Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương pháp hiệu chỉnh tìm điểm bất động chung của nửa nhóm không giãn trong không gian Hilbert

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:46

Thêm vào BST

Báo xấu

21
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong luận văn này, dựa trên một số kết quả đã có về phương pháp hiệu chỉnh Browder–Tikhonov cho bất đẳng thức biến phân và bài toán điểm bất động chung của một họ vô hạn các ánh xạ không giãn, chúng tôi nghiên cứu và trình bày phương pháp hiệu chỉnh cho nửa nhóm không giãn trong không gian Hilbert. Mời các bạn tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương pháp hiệu chỉnh tìm điểm bất động chung của nửa nhóm không giãn trong không gian Hilbert

ĐẠI HỌC THÁI NGHUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NÔNG THỊ HIỆU PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH TÌM ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA NỬA NHÓM KHÔNG GIÃN TRONG KHÔNG GIAN HILBERT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2018
ĐẠI HỌC THÁI NGHUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NÔNG THỊ HIỆU PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH TÌM ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA NỬA NHÓM KHÔNG GIÃN TRONG KHÔNG GIAN HILBERT Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 8 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN TS. PHẠM THANH HIẾU THÁI NGUYÊN - 2018
ii Mục lục Mục lục i Lời cảm ơn iv Một số ký hiệu và viết tắt v Mở đầu 1 Chương 1. Bài toán đặt không chỉnh và bài toán điểm bất động 3 1.1. Bài toán đặt không chỉnh và phương pháp hiệu chỉnh . . . . 3 1.1.1. Bài toán đặt không chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.2. Phương pháp hiệu chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2. Bài toán điểm bất động của ánh xạ không giãn . . . . . . . 12 1.2.1. Ánh xạ không giãn và nửa nhóm ánh xạ không giãn . 12 1.2.2. Một số phương pháp tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Chương 2. Phương pháp hiệu chỉnh cho nửa nhóm không giãn 17 2.1. Bài toán tìm điểm bất động chung của nửa nhóm không giãn 17 2.2. Phương pháp hiệu chỉnh Browder - Tikhonov . . . . . . . . 21 2.2.1. Mô tả phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2.2. Sự tồn tại và sự hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.3. Phương pháp hiệu chỉnh lặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.3.1. Mô tả phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
iii 2.3.2. Sự hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.4. Ví dụ số minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.4.1. Minh họa số cho phương pháp hiệu chỉnh (2.17) . . . 32 2.4.2. Minh họa số cho phương pháp (2.25) . . . . . . . . . 33 Kết luận 35 Tài liệu tham khảo 36
iv Lời cảm ơn Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học–Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của TS. Phạm Thanh Hiếu. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới cô. Trong quá trình học tập và nghiên cứu tại trường Đại học Khoa học– Đại học Thái Nguyên tác giả luôn nhận được sự quan tâm giúp đỡ và động viên của các thầy cô giáo của khoa Toán–Tin và các thầy cô giáo trong trường. Tác giả xin bày tỏ lời trân trọng cảm ơn tới các thầy cô. Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu trường Trung học phổ thông Hà Quảng - Hà quảng - Cao Bằng và các anh chị em đồng nghiệp đã tạo điều kiện tốt nhất cho tác giả trong thời gian đi học Cao học. Xin cảm ơn các anh chị em học viên lớp cao học K10A và bạn bè đồng nghiệp đã trao đổi, động viên và khích lệ tác giả trong quá trình học tập và làm luận văn tại trường Đại học Khoa học–Đại học Thái Nguyên.
v Một số ký hiệu và viết tắt X không gian Banach X∗ không gian đối ngẫu của X θ phần tử không của không gian Banach X R tập hợp các số thực R+ tập các số thực không âm ∩ phép giao inf M cận dưới đúng của tập hợp số M sup M cận trên đúng của tập hợp số M max M số lớn nhất trong tập hợp số M min M số nhỏ nhất trong tập hợp số M argminx∈X F (x) tập các điểm cực tiểu của hàm F trên X ∅ tập rỗng ∀x với mọi x D(A) miền xác định của toán tử A R(A) miền ảnh của toán tử A A−1 toán tử ngược của toán tử A I toán tử đồng nhất
vi Lp (Ω) không gian các hàm khả tích bậc p trên Ω lp không gian các dãy số khả tổng bậc p d(x, M ) khoảng cách từ phần tử x đến tập hợp M lim sup xn giới hạn trên của dãy số {xn } n→∞ lim inf xn giới hạn dưới của dãy số {xn } n→∞ αn & α0 dãy số thực {αn } hội tụ giảm về α0 xn −→ x0 dãy {xn } hội tụ mạnh về x0 xn * x0 dãy {xn } hội tụ yếu về x0 J ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc j ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc đơn trị F ix(T ) hoặc F (T ) tập điểm bất động của ánh xạ T ∂f dưới vi phân của hàm lồi f M bao đóng của tập hợp M d(a, M ) khoảng cách tử phần tử a đến tập hợp M o(t) vô cùng bé bậc cao hơn t n[a,b] số điểm chia cách đều trên đoạn [a, b] nmax số bước lặp tg thời gian tính toán err sai số của nghiệm xấp xỉ so với nghiệm chính xác int(C) phần trong của tập hợp C
1 Mở đầu Nhiều bài toán trong các lĩnh vực toán học, vật lý và kinh tế dẫn đến bài toán tìm điểm bất động chung cho một họ các ánh xạ xác định. Các bài toán đó được gọi chung là bài toán điểm bất động. Chẳng hạn, bài toán tìm ảnh của ánh xạ chiếu mê tric trên các tập con lồi đóng Ci , i ∈ I trong không gian Hilbert thực. Điểm bất động của bài toán này chính nghiệm của là bài toán chấp nhận lồi nổi tiếng tìm một điểm thuộc vào giao của các tập lồi đóng Ci , i ∈ I trong không gian Hilbert thực. Do sự quan trọng của các bài toán này về cả khía cạnh thực hành và lý thuyết nên các thuật toán để tìm điểm bất động chung của các toán tử đã trở thành một lĩnh vực nghiên cứu rất phát triển trong lý thuyết điểm bất động. Ta biết rằng nếu T : H → H là một ánh xạ co thì luôn tồn tại duy nhất một điểm bất động của T . Tuy nhiên, nếu T là một ánh xạ không giãn thì điều này không còn đúng nên lớp bài toán điểm bất động của một ánh xạ không giãn và một họ các ánh xạ không giãn là một bài toán quan trọng đối với các nhà nghiên cứu toán học. Lí do vì bài toán này có nhiều ứng dụng thực tế như trong khôi phục và xử lý tín hiệu, phân phối băng thông, điều khiển năng lượng (xem chẳng hạn [19])...Cho đến nay đã có nhiều nhà toán học công bố nhiều kết quả hay và có ý nghĩa (xem chẳng hạn [24]–[27]) để tìm điểm bất động chung của một ánh xạ không giãn hoặc một họ các ánh xạ không giãn dựa trên việc cải biên, cải tiến những kết quả đã có của Mann [23], Halpern [15],.... Ở Việt Nam, bài toán điểm bất động của ánh xạ không giãn cũng là một đề tài nghiên cứu khá sôi nổi thu hút được nhiều nhà toán học nổi tiếng như Phạm Kỳ Anh, Nguyễn Bường, Nguyễn Thị Thu Thuỷ và nhiều tác giả trẻ như Đặng Văn Hiếu, Trương Minh Tuyên (xem
2 chẳng hạn [9], [21], [32] và một số tài liệu được trích dẫn trong đó). Những công bố của các tác giả Việt Nam và nước ngoài về những phương pháp giải bài toán điểm bất động đã làm phong phú thêm lý thuyết điểm bất động và đóng góp chung vào sự phát triển của lĩnh vực nghiên cứu này. Mặc dù là một bài toán rất quan trọng nhưng bài toán điểm bất động của ánh xạ không giãn nằm trong lớp các bài toán đặt không chỉnh (nói chung) theo nghĩa nghiệm của bài toán không là duy nhất và nghiệm không phụ thuộc vào dữ kiện ban đầu. Việc xây dựng các phương pháp giải ổn định còn gọi là phương pháp hiệu chỉnh cho lớp bài toán đặt không chỉnh trong đó có bài toán điểm động của ánh xạ không giãn là một hướng nghiên cứu cần được quan tâm. Nói đến phương pháp hiệu chỉnh, thì phương pháp hiệu chỉnh Browder–Tikhonov được coi là phương pháp khá hiệu quả và đã được sử dụng để giải nhiều lớp bài toán đặt không chỉnh như bất đẳng thức biến phân , phương trình toán tử và bài toán điểm bất động (xem chẳng hạn [18], [32] và một số tài liệu được trích dẫn trong đó). Trong luận văn này, dựa trên một số kết quả đã có về phương pháp hiệu chỉnh Browder–Tikhonov cho bất đẳng thức biến phân và bài toán điểm bất động chung của một họ vô hạn các ánh xạ không giãn, chúng tôi nghiên cứu và trình bày phương pháp hiệu chỉnh cho nửa nhóm không giãn trong không gian Hilbert. Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung chính của luận văn được trình bày trong hai chương: Chương 1 giới thiệu về bài toán đặt không chỉnh và bài toán điểm bất động cùng với một số kiến thức chuẩn bị quan trọng cho việc trình bày kết quả chính của luận văn liên quan đến một số tính chất hình học của không gian Hilbert và không gian Banach; ánh xạ không giãn và nửa nhóm ánh xạ không giãn; ánh xạ liên tục; ánh xạ đơn điệu, đơn điệu mạnh và ánh xạ ngược đơn điệu mạnh trong không gian Hilbert... Chương 2 dành để trình bày kết quả về phương pháp hiệu chỉnh Browder–Tikhonov, phương pháp hiệu chỉnh lặp cho nửa nhóm không giãn trong không gian Hilbert và ví dụ số minh họa cho hai phương pháp trên.
3 Chương 1 Bài toán đặt không chỉnh và bài toán điểm bất động Chương này trình bày một số kiến thức chuẩn bị về không gian Hilbert, không gian Banach, ánh xạ không giãn và nửa nhóm ánh xạ không giãn. Đồng thời, chúng tôi cũng giới thiệu một cách ngắn gọn về bài toán đặt không chỉnh và bài toán điểm bất động. Mục 1.1 dành để giới thiệu về bài toán đặt không chỉnh và phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov. Mục 1.2 giới thiệu bài toán điểm bất động của ánh xạ không giãn cùng với phương pháp lặp Mann [23], phương pháp lặp Halpern [15] để tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn. Những kiến thức cơ bản đề cập trong chương này được tham khảo chủ yếu từ các tài liệu [1]-[4] và một số tài liệu khác có trích dẫn kèm. 1.1. Bài toán đặt không chỉnh và phương pháp hiệu chỉnh Trong rất nhiều những bài toán nảy sinh từ thực tế, tồn tại một lớp các bài toán mà nghiệm của nó không ổn định theo nghĩa một thay đổi nhỏ của dữ liệu đầu vào sẽ dẫn đến những thay đổi lớn của dữ liệu đầu ra (nghiệm của bài toán), thậm chí còn làm cho bài toán trở nên vô nghiệm. Có thể nói rằng, lớp các bài toán nói trên có nghiệm không phụ thuộc vào dữ kiện ban đầu và nó là một trường hợp riêng của lớp các bài toán đặt không chỉnh. Trong mục này, chúng tôi đề cập đến khái niệm bài toán đặt không chỉnh dưới dạng phương trình toán tử, cùng với phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho lớp bài toán này.
4 1.1.1. Bài toán đặt không chỉnh Cho X là không gian Banach thực phản xạ, X ∗ là không gian liên hợp của X. Cả hai không gian X và X ∗ có chuẩn đều được kí hiệu là k . k. Ta viết hx∗ , xi thay cho x∗ (x) với x∗ ∈ X ∗ , x ∈ X. Khái niệm bài toán đặt không chỉnh được Hadamard [1] đưa ra khi nghiên cứu về ảnh hưởng của các điều kiện biên lên nghiệm của các phương trình elliptic cũng như parabollic. Ở đây chúng tôi trình bày khái niệm về bài toán đặt không chỉnh ở dạng phương trình toán tử A(x) = f, (1.1) với A : X −→ Y là một toán tử từ không gian Banach X vào không gian Banach Y , f là phần tử thuộc Y . Sau đây là định nghĩa của Hadamard (xem [1]). Định nghĩa 1.1 Bài toán (1.1) được gọi là bài toán đặt chỉnh (chính quy) nếu thỏa mãn đồng thời cả ba điều kiện sau: 1) Phương trình A(x) = f có nghiệm xf với mọi f ∈ Y . 2) Nghiệm xf là duy nhất. 3) Nghiệm xf phụ thuộc liên tục vào dữ kiện ban đầu (f, A). Định nghĩa 1.2 Nếu ít nhất một trong ba điều kiện trên không được thỏa mãn thì bài toán (1.1) được gọi là bài toán đặt không chỉnh. Một thời gian dài người ta nghĩ rằng mọi bài toán đặt ra đều thỏa mãn cả ba điều kiện trên. Nhưng thực tế chỉ ra rằng quan niệm đó là sai lầm. Hơn nữa điều kiện thứ ba rất khó thực hiện và nhất là khi máy tính điện tử ra đời, trong tính toán các bài toán thực tế bằng máy tính luôn xảy ra quá trình làm tròn số. Ví dụ 1.1 . Xét hệ phương trình sau trong R2 :  x + 3x = 3, 1 2 (1.2) 1, 01x + 3x = 3.01. 1 2
5 2 Hệ (1.2) có nghiệm là x1 = 1 và x2 = ; trong khi đó hệ phương trình 3  x + 3x = 3 1 2 x + 3, 01x = 3.05 1 2 có nghiệm là x1 = −12 và x2 = 5. Ta thấy một thay đổi nhỏ của hệ số và vế phải của phương trình thứ 2 kéo theo những thay đổi đáng kể của nghiệm. Thậm chí nếu xét hệ phương trình sau:  x + 3x = 3 1 2 x + 3x = 3.01 1 2 thì hệ này còn vô nghiệm. Nhận xét 1.1 Một số bài toán đặt chỉnh trên không gian này nhưng lại đặt không chỉnh trên không gian khác. Chẳng hạn, phương trình x2 +1 = 0 có nghiệm trên trường số phức C nhưng lại vô nghiệm trên trường số thực R. Định nghĩa 1.3 Cho (X, d) là một không gian metric và tập K là một tập con khác rỗng của X. Với mọi x ∈ X khoảng cách từ điểm x và tập K được kí hiệu bởi d(x, K) và được xác định bởi d(x, K) = inf d(x, y). y∈K Định nghĩa 1.4 Phép chiếu metric PK xác định trên X là một ánh xạ đa trị từ X vào 2X cho bởi PK (x) = z ∈ K : d(x, Z) = d(x, K), ∀x ∈ K. 6 ∅ với mọi x ∈ K thì K được gọi là tập liền kề. Nếu PK = Nếu PK là đơn ánh với mọi x ∈ K thì K được gọi là tập Chebyshev. Ví dụ 1.2 : Cho X = R, K = [1, 2] ⊂ R, ta có ánh xạ sau là phép chiếu metric từ R lên K    1 nếu x < 1,  PK (x) = x nếu 1 ≤ x ≤ 2,    2 nếu x > 2.
6 Chú ý 1.1 Phép chiếu metric PK : H −→ K là ánh xạ đơn trị trong không gian Hilbert H. 1.1.2. Phương pháp hiệu chỉnh Trước hết, chúng tôi đề cập một cách sơ lược về phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov. Để tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán (1.1) khi không biết tin về nghiệm chính xác x0 , Tikhonov (xem [1]) đã đưa ra một khái niệm mới. Đó là phương pháp hiệu chỉnh dựa trên việc xây dựng toán tử hiệu chỉnh và cách chọn giá trị một tham số mới đưa vào. Giả sử A−1 không liên tục và thay cho f ta biết fδ : ρy (fδ , f ) ≤ δ −→ 0. Bài toán đặt ra là dựa vào thông tin về (a, fδ ) và mức sai số của δ, tìm một phần tử xδ xấp xỉ nghiệm chính xác x0 của bài toán (1.1). Rõ ràng là ta không thể xây dựng phần tử xấp xỉ xδ theo quy tắc xδ = A−1 fδ , vì thứ nhất là A−1 có thể không xác định với mọi f ∈ Y , thứ hai là A−1 không liên tục, nên nếu A−1 fδ tồi tại, cũng chưa chắc đã xấp xỉ A−1 f . Tham số δ chỉ cho ta mức độ sai số vế phải của (1.1). Vì vậy một điều tự nhiên nảy sinh là liệu có thể xây dựng phần tử xấp xỉ phụ thuộc vào một tham số nào đó và tham số này được chọn tương thích với δ sao cho khi δ −→ 0 thì phần tử xấp xỉ này hội tụ đến x0 . Ta cũng thấy nếu được thì từ fδ ∈ Y ta có phần tử thuộc X, tức là tồn tại một toán tử nào đó tác động từ không gian Y vào không gian X. Sau đây là định nghĩa về toán tử hiệu chỉnh. Định nghĩa 1.5 Toán tử R(f, α) phụ thuộc vào tham số α tác động từ Y vào X được gọi là toán tử hiệu chỉnh cho bài toán (1.1) nếu: (i) Tồn tại hai số dương α1 và δ1 sao cho toán tử R(f, α) xác định với mọi α ∈ (0, α1 ) và với mọi fδ ∈ Y : ρY (fδ , f ) ≤ δ, δ ∈ (0, δ1 ); (ii) Tồn tại một sự phụ thuộc α = α(fδ , δ) sao cho với mọi ε > 0, ∃δ(ε) ≤ δ1 để với mọi fδ ∈ Y thỏa mãn ρY (fδ , f ) ≤ δ1 thì ρX (xα , x0 ) ≤ ε, ở đây x0 là nghiệm chính xác của (1.1) và xα ∈ R(fδ , α(fδ , δ)). Phần tử x0 được gọi là nghiệm hiệu chỉnh của bài toán (1.1) và α = α(fδ , δ) gọi là tham số hiệu chỉnh. Cũng dễ dàng nhận thấy từ định nghĩa trên, nghiệm hiệu chỉnh ổn định với dữ liệu ban đầu.
7 Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov là một trong những phương pháp hiệu chỉnh nổi tiếng và được sử dụng cho việc nghiên cứu và giải các bài toán đặt không chỉnh trong các lĩnh vực khác nhau của Toán học. Chú ý 1.2 Trong trường hợp α = δ, định nghĩa về toán tử hiệu chỉnh có dạng đơn giản sau: (i) Tồn tại một số dương δ1 sao cho toán tử R(f, δ) xác định với mọi 0 ≤ δ ≤ δ1 và với mọi f ∈ Y sao cho ρY (f, f0 ) ≤ δ; (ii) Với ε > 0 bất kì, tồn tại δ0 = δ0 (ε, fδ ) ≤ δ1 sao cho từ ρY (fδ , f0 ) ≤ δ ≤ δ0 ta có ρX (xα , x0 ) ≤ ε, ở đây xδ ∈ R(fδ , δ). Giả thiết rằng X, Y là các không gian Hilbert thực. Nội dung của phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov là xây dựng nghiệm hiệu chỉnh cho phương trình toán tử (1.1) dựa trên việc tìm phần tử cực tiểu xδα của phiếm hàm Tikhonov Fαδ (x) = kA(x) − fδ k2 + αkx − x∗ k2 . (1.3) Kết quả của phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov là với điều kiện đặt lên toán tử A, với cách chọn tham số hiệu chỉnh α thích hợp, phần tử cực tiểu xδα là xấp xỉ tốt cho nghiệm x0 của bài toán (1.1). Định lý sau khẳng định sự tồn tại của dãy nghiệm hiệu chỉnh {xk } của (1.3). Định lý 1.1 (xem [1]) Cho A là một toán tử liên tục và đóng yếu, α > 0 và {xk } là một dãy cực tiểu của (1.3) với fδ được thay bởi fk sao cho fk → fδ . Khi đó, tồn tại một dãy con hội tụ của dãy {xk } và giới hạn của dãy con hội tụ này là phần tử cực tiểu của (1.3). Trước khi trình bày một số kết quả của phương pháp hiệu chỉnh Browder –Tikhonov cho bài toán đặt không chỉnh (1.1), ta nhắc lại một số định nghĩa liên quan đến tính chất hình học của không gian Banach X và ánh xạ đơn điệu trong không gian Banach (xem thêm [36]). Định nghĩa 1.6 Không gian Banach X được gọi là
8 (i) lồi chặt nếu mặt cầu đơn vị SX := {x ∈ X : kxk = 1} của X là lồi chặt, tức là, từ x, y ∈ SX kéo theo k x + y k< 2, hoặc biên ∂SX không chứa bất kì đoạn thẳng nào. (ii) lồi đều nếu với ε bất kì thỏa mãn 0 < ε ≤ 2, các bất đẳng thức sau thỏa mãn kxk ≤ 1, kyk ≤ 1 và kx − yk ≥ ε thì tồn tại δ = δ(ε) > 0 sao cho x + y 2 ≤ 1 − δ. Chú ý 1.3 (i) Không gian lồi chặt chưa chắc đã lồi đều. (ii) Mọi không gian hữu hạn chiều đều là không gian phản xạ nhưng chưa chắc lồi đều. Định nghĩa 1.7 Ánh xạ J s : X −→ X ∗ (nói chung đa trị) được định nghĩa bởi J s (x) = {x∗ ∈ X ∗ : hx∗ , xi = kx∗ ks−1 kxk = kxks }, s ≥ 2 gọi là ánh xạ đối ngẫu tổng quát của X. Khi s = 2 thì J s được viết là J và được gọi là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của X. Tính đơn trị của ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc được cho trong mệnh đề sau. Mệnh đề 1.1 ( xem [6]) Giả sử X là một không gian Banach. Khi đó, (i) J(x) là tập lồi, J(λx) = λJ(x) với mọi λ ∈ R; (ii) J là ánh xạ đơn trị khi và chỉ khi X ∗ là không gian lồi chặt. Trong trường hợp X là không gian Hilbert thì J = I, trong đó I là toán tử đơn vị trong H. Chú ý 1.4 Kí hiệu j là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc đơn trị. Ví dụ 1.3 Trong không gian Hilbert H, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc chính là ánh xạ đơn vị I : H → H, I(x) = x ∀x ∈ H. Ánh xạ đối ngẫu là một trong những ví dụ về toán tử đơn điệu, nó tồn tại trong mọi không gian Banach.
9 Định nghĩa 1.8 Không gian Banach X được gọi là có tính chất E − S (Ephimov-Stechkin) nếu với mọi dãy {xn } hội tụ yếu đến x và kxn k → kxk khi n → ∞ thì xn → x khi n → ∞. Định lý 1.2 [3] Mọi không gian lồi đều đều có tính chất E − S. Định nghĩa 1.9 Chuẩn của không gian tuyến tính định chuẩn X được gọi là khả vi Gâteaux tại điểm x0 ∈ SX nếu với mỗi y ∈ SX giới hạn kx0 + tyk − kx0 k lim (1.4) t→0 t tồn tại, kí hiệu hy, 5kx0 ki. Khi đó 5kx0 k được gọi là đạo hàm Gâteaux của chuẩn ϕ(x) = kxk tại x = x0 . Định nghĩa 1.10 Cho X là không gian tuyến tính định chuẩn. (i) Chuẩn của không gian Banach X được gọi là khả vi Gâteaux nếu nó khả vi Gâteaux tại mọi điểm trên mặt cầu đơn vị SX . (ii) Chuẩn của X được gọi là có chuẩn khả vi Gâteaux đều nếu với mỗi y ∈ SX , giới hạn (1.4) đạt được đều với mọi x ∈ SX . Định lý 1.3 [3] Không gian Banach X là trơn khi và chỉ khi chuẩn của X khả vi Gâteaux trên X \ {0}. Định nghĩa 1.11 Cho X là các không gian Banach với không gian liên hợp X ∗ . Toán tử A : X → X ∗ được gọi là (i) đơn điệu nếu hA(x) − A(y), x − yi ≥ 0 ∀x, y ∈ X. Trong trường hợp A là toán tử tuyến tính, thì tính đơn điệu tương đương với tính không âm của toán tử. (ii) đơn điệu đều nếu tồn tại một hàm không âm δ(t) không giảm với t ≥ 0, δ(0) = 0 và hA(x) − A(y), x − yi ≥ δ(k x − y k) ∀x, y ∈ D(A).
10 (iii) Nếu δ(t) = cA t2 với cA là một hằng số dương thì toán tử A được gọi là đơn điệu mạnh. (iv) ngược đơn điệu mạnh với hằng số η nếu tồn tại η > 0 và với mọi x, y ∈ X thì hA(x) − A(y), x − yi ≥ ηkA(x) − A(y)k2 . Định nghĩa 1.12 Toán tử A : X → X ∗ được gọi là h-liên tục trên X nếu A(x + ty) * Ax khi t −→ 0+ với mọi x, y ∈ X. Ví dụ 1.4 : Xét toán tử A := f (x, y) : R2 → R là hàm số hai biến số xác định bởi   2xy  nếu x2 + y 2 6= 0, 2 2 f (x, y) = x + y 0 nếu x2 + y 2 = 0.  Khi đó, A := f (x, y) là hàm liên tục theo từng biến riêng biệt nhưng không liên tục theo cả hai biến nên A là h-liên tục. Thật vậy, ta có với x 6= 0, y 6= 0 thì 2xy 2xy f (x) = 2 và f (y) = x + y2 x2 + y 2 đều là các hàm số phân thức hữu tỉ nên liên tục trên tập xác định. Xét tại x = 0 ta có (vì y 6= 0) 2xy lim f (x) = lim = 0 = f (0). x→0 x→0 x2 + y 2 Xét tại y = 0 ta có (vì x 6= 0) 2xy lim f (y) = lim = 0 = f (0). x→0 x→0 x2 + y 2 Suy ra f (x, y) là hàm số liên tục theo biến x với mỗi giá trị y bất kì và f (x, y) liên tục theo biến y với mỗi giá trị x bất kì. 1 1 Xét tính liên tục tại điểm (0,0): Chọn dãy điểm ; → 0 khi n → ∞, n n ta có 1 1 2 n n lim = 1 6= f (0, 0), n−→+∞ 1 1 + n2 n2
11 nên hàm số f (x, y) không liên tục tại điểm (0,0). Định nghĩa 1.13 Toán tử A : X −→ X ∗ được gọi là toán tử bức nếu với mọi x ∈ X hAx, xi lim = ∞. kxk−→∞ kxk Sau đây là một kết quả của lí thuyết toán tử đơn điệu khẳng định sự tồn tại nghiệm của phương trình toán tử (1.1). Bổ đề 1.1 (xem [1]) Cho X là không gian Banach thực, X ∗ là không gian liên hợp của X, f ∈ X ∗ và A : X −→ X ∗ là toán tử h - liên tục. Khi đó nếu tồn tại x0 ∈ X thỏa mãn bất đẳng thức: hA(x) − f, x − x0 i ≥ 0, ∀x ∈ X thì x0 là nghiệm của phương trình A(x) = f . Nếu A là một tóa tử đơn điệu trên X thì điều kiện trên tương đương với hA(x0 ) − f, x − x0 i ≥ 0, ∀x ∈ X. Bổ đề 1.1 gọi là bổ đề Minty, tên một nhà toán học Mỹ, người đã chứng minh kết quả trên trong trường hợp không gian Hilbert. Sau này chính ông và Browder đã chứng minh một cách độc lập cho không gian Bannach. Tư tưởng của phương pháp hiệu chỉnh do Browder [11] đề xuất năm 1966 cho bài toán bất đẳng thức biến phân (còn gọi là phương pháp hiệu chỉnh Browder - Tikhonov) là sử dụng một toán tử M : X −→ X ∗ có tính chất h-liên tục, đơn điệu mạnh làm thành phần hiệu chỉnh. Một dạng của toán tử M là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J của X. Bằng phương pháp này, Alber [4] đã xây dựng phương pháp hiệu chỉnh cho phương trình toán tử (1.1) trên cơ sở phương trình A(x) + αJ(x − x∗ ) = fδ . (1.5) Giả sử X là không gian Banach thực phản xạ có tính chất E − S và X ∗ là không gian lồi chặt. Định lý sau đây khẳng định sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình hiệu chỉnh (1.5); đồng thời định lý cũng khẳng định sự hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh về nghiệm của bài toán ban đầu với một số điều kiện xác định.
12 Định lý 1.4 (xem [4]) Cho A : X −→ X ∗ là toán tử đơn điệu, h-liên tục. Khi đó, với mỗi α > 0 và fδ ∈ X ∗ , phương trình (1.5) có duy nhất nghiệm xδα . Ngoài ra nếu α, δ/α −→ 0 thì {xδα } hội tụ đến nghiệm có x∗ -chuẩn nhỏ nhất của bài toán (1.1). 1.2. Bài toán điểm bất động của ánh xạ không giãn 1.2.1. Ánh xạ không giãn và nửa nhóm ánh xạ không giãn Định nghĩa 1.14 Cho C là một tập con của không gian Banach X và ánh xạ T : C −→ X thỏa mãn kT x − T yk ≤ Lkx − yk ∀x, y ∈ C và L ≥ 0. (1.6) Khi đó, ánh xạ T : C → X được gọi là liên tục Lipschitz với hằng số L. Ngoài ra, trong (1.6), nếu • 0 ≤ L < 1 thì ánh xạ T : C −→ X được gọi là ánh xạ co. • L = 1 thì ánh xạ T : C −→ X được gọi là ánh xạ không giãn. Định nghĩa 1.15 Phần tử x ∈ C được gọi là một điểm bất động của ánh xạ T nếu T x = x. Kí hiệu tập điểm bất động của ánh xạ T là Fix(T ). Định nghĩa 1.16 Cho T (t) : C −→ C là một ánh xạ từ tập con lồi, đóng, khác rỗng C của không gian Banach X vào chính nó với mỗi t ≥ 0. Họ ánh xạ {T (t) : t ≥ 0} từ C vào C được gọi là nửa nhóm ánh xạ không giãn (gọi tắt là nửa nhóm không giãn) trên C nếu nó thỏa mãn điều kiện sau: (i) Với mỗi t ≥ 0, ánh xạ T (t) không giãn trên C. (ii) T (0)x = x ∀x ∈ C. (iii) T (t1 + t2 ) = T (t1 ) ◦ T (t2 ) với mọi t1 ≥ 0 và t2 ≥ 0. (iv) Với mỗi x ∈ C, ánh xạ T (.) từ [0, ∞) vào C liên tục. Kí hiệu F := ∩t≥0 Fix(T (t)) là tập điểm bất động chung của nửa nhóm không giãn {T (t) : t ≥ 0}. Nếu F 6= ∅ thì F là tập lồi đóng trong X.
13 Ví dụ 1.5 Trên không gian các số thực R, họ các ánh xạ {T (t) : t ≥ 0} : R → R xác định bởi T (t)x = e−t x với mỗi x ∈ R là nửa nhóm không giãn trên R. Thật vậy, (i) Với mỗi t ≥ 0, t ∈ R và x, y ∈ R ta có: kT x − T yk = ke−t x − e−t yk = ke−t (x − y)k = e−t kx − yk ≤ kx − yk. Suy ra T (t) ánh xạ không giãn không giãn trên R. (ii) T (0)x = e−0 x = x ∀x ∈ R. (iii) Với mỗi t1 ≥ 0, t2 ≥ 0 và x, y ∈ R ta có T (t1 + t2 )x = e−(t1 +t2 ) x = e−t1 e−t2 x = e−t1 (e−t2 x) = T (t1 (T (t2 )x). Tức là T (t1 + t2 ) = T (t1 ) ◦ T (t2 ). (iv) Với mỗi x ∈ R, ánh xạ T (.) từ [0, ∞) vào R liên tục. Định nghĩa 1.17 Nửa nhóm các ánh xạ không giãn {T (t) : t ≥ 0} được gọi là (i) chính quy tiệm cận nếu lim kT (s)T (t)x − T (t)xk = 0, t→∞ (ii) và chính quy tiệm cận đều nếu lim sup kT (s)T (t)x − T (t)xk = 0 t→∞ x∈C đều với mọi s > 0. Sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ không giãn và nửa nhóm không giãn được khẳng định trong các định lý sau. Định lý 1.5 (xem [2]) Cho C là tập con lồi, đóng, bị chặn của không gian Hilbert H và T : C −→ C là một ánh xạ không giãn. Khi đó T có ít nhất một điểm bất động. Nhận xét 1.2 Từ tính lồi chặt của không gian Hilbert H và tính liên tục của ánh xạ không giãn T , ta thấy nếu tập điểm bất động Fix(T ) 6= ∅ thì nó là tập lồi và đóng.