Luận văn Thạc sĩ Toán học: Nguyên lý tựa độ lệch trong hiệu chỉnh tìm nghiệm chung cho một họ phương trình không chỉnh đơn điệu và phi tuyến

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:56

Thêm vào BST

Báo xấu

13
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu chính của đề tài là nghiên cứu phương pháp hiệu chỉnh và nguyên lý tựa độ lệch trong hiệu chỉnh tìm nghiệm chung cho một họ phương trình không chỉnh, đơn điệu và phi tuyến. Mời các bạn tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Nguyên lý tựa độ lệch trong hiệu chỉnh tìm nghiệm chung cho một họ phương trình không chỉnh đơn điệu và phi tuyến

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC CHU MINH THÀNH NGUYÊN LÝ TỰA ĐỘ LỆCH TRONG HIỆU CHỈNH TÌM NGHIỆM CHUNG CHO MỘT HỌ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG CHỈNH, ĐƠN ĐIỆU VÀ PHI TUYẾN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2015
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC CHU MINH THÀNH NGUYÊN LÝ TỰA ĐỘ LỆCH TRONG HIỆU CHỈNH TÌM NGHIỆM CHUNG CHO MỘT HỌ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG CHỈNH, ĐƠN ĐIỆU VÀ PHI TUYẾN Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TS. NGUYỄN BƯỜNG Thái Nguyên - 2015
i Mục lục Lời cảm ơn ii Mở đầu 1 1 Một số vấn đề cơ bản 3 1.1 Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2 Sự hội tụ trong không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.3 Không gian phản xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.4 Đạo hàm Fréchet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.5 Không gian lồi chặt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.6 Không gian Ephinmov Stechkin (ES) . . . . . . . . . . . . 5 1.1.7 Tính lồi trơn của không gian Banach . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.8 Bổ đề Minty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Bài toán đặt không chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.1 Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.2 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4 Phương pháp hiệu chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4.1 Khái niệm về toán tử hiệu chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4.2 Chọn tham số hiệu chỉnh theo độ lệch . . . . . . . . . . . . 11 2 Hiệu chỉnh cho phương trình với toán tử đơn điệu 16
ii 2.1 Bài toán không chỉnh với toán tử đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . 16 2.1.1 Thuật toán cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.1.2 Nguyên lý độ lệch chọn tham số hiệu chỉnh . . . . . . . . . 24 2.1.3 Tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh . . . . . . . . . . . . . 33 2.2 Nguyên lý tựa độ lệch trong hiệu chỉnh tìm nghiệm chung cho một họ phương trình không chỉnh đơn điệu và phi tuyến . . . . . . . . . 38 2.2.1 Mô tả phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.2.2 Sự hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Kết luận 50 Tài liệu tham khảo 51
iii Lời cảm ơn Đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới GS.TS. Nguyễn Bường, người đã đặt đề tài và tận tình hướng dẫn để luận văn này được hoàn thành. Tôi xin chân thành cảm ơn Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đã tạo mọi điều kiện thuận lợi trong quá trình học tập của tôi. Tôi cũng xin được cảm ơn sự nhiệt tình giảng dạy của các giảng viên trong suốt thời gian tôi học tập. Tôi xin cảm ơn các anh chị em lớp Cao học Toán khóa 2013-2015, chuyên ngành Toán ứng dụng đã luôn động viên và chia sẻ những khó khăn với tôi trong suốt thời gian học tập. Cuối cùng, tôi xin gửi những lời cảm ơn đặc biệt nhất tới đại gia đình, bạn bè và các anh chị em đồng nghiệp, những người luôn động viên khích lệ giúp tôi hoàn thành luận văn này.
1 Mở đầu Trong thực tế, có những bài toán mà chỉ cần thay đổi nhỏ từ dữ kiện ban đầu có thể dẫn đến một sự sai khác rất lớn của nghiệm, đôi khi làm bài toán trở nên vô nghiệm hoặc vô định. Người ta gọi đây là bài toán đặt không chỉnh. Việc nghiên cứu bài toán này sẽ cho ta nhìn thấy được ứng dụng rộng rãi của Toán học trong thực tế cuộc sống. Bởi tầm quan trọng của lý thuyết bài toán đặt không chỉnh mà có rất nhiều nhà toán học đã dành tâm sức vào việc tìm một phương pháp giải tối ưu cho bài toán này. Tiêu biểu có thể kể đến như Alber Ya.I., Atkinson K.E., Bakushinskii A.B., Baumeiser J., Engl H.W. và các nhà toán học Việt Nam cũng đã nghiên cứu và có nhiều đóng góp cho lý thuyết này, tiêu biểu như GS.TS. Nguyễn Bường, GS.TSKH. Phạm Kỳ Anh. Trong khuôn khổ của luận văn này, tôi xin trình bày một vấn đề nằm trong lý thuyết trên, đó là “Nguyên lý tựa độ lệch trong hiệu chỉnh tìm nghiệm chung cho một họ phương trình không chỉnh đơn điệu và phi tuyến”. Mục tiêu chính của đề tài là nghiên cứu phương pháp hiệu chỉnh và nguyên lý tựa độ lệch trong hiệu chỉnh tìm nghiệm chung cho một họ phương trình không chỉnh, đơn điệu và phi tuyến. Bố cục luận văn gồm 2 chương: • Chương 1. Một số vấn đề cơ bản. • Chương 2. Hiệu chỉnh cho phương trình với toán tử đơn điệu. Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn của GS.TS. Nguyễn Bường. Mặc dù tác giả đã cố gắng nhưng do vấn đề nghiên cứu phức tạp, mới mẻ và khả năng hạn chế của bản thân nên khó
2 tránh khỏi thiếu sót, rất mong nhận được những sự đóng góp của quý thầy cô và bạn đọc. Thái Nguyên, ngày 20 tháng 5 năm 2015 Chu Minh Thành Học viên Cao học Toán Lớp B, khóa 06/2013-06/2015 Chuyên ngành Toán ứng dụng Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Email: chuminhthanhsp@gmail.com
3 Chương 1 Một số vấn đề cơ bản 1.1 Không gian Banach 1.1.1 Định nghĩa Định nghĩa 1.1. Không gian định chuẩn là không gian tuyến tính X trong đó ứng với mỗi phần tử x ∈ X có một số kxk gọi là chuẩn của x, thỏa mãn các điều kiện sau: (1) kxk > 0 với mọi x 6= 0. Đẳng thức kxk = 0 xảy ra khi và chỉ khi x = 0. (2) kx + yk ≤ kxk + kyk với mọi x, y ∈ X. (3) kαxk ≤ |α| kxk với mọi x ∈ X và α ∈ R. Không gian định chuẩn đầy đủ gọi là không gian Banach. Ví dụ 1.1. Không gian Lp [a, b] với 1 ≤ p < +∞ là không gian Banach với chuẩn  b  p1 Z p kϕk =  |ϕ(x)| dx , ϕ ∈ Lp [a, b] . a 1.1.2 Sự hội tụ trong không gian Banach Dãy các phần tử {xn } trong không gian Banach X được gọi là hội tụ đến phần tử x0 ∈ X khi n → +∞, nếu kx − x0 k → 0 khi n → +∞, kí hiệu là xn → x0 . Sự hội tụ theo chuẩn được gọi là hội tụ mạnh.
4 Dãy {xn } được gọi là hội tụ yếu đến x0 , kí hiệu là xn * x0 , nếu với mọi f ∈ X ∗ là không gian liên hợp của X, ta có f (xn ) → f (x0 ) khi n → +∞. Tính chất 1.1. Từ định nghĩa trên ta có các tính chất sau • Từ sự hội tụ mạnh của một dãy suy ra sự hội tụ yếu của dãy đó. • Giới hạn yếu nếu có một dãy là duy nhất. • Nếu xn * x0 thì sup kxn k < ∞ và kxk ≤ lim kxn k. 1≤n
5 tính liên tục T : X → Y sao cho A (x + h) = A (x) + T h + o (khk) , h→0 với mọi h thuộc lân cận điểm không. Nếu T tồn tại thì nó được gọi là đạo hàm Fréchet của A tại x và kí hiệu A0 (x) = T . 1.1.5 Không gian lồi chặt Không gian Banach X được gọi là không gian lồi chặt nếu mặt cầu đơn vị S = S (x) = {x ∈ X : kxk = 1} của X là lồi chặt, tức là từ x, y ∈ S kéo theo kx + yk < 2. Do đó mọi mặt cầu khác cũng lồi chặt. 1.1.6 Không gian Ephinmov Stechkin (ES) Không gian Banach X được gọi là không gian ES (hay không gian có tính ES) nếu X phản xạ và trong X sự hội tụ yếu và sự hội tụ theo chuẩn luôn kéo theo sự hội tụ mạnh. 1.1.7 Tính lồi trơn của không gian Banach Tính lồi và trơn của một không gian Banach bất kì được mô tả bởi ánh xạ đối ngẫu U s với s ≥ 2 của X. Ánh xạ này tồn tại trong mọi không gian Banach X và được xác định như sau s−1 s U s (x) = {x∗ ∈ X ∗ : hx∗ , xi = kx∗ k kxk = kxk }. Khi s = 2 thì U s thường được viết là U và được gọi là ánh xạ đối ngẫu chuẩn của không gian X.
6 1.1.8 Bổ đề Minty Cho X là một không gian Banach thực, f ∈ X ∗ và A là một toán tử h-liên tục từ X vào X ∗ . Khi đó, nếu có hA (x) − f, x − x0 i ≥ 0, với mọi x ∈ X, thì A (x0 ) = f. 1.2 Không gian Hilbert Định nghĩa 1.2. Cho H là một không gian tuyến tính trên R. Một tích vô hướng trong H là một ánh xạ h·, ·i thỏa mãn các điều kiện sau: (1) hx, xi > 0, với mọi x 6= 0. Đẳng thức hx, xi = 0 xảy ra khi và chỉ khi x = 0. (2) hx, yi = hy, xi với mọi x, y ∈ H. (3) hαx, yi = α hx, yi , với mọi x, y ∈ H và mọi α ∈ R. (4) hx + y, zi = hx, zi + hy, zi với mọi x, y, z ∈ H. Không gian tuyến tính H cùng với tích vô hướng h·, ·i được gọi là không gian tiền Hilbert. Không gian tiền Hilbert đầy đủ được gọi là không gian Hilbert. Chuẩn của phần tử x trong H kí hiệu là kxk và được các định bằng công thức p kxk = hx, xi. Ví dụ 1.2. Không gian Rn có tích vô hướng là n X hx, yi = ξi ηi , x = (ξ1 , ξ2 , . . . , ξn ) ∈ Rn , y = (η1 , η2 , . . . , ηn ) ∈ Rn . i=1 Ví dụ 1.3. Không gian L2 [a, b] là không gian Hilbert với tích vô hướng được xác định bởi Zb ϕ(x)ψ(x)dx, ϕ, ψ ∈ L2 [a, b] . a
7 Khái niệm 1.1. Cho H là không gian Hilbert, một dãy {xn } gồm các phần tử xn ∈ H gọi là hội tụ yếu tới phần tử x ∈ H nếu hφ, xn i → hφ, xi với mỗi φ ∈ H ∗ , trong đó H ∗ là không gian liên hợp của H. Khái niệm 1.2. Cho H là không gian Hilbert, một dãy {xn } gồm các phần tử xn ∈ H gọi là hội tụ mạnh đến phần tử x ∈ H nếu kxn − xk → 0 khi n → ∞. Nếu dãy {xn } hội tụ mạnh đến phần tử x ∈ H thì • Mỗi dãy con {xnk } ⊂ {xn } cũng hội tụ đến x. • Mỗi dãy {kxn − ξk} bị chặn với ξ ∈ H. Khái niệm 1.3. Dãy {xn } ⊂ H được gọi là Cauchy nếu với mỗi ε > 0, tồn tại n0 (ε) sao cho kxm − xn k < ε, với mọi m ≥ n0 (ε), n ≥ n0 (ε). Khái niệm 1.4. Tập tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên H được gọi là không gian liên hợp (hay không gian đối ngẫu của H) và kí hiệu là H ∗ . Khái niệm 1.5. Cho H là không gian Hilbert, X là tập con khác rỗng của H. Khi đó • X được gọi là tập lồi nếu với mọi x, y ∈ X và 0 ≤ λ ≤ 1 ta có λx+(1−λ)y ∈ X. • X được gọi là compact nếu mọi dãy {xn } ⊂ X đều chứa một dãy con hội tụ đến một điểm thuộc X.
8 Khái niệm 1.6. Một phiếm hàm ϕ xác định trên H được gọi là lồi nếu: ϕ(tx + (1 − t)y) ≤ tϕ(x) + (1 − t)ϕ(y), với mọi x, y ∈ H, t ∈ [0; 1]. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y, thì ϕ được gọi là lồi chặt. Nếu tồn tại một hàm liên tục tăng γ : [0; +∞) → R, γ(0) = 0 sao cho ϕ(tx + (1 − t)y) ≤ tϕ(x) + (1 − t)ϕ(y) − t(1 − t)γ(kx − yk) với mọi x, y ∈ H, t ∈ [0; 1] thì ϕ được gọi là lồi đều và hàm γ(t) gọi là modun lồi của ϕ. Nếu γ (t) = ct2 với c > 0 thì phiếm hàm ϕ được gọi là lồi mạnh. Khái niệm 1.7. Toán tử A : X → Y được gọi là: • Liên tục tại x0 ∈ X nếu có dãy con {xn } ⊂ X sao cho Ax → Ax0 khi xn → x0 . • Liên tục Lipschitz nếu tồn tại hằng số L > 0 sao cho kAx − Ayk ≤ L kx − yk , với mọi x, y ∈ X. Định lí 1.1. Mỗi tập con đóng và bị chặn của một không gian Hilbert là compact yếu, tức là với mỗi dãy bị chặn trong X có thể trích ra được một dãy con hội tụ tới một phần tử của không gian này. Tập con X của không gian Hilbert H được gọi là đóng yếu, nếu dãy {xn } hội tụ yếu đến x thì x thuộc X. Định lí 1.2. (1) Nếu ϕ(x) là một phiếm hàm lồi trên H thì ϕ0 (x) thỏa mãn bất đẳng thức hϕ0 (x) − ϕ0 (y), x − yi ≥ 0, với mọi x, y ∈ H. (2) Nếu ϕ(x) là một phiếm hàm lồi đều trên H thì ϕ0 (x) thỏa mãn bất đẳng thức 2 hϕ0 (x) − ϕ0 (y), x − yi ≥ 2γ(kx − yk ) với mọi x, y ∈ H.
9 (3) Nếu ϕ(x) là một phiếm hàm lồi mạnh trên H thì ϕ0 (x) thỏa mãn bất đẳng thức 2 hϕ0 (x) − ϕ0 (y), x − yi ≥ 2γ(kx − yk ), với mọi x, y ∈ H. 1.3 Bài toán đặt không chỉnh 1.3.1 Khái niệm Việc tìm nghiệm x của bất kỳ bài toán nào cũng phải dựa vào dữ kiện ban đầu f , có nghĩa là x = R(f ). Ta sẽ coi nghiệm cũng như các dữ kiện đó là những phần tử thuộc không gian X và Y với các độ đo tương ứng là ρX (x1 , x2 ) và ρY (f1 , f2 ) với x1 , x2 ∈ X và f1 , f2 ∈ Y . Giả sử đã có khái niệm thế nào là nghiệm của một bài toán. Khi đó, bài toán tìm nghiệm x = R(f ) được gọi là ổn định trên cặp không gian (X, Y ), nếu với mỗi số ε > 0 có thể tìm được một số δ(ε) > 0, sao cho từ ρY (f1 , f2 ) ≤ δ(ε) cho ta ρX (x1 , x2 ) ≤ ε, ở đây x1 = R(f1 ), x2 = R(f2 ), f1 , f2 ∈ Y, x1 , x2 ∈ X. Định nghĩa 1.3. Bài toán tìm nghiệm x ∈ X theo dữ kiện f ∈ Y được gọi là bài toán đặt không chỉnh trên cặp không gian (X, Y ) nếu ít nhất một trong ba điều kiện sau không được thỏa mãn (1) Với mỗi f ∈ Y tồn tại nghiệm x ∈ X. (2) Nghiệm x đó được xác định một cách duy nhất. (3) Bài toán này ổn định trên cặp không gian (X, Y ).
10 1.3.2 Ví dụ Xét bài toán Cauchy cho phương trình Laplace hai chiều  ∂ 2u ∂ 2u + = 0,   ∂x2 ∂y 2       u(x, 0) = f (x), (T )  
∂u  
= ϕ(x), −∞ < x < +∞  
  ∂y
y=0 ở đây f (x) và ϕ(x) là các hàm cho trước. Nếu lấy f (x) = f1 (x) ≡ 0 và ϕ(x) = ϕ1 (x) = 1 a sin(ax), thì nghiệm của bài toán trên là 1 u1 (x, y) = sin(ax) sinh(ay), a > 0. a2 Nếu lấy f (x) = f2 (x) = ϕ(x) = ϕ2 (x) ≡ 0 thì nghiệm của bài toán (T ) là u2 (x, y) ≡ 0. Với khoảng cách giữa các hàm cho trước và nghiệm được xét trong độ đo đều ta có ρC (f1 , f2 ) = sup |f1 (x) − f2 (x)| = 0 x 1 ρC (ϕ1 , ϕ2 ) = sup |ϕ1 (x) − ϕ2 (x)| = . x a Với a khá lớn thì khoảng cách giữa hai hàm ϕ1 và ϕ2 lại khá nhỏ. Trong khi đó, khoảng cách giữa các nghiệm ρC (u1 , u2 ) = sup |u1 (x, y) − u2 (x, y)| (x,y)