Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương trình chứa tham số trong không gian có thứ tự

Chia sẻ: Lavie Lavie | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:58

Thêm vào BST

Báo xấu

74
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích của luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương trình chứa tham số trong không gian có thứ tự là nhằm trình bày một cách hệ thống một số kết quả về phương trình chứa tham số trong không gian Banach có thứ tự. Với các bạn chuyên ngành Toán học thì đây là tài liệu hữu ích.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương trình chứa tham số trong không gian có thứ tự

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Trịnh Văn Bé Ba PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ TRONG KHÔNG GIAN CÓ THỨ TỰ Chuyên ngành : Toán Giải Tích Mã số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. TRẦN ĐÌNH THANH Thành phố Hồ Chí Minh – 2009
LỜI CÁM ƠN Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến thầy hướng dẫn, TS. TRẦN ĐÌNH THANH, đã tận tình hướng dẫn tôi trong quá trình làm luận văn. Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến thầy NGUYỄN BÍCH HUY đã tận tình giúp đỡ, động viên và dìu dắt tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và thực hiện luận án. Tôi xin chân thành cám ơn quý thầy cô đã tận tâm giảng dạy cho tôi nhiều kiến thức quý báu trong suốt quá trình tôi học cao học. Tôi xin chân thành cám ơn quý thầy cô, các anh chị làm công tác quản lý ở phòng sau đại học đã tận tình giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và thực hiện luận án. Tác giả luận án
MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Lý thuyết phương trình toán tử trong không gian có thứ tự ra đời từ những năm 1950 và được hoàn thiện cho tới nay. Chúng tìm được những ứng dụng hữu ích trong việc giải quyết các bài toán xuất phát từ vật lý, sinh học, kinh tế,…Trong lý thuyết này, lớp phương trình chứa tham số chiếm một vị trí quan trọng vì phần lớn những bài toán xuất phát từ thực tế đều phụ thuộc vào một hoặc nhiều tham số và đưa đến việc cần thiết phải nghiên cứu tính liên tục của tập nghiệm, sự phụ thuộc của nghiệm theo tham số… Đó là lý do tôi chọn đề tài “ phương trình chứa tham số trong không gian có thứ tự”. 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích của luận văn là trình bày một cách hệ thống một số kết quả về phương trình chứa tham số trong không gian Banach có thứ tự. 3. Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu là phương trình chứa tham số trong không gian Banach có thứ tự. Phạm vi nghiên cứu: luận văn trình bày một số kết quả về phương trình chứa tham số trong không gian Banach có thứ tự; Nội dung chính là các kết quả về tính liên tục của tập nghiệm, sự phụ thuộc của nghiệm theo tham số. 4. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài nghiên cứu Lý thuyết phương trình trong không gian Banach có thứ tự được ứng dụng trong việc nghiên cứu các lớp phương trình khác như phương trình vi phân , phương trình tích phân… Lớp phương trình chứa tham số trong không gian Banach có thứ tự được ứng dụng vào việc giải quyết các bài toán xuất phát từ vật lý, sinh học, kinh tế… 5. Cấu trúc của luận văn Luận văn bao gồm phần mở đầu, kết luận và ba chương.
Phần mở đầu nêu lý do chọn đề tài, mục đích nghiên cứu, đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu, ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài nghiên cứu đồng thời nêu bố cục của luận văn. Chương 1: trình bày các kiến thức chuẩn bị như không gian Banach với thứ tự sinh bởi nón; bậc tô pô của toán tử dương, hoàn toàn liên tục, định lí tồn tại điểm bất động của ánh xạ tăng. Chương 2: phương trình chứa tham số. Chương này trình bày một số kết quả về phương trình tuyến tính chứa tham số; nhánh liên tục các nghiệm dương; sự phân nhánh của tập hợp nghiệm dương; phương trình với toán tử u0  lõm. Chương 3: một số ứng dụng. Chương này vận dụng các kết quả ở chương 2 để khảo sát nghiệm tuần hoàn của một lớp phương trình vi phân ô tô nôm cấp hai và nghiệm yếu dương của phương trình logistic.
Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Không gian Banach với thứ tự sinh bởi nón Các kiến thức trong mục này có thể xem trong [3] 1.1.1. Định nghĩa 1.1.1 Cho không gian Banach thực X  Tập K  X được gọi là nón nếu: i) K là tập đóng, K    ii) K  K  K ,  K  K   0 . iii) K  ( K )    .  Nếu K  X là nón thì thứ tự trong X sinh bởi nón K được định nghĩa như sau: x  y  y  xK . mỗi x  K \   gọi là dương.  Đặt K : K \   :  x  X : x    1.1.2. Mệnh đề 1.1.2 Giả sử “  ” là thứ tự sinh bởi nón. Khi đó: 1) x  y  x  z  y  z ,  x   y z  X ,   0 . 2) ( xn  yn (n  N * )),lim xn  x,lim yn  y )  x  y . 3) Nếu  xn  là dãy tăng, hội tụ về x thì xn  x n  N * . 1.1.3. Định nghĩa 1.1.3 Cho X là không gian Banach với thứ tự sinh bởi nón K. Khi đó ta nói:  K là nón chuẩn nếu N  0 :   x  y  x  N y  K là nón chính qui nếu mọi dãy tăng, bị chặn trên đều hội tụ.  K là nón hoàn toàn chính qui nếu mọi dãy tăng, bị chặn theo chuẩn đều hội tụ.
 K là nón sinh nếu X  K  K hay x  X u , v  K : x  u  v .  Kí hiệu K * là nón liên hợp của K định bởi: K *   f  X * : f ( x)  0 x  K . 1.1.4. Mệnh đề 1.1.4 Giả sử "  " là thứ tự sinh bởi nón chuẩn. Khi đó: 1. Nếu u  v thì đoạn  u , v :  x  X : u  x  v bị chặn theo chuẩn. 2. Nếu xn  yn  zn (n  N * ) và lim xn  a,lim zn  a thì lim yn  a . 3. Nếu dãy  xn  đơn điệu, có dãy con hội tụ về a thì lim xn  a . 1.1.5. Mệnh đề 1.1.5 Nón chính qui là nón chuẩn. 1.1.6. Mệnh đề 1.1.6 Nếu K là nón sinh thì tồn tại số M  0 sao cho x  X , u , v  K : x  u  v, u  M x , v  M x 1.1.7. Mệnh đề 1.1.7 Cho X là không gian Banach với thứ tự sinh bởi nón K , K * là nón liên hợp của K. Khi đó: x0  K  f ( x0 )  0 f  K * . 1.2. Bậc tô pô của toán tử dương, hoàn toàn liên tục. Các kiến thức trong mục này có thể xem trong [3] 1.2.1. Định nghĩa 1.2.1 Cho X là không gian Banach với thứ tự sinh bởi nón K. Giả sử G  X là tập mở, bị chặn, A : K  G  K là ánh xạ compact sao cho Ax  x, x  K  G . Gọi  A : X  X là ánh xạ compact sao cho
 A( x)  A( x), x  K  G (*)    A( x)  K Khi đó x   A( x)   , x G nên bậc tô pô deg(  A, G, ) xác định. Ta định nghĩa iK ( A, G ) : deg(  A, G, ) và gọi iK ( A, G ) là bậc tô pô theo nón K của ánh xạ A trên tập mở G. Kiểm tra định nghĩa trên có lí. Thật vậy, giả sử  A là một mở rộng khác của A A( x)  (1  t )  thỏa (*). Xét ánh xạ F ( x, t )  t  A( x) , ta có: F ( x, t )  x, ( x, t )  G   0,1 F ( x,0)   A( x), F ( x,1)   A( x) Suy ra A, G, )  deg(  deg(  A, G, ) . 1.2.2. Mệnh đề 1.2.2 1. Giả sử A0 , A1 là compact và đồng luân dương trên K  G theo nghĩa tồn tại ánh xạ compact F : ( K  G )   0,1  K sao cho F ( x, t )  x, F ( x,0)  A0 ( x), F ( x,1)  A1 ( x) thế thì iK ( A0 , G )  iK ( A1 , G ) . 2. Giả sử G , G1 , G2 là các tập mở, bị chặn, G1  G2  , Gi  G (i  1,2) và A : K  G  K là ánh xạ compact thỏa mãn  A( x)  x, x  K  G \ (G1  G2 ) .  Khi đó iK ( A, G )  iK ( A, G1 )  iK ( A, G2 ) . 3. Nếu A : K  G  K com pắc và iK ( A, G )  0 thì A có điểm bất động trong K G.
1.2.3. Định lí 1.2.3 Giả sử G là tập mở, bị chặn, chứa  . Cho A : K  G  K là ánh xạ compact. Khi đó 1. iK ( A, G )  1 nếu ( H1 ) A( x)   x, x  K  G,   1 2. iK ( A, G )  0 nếu ( H 2 ) tồn tại phần tử x0  K \   sao cho : x  A( x)   x0 , x  K  G,   0 1.2.4. Hệ quả 1.2.4 Giả sử G là tập mở, bị chặn, chứa  . B : X  X là ánh xạ tuyến tính compact, dương và không có véc tơ riêng trong K với giá trị riêng bằng 1. Khi đó: 1. iK ( B, G )  1 nếu B không có vec tơ riêng trong K với giá trị riêng   1 . 2. iK ( B, G )  0 nếu B có véc tơ riêng trong K với giá trị riêng   1 . 1.2.5. Định lí 1.2.5 1. Giả sử A : K r  K compact, A( )   , có đạo hàm theo nón K tại  là A' và A' không có trong K vec tơ riêng với giá trị riêng bằng 1. Khi đó iK ( A, B( ,  ))  iK ( A' , B ( ,  )) với   0 đủ nhỏ. 2. Giả sử A : K \ K r  K compact , có đạo hàm theo nón K tại  là A' và A' không có trong K vec tơ riêng với giá trị riêng bằng 1. Khi đó iK ( A, B( ,  ))  iK ( A' , B ( ,  )) với   0 đủ lớn. 1.3. Ước lượng bán kính phổ của toán tử tích phân tuyến tính Giả sử G :[0,1]  [0,1]   là hàm Green cho bài toán biên :  x ''  y trong (0,1) x(0)  x(1)  0 , tức là:
t (1  s ),0  t  s  1, G (t , s )    s (1  t ),0  s  t  1 Giả sử a :[0,1]  [0, ) là một hàm liên tục không đồng nhất bằng 0 trên mọi đoạn [ ,  ]  [0,1] và a :[0,1]  [0, ) là hàm sao cho a (t )  a (t ) trên ( ,1   ) , a (t )  0 trên [0,  ]  [1   ,1] . Xét các toán tử tích phân tuyến tính 1 Bx(t )   G (t , s )a ( s )x( s )ds , 0 1 B x(t )   G (t , s )a ( s )x( s )ds 0 Ta có B, B là hoàn toàn liên tục từ C[0,1] vào C[0,1] Ta ký hiệu r ( B), r ( B ) là bán kính phổ của B và B Định lí 1.3 [2] Ký hiệu K là nón các hàm không âm của C[0,1]. Ta có : i) lim r ( B )  r ( B ) .  0 ii) r(B) là một giá trị riêng của B với một hàm riêng thuộc K. iii) Nếu  x  B x với một x  K \ { } thì   r ( B ) Nếu B x   x với một x  K \ { } thì r ( B )   . Các khẳng định tương tự cũng đúng cho toán tử B, với các bất đẳng thức nghiêm ngặt trong kết luận nếu x không là véc tơ riêng của B. 1.4. Định lí về điểm bất động của ánh xạ tăng. Mục này có thể xem trong [8] 1.4.1. Định lí 1.4.1 Giả sử X là không gian Banach được sắp bởi nón K, M  X là tập đóng và F : M  X là ánh xạ tăng, thỏa mãn: i) F ( M )  M , x0  M : x0  F ( x0 ) . ii) F biến mỗi dãy tăng thuộc M thành dãy hội tụ. Khi đó F có điểm bất động trong M.
1.4.2. Hệ quả 1.4.2 Giả sử F : u , v  X là ánh xạ tăng, thỏa mãn: i) u  F (u ); F (v)  v ii) F ( u , v ) là tập compact tương đối, K là nón chuẩn. Khi đó F có điểm bất động trong  u , v  . 1.4.3. Hệ quả 1.4.3 Giả sử F : u , v  X là ánh xạ tăng, thỏa mãn: i) u  F (u ); F (v)  v ii) K là nón chính qui. Khi đó F có điểm bất động trong  u , v  .
Chương 2 PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ 2.1. Phương trình tuyến tính chứa tham số 2.1.1. Định nghĩa 2.1.1 Cho không gian Banach X có thứ tự sinh bởi nón K . Một ánh xạ tuyến tính A : X  X được gọi là dương nếu: x    A( x)   Hay A( K )  K . Nếu A là tuyến tính, dương thì nó cũng có tính đơn điệu: x  y  A( x)  A( y ) . 2.1.2. Bổ đề 2.1.2 Cho u0   K và x  K . Khi đó tồn tại số cực đại t x  0 sao cho: x  t xu0 . ( Cực đại theo nghĩa nếu t cũng thỏa x  tu0 thì t  t x ). Chứng minh: Đặt T  t  0 : x  tu0  . Ta có T   , bị chặn trên. Số t x : sup T là số cần tìm. 2.1.3. Định lí 2.1.3 Giả sử i) A : X  X là ánh xạ tuyến tính, dương, hoàn toàn liên tục. ii) Tồn tại phần tử u  K  K , u   K và số   0 , p  * thỏa mãn: A p (u )   u . Ki đó A có trong K vec tơ riêng với giá trị riêng tương ứng lớn hơn hoặc bằng p . Chứng minh Giả sử u  v  w , v, w  K , v   . Do định lí điểm bất động Schauder, với mỗi n  * , ánh xạ
 v v x   A( x)   / A( x)  có điểm bất động trong tập  n n K  B ( ,1) . Do đó v xn  K , xn  1, n  A( xn )  : n v A( xn )   n xn (2.1) n Ta sẽ chứng minh n   . p Gọi tn là số cực đại thỏa mãn xn  tnu 1 Ta có : tn  0 (do xn  u) nn 1 1 1 tn xn  A( xn )  xn  A p ( xn )  xn  A p (tnu )  u n np np np tn (do tính cực đại của tn )  n   . p  tn  n p Do A hoàn toàn liên tục nên tồn tại dãy nk  sao cho A( xnk )   k hội tụ về một y  K . Suy ra: v   hội tụ về một  nk 0   (do n  A( xn )  p n )  x0  lim xnk , x0  K , x0  1 . Qua giới hạn trong (2.1) ( với n  nk ) ta có : A( x0 )  0 x0 . Định lí đã được chứng minh.
2.1.4. Định nghĩa 2.1.4 Cho A : X  X là ánh xạ tuyến tính, dương và phần tử u0  K \   . 1) A gọi là u0 - bị chặn dưới ( u0 - bị chặn trên) nếu với mỗi x  K \   tồn tại số    ( x)  0 , n  n( x)  * sao cho: A n ( x )   u0 ( A n ( x )   u0 ) . 2) A gọi là u0 - bị chặn hay u0 - dương nếu nó là u0 - bị chặn dưới và bị chặn trên. 2.1.5. Bổ đề 2.1.5 Cho A là ánh xạ u0 - bị chặn trên và phần tử x  K  K , x   K thỏa:   0 : A( x)   x . Gọi t0 là số cực đại thỏa mãn u0  t0 x thì t0  0 . Chứng minh  x  x ' x ", x ', x "  K , x '   Ta có :    0, p   : A ( x ')   u0 * p p   u0  A ( x ')  A ( x)   x  t0  p p p 0  Bổ đề đã được chứng minh. 2.1.6. Bổ đề 2.1.6 Nếu A là u0 - dương và có vec tơ riêng dương x0 thì A cũng là x0 - dương. Chứng minh Ta có : a '  0, p  * : a ' u0  A p ( x0 )  0p x0 Nên a  0 : u0  ax0 . Tương tự, b  0 : u0  bx0 . Với x  K \   , ta có   0, n  * sao cho: An ( x)   u0
nên An ( x)   bx0 Vậy A là x0 - bị chặn trên. Tương tự A là x0 - bị chặn dưới. Vậy A là x0 - bị chặn. 2.1.7. Định lí 2.1.7 ( Krein – Rutman) Giả sử: i) K là nón sinh. ii) A là ánh xạ u0 - dương, liên tục và có vec tơ riêng dương x0 tương ứng với giá trị riêng 0 . Khi đó: 1) 0 là giá trị riêng đơn ( bội 1) của A. 2) x0 là vec tơ riêng dương duy nhất của A. 3) Mọi giá trị riêng khác của A đều có mô đun nhỏ hơn 0 . Chứng minh 1) Nhắc lại: Giả sử 0 là giá trị riêng của A. Đặt X n  ker( A  0 I ) n thì ta có X 1  X 2  ...  Đặt X 0  X n 1 n thì số chiều của không gian con X 0 gọi là bội của 0 Nếu A compact thì dim X n   n , và tồn tại n0 sao cho X 1  ...  X n0 1  X n0  X n0 1  ... nên bội của 0 hữu hạn.  Chứng minh dim X 1 =1. Giả sử trái lại y0  x0 : Ay0  0 y0 . Coi y0   K và gọi t0 là số cực đại thỏa mãn x0  t0 y0 thì t0  0 ( bổ đề 2.1.5). Theo giả thiết phản chứng thì x0  t0 y0  K \   nên do tính u0 - dương của A:
  0 n  * : An ( x0  t0 y0 )   x0 . 1    Do đó x0  1  n  t0 y0  0  Điều này mâu thuẩn với tính cực đại của t0 .  Chứng minh X 2  X 1 ( do đó X n  X 1 n ) Giả sử trái lại x   : ( A  0 I ) 2 x   ,( A  0 I ) x   . Vì Ax  0 x  X 1 nên theo bước trên t  0 : Ax  0 x  tx0 (2.2) Có thể coi t  0 ( nếu không ta xét  x thay cho x). Ta chứng minh x   K . Thật vậy, từ (2.2) ta có Am ( x)  0m x  mt0m1 x0 m  * . Nếu  x  K thì ta có : 0 0m x  mt 0m1 x0   x  x0 m  *  x0   . mt Điều này vô lý. Vậy x   K . Đặt t0 là số lớn nhất thỏa x0  t0 x thì t0  0 ( do bổ đề 2.1.5) Khi đó A( x0 )  t0 A( x) 0  x0  .t0 x ( do 2.2) 0  t0 Điều này mâu thuẩn với tính cực đại của t0 . Vậy 1) đã được chứng minh. Chứng minh 2) Giả sử trái lại: x1  K \   : x1  x0 , A( x1 )  1 x1 . Do tính chất 1) ta có 1  0 . Coi 1  0 ( vai trò 1 , 0 là như nhau). Gọi t0 là số cực đại thỏa x0  t0 x1 thì t0  0 ( bổ đề 2.1.5). ta có: A( x0 )  t0 A( x1 ) .
1  x0  tx. 0 0 1 Điều này mâu thuẩn với tính cực đại của t0 . Vậy 2) đã được chứng minh. Để chứng minh 3) ta xét bổ đề sau: 2.1.8. Bổ đề 2.1.8 Giả sử các giả thiết của định lí Krein – Rutman được thỏa mãn và A có không gian con bất biến X 0 ( nghĩa là A( X 0 )  X 0 ) với dim X 0  , x0  X 0 . Khi đó X 0  K    . Chứng minh bổ đề 2.1.8 Giả sử trái lại K 0  X 0  K    . Ta có K 0 là nón, x0  K 0 , A( K 0 )  K 0 . Ánh xạ A xét trên X 0 với nón K 0 thỏa điều kiện i) của định lí 2.1.3 ( A compact trên X 0 vì dim X 0   ). Thật vậy, Lấy y0  K \   thì tồn tại   0, q  * : A p ( y0 )   x0 . Đặt y1  A p ( y0 ) thì có   0, q  * : Aq ( y1 )   x0 .  Do đó Aq ( y1 )  y hay A thỏa điều kiện i) của định lí 2.1.3  1 Vậy A có trong K 0 vec tơ riêng, mâu thuẫn với tính chất 2). Vậy bổ đề đã được chứng minh. Chứng minh 3) Giả sử 1 là giá trị riêng của A và 1  0 . Trường hợp 1: 1  , 1  0, Ax1  1 x1 . Ta có x1  K ( do tính chất 2). Do  x1  ( K ) và A( x1 )  1 ( x1 ) . nên theo bổ đề 2.1.5 tồn tại số t0  0 cực đại thỏa x0  t0 ( x1 ) .
1 Khi đó : A( x0 )  t0 A( x1 )  x0  t ( x ) . 0 0 1 Do đó 1  0 theo tính cực đại của t0 . Trường hợp 2: 1  , 1  0 . Ta có: 12 là giá trị riêng của A2 , A2 là u0 - dương, 02 là giá trị riêng của A2 tương ứng với vec tơ riêng x0  K . Do đó 12  02 ( do trường hợp 1) hay 1  0 . Trường hợp 3: 1    i (  0) . Khi đó x, y  X : A( x  iy )  (  i )( x  iy )  Ax   x   y hay  . (2.3)  Ay   x   y Ta cần chứng minh  2   2  0 . Từ (2.3) và   0 , ta suy ra x, y độc lập tuyến tính và x0  X 0 : x, y , X 0 bất biến đối với A.. Do đó, theo bổ đề 2.1.8: ax  by  K (a, b)  (0,0) (2.4) Đặt T  (a, b)   2 : ax  by  x0  K  . T đóng, bị chặn ( do 2.4 và K đóng ) nên là tập compact. Do đó (a0 , b0 )  T : a02  b02  sup a 2  b 2 : (a, b)  T  . Vì A là x0 - dương nên có c  0, p  * sao cho A p (a0 x  b0 y  x0 )  cx0 (2.5) Có thể coi c  0p . Từ (2.5) ta có a1 x  b1 y  (0p  c) x0   (2.6) trong đó a1 x  b1 y  A p (a0 x  b0 y ) .
Ta tìm được rằng: a12  b12  ( 2   2 ) p (a02  b02 ) (do 2.3) Từ (2.6) ta có:  a1 b1   p ,  T  0  c 0 p  c  a12  b12  p  a02  b02 (0  c) 2  ( 2   2 ) p  (0p  c) 2 ( nếu (a0 , b0 )  (0,0) ).   2   2  0 . Ta kiểm tra (a0 , b0 )  (0,0) hay T chứa các điểm (a, b)  (0,0) .  x  x ' x ", x ', x "  K , x"   Ta có  c  0, p   : A ( x ")  cx0 * p  A p ( x)   A p ( x ")  cx0 . 1 p  A ( x)  x0   . c 1 p Phân tích A ( x)  ax  by thì (a, b)  T ,(a, b)  (0,0) . c Định lí đã được chứng minh. Bây giờ cho A : X  X là ánh xạ tuyến tính dương và   , y  X . Ta muốn tìm nghiệm x  K của phương trình :  x  A( x)  y (2.7) 2.1.9. Định lí 2.1.9 Cho A là ánh xạ tuyến tính dương, liên tục, có bán kính phổ r ( A)  0 . Khi đó nếu r  r ( A) và y  K thì (2.7) có duy nhất nghiệm trong K. Chứng minh
 Ak ( y ) Vì r  r ( A) nên tồn tại phần tử R ( y ) :  k 0  k 1 và x thỏa (2.7) khi và chỉ khi x  R ( y ) . Vì A dương và y  K nên R ( y )  K . Định lí được chứng minh. 2.1.10. Định lí 2.1.10 Giả sử A là ánh xạ u0 - bị chặn dưới và tồn tại số 0  0 thỏa mãn: Au0  0u0 . Khi đó với x  K \   và   0 thì Ax x ( tức là  x  Ax  K ). Nói cách khác: 1) Nếu   0 và y  K thì (2.7) không có nghiệm trong K \   . 2) Nếu x  K \   thỏa Ax   x thì   0 . Chứng minh Giả sử trái lại: x  K \   ,   0 : A( x)   x . Gọi t0 là số cực đại mà x  t0u0 thì t0  0 vì   0, p  * : A p x   u0 . Ta có: Ax  t0 Au0   x  t00u0 0 hay x t u . Điều này mâu thuẩn với tính cực đại của t0 .  0 0 Vậy định lí đã được chứng minh. 2.1.11 Định lí 2.1.11 Giả sử A là ánh xạ u0 - bị chặn trên và tồn tại số 0  0 thỏa mãn: Au0  0u0 . Khi đó với x  K \   và   0 thì Ax   x . Như vậy: 1) Nếu   0 và y   K thì (2.7) không có nghiệm trong K \   . 2) Nếu x  K \   ,    thỏa Ax   x thì   0 .
2.1.12. Định lí 2.1.12 Giả sử A là ánh xạ u0 - dương và A(u0 )  0u0 . Khi đó với x  K \   , x  tu0 thì 0 x  A( x), 0 x  A( x) . Chứng minh Chứng minh 0 x  A( x) Giả sử trái lại Ax  0 x, x  K \   , x  tu0 . Gọi t0  0 là số cực đại thỏa x  t0u0 . Ta có:   0 p  * : A p ( x  t0u0 )   u0  A p ( x)  (t00p   )u0  0p x  (t00p   )u0 ( do Ax  0 x ). Điều này mâu thuẩn với tính cực đại của t0 . Vậy ta có 0 x  A( x) Chứng minh 0 x  A( x ) . Giả sử trái lại 0 x  Ax, x  K \   , x  tu0 . Gọi t0  0 là số cực đại thỏa u0  t0 x . Ta có:   0 p  * : A p (u0  t0 x)   u0  (0p   )u0  t0 A p ( x)  t00p x . Điều này mâu thuẩn với tính cực đại của t0 . Vậy ta có 0 x  A( x) . Vậy định lí đã được chứng minh. 2.2. Nhánh liên tục các nghiệm dương Cho X là không gian Banach thực với thứ tự sinh bởi nón K và ánh xạ f :  0,    K  K hoàn toàn liên tục. Xét bài toán tìm cặp ( , x)  [0, )  K sao cho: