Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương trình tích phân

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:52

Thêm vào BST

Báo xấu

23
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nhiều vấn đề của toán học, cơ học, vật lý đã dẫn đến những phương trình trong đó hàm chưa biết ở dưới dấu tích phân. Những phương trình ấy gọi là phương trình tích phân. Phương trình tích phân là một trong những công cụ toán học hữu ích được dùng trong toán học lý thuyết và giải tích ứng dụng. Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương trình tích phân

I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC S× PHM LIENPHONE CHEUCHOUTHOR PH×ÌNG TRNH TCH PHN LUN VN THC S TON HÅC Th¡i Nguy¶n - 2016
I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC S× PHM LIENPHONE CHEUCHOUTHOR PH×ÌNG TRNH TCH PHN Chuy¶n ng nh: TON GII TCH M¢ sè: 60.46.01.02 LUN VN THC S TON HÅC Ng÷íi h÷îng d¨n khoa håc TS. NGUYN THÀ NGN Th¡i Nguy¶n - 2016
Líi cam oan Tæi xin cam oan r¬ng nëi dung tr¼nh b y trong luªn v«n n y l trung thüc v khæng tròng l°p vîi · t i kh¡c. Tæi công xin cam oan r¬ng måi sü gióp ï cho vi»c thüc hi»n luªn v«n n y ¢ ÷ñc c£m ìn v c¡c thæng tin tr½ch d¨n trong luªn v«n ¢ ÷ñc ch¿ rã nguçn gèc. Th¡i Nguy¶n, ng y ... th¡ng ... n«m 2016 Ng÷íi vi¸t luªn v«n LIENPHONE CHEUCHOUTHOR i
Möc löc Líi cam oan i Möc löc ii Mð ¦u 1 1 Ki¸n thùc chu©n bà 4 1.1 Mët sè ki¸n thùc cì b£n v· khæng gian Lp . . . . . . . . . 4 1.2 Mët sè ki¸n thùc cì b£n v· khæng gian Hilbert . . . . . . . 8 1.2.1 T½ch væ h÷îng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.2 Khæng gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.3 Khæng gian L2ρ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3 To¡n tû èi xùng ho n to n li¶n töc . . . . . . . . . . . . 11 1.3.1 Phi¸m h m tuy¸n t½nh li¶n töc . . . . . . . . . . . 11 1.3.2 To¡n tû li¶n hñp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3.3 To¡n tû èi xùng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.3.4 To¡n tû ho n to n li¶n töc . . . . . . . . . . . . . . 20 1.3.5 To¡n tû èi xùng ho n to n li¶n töc . . . . . . . . 22 2 Ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n 26 2.1 To¡n tû t½ch ph¥n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.2 Ph¥n lo¤i ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n . . . . . . . . . . . . . . 30 2.2.1 Kh¡i ni»m ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n . . . . . . . . . 30 2.2.2 Ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n Fredhom . . . . . . . . . . 31 2.2.3 Ph÷ìng tr¼nh Volterra . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ii
2.3 Ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n ký dà . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.3.1 Ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n ký dà lo¤i mët . . . . . . . 32 2.3.2 Ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n ký dà lo¤i hai . . . . . . . . 33 2.4 Ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n vîi h¤ch èi xùng . . . . . . . . . 34 2.5 Ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n vîi h¤ch suy bi¸n . . . . . . . . . . 36 2.6 C¡c ành lþ Fredhom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.6.1 C¡c kh¡i ni»m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.6.2 C¡c ành lþ Fredhom . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.7 Ph÷ìng ph¡p x§p x¿ li¶n ti¸p . . . . . . . . . . . . . . . . 40 K¸t luªn 45 iii
Mð ¦u Nhi·u v§n · cõa to¡n håc, cì håc, vªt lþ ¢ d¨n ¸n nhúng ph÷ìng tr¼nh trong â h m ch÷a bi¸t ð d÷îi d§u t½ch ph¥n. Nhúng ph÷ìng tr¼nh §y gåi l ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n. Ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n l mët trong nhúng cæng cö to¡n håc húu ½ch ÷ñc dòng trong to¡n håc lþ thuy¸t v gi£i t½ch ùng döng. Ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n ho°c ph÷ìng tr¼nh Fredhom lo¤i mët l ph÷ìng tr¼nh câ d¤ng: Zb f (x) = K (x, y)φ (y) dy, a < x < b, a trong â f (x),K (x, y) l nhúng h m cho tr÷îc. N¸u φ (x) l h m ch÷a bi¸t câ m°t ð c£ trong v ngo i d§u t½ch ph¥n th¼ ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n §y ÷ñc gåi l ph÷ìng tr¼nh Fredhom lo¤i hai: Zb φ (x) = K (x, y)φ (y) dy + f (x) , a < x < b. a N¸u cªn d÷îi cõa t½ch ph¥n l húu h¤n th¼ ph÷ìng tr¼nh §y gåi l ph÷ìng tr¼nh Volterra lo¤i mët v lo¤i hai t÷ìng ùng câ d¤ng: Zx f (x) = K (x, y)φ (y) dy, a < x < b. a Zx φ (x) = K (x, y)φ (y) dy + f (x) , a < x < b. a Ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n l mët trong nhúng cæng cö to¡n håc húu ½ch nh§t ÷ñc sû döng gi£i t½ch lþ thuy¸t v gi£i t½ch ùngs döng. °c bi»t nâ 1
cán gióp ½ch cho vi»c håc tªp, nghi¶n cùu v gi£ng d¤y ð c¡c tr÷íng cao ¯ng v ¤i håc. Trong ch÷ìng tr¼nh To¡n ð bªc ¤i håc, tæi ¢ ÷ñc c¡c th¦y, cæ gi¡o giîi thi»u v· ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n v vai trá cõa nâ èi vîi bë mæn to¡n håc. Sau khi ÷ñc nghe c¡c th¦y cæ giîi thi»u tæi th§y ph¦n ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n r§t quan trång. Vîi t¦m quan trång â còng vîi sü h÷îng d¨n v gióp ï tªn t¼nh cõa c¡c th¦y, cæ gi¡o trong Bë mæn gi£i t½ch tæi ¢ chån · t i: "Ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n" l m luªn v«n tèt nghi»p. Qua luªn v«n n y tæi muèn nghi¶n cùu mët sè lþ thuy¸t cì b£n cõa ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n. Ngo i ph¦n Mð ¦u, K¸t luªn v T i li»u tham kh£o luªn v«n gçm 2 ch÷ìng: Ch÷ìng 1: Tr¼nh b y mët sè ki¸n thùc cì b£n v· khæng gian Lp, khæng gian Hilbert v c¡c to¡n tû trong khæng gian Hilbert nh÷: to¡n tû li¶n hñp, to¡n tû èi xùng, to¡n tû ho n to n li¶n töc, to¡n tû èi xùng ho n to n li¶n töc. ¥y l nhúng ki¸n thùc c¦n thi¸t chu©n bà cho ch÷ìng 2 cõa luªn v«n. Ch÷ìng 2: ¥y l nëi dung ch½nh cõa luªn v«n. Trong ch÷ìng n y chóng tæi ¢ tr¼nh b y mët sè ki¸n thùc cì b£n v· ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n nh÷: to¡n tû t½ch ph¥n, ph¥n lo¤i c¡c ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n, ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n vîi h¤ch èi xùng, ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n vîi h¤ch suy bi¸n, ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n vîi h¤ch b§t ký, c¡c ành lþ Fredhom v ph÷ìng ph¡p x§p x¿ li¶n ti¸p. Luªn v«n ÷ñc ho n th nh d÷îi sü h÷îng d¨n tªn t¼nh cõa TS. Nguy¹n Thà Ng¥n. Nh¥n dàp n y cho ph²p ÷ñc b y tä láng bi¸t ìn s¥u sc tîi cæ ng÷íi ¢ tªn t¼nh h÷îng d¨n v gióp ï tæi trong suèt qu¡ tr¼nh nghi¶n cùu º ho n th nh luªn v«n n y. Trong qu¡ tr¼nh thüc hi»n luªn v«n, tæi nhªn ÷ñc r§t nhi·u sü gióp ï ëng vi¶n cõa c¡c th¦y, cæ trong khoa To¡n - Tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m - ¤i håc Th¡i Nguy¶n v c¡c b¤n håc vi¶n cao håc. Tæi xin ÷ñc b y tä 2
láng bi¸t ìn s¥u sc tîi c¡c th¦y cæ gi¡o v c¡c b¤n. Tæi xin ch¥n th nh c£m ìn c¡c th¦y cæ gi¡o ¢ gi£ng d¤y v gióp ï tæi trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp r±n luy»n t¤i Khoa, Tr÷íng. Cuèi còng do kinh nghi»m nghi¶n cùu khoa håc cán h¤n ch¸ n¶n luªn v«n chc chn s³ khæng tr¡nh khäi nhúng thi¸u sât. V¼ vªy, tæi r§t mong nhªn ÷ñc nhúng þ ki¸n ch¿ b£o, âng gâp cõa c¡c th¦y, cæ gi¡o v c¡c b¤n håc vi¶n cao håc º luªn v«n ÷ñc ho n thi»n hìn. 3
Ch÷ìng 1 Ki¸n thùc chu©n bà 1.1 Mët sè ki¸n thùc cì b£n v· khæng gian Lp ành ngh¾a 1.1. [2],[3] Cho (X, M, µ) l mët khæng gian ë o, trong â X l khæng gian, M l mët σ-¤i sè c¡c tªp con cõa X, µ l mët ë o tr¶n M. Cho p∈ [1; +∞) l mët sè thüc. Hå t§t c£ c¡c h m sè f(x) câ lôy thøa bªc p kh£ t½ch tr¶n X gåi l khæng gian Lp(X, µ). Nh÷ vªy Z Lp (X, µ) = {f : X −→ R : |f |p dµ < ∞}. x Khi X l tªp o ÷ñc theo ngh¾a Lebesgue trong Rk v µ l ë o Lebegsue th¼ ta vi¸t Lp(X) thay cho Lp(X, µ). Vîi p = ∞, kþ hi»u L∞ (X) = {f : X −→ R|ess sup|f (x)| < +∞}. trong â ess sup |f (x)| = inf {M > 0|µ{x ∈ X||f (x)| > M } = 0}. x∈X M»nh · 1.1. [2] , [3]Tªp hñp Lp(X, µ), vîi c¡c ph²p to¡n thæng th÷íng tr¶n h m sè, vîi chu©n x¡c ành bði p1 |f |p dµ vîi méi f ∈ Lp (X, µ) R kf (x)kLp (X,µ) = X l mët khæng gian tuy¸n t½nh ành chu©n. 4
Chùng minh. D¹ th§y r¬ng, vîi måi f, g ∈ Lp(X, µ), vîi måi k ∈ K, ta câ |f + g| ≤ 2max{|f |, |g|}. Tø â, suy ra |f + g|p ≤ 2p max{|f |p , |g|p ≤ 2p (|f |p + |g|p ) . Vªy f + g ∈ Lp(X, µ).Ngo i ra kf ∈ Lp(X, µ). Nh÷ vªy Lp(X, µ) âng k½n èi vîi c¡c ph²p to¡n thæng th÷íng tr¶n h m sè n¶n nâ l mët khæng gian tuy¸n t½nh. Ta bi¸t r¬ng, |f |pdµ = 0 khi v ch¿ khi f = 0 h¦u khp nìi tr¶n X R X n¶n i·u ki»n thù nh§t cõa chu©n ÷ñc thäa m¢n. i·u ki»n thù hai l hiºn nhi¶n, i·u ki»n tam gi¡c ÷ñc suy ra tø b§t ¯ng thùc Minkowski. M»nh · ÷ñc chùng minh. ành lþ 1.1. [2] , [3] Lp(X, µ) l khæng gian Banach. Chùng minh. Gi£ sû {fn} l mët d¢y Cauchy trong Lp(X, µ), tùc l lim kfn − fm k = 0. m,n→∞ Khi â, vîi méi k ∈ N∗ , tçn t¤i mët sè nk ∈ N∗ sao cho vîi måi m, n ≥ nk , 1 ||fm − fn || < . 2k °c bi»t vîi måi n ≥ nk . ||fm − fn || < 1 2k Khæng m§t t½nh têng qu¡t ta câ thº gi£ thi¸t n1 < n2 < ... < nk < ... Khi â 1 ||fn+1 − fn || < . 2k Vîi måi s ∈ N∗, °t s X gs (x) = |fn1 (x)| + |fnk+1 (x) − fnk (x)| ∈ Lp (X, µ). k=1 5
Khi â {gs}s∈N l mët d¢y ìn i»u t«ng c¡c h m sè o ÷ñc, khæng ¥m. ∗ p döng bê · Fatou cho d¢y h m {gs} ta suy ra tçn t¤i s→∞ lim gs (x) v Z Z p lim (gs (x)) dµ ≤ lim inf (gs (x))p dµ = lim inf kgs kp . s→∞ s→∞ s→∞ X X M°t kh¡c, ta câ s s X X 1 kgs k ≤ kfn1 k + kfn+1 − fnk k < kfn1 k + < kfn1 k + 1, k=1 2k k=1 n¶n lim inf kgs kp < +∞. s→∞ Do â Z lim (gs (x))p dµ < +∞. s→∞ X i·u â k²o theos→∞ lim (gs (x))p dµ húu h¤n h¦u khp nìi, suy ra lim gs (x) s→∞ tçn t¤i v húu h¤n h¦u khp nìi. Nh÷ vªy chuéi ∞ P fn1 (x) + (f n+1 (x) − fnk (x)) , k=1 hëi tö tuy»t èi h¦u khp nìi, do â hëi tö h¦u khp nìi, tùc l khi s → ∞ s³ tçn t¤i giîi h¤n húu h¤n h¦u khp nìi cõa h m s X fns+1 (x) = fn1 (x) + (f nk+1 (x) − fnk (x)) . k=1 Gåi f0 (x) l giîi h¤n h¦u khp nìi cõa h m fn k+1 (x), khi s → ∞. V¼
≤ lim gs (x) ∈ Lp (X, µ) ,
f n (x) k+1 s→∞ n¶n theo ành lþ hëi tö ch°n, ta câ Z Z p
p |f0 (x) | dµ = lim
f n s+1 (x)
dµ, s→∞ X X 6
tùc l f0 ∈ Lp (X, µ) . p döng bê · Fatou mët l¦n núa, ta câ R