Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương trình hàm Cauchy và một số biến thể của nó

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:61

Thêm vào BST

Báo xấu

28
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Phương trình hàm Cauchy là một trong những lĩnh vực hay và khó của toán học sơ cấp, nó có nhiều ứng dụng trong lý thuyết phương trình hàm và trong các lĩnh vực toán học và khoa học khác, bao gồm hình học giải tích, nghiên cứu giải tích, giải tích phức, xác xuất thống kê, giải tích hàm, động lực học, phương trình vi phân, cơ học cô điển, cơ học thống kê và kinh tế học.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương trình hàm Cauchy và một số biến thể của nó

I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC KHOA HÅC o0o BÒI THÀ HNG PH×ÌNG TRNH HM CAUCHY V MËT SÈ BIN TH CÕA NÂ LUN VN THC S TON HÅC THI NGUYN, 2017
I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC KHOA HÅC o0o BÒI THÀ HNG PH×ÌNG TRNH HM CAUCHY V MËT SÈ BIN TH CÕA NÂ Chuy¶n ng nh: Ph÷ìng ph¡p To¡n sì c§p M¢ sè: 60 46 01 13 LUN VN THC S TON HÅC NG×ÍI H×ÎNG DN KHOA HÅC: TS. NGUYN NH BNH THI NGUYN, 2017
i LÍI CM ÌN Luªn v«n ÷ñc ho n th nh t¤i tr÷íng ¤i håc Khoa håc - ¤à håc Th¡i Nguy¶n d÷îi sü h÷îng d¨n cõa TS.NGUYN NH BNH. T¡c gi£ xin tr¥n trång b y tä láng k½nh trång v bi¸t ìn s¥u sc tîi TS.NGUYN NH BNH, th¦y ¢ tªn t¼nh ch¿ b£o, h÷îng d¨n, ëng vi¶n kh½ch l» v t¤o i·u ki»n thuªn lñi cho t¡c gi£ trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp v nghi¶n cùu luªn v«n. Qua b£n luªn v«n n y, t¡c gi£ xin gûi líi c£m ìn tîi c¡c th¦y cæ trong tr÷íng ¤i håc Khoa håc - ¤à håc Th¡i Nguy¶n nâi chung v c¡c th¦y cæ trong khoa To¡n - Tin håc nâi ri¶ng ¢ d¤y b£o v d¼u dt t¡c gi£ trong suèt thíi gian qua. T¡c gi£ công xin c£m ìn gia ¼nh, b¤n b±, çng nghi»p v t§t c£ måi ng÷íi ¢ quan t¥m, ëng vi¶n v gióp ï º t¡c gi£ câ thº ho n th nh luªn v«n cõa m¼nh. T¡c gi£ xin ch¥n th nh c£m ìn! Th¡i Nguy¶n, th¡ng 06 n«m 2017 Håc vi¶n Bòi Thà H¬ng
ii Möc löc MÐ U. 1 1 Ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy. 5 1.1 Têng quan v· ph÷ìng tr¼nh h m. . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy têng qu¡t . . . . . . . . . . . . 13 1.4 Mët sè b i to¡n ùng döng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2 Mët sè bi¸n thº cõa ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy v ùng döng. 25 2.1 Ti¸p cªn gi¡ trà ban ¦u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.1.1 Tr÷íng hñp khi eif l ë o àa ph÷ìng, Rn . . . . . 26 2.1.2 Ph²p t½nh g¦n óng gi¡ trà ban ¦u . . . . . . . . . 29 2.1.3 Tr÷íng hñp eif l o ÷ñc, h¼nh xuy¸n Topo . . . . 39 2.2 Ph÷ìng tr¼nh Cauchy tr¶n mi·n h¤n ch¸. . . . . . . . . . . 42 2.3 Mët sè bi¸n thº cõa ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy. . . . . . . 45 2.3.1 Ph÷ìng tr¼nh Jensen . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.3.2 Ph÷ìng tr¼nh Cauchy nh¥n t½nh . . . . . . . . . . . 46 2.3.3 Ph÷ìng tr¼nh Cauchy lu¥n phi¶n . . . . . . . . . . 47 2.3.4 Ph÷ìng tr¼nh Pexider. . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.3.5 T½nh ên ành . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.4 Mët sè v½ dö minh håa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 KT LUN. 55 T i li»u tham kh£o. 57
1 MÐ U 1. Lþ do chån · t i. Mët ph÷ìng tr¼nh ÷ñc nhi·u ng÷íi bi¸t ¸n v l ph÷ìng tr¼nh cì b£n trong lþ thuy¸t ph÷ìng tr¼nh h m l ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy. Ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy l mët trong nhúng l¾nh vüc hay v khâ cõa to¡n håc sì c§p, nâ câ nhi·u ùng döng trong lþ thuy¸t ph÷ìng tr¼nh h m v trong c¡c l¾nh vüc to¡n håc v khoa håc kh¡c, bao gçm h¼nh håc gi£i t½ch, nghi¶n cùu gi£i t½ch, gi£i t½ch phùc, x¡c xu§t thèng k¶, gi£i t½ch h m, ëng lüc håc, ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n, cì håc cê iºn, cì håc thèng k¶ v kinh t¸ håc. Ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy ¢ ÷ñc giîi thi»u trong s¡ch cõa æng tø n«m 1821. Cauchy ¢ ph¥n t½ch ch°t ch³ ph÷ìng tr¼nh â tø c¡c gi£ thuy¸t r¬ng h m sè f b§t k¼ l mët h m sè li¶n töc tø R ¸n R v c¡c bi¸n x, y câ thº l c¡c sè thüc b§t k¼. Gauss công ¢ nghi¶n cùu ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy trong cuèn s¡ch cõa æng tø n«m 1809, nh÷ng sü nghi¶n cùu n y khæng ch°t ch³ v công khæng rã r ng. Trð l¤i nhúng n«m tr÷îc núa, n«m 1794, ta câ thº t¼m th§y trong s¡ch cõa Legendre, ð ph¦n d nh cho sü nghi¶n cùu t¿ sè di»n t½ch cõa c¡c h¼nh chú nhªt, c£ ùng döng v ph¥n t½ch cõa ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy, tuy nhi¶n chóng v¨n ch÷a ch°t ch³ v khæng rã r ng. Do â nâ ¢ thu hót sü chó þ cõa c¡c t¡c gi£ trong kho£ng thíi gian d i. Kannappan ¢ vi¸t: C¡c nh nghi¶n cùu ¢ am m¶ nhúng ph÷ìng tr¼nh n y [Ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy v 3 kiºu t÷ìng ÷ìng], v sü £o t÷ðng n y s³ ti¸p töc v d¨n ¸n nhi·u th nh qu£ thó và hìn. H÷îng i chung cõa vi»c nghi¶n cùu ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy l sû döng nhi·u lo¤i i·u ki»n thæng th÷íng tr¶n h m sè b§t k¼. Nâ ch¿ ra
2 r¬ng trong tr÷íng hñp °c bi»t khi f : R → R, méi i·u ki»n n y suy ra sü tçn t¤i cõa c ∈ R, sao cho f (x) = cx, vîi måi x ∈ R, v thüc t¸ n y ¢ ÷ñc chùng minh b¬ng nhi·u c¡ch. V½ dö, Cauchy ¢ gi£ sû f li¶n töc. Darboux ¢ chùng minh r¬ng f câ thº ÷ñc gi£ thi¸t ho°c ìn i»u ho°c bà ch°n tr¶n mët kho£ng, Fr²chet, Blumberg, Banach, Sierpinski, Kac, Alexiewicz-Orlicz, v Figiel ¢ gi£ thi¸t r¬ng f l o ÷ñc Lebesgue, Kormes ¢ gi£ thi¸t r¬ng f bà ch°n tr¶n tªp o ÷ñc d÷ìng, Ostrowski v Kestelman ¢ gi£ thi¸t r¬ng f bà ch°n tø mët b¶n tr¶n tªp o ÷ñc d÷ìng, v Mehdi ¢ gi£ thi¸t r¬ng f bà ch°n tr¶n tr¶n tªp nhâm Baire. M°t kh¡c, Hamel ¢ nghi¶n cùu ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy khi khæng câ b§t k¼ i·u ki»n kh¡c cõa f . B¬ng vi»c sû döng cì sð Hamel, æng ta ¢ suy ra r¬ng câ nhi·u nghi»m khæng tuy¸n t½nh tø ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy v æng ¢ t¼m ra t§t c£ chóng. Ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy ¢ ÷ñc kh¡i qu¡t hâa hay bê sung theo nhi·u h÷îng. Mët h÷îng iºn h¼nh l l§y mi·n x¡c ành v mi·n gi¡ trà cõa f th nh c¡c nhâm cõa lo¤i n o â, v½ dö (compact àa ph÷ìng) nhâm Polish, v º chùng minh r¬ng n¸u f thäa m¢n mët i·u ki»n b§t k¼ cõa gi£ thuy¸t o ÷ñc (Baire, Haar, hay Christensen), v câ thº l c¡c gi£ thuy¸t cëng t½nh, th¼ nâ ph£i li¶n töc (Chó þ: thay v¼ nâi ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy, ta nâi l h m thu¦n nh§t ho°c cëng t½nh). Mët h÷îng kh¡c l lñi döng c¡c gi£ thuy¸t tø t½nh o ÷ñc. Ch÷a h÷îng i têng qu¡t n o l thay êi ành ngh¾a mi·n x¡c ành cõa f º m s³ khæng câ mët c§u tróc ¤i sè µp núa, m l s³ ch¿ ìn thu¦n l tªp con n o â cõa mi·n x¡c ành ch½nh thùc, v½ dö mët tªp lçi, ph¦n bò cõa tªp o ÷ñc 0, vv. Sü bi¸n êi n y l º thay êi mi·n gi¡ trà cõa ph÷ìng tr¼nh, v½ dö, gi£ sû r¬ng f thäa m¢n ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy ch¿ vîi c°p (x, y) thuëc v o tªp con cõa R2n , v½ dö a t¤p (v f câ thº ÷ñc ành ngh¾a tr¶n to n khæng gian ho°c tr¶n tªp con cõa nâ). Trong t§t c£ c¡c tr÷íng hñp n y, ta câ thº k¸t luªn sü tçn t¤i nghi»m khæng tuy¸n t½nh cõa ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy (m°c dò c¡c i·u ki»n ·u m¤nh) ho°c (trong tr÷íng hñp khi f ÷ñc gi£ ành ành ngh¾a tr¶n to n bë khæng gian) f ph£i thäa m¢n nâ vîi t§t c£ c¡c c°p (x, y) câ thº. B i to¡n ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy v mët sè bi¸n thº cõa nâ l cæng
3 cö º gi£i quy¸t r§t nhi·u b i to¡n ph÷ìng tr¼nh h m hay v khâ, nâ xu§t hi»n nhi·u trong c¡c · thi håc sinh giäi trong n÷îc v quèc t¸ v th÷íng l mët th¡ch thùc èi vîi håc sinh. Nhi·u t i li»u v c¡c · t i v· ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy ¢ ÷ñc bi¶n so¤n v thüc hi»n. Tuy nhi¶n méi t i li»u ch¿ tr¼nh b y mët sè v§n · v c¡c ùng döng, ch÷a bao qu¡t ÷ñc ¦y õ. V¼ vªy, c¡c v§n · v· ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy v¨n cán r§t phong phó. 2. Möc ½ch. Möc ½ch cõa luªn v«n l nghi¶n cùu c¡c v§n · li¶n quan ¸n ph÷ìng tr¼nh h m, ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy v mët sè bi¸n thº cõa nâ, xem x²t kh£ n«ng gi£i ÷ñc v sü ên ành t÷ìng èi cõa nâ èi vîi c¡c tªp con cõa khæng gian Euclide a chi·u. Mët sè lo¤i i·u ki»n mîi ÷ñc tr¼nh b y, ch¯ng h¤n nh÷ mët ph÷ìng tr¼nh trong â mët sè mô phùc t¤p c¡c h m ch÷a bi¸t.... C¡c ph¥n t½ch ÷ñc mð rëng ¸n mët sè bi¸n thº cõa ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy. °c bi»t l ùng döng c¡c lþ thuy¸t n y trong vi»c gi£ng d¤y v bçi d÷ïng ki¸n thùc to¡n håc cho håc sinh THPT v l t i li»u tham kh£o cho sinh vi¶n ng nh To¡n håc. 3. èi t÷ñng v ph¤m vi nghi¶n cùu. èi t÷ñng nghi¶n cùu cõa luªn v«n l ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy v mët sè bi¸n thº cõa nâ. Mët c¡ch cö thº, luªn v«n s³ tr¼nh b y c¡c k¸t qu£ ch½nh trong c¡c t i li»u tham kh£o [1], [2], [3] v c¡c b i b¡o [4], [5]. 4. Ph÷ìng ph¡p nghi¶n cùu. Thu thªp c¡c b i b¡o khao håc v t i li»u cõa c¡c t¡c gi£ nghi¶n cùu li¶n quan ¸n ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy v ùng döng. Trao êi qua email vîi th¦y h÷îng d¨n v· c¡c ùng döng cõa ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy v mët sè bi¸n thº cõa nâ.
4 5. Bè cöc luªn v«n. T¡c gi£ ti¸n h nh nghi¶n cùu hai nëi dung ch½nh t÷ìng ùng vîi hai ch÷ìng: Ch÷ìng 1. Ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy. 1.1. Têng quan v· ph÷ìng tr¼nh h m. 1.2. Ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy. 1.3. Ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy têng qu¡t. 1.4. Mët sè b i to¡n ùng döng. Ch÷ìng 2. Mët sè bi¸n thº cõa ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy v ùng döng. 2.1. Ti¸p cªn gi¡ trà ban ¦u. 2.2. Ph÷ìng tr¼nh Cauchy tr¶n mi·n h¤n ch¸. 2.3. Mët sè bi¸n thº cõa ph÷ìng tr¼nh Cauchy. 2.4. Mët sè v½ dö minh håa.
5 Ch÷ìng 1 Ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy. Trong ch÷ìng n y, t¡c gi£ tr¼nh b y ành ngh¾a, t½nh ch§t cõa ph÷ìng tr¼nh h m. Trong â, t¡c gi£ i s¥u v· nghi¶n cùu ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy v mët sè b i to¡n ùng döng. Nëi dung ch½nh ÷ñc tham kh£o t¤i c¡c t i li»u [1], [2], [3]. 1.1 Têng quan v· ph÷ìng tr¼nh h m. ành ngh¾a 1.1 Ph÷ìng tr¼nh h m l ph÷ìng tr¼nh m ©n l c¡c h m sè. Gi£i ph÷ìng tr¼nh h m tùc l t¼m c¡c h m sè ch÷a bi¸t â. Ti¸p cªn ph÷ìng tr¼nh h m, méi ng÷íi câ nhúng cì sð v ph÷ìng ph¡p kh¡c nhau. Tuy nhi¶n, düa v o °c tr÷ng cõa c¡c h m ta câ thº x¥y düng ÷ñc mët sè ành h÷îng nh÷ sau: 1. Th¸ c¡c gi¡ trà bi¸n phò hñp: H¦u h¸t c¡c gi¡ trà ban ¦u câ thº th¸ v o l : x = 0, x = 1, ...; tø â t¼m ra mët t½nh ch§t quan trång n o â ho°c c¡c gi¡ trà °c bi»t cõa h m ho°c t¼m c¡ch chùng minh h m sè h¬ng. 2. Quy n¤p to¡n håc: ¥y l ph÷ìng ph¡p sû döng gi¡ trà f (x) v b¬ng c¡ch quy n¤p vîi n ∈ N º t¼m f (n). Sau â t¼m f ( n1 ) v f (e). Ph÷ìng ph¡p n y th÷íng ¡p döng trong b i to¡n m ð â h m f ¢ ÷ñc x¡c ành tr¶n Q; tø â mð rëng tr¶n c¡c tªp sè rëng hìn. 3. Sû döng ph÷ìng tr¼nh Cauchy v kiºu Cauchy.
6 4. Nghi¶n cùu t½nh ìn i»u v t½nh li¶n töc cõa c¡c h m. C¡c t½nh ch§t n y ¡p döng trong ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy ho°c kiºu Cauchy. C¡c ph÷ìng tr¼nh â n¸u khæng câ t½nh ìn i»u, li¶n töc th¼ b i to¡n trð n¶n phùc t¤p hìn nhi·u. 5. T¼m iºm cè ành ho°c gi¡ trà 0 cõa c¡c h m. 6. Nghi¶n cùu t½nh ìn ¡nh v to n ¡nh cõa c¡c h m lôy thøa trong ph÷ìng tr¼nh. 7. Dü o¡n h m v dòng ph÷ìng ph¡p ph£n chùng º chùng minh i·u dü o¡n óng. 8. T¤o n¶n c¡c h» thùc truy hçi. 9. Mi¶u t£ t½nh ch§t ch®n, l´ cõa h m sè. Tø mët sè ành h÷îng n¶u tr¶n, t¡c gi£ t¥m c ph¦n ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy n¶n ¢ i s¥u v o nghi¶n cùu nâ. 1.2 Ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy. ành ngh¾a 1.2 Ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy l ph÷ìng tr¼nh h m câ d¤ng: f (x + y) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R, (1.1) trong â, f (x) l h m x¡c ành tr¶n R. H m f thäa m¢n ph÷ìng tr¼nh f (x + y) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R, ÷ñc gåi l h m cëng t½nh. ành lþ 1.1 H m sè li¶n töc f (x) l nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh (1.1) khi v ch¿ khi: f (x) = ax, ∀x ∈ R, trong â, a l h¬ng sè tòy þ.
7 Chùng minh: Cho x = y , ta câ: f (2x) = 2f (x). B¬ng c¡ch quy n¤p theo n, ta s³ chùng minh: f (nx) = nf (x), ∀n ∈ N, x ∈ R. Thªt vªy, Vîi n = 1 v n = 2 h» thùc c¦n chùng minh l óng. Gi£ sû: f (kx) = kf (x), k ≥ 1. Khi â: f ((k + 1)x) = f (x + kx) = f (x) + f (kx) = f (x) + kf (x) = (k + 1)f (x). Cho x = y = 0, suy ra: f (0) = 0. Ti¸p theo, thay x = −y , ta ÷ñc: 0 = f (x − x) = f (x) + f (−x), hay f (−x) = −f (x). N¸u n < 0, th¼: f (nx) = f ((−n).(−x)) = −nf (−x) = nf (x). Vªy f (nx) = nf (x), ∀n ∈ Z. N¸u n ∈ Z, n 6= 0 th¼: x x f (x) = f n. = n.f , n n hay x f (x) f = . n n m X²t p = ∈ Q, trong â m, n ∈ Z. Ta câ: n m x x m f (p x) = f .x = f m =mf = f (x) = p f (x). n n n n [n α] Vîi måi α ∈ R, n ∈ N, °t rn = ∈ Q, n 1 Ta câ rn ≤ α < rn + . n Do â ta câ : lim rn = α n→∞ v α x = lim (rn x). n→∞
8 V¼ f li¶n töc n¶n: f (αx) = lim f (rn x) = lim rn f (x) = αf (x). (1.2) n→∞ n→∞ °t a = f (1) th¼ f (x) = f (x.1) = xf (1) = ax. Vªy f (x) = ax, ∀x ∈ R, a ∈ R cho tr÷îc. Ng÷ñc l¤i, n¸u f (x) = ax, ∀x ∈ R, a ∈ R th¼ d¹ th§y r¬ng f l mët nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh Cauchy. i·u ki»n li¶n töc cõa h m f t÷ìng ÷ìng vîi mët trong c¡c i·u ki»n sau: Bê · 1.1 Cho f : R → R l mët nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh Cauchy (1.1) khæng çng nh§t b¬ng 0. Khi â, c¡c m»nh · sau l t÷ìng ÷ìng: (1) f li¶n töc tr¶n R, (2) f li¶n töc t¤i iºm x0 ∈ R, (3) f li¶n töc t¤i iºm 0, (4) f ìn i»u thüc sü tr¶n mët kho£ng trong R, (5) f bà ch°n tr¶n mët kho£ng (ho°c mët o¤n) trong R. Chùng minh: Tø ph²p chùng minh cõa ành lþ 1.1, ta câ: f (rx) = rf (x), ∀x ∈ R, r ∈ Q. Tø (1) suy ra (2) v tø (2) suy ra (3) l hiºn nhi¶n. Ta chùng minh: (3) suy ra (1). Thªt vªy, ∀x0 ∈ R, f (x) = f (x − x0 + x0 ) = f (x − x0 ) + f (x0 ). N¸u limn→∞ (xn ) = x0 th¼: lim f (xn ) = lim [f (xn − x0 ) + f (x0 )] = f (0) + f (x0 ) = f (x0 ). n→∞ n→∞ Vªy f li¶n töc t¤i x0 .
9 Do â, f l h m sè li¶n töc. Chùng minh: tø (1) suy ra (4). Gi£ sû f li¶n töc. Theo ành lþ 1.1: f (x) = ax, ∀x ∈ R, a l h¬ng sè. V¼ f khæng çng nh§t b¬ng 0 n¶n a 6= 0. Do â f ìn i»u tr¶n R. Ng÷ñc l¤i, gi£ sû f ìn i»u tr¶n mët kho£ng I ⊂ R. Ta gi£ thi¸t, f ìn i»u t«ng. L§y x0 ∈ I v ε > 0, sao cho: (x0 − ε, x0 + ε) ⊂ I . ε ε V¼ x0 − < x0 < x0 + n¶n: n n f (ε) ε ε f (ε) f (x0 ) − = f x0 − < f (x0 ) < f x0 + = f (x0 ) + n n n n Do â: ε ε lim f x0 − = lim f x0 + = f (x0 ) (1.3) n→∞ n n→∞ n Gi£ sû: limn→∞ xn = x0 . Vîi måi δ > 0, chån n0 ∈ N sao cho: ε ε x0 − < xn < x0 + , ∀n > n0 , n0 n0 ε ε v f x0 + − f x0 − < δ. n n ε ε Khi â, f x0 − < f (xn ) < f x0 + . n0 n0 Suy ra, |f (xn ) − f (x0 )| < δ, ∀n > n0 . Vªy f li¶n töc t¤i x0 n¶n f li¶n töc. Chùng minh: (1) ⇔ (5). Ta ch¿ c¦n chùng minh (5) suy ra (1). Gi£ sû f bà ch°n tr¶n kho£ng I ⊂ R. L§y x0 ∈ I, ε > 0, sao cho: (x0 − ε, x0 + ε) ⊂ I . Vîi måi x ∈ (−ε, ε) : f (x) = f (x + x0 ) − f (x0 ) vîi x + x0 ∈ I . Do â, f bà ch°n tr¶n (−ε, ε). Hay, tçn t¤i M > 0, sao cho: |f (x)| ≤ M , vîi |x| < ε. Gi£ sû, lim xn = 0. n→∞ " # 1 1 °t kn = p ∈ N. Ta câ: |kn xn | ≤ p |xn |. p |xn | = |xn | |xn |
10 Vîi måi δ > 0, chån n0 ∈ N sao cho: M < δ v |kn xn | < |xn | < ε, ∀n > n0 . p kn Khi â, kn xn f (kn xn ) M |f (xn )| = |f ( )| = ≤ < δ. kn kn kn Vªy limn→∞ f (xn ) = 0 = f (0) n¶n f li¶n töc t¤i 0. Do â, f li¶n töc. Tø ành lþ 1.1 v Bê · 1.1 , suy ra h m f thäa m¢n mët trong c¡c i·u ki»n cõa Bê · l nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy khi v ch¿ khi: f (x) = ax, ∀x ∈ R, vîi a l h¬ng sè. Ta câ mët sè h» qu£ sau: H» qu£ 1.1 H m sè f li¶n töc tr¶n R l nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh h m f (x + y) = f (x).f (y), ∀x, y ∈ R, (1.4) khi v ch¿ khi f (x) = bx , ∀x ∈ R, b > 0 l h¬ng sè. Chùng minh. N¸u câ x0 ∈ R, sao cho: f (x0 ) = 0, th¼: f (x) = f (x − x0 + x0 ) = f (x − x0 )f (x0 ) = 0, ∀x ∈ R. Tùc l , f ≡ 0. Ta gi£ thi¸t f (x) 6= 0, ∀x ∈ R. Hay f (x) khæng çng nh§t b¬ng 0. Khi â, x x x 2 f (x) = f + =f > 0. 2 2 2 H» thùc (1.4) t÷ìng ÷ìng vîi: ln[f (x + y)] = ln[f (x)f (y)] = lnf (x) + lnf (y), hay g(x + y) = g(x) + g(y),
11 trong â: g(x) = ln[f (x)]. Theo ành lþ 1.1, ta câ: g(x) = ax, a ∈ R. Vªy f (x) = eax = bx , b = ea > 0. H» qu£ 1.2 H m sè f li¶n töc tr¶n R {0} l nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh h m f (xy) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R {0} , khi v ch¿ khi: f (x) = a ln|x|, ∀x ∈ R {0}. Chùng minh. +) Vîi x, y ∈ R+ , °t x = eu v y = ev . Ta câ: f (eu+v ) = f (eu ) + f (ev ) ⇔ g(u + v) = g(u) + g(v), ∀u, v ∈ R. trong â, g(u) = f (eu ) li¶n töc tr¶n R. p döng ành lþ 1.1, ta câ: g(u) = a u. Suy ra: f (x) = g(lnx) = a lnx, ∀x ∈ R+ . +) Vîi x < 0, ta câ: f x2 = f (x) + f (x), hay 1 1 f x2 = a lnx2 = a ln(−x). f (x) = 2 2 Vªy f (x) = a ln|x|, ∀x ∈ R {0}, vîi a ∈ R tòy þ. H» qu£ 1.3 H m sè f li¶n töc tr¶n R l nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh h m f (xy) = f (x)f (y), ∀x, y ∈ R {0} , khi v ch¿ khi f (x) = |x|α , ∀x ∈ R {0} , α l h¬ng sè. Chùng minh. Thay y = 1, ta ÷ñc:
12 f (x) = f (x).f (1) ⇔ f (x).(1 − f (1)) = 0, ∀x ∈ R. N¸u f (1) 6= 1 th¼ f (x) = 0, ∀x ∈ R {0}. Do vªy, f ≡ 0. X²t f (1) = 1. 1 1 Khi â, f (1) = f x. = f (x).f , ∀x ∈ R {0}. x x Suy ra f (x) 6= 0, ∀x ∈ R {0}. Do â: f x2 = f (x).f (x) = f 2 (x) > 0, ∀x ∈ R {0} . Suy ra, f (x) > 0, ∀x ∈ R+ . °t g(t) = f (et ), t ∈ R. Khi â, g(t + u) = f (et+u ) = f (et .eu ) = f (et )f (eu ) = g(t).g(u). Ph÷ìng tr¼nh tr¶n câ nghi»m l : g(t) = at , ∀t ∈ R. V¼ x = et , t÷ìng ÷ìng t = ln x, n¶n: ln x ln a f (x) = g(ln x) = aln x = eln a = eln x = xln a = xα , α ∈ R. X²t x, y ∈ R− , khi â −x, −y ∈ R+ . N¸u x = y , ta nhªn ÷ñc: f x2 = f 2 (x) > 0. α V¼ x2 > 0, theo chùng minh tr¶n f x2 = x2 , α ∈ R. Do â: f 2 (x) = x2α . Suy ra f (x) = ±|x|α . Vªy nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh ¢ cho l : (1) f (x) = 0, ∀x ∈ R {0}. (2) f (x) = |x|α , ∀x ∈ R {0}. ( |x|α , x > 0, (3) f (x) = −|x|α , x < 0.
13 1.3 Ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy têng qu¡t Cho ph÷ìng tr¼nh h m d¤ng: f (x) + f (y) − f (x + y) = g(H(x, y)) (1.5) trong â, f v g l c¡c h m ph£i t¼m, H l h m ¢ cho. Khi g ≡ 0 th¼ (1.5) trð th nh ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy. C¡c h m sè ð ¥y ÷ñc x²t l h m sè thüc, tùc l tªp x¡c ành v tªp gi¡ trà cõa nâ l R ho°c tªp con cõa R. Sau ¥y ta x²t mët sè tr÷íng hñp °c bi»t cõa (1.5). + H(x, y) = xy , khi â (1.5) trð th nh: f (x) + f (y) − f (x + y) = g(xy) (1.6) 1 1 + H(x, y) = + v g = −f , khi â (1.5) trð th nh: x y f (x) + f (y) − f (x + y) = −f (x−1 + y −1 ) (1.7) xy(x + y) + H(x, y) = v g = f : (1.5) trð th nh: x2 y 2 + xy xy(x + y) f (x) + f (y) − f (x + y) = f (1.8) x2 + y 2 + xy Ta nhªn th§y r¬ng, c¡c ph÷ìng tr¼nh (1.6)-(1.8) l nhúng d¤ng b i to¡n quen thuëc trong lþ thuy¸t ph÷ìng tr¼nh h m. Nhªn x²t: + N¸u g(x) = c (g l h m h¬ng) th¼ vîi b§t cù h m H ¢ cho n o, (1.5) ·u t÷ìng ÷ìng vîi: f (x) + f (y) − f (x + y) = c. Rã r ng nghi»m têng qu¡t cõa ph÷ìng tr¼nh tr¶n l : f (x) = A(x) + c,
14 trong â, A(x) l mët h m cëng t½nh b§t ký, hay A(x) l nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh Cauchy (1.1). Vªy nghi»m cõa (1.5) trong tr÷íng hñp n y l : f (x) = A(x) + c, v g(x) = c. + T÷ìng tü trong tr÷íng hñp H(x, y) = c, cæng thùc nghi»m cõa (1.5) l : f (x) = A(x) + g(c) v g l h m b§t ký. trong â, A(x) l h m cëng t½nh tòy þ. Chóng ta gåi nghi»m (f, g) cõa ph÷ìng tr¼nh (1.5) l t¦m th÷íng n¸u f l afin, tùc l f (x) = A(x) + c, trong â A(x) l cëng t½nh v c l h¬ng sè. + º þ r¬ng c¡c ph÷ìng tr¼nh (1.6)-(1.8) l d¤ng ph÷ìng tr¼nh (1.5) vîi H(x, y) câ d¤ng sau: H(x, y) = ψ(φ(x) + φ(y) − φ(x + y)) (1.9) V¼ d¹ th§y (1.6)-(1.8) t÷ìng ùng vîi vi»c chån: φ(x) = x2 , ln x, x−1 −u −u −1 v ψ(u) = , e , u . 2 B¥y gií ta x²t mët tr÷íng hñp °c bi»t cõa (1.5) câ d¤ng nh÷ sau f (x) + f (y) − f (x + y) = g(φ(x) + φ(y) − φ(x + y)) (1.10) Rã r ng, n¸u φ l afin th¼ vîi måi g ph÷ìng tr¼nh (1.10) ·u câ nghi»m f l afin, tùc l (1.10) câ nghi»m t¦m th÷íng. V¼ vªy chóng ta x²t φ khæng afin v kþ hi»u I l (α, +∞), (ho°c [α, +∞), (−∞, +∞), (−∞, −α], (−∞, −α)), trong â α ≥ 0. 1.4 Mët sè b i to¡n ùng döng Tø cì sð lþ thuy¸t ¢ n¶u ð ph¦n tr¶n, sau ¥y t¡c gi£ s³ tr¼nh b y ùng döng cõa ph÷ìng tr¼nh Cauchy º gi£i quy¸t mët sè b i to¡n.
15 B i to¡n 1.1 X¡c ành h m sè f (x) ìn i»u tr¶n R v thäa m¢n (1.1). Líi gi£i: V¼ f (x) thäa m¢n (1.1) n¶n: f (x) = a x, ∀x ∈ R, vîi a = f (1) ∈ R tòy þ. Ta ch¿ ra, n¸u f ìn i»u th¼: f (x) = a x, ∀x ∈ R. Ta chùng minh tr÷íng hñp f khæng gi£m, cán tr÷íng hñp f khæng t«ng th¼ chùng minh t÷ìng tü. Gi£ sû, f khæng gi£m tr¶n R. Khi â, a = f (1) ≥ f (0) = 0. Vîi méi x ∈ R b§t k¼, ta x²t hai d¢y sè húu t¿ sn gi£m v qn t«ng còng câ giîi h¤n l x. Khi â, ∀n ∈ N, ta câ: ( f (sn ) = a sn , f (qn ) = a qn . M°t kh¡c, f khæng gi£m tr¶n R n¶n: a sn ≥ f (sn ) ≥ f (x) ≥ f (qn ) = a qn , ∀n ∈ N. L§y giîi h¤n hai v¸ khi n → +∞, ta câ: limn→+∞ asn ≥ f (x) ≥ limn→+∞ aqn , ⇒ ax ≥ f (x) ≥ ax. Vªy f (x) = ax, nh÷ng x ∈ R b§t k¼ n¶n f (x) = ax, ∀x ∈ R. Nhªn x²t: + Tø gi£ thi¸t f ìn i»u tr¶n R v thäa m¢n (1.1), ta câ thº suy ra f li¶n töc t¤i x = 0. Suy ra, f (x) = x f (1), ∀x ∈ R. C¡ch l m tr¶n s³ kh¡ ngn gån v rã r ng ëc lªp hìn l n¸u ta quy v· t½nh li¶n töc cõa f . ¥y l k¸t qu£ n·n t£ng cõa c¡c b i to¡n v· lîp ph÷ìng tr¼nh h m vøa cëng t½nh vøa ìn i»u. + N¸u thay gi£ thi¸t f ìn i»u bði: f (x) > 0, ∀x ∈ R v f thäa m¢n (1.1) th¼ suy ra f l h m khæng gi£m tr¶n R, do â: f (x) = ax, ∀x ∈ R v a ≥ 0. N¸u f (x2n ) = [f (x)]2n , n ∈ N∗ , suy ra: f (x) ≡ 0 ho°c f (x) = x, ∀x ∈ R.
16 Cán n¸u, f (x) ≤ 0, ∀x ≥ 0 suy ra: h m f khæng t«ng tr¶n R, hay f (x) = ax, ∀x ∈ R, vîi a ≤ 0. B i to¡n 1.2 T¼m c¡c h m sè f (x) x¡c ành tr¶n R v thäa m¢n (1.1) v bà ch°n tr¶n o¤n [c, d] vîi c < d b§t k¼. Líi gi£i: Gi£ sû f l h m thäa m¢n b i to¡n. Do f thäa m¢n (1.1) n¶n: f (x) = ax, ∀x ∈ Q, trong â: a = f (1). Ta chùng minh: f (x) = ax, ∀x ∈ R. Thªt vªy, l§y x ∈ R b§t ký. Khi â, vîi méi n ∈ N tçn t¤i rn ∈ Q (phö thuëc v o n v x), sao cho: nx − d ≤ rn ≤ nx − c. Suy ra, f (nx − rn ) bà ch°n, do c ≤ nx − rn ≤ d. Ta câ: |f (nx − rn )| = |f (nx) + f (−rn )| = |nf (x) − arn | = |n(f (x) − ax) + a(nx − rn )| ≥ n|f (x) − ax| − |a(nx − rn )|. Suy ra, |f (nx − rn )| + |a(nx − rn )| ≥ n|f (x) − ax|. M°t kh¡c, |a(nx − rn )| ≥ max{|ac|, |ad|}, v f (nx − rn ) bà ch°n vîi måi n ∈ N. Do â, n|f (x) − ax| công bà ch°n vîi måi n ∈ N. i·u n y ch¿ x£y ra khi: f (x) − ax = 0. Vªy f (x) = ax, ∀x ∈ R. B i to¡n 1.3 X¡c ành h m sè f (x) li¶n töc tr¶n R thäa m¢n x+y+z f (x) + f (y) + f (z) f = , ∀x, y, z ∈ R. 3 3 Líi gi£i: °t g(x) = f (x) − f (0) th¼ g(0) = 0. Do vªy, ∀x, y, z ∈ R.