Luận văn Thạc sĩ Toán học: Số Bernoulli, đa thức Bernoulli và ứng dụng

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:55

Thêm vào BST

Báo xấu

18
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong luận văn, tác giả đã trình bày khá đầy đủ về các tính chất của số Bernoulli và đa thức Bernoulli. Đặc biệt chúng tôi đã trình bày khá chi tiết về các ứng dụng của số Bernoulli, đa thức Bernoulli trong việc xây dựng zeta – hàm số học cũng như độ đo p – adic.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Số Bernoulli, đa thức Bernoulli và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Đỗ Cao Trí SỐ BERNOULLI, ĐA THỨC BERNOULLI VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2018
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Đỗ Cao Trí SỐ BERNOULLI, ĐA THỨC BERNOULLI VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành : Đại số và lí thuyết số Mã số : 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS. TS. MỴ VINH QUANG Thành phố Hồ Chí Minh – 2018
LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là luận văn do chính tôi thực hiện dưới sự hướng dẫn của PGS. TS Mỵ Vinh Quang. Nội dung của luận văn có tham khảo và sử dụng một số kết quả từ nguồn sách, tạp chí, bài báo được liệt kê trong danh mục tài liệu tham khảo. Tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm về luận văn của mình.
LỜI CÁM ƠN Lời cám ơn đầu tiên, tôi xin gởi tới PGS. TS Mỵ Vinh Quang, người thầy mẫu mực và nghiêm khắc, người tận tình giảng dạy, hướng dẫn tôi trong suốt quá trình học cao học và đặc biệt là khi thực hiện luận văn. Nhờ thầy, tôi đã hoàn thành tốt luận văn của mình và qua đó tôi học được từ thầy cách làm việc khoa học. Tiếp đến tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến quý thầy cô trong khoa Toán – Tin Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh: PGS.TS Trần Tuấn Nam, TS. Trần Huyên, TS. Phạm Thị Thu Thủy. Quý thầy cô đã trực tiếp giảng dạy để trang bị cho tôi những kiến thức cơ bản trong bước đường nghiên cứu toán học. Tôi cũng không quên bày tỏ lòng biết ơn đối với quý thầy cô trong Ban Giám hiệu Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, đặc biệt là quý thầy cô phòng Sau Đại Học đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi học tập trong suốt quá trình học cao học. Xin gởi lời cám ơn chân thành đến TS. Phan Thế Hải, người thầy truyền cho tôi ngọn lửa đam mê toán học từ khi tôi còn là một sinh viên sư phạm. Thầy luôn theo sát mọi bước đi của tôi từ lúc tôi ra trường đến nay. Xin khắc sâu công ơn ba, mẹ tôi. Những người luôn ủng hộ mọi quyết định của tôi trong cuộc đời. Nhờ họ tôi mới có thêm nghị lực để vượt qua những khó khăn trong suốt quá trình học tập. Cuối cùng, lời cám ơn đặc biệt nhất, tôi xin gởi đến vợ và con gái yêu của tôi. Chính họ là chỗ dựa tinh thần vững chắc cho tôi trong suốt quá trình học cao học và hoàn thành luận văn. TP Hồ Chí Minh, tháng 03 – 2018 Đỗ Cao Trí
MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN LỜI CÁM ƠN DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU MỞ ĐẦU.............................................................................................................................. 1 CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ........................................................................... 2 1.1.Một số định nghĩa và tính chất của chuẩn trên trường ............................................... 2 1.2. Chuẩn phi Archimede ............................................................................................... 3 1.3. Trường số p – adic p .............................................................................................. 5 1.4. Phân phối p – adic ................................................................................................... 10 1.5. Độ đo và tích phân p – adic..................................................................................... 13 CHƯƠNG 2 SỐ BERNOULLI, ĐA THỨC BERNOULLI ......................................... 15 2.1. Số Bernoulli và đa thức Bernoulli........................................................................... 15 2.2. Tính chất của số Bernoulli và đa thức Bernoulli .................................................... 17 2.3. Các đồng dư thức liên quan đến số Bernoulli và đa thức Bernoulli ....................... 21 CHƯƠNG 3 : ỨNG DỤNG CỦA SỐ BERNOULLI VÀ ĐA THỨC BERNOULLI . 30 3.1. Ứng dụng của số Bernoulli để tính khai triển Laurent của tan và cot .................... 30 3.2. Khai triển Fourier của đa thức Bernoulli. ............................................................... 31 3.3. Zeta – hàm số học ................................................................................................... 36 3.4. Độ đo và tích phân Bernoulli. ................................................................................. 38 KẾT LUẬN ....................................................................................................................... 47 TÀI LIỆU THAM KHẢO................................................................................................ 48
DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU : Tập các số nguyên. : Tập các số hữu tỉ. : Tập các số thực. p : Tập các số nguyên p – dic.  : Chuẩn thông thường. p : Chuẩn p – adic. B  a, r  : Hình cầu mở tâm a bán kính r trong p . B  a, r  : Hình cầu đóng tâm a bán kính r trong p . a   pN  : Khoảng trong p . xa , N : Một điểm tùy ý thuộc khoảng a   p N  . Bk : Số Bernoulli thứ k. Bk  x  : Đa thức Bernoulli thứ (bậc ) k. n   : Tổ hợp chập k của n phần tử . k   B ,k : Phân phối Bernoulli thứ k.  f : Tích phân của hàm f ứng với độ đo  . ∎ : Kết thúc chứng minh.
1 MỞ ĐẦU Các số Bernoulli được nhà toán học người Thụy sĩ Jacob Bernoulli (1654 – 1704 ) phát minh và nghiên cứu khi ông tìm một công thức tổng quát để tính tổng lũy thừa bậc m của n -1 số nguyên dương đầu tiên. Bằng số Bernoulli và đa thức Bernoulli, ông đã giải quyết được trọn vẹn bài toán và ông tự hào viết lại (trong cuốn Ars Conjectandi) rằng ông mất không quá 15 phút để có thể tính tổng lũy thừa bậc 10 của 1000 số nguyên dương đầu tiên. Ngày nay, với sự phát triển mạnh mẽ của khoa học và toán học, số Bernoulli và đa thức Bernoulli đã đóng một vai trò quan trọng trong nhiều ngành khác nhau của toán học. Đặc biệt là trong lý thuyết số hiện đại và giải tích p – adic, chẳng hạn, ta có công thức tính zeta – hàm hàm số học   s  tại s  2k qua các số Bernoulli như sau 22 k 1  B2 k    2k    1  2 k . .   , với k  1; 2;3... , và B2k là số Bernoulli thứ 2k . k  2k  1!  2k  Chính vì vậy chúng tôi quyết định chọn đề tài “Số Bernoulli, đa thức Bernoulli và ứng dụng” để khảo sát, nghiên cứu thêm về số Bernoulli, đa thức Bernoulli và ứng dụng của chúng trong lý thuyết số hiện đại và trong giải tích p – adic. Luận văn sẽ gồm 3 chương như sau. Chương 1 : Kiến thức chuẩn bị Chương này sẽ trình bày các kiến thức cơ bản về chuẩn trên một trường, khái niệm về chuẩn phi Archimede và một số kiến thức cần cho các chương sau Chương 2 : Số Bernoulli và đa thức Bernoulli Chương này trình một số tính chất của số Bernoulli và đa thức Bernoulli. Đặc biệt trong chương này chúng tôi chứng minh một số đồng dư thức liên quan đến số Bernoulli và đa thức Bernoulli như đồng dư thức của Von Staud – Clausen, đồng dư thức của Kummer. Chương 3 : Ứng dụng của số Bernoulli và đa thức Bernoulli Chương này sẽ trình bày ứng dụng của số Bernoulli và đa thức Bernoulli để tính zeta – hàm số học và xây dựng độ đo p – adic, đặc biệt là độ đo và tích phân Bernoulli.
2 CHƯƠNG 1 : KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, chúng tôi trình bày cách xây dựng trường số p – adic p vá các tính chất cơ bản của nó. Đặc biệt chương này cũng trình bày tóm tắt một số kết quả về độ đo và tích phân p – adic cần cho các ứng dụng sau này. Các kết quả của chương này được trình bày theo tài liệu tham khảo [2] và [3]. 1.1. Một số định nghĩa và tính chất của chuẩn trên trường Định nghĩa 1.1.1. Cho F là một trường, ánh xạ  : F  được gọi là một chuẩn trên F nếu thỏa các điều kiện sau i) x  0, x  F ; x  0  x  0 ii) xy  x y , x, y  F iii) x  y  x  y , x, y  F Ví dụ 1.1.2. Các trường số , , với giá trị tuyệt đối thông thường thỏa các điều kiện của chuẩn nên giá trị tuyệt đối là chuẩn trên , , và gọi là chuẩn giá trị tuyệt đối, ký hiệu  . 0, x  0 Cho F là một trường, ánh xạ x   1, x  0 Là một chuẩn trên trường F và được gọi là chuẩn tầm thường. Mệnh đề 1.1.3. (Các tính chất của chuẩn) Cho  là một chuẩn trên trường F có đơn vị là 1. Khi đó với mọi x  F ta có i) 1  1  1 x n  x , n  n ii) 1 iii) x 1  x Nhận xét : Nếu F là trường hữu hạn thì trên F có duy nhất một chuẩn là chuẩn tầm thường.
3 Định nghĩa 1.1.4. (Hai chuẩn tương đương) Cho  1 ;  2 là hai chuẩn trên trường F. Ta nói rằng hai chuẩn này tương đương nếu  xn  là dãy Cauchy theo chuẩn  1 khi và chỉ khi  xn  là dãy Cauchy theo chuẩn  2 . Chú ý rằng  xn  là dãy Cauchy theo chuẩn  nghĩa là xm  xn  m , n  0 . Hay   0, n0  : m, n  n0 , xm  xn   . Định lý 1.1.5. (Các điều kiện tương đương của chuẩn) Cho  1 ,  2 là hai chuẩn trên một trường F. Khi đó, các điều sau là tương đương 1) x  F , x 1  1 khi và chỉ khi x 2  1 . 2) x  F , x 1  1 khi và chỉ khi x 2  1 . 3) Tồn tại hằng số C > 0 sao cho x  F , x 2  x 1 . C 4) Các tôpô sinh bởi  1 và  2 là trùng nhau. 5)  1 tương đương với  2 (  1  2 ). Hệ quả 1.1.6. Cho  1 ,  2 là hai chuẩn trên trường F. Nếu tồn tại hai số dương c1 , c2 sao cho  1  c1  2 và  2  c2  1 thì khi đó  1   2 . 1.2. Chuẩn phi Archimede Định nghĩa 1.2.1. (Chuẩn phi Archimede) Cho  là một chuẩn trên trường F. Khi đó chuẩn  được gọi là chuẩn phi Archimede trên F nếu nó thỏa thêm điều kiện iii’) x  y  max  x ; y  với mọi x, y  F . Chuẩn thỏa iii) nhưng không thỏa iii’) được gọi là chuẩn Archimede. Ví dụ 1.2.2.
4 Chuẩn tầm thường trên trường F là chuẩn phi Archimede. Thật vậy, nếu x  y  0 thì x  y  0 nên x  y  max  x ; y  , còn nếu x  y  0 thì x  0 hoặc y  0 , do đó ta có x  y  1  max  x ; y  . Nếu F là trường hữu hạn có q phần tử với phần tử đơn vị là e thì chuẩn trên trường F là phi Archimede. Thật vậy, nếu x  0 thì x  0 . Nếu x  0 thì q 1 x q 1  e  x  x q 1  e  1 , do đó ta có x  1 . Mệnh đề 1.2.3. Cho F là một trường với chuẩn phi Archimede  , khi đó ta có i) x, y  F , x  y thì x  y  max  x ; y  . Nghĩa là mọi tam giác đều cân trong không gian mêtric sinh bởi chuẩn  . ii) Các tập B(a; r )   x  F : x  a  r B[a; r ]   x  F : x  a  r S  a; r    x  F : x  a  r  Là các tập vừa đóng vừa mở. iii) Mọi điểm thuộc hình cầu đều là tâm cuả nó. iv) Dãy  xn   F là dãy Cauchy  lim xn1  xn  0 . n  v) Cho  xn   F là dãy Cauchy. Khi đó nếu xn  0 thì xn  0 , còn nếu xn ⇸ 0 thì  xn  là dãy dừng. Nghĩa là N  : n  N , xn  xn 1  xn  2  ... . Định lý 1.2.4. (Các điều kiện tương đương của chuẩn phi Archimede) Cho F là một trường,  là một chuẩn trên F. Các điều sau là tương đương i)  là chuẩn phi Archimede. ii) 2 1 . iii) n  1.n  N  n  n.1 / n   , trong đó 1 là đơn vị của F.
5 iv) N bị chặn, nghĩa là c  0 : n  c, n  N . Định nghĩa 1.2.5. Cho p là một số nguyên tố cố định. Với mỗi x  \ 0 , ta luôn có , trong đó m, n  ,  m; n    m; p    n; p   1 , m x  p n  gọi là p – số mũ của x, ký hiệu ord p  x    hoặc ord  x    khi p đã được chỉ rõ. Quy ước ord p  0    . Mệnh đề 1.2.6. Cho p là số nguyên tố, khi đó ta có ord p  xy   ord p  x   ord p  y  , x, y  ord p  x  y   min ord p  x  ; ord p  y  , x, y  Định nghĩa 1.2.7. Cho số nguyên tố p, khi đó  p :  xác định bởi ord p  x  1 xp   , x  .  p là một chuẩn trên . Chuẩn  p được gọi là chuẩn p – adic hay chuẩn p. Rõ ràng chuẩn p là chuẩn phi Archimede trên . Định lý 1.2.8 (Ostrowski). Mọi chuẩn không tầm thường trên hoặc tương đương với chuẩn  p (p là số nguyên tố) hoặc tương đương với chuẩn giá trị tuyệt đối thông thường trên . 1.3. Trường số p – adic p 1.3.1. Xây dựng trường số p – adic p Từ định lý Oxtropxki ta thấy mọi chuẩn không tầm thường trên đều tương đương với chuẩn giá trị tuyệt đối thông thường  hoặc chuẩn phi Archimede  p (p là số nguyên tố). Mặt khác, ta đã biết làm đầy đủ theo  ta được trường số thực . Làm đầy đủ
6 theo  p ta sẽ được trường mới mà ta gọi là trường số p – adic p . Cụ thể cách xây dựng như sau. ord p  x  1 Xét  p là chuẩn p – adic trên xác định bởi x p    , x  . Ký hiệu S là tập  p hợp tất cả các dãy Cauchy trong theo  p , trên S ta xét quan hệ như sau   xn  ,  yn   ,  xn   yn   lim xn  yn p 0 n  Rõ ràng là một quan hệ tương đương trên . Ký hiệu p  S/ , trên p ta sẽ trang bị hai phép toán cộng và nhân để nó trở thành một trường Phép cộng : x   xn , y   yn   p , x  y   xn  yn  Phép nhân : x   xn , y   yn   p , x. y  xn . yn  Dễ dàng chứng minh được với hai phép toán được định nghĩa như trên thì p là một trường với : Phần tử không : 0   xn  0 Phần tử đơn vị : 1   xn  1 Phần tử đối : x   xn    x   xn  Phần tử nghịch đảo : Với  xn   0 thì xn ≁ 0 nên N  0 sao cho n  N , xn p  a  0 . Khi 0, n  N đó dãy  yn  với yn   1 là một dãy Cauchy trong theo  p và  xn  . yn   1 .  xn , n  N Tức  yn  là nghịch đảo của  xn  . Xét  :  p ,  x    xn  x, x  , ta dễ dàng chứng minh được  là đơn cấu trường. Do đó ta có thể coi  p . Với mỗi x   xn   p , ta định nghĩa x p  lim xn p n  thì định nghĩa này là hợp lý. Thật vậy, đầu tiên luôn tồn tại lim xn p . Vì nếu xn  0 thì n  xn p  0 , do đó x p  0 , còn nếu xn ⇸ 0 thì xn p  a  0, n  N , suy ra x p  a .
7 Tiếp theo x p không phụ thuộc vào cách chọn phần tử đại diện. Giả sử x   xn    yn  thế thì xn yn  lim xn  yn p  0 . Mặt khác ta luôn có xn  yn p  xn p  yn p , suy ra n  lim xn n   p  yn p   0 hay lim x n  n p  lim xn p . n  Ta dễ dàng kiểm tra  p được định nghĩa như trên là một chuẩn trên p . Hơn nữa, mọi dãy Cauchy trong   ,  p đều hội tụ trong  p  ,  p , tức  p  ,  p là một mở rộng của  ,p .  Nhận xét : Với mọi x   xn   p ta luôn có lim xn  x . Thật vậy, với   0 , do  xn  là n  dãy Cauchy nên N  0 : n, m  N , xm  xn p   . Khi đó ta có x  xn p  lim xi  xn p   , n  N  lim xn  x . i  n  Định nghĩa 1.3.2. Với a, b  p , ta định nghĩa a  b  mod p n   a  b p n Ta nhận xét rằng với a, b  p thì a  b  mod p n   a  b p  p  n . Thật vậy, giả sử a  b  mod p n   a  b p n , suy ra a  b  p .c với m  n,  c, p   1 , do đó m a  b p  pm  pn . Ngược lại, giả sử a  b p  p  n thì a  b  p m .c với m  n,  c, p   1 , tức là a  b p n  a  b  mod p n  . Bổ đề 1.3.3. Nếu x  và x p  1 thì với mọi n  , tồn tại r  sao cho x  r p  p  n . Hơn nữa, số r có thể chọn trong tập 0;1; 2;...; p n  1 . Định lý 1.3.4. Cho x  p và x p  1 . Khi đó, x có một đại diện là an n 1; thỏa hai điều kiện sau i) an  , 0  an  p n (n = 1; 2; …) ii) an  an 1  mod p n  (n = 1; 2; …)
8 Với x  p , x p  1 thì theo định lý 1.3.4, tồn tại dãy Cauchy an   thỏa an  , 0  an  p n (n  1; 2;3...) và an  an 1  mod p n  , n = 1; 2; 3;… để x  an  . Khi đó với mỗi n ta có các khai triển p – phân an  b0'  b1' p  ...  bn' 1 p n 1 , bi'  0; p  1 an 1  b0  b1 p  ...  bn p n , bi  0; p  1 Mặt khác do an  an1  mod p n   an  an1 p n nên ta có b0'  b1' p  ...  bn' 1 p n 1  b0  b1 p  ...  bn 1 p n 1 n 1  Do đó an  b0  b1 p  ...  bn 1 p n 1  x  lim an  lim  bi p i   bi p i n  n  i 0 i 0  Tóm lại với mọi x  p , x p  1, bi  0;1; 2;...; p  1 : x   bi p , gọi là khai triển p – adic i i 0 của x trong p . Nếu x p  1 thì ta sẽ nhân x với một số pm thích hợp sao cho x’ = x.pm và x ' p  1 . Khi đó   ta có x '   bn p n , do đó ta suy ra x   b p , b  0;1; 2;...; p  1 . Công thức này gọi là i i i n 0 i  m khai triển p – adic của x trong p . Nhận xét  i) Nếu x   bn p n mà b0  b1  ...  bm1  0, bm  0 thì x p  p  m . n 0  ii) Nếu x  p , x p  p , (m  ) m thì x  b p i i , trong đó bi  0;1; 2;...; p  1 . i  m Định nghĩa 1.3.5. Cho x  p , ta định nghĩa p   x p : x p 1  * p  x  p : xp  1 Mp  x  p : xp  1
9 p được định nghĩa như trên là một vành và được gọi là vành các số nguyên p – adic. Mệnh đề 1.3.6. p là vành chính và tất cả các iđêan của nó lập thành một dây chuyền. Cụ thể p p p  p2 p  ...  p n p  ... Mệnh đề 1.3.7. p là tập compact, do đó p là compact địa phương. Mệnh đề 1.3.8.(Một số tính chất tôpô khác của p ) i) Mọi hình cầu, mặt cầu trong p đều là những tập vừa mở, vừa đóng. ii) Hai hình cầu bất kỳ trong p hoặc lồng nhau hoặc rời nhau. iii) Mọi hình cầu, mặt cầu trong p đều có vô số tâm. Mọi hình cầu trong p đều có vô số bán kính. iv) p chỉ có một số đếm được các hình cầu và mặt cầu. 1 Định nghĩa 1.3.9. Khoảng trong p là hình cầu đóng tâm a  p bán kính ,N  . pN   Ký hiệu a   p N   B  a; 1 .  pN  Từ mệnh đề 1.3.8 ta thấy khoảng trong p là tập vừa mở vừa đóng, hai khoảng tùy ý hoặc lồng nhau hoặc rời nhau và không gian mêtric p có một cơ sở gồm các tập mở có dạng các khoảng. Mệnh đề 1.3.10. Cho a   p N  là khoảng tùy ý trong p , khi đó p 1 i) ap N  a  bp N   p N 1 . b 0 ii) Mọi tập mở trong p là compact nếu và chỉ nếu nó được viết dưới dạng hợp hữu hạn rời nhau của các khoảng trong p .
10 p 1 Đặc biệt, từ khẳng định i) ta dễ dàng suy ra được p  B 0;1  0   p0   b   p  , và ta b 0 p N 1 có kết quả p  a   p N  , với mọi số tự nhiên N. a 0 1.4. Phân phối p – adic Định nghĩa 1.4.1. Cho X và Y là các không gian tôpô. Ánh xạ f : X  Y được gọi là hàm hằng địa phương nếu với mỗi x  X thì tồn tại một lân cận U của x sao cho f U  là một điểm của Y. Ví dụ 1.4.2. Cho U là tập mở compact của p và f : p  p là hàm đặc trưng được xác định như sau 1, x U f  x   0, x U Khi đó f là hàm hằng địa phương. Chứng minh. Xét x  p . Nếu f  x   1 thì x U . Ta chọn U x  U thì f U x   1 . Nếu f  x   0 thì x p \ U . Đặt U x  p \ U thì U x là lân cận mở của x và f U x   0 . Vậy f là hàm hằng địa phương. ∎ Mệnh đề 1.4.3. Cho X là một tập mở compact của p . Khi đó f : X  p là hàm hằng địa phương nếu và chỉ nếu f là một tổ hợp tuyến tính của các hàm đặc trưng của các tập mở compact trong X. Định nghĩa 1.4.4. Một phân phối p – adic  trên X là một ánh xạ cộng tính từ tập tất cả n các tập mở compact trong X vào p . Nghĩa là, nếu U  X và U  U i là hợp của các i 1 n tập mở compact rời nhau U1 ,U 2 ,...,U n thì  U     U i  . i 1 Mệnh đề 1.4.5. Cho  là một phân phối p – adic trên X, với mọi tập mở compact U trong X, ta có U là hàm đặc trưng của U. Nếu ta đặt   U    U  thì  là một p - phiếm
11 hàm tuyến tính từ p - không gian vectơ các hàm hằng địa phương trên X đến p . Ngược lại, cho  là một p - phiếm hàm tuyến tính từ p - không gian vectơ các hàm hằng địa phương trên X đến p . Khi đó với mọi tập mở compact U trong X, nếu ta đặt  U     U  thì  là một phân phối p – adic trên X. Mệnh đề 1.4.6. Mọi ánh xạ  từ tập các khoảng a   p N   X đến p thỏa p 1    a   p N     a  bp N   p N 1  b0   luôn có thể thác triển một cách duy nhất đến một phân phối p – adic trên X. Chứng minh. Ta biết rằng mọi tập mở compact U  X đều được viết dưới dạng hợp hữu hạn rời nhau các khoảng I i , tức là U  I i . Ta định nghĩa  U      I i  thì ta có thể kiểm tra  U  không phụ thuộc vào việc chia U thành các khoảng. Thật vậy, giả sử U  Ii  I 'j thì ta có Ii  Ii U  Ii  I 'j   I i I 'j   I ij j j Lập luận tương tự, ta cũng có I 'j  I ij . i Nếu I i  a   p N  thì Iij  a '  p N '  trong đó N’ là số tự nhiên cố định N’>N và a '  a  mod p N  . Vì vậy, bằng cách áp dụng nhiểu lần đẳng thức được cho trong mệnh đề, ta thu được p N '  N 1    Ii    a   p N       a  jp j 0 N    p N '      I ij  . j Do đó    I      I  . i i i j ij
12 Mặt khác, do I 'j  I ij nên  I j  '      I  , từ đó ta có    I      I  . ij ' j ij i i j j i Vậy    I    I  . i i j ' j Để kết thúc chứng minh, ta cần chỉ ra rằng  có tính chất cộng tính. Giả sử U là hợp hữu hạn rời nhau của các khoảng U i , ta viết U i là hợp rời nhau của các khoảng con I ij , nghĩa là U  I ij và như thế ta có i, j    U     I ij      I ij     U i  . ∎  i, j  i j i Sau đây ta sẽ đưa ra vài ví dụ về các phân phối p – adic thường dùng Định nghĩa 1.4.7. Cho a   p N  là một khoảng tùy ý trong p . Ta định nghĩa ánh xạ Haar như sau   Haar a   p N    1 pN Khi đó Haar được thác triển tới một phân phối trên p vì ta có p 1 p 1    a  bp p     p1   Haar a   p N   N 1 1 Haar N N 1  N b 0 b 0 p Ánh xạ Haar được gọi là phân phối Haar. Định nghĩa 1.4.8. Cho   p cố định, ta định nghĩa ánh xạ  trên tập mở compact U p như sau. 1,   U  U    0,   U Ta thấy  có tính chất cộng tính nên là một phân phối và được gọi là phân phối Dirac.
13 Định nghĩa 1.4.9. Cho a   p N  là một khoảng bất kỳ trong p . Ta định nghĩa ánh xạ Mazur như sau   Mazur a   p N    p a N  1 2 Khi đó ta có p 1 p 1  a  bp N 1  b 0   Mazur a  bp N   p N 1      b 0  p N 1    N    Mazur a   p N  2 p a 1 2   Do đó Mazur là một phân phối và được gọi là phân phối Mazur. 1.5. Độ đo và tích phân p – adic Định nghĩa 1.5.1. Một phân phối  trên X  p là một độ đo nếu giá trị của nó trên mọi tập mở compact U  X bị chặn bởi hằng số B  nào đó. Nghĩa là  U  p  B với mọi tập mở compact U  X . Mệnh đề 1.5.2. Một phân phối p – adic  là một độ đo nếu và chỉ nếu tồn tại a  p , a  0 sao cho a lấy giá trị trong p . Định nghĩa 1.5.3. Cho hàm f và  là một phân phối trên p . Với mọi N  , ta chia p p N 1 thành a 0  a   p  , giả sử x N a,N là một điểm tùy ý thuộc khoảng a   p N  , ta định nghĩa tổng Riemann thứ N của hàm f tương ứng với  xa , N  là p N 1 S N ,x   f   a,N  f  x   a   p  . a 0 a, N N Định lý 1.5.4. Giả sử  là một độ đo p – adic trên X  p và f : X  p là một hàm liên tục. Khi đó tổng Riemann S N ,x   a,N  0 a  pN  f  xa , N   a   p N     a pN  X