Luận văn Thạc sĩ Toán học: Nhóm Lie và biểu diễn đối phụ hợp

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO<br /> TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH<br /> --------------------------------<br /> <br /> Đoàn Công Thắng<br /> <br /> NHÓM LIE VÀ BIỂU DIỄN ĐỐI PHỤ HỢP<br /> <br /> Chuyên ngành: Hình học và Tôpô<br /> Mã số: 60 46 10<br /> LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC<br /> <br /> NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:<br /> PGS.TS. LÊ ANH VŨ<br /> <br /> Thành phố Hồ Chí Minh – 2012<br /> <br /> LỜI CẢM ƠN<br /> Lời đầu tiên, chúng tôi xin chân thành cảm ơn chân thành đến Thầy Cô<br /> Khoa Toán – Tin học Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh tận<br /> tình giảng dạy chúng tôi trong suốt khóa học vừa qua.<br /> Đặc biệt, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Lê Anh Vũ,<br /> người thầy đã gợi mở hương nghiên cứu, hướng giải quyết vấn đề một cách<br /> khoa học, đọc và chỉnh sửa tỉ mỉ cho luận văn của tôi.<br /> Tôi xin gửi lời cám ơn đến quý thầy cô phòng sau đại học đã tạo mọi<br /> điều kiện thuận lợi cho chúng tôi hoàn thành chương trình học.<br /> Tôi xin chân thành cảm ơn NCS Dương Quang Hòa đã giúp đỡ tôi trong<br /> quá trình học tập.<br /> Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu, quý thầy cô, đồng nghiệp<br /> Trường THPT Nguyễn Thị Minh Khai tỉnh Bến Tre đã tạo điều kiện thuận lợi<br /> cho tôi đi học.<br /> Cuối cùng tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến gia đình tôi, bạn bè,<br /> những người luôn động viên, chia sẻ và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học<br /> tập và nghiên cứu.<br /> Tp HCM, ngày 7 tháng 6 năm 2012<br /> <br /> Đoàn Công Thắng<br /> <br /> MỤC LỤC<br /> LỜI CẢM ƠN....................................................................................................................... 2<br /> BẢNG KÍ HIỆU ................................................................................................................... 4<br /> MỞ ĐẦU ............................................................................................................................... 5<br /> Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ .................................................................................... 7<br /> 1.1.<br /> Nhắc lại khái niệm cơ bản về đa tạp khả vi ........................................................... 7<br /> 1.1.1.<br /> Cấu trúc khả vi trên không gian tôpô ............................................................. 7<br /> 1.1.2.<br /> Các ví dụ ........................................................................................................ 8<br /> 1.1.3.<br /> Tích các đa tạp khả vi .................................................................................... 8<br /> 1.1.4.<br /> Ánh xạ khả vi ................................................................................................. 9<br /> 1.1.5.<br /> Không gian vectơ tiếp xúc với M tại một điểm ............................................. 9<br /> 1.1.6.<br /> Trường vectơ tiếp xúc của đa tạp khả vi ...................................................... 10<br /> 1.2.<br /> Nhắc lại khái niệm cơ bản về nhóm Lie .............................................................. 12<br /> 1.2.1 Định nghĩa và ví dụ ........................................................................................... 12<br /> 1.2.2 Nhóm Lie con. Đồng cấu và đẳng cấu nhóm Lie ............................................ 13<br /> 1.2.3 Nhóm Lie thương .............................................................................................. 15<br /> 1.3.<br /> Nhắc lại khái niệm cơ bản về đại số Lie .............................................................. 15<br /> 1.3.1.<br /> Định nghĩa .................................................................................................... 15<br /> 1.3.2.<br /> Các ví dụ ...................................................................................................... 16<br /> 1.3.3.<br /> Đồng cấu đại số Lie ..................................................................................... 17<br /> 1.3.4.<br /> Biểu diễn chính quy của đại số Lie .............................................................. 18<br /> 1.3.5.<br /> Đại số Lie giải được và đại số Lie lũy linh .................................................. 19<br /> 1.4.<br /> Sự liên hệ giữa nhóm Lie và đại số Lie ............................................................... 21<br /> 1.4.1.<br /> Đại số Lie tương ứng với một nhóm Lie đã cho .......................................... 21<br /> 1.4.2. Nhóm Lie liên thông đơn liên tương ứng với đại số Lie ................................... 22<br /> 1.4.3<br /> Ánh xạ mũ exponent .................................................................................... 22<br /> Chương 2. BIỂU DIỄN NHÓM LIE .................................................................................. 24<br /> 2.1<br /> Khái niệm cơ bản về biểu diễn............................................................................. 24<br /> 2.2<br /> Biểu diễn phụ hợp và K-biểu diễn lớp MD-nhóm và MD-đại số ........................ 25<br /> 2.2.1<br /> K-biểu diễn của một nhóm Lie .................................................................... 25<br /> 2.2.2<br /> Các MD-nhóm và MD-đại số ...................................................................... 32<br /> 2.3<br /> Nhắc lại phương pháp mô tả các K-quỹ đạo ........................................................ 33<br /> Chương 3. MÔ TẢ K-QUỸ ĐẠO CỦA MỘT LỚP CON CÁC MD5-NHÓM LIÊN<br /> THÔNG ĐƠN LIÊN ............................................................................................................ 37<br /> 3.1 Lớp con các MD5-đại số có ideal dẫn xuất giao hoán 4 chiều .................................. 37<br /> 3.2<br /> Bức tranh hình học các K-quỹ đạo của các MD5-nhóm liên thông đơn liên tương<br /> ứng với các MD5-đại số đã xét ........................................................................................ 41<br /> KẾT LUẬN ......................................................................................................................... 48<br /> TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................................. 49<br /> <br /> BẢNG KÍ HIỆU<br /> Aut (V): nhóm các tự đẳng cấu trên không gian vectơ V.<br /> Aut G : nhóm các tự đẳng cấu tuyến tính trên G.<br />  : trường số phức.<br /> <br /> C ∞ (V ) : không gian các hàm khả vi vô hạn lần trên đa tạp V.<br /> End(V) : không gian các đồng cấu trên không gian vectơ V.<br /> exp : ánh xạ mũ exp.<br /> G* : không gian đối ngẫu của đại số Lie G.<br /> GL(n,R): nhóm tuyến tính tổng quát cấp n hệ số thực.<br /> Mat(n; R) : tập hợp các ma trận vuông cấp n hệ số thực.<br />  : trường số thực.<br /> <br /> TeG là không gian tiếp xúc của G tạo điểm đơn vị e.<br /> <br /> Ω F : quỹ đạo Kirillove qua F.<br /> <br /> MỞ ĐẦU<br /> Một trong những bài toán cơ bản và quan trọng nhất của lý thuyết biểu<br /> diễn chính là bài toán phân loại biểu diễn. Cụ thể là cho trước một nhóm Lie<br /> G, hãy phân loại tất cả các biểu diễn unita bất khả quy của G (sai khác một<br /> đẳng cấu).<br /> Đối tượng quan trọng của lý thuyết biểu diễn chính là nhóm Lie và đại số<br /> Lie. Vấn đề nghiên cứu và phân loại biểu diễn của nhóm Lie và đại số Lie là<br /> một hướng nghiên cứu lớn trong Hình học – Tôpô và có rất nhiều ứng dụng<br /> trong Vật lý, đặc biệt là vật lý lượng tử. Để giải quyết bài toán này, năm 1962,<br /> A.A.Kirillove đã phát minh ra phương pháp quỹ đạo để nghiên cứu lý thuyết<br /> biểu diễn nhóm Lie, phương pháp này cho phép ta nhận được tất cả các biểu<br /> diễn unita bất khả quy của mỗi nhóm Lie liên thông, đơn liên, giải được từ<br /> các K-quỹ đạo nguyên của nó.<br /> Đóng vai trò then chốt trong phương pháp quỹ đạo Kirillove chính là các<br /> K-quỹ đạo của biểu diễn đối phụ hợp (hay còn gọi là K-biểu diễn). Do đó,<br /> việc mô tả các K-quỹ đạo của mỗi nhóm Lie, nhất là các nhóm Lie liên thông<br /> giải được, có ý nghĩa quan trọng trong lý thuyết biểu diễn nhóm Lie.<br /> Đó cũng là lý do chúng tôi chọn đề tài: “ Nhóm Lie và biểu diễn đối<br /> phụ hợp”<br /> Nội dung luận văn bao gồm phần mở đầu, ba chương nội dung và phần<br /> kết luận. Cụ thể<br /> Phần mở đầu: Nêu xuất xứ của vấn đề và lý do chọn đề tài .<br /> Chương 1: Nều lại kiến thức cơ bản về đa tạp khả vi, nhóm Lie, đại số<br /> Lie, các ví dụ minh họa về nhóm Lie, đại số Lie, sự liên hệ<br /> giữa nhóm Lie và đại số Lie.<br /> <br />