định lý so sánh 25 2.3. Tính C T - tựa liên tục 28 2.4. Nguyên lý so sánh trong các lớp F pT (W) và EpT (W) 36 KẾT LUẬN 45 TÀI LIỆU THAM KHẢO 46 iii
MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Cho W là một tập bị chặn của £ n và PSH (W) tập hợp các hàm đa điều hòa dưới trên W. Năm 1982, E. Berfod và B.A. Taylor [2] đã xây dựng toán tử Monge-Ampere phức (dd c .)n cho lớp hàm đa điều hòa dưới bị chặn địa phương, một khái niệm đóng vai trò quan trọng trung tâm trong lý thuyết đa thế vị. Các tác giả đã chỉ ra rằng toán tử này hoàn toàn xác định trên lớp các hàm đa điều hòa dưới bị chặn địa phương và có ảnh trong lớp các độ đo không âm, đồng thời thiết lập nguyên lí so sánh để nghiên cứu bài toán Dirichle trên PSH (W) Ç L¥ (W) . Năm 1984, Kiselman đã chỉ ra rằng không thể mở rộng toán tử (dd c .)n tới lớp các hàm đa điều hòa dưới bất kỳ mà vẫn có ảnh trong lớp các độ đo không âm. Bài toán mở rộng miền xác định của toán tử Monge-Ampere đã được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu. Năm 1998, Cegrell [3] đã định nghĩa các lớp năng lượng E0(W), F p (W), Ep (W) trên đó toán tử Monge-Ampere phức hoàn toàn xác định. Năm 2004, Cegrell [4] đã định nghĩa các lớp E(W), F (W) và chỉ ra rằng lớp E(W) là lớp hàm định nghĩa tự nhiên của toán tử Monge-Ampere phức. Đó là lớp hàm lớn nhất trên đó toán tử Monge – Ampère xác định, liên tục dưới dãy giảm các hàm đa điều hòa dưới. Nghiên cứu các lớp này dẫn đến nhiều kết quả như nguyên lý so sánh, giải bài toán Dirichlet, sự hội tụ theo dung lượng… Năm 2006, Dabbek và Elkhadhra [5] đã mở rộng miền xác định của toán tử (dd c .)q ÙT trong trường hợp hàm đa điều hòa dưới bị chặn, ở đó T là dòng dương đóng song chiều (q, q) trên W với 1 £ q £ n . Năm 2014, Hbil, Jaway và Ghiloufi [9] đã mở rộng miền xác định của toán tử Monge-Ampere tới một vài lớp các hàm đa điều hòa dưới không bị chặn. Theo hướng nghiên cứu này 1
chúng tôi chọn đề tài: “Nguyên lý so sánh đối với toán tử Monge-Ampere phức trong các lớp F pT (W) và EpT (W) ”. 2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 2.1. Mục đích nghiên cứu Mục đích của luận văn là nghiên cứu và trình bày lại các kết quả của Hbil, Jaway và Ghiloufi [9] về mở rộng miền xác định của (dd c .)q ÙT đối với các lớp hàm đa điều hòa dưới không nhất thiết bị chặn với T là một dòng dương đóng song chiều (q, q) trên một tập mở WÌ £ n . Giới thiệu hai lớp F pT (W) và EpT (W) [8] và chỉ ra rằng chúng thuộc miền xác định của toán tử (dd c .)q ÙT . Đồng thời chứng minh rằng tất cả các hàm số thuộc các lớp này đều là C T - tựa liên tục và nguyên lí so sánh có hiệu lực trong các lớp đó. 2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu Trình bày tổng quan và hệ thống các kết quả về dạng vi phân và dòng trong lý thuyết đa thế vị, các tính chất của hàm đa điều hoà dưới, toán tử Monge-Ampère, tính tựa liên tục của hàm đa điều hòa dưới, nguyên lý so sánh Bedford-Taylor, các lớp năng lượng Cegrell. Nghiên cứu một số tính chất của các lớp F pT (W) và EpT (W) . Tính C T - tựa liên tục trong các lớp F pT (W) và EpT (W) . Nghiên cứu nguyên lí so sánh trong các lớp F pT (W) và EpT (W). 3. Phương pháp nghiên cứu Sử dụng các phương pháp của giải tích phức kết hợp với phương pháp của lý thuyết đa thế vị phức. 4. Bố cục của luận văn Nội dung luận văn gồm 47 trang, trong đó có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo. 2
Chương 1: Trình bày tổng quan và hệ thống các kết quả cơ sở của lý thuyết đa thế vị, về dạng vi phân và dòng trong lý thuyết đa thế vị, các tính chất của hàm đa điều hoà dưới, toán tử Monge-Ampère, tính tựa liên tục của hàm đa điều hòa dưới, nguyên lý so sánh Bedford-Taylor, các lớp năng lượng Cegrell. Các nội dung chính của chương này được tham khảo trong tài liệu tham khảo [1]. Chương 2: Là nội dung chính của luận văn, trình bày các kết quả nghiên cứu gần đây của Hbil, Jaway và Ghiloufi [9] về mở rộng miền xác định của (dd c .)q ÙT đối với các lớp hàm đa điều hòa dưới không nhất thiết bị chặn với T là một dòng dương đóng song chiều (q, q) trên một tập mở WÌ £ n . Một số tính chất của các lớp F pT (W) và EpT (W) [8]. Chứng minh tính C T - tựa liên tục của các hàm số thuộc các lớp F pT (W) và EpT (W) và nguyên lí so sánh trong các lớp đó. Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt được. 3
CHƯƠNG 1 CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Dạng vi phân và dòng trong lý thuyết đa thế vị Giả sử ¡ n là không gian vector n chiều với cơ sở chính tắc e j = (0,..., 0,1, 0,..., 0) , ở đó 1 ở vị trí thứ j . Giả sử với mỗi 1 £ j £ n kí hiệu u j là hàm tọa độ thứ j : u j (x ) = x j . Một ánh xạ f : ¡14444 n ´ 42 ´ ¡ 4n3 ® £ gọi là ...4444 p p - tuyến tính nếu nó là tuyến tính theo từng biến khi các biến khác cố định. Một ánh xạ p - tuyến tính sao cho f (v1,..., v p ) = 0 khi v j = v j + 1,1 £ j < n gọi là ánh xạ p - tuyến tính thay dấu. Tập các ánh xạ p - tuyến tính thay dấu từ ¡14444 n ´ 42 ´ ¡ 4n3 tới £ kí hiệu ...4444 Ùp ( ¡ n ,£). p Định nghĩa 1.1.1. Giả sử WÌ ¡ n là tập mở. Một p - dạng vi phân trên W là ánh xạ a :U ® Ùp ( ¡ n ,£). Nếu đặt dx k (x ) = u k , 1 £ k £ n , x Î W thì ta có thể viết mỗi p - dạng vi phân a trên W dưới dạng a (x ) = å I ' a I (x )dx I , trong đó I = (i1,..., ip ) , 1 £ i1 < ... < ip £ n , dx I = dx i Ù ... Ù dx i , a I (x ) là các hàm trên 1 p W. Giả sử a = åI ' a I dx I là p - dạng và b = åJ ' bJ (x )dx J là q - dạng, ở đó 1 £ i1 < ... < i p £ n và 1 £ j1 < ... < jq £ n khi đó tích ngoài a Ù b là 4
( p + q) - dạng cho bởi công thức a Ù b = å L g Ldx L , ở đó g Ldx L = 0 nếu ik = j l với 1 £ k £ p,1 £ l £ q và g Ldx L = (- 1)s a I bJ dx l Ù ... Ù dx l , 1 p+ q 1 £ l1 < ... < lp+ q £ n với s là hoán vị của dãy i1 < i2 < ... < i p và j1 < j 2 < ... < jq trong tập hợp {1, ..., n } để tạo thành dãy tăng 1 £ l1 < ... < lp+ q £ n . Nếu f là một hàm thì f Ù a = f a và ( f a ) Ù b = f ( a Ù b ) . Cho a là p - dạng lớp C 1 . Vi phân ngoài của a là ( p + 1) - dạng cho bởi da = å I 'd a I Ù dx I . Giả sử a = j dx 1 Ù ... Ù dx n , j Î L1(W) . Khi đó ò a = ò j dx 1 Ù ... Ù dx n = ò j dV , dV là độ đo Lebesgue trên W. W W W Định nghĩa 1.1.2. Một dòng bậc p hay có chiều (n - p ) trên tập mở WÌ ¡ n là dạng tuyến tính liên tục T : D (n - p ) ( W) ® £ . Nếu a là dạng trong D (n - p ) ( W) , giá trị của T tại a , kí hiệu bởi T ( a ) hay T , a . Bây giờ giả sử p, q = 0,1,..., n . Ta kí hiệu £ ( p,q) là tập các dạng phức song bậc ( p, q) hệ số hằng trên £ n . Khi đó nếu w Î £ ( p,q) thì có thể biểu diễn: w= å ' wJK dzJ Ù dz K , J = p, K = q trong đó wJK Î £ , dzJ = dz j Ù ... Ù dz j , dz K = dz k Ù ... Ù dz k tổng lấy theo 1 p 1 q các bộ đa chỉ số J = ( j1,..., j p ), K = (k1,..., kq ) với 1 £ j1 < ... < j p £ n , &hler chính tắc trên £ n cho bởi: 1 £ k1 < ... < kq £ n . Dạng K a& 5
i 2 i n b = ¶ ¶ z = å dz j Ù dz j 2 2 j=1 Khi đó dạng thể tích trên £ n @ ¡ 2n cho bởi: 1 n 1 i i i dV = b = Ù ...4443 b14442 Ù b = dz 1 Ù dz 1 Ù dz 2 Ù dz 2 Ù ... Ù dz n Ù dz n n! n! n 2 2 2 i = ( )n dz 1 Ù dz 1 Ù ... Ù dz n Ù dz n 2 Giả sử WÌ £ n là tập mở. Tập các dạng vi phân song bậc ( p, q) với hệ số thuộc C 0¥ (W£ , ) (tương ứng C 0 ( W, £ ) ) được kí hiệu D ( p,q ) ( W) (tương ứng ¢ D0( p,q ) (W) ). (D ( p,q) (W)) là dạng tuyến tính liên tục trên D ( p,q ) (W). Định nghĩa 1.1.3. Mỗi phần tử T Î ( D ( n - p,n - q ) (W))¢ gọi là một dòng song bậc ( p, q) hay ( p, q) - dòng (tương ứng song chiều (n - p, n - q) ). Những phần tử của ( D0(n - p,n - q)(W))¢ gọi là dòng cấp 0 , song bậc ( p, q) (hay ( p, q) - dòng cấp 0 ). Định nghĩa 1.1.4. Giả sử T là ( p, p) - dòng trên tập mở WÌ £ n . T được gọi là dương nếu với mỗi dạng sơ cấp i i i a = a 1 Ù a 1 Ù a 2 Ù a 2 Ù ... Ù a n - p Ù a n - p Î C (n - p,n - p ) 2 2 2 ta có T Ù a là phân bố dương, nghĩa là một độ đo Borel trên W. 1.2. Hàm đa điều hoà dưới Định nghĩa 1.2.1. Cho X là một không gian tôpô, hàm u : X ® éê- ¥ , + ¥ ) ë được gọi là nửa liên tục trên trên X nếu với mọi a Î ¡ tập hợp {x Î X : u(x ) < a } là mở trong X. 6
Định nghĩa 1.2.2. Cho W là một tập con mở của £ n và u : W® éê- ¥ , ¥ ) là ë một hàm nửa liên tục trên và không trùng với - ¥ trên bất kỳ thành phần liên thông nào của W. Hàm u được gọi là đa điều hoà dưới nếu với mỗi a Î W và b Î £ n , hàm l a u (a + l b) là điều hoà dưới hoặc trùng - ¥ trên mỗi thành phần của tập hợp {l Î £ : a + l b Î W}. Trong trường hợp này, ta viết u Î PSH (W) . (ở đây kí hiệu PSH (W) là lớp hàm đa điều hoà dưới trong W). Mệnh đề 1.2.3. Hàm đa điều hoà dưới thoả mãn nguyên lý cực trị trong miền bị chặn, tức là nếu W là một tập con mở liên thông bị chặn của £ n và u Î PSH (W) , thì hoặc u là hằng hoặc với mỗi z Î W, u (z ) < sup lim sup u (y ) . wÎ ¶ W y ® w yÎ W Định nghĩa 1.2.4. Tập hợp E Ì £ n được gọi là đa cực nếu với mỗi điểm a Î E đều có một lân cận V của a và một hàm u Î PSH (V ) sao cho E ÇV Ì {z Î V : u(z ) = - ¥ }. Định lý 1.2.5. Cho Wlà một tập con mở trong £ n . Khi đó (i ) Họ PSH (W) là nón lồi, tức là nếu a , b là các số không âm và u, v Î PSH (W) , thì a u + b v Î PSH (W) . (ii ) Nếu W là liên thông và {u } j jÎ ¥ Ì PSH (W) là dãy giảm, thì u = lim u j Î PSH (W) hoặc u º - ¥ . j® ¥ (iii ) Nếu u : W® ¡ , và nếu {u j } Ì PSH (W) hội tụ đều tới u trên jÎ ¥ các tập con compact của W, thì u Î PSH (W) . 7
(iv ) Giả sử {u a } Ì PSH (W) sao cho bao trên của nó u = sup u a là aÎ A aÎ A bị chặn trên địa phương. Khi đó hàm chính qui nửa liên tục trên u * là đa điều hoà dưới trong W. Định lý 1.2.6. Cho Wlà một tập con mở của £ n . (i ) Cho u, v là các hàm đa điều hoà dưới trong W và v > 0 . Nếu f : ¡ ® ¡ là lồi, thì v f (u / v ) là đa điều hoà dưới trong W. (ii ) Cho u Î PSH (W) , v Î PSH (W) , và v > 0 trong W. Nếu f : ¡ ® ¡ là lồi và tăng dần, thì v f (u / v ) là đa điều hoà dưới trong W. (iii ) Cho u, - v Î PSH (W) , u ³ 0 trong W, và v > 0 trong W. Nếu f : éêë0, ¥ )® é0, ¥ êë ) là lồi và f (0) = 0 , thì vf (u / v ) Î PSH (W) . Định nghĩa 1.2.7. Một miền bị chặn WÌ £ n được gọi là miền siêu lồi nếu tồn tại một hàm đa điều hoà dưới âm, liên tục r : W® (- ¥ , 0) sao cho với c < 0 { Wc = z Î W: r (z ) < c Ð W. } 1.3. Toán tử Monge-Ampère phức Cho u là đa điều hoà dưới trên miền WÌ £ n . Ký hiệu d = ¶ + ¶ và d c = i(¶ - ¶ ) . Nếu u Î C 2 (W) thì toán tử: é ¶ 2u ù = dd cu Ù ... Ù dd cu = 4n n !det êê ú n ( dd cu ) ( ) ( 1444444442 444444443 ) ¶ z ¶ z ú dV , êë j k ú û1£ j ,k £ n n với dV là yếu tố thể tích trong C n gọi là toán tử Monge-Ampe. Toán tử này có thể xem như độ đo Radon trên W, tức là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian các hàm liên tục với giá compact C 0 (W) trên W. 8
n C 0 (W) ' j a ò j dd u ( ). c W Bedford và Taylor đã chứng minh rằng nếu u là đa điều hoà dưới bị chặn địa phương trên W thì tồn tại dãy {um } Ì PSH (W) Ç C ¥ (W) sao cho u m ] u m>1 và {(dd u ) } hội tụ yếu tới độ đo Radon m trên Wtức là: c m n n lim ò j dd cu m ( ) = ò j d m, " j Î C 0 (W) . m W W Hơn nữa m không phụ thuộc vào việc chọn dãy {u }, m ta ký hiệu: (dd cu )n = m và gọi là toán tử Monge-Ampe của u . Sau đây là một vài tính chất cơ bản của toán tử toán tử Monge-Ampe. Mệnh đề 1.3.1. Giả sử mj { } là dãy các độ đo Radon trên tập mở WÌ ¡ n hội tụ yếu tới độ đo Radon m. Khi đó i ) Nếu G Ì W là tập mở thì m(G ) £ lim inf mj (G ) . j® ¥ ii ) Nếu K Ì W là tập compact thì m(K ) ³ lim sup mj (K ) . j® ¥ iii ) Nếu E compact tương đối trong W: m(¶ E ) = 0 thì m(E ) = lim mj (E ) . j® ¥ Mệnh đề 1.3.2. Giả sử WÌ £ n là miền bị chặn và u, v Î PSH (W) Ç L¥loc (W) sao cho u, v £ 0 trên W và lim u (z ) = 0 . Giả sử T là (n - 1, n - 1) - dòng z® ¶W dương, đóng trên W. Khi đó 9
ò vdd u ÙT £ ò udd v ÙT c c . W W Đặc biệt, nếu lim v(z ) = 0 thì ò vdd u ÙT = ò udd v ÙT . c c z® ¶W W W 1.4. Tính tựa liên tục của hàm đa điều hòa dưới Phần này trình bày một kết quả quan trọng của lí thuyết đa thế vị. Đó là chứng minh tính tựa liên tục cho lớp các hàm đa điều hòa dưới. Để đi đến kết quả này, ta cần khái niệm dung lượng tương đối của một tập Borel theo nghĩa của Bedford-Taylor. Định nghĩa 1.4.1. Giả sử WÌ £ n là tập mở và E Ì W là tập Borel. Dung lượng tương đối của E đối với W, kí hiệu là C n (E , W) hay có thể viết là C n (E ) nếu không gặp phải sự hiểu lầm nào khác, là đại lượng cho bởi C n (E ) = C n (E , W) = sup{ò (dd cu )n : u Î PSH (W), - 1 £ u £ 0} . E Theo bất đẳng thức Chern-Levine-Nirenberg C n (E ) là hữu hạn nếu E Ð W. Mệnh đề sau cho một số tính chất của dung lượng tương đối. Mệnh đề 1.4.2. i ) Nếu WÌ B(z 0, R ) thì C n (E , W) ³ 4n n !R - 2n l n (E ) , ở đó l n (E ) là độ đo Lebesgue của E Ì WÌ £ n . ii ) Nếu E 1 Ì E 2 Ì W1 Ì W2 thì C n (E 1, W2 ) £ C n (E 2, W1 ). æ¥ ö ¥ iii ) C n çççUE j , W÷ ÷ ÷ £ å C n (E j , W) . çèj = 1 ÷ ø j=1 10
iv ) Nếu E Ì w Ð W1 Ì W2 Ð £ n thì C n (E , W1 ) £ c( w, W1, W2 )C n (E , W2 ) , ở đó c( w, W1, W) là hằng số. v ) Nếu E j Ì W và E j - E thì lim C n (E j ) = C n (E ) . j® ¥ Mệnh đề 1.4.3. Nếu v Î PSH (W) và K Ð G thì lim C n (K Ç {v < - j }, W) = 0 . j® ¥ Mệnh đề 1.4.4. Giả sử {v j } Ì PSH (W) Ç L¥loc (W) là dãy giảm hội tụ điểm trên W tới v Î PSH (W) Ç L¥loc (W) . Khi đó với mọi K Ð W và d > 0 ta có lim C n (K Ç {v j > v + d}, W) = 0 . j® ¥ Bây giờ ta chứng minh tính tựa liên tục của hàm đa điều hòa dưới. Định lí 1.4.5. Giả sử v là hàm đa điều hòa dưới trên tập mở WÌ £ n . Khi đó với mọi e > 0 tồn tại tập mở G Ì W với C n (G , W) < e và v liên tục trên W\ G . Chứng minh. Lấy tập mở bất kì w Ð W. Chỉ cần chứng minh có tập mở G Ì w với C n (G , W) < e và v liên tục trên w \ G . Thật vậy, khi đó ta có thể chọn dãy e {wj },wj Ð W, wj - W và các tập mở G j Ì wj sao cho C n (G j , W) < và v liên 2j ¥ tục trên mỗi wj \ G j . Đặt G = UG j . Khi đó G Ì W là tập mở và j=1 ¥ C n (G , W) £ å j=1 C n (G j , W) < e . 11
và với mọi tập mở U Ð W ta có U \ G Ì wj \ G j với j nào đó. Vậy v liên tục trên U \ G . Do đó v liên tục trên W\ G . Đặt G 1 = w Ç {v < - j } , ở đây j e được chọn sao cho C n (G 1, W) < (do Mệnh đề 1.4.3). Đặt v%= max{v, - j } và 2 giả sử { vk } là dãy giảm các hàm đa điều hòa dưới liên tục xác định trên lân cận của w giảm tới v%. Do Mệnh đề 1.4.4 với j = 2, 3,... tồn tại k ( j ) sao cho với G = w Ç {vk ( j ) > v%+ d} , ta có C n (G j , W) < 2- j e . ¥ Đặt Gj = U j=1 Gj . Khi đó C n (G , W) < e và trên w\ G ta có 0 £ vk ( j ) - v%£ d . Vậy vk ( j ) ® v%đều trên w \ G , do đó v% liên tục trên w \ G . Nhưng trên w \ G thì v j ³ - j . Vậy v = v%. Do đó v liên tục trên w \ G . Sau đây là một ứng dụng quan trọng của tính tựa liên tục của hàm đa điều hòa dưới. Đó là nguyên lí so sánh đối với hàm đa điều hòa dưới bị chặn địa phương. 1.5. Nguyên lý so sánh Bedford-Taylor Định lý 1.5.1. Giả sử WÌ £ n là miền bị chặn và u , v Î PSH (W) Ç L¥ (W) sao cho lim inf(u(z ) - v(z )) ³ 0 . Khi đó z® ¶W ò ( dd cv )n £ ò ( dd cu )n . (1.1) {u < v } {u < v } Chứng minh. Theo giả thiết lim inf(u(z ) - v(z )) ³ 0 . Điều này có nghĩa là với z® ¶W mọi e > 0 tồn tại K Ð W sao cho " z Î W\ K thì u (z ) - v(z ) ³ - e . Hơn nữa khi thay u bởi u + d, d> 0 , thì {u + d < v } Z {u < v} khi d ] 0 . Nếu 12
bất đẳng thức (1.1) đúng trên u + d < v thì cho d ] 0 suy ra (1.1) đúng trên {u < v }. Vì vậy có thể giả sử lim infz ® ¶ W(u (z ) - v(z )) ³ d > 0 . Vậy {u < v }Ð W. a ) Giả sử u, v là các hàm liên tục. Khi đó W¢= {u < v } là tập mở, u, v liên tục trên W¢ và u = v trên ¶ W¢. Với e > 0 , đặt u e = max {u + e, v }. Từ giả thiết lim inf(u(z ) - v(z )) ³ d suy ra u (z ) - v(z ) > d - e hay z® ¶W u (z ) + e ³ v(z ) + d > v(z ) với z gần biên ¶W. Vậy u e = u (z ) + e gần ¶W và u e ] v trên W¢. Theo công thức Stokes ta có ò (dd u ) ò (dd u ) ò ò c n c n e = hay (dd cu e )n = (dd cu )n . W¢ W¢ {u < v } {u < v } Vì u e ] v nên (dd cu e )n ® (dd cv )n . Vậy ò (dd c v )n £ lim inf e® 0 ò (dd c u e )n = ò (dd c u )n . {u < v } {u < v } {u < v } b) Giả sử u, v tùy ý và w là miền sao cho {u £ v + d / 2}Ð w Ð W. Tồn tại hai dãy u j và v k các hàm đa điều hòa dưới trơn trên lân cận của w giảm tới u và v sao cho u j ³ vk trên ¶ w với mọi i, k . Có thể coi - 1 £ u j , vk £ 0 . Lấy e > 0 và giả sử G Ì W là tập mở sao cho C n (G , W) < e , u, v là các hàm liên tục trên W\ G . Theo Định lí Tietze tồn tại hàm j liên tục trên W sao cho v = j trên F = W\ G . Ta có 13
ò (dd cv )n = lim j® ¥ ò (dd cv )n . {u < v } {u j < v} Nhưng {u j < v } Ì {u j < j }È G và vì {u j < j } là tập mở nên ò (dd cv )n £ ò (dd cv )n + ò (dd v) £ lim ò (dd cvk )n + e , c n k® ¥ {u j < v} {u j < j } G {u j < v} vì C n (G , W) < e và (dd c vk )n hội tụ yếu tới (dd cv )n . Từ {u j < j }Ì {u j < v }È G và {u j < v } Ì {u j < vk } suy ra ò (dd cvk )n £ ò (dd cvk )n + ò (dd v ) £ ò (dd cvk )n + e . c n k {u j < j } {u j < v} G {u j < vk } Áp dụng a ) vào các hàm liên tục u j và v k ta thu được ò (dd cvk )n = ò (dd cu j )n . {u j < vk } {u j < vk } Do đó ò (dd cv )n £ lim inf lim inf j® ¥ k® ¥ ò (dd cu j )n + 2e {u < v } {u j < vk } £ lim sup j® ¥ ò (dd cu j )n + 2e . {u j £ v} Hơn nữa ò (dd cu j )n £ ò (dd cu j )n + e {u j £ v} {u j £ v }ÇF 14
và do {u £ v }Ç F là tập compact và u j £ v Ì { } {u £ v } nên ta có lim sup j® ¥ ò (dd cu j )n £ ò (dd cu )n £ ò (dd cu )n . {u j £ v}ÇF {u £ v }ÇF {u £ v } Do e > 0 tùy ý nên ta được ò ( dd cv )n £ ò ( dd cu )n . {u < v } {u £ v } Từ đó với mọi h > 0 ta có ò ( dd cv )n £ ò ( dd c (u + h))n = ò (dd cu )n . {u + h< v } {u + h£ v } {u + h£ v } Nhưng {u + h < v}Z {u < v} và {u + h £ v}Z {u < v} khi h ] 0. Do đó ò ( dd cv )n £ ò ( dd cu )n . W {u < v } {u < v } Hệ quả 1.5.2. Giả sử WÌ £ n là miền bị chặn và u , v Î PSH (W) Ç L¥ (W) sao cho u £ v và lim u(z ) = lim v(z ) = 0 . Khi đó z® ¶W z® ¶W ò (dd v) £ ò (dd u ) c n c n . ( W) ( W) Hệ quả 1.5.3. Cho WÌ £ n là miền bị chặn và u , v Î PSH (W) Ç L¥ (W) sao cho lim inf(u(z ) - v(z )) ³ 0 . Giả sử (dd cu )n £ (dd cv )n trên W. Khi đó u £ v z® ¶W trên W. 15